\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\input amstex
\parindent=20pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
 
\beginsection Poisson folyamatok, exponenci\'alis eloszl\'asok
 
Azt mondjuk, hogy a $\xi$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o Poisson
eloszl\'as\'u $\lambda$, $0<\lambda<\infty$, pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel, ha
$\xi$ nem negat\'\i{}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel, \'es
$P(\xi=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$, $k=0,1,\dots$.
 
\item{1.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o, $\xi$ $\lambda$
\'es $\eta$ $\mu$ pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel. Akkor $\xi+\eta$ Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o $\lambda+\mu$
param\'eterrel.
\smallskip\noindent A k\"ovetkez\H o feladat c\'elja az, hogy egyszer\H
u m\'odon konstru\'aljunk Poisson folyamatokat.
\medskip \noindent
\item{2.)} \itemitem{a)}Legyen adva $k$ darab  urna, \'es ezekbe
dobjunk be v\'eletlen $\xi$ sz\'am\'u goly\'ot, ahol $\xi$  Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o $\lambda>0$
param\'eterrel. Legyenek az egyes dob\'asok eredm\'enyei egym\'ast\'ol
\'es a $\xi$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlenek.
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy  minden egyes dob\'asn\'al a goly\'o
az $j$-ik urn\'aba $p_j\ge0$ val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel esik,
$j=1,\dots,k$, $\sum\limits_{j=1}^k p_j=1$.  Jel\"olje $\eta_j$ a
$j$-ik urn\'aba es\H o goly\'ok sz\'am\'at. Bizony\'\i{}tsuk be, hogy
az $\eta_j$, $j=1,\dots,k$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, \'es $\eta_j$ Poisson eloszl\'as\'u $\lambda p_j$
param\'eterrel, $j=1,\dots,k$.
\itemitem{b.)} Legyen adva egy $(X,\Cal A)$ m\'erhet\H o t\'er, \'es
azon egy $\mu$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ek. Legyen $\xi$
Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o
$\lambda>0$ param\'eterrel, V\'a\-lasszunk egym\'ast\'ol \'es a $\xi$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen\"ul $x_1$,\dots,
$x_\xi$ pontokat az $X$ t\'eren \'ugy, hogy $P(x_j\in\A)=\mu(\A)$
minden $\A\in\Cal A$ \'es $j=1,\dots,\xi$-re. L\'assuk be, hogy tetsz\H
oleges diszjunkt $\A_1\in \Cal A$,\dots, $\A_k\in \Cal A$ halmazokra az
e halmazokba es\H o kiv\'alasztott $x_l$ pontok sz\'ama egym\'ast\'ol
f\"uggetlen, \'es az egyes $\A_j$, $j=1,\dots,k$,  halmazokba es\H o
pontok sz\'ama $\lambda\mu(\A_j)$ param\'eter\H u Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o.
\itemitem{c.)} Legyen adva egy  $(X,\Cal B)$  m\'erhet\H o t\'er \'es
rajta egy $\nu$ $\sigma$-v\'eges m\'ert\'ek. Az el\"oz\H o
konstrukci\'ot felhaszn\'alva konstru\'aljunk egy olyan $x_1,x_2,\dots$
v\'eletlen pontrendszert az $X$ t\'eren, mely teljes\'\i{}ti a
k\"ovetkez\H o tulajdons\'agot: B\'armely m\'erhet\H o v\'eges $\nu$
m\'ert\'ek\H u $\A$ halmazba es\H o pontok sz\'ama $\nu(\A)$
m\'ert\'ek\H u Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'o, \'es diszjunkt (m\'erhet\H o, v\'eges m\'ert\'ek\H u)
halmazokba es\H o pontok sz\'ama egym\'ast\'ol f\"uggetlen.
