Rácspontok száma konvex tartományban:

Feladat: Legyen A egy sima határú szigorúan konvex halmaz. Lássuk be, hogy a rácspontok száma az RA halmazban − R^{2} · A halmaz területe kisebb mint const.R^{2/3}.

Megjegyzés: Ez a feladat a klasszikus körprobléma egy természetes általánosítására adott nem-triviális becslés. A bizonyítás példát mutat arra, hogyan lehet használni a Poisson féle összegezési formulát nem-triviális becslések bizonyítására. Ezért érdemes feldolgozni ennek az állításnak a bizonyítását az alábbi feladatsorozat segítségével:

Jelölje s(R, x) a rácspontok számát az RA + x, R > 0, x ∈ [0, 1] × [0, 1] tartományban. Bizonyítsuk be, hogy az s(R, x) függvény Fourier sora a következő alakban írható fel: (Ez a formula a Poisson összegezési formula az adott esetben:)

s(R, x) ∼ ∑_{n∈Z^{2}} e^{2πi(n,x)}χ̃_{RA}(n) = R^{2} ∑_{n∈Z^{2}} e^{2πi(n,x)}χ̃_{A}(Rn) ,

ahol χ̃_{A}(u) és χ̃_{RA}(u) jelöli az A illetve RA halmaz indikátorfüggvényének a Fourier transzformáltját az u pontban.

Ez a formula a kulcspontja a kívánt becslés bizonyításának. Két probléma merül fel ennek a formulának az alkalmazásánál:

1.) A fenti formula formális sorfejtés. A felírt Fourier sor még csak nem is konvergens.

2.) A formula alkalmazásához szükség van a χ̃_{A}(u) Fourier transzformált becslésére.

A kívánt Fourier transzformáltra pontos aszimptotikát lehet adni. Ezt egy későbbi alkalommal megtárgyalhatjuk. Most csak idézzük azt a következményét ennek a formulának, amire szükségünk van:

|χ̃_{A}(u)| < const. |u|^{−3/2} .

Az első pontban felvetett problémát alkalmas konvolució segítségével végrehajtott simítással oldhatjuk meg.

Legyen f(x) olyan végtelen sokszor differenciálható függvény a számegyenesen, melyre

f(x) ≥ 0, f(x) = 0, ha |x| ≥ 1 és ∫_{−∞}^{∞} f(x) dx = 1. Lássuk be, hogy létezik ilyen függvény.

Definiáljuk az F_{δ}(x, y) = \frac{1}{δ^{2}} f (\frac{x}{δ}) f (\frac{y}{δ} ) függvényt az előbbi f(x) függvény segítségével, és tekintsük a

s̄(R′, x,)_{δ} = s(R′, ·) ∗ F_{δ}(·)(x) = ∫ s(R′, z)F_{δ}(x − z) dz , x, z ∈ R^{2}

konvolúciót. Bizonyítsuk be, hogy s̄(R′, x) Fourier transzformáltja teljesíti az

˜s̄_{δ}(R′, x) = s̃(R′, x)F̃_{δ}(x)

azonosságot, és

|F̃_{δ}(x)| ≤ \frac{const.}{1 + δ^{k}|x|^{k}} , ∀x ∈ R^{2} és ∀ k > 0.

Lássuk be, hogy

s̄(R′, x) = R^{2} ∑_{n∈Z^{2}} e^{2πi(n,x)}χ̃_{A}(R′n)F̃_{δ}(n) ,

azaz, a konvolució segítségével a Poisson összegezési formulában azonosságot írhatunk.

Lássuk be, hogy, ha az A halmaz tartalmazza a [−1, 1] × [−1, 1] négyzetet, és δ > \frac{1}{R} akkor

s(R − δ, ·) ∗ F_{δ}(·)(x) ≤ s(R, x) ≤ s(R + δ, ·) ∗ F_{δ}(·)(x)

(Használjuk fel a konvolució geometriai jelentését.Vegyük észre, hogy az adott feltételek mellett (R − δ)A + x ⊂ RA ⊂ (R + δ)A + x, ha x ∈ [−δ, δ] × [−δ, δ].)

Lássuk be, hogy tetszőleges δ < 1-re

s(R, x) − R^{2}A területe ≤ const. (δR + ∑_{n∈Z^{2}\0} \frac{R^{2}}{(R|n|)^{3/2}} \frac{1}{1 + (|n|δ)^{k}} ) .

(Vegyük észre, hogy ˜ s̄(R − δ, 0) = (R − δ)^{2}A területe, használjuk a Poisson összegezési formulát és a Fourier transzformáltra kapott becsléseket.)

Bizonyítsuk be, hogy

∑_{n∈Z^{2}\0} \frac{\sqrt{R}}{|n|^{3/2}(1 + (nδ)^{k})} < const. R^{1/2}δ^{−1/2}.

Bizonyítsuk be a feladat állítását, ha a A halmaz tartalmazza a [−1, 1] × [−1, 1] négyzetet.

Bizonyítsuk be a feladat állítását ez utóbbi feltétel nélkül is. (Válasszunk egy elég nagy, de R-től független nagyságú, K számot, és definiáljuk az R_{0} = [\frac{R}{K} ] számot, az A_{0} = \frac{R}{R_{0}} A+n, halmazt alkalmas n ∈ Z^{2} eltolással, ahol [·] egész részt jelent. Lássuk be, hogy RA és R_{0}A_{0} ugyanannyi rácspontot tartalmaz. Ezen észrevétel segítségével reduláljuk az általános esetet a már bebizonyítottra.)