Mérhető számosságok Soukup Lajos

Lebesgue mérték problémája: Van-e olyan μ: P ([0, 1]) → [0, ∞) leképezés, mely i.) Nem azonosan nulla. ii.) Eltolás invariáns, iii.) σ-additív, azaz ha {X_{i}: i < ω} páronként diszjunkt halmazok, akkor μ( ⋃_{i<ω} X_{i}) =

∑_{i<ω} μ(X_{i}).

(A továbbiakban P (S) jelöli egy S halmaz összes részhalmazát.)

Tétel: (Vitali) Nincs ilyen leképezés.

Definició Ha S nem üres halmaz, akkor egy μ: P (S) → [0, ∞) leképezést mértéknek nevezzük, ha

i.) μ(S) = 1, ii.) μ({x}) = 0 minden x ∈ S-re, iii.) μ σ-additív, azaz ha {X_{i}: i < ω} ⊂ P (S) páronként diszjunkt halmazok, akkor

μ( ⋃_{i<ω} X_{i}) = ∑_{i<ω} μ(X_{i}).

További tárgyalandó kérdések:

1.) Banach mérték problémája Létezhet-e mérték valamely S halmazon? 2.) Létezhet-e mérték [0, 1]-en? 3.) Létezhet-e olyan mérték [0, 1]-en, amelyik a Lebesgue mérték kiterjesztése?

Ezeket a kérdéseket vizsgálva jutunk el a valósan mérhető és a mérhető számosságok fogalmához.

Definició: Egy μ: P (S) → [0, 1] mértéket λ-additivnak hívunk, ha akárhogyan is adjuk meg S-nek λ-nál kevesebb páronként diszjunkt {X_{α}: α < γ} ⊂ P (S) részhalmazát, akkor μ( ⋃_{α<γ} X_{α}) = ∑_{α<γ} μ(X_{α}). (Az elöző összeg úgy értendő, hogy megköveteljük: Legfeljebb

megszámlálható sok μ(X_{α}) ≠ 0 tag szerepel benne.)

Definició: Egy κ számosságot valósan mérhetőnek nevezünk, ha van κ-additív μ: P (κ) → [0, 1] mérték. Egy κ számosságot mérhetőnek nevezünk, ha van κ-additív μ: P (κ) → {0, 1} mérték (azaz olyan mérték, mely csak 0 és 1 értéket vesz fel).

Megmutatjuk, hogy egy mérhető számosság szükségszerűen “nagyon nagy” (pl. erősen elérhetetlen). Belátunk egy dichotomia tételt is:

Ha létezik μ mérték valamilyen S halmazon, akkor vagy van mérhető számosság (és ekkor például a valós számok minden nem megszámlálható ko-analitikus része tartalmaz perfekt részhalmazt), vagy a Lebesgue mérték kiterjeszthető σ-teljes módon [0, 1] minden részhalmazára.

(Egy ko-analitikus halmaz egy analitikus halmaz komplementere, és egy halmaz akkor analitikus, ha előáll, mint egy Borel mérhető halmaz folytonos képe.)