\medskip \noindent
Legyen adva egy $(X,\Cal A)$ m\'ert\'ekt\'er, \'es azon egy $\mu$
$\sigma$-v\'eges m\'ert\'ek. Jel\"olje $Z$ az \"osszes olyan
$(x_1,x_2,\dots)$, $x_j\in X$, $j=1,2,\dots$, pontrendszert, \'es legyen
$\Cal F$ az a legsz\H ukebb $\sigma$-algebra, melyet az $z\: z\in Z,
z(\A_1)=k_1,\dots,z(\A_j)=k_j)$ halmazok gener\'alnak, ahol $z(\A)$,
$\A\in \Cal A$, jel\"oli a $z$ pontrendszernek az $\A$ halmazba es\H o
pontjainak a sz\'am\'at; $j=1,2,\dots$, tov\'abb\'a $k_l$ nem
negat\'\i{}v eg\'esz sz\'am, \'es $\A_l\in \Cal A$, $\mu(\A_l)<\infty$,
minden $1\le l\le j$-re. Egy $(\Omega,\Cal B,P)$ t\'eren \'ertelmezett
m\'erhet\H o $\xi:(\Omega, \Cal B)\to(Z,\Cal F)$ lek\'epez\'est az
$(X,\Cal A)$ t\'eren \'ertelmezett pontfolyamatnak nevezik. Azt mondjuk,
hogy a $\xi$ pontfolyamat Poisson pontfolyamat az $(X,\Cal A)$ t\'eren
$\mu$ sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ekkel, ha tetsz\H oleges pozit\'\i{}v
eg\'esz $k$ sz\'amra \'es diszjunkt $\A_j\in \Cal A$, $\mu(\A_j)<\infty$,
$j=1,\dots,k$, halmazokra az $\A_j$, $j=1,\dots,k$, halmazokba es\H o
pontok sz\'ama egym\'ast\'ol f\"uggetlen val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok, \'es az $\A$ halmazba es\H o pontok sz\'ama Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o $\mu(\A)$
param\'eterrel. Az el\"oz\H o feladatb\'ol k\"ovetkezik, hogy tetsz\H
oleges $(X,\Cal A,\mu)$ m\'erhet\H o t\'er eset\'en $\sigma$-additiv
$\mu$ m\'ert\'ekkel l\'etezik e t\'eren \'ertelmezett Poisson
pontfolyamat $\mu$ sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ekkel.
\smallskip\noindent Egy $X(t)$, $0\le t\le T$ sztochasztikus folyamatot
a $[0,T]$ intervallumon Poisson folyamatnak nevez\"unk $\lambda$
param\'eterrel, ha
\smallskip
\item{(i)} Az $X(t)$ folyamat f\"uggetlen n\"ovekm\'eny\H u, azaz
tetsz\H oleges $0<t_1<t_2<\cdots<t_k\le T$ pontokra az $X(t_1)$,
$X(t_2)-X(t_1)$,\dots, $X(t_k)-X(t_{k-1})$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.
\item{(ii)} $X(t)-X(s)$ Poisson eloszl\'as\'u $\lambda (t-s)$
param\'eterrel.
\item{(iii)} Az $X(\cdot,\oo)$ trajekt\'oria szigor\'uan monoton,
balr\'ol folytonos eg\'esz \'ert\'ek\H u f\"uggv\'eny.
\smallskip\noindent
Ha $\xi(\oo)$ Poisson pontfolyamat a $[0,T]$ intervallumon a
$\mu=\lambda\times$Lebesgue m\'ert\'ek sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ekkel,
akkor $X(t.\oo)=\xi$ pontfolyamat pontjainak sz\'ama a $[0,t)$
intervallumban Poisson folyamat $\lambda$ param\'eterrel a $[0,T]$
intervallumon. \medskip\noindent
Egy $\xi$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o exponenci\'alis
eloszl\'as\'u $\lambda$,
$\lambda>0$ param\'eterrel, ha $P(\xi<x)=1-e^{-\lambda x}$ minden
$x\ge0$-ra.
