\magnification=\magstep1
\nopagenumbers
\input amstex
 
\parindent=0pt
\parskip=5pt
 
\define\tr{\text{Tr}\,}
\define \A{\bold A}
\define \BB{\bold B}
\define \U{\bold U}
\define \e{\varepsilon}
 
\noindent
{\bf R\'acspontok sz\'ama konvex tartom\'anyban:} \bigskip
 
Feladat: Legyen $\bold A$ egy sima hat\'ar\'u szigor\'uan konvex halmaz.
L\'assuk be, hogy a r\'acs\-pon\-tok sz\'ama az $R\bold A \text{
halmazban}-
R^2\cdot \bold A\text{ halmaz ter\"ulete}$ kisebb mint const.$R^{2/3}$.
\bigskip
{\it Megjegyz\'es:\/} Ez a feladat a klasszikus k\"orprobl\'ema egy
term\'eszetes \'altal\'anos\'\i{}t\'as\'ara adott
nem-trivi\'alis becsl\'es. A bizony\'\i{}t\'as p\'eld\'at mutat arra,
hogyan lehet haszn\'alni a Poisson f\'ele \"osszegez\'esi formul\'at
nem-trivi\'alis becsl\'esek
bizony\'\i{}t\'as\'ara. Ez\'ert \'erdemes feldolgozni ennek az
\'all\'\i{}t\'asnak a
bizony\'\i{}t\'as\'at az al\'abbi feladatsorozat seg\'\i{}ts\'eg\'evel:
\bigskip
Jel\"olje $s(R,x)$ a r\'acspontok sz\'am\'at az $R\bold A+x$, $R>0$,
$x\in [0,1]\times[0,1]$ tartom\'anyban. Bi\-zo\-ny\'\i{}t\-suk be,
hogy az $s(R,x)$ f\"uggv\'eny
Fourier sora a k\"ovetkez\H o alakban \'\i{}rhat\'o fel: (Ez a formula
a Poisson \"osszegez\'esi formula az adott esetben:)
 
$$
s(R,x)\sim \sum_{n\in\bold Z^2}e^{2\pi i(n,x)}\tilde\chi_{R\bold A}(n)
=R^2 \sum_{n\in\bold Z^2}e^{2\pi i(n,x)}\tilde\chi_{\bold A}(Rn)\;,
$$
ahol $\tilde\chi_{\bold A}(u)$ \'es $\tilde\chi_{R\bold A}(u)$
jel\"oli az
$\bold A$ illetve $R\bold A$  halmaz indik\'atorf\"uggv\'eny\'enek
a Fourier transzform\'altj\'at az $u$ pontban.
\bigskip
Ez a formula a kulcspontja a k\'\i{}v\'ant becsl\'es
bizony\'\i{}t\'as\'anak. K\'et probl\'ema
mer\"ul fel ennek a formul\'anak az alkalmaz\'as\'an\'al:
 
\medskip\parindent=18pt
\item{1.)} A fenti formula form\'alis sorfejt\'es. A fel\'\i{}rt Fourier
sor m\'eg csak nem is konvergens.
\item{2.)} A formula alkalmaz\'as\'ahoz sz\"uks\'eg van
a $\tilde\chi_{\bold A}(u)$ Fourier transzform\'alt becsl\'es\'ere.
\medskip
\parindent=0pt
A k\'\i{}v\'ant Fourier transzform\'altra pontos aszimptotik\'at
lehet adni. Ezt egy k\'es\H obbi alkalommal megt\'argyalhatjuk.
Most csak id\'ezz\"uk azt a
k\"ovetkezm\'eny\'et ennek a formul\'anak, amire sz\"uks\'eg\"unk van:
$$
|\tilde \chi_{\bold A}(u)|<\text{const.}\,|u|^{-3/2}\;.
$$
Az els\H o pontban felvetett probl\'em\'at alkalmas konvoluci\'o
seg\'\i{}ts\'eg\'evel
v\'egrehajtott si\-m\'\i{}\-t\'as\-sal oldhatjuk meg.
\bigskip
Legyen $f(x)$ olyan v\'egtelen sokszor differenci\'alhat\'o
f\"uggv\'eny a
sz\'amegyenesen, melyre $f(x)\ge 0$, $f(x)=0$, ha $|x|\ge1$ \'es
$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1$. L\'assuk be,
hogy l\'etezik ilyen f\"uggv\'eny.
 
