\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\parindent=18pt
 
\define\e{\varepsilon}
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\noindent
{\bf RAMSEY-T\'ETEL \'ES ALKALMAZ\'ASAI}
\bigskip
 
\noindent
Kezdj\"uk mag\'aval a Ramsey-t\'etellel, illetve annak
leg\'altal\'anosabb (?) form\'aj\'aval.
\bigskip
\item{1.)} Jel\"olje $K_n^r$ az $n$ pont \"osszes $r$ elem\H u
r\'eszhalmaz\'ab\'ol \'all\'o hipergr\'afot, \'es $p_1,\dots,p_k$
legyenek tetsz\H oleges term\'eszetes sz\'amok. Ekkor l\'etezik egy
 olyan (legkisebb) $n=R_k^r(p_1,\dots,p_k)$ sz\'am, az \'ugynevezett
Ramsey-sz\'am, melyre igaz az, hogy b\'arhogy sz\'\i{}nezz\"uk $k$
sz\'\i{}nnel  $K_n^r$ \'eleit, legal\'abb egy $i$ sz\'\i{}nre
tal\'alhat\'o  $p_i$ pont, melynek \"osszes  $r$ elem\H
u r\'eszhalmaza $i$ sz\'\i{}n\H u.
\item{2.)} Sz\'\i{}nezz\"uk az $1,\dots,n\,$  term\'eszetes sz\'amokat
$k$ sz\'\i{}nnel, ahol $n \geq k!e$. Bizony\'\i{}tsuk be, hogy
l\'eteznek olyan azonos sz\'\i{}n\H u $x,y,z$ term\'eszetes sz\'amok,
melyekre $x+y=z$.
\item{3.)} Sz\'\i{}nezz\"uk az $n$  elem\H u alaphalmaz r\'eszhalmazait
$k$ sz\'\i{}nnel, ahol $n$ el\'eg nagy. Bizony\'\i{}tsuk be, hogy
l\'eteznek olyan azonos sz\'\i{}n\H u $X,Y,Z$ r\'eszhalmazok, melyekre
$X \cup Y = Z$.
\item{4.)} Bizony\'\i{}tsuk be, hogy l\'etezik tetsz\H olegesen magas
dimenzi\'oj\'u intervallumrendez\'es. (Egy r\'eszbenrendezett halmaz
intervallumrendez\'es, ha megkaphat\'o, mint a sz\'am\-egye\-nes
bizonyos intervallumainak r\'eszbenrendez\'ese, ahol $[a,b] > [c,d]$
akkor \'es csak akkor, ha $a>d$. Egy $(S,>)$ r\'eszbenrendezett halmaz
dimenzi\'oja az a legkisebb $k$, amelyre  $(S,>)$ megkaphat\'o, mint az
$S$ halmaz $k$ k\"ul\"onb\"oz\H o teljes rendez\'es\'enek metszete.)
\item{5.)} Bizony\'\i{}tsuk be, hogy a val\'os sz\'amok minden $k^2+1$
tag\'u sorozata tartalmaz egy  $k+1$ tag\'u monoton r\'eszsorozatot.
\item{6.)} Bizony\'\i{}tsuk be, hogy   minden  az $\{1,\dots,2^n \}$
halmazon \'ertelmezett  eg\'esz \'ert\'ek\H u $f$ f\"uggv\'enyhez,
melyre $1 \leq f(i) \leq i$,  $i=1,\dots,2^n$, l\'etezik olyan $k+1$
tag\'u $1=a_1<\cdots<a_{n+1} \leq 2^n$ sorozat, melyre $f(a_1)\leq
\dots\leq f(a_{n+1})$.
 
\bye