\medskip
\item{3.)} L\'assuk be a k\"ovetkez\H o azonoss\'agot:
$P(\xi>x+y|\xi>y)=P(\xi>x)$, ha a $\xi$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'o exponenci\'alis eloszl\'as\'u. Ezt az azonoss\'agot az
exponenci\'alis eloszl\'as \"or\"okifj\'u tulajdons\'ag\'anak nevezik.
L\'assuk be ennek az \'all\'\i{}t\'asnak a k\"o\-vet\-ke\-z\H o
\'altal\'anos\'\i{}t\'as\'at is: Legyen adva egy $\Cal F\subset\Cal A$
$\sigma$-algebra az $(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H
u\-s\'e\-gi mez\H on. Legyen ezenk\'\i{}v\"ul adva egy $\eta$ $\Cal F$
m\'erhet\H o \'es egy $\xi$ az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'at\'ol
f\"ug\-get\-len $\lambda$ param\'eter\H u, exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o. Ekkor
$$
P(\xi+\eta>x|\Cal F)(\oo)=e^{-\lambda(x-\eta(\oo))}\quad\text{ha }
x\ge\eta(\oo)
$$
(\'es $P(\xi+\eta>x|\Cal F)(\oo)=1$ ha $x< \eta(\oo)$.)
\item{} Tegy\"uk fel, hogy a $\xi$, $\eta$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok \'es $\Cal
F$ $\sigma$-algebra teljes\'\i{}tik az el\"oz\H o \'all\'\i{}t\'as
felt\'eteleit. Tegy\"uk fel
tov\'abb\'a, hogy $\eta(\oo)\le x$ egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel.
De\-fi\-ni\-\'al\-juk a
$\BB=\{\xi(\oo)+\eta(\oo)>x\}$ esem\'enyt, \'es az $\bar{\Cal
F}=\sigma(\Cal
F,\sigma\{\BB,\Omega\setminus\BB\})$ $\sigma$-algebr\'at. (Azaz,
$\bar{\Cal F}$ a $(\A_1\cap \BB)\cup(\A_2\cap(\Omega\setminus\BB))$,
$\A_1,\A_2\in \Cal F$, alak\'u halmazokb\'ol \'all.) V\'alasszunk egy
$z>x$
sz\'amot, \'es mutassuk meg (az el\"oz\H o azonoss\'ag
felhaszn\'al\'as\'aval,) hogy $$
P(\xi+\eta>z|\bar{\Cal F)}(\oo))=\cases
e^{-\lambda(z-x)} &\text{ha }\oo\in \BB\\
0 &\text{ha }\oo\in \Omega\setminus\BB
\endcases
$$
\item{4.)} Bizony\'\i{}tsuk be, hogy ha egy $\xi$ val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye teljes\'\i{}ti az
\"or\"okifj\'u tulajdons\'agot, azaz $P(\xi>x+y|\xi>y)=P(\xi>x)$ minden
$x\ge0$ \'es $y\ge0$ sz\'amra, akkor $\xi$ exponenci\'alis
eloszl\'as\'u.
\item{5.)} Legyenek $\xi_1$,\dots,$\xi_k$f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok $\lambda>0$
param\'eterrel, \'es $S_k=\sum\limits_{j=1}^k \xi_j$. L\'assuk be, hogy
$S_k$ s\H ur\H us\'agf\"uggv\'enye $f(x)=\dfrac{\lambda^k}{k!}x^{k-1}
e^{-\lambda x}$ ha $x\ge0$, $f(x)=0$ ha $x<0$, \'es
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
F(x)=1-\sum\limits_{j=0}^k \dfrac{\lambda^j
x^j}{j!}e^{-\lambda x}\;,
$$
ha $x\ge0$ \'es $F(x)=0$ ha $x<0$.
\item{6.)} Legyen $X(t)$, $0\le t<\infty$, $\lambda$ param\'eter\H u
Poisson folyamat, \'es defini\'aljuk a $\zeta_0=0$, $\zeta_k=\inf\{ t\:
X(t)\ge k\}$, $k=1,2,\dots$, val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'okat.
