<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;"> 
\magnification=\magstep1
\input amstex
\documentstyle{amsppt}
\NoRunningHeads
\def\opy{\underset y\to}
\def\opx{\underset x\to}
\def\opz{\underset z\to}
\def\opw{\underset w\to}
\def\D{\frak D}
\def\ul{\underline}
\def\ol{\overline}
\def\l{\left .}
\def\res{\right |}
\def\lp{\left (}
\def\rp{\right )}
 
\topmatter
\title A Selberg--f\'ele nyomformula \endtitle
\author Hal\'asz G\'abor \endauthor
\endtopmatter\document
 
\noindent a Poisson \"osszegz\'esi k\'eplet analogonja.
 
\head A Poisson formula \endhead
 
Legyen $k(x)$ ($-\infty &lt;x&lt;\infty $) komplex \'ert\'ek\H u f\"uggv\'eny,
$K(x)=\sum\limits_{n=-\infty }^\infty  k(x+n)$. (Konvergenci\'aval,
stb. nem foglalkozunk).  Nyilv\'an $K(x+1)=K(x)$.
 
Fourier sorba fejtve,
$$
K(x)=\sum _{j=-\infty }^\infty  a_j e^{2\pi ijx},
$$
ahol
$$
\align a_j &amp;=\int _0^1 K(x)e^{-2\pi ijx}\,dx=
\int _0^1 \sum _{n=-\infty }^\infty  k(x+n)e^{-2\pi ijx}\,dx\\
&amp;=\sum _{n=-\infty }^\infty  \int _0^1 k(x+n)e^{-2\pi ijx}\,dx=
\sum _{n=-\infty }^\infty  \int _n^{n+1} k(x)e^{-2\pi ijx}\,dx\\
&amp;=\int _{-\infty }^\infty  k(x)e^{-2\pi ijx}\,dx=\kappa (2\pi
j);
\endalign
$$
itt
$$
\kappa (t)=\int _{-\infty }^\infty  k(x)e^{-itx}\,dx
$$
a Fourier transzform\'alt.
 
P\'eld\'aul $K(0)$-at defin\'\i ci\'oj\'aval \'es Fourier sor\'aval is
kifejezve,
$$
\sum _{n=-\infty }^\infty  k(n)=\sum _{j=-\infty }^\infty
\kappa (2\pi j).
$$
 
Ennek az az \'ertelme (\'es a f\H o haszna), hogy a baloldal az
$\int _{-\infty }^\infty  k(x)\,dx=\kappa (0)$ integr\'al k\"ozel\'\i
t\H o \"osszege, ami a
jobboldal $j=0$-hoz tartoz\'o tagja, m\'\i g a $j\not =0$ tagok
adj\'ak a hib\'at. (2-dimenzi\'oban, --- ott az eg\'eszeket mindk\'et
oldalon eg\'esz koordin\'at\'aj\'u vektorok helyettes\'\i tik, --- ha a
megfelel\H o $k(x)$ egy nagy k\"orlap indik\'atorf\"uggv\'enye, akkor a
baloldal a k\"orbe es\H o r\'acspontok sz\'ama, m\'\i g a jobboldalon a
$0$ vektornak megfelel\H o tag a k\"orlap ter\"ulete. A hibatag
pontos nagys\'agrendje --- ez a nevezetes k\"orprobl\'ema ---
ismeretlen; a legjobb ismert eredm\'eny val\'oban ezen Poisson
formula t\"obbi tagj\'anak becsl\'es\'eb\H ol ad\'odik. Egy rokon
k\"orprobl\'em\'at l. k\'es\H obb!)
 
\subhead Ugyanez m\'egegyszer fellengz\H os st\'\i lusban
\endsubhead
 
A sz\'amegyenesen $|x-y|$ metrika, a Lebesgue m\'ert\'ek m\'ert\'ek.
Jel\"olje $T_ux=x+u$ az $u$-val val\'o eltol\'ast. Ezek metrika--
\'es m\'ert\'ektart\'oak, (de az \"osszes metrika-- \'es
m\'ert\'ektart\'o
transzform\'aci\'oknak csak egy r\'eszcsoportj\'at alkotj\'ak).
 
Jel\"olj\"uk ugyan\'\i gy az $f(x)$ ($-\infty &lt;x&lt;\infty $)
f\"uggv\'enyeken hat\'o
$T_u f=f(x+u)$ eltol\'as oper\'atort is. \'Altal\'anos oper\'atort
r\"oviden, illetve r\'eszletesen \'\i gy jel\"ol\"unk:
$$
Lf=\opy L(f(y),x),
$$
ami azt jelenti, hogy az $L$ oper\'ator $f$-re mint az $y$
v\'altoz\'o f\"uggv\'eny\'ere hat, \'es azt az $x$ v\'altoz\'o
f\"uggv\'eny\'ev\'e transzform\'alja.
 
Az $L$ oper\'atort invari\'ansnak mondjuk, ha
$$
\opy L(f(y+u),x)=\opy L(f(y),x+u),
$$
azaz, ha $LT_u=T_uL$ minden $u$-ra.
 
Mikor lesz az $Lf=\int _{-\infty }^\infty  k(x,y)f(y)\,dy$ integr\'al
oper\'ator invari\'ans?
$$
\align
LT_{u}f &amp;=\int _{-\infty }^\infty  k(x,y)f(y+u)\,dy,\\
T_{u}Lf &amp;=\int _{-\infty }^\infty  k(x+u,y)f(y)\,dy=
\int _{-\infty }^\infty  k(x+u,y+u)f(y+u)\,dy,
\endalign
$$
azaz akkor, ha $k(x,y)=k(x+u,y+u)$, m\'assz\'oval $k(x,y)$ csak
$(x-y)$-t\'ol f\"ugg, $k(x,y)=k(x-y)$,
$Lf=\int _{-\infty }^\infty  k(x-y)f(y)\,dy$
konvol\'uci\'o.
 
Mikor lesz az $Lf=\sum\limits_{\nu =0}^m a_\nu (x)\frac{d^\nu
f}{dx^\nu }$ differenci\'al oper\'ator invari\'ans?
$$
\align
LT_uf &amp;=\sum _{\nu =0}^m a_\nu (x)f^{(\nu )}(x+u),\\
T_uLf &amp;=\sum _{\nu =0}^{m} a_\nu (x+u)f^{(\nu )}(x+u),
\endalign
$$
azaz akkor, ha $a_\nu (x+u)=a_\nu (x)$, $a_\nu (x)\equiv a_\nu $
konstans,
$L=\sum\limits _{\nu =0}^m a_\nu  D^\nu $, ahol $D=\frac d{dx}$, ami
teh\'at
gener\'alja az invari\'ans differenci\'aloper\'atorok gy\H ur\H uj\'et.
 
\proclaim {\'All\'\i t\'as} \it B\'armely k\'et invari\'ans oper\'ator
felcser\'elhet\H o, $L_1 L_2=L_2 L_1$. \endproclaim
 
\demo {Bizony\'\i t\'as} Invari\'ans oper\'atorok szorzata is
invari\'ans:
$$
L_1L_2T_u=L_1T_uL_2=T_uL_1L_2.
$$
 
Ha  mindkett\H o integr\'al oper\'ator,
$$
L_{1,2}f=\int _{-\infty }^\infty k_{1,2}(x,y)f(y)\,dy,
$$
akkor $L_1L_2$ is
$$
k(x,y)=\int _{-\infty }^\infty k_1(x,u)k_2(u,y)\,du
$$
magf\"uggv\'ennyel.
 
Invari\'ans integr\'al oper\'ator magf\"uggv\'eny\'ere
$k(x,y)=k(-y,-x)$, mert $x-y=-y-(-x)$, a val\'os sz\'amok,
\'\i gy az eltol\'asok csoportja is kommutat\'\i v. Ezt mind
$k(x,y)$-ra, mind $k_{1,2}(x,y)$-ra fel\'\i rva,
$$
\align
k(x,y) &amp;=\int _{-\infty }^\infty k_1(-y,u)k_2(u,-x)\,du\\
&amp;=\int _{-\infty }^\infty k_1(-y,-u)k_2(-u,-x)\,du=
\int _{-\infty }^\infty k_1(u,y)k_2(x,u)\,du,
\endalign
$$
ahol a k\"ozb\"uls\H o l\'ep\'esben felhaszn\'altuk, hogy az
$x\rightarrow -x$
t\"ukr\"oz\'es, b\'ar nem tartozik az eltol\'as csoportunkhoz,
szint\'en
m\'ert\'ektart\'o. A jobboldal $L_2L_1$ magf\"uggv\'enye, \'es ezzel
bebizony\'\i tottuk az \'all\'\i t\'ast integr\'al oper\'atorokra.
 
Legyen $k(u)&gt;0$ ($|u|&lt;1$), $k(u)=0$ ($|u|\geq 1$),
$\int _{-\infty }^\infty k(u)\,du=1$, \'es
$$
k_\delta (z,w)=\frac1\delta k\left(\frac{x-y}\delta \right).
$$
Ekkor
$$
L_\delta f=\int _{-\infty }^\infty k_\delta (x,y)f(y)\,dy
$$
invari\'ans integr\'al oper\'ator, amelyre $L_\delta f\rightarrow f$
($\delta \rightarrow 0$).
 
Ha $L$ tetsz\H oleges invari\'ans oper\'ator, akkor
$$
LL_\delta f=\int _{-\infty }^\infty \opx L(k_\delta
(x,y),x)f(y)\,dy
$$
integr\'al oper\'ator \'es mint k\'et invari\'ans oper\'ator szorzata,
invari\'ans is. Tudjuk teh\'at, hogy
$$
(L_1L_\delta )(L_2L_\delta )=(L_2L_\delta )(L_1L_\delta ),
$$
\'es $\delta \rightarrow 0$ adja az \'all\'\i t\'ast.\footnote{A
bizony\'\i t\'as
egyszer\H us\'\i t\'es\'et Lempert L\'aszl\'onak k\"osz\"on\"om.}
\enddemo
 
Ez az\'ert fontos sz\'amunkra, mert felcser\'elhet\H o oper\'atoroknak
``k\"oz\"os spekt\-r\'al\-fel\-bon\-t\'asa" van.
 
Ha p\'eld\'aul $f(x)$ $D$-nek saj\'atf\"uggv\'enye tetsz\H oleges
komplex $\lambda $ saj\'at\-\'ert\'ekkel, $Df\allowmathbreak=\lambda
f$, ahol
$f(x)=e^{\lambda x}$, (az \"osszes ilyen $Ae^{\lambda x}$ alak\'u),
akkor
$$
DLf=LDf=L\lambda f=\lambda Lf,
$$
teh\'at $Lf$ is saj\'at\-f\"uggv\'enye $D$-nek ugyanazon $\lambda $
saj\'at\-\'ert\'ekkel.  Mivel ezek a saj\'at\-f\"ugg\-v\'enyek itt
1-dimenzi\'os teret alkotnak, $Lf=\Lambda e^{\lambda x}=\Lambda f(x)$,
ahol $\Lambda $ csak $\lambda $-t\'ol \'es $L$-t\H ol f\"ugg.
 
Sz\'am\'\i tsuk ki a $\Lambda $-t, ha $Lf=\int _{-\infty }^\infty
k(x-y)f(y)\,dy$! Mivel $f(0)=1$,
$$
\Lambda  =\opy L(f(y),0)=\int _{-\infty }^\infty  k(-y)e^{\lambda
y}\,dy= \int _{-\infty }^\infty  k(y)e^{-\lambda y}\,dy,
$$
a Laplace (Fourier) integr\'al.
 
\medskip \centerline{* * *} \medskip
 
Az eltol\'asok diszkr\'et r\'eszcsoportja egyetlen elemmel
gener\'alt v\'egtelen ciklikus, tipikus p\'elda
$\{T_n\}_{n=-\infty }^\infty $. $f(x)$ ($1$ szerinti) periodicit\'asa
azt jelenti, hogy $T_n f=f$. Ha $L$ invari\'ans oper\'ator, akkor
$T_n Lf=LT_n f=Lf$, azaz $Lf$ is periodikus: a periodikus
f\"uggv\'enyek az invari\'ans oper\'atorokra n\'ezve invari\'ans
alteret alkotnak. Mostant\'ol a periodikus $f\in \frak L_2(0,1)$
f\"uggv\'enyek ter\'ere szor\'\i tkozunk, a skal\'ar szorzatot,
\"onadjung\'alts\'agot, stb. is ebben \'ertj\"uk.
 
