\magnification=\magstep1
\input amstex
\nopagenumbers
\centerline{\bf M{\'e}rhet{\H o} sz{\'a}moss{\'a}gok}
\centerline{\it Soukup Lajos}
\bigskip\noindent
{\it Lebesgue m{\'e}rt{\'e}k probl{\'e}m{\'a}ja:}\hfil\break
Van-e olyan $\mu\: P([0,1])\to [0,\infty)$ lek{\'e}pez{\'e}s,
mely
 
\item{i.)} Nem azonosan nulla.
\item{ii.)} Eltol{\'a}s invari{\'a}ns,
\item{iii.)} ${\sigma}$-addit{\'\i}v, azaz ha $\{X_i\: i<{\omega}\}$
p{\'a}ronk{\'e}nt diszjunkt halmazok, akkor
${\mu}(\bigcup\limits_{i<{\omega}}X_i)=
\sum\limits_{i<{\omega}}{\mu}(X_i)$.
 
\noindent
(A tov\'abbiakban $P(S)$ jel\"oli egy $S$ halmaz \"osszes
r\'eszhalmaz\'at.) \medskip\noindent
{\bf T\'etel: (Vitali)}  {\it Nincs ilyen lek{\'e}pez{\'e}s.}
\medskip\noindent
{\bf Definici\'o} {\it Ha $S$ nem {\"u}res halmaz, akkor egy
${\mu}\: P(S)\to [0,\infty)$ lek{\'e}pez{\'e}st {\rm
m{\'e}rt{\'e}knek} nevezz{\"u}k, ha
\medskip
\item{i.)} ${\mu}(S)=1$,
\item{ii.)} ${\mu}(\{x\})=0$ minden $x\in S$-re,
\item{iii.)} ${\mu}$ ${\sigma}$-addit{\'\i}v, azaz ha
$\{X_i\: i<{\omega}\}\subset P(S)$
p{\'a}ronk{\'e}nt diszjunkt halmazok, akkor
${\mu}(\bigcup\limits_{i<{\omega}}X_i)
=\sum\limits_{i<{\omega}}{\mu}(X_i)$.}
\bigskip\noindent
{\bf Tov\'abbi t\'argyaland\'o k\'erd\'esek:}\medskip
 
\item{1.)} {\it Banach m{\'e}rt{\'e}k probl{\'e}m{\'a}ja}\/
L{\'e}tezhet-e m{\'e}rt{\'e}k valamely $S$ halmazon?
\item{2.)} L{\'e}tezhet-e m{\'e}rt{\'e}k $[0,1]$-en?
\item{3.)} L{\'e}tezhet-e olyan m{\'e}rt{\'e}k $[0,1]$-en, amelyik
a Lebesgue m{\'e}rt{\'e}k kiterjeszt\'ese?
\bigskip\noindent
Ezeket a k{\'e}rd{\'e}seket vizsg{\'a}lva jutunk el a val{\'o}san
m{\'e}rhet{\H o} {\'e}s a m{\'e}rhet{\H o}
sz{\'a}\-mos\-s{\'a}\-gok fogalm\'a\-hoz.
\medskip\noindent
{\bf Definici\'o:} {\it Egy ${\mu}\: P(S)\to [0,1]$ m{\'e}rt{\'e}ket
${\lambda}$-additivnak h{\'\i}vunk, ha ak{\'a}rhogyan is adjuk meg
$S$-nek ${\lambda}$-n{\'a}l kevesebb p{\'a}ronk{\'e}nt diszjunkt
$\{X_{\alpha}\:{\alpha}<{\gamma}\}\subset P(S)$
r{\'e}szhalmaz{\'a}t,
akkor ${\mu}(\bigcup\limits_{{\alpha}<{\gamma}}X_{\alpha})=
\sum\limits_{{\alpha}<{\gamma}}{\mu}(X_{\alpha})$.} (Az el\"oz\H{o}
\"osszeg \'ugy \'ertend\H{o}, hogy megk\"ovetelj\"uk: Legfeljebb
megsz\'aml\'alhat\'o sok ${\mu}(X_{\alpha})\neq0$ tag szerepel benne.)
 
\medskip\noindent
{\bf Definici\'o:} {\it Egy ${\kappa}$ sz{\'a}moss{\'a}got\/ {\rm
val{\'o}san m{\'e}rhet{\H o}nek} nevez{\"u}nk, ha van
${\kappa}$-addit{\'\i}v ${\mu}\: P({\kappa})\to [0,1]$
m{\'e}rt{\'e}k. Egy ${\kappa}$ sz{\'a}moss{\'a}got\/
{\rm m{\'e}rhet{\H o}nek} nevez{\"u}nk,
ha van ${\kappa}$-addit{\'\i}v ${\mu}\: P({\kappa})\to \{0,1\}$
m{\'e}rt{\'e}k (azaz olyan m{\'e}rt{\'e}k, mely csak 0 {\'e}s 1
{\'e}rt{\'e}ket vesz fel).}
\medskip\noindent
Megmutatjuk, hogy egy m{\'e}rhet{\H o} sz{\'a}moss{\'a}g
sz{\"u}ks{\'e}gszer{\H u}en ``nagyon nagy'' (pl.\ er{\H o}sen
el{\'e}rhetetlen). Bel{\'a}tunk egy dichotomia t{\'e}telt is:
\medskip\noindent
{\it Ha l{\'e}tezik ${\mu}$ m{\'e}rt{\'e}k valamilyen
$S$ halmazon, akkor vagy van m{\'e}rhet{\H o} sz{\'a}moss{\'a}g
(\'es ekkor p\'eld\'aul a val\'os sz\'amok minden nem
megsz\'aml\'alhat\'o ko-analitikus r{\'e}sze tartalmaz perfekt
r{\'e}szhalmazt), vagy a Lebesgue m{\'e}rt{\'e}k kiterjeszthet{\H o}
${\sigma}$-teljes m{\'o}don $[0,1]$ minden
r{\'e}sz\-hal\-ma\-z{\'a}\-ra.}
 
(Egy ko-analitikus halmaz egy analitikus halmaz komplementere, \'es egy
halmaz akkor analitikus, ha el\H{o}\'all, mint egy Borel m\'erhet\H{o}
halmaz folytonos k\'epe.)
 
\bye
 
 
 