L\'assuk be, hogy a $\zeta_k-\zeta_{k-1}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlen exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok $\lambda$ param\'eterrel, (azaz
$P(\zeta_k-\zeta_{k-1}<x)<1-e^{-\lambda x}$ minden $x\ge0$-ra.
\item{7.)} Legyenek $\eta_j$, $j=1,2.\dots$, f\"uggetlen $\lambda$
param\'eter\H u exponenci\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H
u\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, \'es defini\'aljuk az $Y(t)=\sup\left\{ k\:
\sum\limits_{j=1}^k\eta_j\le k\right\}$, $0\le t<\infty$
szto\-chasz\-tikus folyamatot. L\'assuk be, hogy $Y(t)$ $\lambda$
param\'eter\H u Poisson folyamat.
\item{8.)} Legyen $\xi_{k,j}$, $j=1,\dots, n_k$ val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok sz\'eriasorozata, melyek r\"ogz\'\i{}tett $k$-ra
f\"uggetlenek. Tegy\"uk fel ezen k\'\i{}v\"ul, hogy
\itemitem{(i)} A $\xi_{k,j}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'okra
$P(\xi_{k,j}=1)=1-P(\xi_{k,j}=0)=\lambda_{k,j}$, $1\le j\le n_k$.
\itemitem{(ii)} $\lim\limits_{k\to\infty}\sup\limits_{1\le j\le
n_k}\lambda_{k,j}=0$
\itemitem{(iii)} $\lim\limits_{k\to\infty}\sum
\limits_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}\to\lambda>0$
\item{}
Ekkor az $S_k=\sum\limits_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak egy Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ohoz $\lambda$
param\'eterrel.
\smallskip\item{} L\'assuk be, hogy az \'all\'\i{}t\'as igaz marad, ha
az (i) felt\'etelt a k\"ovetkez\"o gyeng\'ebb $(i')$ felt\'etellel
helyettes\'\i{}tj\"uk.
\itemitem{$(i')$} A $\xi_{k,j}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
nem-negat\'\i{}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel,
$P(\xi_{k,j}=1)=\lambda_{k,j}$, $P(\xi_{k,j}\ge2)=o(\lambda_{k,j})$,
$1\le j\le n_k$, \'es a $o(\cdot)$ egyenletes $j$-ben.
\item{7.)} Legyen $\xi_k$, $k=1,\dots,n$, $n$ darab f\"uggetlen
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'al\-to\-z\'o
ugyanazzal a $\lambda>0$ param\'eterrel, \'es defini\'aljuk a
$S_k=\sum\limits_{j=1}^k \xi_j$, $k=1,\dots,n$ r\'eszlet\"osszegeket.
L\'assuk be, hogy az $(S_1,S_2,\dots,S_{n-1})$ vektor felt\'eteles
eloszl\'asa az $S_n=x$ felt\'etel mellett megegyezik egy $n-1$  elem\H
u a $[0,x]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u rendezett minta
eloszl\'as\'aval. (Azaz, legyen $\eta_1,\dots,\eta_{n-1}$ $n-1$
f\"uggetlen a $[0,x]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'al\-to\-z\'o, \'es az $\eta_1*\le
\eta_2^*\cdots\le\eta_{n-1}^*$ $n-1$ elem\H u rendezett minta ezen
$\eta_k$ sz\'amok monoton sorendbe val\'o \'atrendez\'ese. A fenti
felt\'eteles eloszl\'as megegyezik ezen $\eta_j^*$ val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'al\-to\-z\'ok egy\"uttes eloszl\'as\'aval.) L\'assuk be a
k\"o\-vet\-ke\-z\H o (a fenti \'all\'\i{}t\'assal ekvivalens)
\'all\'\i{}t\'ast is: Az $\(\dfrac{S_1}{S_n},\dots,
\dfrac{S_{n-1}}{S_n}\)$ vektor f\"ug\-get\-len az $S_n$
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'ot\'ol, \'es eloszl\'asa
megegyezik egy a $[0,1]$ intervallumban egyen\-le\-tes eloszl\'as\'u
rendezett minta el\-osz\-l\'a\-s\'a\-val.