Ha $L$ integr\'al oper\'ator, akkor
$$
\align
Lf &amp;=\int _{-\infty }^\infty  k(x-y)f(y)dy=
\sum _{n=-\infty }^\infty  \int _n^{n+1} k(x-y)f(y)\,dy\\
&amp;=\sum _{n=-\infty }^\infty  \int _0^1 k(x-(y+n))f(y+n)dy=\int _0^1
K(x,y)f(y)dy,
\endalign
$$
ahol $K(x,y)=\sum\limits _{n=-\infty }^\infty  k(x-(y+n))$ mindk\'et
v\'altoz\'oj\'aban periodikus mag.
 
A periodikus f\"uggv\'enyek ter\'eben $iD$ \"onadjung\'alt, mert
$$(Df,g)=\int _0^1 f^\prime(x)\ol{g(x)}\,dx=$$
(parci\'alisan integr\'alva)
$$
=-\int _0^1 f(x)\ol{g^\prime(x)}\,dx=-(f,Dg).
$$
 
$D$ saj\'at\'ert\'ekei ez\'ert imagin\'ariusak,
($(Df,f)=\lambda (f,f)$, $(Df,f)=-(f,Df)=-\ol \lambda  (f,f)$,
$\lambda =-\ol \lambda $), \'es k\"ul\"onb\"oz\H o
saj\'at\'ert\'ekekhez tartoz\'o
saj\'atf\"uggv\'enyek ortogon\'alisak, ($Df=\lambda f$, $Dg=\mu g$,
$\lambda \not=\mu $
$\Longrightarrow \lambda (f,g)=(Df,g)=-(f,Dg)=-\ol \mu (f,g)=\mu
(f,g)$, $(f,g)=0$).
 
Persze tudjuk, hogy a norm\'alt saj\'atf\"uggv\'enyek \"osszess\'ege a
trigonometrikus rendszer:
$f_j(x)=e^{\lambda _jx}=e^{2\pi ijx}$ ($j=0,\pm 1,\hdots$). Ezek
teljesek is, --- ez is k\"ovetkezne \'altal\'anos t\'etelekb\H ol, ---
\'es \'\i gy $K(x,y)$ kifejthet\H o a 2-v\'altoz\'os f\"uggv\'enyek
ter\'eben
teljes $\{f_i(x)\ol{f_j(y)}\}_{i,j=-\infty }^\infty $ rendszer
szerint:
$$
K(x,y)=\sum _{i,j=-\infty }^\infty  c_{ij}f_i(x)\ol{f_j(y)}.
$$
 
Ha az $Lf=\int _{-\infty }^\infty  k(x-y)f(y)\,dy$ integr\'al
oper\'atornak a
$\lambda _j$-hez tartoz\'o saj\'at\-\'er\-t\'e\-ke $\Lambda _j$,
amir\H ol tudjuk, hogy
$$
\Lambda _j=\int _{-\infty }^\infty  k(y)e^{-\lambda _jy}\,dy=
\int _{-\infty }^\infty  k(y)e^{-2\pi ijy}\,dy=\kappa (2\pi j),
$$
akkor az ortogonalit\'as alapj\'an
$$
\align \Lambda _jf_j(x) &amp;=Lf_j=\int _0^1 K(x,y)f_j(y)\,dy=
\int _0^1 \sum _{i,l=-\infty }^\infty
c_{il}f_i(x)\ol{f_l(y)}f_j(y)\,dy\\
&amp;=\sum _{i,l=-\infty }^\infty  c_{il}f_{i}(x)\int _0^1
\ol{f_l(y)}f_j(y)\,dy=
\sum _{i=-\infty }^\infty  c_{ij}f_i(x).
\endalign
$$
 
Az ortogon\'alis sorfejt\'es egy\'ertelm\H us\'ege alapj\'an pedig
$$
c_{ij}=
\cases
0, &amp;\text{ha $i\not =j$,}\\
\Lambda _j, &amp;\text{ha $i=j$.}
\endcases
$$
 
Innen
$$
K(x,y)=\sum _{j=-\infty }^\infty  \Lambda _jf_j(x)\ol{f_j(y)},
$$
\'es oper\'atorunk nyoma,
$$
\int _0^1 K(x,x)\,dx=\sum _{j=-\infty }^\infty  \Lambda _j.
$$
 
$K(x,x)$ val\'oj\'aban konstans,
$$
\sum _{n=-\infty }^\infty  k(x-(x+n))=\sum _{n=-\infty }^\infty
k(n),
$$
m\'\i g a jobboldalon $\Lambda _j=\kappa (2\pi j)$, \'es eljutottunk
a Poisson formul\'ahoz.
 
\medskip \centerline{* * *} \medskip
 
\'Altal\'anos t\'erben, ahol adott izometrikus transzform\'aci\'ok,
(eltol\'asok) egy csoportja, ezek szerint a k\"ovetkez\H o a
feladat.
 
\subhead Program \endsubhead
Meghat\'arozni az invari\'ans integr\'al \'es differenci\'al
oper\'atorokat, (a konvol\'uci\'o \'es a deriv\'al\'as
\'altal\'anos\'\i t\'as\'at).
Megkeresni a differenci\'al oper\'atorok sa\-j\'at\-\'er\-t\'ekeit
\'es saj\'atf\"uggv\'enyeit, (az exponenci\'alis f\"uggv\'eny
\'altal\'anos\'\i t\'as\'at). Kisz\'am\'\i tani az integr\'al
oper\'atorok ezekhez
tartoz\'o sa\-j\'at\-\'er\-t\'e\-keit, (a Fourier integr\'al
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'\i \-t\'asa).
Az oper\'atorokat az eltol\'asok egy diszkr\'et csoportj\'ara n\'ezve
invari\'ans f\"ugg\-v\'e\-nyek\-re korl\'atozni, (a periodikus
f\"uggv\'enyek \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'\i \-t\'asa). Megkeresni ebben
a f\"ugg\-v\'eny\-t\'er\-ben a
differenci\'al oper\'atorok saj\'atf\"uggv\'enyeit, (a trigonometrikus
rendszer \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'\i \-t\'a\-s\'at). Kisz\'amolni az
integr\'al oper\'atorok
magf\"uggv\'eny\'et, (a periodus intervallumon val\'o integr\'al
alak
megfelel\H oj\'et), \'es azt a saj\'atf\"uggv\'enyek szerint
kifejteni.
 
Ezt a programot egy speci\'alis esetben v\'egrehajtjuk.
 
\head Anal\'\i zis a hiperbolikus s\'\i kon \endhead
 
\subhead A f\'els\'\i kmodell \endsubhead
Els\H osorban a $H=\{z\: \Im z&gt;0\}$ fels\H o f\'els\'\i kot haszn\'aljuk
alap\-t\'er\-k\'ent. Pontjait rendszerint $z=x+iy$-nal \'es
$w=u+iv$-vel jel\"olj\"uk.
 
A metrika $|dz|/y$, m\'assz\'oval a $\gamma $ g\"orbe (nem--euklideszi)
hossza
$$
\ell(\gamma )=\int _\gamma \frac{|dz|}y,
$$
k\'et pont t\'avols\'aga
$$
d(z,w)=\min_\gamma \ell(\gamma )=
\log\frac{1+\frac{|z-w|}{|z-\ol w|}}
{1-\frac{|z-w|}{|z-\ol w|}},
$$
ahol a minimum a $z$-t \'es $w$-t \"osszek\"ot\H o g\"orb\'ekre
veend\H o.
Az explicit k\'epletb\H ol csak arra lesz sz\"uks\'eg\"unk, hogy az
$$
\frac1{4(|\frac{z-\ol w}{z-w}|^2-1)}=\frac{|z-w|^2}{yv}
$$
f\"uggv\'enye. A geodetikusok, (a minimumot ad\'o g\"orb\'ek) a
val\'os
tengelyt mer\H olegesen metsz\H o k\"or\"ok \'es egyenesek; ezeket
fogjuk (nem-euklideszi) egyeneseknek nevezni.
 
A metrik\'ab\'ol levezethet\H o ter\"uletelem, $d\sigma =\,dx\,dy/y^2$,
m\'assz\'oval az $A$ halmaz m\'ert\'eke
$$
\sigma (A)=\int _A\,d\sigma =\int \int _A\,\frac{dx\,dy}{y^2}.
$$
 
$H$-nak \"onmag\'ara val\'o konform lek\'epez\'esei,
$$Tz=\frac{az+b}{cz+d},$$
ahol $a$, $b$, $c$, $d$ val\'osak, $ad-bc&gt;0$, --- feltehet\H o,
hogy $ad-bc=1$, --- ter\"unk merev mozgat\'asai, ugyanis, ha
$w=Tz$,
$$
\ell(T\gamma )=\int _{T\gamma }\frac{|dw|}v=
\int _\gamma \frac{|T^\prime(z)||dz|}v=\int _\gamma
\frac{|dz|}y=\ell(\gamma ),
$$
mert, mint ut\'anasz\'amolhat\'o,
$$
|T^\prime(z)|=\frac vy.
$$
Emiatt a t\'avols\'agot is megtartj\'ak,
$$d(Tz,Tw)=d(z,w)$$
\'es a m\'ert\'eket is,
$$
\sigma (TA)=\int \int _{TA}\,\frac{du\,dv}{v^2}=
\int \int _A\frac{|T^\prime(z)|^2\,dx\,dy}{v^2}=
\int \int _A\,\frac{dx\,dy}{y^2}=\sigma (A).
$$
 
\subhead A k\"ormodell \endsubhead
N\'eha k\'enyelmesebb lesz az egys\'egk\"orben mint alapt\'erben
dolgozni. Az \'att\'er\'es $H$-nak az egys\'egk\"orre val\'o konform
lek\'epez\'es\'evel, p\'eld\'aul
$$
U(z)=\frac{z-i}{z+i}
$$
-vel val\'os\'\i that\'o meg, ami a $H$-beli metrik\'at \'es
m\'ert\'eket
--- konstans szorz\'ot\'ol eltekintve --- $|dz|/(1-|z|^2)$-be,
illetve $dx\,dy/(1-|z|^2)^2$-be viszi. A nem--euklideszi
egyenesek az egys\'egk\"orvonalat mer\H olegesen metsz\H o k\"or\"ok
\'es egyenesek.
 
A merev mozgat\'asok
$$
Tz=\varrho \frac{z-\xi }{1-z\ol \xi }, \qquad
\text{($|\varrho |=1$, $|\xi |&lt;1$)}
$$
alak\'uak, a metrika \'es m\'ert\'ek invarianci\'aj\'at biztos\'\i
t\'o azonoss\'ag, ahol $w=Tz$,
$$
|T^\prime(z)|=\frac{1-|w|^2}{1-|z|^2}.
$$
 
\subhead Invari\'ans oper\'atorok \endsubhead
A $H$-n \'ertelmezett $f(z)$ f\"uggv\'enyeken hat\'o oper\'atorokat a
val\'os esetnek megfelel\H oen \'\i gy jel\"olj\"uk:
$$
Lf=\opw L(f(w),z).
$$
A sz\'amegyenes eltol\'asaihoz hasonl\'oan a $T$ mozgat\'as is
meghat\'aroz egy ilyen ope\-r\'a\-tort:
$$
Tf\overset {def}\to=f(Tz).
$$
 
Az $L$ oper\'atort invari\'ansnak mondjuk, ha
$$
\opw L(f(Tw),z)=\opw L(f(w),Tz),
$$
azaz, ha $LT=TL$ minden $T$-re.
 
Mikor lesz az $Lf=\int _H k(z,w)f(w)\,d\sigma _w$ integr\'al
oper\'ator
invari\'ans? ($d\sigma _w$ azt jelzi, hogy $w$ az integr\'aci\'os
v\'altoz\'o.)
$$
\align
LTf &amp;=\int _H k(z,w)f(Tw)\,d\sigma _w,\\
TLf &amp;=\int _H k(Tz,w)f(w)\,d\sigma _w=\int _H k(Tz,Tw)f(Tw)\,d\sigma_w
\endalign
$$
(a m\'ert\'ektart\'as alapj\'an), azaz akkor, ha $k(z,w)=k(Tz,Tw)$
minden $T$ mozgat\'asra.
 
A mozgat\'asok csoportja k\'etszeresen tranzit\'\i v abban az
\'ertelemben, hogy --- a sz\"uks\'eges felt\'etel, ---
$d(z_1,w_1)=d(z_2,w_2)$ eset\'en l\'etezik $T$, amelyre
$z_2=Tz_1$, $w_2=Tw_1$. $k(z,w)$ teh\'at csak $d(z,w)$-t\H ol
f\"ugg,
$$
k(z,w)=k\left(\frac{|z-w|^2}{yv}\right).
$$
 
Mikor lesz az
$$
Lf=\sum _{0\leq \nu +\mu \leq m} a_{\nu \mu }(z)\frac{\partial^{\nu
+\mu }f}{\partial x^\nu \,\partial y^\mu }
$$
differenci\'al oper\'ator invari\'ans?
 
