\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\parindent=18pt
 
\define\e{\varepsilon}
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
 
\noindent{\bf A 1995. \'evi Schweitzer verseny val\'osz\'{\i}n\H
us\'egfeladata,}
\smallskip
\noindent
{illetve n\'eh\'any m\"og\"otte lev\H o \'erdekes a nagy elt\'er\'esek
elm\'elet\'ehez tartoz\'o k\'erd\'es.}
\medskip
 
\noindent{\it Az 1995. \'evi Schweitzer verseny val\'osz\'\i{}n\H us\'eg
feladata}\/ \hfill\break
Legyen $\xi_k=\eta_k+\vartheta$, ahol $\eta_k$, $k=1,2,\dots,$
f\"uggetlen val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok ismert $F(x)$
eloszl\'assal, $\vartheta$ pedig ismeretlen param\'eter. Ha az $F(x)$
eloszl\'as \'altal meghat\'arozott m\'ert\'ek  nem abszolut folytonos a
Lebesgue m\'ert\'ekre n\'ezve, akkor alkalmas $\alpha>0$ sz\'am eset\'en
minden $\e>0$-ra l\'etezik olyan $T_n(x_1,\dots,x_n)$ f\"uggv\'eny \'es
$E\subset R^1$ halmaz, melyre $\lambda(E)<\e$, ahol $\lambda$ jel\"oli
a Lebesque m\'ert\'eket, \'es
$$
P(|T_n(\xi_1,\dots,\xi_n)-\vartheta|\notin E)<e^{-n\alpha}
$$
minden el\'eg nagy $n$-re.
 
Ha az $F(x)$ f\"uggv\'enynek l\'etezik folytonos s\H ur\H
us\'egf\"uggv\'enye, akkor minden $\alpha>0$ sz\'amra l\'etezik olyan
 $\e=\e(\alpha)>0$ sz\'am \'es
$n(\e,\alpha)$ k\"usz\"obindex, amelyekre $n>n(\e,\alpha)$ \'es
$\lambda(E)<\e$ eset\'en tetsz\H oleges $T_n(x_1,\dots,x_n)$
f\"uggv\'enyre
$$
P(|T_n(\xi_1,\dots,\xi_n)-\vartheta|\notin E)>e^{-n\alpha}\;.
$$
\bigskip
 
A feladat jobb meg\'ert\'ese \'erdek\'eben tekints\"uk a
k\"ovetkez\H o term\'eszetes jel\"oltet a $\vartheta$ becsl\'esre:
$T_n(\xi_1,\dots,\xi_n)=\dfrac1n\summ_{k=1}^n(\xi_k-E\eta_k)$. Ez a
becsl\'es m\'eg a legszebb
esetekben sem el\'eg\'{\i}ti ki a feladat felt\'eteleit. ($e^{-n\alpha}$
kicsis\'eg\H u hiba nem lehets\'eges nagyon kis $\e>0$ eset\'en.)
 