 
\newpage
 
\beginsection Megold\'asok
 
\item{1)}
$$
\align
P(\xi+\eta=k)&=\sum_{j=0}^k\frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}
\frac{\mu^{k-j}}{(j-k)!}e^{-\mu}=\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}\sum_{j=0}
^k\binom{k}{j}\lambda^j\mu^{(k-j)} \\
&=\frac{(\lambda+\mu)^k}{k!}e^{-(\lambda+\mu)}
\endalign
$$
minden $k\ge0$-ra. Innen k\"ovetkezik az \'all\'\i{}t\'as.
\item{2.)}a.)
$$
\align
P(\eta_1=l_1,\dots,\eta_k=l_k)
&=P(\xi=l_1+\cdots+l_k)\frac{(l_1+\cdots+l_k)!}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}\\
&=\frac{\lambda^{(l_1+\cdots+l_k)}}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}e^{-\lambda}
=\prod_{j=1}^k\frac{ (\lambda p_j)^{l_j}}{l_j!}e^{-\lambda p_j}
\endalign
$$
tetsz\H oleges $l_1\ge0$, \dots, $l_k\ge0$ eg\'esz sz\'amokra. Innen
ad\'odik az \'all\'\i{}t\'as.
\item{b.)} Legyen $\A_{k+1}=X\setminus\bigcup\limits_{j=1}^k\A_j$,
$p_j=\mu_j(\A_j)$, $j=1,\dots,k+1$. Ekkor a feladat a.) r\'esze
szerint az egyes $\A_j$ halmazokba es\H o pontok sz\'ama egym\'ast\'ol
f\"uggetlen $\lambda\mu(\A_j)$ param\'eter\H u Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o.
\item{c.)} Tekints\"uk az $X$ halmaznak egy partici\'oj\'at, mely
rendelkezik a k\"ovetkez\H o tulajdons\'agokkal:
$X=\bigcup\limits_{j=1}^\infty X_j$, az $X_j$, $j=1,2,\dots$, halmazok
diszjunktak, $\mu(X_j)=\lambda_j<\infty$. Konstru\'aljunk a b.) feladat
felhaszn\'al\'as\'aval mindegyik $X_j$ halmazon egy olyan pontrendszert
(v\'eletlen sz\'am\'u pontot dobva le $\mu(X_j)$ param\'eter\H u
Poisson eloszl\'assal egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'ugy, hogy egy
pont egy $\A_j\subset X_j$ halmazba $\dfrac{\mu(\A_j)}{\mu(X_j)}$
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel ess\'ek), hogy egy $\A_j\subset X_j$
halmazba es\H o pontok sz\'ama legyen $\mu(\A_j)$, param\'eter\H u
Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o, \'es
diszjunkt halmazokba egym\'ast\'ol f\"uggetlen sz\'am\'u pont ess\'ek.
Legyen a k\"ul\"onb\"oz\H o $X_j$ halmazokba es\H o pontok sz\'ama
egym\'ast\'ol f\"uggetlen. Mivel f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok \"osszege Poisson eloszl\'as\'u,
\'es az \"osszeg param\'etere egyenl\H o az \"osszeadand\'ok
param\'eter\'enek az \"osszeg\'evel, ez\'ert az itt le\'\i{}rt
konstrukci\'oban tetsz\H oleges $\mu(\A)<\infty$ m\'ert\'ek\H u
halmazba $\mu(\A)$ param\'eter\H u Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o esik, \'es diszjunkt halmazokba
es\H o pontok sz\'ama egym\'ast\'ol f\"uggetlen. (L\'assuk be, hogy
v\'egtelen sok f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi  v\'altoz\'o \"osszege is Poisson eloszl\'as\'u, \'es az
\"osszeg param\'etere megegyezik az \"osszeadand\'ok
pa\-ra\-m\'e\-te\-r\'e\-nek az \"osszeg\'evel, felt\'eve, hogy ez
az \"osszeg v\'eges. Ennek bizony\'\i{}t\'as\'an\'al \'erdemes
\'eszrevenni, hogy ebben az esetben az \"osszeg 1~val\'osz\'\i{}n\H
us\'eggel, ez\'ert eloszl\'asban is konverg\'al.)