{\it Megjegyz\'es oper\'ator megad\'as\'ar\'ol.} Invari\'ans
oper\'atort r\"ogz\'\i tett $z_0 \in H$-ban ki\'ert\'ekel\H o
$$L^0f=\opw L^0f(w)\overset {def}\to=\opw L(f(w),z_0)$$
funkcion\'al egy\'ertelm\H uen meghat\'arozza a teljes oper\'atort,
hiszen
$$
Lf=\opw L(f(w),z)=\opw L(f(T_zw),z_0)=\opw L^0f(T_zw),
$$
ahol $T_z$ tetsz\H oleges olyan mozgat\'as, amelyre
$T_zz_0=z$.
 
A funkcion\'al nem tetsz\H oleges. Ha ugyanis $Tz_0=z_0$, ($T$
$z_0$ k\"or\"uli nem-euklideszi forgat\'as), akkor
$Lf(Tw)=TLf(w)$ alapj\'an
$$
L^0f(Tw)=\opw L(f(Tw),z_0)=\opw L(f(w),Tz_0)=
\opw L(f(w),z_0)=L^0f(w):
$$
a funkcion\'al ``forg\'asszimmetrikus".
 
Ford\'\i tva, ha $L^0$ forg\'asszimmetrikus funkcion\'al, akkor
a fenti k\'eplet, $$Lf=\opw L^0f(T_zw)$$ invari\'ans oper\'atort
defini\'al.(Bizony\'\i t\'as. Tetsz\H oleges $T$-re legyen $z_1=Tz$.
$$
\align
TLf &amp;=\opw L^0f(T_{z_1}w)\overset {def}\to=
\opw L^0g(w),\\
LTf &amp;=\opw L^0f(TT_zw)=\opw L^0g(T_{z_1}^{-1}TT_zw)
\overset {def}\to=\\
&amp;=\opw L^0g(T_1w)=\opw L^0g(w),
\endalign
$$
ugyanis
$$
T_1z_0=T^{-1}_{z_1}TT_zz_0=T^{-1}_{z_1}Tz=z_0.)
$$
 
\medskip \centerline{* * *} \medskip
 
El\'eg teh\'at megn\'ezni, hogy az
$$
L^0f=\sum _{0\leq \nu +\mu \leq m} a_{\nu \mu }\l\frac{\partial^{\nu
+\mu }f(z)} {\partial x^\nu \,\partial y^\mu } \res _{z=z_0}
$$
$(a_{\nu \mu }=a_{\nu \mu }(z_0))$ differenci\'al funkcion\'al mikor
forg\'asszimmetrikus. Most k\'e\-nyel\-me\-sebb a k\"ormodell, $z_0=0$
\'es $L^0f$-et $z$ \'es $\ol z$ szerinti deriv\'altakkal fel\'\i rni:
$$
L^0f=\sum _{0\leq \nu +\mu =m} b_{\nu \mu }\l\frac{\partial^{\nu +\mu
}f(z)} {\partial z^\nu \,\partial\ol z^\mu } \res _{z=0}.
$$
 
A forg\'asszimmetria azt jelenti, hogy
$$
\opz L^0f(\varrho z)=
\sum _{0\leq \nu +\mu \leq m} b_{\nu \mu }\varrho ^\nu \ol \varrho
^\mu\l \frac{\partial^{\nu +\mu }f(z)}
{\partial z^\nu \,\partial\ol z^\mu } \res _{z=0}
$$
f\"uggetlen $|\varrho |=1$-t\H ol. Ez akkor van \'\i gy, ha
$$
\sum _{\nu -\mu =h} b_{\nu \mu }\l\frac{\partial^{\nu +\mu }f(z)}
{\partial z^\nu \,\partial\ol z^\mu } \res _{z=0}=0
$$
minden $h\not =0$-ra \'es $f$-re, azaz, ha $b_{\nu \mu }=0$
($\nu \not=\mu $). Teh\'at
$$
L^0f=\sum _{0\leq \nu \leq m/2} b_{\nu }\lp\frac{\partial^2}
{\partial z\,\partial\ol z} \l\rp^\nu  f(z) \res _{z=0}=
\sum _{0\leq \nu \leq m/2} c_\nu\l  \Delta ^\nu  f(z) \res _{z=0},
$$
mert
$$
4\frac{\partial^2}{\partial z\,\partial\ol z}=
\frac{\partial^2}{\partial x^2}+
\frac{\partial^2}{\partial y^2}=\Delta ,
$$
a Laplace oper\'ator.
 
Ha p\'eld\'aul a funkcion\'al $L^0f=\Delta  f(z)\l \res _{z=0}$,
akkor a megfelel\H o oper\'ator
$$
Lf=\opw L^0 f(T_zw)=\Delta \l f(T_zw) \res _{w=0}.
$$
 
\'Altal\'aban, ha $g(w)$ regul\'aris f\"uggv\'eny, akkor a Laplace
oper\'ator l\'ancszab\'alya
$$
\Delta f(g(w))=\Delta f\l \res _{g(w)}|g^\prime(w)|^2.
$$
(J\'o gyakorlat a $z$ \'es $\ol z$ szerinti deriv\'altakkal val\'o
sz\'amol\'asra!)
 
A fejezet elej\'en eml\'\i tett k\'eplet szerint
$$
|T_z^\prime(0)|=\frac{1-|z|^2}{1-|0|^2},
$$
ahonnan, a l\'ancszab\'alyt $g(w)=T_zw$-re alkalmazva,
$$
Lf=\Delta f(T_zw)\l \res _{w=0}=
(1-|z|^2)^2\Delta f(z)\overset{def}\to=D_1,
$$
a k\"ormodell hiperbolikus Laplace oper\'atora.
 
Az \"osszes $\l\Delta ^\nu f(z) \res _{z=0}$ ($0\leq \nu \leq m/2$)
funkcion\'alnak
megfelel\H o invari\'ans ope\-r\'a\-tort line\'arisan kombin\'alva
megkapjuk az \"osszes invari\'ans differenci\'al oper\'atort,
amelyek teh\'at $[m/2]+1$--dimenzi\'os teret alkotnak. B\'ar az
el\H obbiek nem azonosak a $D_1^\nu $-kkel, a
$\sum\limits _{0\leq \nu \leq m/2} c_\nu D_1^\nu $ alak\'uak
\"osszess\'ege is, mint k\"onny\H u
l\'atni, $[m/2]+1$--dimenzi\'os, \'es \'\i gy kimer\'\i tik az
\"osszes invari\'ans differenci\'al oper\'atort.\footnote{Ezt a
``bizony\'\i t\'ast" Ruzsa Imr\'enek k\"osz\"on\"om.}
 
Ha a $w=U(z)\: \{z\: \Im z&gt;0\}\rightarrow \{w\: |w|&lt;1\}$ seg\'\i
ts\'eg\'evel \'att\'er\"unk a f\'el\-s\'\i k\-mo\-dell\-re, akkor
$D_1$-nek
$$
UD_1U^{-1}f=\opw D_1(f(U^{-1}(w)),U(z))=
(1-|w|^2)^2\Delta f(U^{-1}(w))
$$
felel meg, ami $|U^\prime(z)|=(1-|w|^2)/(2y)$ \'es a
l\'ancszab\'aly alapj\'an $=4y^2\Delta f(z)$.
$$
D\overset{def}\to=y^2\Delta f,
$$
a f\'els\'\i kmodell hiperbolikus Laplace oper\'atora teh\'at
gener\'alja az invari\'ans differenci\'al oper\'atorok gy\H ur\H
uj\'et.
 
\medskip \centerline{* * *} \medskip
 
B\'ar a mozgat\'asok csoportja most nem kommutat\'\i v, \'es az
identit\'ast\'ol eltekintve egyik sem invari\'ans oper\'ator,
a k\"ovetkez\H o \'all\'\i t\'ashoz a val\'os esetben is csak a
kommutativit\'as egy enyhe k\"ovetkezm\'enye, bizonyos szimmetria
kellett.
 
\proclaim {\'All\'\i t\'as} \it B\'armely k\'et invari\'ans oper\'ator
felcser\'elhet\H o, $L_1L_2=L_2L_1$. \endproclaim
 
\demo {Bizony\'\i t\'as} Ugyan\'ugy, mint a val\'os esetben,
invari\'ans
oper\'atorok szorzata is invari\'ans, tov\'abb\'a $k_{1,2}(z,w)$
magf\"uggv\'eny\H u integr\'al oper\'atorok szorzata, $L_1L_2$ is
integr\'al oper\'ator
$$
k(z,w)=\int _Hk_1(z,s)k_2(s,w)\,d\sigma _s
$$
magf\"uggv\'ennyel.
 
R\"ogz\'\i tett $z$,$w$ p\'ar eset\'en legyen $T$ a $[z,w]$
(nem--euklideszi) szakasz felez\H o pont\-j\'a\-ra val\'o
k\"oz\'eppontos
t\"ukr\"oz\'es, amelyre teh\'at $Tz=w$, $Tw=z$. A magf\"uggv\'eny
invarianci\'aja alapj\'an
$$
k(z,w)=k(Tz,Tw)=k(w,z):
$$
a magf\"uggv\'eny szimmetrikus. Ezt mind
$k(z,w)$-re, mind $k_{1,2}(z,w)$-re fel\'\i rva,
$$
k(z,w)=\int _Hk_1(w,s)k_2(s,z)\,d\sigma _s=
\int _Hk_1(s,w)k_2(z,s)\,d\sigma _s,
$$
ahol a jobboldal $L_2L_1$ magf\"uggv\'enye, \'es ezzel
bebizony\'\i tottuk az \'all\'\i t\'ast integr\'al oper\'atorokra.
 
Legyen $k(u)&gt;0$ ($|u|&lt;1$), $k(u)=0$ ($|u|\geq 1$), \'es
$$
k_\delta (z,w)=c(\delta )k(\frac{d(z,w)}\delta ),
$$
ahol a $c(\delta )$ konstans \'ugy van meghat\'arozva, hogy
$$
\int _Hk_\delta (z,w)\,d\sigma _w=1
$$
legyen. Ekkor
$$
L_\delta f=\int _Hk_\delta (z,w)f(w)\,d\sigma _w
$$
invari\'ans integr\'al oper\'ator, amelyre $L_\delta f\rightarrow f$
($\delta \rightarrow 0$).
 
Ha $L$ tetsz\H oleges invari\'ans oper\'ator, akkor
$$
LL_\delta f=\int _H\opz L(k_\delta (z,w),z)f(w)\,d\sigma _w
$$
m\'ar integr\'al oper\'ator lesz, \'es mint k\'et invari\'ans
oper\'ator szorzata, invari\'ans is. Tudjuk teh\'at, hogy
$$
(L_1L_\delta )(L_2L_\delta )=(L_2L_\delta )(L_1L_\delta ),
$$
\'es $\delta \rightarrow 0$ adja az \'all\'\i t\'ast.
\enddemo
 
{\it Kieg\'esz\'\i t\'es.} P\'eld\'aul a val\'os esetben a bizony\'\i
t\'asban
defini\'alt $T$ t\"ukr\"oz\'es --- b\'ar l\'etezik --- nem eleme a
mozgat\'as csoportunknak.
 
(Az $x\rightarrow -x$ t\"ukr\"oz\'es mint\'aj\'ara) az \'altal\'anos
esetben ez\'ert Selberg felteszi, hogy tal\'alhat\'o olyan izometrikus
transzform\'aci\'o, $\mu $ --- esetleg nem eleme a csoportunknak
--- \'es b\'armely $z, w$ pontp\'arhoz olyan $T$ csoportbeli
mozgat\'as, amelyre $Tz=\mu w$, $Tw=\mu z$; az ilyen teret nevezi
gyeng\'en szimmetrikusnak. (Az \'altalunk haszn\'alt k\'etszeres
tranzitivit\'as fenn\'all\'asa eset\'en persze $\mu $ v\'alaszthat\'o
az identit\'asnak.) $k(z,w)$ szimmetri\'aja helyett
$$
k(z,w)=k(Tz,Tw)=k(\mu w,\mu z)
$$
\'all\'\i that\'o, \'es a bizony\'\i t\'as megfelel\H o l\'ep\'ese ---
v\'altozatlan v\'egeredm\'ennyel --- \'\i gy m\'odosul:
$$
\align
k(z,w) &amp;=\int _Hk_1(\mu w,s)k_2(s,\mu z)\,d\sigma _s\\
&amp;=\int _Hk_1(\mu w,\mu s)k_2(\mu s,\mu z)\,d\sigma _s=
\int _Hk_1(s,w)k_2(z,s)\,d\sigma _s,
\endalign
$$
ahol k\"ozben felhaszn\'altuk, hogy $\mu $ m\'ert\'ektart\'o.
 
