\magnification=\magstep1 \input amstex \documentstyle{amsppt} \NoRunningHeads \def\opy{\underset y\to} \def\opx{\underset x\to} \def\opz{\underset z\to} \def\opw{\underset w\to} \def\D{\frak D} \def\ul{\underline} \def\ol{\overline} \def\l{\left .} \def\res{\right |} \def\lp{\left (} \def\rp{\right )} \topmatter \title A Selberg--f\'ele nyomformula \endtitle \author Hal\'asz G\'abor \endauthor \endtopmatter\document \noindent a Poisson \"osszegz\'esi k\'eplet analogonja. \head A Poisson formula \endhead Legyen $k(x)$ ($-\infty 0$ ($|u|<1$), $k(u)=0$ ($|u|\geq 1$), $\int _{-\infty }^\infty k(u)\,du=1$, \'es $$ k_\delta (z,w)=\frac1\delta k\left(\frac{x-y}\delta \right). $$ Ekkor $$ L_\delta f=\int _{-\infty }^\infty k_\delta (x,y)f(y)\,dy $$ invari\'ans integr\'al oper\'ator, amelyre $L_\delta f\rightarrow f$ ($\delta \rightarrow 0$). Ha $L$ tetsz\H oleges invari\'ans oper\'ator, akkor $$ LL_\delta f=\int _{-\infty }^\infty \opx L(k_\delta (x,y),x)f(y)\,dy $$ integr\'al oper\'ator \'es mint k\'et invari\'ans oper\'ator szorzata, invari\'ans is. Tudjuk teh\'at, hogy $$ (L_1L_\delta )(L_2L_\delta )=(L_2L_\delta )(L_1L_\delta ), $$ \'es $\delta \rightarrow 0$ adja az \'all\'\i t\'ast.\footnote{A bizony\'\i t\'as egyszer\H us\'\i t\'es\'et Lempert L\'aszl\'onak k\"osz\"on\"om.} \enddemo Ez az\'ert fontos sz\'amunkra, mert felcser\'elhet\H o oper\'atoroknak ``k\"oz\"os spekt\-r\'al\-fel\-bon\-t\'asa" van. Ha p\'eld\'aul $f(x)$ $D$-nek saj\'atf\"uggv\'enye tetsz\H oleges komplex $\lambda $ saj\'at\-\'ert\'ekkel, $Df\allowmathbreak=\lambda f$, ahol $f(x)=e^{\lambda x}$, (az \"osszes ilyen $Ae^{\lambda x}$ alak\'u), akkor $$ DLf=LDf=L\lambda f=\lambda Lf, $$ teh\'at $Lf$ is saj\'at\-f\"uggv\'enye $D$-nek ugyanazon $\lambda $ saj\'at\-\'ert\'ekkel. Mivel ezek a saj\'at\-f\"ugg\-v\'enyek itt 1-dimenzi\'os teret alkotnak, $Lf=\Lambda e^{\lambda x}=\Lambda f(x)$, ahol $\Lambda $ csak $\lambda $-t\'ol \'es $L$-t\H ol f\"ugg. Sz\'am\'\i tsuk ki a $\Lambda $-t, ha $Lf=\int _{-\infty }^\infty k(x-y)f(y)\,dy$! Mivel $f(0)=1$, $$ \Lambda =\opy L(f(y),0)=\int _{-\infty }^\infty k(-y)e^{\lambda y}\,dy= \int _{-\infty }^\infty k(y)e^{-\lambda y}\,dy, $$ a Laplace (Fourier) integr\'al. \medskip \centerline{* * *} \medskip Az eltol\'asok diszkr\'et r\'eszcsoportja egyetlen elemmel gener\'alt v\'egtelen ciklikus, tipikus p\'elda $\{T_n\}_{n=-\infty }^\infty $. $f(x)$ ($1$ szerinti) periodicit\'asa azt jelenti, hogy $T_n f=f$. Ha $L$ invari\'ans oper\'ator, akkor $T_n Lf=LT_n f=Lf$, azaz $Lf$ is periodikus: a periodikus f\"uggv\'enyek az invari\'ans oper\'atorokra n\'ezve invari\'ans alteret alkotnak. Mostant\'ol a periodikus $f\in \frak L_2(0,1)$ f\"uggv\'enyek ter\'ere szor\'\i tkozunk, a skal\'ar szorzatot, \"onadjung\'alts\'agot, stb. is ebben \'ertj\"uk. Ha $L$ integr\'al oper\'ator, akkor $$ \align Lf &=\int _{-\infty }^\infty k(x-y)f(y)dy= \sum _{n=-\infty }^\infty \int _n^{n+1} k(x-y)f(y)\,dy\\ &=\sum _{n=-\infty }^\infty \int _0^1 k(x-(y+n))f(y+n)dy=\int _0^1 K(x,y)f(y)dy, \endalign $$ ahol $K(x,y)=\sum\limits _{n=-\infty }^\infty k(x-(y+n))$ mindk\'et v\'altoz\'oj\'aban periodikus mag. A periodikus f\"uggv\'enyek ter\'eben $iD$ \"onadjung\'alt, mert $$(Df,g)=\int _0^1 f^\prime(x)\ol{g(x)}\,dx=$$ (parci\'alisan integr\'alva) $$ =-\int _0^1 f(x)\ol{g^\prime(x)}\,dx=-(f,Dg). $$ $D$ saj\'at\'ert\'ekei ez\'ert imagin\'ariusak, ($(Df,f)=\lambda (f,f)$, $(Df,f)=-(f,Df)=-\ol \lambda (f,f)$, $\lambda =-\ol \lambda $), \'es k\"ul\"onb\"oz\H o saj\'at\'ert\'ekekhez tartoz\'o saj\'atf\"uggv\'enyek ortogon\'alisak, ($Df=\lambda f$, $Dg=\mu g$, $\lambda \not=\mu $ $\Longrightarrow \lambda (f,g)=(Df,g)=-(f,Dg)=-\ol \mu (f,g)=\mu (f,g)$, $(f,g)=0$). Persze tudjuk, hogy a norm\'alt saj\'atf\"uggv\'enyek \"osszess\'ege a trigonometrikus rendszer: $f_j(x)=e^{\lambda _jx}=e^{2\pi ijx}$ ($j=0,\pm 1,\hdots$). Ezek teljesek is, --- ez is k\"ovetkezne \'altal\'anos t\'etelekb\H ol, --- \'es \'\i gy $K(x,y)$ kifejthet\H o a 2-v\'altoz\'os f\"uggv\'enyek ter\'eben teljes $\{f_i(x)\ol{f_j(y)}\}_{i,j=-\infty }^\infty $ rendszer szerint: $$ K(x,y)=\sum _{i,j=-\infty }^\infty c_{ij}f_i(x)\ol{f_j(y)}. $$ Ha az $Lf=\int _{-\infty }^\infty k(x-y)f(y)\,dy$ integr\'al oper\'atornak a $\lambda _j$-hez tartoz\'o saj\'at\-\'er\-t\'e\-ke $\Lambda _j$, amir\H ol tudjuk, hogy $$ \Lambda _j=\int _{-\infty }^\infty k(y)e^{-\lambda _jy}\,dy= \int _{-\infty }^\infty k(y)e^{-2\pi ijy}\,dy=\kappa (2\pi j), $$ akkor az ortogonalit\'as alapj\'an $$ \align \Lambda _jf_j(x) &=Lf_j=\int _0^1 K(x,y)f_j(y)\,dy= \int _0^1 \sum _{i,l=-\infty }^\infty c_{il}f_i(x)\ol{f_l(y)}f_j(y)\,dy\\ &=\sum _{i,l=-\infty }^\infty c_{il}f_{i}(x)\int _0^1 \ol{f_l(y)}f_j(y)\,dy= \sum _{i=-\infty }^\infty c_{ij}f_i(x). \endalign $$ Az ortogon\'alis sorfejt\'es egy\'ertelm\H us\'ege alapj\'an pedig $$ c_{ij}= \cases 0, &\text{ha $i\not =j$,}\\ \Lambda _j, &\text{ha $i=j$.} \endcases $$ Innen $$ K(x,y)=\sum _{j=-\infty }^\infty \Lambda _jf_j(x)\ol{f_j(y)}, $$ \'es oper\'atorunk nyoma, $$ \int _0^1 K(x,x)\,dx=\sum _{j=-\infty }^\infty \Lambda _j. $$ $K(x,x)$ val\'oj\'aban konstans, $$ \sum _{n=-\infty }^\infty k(x-(x+n))=\sum _{n=-\infty }^\infty k(n), $$ m\'\i g a jobboldalon $\Lambda _j=\kappa (2\pi j)$, \'es eljutottunk a Poisson formul\'ahoz. \medskip \centerline{* * *} \medskip \'Altal\'anos t\'erben, ahol adott izometrikus transzform\'aci\'ok, (eltol\'asok) egy csoportja, ezek szerint a k\"ovetkez\H o a feladat. \subhead Program \endsubhead Meghat\'arozni az invari\'ans integr\'al \'es differenci\'al oper\'atorokat, (a konvol\'uci\'o \'es a deriv\'al\'as \'altal\'anos\'\i t\'as\'at). Megkeresni a differenci\'al oper\'atorok sa\-j\'at\-\'er\-t\'ekeit \'es saj\'atf\"uggv\'enyeit, (az exponenci\'alis f\"uggv\'eny \'altal\'anos\'\i t\'as\'at). Kisz\'am\'\i tani az integr\'al oper\'atorok ezekhez tartoz\'o sa\-j\'at\-\'er\-t\'e\-keit, (a Fourier integr\'al \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'\i \-t\'asa). Az oper\'atorokat az eltol\'asok egy diszkr\'et csoportj\'ara n\'ezve invari\'ans f\"ugg\-v\'e\-nyek\-re korl\'atozni, (a periodikus f\"uggv\'enyek \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'\i \-t\'asa). Megkeresni ebben a f\"ugg\-v\'eny\-t\'er\-ben a differenci\'al oper\'atorok saj\'atf\"uggv\'enyeit, (a trigonometrikus rendszer \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'\i \-t\'a\-s\'at). Kisz\'amolni az integr\'al oper\'atorok magf\"uggv\'eny\'et, (a periodus intervallumon val\'o integr\'al alak megfelel\H oj\'et), \'es azt a saj\'atf\"uggv\'enyek szerint kifejteni. Ezt a programot egy speci\'alis esetben v\'egrehajtjuk. \head Anal\'\i zis a hiperbolikus s\'\i kon \endhead \subhead A f\'els\'\i kmodell \endsubhead Els\H osorban a $H=\{z\: \Im z>0\}$ fels\H o f\'els\'\i kot haszn\'aljuk alap\-t\'er\-k\'ent. Pontjait rendszerint $z=x+iy$-nal \'es $w=u+iv$-vel jel\"olj\"uk. A metrika $|dz|/y$, m\'assz\'oval a $\gamma $ g\"orbe (nem--euklideszi) hossza $$ \ell(\gamma )=\int _\gamma \frac{|dz|}y, $$ k\'et pont t\'avols\'aga $$ d(z,w)=\min_\gamma \ell(\gamma )= \log\frac{1+\frac{|z-w|}{|z-\ol w|}} {1-\frac{|z-w|}{|z-\ol w|}}, $$ ahol a minimum a $z$-t \'es $w$-t \"osszek\"ot\H o g\"orb\'ekre veend\H o. Az explicit k\'epletb\H ol csak arra lesz sz\"uks\'eg\"unk, hogy az $$ \frac1{4(|\frac{z-\ol w}{z-w}|^2-1)}=\frac{|z-w|^2}{yv} $$ f\"uggv\'enye. A geodetikusok, (a minimumot ad\'o g\"orb\'ek) a val\'os tengelyt mer\H olegesen metsz\H o k\"or\"ok \'es egyenesek; ezeket fogjuk (nem-euklideszi) egyeneseknek nevezni. A metrik\'ab\'ol levezethet\H o ter\"uletelem, $d\sigma =\,dx\,dy/y^2$, m\'assz\'oval az $A$ halmaz m\'ert\'eke $$ \sigma (A)=\int _A\,d\sigma =\int \int _A\,\frac{dx\,dy}{y^2}. $$ $H$-nak \"onmag\'ara val\'o konform lek\'epez\'esei, $$Tz=\frac{az+b}{cz+d},$$ ahol $a$, $b$, $c$, $d$ val\'osak, $ad-bc>0$, --- feltehet\H o, hogy $ad-bc=1$, --- ter\"unk merev mozgat\'asai, ugyanis, ha $w=Tz$, $$ \ell(T\gamma )=\int _{T\gamma }\frac{|dw|}v= \int _\gamma \frac{|T^\prime(z)||dz|}v=\int _\gamma \frac{|dz|}y=\ell(\gamma ), $$ mert, mint ut\'anasz\'amolhat\'o, $$ |T^\prime(z)|=\frac vy. $$ Emiatt a t\'avols\'agot is megtartj\'ak, $$d(Tz,Tw)=d(z,w)$$ \'es a m\'ert\'eket is, $$ \sigma (TA)=\int \int _{TA}\,\frac{du\,dv}{v^2}= \int \int _A\frac{|T^\prime(z)|^2\,dx\,dy}{v^2}= \int \int _A\,\frac{dx\,dy}{y^2}=\sigma (A). $$ \subhead A k\"ormodell \endsubhead N\'eha k\'enyelmesebb lesz az egys\'egk\"orben mint alapt\'erben dolgozni. Az \'att\'er\'es $H$-nak az egys\'egk\"orre val\'o konform lek\'epez\'es\'evel, p\'eld\'aul $$ U(z)=\frac{z-i}{z+i} $$ -vel val\'os\'\i that\'o meg, ami a $H$-beli metrik\'at \'es m\'ert\'eket --- konstans szorz\'ot\'ol eltekintve --- $|dz|/(1-|z|^2)$-be, illetve $dx\,dy/(1-|z|^2)^2$-be viszi. A nem--euklideszi egyenesek az egys\'egk\"orvonalat mer\H olegesen metsz\H o k\"or\"ok \'es egyenesek. A merev mozgat\'asok $$ Tz=\varrho \frac{z-\xi }{1-z\ol \xi }, \qquad \text{($|\varrho |=1$, $|\xi |<1$)} $$ alak\'uak, a metrika \'es m\'ert\'ek invarianci\'aj\'at biztos\'\i t\'o azonoss\'ag, ahol $w=Tz$, $$ |T^\prime(z)|=\frac{1-|w|^2}{1-|z|^2}. $$ \subhead Invari\'ans oper\'atorok \endsubhead A $H$-n \'ertelmezett $f(z)$ f\"uggv\'enyeken hat\'o oper\'atorokat a val\'os esetnek megfelel\H oen \'\i gy jel\"olj\"uk: $$ Lf=\opw L(f(w),z). $$ A sz\'amegyenes eltol\'asaihoz hasonl\'oan a $T$ mozgat\'as is meghat\'aroz egy ilyen ope\-r\'a\-tort: $$ Tf\overset {def}\to=f(Tz). $$ Az $L$ oper\'atort invari\'ansnak mondjuk, ha $$ \opw L(f(Tw),z)=\opw L(f(w),Tz), $$ azaz, ha $LT=TL$ minden $T$-re. Mikor lesz az $Lf=\int _H k(z,w)f(w)\,d\sigma _w$ integr\'al oper\'ator invari\'ans? ($d\sigma _w$ azt jelzi, hogy $w$ az integr\'aci\'os v\'altoz\'o.) $$ \align LTf &=\int _H k(z,w)f(Tw)\,d\sigma _w,\\ TLf &=\int _H k(Tz,w)f(w)\,d\sigma _w=\int _H k(Tz,Tw)f(Tw)\,d\sigma_w \endalign $$ (a m\'ert\'ektart\'as alapj\'an), azaz akkor, ha $k(z,w)=k(Tz,Tw)$ minden $T$ mozgat\'asra. A mozgat\'asok csoportja k\'etszeresen tranzit\'\i v abban az \'ertelemben, hogy --- a sz\"uks\'eges felt\'etel, --- $d(z_1,w_1)=d(z_2,w_2)$ eset\'en l\'etezik $T$, amelyre $z_2=Tz_1$, $w_2=Tw_1$. $k(z,w)$ teh\'at csak $d(z,w)$-t\H ol f\"ugg, $$ k(z,w)=k\left(\frac{|z-w|^2}{yv}\right). $$ Mikor lesz az $$ Lf=\sum _{0\leq \nu +\mu \leq m} a_{\nu \mu }(z)\frac{\partial^{\nu +\mu }f}{\partial x^\nu \,\partial y^\mu } $$ differenci\'al oper\'ator invari\'ans? {\it Megjegyz\'es oper\'ator megad\'as\'ar\'ol.} Invari\'ans oper\'atort r\"ogz\'\i tett $z_0 \in H$-ban ki\'ert\'ekel\H o $$L^0f=\opw L^0f(w)\overset {def}\to=\opw L(f(w),z_0)$$ funkcion\'al egy\'ertelm\H uen meghat\'arozza a teljes oper\'atort, hiszen $$ Lf=\opw L(f(w),z)=\opw L(f(T_zw),z_0)=\opw L^0f(T_zw), $$ ahol $T_z$ tetsz\H oleges olyan mozgat\'as, amelyre $T_zz_0=z$. A funkcion\'al nem tetsz\H oleges. Ha ugyanis $Tz_0=z_0$, ($T$ $z_0$ k\"or\"uli nem-euklideszi forgat\'as), akkor $Lf(Tw)=TLf(w)$ alapj\'an $$ L^0f(Tw)=\opw L(f(Tw),z_0)=\opw L(f(w),Tz_0)= \opw L(f(w),z_0)=L^0f(w): $$ a funkcion\'al ``forg\'asszimmetrikus". Ford\'\i tva, ha $L^0$ forg\'asszimmetrikus funkcion\'al, akkor a fenti k\'eplet, $$Lf=\opw L^0f(T_zw)$$ invari\'ans oper\'atort defini\'al.