 
Legyen adva van k\'et eloszl\'asf\"uggv\'eny, $F$ \'es $G$,
\'es legyen $\xi_1,\dots,\xi_n$ $n$ f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'o $F$ eloszl\'asf\"uggv\'ennyel.
Vezess\"uk be az $F_n(x)=\dfrac1n\#\{p\: 1\le p\le n,\;\xi_p<x\}$
empirikus eloszl\'asf\"uggv\'enyt.
Be lehet bizony\'{\i}tani, hogy $-\dfrac1n\log|F_n(x)-G(x)|<\e)\sim
I(G\|F)=\int\log\dfrac {dG(u)}{dF(u)}\,dG(u)$ kis $\e$-ra \'es nagy
$n$-re. Ez a h\'{\i}res Sanov t\'etel, mely
inform\'alisan megfogalmazva azt jelenti,
hogy jellemezni tudjuk, milyen (exponenci\'alisan kicsi)
val\'osz\'{\i}n\H us\'eggel viselkedik egy $F$ eloszl\'as\'u minta
\'ugy, mintha $G$ eloszl\'as\'u minta volna. Ennek a val\'osz\'{\i}n\H
us\'egnek az exponens\'et az $I(G\|F)$ \'ugynevezett
$I$-divergencia adja meg. Ez az\'ert \'erdekes a t\'argyalt feladat
szempontj\'ab\'ol, mert  a $\vartheta$ param\'eterre akkor tudunk
j\'o becsl\'est adni, ha az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny az el\H obbi
\'ertelemben j\'ol meg\-k\"u\-l\"on\-b\"oz\-tet\-het\H o eltoltjait\'ol.
Ezt a megk\"ul\"onb\"oztethet\H os\'eget az $I$ divergenci\'aval
lehet m\'erni. A feladat \'all\'{\i}t\'asa pongyol\'an megfogalmazva
azt jelenti, hogy egy eloszl\'asf\"uggv\'eny akkor
k\"ul\"onb\"oztethet\H o meg j\'ol eltoltjait\'ol, ha
nem abszolut folytonos a Lebesgue
m\'ert\'ekre n\'ezve.
 