A $k(z,w)$ mag\'u $L$ integr\'al oper\'ator adjung\'altj\'anak,
$L^*$-nak $\ol{k(w,z)}$ a mag\-f\"ugg\-v\'e\-nye, a $k(z,w)=k(\mu
w,\mu z)$
egyenl\H os\'eg, mint k\"onnyen l\'athat\'o, \'\i gy azt jelenti, hogy
$\mu ^{-1}L^*\mu =\ol L$, \'es az integr\'al oper\'atorok
felcser\'elhet\H os\'eg\'enek bizony\'\i t\'as\'aban tulajdonk\'eppen
ez
t\"ort\'ent:\footnote {Ezt a magyar\'azatot \'es a bizony\'\i t\'as
ezen egyszer\H us\'\i tett v\'altozat\'at Lempert L\'aszl\'onak
k\"o\-sz\"o\-n\"om.}
$$
\ol L_1\ol L_2=\mu ^{-1}L_1^*\mu \mu ^{-1}L_2^*\mu =
\mu ^{-1}L_1^*L_2^*\mu =\mu ^{-1}(L_2L_1)^*\mu =\ol {L_2L}_1.
$$
 
\subhead Invari\'ans oper\'atorok saj\'atf\"uggv\'enyei \endsubhead
$y^s=(\Im z)^s$ b\'armely r\"ogz\'\i tett komplex $s$ mellett
saj\'atf\"uggv\'enye $D=y^2\Delta $-nek, hiszen
$$
\opz D(y^s,z)=y^2\Delta y^s=y^2s(s-1)y^{s-2}=\lambda y^s
$$
$\lambda =s(s-1)$ saj\'at\'ert\'ekkel.
 
Ha $L$ tetsz\H oleges invari\'ans oper\'ator, akkor a
felcser\'elhet\H os\'eg miatt
$$
DLy^s=LDy^s=\lambda Ly^s,
$$
m\'assz\'oval $Ly^s$ is saj\'atf\"uggv\'enye $D$-nek ugyanazon
$\lambda $
saj\'at\'ert\'ekkel. Ebb\H ol azonban most nem k\"ovetkezik, hogy
$y^s$ $L$-nek is saj\'atf\"uggv\'enye, mert $y^s$ m\'eg konstans
szorz\'ot\'ol eltekintve sem az egyetlen $\lambda $
saj\'at\'ert\'ek\H
u saj\'atf\"uggv\'eny: p\'eld\'aul minden $Ty^s=(\Im Tz)^s$ ilyen.
Mi menthet\H o az egy\'ertelm\H us\'egb\H ol?
 
Legyen $z_0\in H$ r\"ogz\'\i tett, $T(\vartheta )$ a $z_0$ k\"or\"uli,
$\vartheta $ sz\"oggel val\'o forgat\'as \'es
$$f_0(z)=Mf=\frac1{2\pi }\int _0^{2\pi }f(T(\vartheta )z)\,d\vartheta
$$ a ``k\"oz\'ep\'ert\'ek oper\'ator". Minden $\tau $-val
$$
\align
T(\tau )f_0(z) &amp;=\frac1{2\pi }\int _0^{2\pi }f(T(\vartheta
)T(\tau )z)\,d\vartheta =
\frac1{2\pi }\int _0^{2\pi }f(T(\vartheta +\tau )z)\,d\vartheta\\
 &amp;=\frac1{2\pi }\int _0^{2\pi }f(T(\vartheta )z)\,d\vartheta
=f_0(z):
\endalign
$$
$f_0(z)$ ``forg\'asszimmetrikus".
 
$D$ minden $T(\vartheta )$-val \'es \'\i gy $M$-mel is
felcser\'elhet\H o, \'es ha $Df=\lambda f$, akkor
$$
Df_0=DMf=MDf=\lambda Mf=\lambda f_0
$$
forg\'asszimmetrikus $f_0$-lal.
 
\proclaim {\'All\'\i t\'as} \it Minden komplex $\lambda $-hoz
egy\'ertelm\H uen
l\'etezik forg\'asszimmetrikus $g(z)$, a\-mely\-re $Dg=\lambda g$
\'es $g(z_0)=1$. \endproclaim
 
\demo {Bizony\'\i t\'as} A l\'etez\'est
$$
g(z)=\frac{f_0(z)}{f_0(z_0)}
$$
bizony\'\i tja az $f(z)=y^s$ v\'alaszt\'assal, ha $\lambda =s(s-1)$,
azaz $s=1/2+\sqrt {1/4+\lambda }$, felhaszn\'alva, hogy
$f_0(z_0)=f(z_0)\not=0$.
 
Az egy\'ertelm\H us\'eget k\'enyelmesebb a k\"ormodellben bizony\'\i
tani $z_0=0$-val, amikoris $g(z)$ forg\'asszimmetri\'aja,
$g(\varrho z)=g(z)$ ($|\varrho |=1$) azt jelenti, hogy $g(z)=g(r)$,
ahol $z=re^{i\vartheta }$.
 
Pol\'ar koordin\'at\'akkal fel\'\i rva
$$
\Delta g=\frac{\partial^2g}{\partial r^2}+
\frac 1r\frac{\partial g}{\partial r}+
\frac 1{r^2}\frac{\partial^2g}{\partial \vartheta ^2}=
\frac{\partial^2g}{\partial r^2}+
\frac1r\frac{\partial g}{\partial r},
$$
teh\'at a saj\'at\'ert\'ek egyenlet:
$$
D_1g=(1-r^2)^2(g^{\prime\prime}(r)+
\frac1rg^\prime(r))=\lambda g(r).
$$
Ez \'\i gy is \'\i rhat\'o:
$$
(g^\prime(r)r)^\prime=\frac{\lambda g(r)r}{(1-r^2)^2}.
$$
 
A differenci\'alegyenlet homog\'en line\'aris, ez\'ert azt kell
megmutatnunk, hogy $g(0)\allowmathbreak=0$ eset\'en $g(r)=0$ ($0\leq
r&lt;1$).
 
Legyen
$$
M(r)=\max_{0\leq u\leq r}(g^\prime(u)u)^\prime.
$$
Ekkor $0\leq u\leq r$ eset\'en
$$
|g^\prime(u)u|\leq M(r)u, \quad |g(u)|\leq M(r)r,
$$
az utols\'o l\'ep\'esben $g(0)=0$-at is felhaszn\'alva. Az
egyenlet szerint pedig
$$
M(r)\leq \frac{|\lambda |M(r)r^2}{(1-r^2)^2},
$$
ami el\'eg kis $r$-re csak \'ugy lehet, ha $M(r)=0$. Ekkor
$g^\prime(r)r=c$, $g(r)=c\log r$ $0$ k\"ornyezet\'eben, de a $c$
konstans csak $0$ lehet, k\"ul\"onben $g(r)$ folytonos sem volna
a $0$-ban.
 
$0$-t\'ol k\"ul\"onb\"oz\H o $r_0$ pontban a kezdeti \'ert\'ekek,
$g(r_0)$, $g^\prime(r_0)$ egy\'ertelm\H uen meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak a
megold\'ast, --- ennek a t\'etelnek a bizony\'\i t\'as\'at
ism\'etelt\"uk el
az el\H obb az $r_0=0$ esetben $g^\prime(r)$ egy\"utthat\'oj\'anak,
$1/r$-nek a $0$-beli szingularit\'asa miatt, --- ez\'ert
val\'oj\'aban $g(r)\equiv 0$ \'es k\'esz.
\enddemo
 
Hogyan f\"ugg $g(z)=g(z,z_0)$ $z_0$-t\'ol? Legyen $Tz_0=z_1$ \'es
$g(z,z_1)=g_1(z)$.
 
Mivel $g_1(z)$ $z_1$ k\"or\"ul forg\'asszimmetrikus, $g_1(Tz)$
$z_0$ k\"or\"ul lesz az:
$$
g_1(TT(\tau )z)=g_1(TT(\tau )T^{-1}Tz)=g_1(Tz),
$$
hiszen $TT(\tau )T^{-1}$-nek $z_1$ fixpontja. Mivel $g_1(z)$
$\lambda $ saj\'at\'ert\'ek\H u saj\'atf\"uggv\'eny, $g_1(Tz)$ is az.
V\'eg\"ul pedig
$g_1(Tz_0)=g_1(z_1)=g(z_1,z_1)=1$. E h\'arom tulajdons\'ag
egy\'ertelm\H uen jellemzi $g(z)$-t, teh\'at $g_1(Tz)=g(z)$,
r\'eszletesen
$$
g(Tz,z_1)=g(Tz,Tz_0)=g(z,z_0),
$$
vagyis $g(z,z_0)$ \'ugy viselkedik a k\'et v\'altoz\'oj\'aban, mint
invari\'ans integr\'al oper\'ator magf\"uggv\'enye.
 
L\'attuk kor\'abban, hogy akkor tetsz\H oleges invari\'ans
oper\'atorral, $L$-lel $h(z)=h(z,z_0)=\opz L(g(z,z_0),z)$
--- mint $L$ \'es a $g(z,z_0)$ magf\"uggv\'ennyel defini\'alt
oper\'ator szorzat\'anak magf\"uggv\'enye --- szint\'en \'ugy
viselkedik. Speci\'alisan $h(z)$ for\-g\'as\-szim\-met\-ri\-kus
$z_0$
k\"or\"ul. Azt is tudjuk, hogy $h(z)$, miut\'an $g(z)$ is, $\lambda $
saj\'at\'ert\'ek\H u saj\'at\-f\"ugg\-v\'e\-nye $D$-nek. Az
egy\'ertelm\H us\'eg miatt
ekkor $h=Lg=\Lambda g$. Itt $g(z_0)=1$ alapj\'an
$\Lambda =h(z_0)=h(z_0,z_0)$, ami \'\i gy $z_0$-t\'ol sem, csakis
$L$-t\H ol \'es $\lambda $-t\'ol f\"ugg.
 
Legyen v\'eg\"ul $f$ tetsz\H oleges saj\'atf\"uggv\'eny, $Df=\lambda
f$. $f_0=Mf$-re, ami m\'ar forg\'asszimmetrikus is $z_0$ k\"or\"ul,
szint\'en $Df_0=\lambda f_0$, teh\'at $f_0$ $g$ konstans szorosa,
\'es \'\i gy $f_0$ is saj\'atf\"uggv\'enye $L$-nek ugyanazzal a
saj\'at\'ert\'ekkel:
$$
Lf_0=\Lambda f_0.
$$
Itt $f_0=Mf$ \'es $Lf_0=LMf=MLf$, teh\'at
$$
MLf=\Lambda Mf,
$$
\'es $z=z_0$-ban ki\'ert\'ekelve,
$$
\opz L(f(z),z_0)=\Lambda f(z_0).
$$
Ez minden $z_0$-ra fenn\'all, $\Lambda $ nem f\"ugg $z_0$-t\'ol,
teh\'at $Lf=\Lambda f$, \'es ezzel bebizony\'\i tottuk a fejezet
f\H o eredm\'eny\'et:
 
\proclaim {T\'etel}\it Ha $f$ saj\'atf\"uggv\'enye $D$-nek,
$Df=\lambda f$, \'es $L$ invari\'ans oper\'ator, akkor $f$ $L$-nek
is
saj\'atf\"uggv\'enye, $Lf=\Lambda f$, ahol $\Lambda $ csak $L$-t\H ol
\'es $\lambda $-t\'ol f\"ugg. \endproclaim
 
Nagyon hasznos, hogy $\Lambda $ $f$-t\H ol k\"ul\"onben nem f\"ugg:
$f$ ismerete n\'elk\"ul ki\-sz\'a\-m\'\i t\-hat\-juk $L$-re
vonatkoz\'o
saj\'at\'ert\'ek\'et, ha ismerj\"uk $D$-nek ak\'ar csak egy,
$\lambda $ saj\'at\'ert\'ek\H u saj\'atf\"uggv\'eny\'et.
 