(Bizony\'\i t\'as. Tetsz\H oleges $T$-re legyen $z_1=Tz$. $$ \align TLf &=\opw L^0f(T_{z_1}w)\overset {def}\to= \opw L^0g(w),\\ LTf &=\opw L^0f(TT_zw)=\opw L^0g(T_{z_1}^{-1}TT_zw) \overset {def}\to=\\ &=\opw L^0g(T_1w)=\opw L^0g(w), \endalign $$ ugyanis $$ T_1z_0=T^{-1}_{z_1}TT_zz_0=T^{-1}_{z_1}Tz=z_0.) $$ \medskip \centerline{* * *} \medskip El\'eg teh\'at megn\'ezni, hogy az $$ L^0f=\sum _{0\leq \nu +\mu \leq m} a_{\nu \mu }\l\frac{\partial^{\nu +\mu }f(z)} {\partial x^\nu \,\partial y^\mu } \res _{z=z_0} $$ $(a_{\nu \mu }=a_{\nu \mu }(z_0))$ differenci\'al funkcion\'al mikor forg\'asszimmetrikus. Most k\'e\-nyel\-me\-sebb a k\"ormodell, $z_0=0$ \'es $L^0f$-et $z$ \'es $\ol z$ szerinti deriv\'altakkal fel\'\i rni: $$ L^0f=\sum _{0\leq \nu +\mu =m} b_{\nu \mu }\l\frac{\partial^{\nu +\mu }f(z)} {\partial z^\nu \,\partial\ol z^\mu } \res _{z=0}. $$ A forg\'asszimmetria azt jelenti, hogy $$ \opz L^0f(\varrho z)= \sum _{0\leq \nu +\mu \leq m} b_{\nu \mu }\varrho ^\nu \ol \varrho ^\mu\l \frac{\partial^{\nu +\mu }f(z)} {\partial z^\nu \,\partial\ol z^\mu } \res _{z=0} $$ f\"uggetlen $|\varrho |=1$-t\H ol. Ez akkor van \'\i gy, ha $$ \sum _{\nu -\mu =h} b_{\nu \mu }\l\frac{\partial^{\nu +\mu }f(z)} {\partial z^\nu \,\partial\ol z^\mu } \res _{z=0}=0 $$ minden $h\not =0$-ra \'es $f$-re, azaz, ha $b_{\nu \mu }=0$ ($\nu \not=\mu $). Teh\'at $$ L^0f=\sum _{0\leq \nu \leq m/2} b_{\nu }\lp\frac{\partial^2} {\partial z\,\partial\ol z} \l\rp^\nu f(z) \res _{z=0}= \sum _{0\leq \nu \leq m/2} c_\nu\l \Delta ^\nu f(z) \res _{z=0}, $$ mert $$ 4\frac{\partial^2}{\partial z\,\partial\ol z}= \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}=\Delta , $$ a Laplace oper\'ator. Ha p\'eld\'aul a funkcion\'al $L^0f=\Delta f(z)\l \res _{z=0}$, akkor a megfelel\H o oper\'ator $$ Lf=\opw L^0 f(T_zw)=\Delta \l f(T_zw) \res _{w=0}. $$ \'Altal\'aban, ha $g(w)$ regul\'aris f\"uggv\'eny, akkor a Laplace oper\'ator l\'ancszab\'alya $$ \Delta f(g(w))=\Delta f\l \res _{g(w)}|g^\prime(w)|^2. $$ (J\'o gyakorlat a $z$ \'es $\ol z$ szerinti deriv\'altakkal val\'o sz\'amol\'asra!) A fejezet elej\'en eml\'\i tett k\'eplet szerint $$ |T_z^\prime(0)|=\frac{1-|z|^2}{1-|0|^2}, $$ ahonnan, a l\'ancszab\'alyt $g(w)=T_zw$-re alkalmazva, $$ Lf=\Delta f(T_zw)\l \res _{w=0}= (1-|z|^2)^2\Delta f(z)\overset{def}\to=D_1, $$ a k\"ormodell hiperbolikus Laplace oper\'atora. Az \"osszes $\l\Delta ^\nu f(z) \res _{z=0}$ ($0\leq \nu \leq m/2$) funkcion\'alnak megfelel\H o invari\'ans ope\-r\'a\-tort line\'arisan kombin\'alva megkapjuk az \"osszes invari\'ans differenci\'al oper\'atort, amelyek teh\'at $[m/2]+1$--dimenzi\'os teret alkotnak. B\'ar az el\H obbiek nem azonosak a $D_1^\nu $-kkel, a $\sum\limits _{0\leq \nu \leq m/2} c_\nu D_1^\nu $ alak\'uak \"osszess\'ege is, mint k\"onny\H u l\'atni, $[m/2]+1$--dimenzi\'os, \'es \'\i gy kimer\'\i tik az \"osszes invari\'ans differenci\'al oper\'atort.\footnote{Ezt a ``bizony\'\i t\'ast" Ruzsa Imr\'enek k\"osz\"on\"om.} Ha a $w=U(z)\: \{z\: \Im z>0\}\rightarrow \{w\: |w|<1\}$ seg\'\i ts\'eg\'evel \'att\'er\"unk a f\'el\-s\'\i k\-mo\-dell\-re, akkor $D_1$-nek $$ UD_1U^{-1}f=\opw D_1(f(U^{-1}(w)),U(z))= (1-|w|^2)^2\Delta f(U^{-1}(w)) $$ felel meg, ami $|U^\prime(z)|=(1-|w|^2)/(2y)$ \'es a l\'ancszab\'aly alapj\'an $=4y^2\Delta f(z)$. $$ D\overset{def}\to=y^2\Delta f, $$ a f\'els\'\i kmodell hiperbolikus Laplace oper\'atora teh\'at gener\'alja az invari\'ans differenci\'al oper\'atorok gy\H ur\H uj\'et. \medskip \centerline{* * *} \medskip B\'ar a mozgat\'asok csoportja most nem kommutat\'\i v, \'es az identit\'ast\'ol eltekintve egyik sem invari\'ans oper\'ator, a k\"ovetkez\H o \'all\'\i t\'ashoz a val\'os esetben is csak a kommutativit\'as egy enyhe k\"ovetkezm\'enye, bizonyos szimmetria kellett. \proclaim {\'All\'\i t\'as} \it B\'armely k\'et invari\'ans oper\'ator felcser\'elhet\H o, $L_1L_2=L_2L_1$. \endproclaim \demo {Bizony\'\i t\'as} Ugyan\'ugy, mint a val\'os esetben, invari\'ans oper\'atorok szorzata is invari\'ans, tov\'abb\'a $k_{1,2}(z,w)$ magf\"uggv\'eny\H u integr\'al oper\'atorok szorzata, $L_1L_2$ is integr\'al oper\'ator $$ k(z,w)=\int _Hk_1(z,s)k_2(s,w)\,d\sigma _s $$ magf\"uggv\'ennyel. R\"ogz\'\i tett $z$,$w$ p\'ar eset\'en legyen $T$ a $[z,w]$ (nem--euklideszi) szakasz felez\H o pont\-j\'a\-ra val\'o k\"oz\'eppontos t\"ukr\"oz\'es, amelyre teh\'at $Tz=w$, $Tw=z$. A magf\"uggv\'eny invarianci\'aja alapj\'an $$ k(z,w)=k(Tz,Tw)=k(w,z): $$ a magf\"uggv\'eny szimmetrikus. Ezt mind $k(z,w)$-re, mind $k_{1,2}(z,w)$-re fel\'\i rva, $$ k(z,w)=\int _Hk_1(w,s)k_2(s,z)\,d\sigma _s= \int _Hk_1(s,w)k_2(z,s)\,d\sigma _s, $$ ahol a jobboldal $L_2L_1$ magf\"uggv\'enye, \'es ezzel bebizony\'\i tottuk az \'all\'\i t\'ast integr\'al oper\'atorokra. Legyen $k(u)>0$ ($|u|<1$), $k(u)=0$ ($|u|\geq 1$), \'es $$ k_\delta (z,w)=c(\delta )k(\frac{d(z,w)}\delta ), $$ ahol a $c(\delta )$ konstans \'ugy van meghat\'arozva, hogy $$ \int _Hk_\delta (z,w)\,d\sigma _w=1 $$ legyen. Ekkor $$ L_\delta f=\int _Hk_\delta (z,w)f(w)\,d\sigma _w $$ invari\'ans integr\'al oper\'ator, amelyre $L_\delta f\rightarrow f$ ($\delta \rightarrow 0$). Ha $L$ tetsz\H oleges invari\'ans oper\'ator, akkor $$ LL_\delta f=\int _H\opz L(k_\delta (z,w),z)f(w)\,d\sigma _w $$ m\'ar integr\'al oper\'ator lesz, \'es mint k\'et invari\'ans oper\'ator szorzata, invari\'ans is. Tudjuk teh\'at, hogy $$ (L_1L_\delta )(L_2L_\delta )=(L_2L_\delta )(L_1L_\delta ), $$ \'es $\delta \rightarrow 0$ adja az \'all\'\i t\'ast. \enddemo {\it Kieg\'esz\'\i t\'es.} P\'eld\'aul a val\'os esetben a bizony\'\i t\'asban defini\'alt $T$ t\"ukr\"oz\'es --- b\'ar l\'etezik --- nem eleme a mozgat\'as csoportunknak. (Az $x\rightarrow -x$ t\"ukr\"oz\'es mint\'aj\'ara) az \'altal\'anos esetben ez\'ert Selberg felteszi, hogy tal\'alhat\'o olyan izometrikus transzform\'aci\'o, $\mu $ --- esetleg nem eleme a csoportunknak --- \'es b\'armely $z, w$ pontp\'arhoz olyan $T$ csoportbeli mozgat\'as, amelyre $Tz=\mu w$, $Tw=\mu z$; az ilyen teret nevezi gyeng\'en szimmetrikusnak. (Az \'altalunk haszn\'alt k\'etszeres tranzitivit\'as fenn\'all\'asa eset\'en persze $\mu $ v\'alaszthat\'o az identit\'asnak.) $k(z,w)$ szimmetri\'aja helyett $$ k(z,w)=k(Tz,Tw)=k(\mu w,\mu z) $$ \'all\'\i that\'o, \'es a bizony\'\i t\'as megfelel\H o l\'ep\'ese --- v\'altozatlan v\'egeredm\'ennyel --- \'\i gy m\'odosul: $$ \align k(z,w) &=\int _Hk_1(\mu w,s)k_2(s,\mu z)\,d\sigma _s\\ &=\int _Hk_1(\mu w,\mu s)k_2(\mu s,\mu z)\,d\sigma _s= \int _Hk_1(s,w)k_2(z,s)\,d\sigma _s, \endalign $$ ahol k\"ozben felhaszn\'altuk, hogy $\mu $ m\'ert\'ektart\'o. A $k(z,w)$ mag\'u $L$ integr\'al oper\'ator adjung\'altj\'anak, $L^*$-nak $\ol{k(w,z)}$ a mag\-f\"ugg\-v\'e\-nye, a $k(z,w)=k(\mu w,\mu z)$ egyenl\H os\'eg, mint k\"onnyen l\'athat\'o, \'\i gy azt jelenti, hogy $\mu ^{-1}L^*\mu =\ol L$, \'es az integr\'al oper\'atorok felcser\'elhet\H os\'eg\'enek bizony\'\i t\'as\'aban tulajdonk\'eppen ez t\"ort\'ent:\footnote {Ezt a magyar\'azatot \'es a bizony\'\i t\'as ezen egyszer\H us\'\i tett v\'altozat\'at Lempert L\'aszl\'onak k\"o\-sz\"o\-n\"om.