Egy másik hasonló konstrukció

Ez is John H. Conway “On numbers and games ” című könyve alapján készült. A fenti könyvön kívül ezzel a konstrukcióval foglalkozik D. Knuth egy szórakoztató könyve is.

Nem hiszem, hogy szemináriumot kellene szentelni rá, de szívesen beszélek erről bárkivel, akit érdekel.

Konstrukció Legyen L és R számok két halmaza, úgy, hogy L egyetlen eleme sem ≥ R egyetlen eleménél

sem. Ekkor ez a halmazpár egy szám, amit így jelölünk: {L|R}. Minden szám így lett konstruálva.

Jelölés Az x = {L|R} szám esetén x^{L} jelöli L tipikus elemét, x^{R} pedig R tipikus elemét. (Ez olyan,

mint ahogy α′ jelölte a tipikus α-nál kisebb elemet a rendszámos konstrukcióban.)

Ahelyett, hogy x = {L|R}-et írnánk, általában felsoroljuk L és R elemeit a kapcsos zárójelen belül, mint például az összeg, szorzat definiciójában, vagy például írhatjuk általában, hogy x = {x^{L}|x^{R}}. (Hasonló konvenciót használtunk a rendszámos konstrukciónál.)

Definiciók Azt mondjuk, hogy x ≥ y (vagy ezzel ekvivalensen y ≤ x) ha egyetlen x^{R} számra sem teljesül,

hogy x^{R} ≤ y, és egyetlen y^{L} számra sem teljesül x ≤ y^{L}.

Azt mondjuk, hogy x = y, ha mind x ≥ y, mind x ≤ y teljesül. Ilyenkor az x és y számokat azonosítjuk.

Összeadás: x + y = {x^{L} + y, x + y^{L}|x^{R} + y, x + y^{R}}. Kivonás: −x = {−x^{R}| − x^{L}}. Szorzás: xy = {x^{L}y + xy^{L} − x^{L}y^{L}, x^{R}y + xy^{R} − x^{R}y^{R}|x^{L}y + xy^{R} − x^{L}y^{R}, x^{R}y + xy^{L} − x^{R}y^{L}}.

Feladatok

0. A konstrukció értelmes. (A rendszámos konstrukcióval ellentétben itt ezt nehéz belátni. A konstrukció csak a ≥ és = definiciójával ér véget, hiszen a ≥-t használjuk a konstrukciónál, míg az = szerint azonosítjuk a számokat. Milyen értelemben van megalapozva a rekurzív definició? Az = számok azonosításához igazolni kell, hogy = ekvivalencia-reláció, és azt is, hogy ha a konstrukcióban a számokat velük egyenlőre cseréljük, akkor a konstruált szám is csak egyenlőre változik. Hasonlóan azt is, hogy a ≥ reláció sem érzékeny ilyen cserére.)

1. A számokat lineárisan rendezi ≥. (Azaz tranzitív, és bármely két szám összehasonlítható.)

2. Az összeadás, kivonás, szorzás értelmes. (A rekurzió megalapozottságán túl kell, hogyegyenlő számok összege, különbsége és szorzata is egyenlő. Ez olyan, mint a 3. és 9. pont a másik konstrukciónál.)

3. A számok rendezett testet alkotnak. (A reciprok létezésén kívül minden egysoros bizonyítással kijön. Reciprok létezése nehéz.)

4. Ha a konstrukcióban csak véges (esetleg csak egy elemű) L és R halmazokat engednénk meg, csak a számok egy részét lehetne megkonstruálni. Melyeket? Mi az “értéke” ennek a számnak: {{{|}|}|{{{|}|}|}}?

5. Találjuk meg a valós számokat az összes szám között.

6. Az olyan számokat, melyekre R üres (azaz x = {x^{L}|}) jól rendezi a < (x < y, ha x ≤ y, de nem x = y). Így ezek azonosíthatóak a rendszámokkal. Ezek az összeadásra és szorzásra zártak (egyszerű), de rajtuk az összeadás nem a rendszámösszeadás lesz (mert az nem kommutatív), (és persze semmi köze nem lesz a rendszámos konstrukcióval definiált összeadáshoz. Hogy írható le ez az összeadás? És a szorzás?