\subhead Integr\'al oper\'ator saj\'at\'ert\'eke \endsubhead
Eset\"unkben ilyet ismer\"unk: $y^s$, ahol $\lambda =s(s-1)$, \'es
sz\'am\'\i tsuk ki, mi lesz a $\Lambda $, ha
$$
Lf=\int _Hk(z,w)f(w)\,d\sigma _w, \quad
k(z,w)=k\left(\frac{|z-w|^2}{yv}\right).
$$
 
Tudjuk, hogy
$$
\int _Hk(z,w)v^s\,d\sigma _w=\Lambda y^s,
$$
ahol $z=i$-t helyettes\'\i tve,
$$
\align
\Lambda  &amp;=\int _Hk(i,w)v^s\,d\sigma _w=
\int _0^\infty \int _{-\infty }^\infty k\left(\frac{|i-w|^2}{1\cdot
v}\right)v^s\frac{du\,dv}{v^2}\\
&amp;=\int _0^\infty \int _{-\infty }^\infty
k\left(\frac{u^2+(v-1)^2}v\right)v^{s-2}\,du\,dv.
\endalign
$$
Legyen
$$
t\overset{def}\to= \frac{(v-1)^2}v=v+\frac1v-2.
$$
Ekkor
$$
\int _{-\infty }^\infty k\left(\frac{u^2+(v-1)^2}v\right)\,du=
\int _{-\infty }^\infty k\left(\frac{u^2}v+t\right)\,du=
$$
$$
=2\int _0^\infty k(\tau +t)\frac{\sqrt v}{2\sqrt \tau }\,d\tau =
\sqrt v\int _0^\infty \frac{k(\tau +t)}{\sqrt \tau }\,d\tau
\overset{def}\to=vg(\log v).
$$
$$
\Lambda =\int _0^\infty vg(\log v)v^{s-2}\,dv=\int _{-\infty
}^\infty g(y)e^{sy}\,dy \overset{def}\to=G(s),
$$
a Fourier integr\'al \'altal\'anos\'\i t\'asa, az \'ugynevezett
Selberg
transzform\'aci\'o; itt $\lambda =s(s-1)$, $s=1/2\pm \sqrt
{\frac14+\lambda }$.
 
A k\'et $s$ \'ert\'eknek ugyanazt az eredm\'enyt kell adnia,
$G(s)=G(1-s)$. Ez abb\'ol is l\'atszik, hogy $t$ $v$-ben \'es
$1/v$-ben szimmetrikus l\'ev\'en, a defin\'\i ci\'o szerint
$e^yg(y)=g(-y)$. Ezen szimmetri\'akt\'ol eltekintve a $k$, $g$,
$G$ f\"uggv\'enyek b\'armelyike el\H o\'\i rhat\'o, \'es a m\'asik
kett\H o bel\H ole egyszer\H u formul\'aval kisz\'am\'\i that\'o.
 
{\it Kieg\'esz\'\i t\'es.} A Selberg \'altal tekintett \'altal\'anos
analitikus sokas\'agokon hasonl\'o a helyzet azzal a
k\"ul\"onbs\'eggel, hogy az invari\'ans differenci\'al oper\'atorok
gy\H ur\H uj\'et nem egy, de v\'eges sok elem gener\'alja, \'es a
saj\'atf\"uggv\'enyek szerep\'et ezen v\'eges sok gener\'ator
k\"oz\"os
saj\'atf\"uggv\'enyei j\'atsz\'ak. Ismerve egy ilyen
saj\'atf\"uggv\'eny
saj\'at\-\'er\-t\'e\-keit egyszerre mindegyik gener\'atorra n\'ezve,
meghat\'arozhat\'ok az in\-teg\-r\'al ope\-r\'a\-to\-rok\-ra
vonatkoz\'o saj\'at\'ert\'ekek is.
 
\head Diszkr\'et r\'eszcsoportok \endhead
 
A mozgat\'asok $\Gamma $ r\'eszcsoportj\'at diszkr\'etnek mondjuk,
ha
r\"ogz\'\i tett $z\in H$-ra a $\{\gamma z\:\gamma \in \Gamma \}$ halmaz
nem torl\'odik $H$-ban.
 
K\'et pont, $z_1$ \'es $z_2$ ekvivalens ($\text{mod }\Gamma $), ha
van
$\gamma \in \Gamma $, amelyre $\gamma z_1=z_2$. Az ekvivalencia
oszt\'alyok halmaz\'at $R$-rel jel\"olj\"uk.
 
A $\D\subset H$ halmaz fundament\'alis tartom\'any, ha
minden ekvivalencia oszt\'alyb\'ol pontosan egy elemet
tartalmaz. M\'assz\'oval, ha a $\gamma \D$ ($\gamma \in \Gamma $)
halmazok $H$ diszjunkt part\'\i ci\'oj\'at alkotj\'ak.
 
A val\'os tengelyen $\Gamma =\{T_n\}$ eset\'eben $\D=[0,1)$
v\'alaszthat\'o fundament\'alis tartom\'anynak. A k\'et ekvivalens
v\'egpontot \"osszeragasztva $R$ topol\'ogiailag k\"orvonal lesz. Az
euklideszi s\'\i kon tipikus diszkr\'et csoport
$\Gamma =\{z+n\omega _1+m\omega _2\: n, m \text{ eg\'esz}\}$
($\Im \omega _1/\omega _2\not=0$). $\D$-nek v\'alaszthat\'o a
megfelel\H o r\'acsparallelogramma. A szemk\"ozti ekvivalens
oldalakat \"osszeragasztva $R$ topol\'ogiailag t\'orusz lesz.
 
E p\'eld\'ak mint\'aj\'ara tegy\"uk fel, hogy $\Gamma $
fixpontmentes, (azaz
az identit\'as ki\-v\'e\-te\-l\'e\-vel elemeinek nincs fixpontja), ---
amit hallgat\'olagosan m\'ar a fundament\'alis tartom\'any szigor\'u
\'ertelmez\'es\'evel is feltett\"unk, --- \'es hogy van ``kompakt",
(azaz nem--euk\-li\-de\-szi \'ertelemben korl\'atos) fundament\'alis
tartom\'anya.
 
$\D$ ekkor v\'alaszthat\'o (nem-euklideszi) soksz\"ognek,
amelynek oldalai p\'aronk\'ent ekvivalensek. Az ekvivalenseket
\"osszeragasztva $R$ topol\'ogiailag g\"omb lesz v\'eges sok f\"ullel.
Ezek a kompakt, ``z\'art" Riemann fel\"uletek. A f\"ulek sz\'ama, a
Riemann fel\"ulet neme, amit $q$-val fogunk jel\"olni, itt
$&gt;1$: $q=1$, azaz t\'orusz csak az euklideszi s\'\i kon fordulhat
el\H o.
 
$R$ \"or\"okli $H$ metrik\'aj\'at \'es m\'ert\'ek\'et; $R$
m\'ert\'eke,
$\sigma (\D)=4\pi (q-1)$ v\'eges. A $H\rightarrow R$ lek\'epez\'es,
amely $z\in H$-hoz az ekvivalencia oszt\'aly\'at rendeli hozz\'a,
lok\'alisan k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H u, $R$ \'ugynevezett
univerz\'alis fed\'ese.
 
Az $f(z)$ ($z\in H$) f\"uggv\'enyt automorfnak mondjuk $\Gamma $-ra
n\'ezve, ha $f(\gamma z)=f(z)$ ($\gamma \in \Gamma $).
M\'assz\'oval $f$ ekvivalens
pontokban egyforma \'ert\'eket vesz fel, azaz az $R$ Riemann
fel\"uleten \'ertelmezett f\"uggv\'eny.
 
Mostant\'ol kezdve $H$-n \'ertelmezett f\"uggv\'enyen mindig
automorfat \'ert\"unk. Invari\'ans oper\'ator automorf
f\"uggv\'enyb\H ol
automorfat csin\'al: $\gamma Lf=L\gamma f=Lf$, teh\'at $L$ val\'oban
$R$-en hat. Ezen f\"uggv\'enyek k\"oz\"ul is az
$\frak L_2(R,d\sigma )=\frak L_2(\D,d\sigma )$-beliekre szor\'\i
tkozunk. A
skal\'ar szorzatot, \"onadjung\'alts\'agot is ebben a t\'erben
\'ertj\"uk.
 
\subhead $D$ spektr\'al felbont\'asa \endsubhead
Ebben az \'ertelemben $D$ \"onadjung\'alt, s\H ot negat\'\i v
ope\-r\'a\-tor.
 
A Green-formul\'at ugyanis a soksz\"ognek k\'epzelt $\D$-re
fel\'\i rva,
$$
\align
(Df,g) &amp;=\int _{\D}Df\cdot \ol g\,d\sigma _z
=\int \int _\D y^2\Delta f\cdot \ol g\,\frac{dx\,dy}{y^2}\\
&amp;=\int _{\partial\D}\frac{\partial f}{\partial n}\ol g\,ds
-\int \int _\D\left(\frac{\partial f}{\partial x}
\frac{\partial \ol g}{\partial x}+
\frac{\partial f}{\partial y}
\frac{\partial \ol g}{\partial y}\right)\,dx\,dy,
\endalign
$$
ahol $\partial /\partial n$ a k\"uls\H o norm\'alis szerinti
deriv\'altat jelenti, $ds$ az \'\i vhossz elem.
 
A vonalintegr\'al elt\H unik: ha $\ell$ \'es $\gamma \ell$ ($\gamma
\in \Gamma $) k\'et
ekvivalens oldala $\D$-nek, akkor $f(\gamma z)=f(z)$ alapj\'an
$$
\frac{\partial f}{\partial n}(\gamma z)|\gamma ^\prime(z)|=
-\frac{\partial f}{\partial n}(z),
$$
$$
\int _{\gamma \ell}\frac{\partial f}{\partial n}(z)\ol{g(z)}\,ds=
\int _\ell\frac{\partial f}{\partial n}(\gamma z)
\ol{g(\gamma z)}|\gamma ^\prime(z)|\,ds=
-\int _\ell\frac{\partial f}{\partial n}(z)\ol{g(z)}\,ds,
$$
\'es az oldalakon vett integr\'alok p\'aronk\'ent kiejtik egym\'ast.
 
Innen l\'atjuk, hogy val\'oban $(Df,g)=\ol{(Dg,f)}$, \'es hogy ez
$\leq 0$ $g=f$ eset\'en.
 
Mi a $D$ oper\'ator k\'eptere? $g$ erre akkor \'es csak akkor
mer\H oleges, ha minden $f$-re
$$
(Df,g)=(f,Dg)=0,
$$
teh\'at, ha $Dg\equiv 0$, azaz $g$ harmonikus, de akkor a maximum
elv szerint konstans. A k\'ept\'er lez\'ar\'asa teh\'at az
$$
\frak L_2^0\overset {def}\to=
\{f\in \frak L_2\: \int _\D f\,d\sigma =0\}
$$
f\"uggv\'enyt\'er.
 
(Mivel nem tudjuk el\H ore, hogy $g$ s\'\i ma f\"uggv\'eny, amelyre
$D$ alkalmazhat\'o, pre\-c\'\i \-zebben --- egy kor\'abbi
jel\"ol\'essel ---
azt kellett volna mondani, hogy
$$
(DL_\delta f,g)=(L_\delta Df,g)=(Df,\ol L_\delta g)=(f,D\ol
L_\delta
g)=0
$$
$$
\Rightarrow D\ol L_\delta g\equiv 0\Rightarrow \ol
L_\delta g \text{ harmonikus} \Rightarrow L_\delta g\text{ konstans}
\overset{\delta \rightarrow 0}\to\Rightarrow g\text{ konstans}.)
$$
 
Ha $D$-t is $\frak L_2^0$-ra korl\'atozzuk, akkor
$Df\equiv 0\Rightarrow f\equiv 0$, $D$ teh\'at ``invert\'alhat\'o"
e t\'eren. Az inverz
$$
\int _\D G(z,w)f(w)\,d\sigma _w
$$
alak\'u integr\'al oper\'ator.
 