\item{3.)} $P(\xi>x+y|\xi>x)=\dfrac{e^{-\lambda(x+y)}}{e^{-\lambda
y}}=e^{-\lambda}$. Az \'altal\'anosabb \'all\'\i{}t\'as
bizony\'\i{}t\'as\'ahoz haszn\'aljuk fel a {\it feladatok}\/ feladatsor
3. feladat\'anak az eredm\'eny\'et. Defini\'aljuk az $f(u,v)=I(u+v>x)$
f\"uggv\'enyt. Ekkor
$$
\aligned
P(\xi+\eta>x|\Cal F)(\oo)&=E(f(\xi,\eta)|\Cal
F)(\oo)=Ef(\xi,v)|_{v=\eta(\oo)}=P(\xi+v>x)|_{v=\eta(\oo)} \\
&=\cases e^{-\lambda(x-\eta(\oo))}&\text{ha }x\ge\eta(\oo)\\
1&\text{ha }x<\eta(\oo)
\endcases
\endaligned
$$
\item{} Az utols\'o \'all\'\i{}t\'as igazol\'as\'ahoz azt kell
bel\'atni, hogy
$P(\Omega\setminus\BB)\cap \A\cap\{\xi(\oo)+\eta(\oo)>z\})=0$ \'es
$P(\BB\cap\A\cap\{\xi(\oo)+\eta(\oo)>z\})=\int_{\A}e^{-\lambda(z-x)}\,dP
=e^{-\lambda(z-x)}P(\A\cap\BB )$ minden
$\A\in \Cal F$ halmazra. Az els\H o azonoss\'ag ny\'\i{}lv\'anval\'o,
mivel
$\Omega\setminus\BB)\cap\{\xi(\oo)+\eta(\oo)>z\})=\emptyset$, \'es a
m\'asodik azonoss\'ag igaz, mivel
$$
\align
&P(\BB\cap\A\cap\{\xi(\oo)+\eta(\oo)>z\})=P(\A\cap\{\xi(\oo)
+\eta(\oo)>z\})=\int_{\A}e^{-\lambda(z-\eta(\oo))}dP \\
&\qquad =e^{-\lambda(z-x)}\int_{\A}e^{-\lambda(x-\eta(\oo))}dP
=e^{-\lambda(z-x)}P(\A\cap\BB )\;.
\endalign
$$
 
 
\item{8.)}{\it Els\H o megold\'as}
\item{} Mutassuk meg, hogy az $S_k$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok karakterisztikus f\"uggv\'enyei konverg\'alnak egy
$\lambda$ param\'eter\H u Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'o karakterisztkus f\"uggv\'eny\'ehez.
$$
\align
Ee^{itS_k}&=\prod_{j=1}^{n_k}(1-\lambda_{k,j}+\lambda_{k,j}e^{it})
=\prod_{j=1}^{n_k}\exp\left\{\lambda_{k,j}(e^{it}-1)
+O(\lambda_{k,j}^2)\right\}\\
&=\exp\left\{(e^{it}-1)\(\sum_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}\)+
O\(\sum_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}^2\)\right\}\to
\exp\{\lambda(e^{it}-1)\}\;,
\endalign
$$
\'es egy $\eta$ $\lambda$ param\'eter\H u Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye
$Ee^{it\eta}=\sum\limits_{k=0}^\infty
\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda+ikt}=\exp\{-\lambda+\lambda e^{it}\}$.