\item{1.)} Bizony\'{\i}tsuk be, hogy a $\vartheta$ param\'eter
lokaliz\'alhat\'o a k\"ovetkez\H o \'ertelemben: Minden
$\alpha>0$-hoz lehet defini\'alni olyan
$A_n=A(\alpha,\xi_1,\dots,\xi_n, F)$,
$B_n=B(\alpha,\xi_1,\dots,\xi_n, F)$ sz\'amokat \'ugy, hogy
$P(A_n<\vartheta_n<B_n)>1-e^{-n\alpha}$, \'es $B_n-A_n<L$ egy
determenisztikus ($n$-t\H ol f\"uggetlen) $L$ sz\'ammal.
\item{}{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Legyen $A_n=\min\limits_{1\le k\le
n}\xi_k$, $B_n=\max\limits_{1\le k\le n}\xi_k$, ha $B_n-A_n$ nem t\'ul
nagy.
\smallskip L\'assuk be a Schweitzer feladat
pozit\'{\i}v \'all\'{\i}t\'as\'at. Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H o
jel\"ol\'eseket. Legyen az $F$ eloszl\'as \'altal meghat\'arozott
$\mu$ m\'ert\'ek dekompozici\'oja $\mu=\mu_c+\mu_s$, ahol
$\mu_c$ a m\'ert\'ek abszolut folytonos, \'es  $\mu_s$ a m\'ert\'ek
szingul\'aris r\'esze. Legyen  $\mu_s$ az $\A$ halmazra koncentr\'alva,
azaz legyen $\mu_s(\A)=c>0$, $\mu_s(R\setminus \A)=0$, $\lambda(\A)=0$.
Mivel $\mu(\A)>0$, az $F$ eloszl\'as\'u $\eta_1,\dots,\eta_n$
val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok pozit\'{\i}v r\'esze esik az
$\A$ halmazba. Ez akkor  igaz a
$(\xi_1,\dots,\xi_n)=(\eta_1+\vartheta,\dots,\eta_n+\vartheta)$
v\'altoz\'okra is, ha $\mu(\A-\vartheta)>0$.
Viszont majdnem minden $\vartheta$-ra $\mu(\A-\vartheta)=0$. E t\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet kisz\H urni a nem j\'o $\vartheta$
\'ert\'ekek nagy r\'esz\'et. Illetve \'erdemes az \'all\'{\i}t\'ast
folytonos\'{\i}tani, hogy  $\vartheta$-t nem tartalmaz\'o
kis intervallumokat is ki tudjuk sz\H urni.
\smallskip
\item{2.)} Legyen $\bold K= \{t\: t\in R^1,\,\mu(\A-t)>0\}$. Ekkor
$\lambda(\bold K)=0$. L\'etezik olyan kompakt $\BB \subset \A$
halmaz, melyre $\mu(\BB)\ge\dfrac c2$. Jel\"olje $\BB^\delta=\{t\:t\in
R^1,\; \rho(t,\BB)<\delta\}$ egy ilyen $\BB$ halmaz $\delta$ sugar\'u
k\"ornyezet\'et. L\'assuk be, hogy tetsz\H oleges $\e>0$-ra
l\'etezik olyan $\delta>0$, hogy a $\bold
K^\e=\{t\:  \mu(\BB^\delta-t)>\e\}$ halmazra $\mu(\bold
K^\e)<\e$, s\H ot ennek $\delta$ sugar\'u k\"ornyezet\'ere is
$\mu\(\(\bold K^e\)^\delta\)<\e$.
\item{3.)} Legyen $t\in\bold K^\e$, ahol $\bold K^\e$-t az el\H oz\H o
feladatban defini\'altuk, $t'<\[t-\dfrac \delta2, t+\dfrac\delta2\]$.
Ekkor a $\nu_n(t')=\#\{l\:1\le l\le n,\,\xi_k+t'\in \BB^{\delta/2}\}$
v\'altoz\'ora $P(\nu_n(t')>n|\log \e|^{-1})<2e^{-n/\e}$, mivel
$\mu(\BB^{\delta/2}-t')<\e$. Ha $t'\in \[-\dfrac \delta2,\dfrac
\delta2\]$, akkor mivel $\mu\(\BB^{\delta}+t'\)\ge \dfrac c2$
$P(\nu_n(t')<n|\log \e|^{-1})\le e^{-n\alpha} $.
\item{} A fenti \'eszrev\'etelek seg\'\i{}ts\'eg\'evel oldjuk meg a
Schweitzer feladat els\H o fel\'et.
\item{}{\it Seg\'\i{}ts\'eg:}\/ Azon a m\'ar lokaliz\'alt
intervallumon, ahol $\vartheta$ nagy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel
tal\'alhat\'o tekints\"unk egy s\H ur\H u r\'acsot, \'es ha $t$ eleme a
r\'acsnak, n\'ezz\"uk meg, tartalmaz-e a $\A^{\delta}-t$
halmaz sok $\xi_k$ pontot. Vegy\"uk az els\H o ilyen pontot.
 \bigskip
Tekints\"uk a feladat negat\'\i{}v r\'esz\'et, annak
bizony\'\i{}t\'as\'at, hogy amennyiben
az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek van folytonos deriv\'altja