Ha p\'eld\'aul $G(z,w)$ mindk\'et v\'altoz\'oj\'aban automorf,
$w$-ben
$z$ \'es egy r\"ogz\'\i tett $z_0$ (\'es a vel\"uk ekvivalens
pontok) kiv\'etel\'evel harmonikus, \'es
$$
G(z,w) =
\cases
-\log|w-z|+O(1) &amp; \text{($w\rightarrow z$),}\\
\log|w-z_0|+O(1) &amp; \text{($w\rightarrow z_0$),}
\endcases
$$
akkor ezt az integr\'al oper\'atort $Df$-re alkalmazva
$f(z)-f(z_0)$-at adja vissza, mint az a Green formula
seg\'\i ts\'eg\'evel egyszer\H uen bizony\'\i that\'o $\D$-b\H ol $z$
\'es $z_0$
k\"or\"ul kis k\"or\"oket kihagyva, amikoris a norm\'alis szerinti
deriv\'altnak a kis k\"or\"ok\"on vett vonalintegr\'alja fogja
hat\'ar\'ert\'ekben $f(z)$-t, illetve $f(z_0)$-at reproduk\'alni.
Az integr\'al oper\'ator teh\'at konstanst\'ol eltekintve val\'oban
invert\'alja $D$-t. Ilyen $G(z,w)$ f\"uggv\'eny a harmonikus
f\"uggv\'enyek klasszikus kostrukci\'os m\'odszereivel nyerhet\H o.
 
Az integr\'al oper\'ator szint\'en negat\'\i v, \'es mivel $G$-nek
csak logaritmikus szingularit\'asai vannak, Hilbert--Schmidt
t\'\i pus\'u. Az ilyen oper\'atorok \'altal\'anos elm\'elete szerint
a norm\'alt saj\'atf\"uggv\'enyek, $\{f_j(z)\}_{j=1}^\infty $ teljes
ortonorm\'alt rendszert alkotnak $\frak L_2^0$-ban; a
saj\'at\'ert\'ekek $0$-hoz tartanak \'es minden $0$-t\'ol
k\"ul\"onb\"oz\H o
saj\'at\'ert\'ek saj\'ataltere v\'eges dimenzi\'os. Oper\'atorunk
invert\'alhat\'o, teh\'at a $0$ nem lehet saj\'at\-\'e\-rt\'ek.
Visszat\'erve
$D$-re \"osszefoglalhatjuk e klasszikus spektr\'alelm\'elet
eredm\'eny\'et:
 
$Df_j=\lambda _jf_j$, $0&gt;\lambda _j\rightarrow -\infty $, \'es
hozz\'av\'eve $\lambda _0=0$-t \'es
$f_0\equiv (\sigma (\D)^{-1/2}$-t, $\{f_j(z)\}_{j=0}^\infty $ teljes
ortonorm\'alt rendszert alkot $\frak L_2(\D,d\sigma )$-ban.
 
\subhead Integr\'al oper\'ator spektr\'al felbont\'asa \endsubhead
Integr\'al oper\'atort automorf f\"uggv\'enyre alkalmazva
$$
\align
Lf &amp;=\int _H k(z,w)f(w)d\sigma _w=
\sum _{\gamma \in \Gamma }\int _{\gamma \D}k(z,w)f(w)d\sigma _w\\
&amp;=\sum _{\gamma \in \Gamma }\int _\D k(z,\gamma w)f(\gamma w)d\sigma
_w=\int _\D K(z,w)f(w)d\sigma _w,
\endalign
$$
ahol
$$
K(z,w)=\sum _{\gamma \in \Gamma }k(z,\gamma w).
$$
 
$K(z,w)$ mint mindk\'et v\'altoz\'oj\'aban automorf f\"uggv\'eny
kifejthet\H o az ilyen f\"ugg\-v\'enyek ter\'eben teljes
$\{f_i(z)\ol f_j(z)\}_{i,j=0}^\infty $ ortonorm\'alt rendszer
szerint. Ugyan\'ugy, ahogy a val\'os esetben, a kifejt\'es \'\i gy
n\'ez ki:
$$
K(z,w)=\sum _{j=0}^\infty \Lambda _j f_j(z)\ol{f_j(w)},
$$
ahol $Lf_j=\Lambda _j f_j$.
 
Az oper\'ator nyoma
$$
\int _\D K(z,z)d\sigma _z=
\sum _{j=0}^\infty \Lambda _j \int _\D |f_j(z)|^2\,d\sigma _z=\sum
_{j=0}^\infty \Lambda _j,
$$
azaz
$$
\int _\D \sum _{\gamma \in \Gamma } k(z,\gamma z)d\sigma =
\sum _{\gamma \in \Gamma }\int _\D k(z,\gamma z)d\sigma =\sum
_{j=0}^\infty \Lambda _j.
$$
 
\head A nyomformula \endhead
 
$k(z,\gamma z)$ megfelel\H oje a val\'os esetben konstans volt,
ez\'ert a baloldalt tov\'abb ala\-k\'\i t\-juk.
 
\'Altal\'anosabban, mikor lesz $k(w,\gamma _0w)=k(z,\gamma z)$?
Ha $w=Tz$, akkor
$$
k(w,\gamma _0w)=k(Tz,\gamma _0Tz)=k(z,T^{-1}\gamma _0Tz),
$$
teh\'at akkor biztosan, ha $\gamma =T^{-1}\gamma _0T$, vagyis, ha
$\gamma $ \'es
$\gamma _0$ egym\'asnak $T$ \'altali konjug\'altjai. (Ha $\gamma
=\gamma _0$, akkor
ez azt jelenti, hogy $\gamma _0$ \'es $T$ felcser\'elhet\H oek, mint
a val\'os esetben mindig, ami most azonban ritkas\'ag.)
 
\"Osszegezz\"unk ez\'ert k\"ul\"on--k\"ul\"on az egyes konjug\'alt
oszt\'alyokra!  $\gamma _0$ konjug\'alt oszt\'aly\'at jel\"olje
$\{\gamma _0\}$.
A konjug\'al\'o elem legyen $g$: $\gamma =g^{-1}\gamma _0g$. (Itt
$g\in \Gamma $
lesz, b\'ar az el\H obbi megjegyz\'eshez ez nem sz\"uks\'eges.) Ha
k\'et ilyen megegyezik,
$$
g_1^{-1}\gamma _0g_1=g^{-1}\gamma _0g, \quad gg_1^{-1}\gamma _0=
\gamma _0gg_1^{-1},
$$
az azt jelenti, hogy $gg_1^{-1}\in [\gamma _0]\overset{def}\to=$ a
$\gamma _0$-lal felcser\'elhet\H o elemek r\'eszcsoportja $\Gamma
$-ban. Teh\'at \'altal\'aban
$$
\sum _{\gamma \in \{\gamma _0\}}=\sum _{g\in \Gamma /[\gamma
_0]},
$$
 ahol $\gamma =g^{-1}\gamma _0g$, \'es a m\'asodik \"osszegben $g$
a $[\gamma _0]$
szerinti jobboldali (baloldali?) mell\'ekoszt\'alyok egy--egy
reprezent\'ans\'an fut v\'egig.
 
$\gamma \in \{\gamma _0\}$ eset\'en
$$
\int _\D k(z,\gamma z)\,d\sigma =\int _\D k(z,g^{-1}\gamma
_0gz)d\sigma =
\int _\D k(gz,\gamma _0gz)\,d\sigma =\int _{g\D}k(z,\gamma _0
z)\,d\sigma ,
$$
 $$
\sum _{\gamma \in \{\gamma _0\}}\int _\D k(z,\gamma z)\,d\sigma
= \sum _{g\in \Gamma /[\gamma _0]}\int _{g\D}k(z,\gamma _0z)\,d\sigma
= \int _{\D(\gamma _0)}k(z,\gamma _0z)\,d\sigma ,
$$
ahol
$$
\D(\gamma _0)=\bigcup_{g\in \Gamma /[\gamma _0]}g\D.
$$
Ha az itt szerepl\H o $g$ reprezent\'ans elemeket balr\'ol
v\'egigszorozzuk $[\gamma _0]$ elemeivel, akkor megkapjuk $\Gamma $
elemeit, mindegyiket pontosan egyszer. M\'assz\'oval a
$\gamma \D(\gamma _0)$ ($\gamma \in [\gamma _0]$) halmazok $H$
diszjunkt
part\'\i ci\'oj\'at alkotj\'ak, teh\'at $\D(\gamma _0)$ a
$[\gamma _0]$ diszkr\'et r\'eszcsoport fundament\'alis tartom\'anya.
 
\"Osszefoglalva,
$$
\sum _{\gamma \in \{\gamma _0\}}\int _\D k(z,\gamma z)\,d\sigma =
\int _{\D(\gamma _0)}k(z,\gamma _0z)\,d\sigma .
$$
Kor\'abbr\'ol tudjuk, hogy $k(z,\gamma _0z)$ automorf $[\gamma _0]$-ra
n\'ezve, \'\i gy igaz\'ab\'ol mindegy, hogy $[\gamma _0]$ melyik
fundament\'alis tartom\'any\'at v\'alasztjuk $\D(\gamma _0)$-k\'ent.
 
\medskip \centerline{* * *} \medskip
 
{\it A mozgat\'asokr\'ol.} Az identit\'ast\'ol k\"ul\"onb\"oz\H o
mozgat\'asnak
egy vagy k\'et fixpontja van. Ha csak egy van, akkor az val\'os
vagy a $\infty $; ezek a parabolikus transzform\'aci\'ok. Ha van
fixpont $H$-ban, akkor a konjug\'altja a m\'asik fixpont; ezek
az elliptikus transzform\'aci\'ok. A t\"obbinek k\'et
k\"ul\"onb\"oz\H
o, val\'os vagy $\infty $ fixpontja van; ezek a hiperbolikus
transzform\'aci\'ok.
 
A fixpontmentess\'eggel kiz\'artuk, hogy $\Gamma $-nak elliptikus
eleme lehessen. Parabolikus sem lehet, ha $\D$ kompakt. Ha
ugyanis $T$, esetleg $\not\in \Gamma $, a $\infty $-t \'atviszi
$\gamma $
egyetlen fixpontj\'aba, akkor $T^{-1}\gamma T$-nek a $\infty $ az
egyetlen fixpontja, ami csak (euklideszi) eltol\'as lehet.
Nagy val\'os r\'esz\H u pontot ilyen eltol\'as k\"ozeli pontba visz,
\'es
visszat\'erve $\gamma $-ra, majd a megfelel\H o pontot $\Gamma $-beli
mozgat\'assal $\D$-be vive l\'atjuk, hogy l\'etezik parabolikus
$\gamma _n\in \Gamma $ \'es $z_n\rightarrow z_0\in\D$ \'ugy, hogy
$d(z_n,\gamma _nz_n)\rightarrow 0$.
Ekkor $0&lt;d(z_0,\gamma _nz_0)\rightarrow 0$, ami ellentmond $\Gamma $
diszkr\'ets\'eg\'enek.
 
$\gamma \in \Gamma $ teh\'at csak hiperbolikus lehet. Ha $T$, esetleg
$\not\in \Gamma $, $0$-t \'es $\infty $-t \'atviszi $\gamma $ k\'et
fixpontj\'aba,
akkor $T^{-1}\gamma T$-nek $0$ \'es $\infty $ lesz a k\'et fixpontja,
\'es
\'\i gy $\varrho z$ ($\varrho &gt;0$) alak\'u, ahol --- $0$-t \'es
$\infty $-t esetleg
felcser\'elve --- feltehetj\"uk, hogy $\varrho &gt;1$. $\varrho $-t
$\gamma $, s\H ot
$\{\gamma \}$ egy\'ertelm\H uen meghat\'arozza, \'es $\gamma $ \'es
$\{\gamma \}$
norm\'aj\'anak nevezz\"uk: $\varrho =N(\gamma )=N(\{\gamma \})$.
 
K\'et mozgat\'as akkor \'es csak akkor cser\'elhet\H o fel, ha
fixpontjaik megegyeznek.  A $\gamma _0$-lal felcser\'elhet\H o
mozgat\'asokhoz teh\'at ugyanaz a $T$ v\'alaszthat\'o \'es l\'atjuk,
hogy ezek csoportja a $\varrho &gt;0$ sz\'amok multiplikat\'\i v
csoportj\'aval izomorf. $[\gamma _0]$ mint a $\gamma _0$-lal
felcser\'elhet\H o
mozgat\'asok diszkr\'et r\'eszcsoportja ez\'ert v\'egtelen ciklikus.
Legyen $\gamma ^*$ ennek egy gener\'atora:
$[\gamma _0]=\{\gamma ^{*l}\}_{l=-\infty }^\infty $. $\gamma ^*$-ot
primit\'\i v elemnek,
$\{\gamma ^*\}$-ot primit\'\i v konjug\'alt oszt\'alynak h\'\i vjuk.
Ha
el\H o\'\i rjuk, hogy $\gamma _0=\gamma ^{*m}$ $m&gt;0$-val, akkor
$\gamma _0$
egy\'ertelm\H uen meghat\'arozza $\gamma ^*$-ot. Legyen $\varrho
^*=N(\gamma ^*)$.
 