} $$ \ol L_1\ol L_2=\mu ^{-1}L_1^*\mu \mu ^{-1}L_2^*\mu = \mu ^{-1}L_1^*L_2^*\mu =\mu ^{-1}(L_2L_1)^*\mu =\ol {L_2L}_1. $$ \subhead Invari\'ans oper\'atorok saj\'atf\"uggv\'enyei \endsubhead $y^s=(\Im z)^s$ b\'armely r\"ogz\'\i tett komplex $s$ mellett saj\'atf\"uggv\'enye $D=y^2\Delta $-nek, hiszen $$ \opz D(y^s,z)=y^2\Delta y^s=y^2s(s-1)y^{s-2}=\lambda y^s $$ $\lambda =s(s-1)$ saj\'at\'ert\'ekkel. Ha $L$ tetsz\H oleges invari\'ans oper\'ator, akkor a felcser\'elhet\H os\'eg miatt $$ DLy^s=LDy^s=\lambda Ly^s, $$ m\'assz\'oval $Ly^s$ is saj\'atf\"uggv\'enye $D$-nek ugyanazon $\lambda $ saj\'at\'ert\'ekkel. Ebb\H ol azonban most nem k\"ovetkezik, hogy $y^s$ $L$-nek is saj\'atf\"uggv\'enye, mert $y^s$ m\'eg konstans szorz\'ot\'ol eltekintve sem az egyetlen $\lambda $ saj\'at\'ert\'ek\H u saj\'atf\"uggv\'eny: p\'eld\'aul minden $Ty^s=(\Im Tz)^s$ ilyen. Mi menthet\H o az egy\'ertelm\H us\'egb\H ol? Legyen $z_0\in H$ r\"ogz\'\i tett, $T(\vartheta )$ a $z_0$ k\"or\"uli, $\vartheta $ sz\"oggel val\'o forgat\'as \'es $$f_0(z)=Mf=\frac1{2\pi }\int _0^{2\pi }f(T(\vartheta )z)\,d\vartheta $$ a ``k\"oz\'ep\'ert\'ek oper\'ator". Minden $\tau $-val $$ \align T(\tau )f_0(z) &=\frac1{2\pi }\int _0^{2\pi }f(T(\vartheta )T(\tau )z)\,d\vartheta = \frac1{2\pi }\int _0^{2\pi }f(T(\vartheta +\tau )z)\,d\vartheta\\ &=\frac1{2\pi }\int _0^{2\pi }f(T(\vartheta )z)\,d\vartheta =f_0(z): \endalign $$ $f_0(z)$ ``forg\'asszimmetrikus". $D$ minden $T(\vartheta )$-val \'es \'\i gy $M$-mel is felcser\'elhet\H o, \'es ha $Df=\lambda f$, akkor $$ Df_0=DMf=MDf=\lambda Mf=\lambda f_0 $$ forg\'asszimmetrikus $f_0$-lal. \proclaim {\'All\'\i t\'as} \it Minden komplex $\lambda $-hoz egy\'ertelm\H uen l\'etezik forg\'asszimmetrikus $g(z)$, a\-mely\-re $Dg=\lambda g$ \'es $g(z_0)=1$. \endproclaim \demo {Bizony\'\i t\'as} A l\'etez\'est $$ g(z)=\frac{f_0(z)}{f_0(z_0)} $$ bizony\'\i tja az $f(z)=y^s$ v\'alaszt\'assal, ha $\lambda =s(s-1)$, azaz $s=1/2+\sqrt {1/4+\lambda }$, felhaszn\'alva, hogy $f_0(z_0)=f(z_0)\not=0$. Az egy\'ertelm\H us\'eget k\'enyelmesebb a k\"ormodellben bizony\'\i tani $z_0=0$-val, amikoris $g(z)$ forg\'asszimmetri\'aja, $g(\varrho z)=g(z)$ ($|\varrho |=1$) azt jelenti, hogy $g(z)=g(r)$, ahol $z=re^{i\vartheta }$. Pol\'ar koordin\'at\'akkal fel\'\i rva $$ \Delta g=\frac{\partial^2g}{\partial r^2}+ \frac 1r\frac{\partial g}{\partial r}+ \frac 1{r^2}\frac{\partial^2g}{\partial \vartheta ^2}= \frac{\partial^2g}{\partial r^2}+ \frac1r\frac{\partial g}{\partial r}, $$ teh\'at a saj\'at\'ert\'ek egyenlet: $$ D_1g=(1-r^2)^2(g^{\prime\prime}(r)+ \frac1rg^\prime(r))=\lambda g(r). $$ Ez \'\i gy is \'\i rhat\'o: $$ (g^\prime(r)r)^\prime=\frac{\lambda g(r)r}{(1-r^2)^2}. $$ A differenci\'alegyenlet homog\'en line\'aris, ez\'ert azt kell megmutatnunk, hogy $g(0)\allowmathbreak=0$ eset\'en $g(r)=0$ ($0\leq r<1$). Legyen $$ M(r)=\max_{0\leq u\leq r}(g^\prime(u)u)^\prime. $$ Ekkor $0\leq u\leq r$ eset\'en $$ |g^\prime(u)u|\leq M(r)u, \quad |g(u)|\leq M(r)r, $$ az utols\'o l\'ep\'esben $g(0)=0$-at is felhaszn\'alva. Az egyenlet szerint pedig $$ M(r)\leq \frac{|\lambda |M(r)r^2}{(1-r^2)^2}, $$ ami el\'eg kis $r$-re csak \'ugy lehet, ha $M(r)=0$. Ekkor $g^\prime(r)r=c$, $g(r)=c\log r$ $0$ k\"ornyezet\'eben, de a $c$ konstans csak $0$ lehet, k\"ul\"onben $g(r)$ folytonos sem volna a $0$-ban. $0$-t\'ol k\"ul\"onb\"oz\H o $r_0$ pontban a kezdeti \'ert\'ekek, $g(r_0)$, $g^\prime(r_0)$ egy\'ertelm\H uen meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak a megold\'ast, --- ennek a t\'etelnek a bizony\'\i t\'as\'at ism\'etelt\"uk el az el\H obb az $r_0=0$ esetben $g^\prime(r)$ egy\"utthat\'oj\'anak, $1/r$-nek a $0$-beli szingularit\'asa miatt, --- ez\'ert val\'oj\'aban $g(r)\equiv 0$ \'es k\'esz. \enddemo Hogyan f\"ugg $g(z)=g(z,z_0)$ $z_0$-t\'ol? Legyen $Tz_0=z_1$ \'es $g(z,z_1)=g_1(z)$. Mivel $g_1(z)$ $z_1$ k\"or\"ul forg\'asszimmetrikus, $g_1(Tz)$ $z_0$ k\"or\"ul lesz az: $$ g_1(TT(\tau )z)=g_1(TT(\tau )T^{-1}Tz)=g_1(Tz), $$ hiszen $TT(\tau )T^{-1}$-nek $z_1$ fixpontja. Mivel $g_1(z)$ $\lambda $ saj\'at\'ert\'ek\H u saj\'atf\"uggv\'eny, $g_1(Tz)$ is az. V\'eg\"ul pedig $g_1(Tz_0)=g_1(z_1)=g(z_1,z_1)=1$. E h\'arom tulajdons\'ag egy\'ertelm\H uen jellemzi $g(z)$-t, teh\'at $g_1(Tz)=g(z)$, r\'eszletesen $$ g(Tz,z_1)=g(Tz,Tz_0)=g(z,z_0), $$ vagyis $g(z,z_0)$ \'ugy viselkedik a k\'et v\'altoz\'oj\'aban, mint invari\'ans integr\'al oper\'ator magf\"uggv\'enye. L\'attuk kor\'abban, hogy akkor tetsz\H oleges invari\'ans oper\'atorral, $L$-lel $h(z)=h(z,z_0)=\opz L(g(z,z_0),z)$ --- mint $L$ \'es a $g(z,z_0)$ magf\"uggv\'ennyel defini\'alt oper\'ator szorzat\'anak magf\"uggv\'enye --- szint\'en \'ugy viselkedik. Speci\'alisan $h(z)$ for\-g\'as\-szim\-met\-ri\-kus $z_0$ k\"or\"ul. Azt is tudjuk, hogy $h(z)$, miut\'an $g(z)$ is, $\lambda $ saj\'at\'ert\'ek\H u saj\'at\-f\"ugg\-v\'e\-nye $D$-nek. Az egy\'ertelm\H us\'eg miatt ekkor $h=Lg=\Lambda g$. Itt $g(z_0)=1$ alapj\'an $\Lambda =h(z_0)=h(z_0,z_0)$, ami \'\i gy $z_0$-t\'ol sem, csakis $L$-t\H ol \'es $\lambda $-t\'ol f\"ugg. Legyen v\'eg\"ul $f$ tetsz\H oleges saj\'atf\"uggv\'eny, $Df=\lambda f$. $f_0=Mf$-re, ami m\'ar forg\'asszimmetrikus is $z_0$ k\"or\"ul, szint\'en $Df_0=\lambda f_0$, teh\'at $f_0$ $g$ konstans szorosa, \'es \'\i gy $f_0$ is saj\'atf\"uggv\'enye $L$-nek ugyanazzal a saj\'at\'ert\'ekkel: $$ Lf_0=\Lambda