Defini\'aljuk az $F_\delta(x,y)=\frac1{\delta^2}f\left(\frac
x\delta\right) f\left(\frac y\delta\right)$ f\"uggv\'enyt az el\H obbi
$f(x)$ f\"uggv\'eny seg\'\i{}ts\'eg\'evel, \'es tekints\"uk a
$$
\bar s(R',x,)_\delta=s(R',\cdot)*F_\delta(\cdot)(x)=\int
s(R',z)F_\delta(x-z)\,dz\;, \quad x,\,z\in R^2
$$
konvol\'uci\'ot. Bizony\'\i{}tsuk be, hogy  $\bar s(R',x)$ Fourier
transzform\'altja teljes\'\i{}ti az
$$
\tilde {\bar s}_\delta(R',x)=\tilde s(R',x)\tilde F_\delta(x)
$$
azonoss\'agot, \'es
$$
|\tilde F_\delta(x)|\le\frac{\text{const.}}{1+\delta^k|x|^k}\;,
\quad \forall x\in \bold R^2\text{ \'es }\forall\;k>0.
$$
L\'assuk be, hogy
$$
\bar s(R',x)=R^2 \sum_{n\in\bold Z^2}e^{2\pi i(n,x)}
\tilde\chi_{\bold A}(R'n)\tilde F_\delta(n)\;,
$$
azaz, a konvoluci\'o seg\'\i{}ts\'eg\'evel a Poisson \"osszegez\'esi
formul\'aban azonoss\'agot \'\i{}rhatunk.
 
L\'assuk be, hogy, ha az $\bold A$ halmaz tartalmazza a $[-1,1]\times
[-1,1]$ n\'egyzetet, \'es $\delta>\frac1R$ akkor
$$
s(R-\delta,\cdot)*F_\delta(\cdot)(x)\le s(R,x)\le
s(R+\delta,\cdot)*F_\delta(\cdot)(x)
$$
(Haszn\'aljuk fel a konvoluci\'o geometriai jelent\'es\'et.Vegy\"uk
\'eszre, hogy az adott felt\'etelek mellett $(R-\delta)\bold A+x \subset
R\bold A\subset (R+\delta)\bold A+x$, ha $x\in
[-\delta,\delta]\times [-\delta,\delta]$.)
 
L\'assuk be, hogy tetsz\H oleges $\delta<1$-re
$$
s(R,x)-R^2\bold A\text{ ter\"ulete}\le\text{const.}\,\left(\delta R
+\sum_{n\in \bold Z^2\setminus0}\frac{R^2}{(R|n|)^{3/2}}\frac1
{1+(|n|\delta)^k}\right).
$$
(Vegy\"uk \'eszre, hogy $\tilde{\bar s}(R-\delta,0)=(R-\delta)^2\bold
A$ ter\"ulete, haszn\'aljuk a Poisson \"osszegez\'esi formul\'at \'es a
Fourier transzform\'altra kapott becsl\'eseket.)
 
Bizony\'\i{}tsuk be, hogy
$$
\sum_{n\in \bold Z^2\setminus 0}\frac{\sqrt R}{|n|^{3/2}(1+(n\delta)^k)}
<\text{const.}\,R^{1/2}\delta^{-1/2}.
$$
 
Bizony\'\i{}tsuk be a feladat \'all\'\i{}t\'as\'at, ha a $\bold A$
halmaz tartalmazza a $[-1,1]\times [-1,1]$ n\'egy\-ze\-tet.
% ($\delta=R^{-1/3}$ v\'alaszt\'assal.)
 
Bizony\'\i{}tsuk be a feladat \'all\'\i{}t\'as\'at ez ut\'obbi felt\'etel
n\'elk\"ul is. (V\'alasszunk egy el\'eg nagy, de $R$-t\H ol f\"uggetlen
nagys\'ag\'u, $K$ sz\'amot, \'es defini\'aljuk az $R_0=\left[\frac
RK\right]$ sz\'amot, az $\bold A_{\bold
0}=\frac R{R_0}\bold A+n$, halmazt alkalmas $n\in\bold Z^2$ eltol\'assal,
ahol $[\cdot]$ eg\'esz r\'eszt jelent. L\'assuk be, hogy $R\bold A$ \'es
$R_0 \bold A_{\bold 0}$ ugyanannyi r\'acspontot tartalmaz. Ezen
\'eszrev\'etel seg\'\i{}ts\'eg\'evel redul\'aljuk az \'altal\'anos
esetet a m\'ar bebizony\'\i{}tottra.)
\bye