\medskip \centerline{* * *} \medskip
 
$$
\align
\int _{\D(\gamma _0)}k(z,\gamma _0z)\,d\sigma  &amp;=
\int _{\D(\gamma _0)}k(T^{-1}z,T^{-1}\gamma _0z)\,d\sigma =
\int _{T^{-1}\D(\gamma _0)}k(z,T^{-1}\gamma _0Tz)\,d\sigma \\
&amp;=\int _{T^{-1}\D(\gamma _0)}k(z,\varrho _0z)\,d\sigma ,
\endalign
$$
ahol $\varrho _0=N(\gamma _0)$.
 
$T^{-1}\D(\gamma _0)$ a $T^{-1}[\gamma _0]T=\{\varrho
^{*l}z\}_{l=-\infty }^\infty $
csoport fundament\'alis tartom\'anya, \'espedig tetsz\H oleges
fundament\'alis tartom\'anya lehet; v\'alaszthatjuk a
$\{z=re^{i\vartheta }\:1\leq r&lt;\varrho ^*,\,0&lt;\vartheta &lt;\pi \}$
f\'elgy\H ur\H unek. Azt is tudjuk
el\H ore, hogy $k(z,\varrho _0z)$ a $\varrho _0z$
transzform\'aci\'oval
felcser\'elhet\H o $\varrho z$ transzform\'aci\'okra n\'ezve
invari\'ans, vagyis minden sug\'ar ment\'en konstans.
 
$$
\int _{T^{-1}\D(\gamma _0)}k(z,\varrho _0z)\,d\sigma =
\int _0^\pi \int _1^{\varrho ^*}k(z,\varrho
_0z)\frac{r\,dr\,d\vartheta }{r^2\sin^2\vartheta }
=\int _0^\pi k(e^{i\vartheta },\varrho _0e^{i\vartheta })\frac{\log
\varrho ^*}{\sin^2 \vartheta }\,d\vartheta =
$$
$$
=2\int _0^{\pi /2}k\lp\frac{|e^{i\vartheta }-\varrho
_0e^{i\vartheta }|^2}
{\sin\vartheta \cdot \varrho _0\sin\vartheta }\rp\frac{\log\varrho
^*}{\sin^2\vartheta }\,d\vartheta
=2\log\varrho ^*\int _0^{\pi /2}k\lp\frac{(\varrho _0-1)^2}{\varrho
_0\sin^2\vartheta }\rp \frac{d\vartheta }{\sin^2\vartheta }.
$$
Ez a $t=(\varrho _0-1)^2/\varrho _0=\varrho _0+1/\varrho _0-2$ \'es
$\tau =t/\sin^2\vartheta $, azaz
$\vartheta =\arcsin\sqrt {t/\tau }$ helyettes\'\i t\'essel
$$
=2\log\varrho ^*\int _t^\infty k(\tau )\frac \tau t\frac1{\sqrt
{1-\frac t\tau }} \frac{\sqrt t}{2\tau ^{3/2}}\,d\tau
 =\frac{\log\varrho ^*}{\sqrt t}\int _t^\infty \frac{k(\tau
)}{\sqrt {\tau -t}}\,d\tau =
$$
$$
=\frac{\log\varrho ^*}{\sqrt t}\int _0^\infty \frac{k(\tau
+t)}{\sqrt \tau }\,d\tau =
\frac{\log\varrho ^*}{\sqrt t}\sqrt {\varrho _0}g(\log\varrho _0)=
\frac{\log\varrho ^*}{\frac{\varrho _0-1}{\sqrt {\varrho _0}}}\sqrt
{\varrho _0}g(\log\varrho _0)=
$$
$$
=\frac{\log\varrho ^*}{1-\frac1{\varrho _0}}g(\log\varrho _0)
$$
$g$ kor\'abbi defin\'\i ci\'oja szerint.
 
\"Osszefoglalva,
$$
\sum _{\gamma \in \{\gamma _0\}}\int _\D k(z,\gamma z)\,d\sigma =
 \frac{\log N(\gamma ^*)}{1-\frac1{N(\gamma _0)}}g(\log N(\gamma
_0)).
$$
(Ez lett v\'eg\"ul az eredetileg semmitmond\'o \"osszegb\H
ol!)
 
Az identit\'ast tartalmaz\'o egyelem\H u konjug\'alt oszt\'alyt
k\"ul\"on kell kezeln\"unk:
$$
\int _\D k(z,z)\,d\sigma =k(0)\sigma (\D)=
\frac{q-1}{\pi i}\int _{(\alpha )}(1-2s)\frac{\Gamma ^\prime}\Gamma
(s)G(s)\,ds
$$
$G$ kor\'abbi defin\'\i ci\'oja szerint hosszabb, de sz\'amunkra
kev\'esb\'e \'erdekes sz\'amol\'assal; itt $(\alpha )$ az $\alpha $
val\'os r\'esz\H u f\"ugg\H oleges egyenest jelenti, $\alpha &gt;0$.
 
A kor\'abbi nyomformul\'ank,
$$
\sum _{\gamma \in \Gamma }\int _\D k(z,\gamma z)d\sigma =\sum
_{j=0}^\infty \Lambda _j
$$
teh\'at \'\i gy alakul:
 
$$
\frac{q-1}{\pi i}\int _{(\alpha )}(1-2s)\frac{\Gamma ^\prime}\Gamma
(s)G(s)\,ds+
\sum _{\{\gamma _0\}}\frac{\log N(\{\gamma
^*\})}{1-\frac1{N(\{\gamma
_0\})}} g(\log N(\{\gamma _0\}))=\sum _{j=0}^\infty G(s_j).
$$
 
Itt
$$
G(s)=\int _{-\infty }^\infty g(y)e^{sy}\,dy,
$$
$$
s_j=\frac12+\sqrt {\frac14+\lambda _j},
$$
(csak az egyik n\'egyzetgy\"ok veend\H o),
ahol $\lambda _0=0$, $\lambda _j&lt;0$ ($j=1,\hdots$) $D$
saj\'at\'ert\'ekei multiplicit\'assal v\'eve,\newline
$\{\gamma _0\}$ az identit\'ast nem tartalmaz\'o konjug\'alt
oszt\'alyokon
fut v\'egig, $\{\gamma ^*\}$ a megfelel\H o primit\'\i v oszt\'aly,
($\gamma ^*$
defini\'alhat\'o p\'eld\'aul $\gamma _0$ legnagyobb kitev\H oj\H u,
$\Gamma $-beli gy\"okek\'ent,) $N(\,\,)$ a norma,\newline
$q$ a Riemann fel\"ulet neme.
 
Ez a h\'\i res Selberg--f\'ele nyomformula a legegyszer\H ubb
esetben.
 
{\it Kieg\'esz\'\i t\'es.} Csak k\'enyelmi szempontb\'ol z\'artuk ki
az
elliptikus transz\-for\-m\'a\-ci\-\'o\-kat. Ha $\D$ kompakts\'ag\'at
sem
k\"ovetelj\"uk meg, akkor $\sigma (\D)&lt;\infty $ eset\'en $\Gamma $
m\'eg viszonylag
egyszer\H u, v\'egesen gener\'alt, de m\'ar megjelennek parabolikus
elemek, $D$ spektruma pedig m\'ar nem tiszt\'an diszkr\'et,
folytonos r\'esze is van. A $\sigma (\D)=\infty $ esete l\'enyegesen
m\'as, (Patterson).
 
\head A Selberg--f\'ele $\zeta $--f\"uggv\'eny \endhead
 
A formula eml\'ekeztette Selberget a
$$
\zeta (s)=\sum _{n=1}^\infty \frac1{n^s}\;\;\;(\Re s&gt;1),
$$
a Riemann--f\'ele $\zeta $--f\"uggv\'eny elm\'elet\'eben ismert \'es
haszn\'alt k\'epletekre.
 
Az Euler--f\'ele szorzat--el\H o\'all\'\i t\'as,
$$
\zeta (s)=\prod _p\left(1+\frac1{p^s}+\frac1{p^{2s}}+\hdots\right)=
\prod _p\frac1{1-\frac1{p^s}}
$$
logaritmikus differenci\'al\'as\'aval
$$
-\frac{\zeta ^\prime}\zeta (s)=\sum _{n=1}^\infty \frac{\Lambda
(n)}{n^s},
$$
ahol $\Lambda (n)=\log p$, ha $n$ a $p$ pr\'\i m hatv\'anya \'es
$0$, ha $n$ nem pr\'\i mhatv\'any.
 
A $G(s)=\int _{-\infty }^\infty g(y)e^{sy}\,dy$ jel\"ol\'est
megtartva, a teljes
hasonl\'os\'ag \'erdek\'eben legyen itt is $e^yg(y)=g(-y)$,
$G(s)=G(1-s)$. Tegy\"uk fel, hogy $G(s)$ regul\'aris a
$-\epsilon \leq \Re s\leq 1+\epsilon $ s\'avban, \'es a $\infty
$-ben kell\H o rendben elt\H unik;
ez a val\'odi felt\'etele a nyomformula fenn\'all\'as\'anak is.
Egy "Weil--f\'ele explicit formula" erre az esetre \'\i gy n\'ez ki:
$$
\sum _{n=1}^\infty \Lambda (n)g(\log n)
=G(1)-\frac12{\sum _{\varrho }}^\prime G(\varrho )+
\frac1{4\pi i}\int _{(\alpha )}
\lp \frac{\Gamma ^\prime}\Gamma \lp \frac s2\rp -\log \pi \rp
G(s)\,ds,
$$
ahol a jobboldali \"osszegben $\varrho $ a $\zeta $--f\"uggv\'eny
$0&lt;\Re \varrho &lt;1$
s\'avba es\H o gy\"okein, vagyis $\zeta ^\prime /\zeta (s)$
p\'olusain, az
\'ugynevezett nem--trivi\'alis gy\"ok\"ok\"on fut v\'egig, \'es az
integr\'al felel meg a t\"obbi, a negat\'\i v p\'aros eg\'esz
helyeken lev\H o, \'ugynevezett trivi\'alis gy\"oknek; $0&lt;\alpha &lt;1$.
(Bizony\'\i t\'as: A baloldal
$$
=-\frac 1{2\pi i}\int _{(1+\epsilon )}\frac
{\zeta ^\prime}\zeta (s)G(s)\,ds.
$$
A Reziduum--t\'etellel \'attoljuk az integr\'aci\'os utat
$(-\epsilon )$-ra, majd $\zeta (s)$ \'es $G(s)$
f\"ugg\-v\'eny egyenlet\'et
felhaszn\'alva --- mindegyik az $s$ \'es $1-s$ helyen felvett
\'ert\'ekek k\"oz\"ott teremt kapcsolatot ---  vissza\'\i rjuk
$(1+\epsilon )$-on vett integr\'all\'a, amikor ism\'et megjelenik a
baloldalt kifejez\H o integr\'al.)
 
A nyomformul\'aban $n$-nek $N(\{\gamma _0\})$, $\Lambda (n)$-nek
$\log N(\{\gamma ^*\})/(1-1/N(\{\gamma _0\})$ felel meg. Vezess\"uk
be ez\'ert a
$$
\sum _{\{\gamma _0\}}\frac{\log N(\{\gamma
^*\})}{1-\frac1{N(\{\gamma _0\})}} \cdot \frac1{N(\{\gamma
_0\})^s}
$$
Dirichlet sort.
 
A primit\'\i v konjug\'alt oszt\'alyokra \"osszegezve ez \'\i gy \'\i
rhat\'o:
$$
\sum _{\{\gamma ^*\}}\sum _{l=1}^\infty
\frac{\log N(\{\gamma ^*\})}{1-\frac1{N(\{\gamma ^*\})^l}}
\cdot \frac1{N(\{\gamma ^*\})^{ls}}=\sum _{\{\gamma ^*\}}\sum
_{l=1}^\infty \sum _{\nu =0}^\infty
\frac{\log N(\{\gamma ^*\})}{N(\{\gamma ^*\})^{l\nu }N(\{\gamma
^*\})^{ls}}=
$$
$$=
-\lp\sum _{\{\gamma ^*\}}\sum _{l=1}^\infty \sum _{\nu
=0}^\infty
\frac1 {lN(\{\gamma ^*\})^{l\nu }N(\{\gamma ^*\})^{ls}}\rp^\prime=
\lp\sum _{\{\gamma ^*\}}\sum _{\nu =0}^\infty \log(1-
\frac1{N(\{\gamma ^*\})^{\nu +s}})\rp^\prime=$$
$$=\lp\log\prod _{\{\gamma ^*\}}\prod _{\nu =0}^\infty
(1-\frac1{N(\{\gamma ^*\})^{\nu +s}})\rp^\prime=
\frac{Z^\prime}Z(s),
$$
ahol
$$
Z(s)=\prod _{\{\gamma ^*\}}\prod _{\nu =0}^\infty
\left(1-\frac1{N(\{\gamma ^*\})^{\nu +s}}\right)
$$
a Selberg--f\'ele $\zeta $--f\"uggv\'eny.
 