\item{} Az \'altal\'anosabb \'all\'\i{}t\'as bizony\'\i{}t\'as\'ahoz,
amikor az $(i')$ felt\'etel teljes\"ul, vezess\"uk be a $\xi'_{k,j}$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'okat a k\"ovetkez\H o m\'odon:
$\xi'_{k,j}=\xi_{k,j}$ ha $\xi_{k,j}=1$, \'es $\xi'_{k,j}=0$, ha
$\xi_{k,j}\neq1$, $1\le j\le n_k$, $k=1,2,\dots$. Legyen
$S'_k=\sum\limits_{j=1}^{n_k}\xi'_{k,j}$. Ekkor a $S'_k$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'okra alkalmazhatjuk a feladat m\'ar
bizony\'\i{}tott r\'esz\'et. A funkcion\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
els\H o feladata alapj\'an el\'eg bel\'atni, hogy
$S_k-S'_k\Rightarrow0$, ha $k\to\infty$, ahol $\Rightarrow$
eloszl\'asban val\'o (vagy sztochasztikus) konvergenci\'at
jel\"ol. Viszont ez a felt\'etel teljes\"ul, mivel $P(S_k\neq S'_k)\le
\sum\limits_{j=1}^{n_k} P(\xi_{k,j}\ge2)\to 0$.
\item{} {\it m\'asodik megold\'as (v\'azlat)}
$$
\align
P(S_k=m)&=\sum_{1\le l_1<\cdots<l_m\le n_k}\prod_{p=1}^m \lambda_{l_p}
\prod_{r\in\{1,\dots,n_k\}\setminus\{l_1,\dots,l_m\}}
(1-\lambda_r) \\
&\sim\sum_{1\le l_1<\cdots<l_m\le n_k}\prod_{p=1}^m \lambda_{l_p}
\exp\{-\lambda\} \sim\frac {\lambda^m}{m!}e^{-\lambda}
\endalign
$$
minden $m\ge0$ eg\'esz sz\'amra. E becsl\'esek igazol\'as\'an\'al
felhaszn\'aljuk, hogy $1-\lambda_r\sim e^{-\lambda_r}$, \'es mivel
$\sum\limits_{r=1}^{n_k}\lambda_{k,r}\to\lambda$, \'es ez a rel\'aci\'o
\'erv\'enyben marad, ha v\'eges sok tagot elhagyunk az \"osszegb\H ol,
ez\'ert a bels\H o produktum k\"ozel\'\i{}thet\H o $e^{-\lambda}$-val.
Tov\'abb\'a,
$$
\sum_{1\le l_1<\cdots<l_m\le n_k}\prod_{p=1}^m
\lambda_{l_p}\sim\dfrac1{m!}
\(\sum_{l=1}^{n_k} \lambda_{k,l}\)^m\sim\dfrac1{m!}\lambda^m\;,
$$
mivel a $\(\sum_{l=1}^{n_k} \lambda_{k,l}\)^m$ kifejez\'es
kifejt\'es\'eben, a $\lambda_{k,r}\to0$ felt\'etel miatt,
elhanyagolhat\'o azon tagok hozad\'eka, melyben valamelyik
$\lambda_{k,r}$ tag magasabb hatv\'anyon sze\-re\-pel.