f_0. $$ Itt $f_0=Mf$ \'es $Lf_0=LMf=MLf$, teh\'at $$ MLf=\Lambda Mf, $$ \'es $z=z_0$-ban ki\'ert\'ekelve, $$ \opz L(f(z),z_0)=\Lambda f(z_0). $$ Ez minden $z_0$-ra fenn\'all, $\Lambda $ nem f\"ugg $z_0$-t\'ol, teh\'at $Lf=\Lambda f$, \'es ezzel bebizony\'\i tottuk a fejezet f\H o eredm\'eny\'et: \proclaim {T\'etel}\it Ha $f$ saj\'atf\"uggv\'enye $D$-nek, $Df=\lambda f$, \'es $L$ invari\'ans oper\'ator, akkor $f$ $L$-nek is saj\'atf\"uggv\'enye, $Lf=\Lambda f$, ahol $\Lambda $ csak $L$-t\H ol \'es $\lambda $-t\'ol f\"ugg. \endproclaim Nagyon hasznos, hogy $\Lambda $ $f$-t\H ol k\"ul\"onben nem f\"ugg: $f$ ismerete n\'elk\"ul ki\-sz\'a\-m\'\i t\-hat\-juk $L$-re vonatkoz\'o saj\'at\'ert\'ek\'et, ha ismerj\"uk $D$-nek ak\'ar csak egy, $\lambda $ saj\'at\'ert\'ek\H u saj\'atf\"uggv\'eny\'et. \subhead Integr\'al oper\'ator saj\'at\'ert\'eke \endsubhead Eset\"unkben ilyet ismer\"unk: $y^s$, ahol $\lambda =s(s-1)$, \'es sz\'am\'\i tsuk ki, mi lesz a $\Lambda $, ha $$ Lf=\int _Hk(z,w)f(w)\,d\sigma _w, \quad k(z,w)=k\left(\frac{|z-w|^2}{yv}\right). $$ Tudjuk, hogy $$ \int _Hk(z,w)v^s\,d\sigma _w=\Lambda y^s, $$ ahol $z=i$-t helyettes\'\i tve, $$ \align \Lambda &=\int _Hk(i,w)v^s\,d\sigma _w= \int _0^\infty \int _{-\infty }^\infty k\left(\frac{|i-w|^2}{1\cdot v}\right)v^s\frac{du\,dv}{v^2}\\ &=\int _0^\infty \int _{-\infty }^\infty k\left(\frac{u^2+(v-1)^2}v\right)v^{s-2}\,du\,dv. \endalign $$ Legyen $$ t\overset{def}\to= \frac{(v-1)^2}v=v+\frac1v-2. $$ Ekkor $$ \int _{-\infty }^\infty k\left(\frac{u^2+(v-1)^2}v\right)\,du= \int _{-\infty }^\infty k\left(\frac{u^2}v+t\right)\,du= $$ $$ =2\int _0^\infty k(\tau +t)\frac{\sqrt v}{2\sqrt \tau }\,d\tau = \sqrt v\int _0^\infty \frac{k(\tau +t)}{\sqrt \tau }\,d\tau \overset{def}\to=vg(\log v). $$ $$ \Lambda =\int _0^\infty vg(\log v)v^{s-2}\,dv=\int _{-\infty }^\infty g(y)e^{sy}\,dy \overset{def}\to=G(s), $$ a Fourier integr\'al \'altal\'anos\'\i t\'asa, az \'ugynevezett Selberg transzform\'aci\'o; itt $\lambda =s(s-1)$, $s=1/2\pm \sqrt {\frac14+\lambda }$. A k\'et $s$ \'ert\'eknek ugyanazt az eredm\'enyt kell adnia, $G(s)=G(1-s)$. Ez abb\'ol is l\'atszik, hogy $t$ $v$-ben \'es $1/v$-ben szimmetrikus l\'ev\'en, a defin\'\i ci\'o szerint $e^yg(y)=g(-y)$. Ezen szimmetri\'akt\'ol eltekintve a $k$, $g$, $G$ f\"uggv\'enyek b\'armelyike el\H o\'\i rhat\'o, \'es a m\'asik kett\H o bel\H ole egyszer\H u formul\'aval kisz\'am\'\i that\'o. {\it Kieg\'esz\'\i t\'es.} A Selberg \'altal tekintett \'altal\'anos analitikus sokas\'agokon hasonl\'o a helyzet azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy az invari\'ans differenci\'al oper\'atorok gy\H ur\H uj\'et nem egy, de v\'eges sok elem gener\'alja, \'es a saj\'atf\"uggv\'enyek szerep\'et ezen v\'eges sok gener\'ator k\"oz\"os saj\'atf\"uggv\'enyei j\'atsz\'ak. Ismerve egy ilyen saj\'atf\"uggv\'eny saj\'at\-\'er\-t\'e\-keit egyszerre mindegyik gener\'atorra n\'ezve, meghat\'arozhat\'ok az in\-teg\-r\'al ope\-r\'a\-to\-rok\-ra vonatkoz\'o saj\'at\'ert\'ekek is. \head Diszkr\'et r\'eszcsoportok \endhead A mozgat\'asok $\Gamma $ r\'eszcsoportj\'at diszkr\'etnek mondjuk, ha r\"ogz\'\i tett $z\in H$-ra a $\{\gamma z\:\gamma \in \Gamma \}$ halmaz nem torl\'odik $H$-ban. K\'et pont, $z_1$ \'es $z_2$ ekvivalens ($\text{mod }\Gamma $), ha van $\gamma \in \Gamma $, amelyre $\gamma z_1=z_2$. Az ekvivalencia oszt\'alyok halmaz\'at $R$-rel jel\"olj\"uk. A $\D\subset H$ halmaz fundament\'alis tartom\'any, ha minden ekvivalencia oszt\'alyb\'ol pontosan egy elemet tartalmaz. M\'assz\'oval, ha a $\gamma \D$ ($\gamma \in \Gamma $) halmazok $H$ diszjunkt part\'\i ci\'oj\'at alkotj\'ak. A val\'os tengelyen $\Gamma =\{T_n\}$ eset\'eben $\D=[0,1)$ v\'alaszthat\'o fundament\'alis tartom\'anynak. A k\'et ekvivalens v\'egpontot \"osszeragasztva $R$ topol\'ogiailag k\"orvonal lesz. Az euklideszi s\'\i kon tipikus diszkr\'et csoport $\Gamma =\{z+n\omega _1+m\omega _2\: n, m \text{ eg\'esz}\}$ ($\Im \omega _1/\omega _2\not=0$). $\D$-nek v\'alaszthat\'o a megfelel\H o r\'acsparallelogramma. A szemk\"ozti ekvivalens oldalakat \"osszeragasztva $R$ topol\'ogiailag t\'orusz lesz. E p\'eld\'ak mint\'aj\'ara tegy\"uk fel, hogy $\Gamma $ fixpontmentes, (azaz az identit\'as ki\-v\'e\-te\-l\'e\-vel elemeinek nincs fixpontja), --- amit hallgat\'olagosan m\'ar a fundament\'alis tartom\'any szigor\'u \'ertelmez\'es\'evel is feltett\"unk, --- \'es hogy van ``kompakt", (azaz nem--euk\-li\-de\-szi \'ertelemben korl\'atos) fundament\'alis tartom\'anya. $\D$ ekkor v\'alaszthat\'o (nem-euklideszi) soksz\"ognek, amelynek oldalai p\'aronk\'ent ekvivalensek. Az ekvivalenseket \"osszeragasztva $R$ topol\'ogiailag g\"omb lesz v\'eges sok f\"ullel. Ezek a kompakt, ``z\'art" Riemann fel\"uletek. A f\"ulek sz\'ama, a Riemann fel\"ulet neme, amit $q$-val fogunk jel\"olni, itt $>1$: $q=1$, azaz t\'orusz csak az euklideszi s\'\i kon fordulhat el\H o. $R$ \"or\"okli $H$ metrik\'aj\'at \'es m\'ert\'ek\'et; $R$ m\'ert\'eke, $\sigma (\D)=4\pi (q-1)$ v\'eges. A $H\rightarrow R$ lek\'epez\'es, amely $z\in H$-hoz az ekvivalencia oszt\'aly\'at rendeli hozz\'a, lok\'alisan k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H u, $R$ \'ugynevezett univerz\'alis fed\'ese. Az $f(z)$ ($z\in H$) f\"uggv\'enyt automorfnak mondjuk $\Gamma $-ra n\'ezve, ha $f(\gamma z)=f(z)$ ($\gamma \in \Gamma $). M\'assz\'oval $f$ ekvivalens pontokban egyforma \'ert\'eket vesz fel, azaz az $R$ Riemann fel\"uleten \'ertelmezett f\"uggv\'eny. Mostant\'ol kezdve $H$-n \'ertelmezett f\"uggv\'enyen mindig automorfat \'ert\"unk. Invari\'ans oper\'ator automorf f\"uggv\'enyb\H ol automorfat csin\'al: $\gamma Lf=L\gamma f=Lf$, teh\'at $L$ val\'oban $R$-en hat. Ezen f\"uggv\'enyek k\"oz\"ul is az $\frak L_2(R,d\sigma )=\frak L_2(\D,d\sigma )$-beliekre szor\'\i tkozunk. A skal\'ar szorzatot, \"onadjung\'alts\'agot is ebben a t\'erben \'ertj\"uk. \subhead $D$ spektr\'al felbont\'asa \endsubhead Ebben az \'ertelemben $D$ \"onadjung\'alt, s\H ot negat\'\i v ope\-r\'a\-tor. A Green-formul\'at ugyanis a soksz\"ognek k\'epzelt $\D$-re fel\'\i rva, $$ \align (Df,g) &=\int _{\D}Df\cdot \ol g\,d\sigma _z =\int \int _\D y^2\Delta f\cdot \ol g\,\frac{dx\,dy}{y^2}\\ &=\int _{\partial\D}\frac{\partial f}{\partial n}\ol g\,ds -\int \int _\D\left(\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial \ol g}{\partial x}+ \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial \ol g}{\partial y}\right)\,dx\,dy, \endalign $$ ahol $\partial /\partial n$ a k\"uls\H o norm\'alis szerinti deriv\'altat jelenti, $ds$ az \'\i vhossz elem. A vonalintegr\'al elt\H unik: ha $\ell$ \'es $\gamma \ell$ ($\gamma \in \Gamma $) k\'et ekvivalens oldala $\D$-nek, akkor $f(\gamma z)=f(z)$ alapj\'an $$ \frac{\partial f}{\partial n}(\gamma z)|\gamma ^\prime(z)|= -\frac{\partial f}{\partial n}(z), $$ $$ \int _{\gamma \ell}\frac{\partial f}{\partial n}(z)\ol{g(z)}\,ds= \int _\ell\frac{\partial f}{\partial n}(\gamma z) \ol{g(\gamma z)}|\gamma ^\prime(z)|\,ds= -\int _\ell\frac{\partial f}{\partial n}(z)\ol{g(z)}\,ds, $$ \'es az oldalakon vett integr\'alok p\'aronk\'ent kiejtik egym\'ast. Innen l\'atjuk, hogy val\'oban $(Df,g)=\ol{(Dg,f)}$, \'es hogy ez $\leq 0$ $g=f$ eset\'en. Mi a $D$ oper\'ator k\'eptere? $g$ erre akkor \'es csak akkor mer\H oleges, ha minden $f$-re $$ (Df,g)=(f,Dg)=0, $$ teh\'at, ha $Dg\equiv 0$, azaz $g$ harmonikus, de akkor a maximum elv szerint konstans. A k\'ept\'er lez\'ar\'asa teh\'at az $$ \frak L_2^0\overset {def}\to= \{f\in \frak L_2\: \int _\D f\,d\sigma =0\} $$ f\"uggv\'enyt\'er. (Mivel nem tudjuk el\H ore, hogy $g$ s\'\i ma f\"uggv\'eny, amelyre $D$ alkalmazhat\'o, pre\-c\'\i \-zebben --- egy kor\'abbi jel\"ol\'essel --- azt kellett volna mondani, hogy $$ (DL_\delta f,g)=(L_\delta Df,g)=(Df,\ol L_\delta g)=(f,D\ol L_\delta g)=0 $$ $$ \Rightarrow D\ol L_\delta g\equiv 0\Rightarrow \ol L_\delta g \text{ harmonikus} \Rightarrow L_\delta g\text{ konstans} \overset{\delta \rightarrow 0}\to\Rightarrow g\text{ konstans}.) $$ Ha $D$-t is $\frak L_2^0$-ra korl\'atozzuk, akkor $Df\equiv 0\Rightarrow f\equiv 0$, $D$ teh\'at ``invert\'alhat\'o" e t\'eren. Az inverz $$ \int _\D G(z,w)f(w)\,d\sigma _w $$ alak\'u integr\'al oper\'ator. Ha p\'eld\'aul $G(z,w)$ mindk\'et v\'altoz\'oj\'aban automorf, $w$-ben $z$ \'es egy r\"ogz\'\i tett $z_0$ (\'es a vel\"uk ekvivalens pontok) kiv\'etel\'evel harmonikus, \'es $$ G(z,w) = \cases -\log|w-z|+O(1) & \text{($w\rightarrow z$),}\\ \log|w-z_0|+O(1) & \text{($w\rightarrow z_0$),} \endcases $$ akkor ezt az integr\'al oper\'atort $Df$-re alkalmazva $f(z)-f(z_0)$-at adja vissza, mint az a Green formula seg\'\i ts\'eg\'evel egyszer\H uen bizony\'\i that\'o $\D$-b\H ol $z$ \'es $z_0$ k\"or\"ul kis k\"or\"oket kihagyva, amikoris a norm\'alis szerinti deriv\'altnak a kis k\"or\"ok\"on vett vonalintegr\'alja fogja hat\'ar\'ert\'ekben $f(z)$-t, illetve $f(z_0)$-at reproduk\'alni. Az integr\'al oper\'ator teh\'at konstanst\'ol eltekintve val\'oban invert\'alja $D$-t. Ilyen $G(z,w)$ f\"uggv\'eny a harmonikus f\"uggv\'enyek klasszikus kostrukci\'os m\'odszereivel nyerhet\H o. Az integr\'al oper\'ator szint\'en negat\'\i v, \'es mivel $G$-nek csak logaritmikus szingularit\'asai vannak, Hilbert--Schmidt t\'\i pus\'u. Az ilyen oper\'atorok \'altal\'anos elm\'elete szerint a norm\'alt saj\'atf\"uggv\'enyek, $\{f_j(z)\}_{j=1}^\infty $ teljes ortonorm\'alt rendszert alkotnak $\frak L_2^0$-ban; a saj\'at\'ert\'ekek $0$-hoz tartanak \'es minden $0$-t\'ol k\"ul\"onb\"oz\H o saj\'at\'ert\'ek saj\'ataltere v\'eges dimenzi\'os. Oper\'atorunk invert\'alhat\'o, teh\'at a $0$ nem lehet saj\'at\-\'e\-rt\'ek. Visszat\'erve $D$-re \"osszefoglalhatjuk e klasszikus spektr\'alelm\'elet eredm\'eny\'et: $Df_j=\lambda _jf_j$, $0>\lambda _j\rightarrow -\infty $, \'es hozz\'av\'eve $\lambda _0=0$-t \'es $f_0\equiv (\sigma (\D)^{-1/2}$-t, $\{f_j(z)\}_{j=0}^\infty $ teljes ortonorm\'alt rendszert alkot $\frak L_2(\D,d\sigma )$-ban. \subhead Integr\'al oper\'ator spektr\'al felbont\'asa \endsubhead Integr\'al oper\'atort automorf f\"uggv\'enyre alkalmazva $$ \align Lf &=\int _H k(z,w)f(w)d\sigma _w= \sum _{\gamma \in \Gamma }\int _{\gamma \D}k(z,w)f(w)d\sigma _w\\ &=\sum _{\gamma \in \Gamma }\int _\D k(z,\gamma w)f(\gamma w)d\sigma _w=\int _\D K(z,w)f(w)d\sigma _w, \endalign $$ ahol $$ K(z,w)=\sum _{\gamma \in \Gamma }k(z,\gamma w). $$ $K(z,w)$ mint mindk\'et v\'altoz\'oj\'aban automorf f\"uggv\'eny kifejthet\H o az ilyen f\"ugg\-v\'enyek ter\'eben teljes $\{f_i(z)\ol f_j(z)\}_{i,j=0}^\infty $ ortonorm\'alt rendszer szerint. Ugyan\'ugy, ahogy a val\'os esetben, a kifejt\'es \'\i gy n\'ez ki: $$ K(z,w)=\sum _{j=0}^\infty \Lambda _j f_j(z)\ol{f_j(w)}, $$ ahol $Lf_j=\Lambda _j f_j$. Az oper\'ator nyoma $$ \int _\D K(z,z)d\sigma _z= \sum _{j=0}^\infty \Lambda _j \int _\D |f_j(z)|^2\,d\sigma _z=\sum _{j=0}^\infty \Lambda _j, $$ azaz $$ \int _\D \sum _{\gamma \in \Gamma } k(z,\gamma z)d\sigma = \sum _{\gamma \in \Gamma }\int _\D k(z,\gamma z)d\sigma =\sum _{j=0}^\infty \Lambda _j. $$ \head A nyomformula \endhead $k(z,\gamma z)$ megfelel\H oje a val\'os esetben konstans volt, ez\'ert a baloldalt tov\'abb ala\-k\'\i t\-juk. \'Altal\'anosabban, mikor lesz $k(w,\gamma _0w)=k(z,\gamma z)$? Ha $w=Tz$, akkor $$ k(w,\gamma _0w)=k(Tz,\gamma _0Tz)=k(z,T^{-1}\gamma _0Tz), $$ teh\'at akkor biztosan, ha $\gamma =T^{-1}\gamma _0T$, vagyis, ha $\gamma $ \'es $\gamma _0$ egym\'asnak $T$ \'altali konjug\'altjai. (Ha $\gamma =\gamma _0$, akkor ez azt jelenti, hogy $\gamma _0$ \'es $T$ felcser\'elhet\H oek, mint a val\'os esetben mindig, ami most azonban ritkas\'ag.) \"Osszegezz\"unk ez\'ert k\"ul\"on--k\"ul\"on az egyes konjug\'alt oszt\'alyokra! $\gamma _0$ konjug\'alt oszt\'aly\'at jel\"olje $\{\gamma _0\}$. A konjug\'al\'o elem legyen $g$: $\gamma =g^{-1}\gamma _0g$. (Itt $g\in \Gamma $ lesz, b\'ar az el\H obbi megjegyz\'eshez ez nem sz\"uks\'eges.) Ha k\'et ilyen megegyezik, $$ g_1^{-1}\gamma _0g_1=g^{-1}\gamma _0g, \quad gg_1^{-1}\gamma _0= \gamma _0gg_1^{-1}, $$ az azt jelenti, hogy $gg_1^{-1}\in [\gamma _0]\overset{def}\to=$ a $\gamma _0$-lal felcser\'elhet\H o elemek r\'eszcsoportja $\Gamma $-ban. Teh\'at \'altal\'aban $$ \sum _{\gamma \in \{\gamma _0\}}=\sum _{g\in \Gamma /[\gamma _0]}, $$ ahol $\gamma =g^{-1}\gamma _0g$, \'es a m\'asodik \"osszegben $g$ a $[\gamma _0]$ szerinti jobboldali (baloldali?) mell\'ekoszt\'alyok egy--egy reprezent\'ans\'an fut v\'egig. $\gamma \in \{\gamma _0\}$ eset\'en $$ \int _\D k(z,\gamma z)\,d\sigma =\int _\D k(z,g^{-1}\gamma _0gz)d\sigma = \int _\D k(gz,\gamma _0gz)\,d\sigma =\int _{g\D}k(z,\gamma _0 z)\,d\sigma , $$ $$ \sum _{\gamma \in \{\gamma _0\}}\int _\D k(z,\gamma z)\,d\sigma = \sum _{g\in \Gamma /[\gamma _0]}\int _{g\D}k(z,\gamma _0z)\,d\sigma = \int _{\D(\gamma _0)}k(z,\gamma _0z)\,d\sigma , $$ ahol $$ \D(\gamma _0)=\bigcup_{g\in \Gamma /[\gamma _0]}g\D. $$ Ha az itt szerepl\H o $g$ reprezent\'ans elemeket balr\'ol v\'egigszorozzuk $[\gamma _0]$ elemeivel, akkor megkapjuk $\Gamma $ elemeit, mindegyiket pontosan egyszer. M\'assz\'oval a $\gamma \D(\gamma _0)$ ($\gamma \in [\gamma _0]$) halmazok $H$ diszjunkt part\'\i ci\'oj\'at alkotj\'ak, teh\'at $\D(\gamma _0)$ a $[\gamma _0]$ diszkr\'et r\'eszcsoport fundament\'alis tartom\'anya. \"Osszefoglalva, $$ \sum _{\gamma \in \{\gamma _0\}}\int _\D k(z,\gamma z)\,d\sigma = \int _{\D(\gamma _0)}k(z,\gamma _0z)\,d\sigma . $$ Kor\'abbr\'ol tudjuk, hogy $k(z,\gamma _0z)$ automorf $[\gamma _0]$-ra n\'ezve, \'\i gy igaz\'ab\'ol mindegy, hogy $[\gamma _0]$ melyik fundament\'alis tartom\'any\'at v\'alasztjuk $\D(\gamma _0)$-k\'ent. \medskip \centerline{* * *} \medskip {\it A mozgat\'asokr\'ol.} Az identit\'ast\'ol k\"ul\"onb\"oz\H o mozgat\'asnak egy vagy k\'et fixpontja van. Ha csak egy van, akkor az val\'os vagy a $\infty $; ezek a parabolikus transzform\'aci\'ok. Ha van fixpont $H$-ban, akkor a konjug\'altja a m\'asik fixpont; ezek az elliptikus transzform\'aci\'ok. A t\"obbinek k\'et k\"ul\"onb\"oz\H o, val\'os vagy $\infty $ fixpontja van; ezek a hiperbolikus transzform\'aci\'ok. A fixpontmentess\'eggel kiz\'artuk, hogy $\Gamma $-nak elliptikus eleme lehessen. Parabolikus sem lehet, ha $\D$ kompakt. Ha ugyanis $T$, esetleg $\not\in \Gamma $, a $\infty $-t \'atviszi $\gamma $ egyetlen fixpontj\'aba, akkor $T^{-1}\gamma T$-nek a $\infty $ az egyetlen fixpontja, ami csak (euklideszi) eltol\'as lehet. Nagy val\'os r\'esz\H u pontot ilyen eltol\'as k\"ozeli pontba visz, \'es visszat\'erve $\gamma $-ra, majd a megfelel\H o pontot $\Gamma $-beli mozgat\'assal $\D$-be vive l\'atjuk, hogy l\'etezik parabolikus $\gamma _n\in \Gamma $ \'es $z_n\rightarrow z_0\in\D$ \'ugy, hogy $d(z_n,\gamma _nz_n)\rightarrow 0$. Ekkor $00$) alak\'u, ahol --- $0$-t \'es $\infty $-t esetleg felcser\'elve --- feltehetj\"uk, hogy $\varrho >1$. $\varrho $-t $\gamma $, s\H ot $\{\gamma \}$ egy\'ertelm\H uen meghat\'arozza, \'es $\gamma $ \'es $\{\gamma \}$ norm\'aj\'anak nevezz\"uk: $\varrho =N(\gamma )=N(\{\gamma \})$. K\'et mozgat\'as akkor \'es csak akkor cser\'elhet\H o fel, ha fixpontjaik megegyeznek. A $\gamma _0$-lal felcser\'elhet\H o mozgat\'asokhoz teh\'at ugyanaz a $T$ v\'alaszthat\'o \'es l\'atjuk, hogy ezek csoportja a $\varrho >0$ sz\'amok multiplikat\'\i v csoportj\'aval izomorf. $[\gamma _0]$ mint a $\gamma _0$-lal felcser\'elhet\H o mozgat\'asok diszkr\'et r\'eszcsoportja ez\'ert v\'egtelen ciklikus. Legyen $\gamma ^*$ ennek egy gener\'atora: $[\gamma _0]=\{\gamma ^{*l}\}_{l=-\infty }^\infty $. $\gamma ^*$-ot primit\'\i v elemnek, $\{\gamma ^*\}$-ot primit\'\i v konjug\'alt oszt\'alynak h\'\i vjuk. Ha el\H o\'\i rjuk, hogy $\gamma _0=\gamma ^{*m}$ $m>0$-val, akkor $\gamma _0$ egy\'ertelm\H uen meghat\'arozza $\gamma ^*$-ot. Legyen $\varrho ^*=N(\gamma ^*)$. \medskip \centerline{* * *} \medskip $$ \align \int _{\D(\gamma _0)}k(z,\gamma _0z)\,d\sigma &= \int _{\D(\gamma _0)}k(T^{-1}z,T^{-1}\gamma _0z)\,d\sigma = \int _{T^{-1}\D(\gamma _0)}k(z,T^{-1}\gamma _0Tz)\,d\sigma \\ &=\int _{T^{-1}\D(\gamma _0)}k(z,\varrho _0z)\,d\sigma , \endalign $$ ahol $\varrho _0=N(\gamma _0)$. $T^{-1}\D(\gamma _0)$ a $T^{-1}[\gamma _0]T=\{\varrho ^{*l}z\}_{l=-\infty }^\infty $ csoport fundament\'alis tartom\'anya, \'espedig tetsz\H oleges fundament\'alis tartom\'anya lehet; v\'alaszthatjuk a $\{z=re^{i\vartheta }\:1\leq r<\varrho ^*,\,0<\vartheta <\pi \}$ f\'elgy\H ur\H unek. Azt is tudjuk el\H ore, hogy $k(z,\varrho _0z)$ a $\varrho _0z$ transzform\'aci\'oval felcser\'elhet\H o $\varrho z$ transzform\'aci\'okra n\'ezve invari\'ans, vagyis minden sug\'ar ment\'en konstans. $$ \int _{T^{-1}\D(\gamma _0)}k(z,\varrho _0z)\,d\sigma = \int _0^\pi \int _1^{\varrho ^*}k(z,\varrho _0z)\frac{r\,dr\,d\vartheta }{r^2\sin^2\vartheta } =\int _0^\pi k(e^{i\vartheta },\varrho _0e^{i\vartheta })\frac{\log \varrho ^*}{\sin^2 \vartheta }\,d\vartheta = $$ $$ =2\int _0^{\pi /2}k\lp\frac{|e^{i\vartheta }-\varrho _0e^{i\vartheta }|^2} {\sin\vartheta \cdot \varrho _0\sin\vartheta }\rp\frac{\log\varrho ^*}{\sin^2\vartheta }\,d\vartheta =2\log\varrho ^*\int _0^{\pi /2}k\lp\frac{(\varrho _0-1)^2}{\varrho _0\sin^2\vartheta }\rp \frac{d\vartheta }{\sin^2\vartheta }. $$ Ez a $t=(\varrho _0-1)^2/\varrho _0=\varrho _0+1/\varrho _0-2$ \'es $\tau =t/\sin^2\vartheta $, azaz $\vartheta =\arcsin\sqrt {t/\tau }$ helyettes\'\i t\'essel $$ =2\log\varrho ^*\int _t^\infty k(\tau )\frac \tau t\frac1{\sqrt {1-\frac t\tau }} \frac{\sqrt t}{2\tau ^{3/2}}\,d\tau =\frac{\log\varrho ^*}{\sqrt t}\int _t^\infty \frac{k(\tau )}{\sqrt {\tau -t}}\,d\tau = $$ $$ =\frac{\log\varrho ^*}{\sqrt t}\int _0^\infty \frac{k(\tau +t)}{\sqrt \tau }\,d\tau = \frac{\log\varrho ^*}{\sqrt t}\sqrt {\varrho _0}g(\log\varrho _0)= \frac{\log\varrho ^*}{\frac{\varrho _0-1}{\sqrt {\varrho _0}}}\sqrt {\varrho _0}g(\log\varrho _0)= $$ $$ =\frac{\log\varrho ^*}{1-\frac1{\varrho _0}}g(\log\varrho _0) $$ $g$ kor\'abbi defin\'\i ci\'oja szerint. \"Osszefoglalva, $$ \sum _{\gamma \in \{\gamma _0\}}\int _\D k(z,\gamma z)\,d\sigma = \frac{\log N(\gamma ^*)}{1-\frac1{N(\gamma _0)}}g(\log N(\gamma _0)). $$ (Ez lett v\'eg\"ul az eredetileg semmitmond\'o \"osszegb\H ol!) Az identit\'ast tartalmaz\'o egyelem\H u konjug\'alt oszt\'alyt k\"ul\"on kell kezeln\"unk: $$ \int _\D k(z,z)\,d\sigma =k(0)\sigma (\D)= \frac{q-1}{\pi i}\int _{(\alpha )}(1-2s)\frac{\Gamma ^\prime}\Gamma (s)G(s)\,ds $$ $G$ kor\'abbi defin\'\i ci\'oja szerint hosszabb, de sz\'amunkra kev\'esb\'e \'erdekes sz\'amol\'assal; itt $(\alpha )$ az $\alpha $ val\'os r\'esz\H u f\"ugg\H oleges egyenest jelenti, $\alpha >0$. A kor\'abbi nyomformul\'ank, $$ \sum _{\gamma \in \Gamma }\int _\D k(z,\gamma z)d\sigma =\sum _{j=0}^\infty \Lambda _j $$ teh\'at \'\i gy alakul: $$ \frac{q-1}{\pi i}\int _{(\alpha )}(1-2s)\frac{\Gamma ^\prime}\Gamma (s)G(s)\,ds+ \sum _{\{\gamma _0\}}\frac{\log N(\{\gamma ^*\})}{1-\frac1{N(\{\gamma _0\})}} g(\log N(\{\gamma _0\}))=\sum _{j=0}^\infty G(s_j). $$ Itt $$ G(s)=\int _{-\infty }^\infty g(y)e^{sy}\,dy, $$ $$ s_j=\frac12+\sqrt {\frac14+\lambda _j}, $$ (csak az egyik n\'egyzetgy\"ok veend\H o), ahol $\lambda _0=0$, $\lambda _j<0$ ($j=1,\hdots$) $D$ saj\'at\'ert\'ekei multiplicit\'assal v\'eve,\newline $\{\gamma _0\}$ az identit\'ast nem tartalmaz\'o konjug\'alt oszt\'alyokon fut v\'egig, $\{\gamma ^*\}$ a megfelel\H o primit\'\i v oszt\'aly, ($\gamma ^*$ defini\'alhat\'o p\'eld\'aul $\gamma _0$ legnagyobb kitev\H oj\H u, $\Gamma $-beli gy\"okek\'ent,) $N(\,\,)$ a norma,\newline $q$ a Riemann fel\"ulet neme. Ez a h\'\i res Selberg--f\'ele nyomformula a legegyszer\H ubb esetben. {\it Kieg\'esz\'\i t\'es.} Csak k\'enyelmi szempontb\'ol z\'artuk ki az elliptikus transz\-for\-m\'a\-ci\-\'o\-kat. Ha $\D$ kompakts\'ag\'at sem k\"ovetelj\"uk meg, akkor $\sigma (\D)<\infty $ eset\'en $\Gamma $ m\'eg viszonylag egyszer\H u, v\'egesen gener\'alt, de m\'ar megjelennek parabolikus elemek, $D$ spektruma pedig m\'ar nem tiszt\'an diszkr\'et, folytonos r\'esze is van. A $\sigma (\D)=\infty $ esete l\'enyegesen m\'as, (Patterson). \head A Selberg--f\'ele $\zeta $--f\"uggv\'eny \endhead A formula eml\'ekeztette Selberget a $$ \zeta (s)=\sum _{n=1}^\infty \frac1{n^s}\;\;\;(\Re s>1), $$ a Riemann--f\'ele $\zeta $--f\"uggv\'eny elm\'elet\'eben ismert \'es haszn\'alt k\'epletekre. Az Euler--f\'ele szorzat--el\H o\'all\'\i t\'as, $$ \zeta (s)=\prod _p\left(1+\frac1{p^s}+\frac1{p^{2s}}+\hdots\right)= \prod _p\frac1{1-\frac1{p^s}} $$ logaritmikus differenci\'al\'as\'aval $$ -\frac{\zeta ^\prime}\zeta (s)=\sum _{n=1}^\infty \frac{\Lambda (n)}{n^s}, $$ ahol $\Lambda (n)=\log p$, ha $n$ a $p$ pr\'\i m hatv\'anya \'es $0$, ha $n$ nem pr\'\i mhatv\'any. A $G(s)=\int _{-\infty }^\infty g(y)e^{sy}\,dy$ jel\"ol\'est megtartva, a teljes hasonl\'os\'ag \'erdek\'eben legyen itt is $e^yg(y)=g(-y)$, $G(s)=G(1-s)$. Tegy\"uk fel, hogy $G(s)$ regul\'aris a $-\epsilon \leq \Re s\leq 1+\epsilon $ s\'avban, \'es a $\infty $-ben kell\H o rendben elt\H unik; ez a val\'odi felt\'etele a nyomformula fenn\'all\'as\'anak is. Egy "Weil--f\'ele explicit formula" erre az esetre \'\i gy n\'ez ki: $$ \sum _{n=1}^\infty \Lambda (n)g(\log n) =G(1)-\frac12{\sum _{\varrho }}^\prime G(\varrho )+ \frac1{4\pi i}\int _{(\alpha )} \lp \frac{\Gamma ^\prime}\Gamma \lp \frac s2\rp -\log \pi \rp G(s)\,ds, $$ ahol a jobboldali \"osszegben $\varrho $ a $\zeta $--f\"uggv\'eny $0<\Re \varrho <1$ s\'avba es\H o gy\"okein, vagyis $\zeta ^\prime /\zeta (s)$ p\'olusain, az \'ugynevezett nem--trivi\'alis gy\"ok\"ok\"on fut v\'egig, \'es az integr\'al felel meg a t\"obbi, a negat\'\i v p\'aros eg\'esz helyeken lev\H o, \'ugynevezett trivi\'alis gy\"oknek; $0<\alpha <1$. (Bizony\'\i t\'as: A baloldal $$ =-\frac 1{2\pi i}\int _{(1+\epsilon )}\frac {\zeta ^\prime}\zeta (s)G(s)\,ds. $$ A Reziduum--t\'etellel \'attoljuk az integr\'aci\'os utat $(-\epsilon )$-ra, majd $\zeta (s)$ \'es $G(s)$ f\"ugg\-v\'eny egyenlet\'et felhaszn\'alva --- mindegyik az $s$ \'es $1-s$ helyen felvett \'ert\'ekek k\"oz\"ott teremt kapcsolatot --- vissza\'\i rjuk $(1+\epsilon )$-on vett integr\'all\'a, amikor ism\'et megjelenik a baloldalt kifejez\H o integr\'al.) A nyomformul\'aban $n$-nek $N(\{\gamma _0\})$, $\Lambda (n)$-nek $\log N(\{\gamma ^*\})/(1-1/N(\{\gamma _0\})$ felel meg. Vezess\"uk be ez\'ert a $$ \sum _{\{\gamma _0\}}\frac{\log N(\{\gamma ^*\})}{1-\frac1{N(\{\gamma _0\})}} \cdot \frac1{N(\{\gamma _0\})^s} $$ Dirichlet sort. A primit\'\i v konjug\'alt oszt\'alyokra \"osszegezve ez \'\i gy \'\i rhat\'o: $$ \sum _{\{\gamma ^*\}}\sum _{l=1}^\infty \frac{\log N(\{\gamma ^*\})}{1-\frac1{N(\{\gamma ^*\})^l}} \cdot \frac1{N(\{\gamma ^*\})^{ls}}=\sum _{\{\gamma ^*\}}\sum _{l=1}^\infty \sum _{\nu =0}^\infty \frac{\log N(\{\gamma ^*\})}{N(\{\gamma ^*\})^{l\nu }N(\{\gamma ^*\})^{ls}}= $$ $$= -\lp\sum _{\{\gamma ^*\}}\sum _{l=1}^\infty \sum _{\nu =0}^\infty \frac1 {lN(\{\gamma ^*\})^{l\nu }N(\{\gamma ^*\})^{ls}}\rp^\prime= \lp\sum _{\{\gamma ^*\}}\sum _{\nu =0}^\infty \log(1- \frac1{N(\{\gamma ^*\})^{\nu +s}})\rp^\prime=$$ $$=\lp\log\prod _{\{\gamma ^*\}}\prod _{\nu =0}^\infty (1-\frac1{N(\{\gamma ^*\})^{\nu +s}})\rp^\prime= \frac{Z^\prime}Z(s), $$ ahol $$ Z(s)=\prod _{\{\gamma ^*\}}\prod _{\nu =0}^\infty \left(1-\frac1{N(\{\gamma ^*\})^{\nu +s}}\right) $$ a Selberg--f\'ele $\zeta $--f\"uggv\'eny. A Selberg \'es a Weil formula anal\'ogi\'aj\'ab\'ol ``leolvashat\'o", hogy $Z(s)$-nek az $s_j$-kben gy\"oke van; itt $s_j=1/2+\sqrt {1/4+\lambda _j}$-nek mind a k\'et \'ert\'ek\'evel sz\'amolunk, amikoris a nyomformula jobboldal\'an lev\H o \"osszeg is $1/2$ szorz\'ot kap. A negat\'\i v el\H ojel hi\'anya miatt $s_0=1$ \'es $0$ is gy\"ok! Mivel $0>\lambda _j\rightarrow -\infty $ ($0