A Selberg \'es a Weil formula anal\'ogi\'aj\'ab\'ol ``leolvashat\'o",
hogy $Z(s)$-nek az $s_j$-kben gy\"oke van; itt
$s_j=1/2+\sqrt {1/4+\lambda _j}$-nek mind a k\'et \'ert\'ek\'evel
sz\'amolunk,
amikoris a nyomformula jobboldal\'an lev\H o \"osszeg is $1/2$
szorz\'ot kap. A negat\'\i v el\H ojel hi\'anya miatt $s_0=1$ \'es
$0$ is
gy\"ok! Mivel $0&gt;\lambda _j\rightarrow -\infty $ ($0&lt;j\rightarrow
\infty $), v\'eges sok gy\"ok eshet az
$[1/2,1)$ intervallumba, --- ismeretes, hogy ilyenek nagy
sz\'amban el\H o is fordulnak nagy $q$ eset\'en, --- de a t\"obbire
igaz a ``Riemann sejt\'es", $\Re s_j=1/2$. Az $\int _{(\alpha
)}\hdots$
tag jelent m\'eg ``trivi\'alis gy\"ok\"oket" a negat\'\i v eg\'esz
helyeken.
 
$Z(s)$-et \'es $Z(1-s)$-et a $\zeta (s)$-\'ehez hasonl\'o
f\"uggv\'enyegyenlet kapcsolja \"ossze abb\'ol ad\'od\'oan, hogy
$\lambda =s(s-1)$ $s$-ben \'es $(1-s)$-ben szimmetrikus.
 
$Z(s)$ ezen tulajdons\'agai r\'ev\'en ugyanannyi inform\'aci\'ot
tartalmaz, mint maga a nyomformula.
 
\head Alkalmaz\'asok \endhead
 
\subhead Konjug\'alt oszt\'alyok ``Pr\'\i msz\'amt\'etele" \endsubhead
 
Ahogy a Riemann--f\'ele $\zeta $--f\"uggv\'enyb\H ol a pr\'\i
msz\'amt\'etel, \'ugy vezethet\H o le $Z(s)$-b\H ol a
$$
\sum _{N(\{\gamma ^*\})\leq x}1=
{\Cal Li }x+\sum _{-1/4&lt;\lambda _j&lt;0}{\Cal Li }x^{s_j}+O(x^{3/4})
$$
aszimptotika, ahol
$$
{\Cal Li }x=\int _2^x\frac{du}{\log u}.
$$
A $3/4$ kitev\H o --- a ma ismert legjobb(?)
--- a ``Riemann sejt\'es" teljes\"ul\'ese ellen\'ere sem $1/2$,
amin\'el persze jobb nem lehet. (Els\H ok\'ent Huber bizony\'\i totta
a
$Z(s)$-hez hasonl\'o f\"uggv\'eny seg\'\i ts\'eg\'evel szint\'en a
Laplace oper\'ator saj\'atf\"uggv\'enyei szerinti sorfejt\'essel, a
nyomformul\'at nem ismerve.)
 
\subhead Geometriai jelent\'es \endsubhead
 
A $\Gamma $ csoport mag\'an az $R$ Riemann fel\"uleten is
felismerhet\H o: izomorf a fundament\'alis csoportj\'aval, azaz
$r_0$ r\"ogz\'\i tett pontj\'ab\'ol indul\'o \'es oda visszat\'er\H o
z\'art
$\ell$ g\"orb\'ek homot\'opia oszt\'alyainak csoportj\'aval, amelyben
a g\"orb\'ek \"osszef\H uz\'ese a m\H uvelet. A megfeleltet\'es:
$r_0$-nak
az univerz\'alis fed\'es szerinti egyik \H osk\'ep\'et, $z_0$-at
ler\"ogz\'\i tve, folytassuk --- nyomjuk fel $H$--ra ---
$\ell$-et $z_0$-b\'ol kiindulva; ha ez $z_1$-ben v\'egz\H odik,
akkor rendelj\"uk $\ell$-hez azt a $\gamma \in \Gamma $ elemet,
amelyre $\gamma z_0=z_1$.
 
$\Gamma $ konjug\'alt oszt\'alyainak a szabad homot\'opia oszt\'alyok
felelnek meg: K\'et z\'art g\"orbe akkor homot\'op ebben az
\'ertelemben, ha az egyik a m\'asikba deform\'alhat\'o minden
pontj\'at szabadon mozgatva; a megfeleltet\'es $\ell$ \'es $\gamma $
oszt\'alyai k\"oz\"ott ugyanaz mint az el\H obb, $\ell$-nek
tetsz\H oleges $z_0$ pontj\'at kezd\H opontk\'ent kijel\"olve.
 
Minden szabad homot\'opia oszt\'alyt m\'erhet\"unk legr\"ovidebb
g\"orb\'ej\'enek hossz\'aval. Ha $\{\gamma _0\}$ a megfelel\H o
konjug\'alt oszt\'aly, akkor ez a hossz
$$\min_{\gamma \in\{\gamma _0\}}\min_{z\in H}d(z,\gamma z).$$
A bels\H o minimum val\'oj\'aban f\"uggetlen $\gamma \in\{\gamma
_0\}$-t\'ol, s\H ot
$\gamma _0$-at tetsz\H oleges, nem felt\'etlen\"ul $\Gamma $-beli $T$
mozgat\'assal konjug\'alva,
$$
d(z,T^{-1}\gamma _0Tz)=d(Tz,\gamma _0Tz),
$$
ahonnan
$$
\min_{z\in H}d(z,T^{-1}\gamma _0Tz)=\min_{z\in H}d(z,\gamma _0z).
$$
E konjug\'altk\'ent a $\varrho _0z$ transzform\'aci\'ot v\'alasztva,
ahol $\varrho _0$ $\gamma _0$ norm\'aja, a minimum
$$
=\min_{z\in H}d(z,\varrho _0z)=\int _1^{\varrho _0}\frac{dy}y=\log
\varrho _0= \log N(\{\gamma _0\}),
$$
mint k\"onny\H u ellen\H orizni. A minimumot ad\'o g\"orbe $H$-n az
$[i,\varrho _0i]$ szakasz, egy geodetikus vonal. $R$-en ennek z\'art
geodetikus felel meg, minden szabad homot\'opia oszt\'alyban
pontosan egy. ``Pr\'\i msz\'amt\'etel\"unk" m\'assz\'oval a z\'art
geodetikusok hosz-szainak eloszl\'as\'at \'\i rja le. Primit\'\i v
konjug\'alt oszt\'alynak egyszer, nem primit\'\i vnek t\"obbsz\"or
k\"or\"ulj\'art z\'art geodetikus felel meg.
 
\subhead Hiperbolikus k\"orprobl\'ema \endsubhead
 
Ugyan\'\i gy m\'erhetj\"uk a k\"oz\"ons\'eges homot\'opia
oszt\'alyokat is a
benn\"uk lev\H o g\"orb\'ek minim\'alis hossz\'aval. Ha a le\'\i rt
megfeleltet\'es a homot\'opia oszt\'alyhoz $\gamma $-t rendeli
hozz\'a, akkor ez a minim\'alis hossz $d(z_0,\gamma z_0)$.
 
Mindj\'art \'altal\'anosabban vizsg\'alhatjuk $d(z,\gamma w)$
eloszl\'as\'at.
Az euklideszi eset mint\'aj\'ara a $\gamma w$ ($\gamma \in \Gamma $)
pontok nevezhet\H ok hiperbolikus r\'acspontoknak, \'es
$$
\underset {d(z,\gamma w)&lt;r}\to{\sum _{\gamma \in \Gamma }}1
$$
 e r\'acspontok sz\'ama a $z$ k\"oz\'eppont\'u, $r$ sugar\'u k\"orben.
 
Ha $k(z,w)$ a $\{z,w\:\,d(z,w)&lt;r\}$ halmaz indik\'ator
f\"uggv\'enye, akkor ez a sz\'am nem m\'as, mint
$$
K(z,w)=\sum _{\gamma \in \Gamma }k(z,w).
$$
Kor\'abbi sorfejt\'es\"unk szerint
$$
K(z,w)=\sum _{j=0}^\infty \Lambda _jf_j(z)\ol{f_j(w)}.
$$
Ennek kezel\'es\'ehez $\lambda _j$-n \'es $\Lambda _j$-n k\'\i v\"ul a
saj\'atf\"uggv\'enyekr\H ol is sz\"uks\'eg van
in\-for\-m\'a\-ci\-\'ora.
 
$j=0$ a f\H otag, az $r$ sugar\'u k\"or ter\"ulete osztva a
fundament\'alis tartom\'any ter\"ulet\'evel, mint v\'arhat\'o.
$-1/4&lt;\lambda _j&lt;0$ ad tov\'abbi, hatv\'anyrendben kisebb, $z$-t\H
ol \'es
$w$-t\H ol f\"ugg\H o egy\"utthat\'oj\'u tagokat; a marad\'ekra
ismert
legjobb(?) becsl\'es itt is a f\H otag $3/4$-ik hatv\'anya. (Huber
eredm\'enye.)
 
M\'\i g az euklideszi k\"orprobl\'em\'aban elemi geometriai
megfontol\'as m\'ar j\'o aszimptotik\'at ad, amennyiben a hibatagot
a k\"or ker\"ulet\'evel becs\"uli, itt az haszn\'alhatatlan, mert
nem--euklideszi nagy k\"or ter\"ulete \'es ker\"ulete egyforma
nagys\'agrend\H u.
 
\subhead Saj\'at\'ert\'ekek eloszl\'asa \endsubhead
 
A nyomformul\'at visszafel\'e olvasva, a benne szerepl\H o
f\"uggv\'enyek alkalmas v\'a\-lasz\-t\'a\-s\'a\-val,
--- amikoris \'eppen
ford\'\i tva, a baloldal egyetlen tagja, a $\gamma =$identit\'asnak
megfelel\H o j\'atszik csak szerepet, --- a $\lambda _j$
saj\'at\'ert\'ekek eloszl\'as\'ara lehet k\"ovetkeztetni.
 
Az aszimptotika, Weyl t\'etele klasszikus eredm\'eny s\'\i kbeli
tartom\'anyokra, de Riemann fel\"uletekre is \'altal\'anos\'\i
tott\'ak. A
Selberg formula seg\'\i ts\'eg\'evel bizony\'\i that\'o, hogy
$$
\sum _{-\lambda _j&lt;x}1=\frac{\sigma (\D)}{4\pi }x+O(\sqrt x).
$$
M\'eg az sincs kiz\'arva, hogy a hibatag $O(x^\epsilon )$.
 
A saj\'at\'ert\'ek spektrum, a $\{\lambda _j\}_{j=0}^\infty $
sorozat
egy\'ertelm\H uen meghat\'arozza a z\'art geodetikusok hossz,
illetve a konjug\'alt oszt\'alyok norma spektru\-m\'at, az
$$\{N(\{\gamma \})\}_{\{\gamma \}}$$ sorozatot \'es viszont. De van
k\'et nem
konform \'es nem antikonform ekvivalens z\'art Riemann fel\"ulet,
--- csoportelm\'eletileg kifejezve k\'et, a (tengelyes
t\"ukr\"oz\'est is tartalmaz\'o) teljes izometria csoportra n\'ezve
nem konjug\'alt diszkr\'et csoport, --- amelyek spektrumai
megegyeznek!
 
\medskip \centerline{IRODALOM}
 
Az els\H o cikk a t\'em\'aban:
 
Selberg, A.: Harmonic analysis and discontinuous groups in
weakly symmetric Riemannian spaces with applications to
Dirichlet series, Journal of the Indian Mathematical Society
20 (1956), 47--87.
 
\medskip
Ismertet\H o cikk r\'eszletes irodalommal:
 
Elstrodt, J.: Die Selbergsche Spurformel f\"ur kompakte
Riemannsche Fl\"achen, Jahresbericht der Deutschen
Mathematischen Vereinigung 83 (1981), 45--77.
\enddocument
 
</pre></body></html>