\item{9.)} Jel\"olje $f(x_1,\dots,x_n)$ az $(S_1,S_2,\dots,S_n)$
vektor \'es $g_n(x)$ az $S_n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o s\H
ur\H us\'egf\"uggv\'eny\'et. Ekkor az $(S_1,\dots,S_n)$ felt\'eteles
s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye az $S_n=x$ felt\'etel mellett explicit
fel\-\'\i{}r\-ha\-t\'o, mint $h(x_1,\dots,x_{n-1}|x)
=\dfrac{f(x_1,\dots,x_{n-1},x)}{g_n(x)}$. (l\'asd {\it feladatok}\/
feladatsor 5. feladat\'at.) Az $(S_1,\dots,S_n)$ vektor s\H ur\H
us\'egf\"uggv\'enye az $(x_1,\dots,x_n)$ pontban meg\-egye\-zik a
$(\xi_1,\dots,\xi_n)$ vektor s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny\'evel az
$(y_1,\dots,y_n)$ pontban, ahol $y_j=x_j-x_{j-1}$, $j=1,\dots,n$,
$x_0=0$. (Mi\'ert?) Ez\'ert $f(x_1,\dots,x_n)=\prod\limits_{k=1}^n
e^{-\lambda y_k}=\lambda e^{-\lambda x_n}$, ha $0<x_1<x_2<\cdots<x_n$,
\'es $f(x_1,\dots,x_n)=0$ k\"ul\"onben. Egyszer\H u sz\'amol\'assal
($n$ szerinti indukci\'oval) kap\-juk, hogy
$g_n(x)=\dfrac{\lambda^n}{(n-1)!}x^{n-1}e^{-\lambda x}$. Ez\'ert a
$h(x_1,\dots,x_{n-1}|x)=\dfrac{(n-1)!}{x^(n-1)}$, ha
$0<x_1<x_2<\cdots<x$, \'es $h(x_1,\dots,x_{n-1}|x)=0$ k\"ul\"onben. Ez
meg\-egye\-zik az $n-1$ elem\H u a $[0,x]$ intervallumbeli egyenletes
eloszl\'as\'u f\"ugggetlen val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'okb\'ol
k\'esz\'\i{}tett rendezett minta s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny\'evel,
mivel e v\'altoz\'ok e\-gy\"ut\-tes s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye a
rendez\'es el\H ott $x^{-(n-1)}$, a rendez\'es ut\'an pedig ez
$(n-1)!$-sal szorz\'odik, \'es az $0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x$ halmazra
koncentr\'al\'odik. Innen k\"ovetkezik az els\H o \'all\'\i{}t\'as. A
m\'asodik \'all\'\i{}t\'as levezethet\H o ebb\H ol az eredm\'enyb\H ol
is a felt\'eteles eloszl\'asok tulajdons\'agait haszn\'alva, de
egyszer\H ubb levezetni a k\"ovetkez\H o \'all\'\i{}t\'asb\'ol: Ha az
$(S_1,\dots,S_n)$ f\"uggv\'eny s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye
$f(x_1,\dots,x_n)$, akkor, mint az k\"onnyen bizony\'\i{}that\'o, a
$\(\dfrac{S_1}{S_n},\cdots,\dfrac{S_{n-1}}{S_n},S_n\)$ vektor
s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye $x_n^{n-1}f(x_1x_n,\dots,x_{n-1}x_n,x_n)$.
Ez a mi eset\"unkben azt jelenti, hogy a vizsg\'alt vektor \'es
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o egy\"uttes s\H ur\H
us\'egf\"uggv\'enye $e^{-\lambda x_n}x_n^{n-1}$ az
$\{(x_1,\dots,x_n)\:\allowmathbreak 0<x_1<\dots<x_{n-1}<1,\;x_n>0\}$,
halmazon, \'es nulla ennek komplementer\'en. Ez\'ert ez a s\H ur\H
us\'egf\"uggv\'eny $h(x_1,\dots,x_{n-1})g(x_n)$ alakban \'\i{}rhat\'o,
ahol a
$$
h(x_1,\dots,x_{n-1})=(n-1)!I(0<x_1<\cdots<x_{n-1}<1)
$$
f\"uggv\'eny a $[0,1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u $n-1$
elem\H u rendezett minta s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye, \'es
$g(x)=\lambda^ne^{-\lambda x}\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}$ az $S_n$ s\H ur\H
us\'egf\"uggv\'enye. Innen k\"o\-vet\-ke\-zik az \'all\'\i{}t\'as.
 
 
 
 
 
 
\bye
