\magnification\magstephalf\nopagenumbers
\centerline{Egy m\'asik hasonl\'o konstrukci\'o}
\bigskip
Ez is John H. Conway ``On numbers and games '' c\'\i m\H u k\"onyve
alapj\'an
k\'esz\"ult. A fenti k\"onyv\"on k\'\i v\"ul ezzel a konstrukci\'oval
foglalkozik D. Knuth egy sz\'orakoztat\'o k\"onyve is.
 
Nem hiszem, hogy szemin\'ariumot kellene szentelni r\'a,
de sz\'\i vesen besz\'elek err\H ol b\'arkivel, akit \'erdekel.
 
 
\bigskip
 
{\bf Konstrukci\'o}
 
Legyen $L$ \'es $R$ sz\'amok k\'et halmaza, \'ugy, hogy $L$ egyetlen
eleme sem $\ge$ $R$ egyetlen elem\'en\'el sem. Ekkor ez a halmazp\'ar
egy sz\'am, amit \'\i gy jel\"ol\"unk: $\{L|R\}$. Minden sz\'am \'\i gy
lett konstru\'alva.
\medskip
 
{\bf Jel\"ol\'es}
 
Az $x=\{L|R\}$ sz\'am eset\'en $x^L$ jel\"oli $L$ tipikus elem\'et,
$x^R$ pedig $R$ tipikus elem\'et. (Ez olyan, mint ahogy $\alpha'$
jel\"olte a tipikus $\alpha$-n\'al kisebb elemet a rendsz\'amos
konstrukci\'oban.)
 
Ahelyett, hogy $x=\{L|R\}$-et \'\i rn\'ank, \'altal\'aban felsoroljuk
$L$ \'es $R$ elemeit a kap\-csos z\'ar\'ojelen bel\"ul, mint
p\'eld\'aul az \"osszeg, szorzat definici\'oj\'aban, vagy p\'eld\'aul
\'\i rhatjuk \'altal\'aban, hogy $x=\{x^L|x^R\}$. (Hasonl\'o
konvenci\'ot haszn\'altunk a rendsz\'amos konst\-ruk\-ci\-\'o\-n\'al.)
\medskip
 
{\bf Definici\'ok}
 
Azt mondjuk, hogy $x\ge y$ (vagy ezzel ekvivalensen $y\le x$) ha
egyetlen $x^R$ sz\'amra sem teljes\"ul, hogy $x^R\le y$, \'es egyetlen
$y^L$ sz\'amra sem teljes\"ul $x\le y^L$.
 
Azt mondjuk, hogy $x=y$, ha mind $x\ge y$, mind $x\le y$ teljes\"ul.
Ilyenkor az $x$ \'es $y$ sz\'amokat azonos\'\i tjuk.
 
\"Osszead\'as: $x+y=\{x^L+y,x+y^L|x^R+y,x+y^R\}$.
 
Kivon\'as: $-x=\{-x^R|-x^L\}$.
 
Szorz\'as:
$xy=\{x^Ly+xy^L-x^Ly^L,x^Ry+xy^R-x^Ry^R
|x^Ly+xy^R-x^Ly^R,x^Ry+xy^L-x^Ry^L\}$.
\bigskip
 
{\bf Feladatok}
\medskip
 
0. A konstrukci\'o \'ertelmes. (A rendsz\'amos konstrukci\'oval
ellent\'etben itt ezt neh\'ez bel\'atni. A konstrukci\'o csak a $\ge$
\'es $=$ definici\'oj\'aval \'er v\'eget, hiszen a $\ge$-t haszn\'aljuk
a konstrukci\'on\'al, m\'\i g az $=$ szerint azonos\'\i tjuk a
sz\'amokat. Milyen \'ertelemben van megalapozva a rekurz\'\i v
definici\'o? Az $=$ sz\'amok azonos\'\i t\'as\'ahoz igazolni kell, hogy
$=$ ekvivalencia-rel\'aci\'o, \'es
azt is, hogy ha a konstrukci\'oban a sz\'amokat vel\"uk egyenl\H ore
cser\'elj\"uk, akkor a konstru\'alt sz\'am is csak egyenl\H ore
v\'altozik. Hasonl\'oan azt is, hogy a $\ge$ rel\'aci\'o sem
\'erz\'ekeny ilyen cser\'ere.)
\medskip
 
1. A sz\'amokat line\'arisan rendezi $\ge$. (Azaz tranzit\'\i v, \'es
b\'armely  k\'et sz\'am \"ossze\-ha\-son\-l\'\i t\-ha\-t\'o.)
\medskip
 
2. Az \"osszead\'as, kivon\'as, szorz\'as \'ertelmes. (A rekurzi\'o
megalapozotts\'ag\'an t\'ul kell, hogyegyenl\H o sz\'amok \"osszege,
k\"ul\"onbs\'ege \'es szorzata is egyenl\H o. Ez olyan, mint a 3. \'es
9. pont a m\'asik konstrukci\'on\'al.)
\medskip
 
3. A sz\'amok rendezett testet alkotnak. (A reciprok l\'etez\'es\'en
k\'\i v\"ul minden egysoros bizony\'\i t\'assal kij\"on. Reciprok
l\'etez\'ese neh\'ez.)
\medskip
 
4. Ha a konstrukci\'oban csak v\'eges (esetleg csak egy elem\H u) $L$
\'es
$R$ halmazokat engedn\'enk meg, csak a sz\'amok egy r\'esz\'et lehetne
megkonstru\'alni. Melyeket? Mi az ``\'ert\'eke'' ennek a sz\'amnak:
$\{\{\{|\}|\}|\{\{\{|\}|\}|\}\}$?
\medskip
 
5. Tal\'aljuk meg a val\'os sz\'amokat az \"osszes sz\'am k\"oz\"ott.
\medskip
 
6. Az olyan sz\'amokat, melyekre $R$ \"ures (azaz $x=\{x^L|\}$) j\'ol
rendezi a $<$ ($x<y$, ha $x\le y$, de nem $x=y$). \'Igy ezek
azonos\'\i that\'oak a rendsz\'amokkal. Ezek az \"osszead\'asra \'es
szorz\'asra z\'artak (egyszer\H u), de rajtuk az \"osszead\'as nem a
rendsz\'am\"osszead\'as lesz (mert az nem kommutat\'\i v), (\'es
persze semmi k\"oze nem lesz a rendsz\'amos konstrukci\'oval
defini\'alt \"osszead\'ashoz. Hogy \'\i rhat\'o le ez az
\"osszead\'as? \'Es a szorz\'as?
 
\bye
 