(folytonos s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye), akkor nem lehet olyan j\'o
becsl\'est adni $\vartheta$-ra, mint a nem abszolut folytonos
esetben. Azt kell megfogalmazni \'es bebizony\'\i{}tani, hogy ebben
az esetben az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyb\H ol, illetve annak kis
eltoltjaib\'ol sz\'armaz\'o mint\'ak nem k\"ul\"onb\"oztethet\H oek
meg nagyon.
\item{4.)}  Bizony\'\i{}tsuk be, hogy ha $F$-nek van folytonos $F'(x)$
s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye, akkor tet\-sz\H o\-le\-ges $\delta>0$-ra
van olyan $L=L(\delta)$ sz\'am, melyre a $\BB(L)=\left\{t\: |t|<L,
F'(t)\ge\dfrac1L\right\}$ halmaz $F$ eloszl\'as szerint meghat\'arozott
$\mu_F$ m\'ert\'eke nagyobb mint $1-\delta$. Legyen $\A\subset R^n$
olyan halmaz, amelyikre $\A\subset \bold B(L)\times\cdots\times\BB(L)$.
Jel\"olje $\mu_{F^{(n)}_\vartheta}$ az $F(x-\vartheta)$ eloszl\'as
$n$-szeres direkt szorzata \'altal meghat\'arozott m\'ert\'eket.
Bizony\'\i{}tsuk be, hogy $\mu_{F^{(n)}_\vartheta}(\A)\ge
e^{-n\delta}\mu_{F^{(n)}_0}(\A)$.
\item{5.)}Bizony\'\i{}tsuk be az el\H oz\H o feladat
seg\'\i{}ts\'eg\'evel a Schweitzer feladat negat\'\i{}v fel\'enek
k\"ovetkez\H o gyeng\'\i{}tett v\'altozat\'at: Ha az $F$ eloszl\'asnak
l\'etezik folytonos s\H u\-r\H u\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, akkor
r\"ogz\'{\i}tett
$\alpha>0$-ra \'es nagyon kicsi $\e=\e(\alpha)>0$-ra nincs
olyan $T_n(x_1,\dots,x_n)$ becsl\'es a $\vartheta$ param\'eterre,
melyre
$$
P(|T_n(\xi_1,\dots,\xi_n)-\vartheta|<\e)>e^{-n\alpha}.
$$
(Azaz az $E=(-\e,\e)$ v\'alaszt\'assal nem lehet a feladat
\'all\'{\i}t\'as\'at teljes\'{\i}teni.) \medskip
Az el\H oz\H o feladat bizony\'\i{}t\'asa azon alapult, hogy el\'eg
kis $\e$-ra nem lehet k\'et diszjunkt halmazt tal\'alni
($\{(x_1,\dots,x_n)\:|T_n(x_1,\dots,x_n)|<\e\}$ \'es
$\{(x_1,\dots,x_n)\:|T_n(x_1,\dots,x_n)-2\e|<\e\}$
halmazok)  az $R^n$ t\'erben, melyeknek az $\mu_{F^{(n)}_0}$ illetve a
hozz\'a k\"ozel lev\H o $\mu_{F^{(n)}_\e}$ szerinti m\'ert\'eke
nagy. A feladat bizony\'\i{}t\'as\'ahoz ezt az \'ervet
finom\'\i{}tani kell. Azt kell kihaszn\'alni, hogy ha az $E$ halmaz
m\'ert\'eke kicsi, akkor a $\{|T_n(\xi_1,\dots,\xi_n)-\vartheta|\in E\}$
halmazoknak nem lehet nagy metszete
minden k\"ul\"onb\"oz\H o $\vartheta_1$, $\vartheta_2$ p\'arra.
Ezt az \'all\'\i{}t\'ast fogjuk pontosabban megfogalmazni.
\medskip
\item{6.)} Defini\'aljunk egy $\nu$ m\'ert\'eket a
sz\'amegyenesen, mint a k\"ovetkez\H o felt\'eteles eloszl\'ast.
$$
\nu(\A)=\mu_{F^{(n)}_0}\(\left.\{(x_1,\dots,x_n)\:
T_n(x_1,\dots,x_n)\in\A\}\right|x_j\in \BB(L),\;1\le L\le n\).
$$
Ekkor $\nu(E)>\dfrac12$ el\'eg nagy $n$-re, ahol $E$ a Schweitzer
feladatban
szerepl\H o $E$ halmaz, ha $\e>0$ el\'eg kicsi,
az $L$ konstans pedig el\'eg nagy a $\BB(L)$
halmaz definici\'oj\'aban.
\item{} Tetsz\H oleges $\eta>0$-ra \'es  $\e=\e(\eta)>0$
k\"usz\"obindexre igaz, hogy ha $\nu$
olyan m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen, melyre $\nu(E)>\dfrac12$, \'es
$\lambda(E)<\e$, akkor l\'etezik $0\le t\le \eta$, melyre
$\nu(E\setminus(E+t))>\dfrac14$.
\item{6.)} Bizony\'\i{}tsuk be a Schweitzer verseny
\'all\'\i{}t\'as\'anak negat\'\i{}v fel\'et is.
 
 
 
 
\bye
