Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások

Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ < ∞, paramé-

terrel, ha ξ nem negatív egész értékeket vesz fel, és P (ξ = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ}, k = 0, 1, . . ..

1.) Legyen ξ és η két független Poisson eloszlású valószínűségi változó, ξ λ és η μ paraméterrel. Akkor ξ + η Poisson eloszlású valószínűségi változó λ + μ paraméterrel.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

2.)

a) Legyen adva k darab urna, és ezekbe dobjunk be véletlen ξ számú golyót, ahol ξ Poisson eloszlású valószínűségi változó λ > 0 paraméterrel. Legyenek az egyes dobások eredményei egymástól és a ξ valószínűségi változótól függetlenek. Tegyük fel továbbá, hogy minden egyes dobásnál a golyó az j-ik urnába p_{j} ≥ 0

valószínűséggel esik, j = 1, …, k, ∑_{j=1}^{k} p_{j} = 1. Jelölje η_{j} a j-ik urnába eső

golyók számát. Bizonyítsuk be, hogy az η_{j}, j = 1, …, k valószínűségi változók függetlenek, és η_{j} Poisson eloszlású λp_{j} paraméterrel, j = 1, …, k.

b.) Legyen adva egy (X, A) mérhető tér, és azon egy μ valószínűségi mérték. Legyen ξ Poisson eloszlású valószínűségi változó λ > 0 paraméterrel, Válasszunk egymástól és a ξ valószínűségi változótól függetlenül x_{1}, …, x_{ξ} pontokat az X téren úgy, hogy P (x_{j} ∈ A) = μ(A) minden A ∈ A és j = 1, …, ξre. Lássuk be, hogy tetszőleges diszjunkt A_{1} ∈ A, …, A_{k} ∈ A halmazokra az e halmazokba eső kiválasztott x_{l} pontok száma egymástól független, és az egyes A_{j}, j = 1, …, k, halmazokba eső pontok száma λμ(A_{j}) paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó.

c.) Legyen adva egy (X, B) mérhető tér és rajta egy ν σ-véges mérték. Az elöző konstrukciót felhasználva konstruáljunk egy olyan x_{1}, x_{2}, … véletlen pontrendszert az X téren, mely teljesíti a következő tulajdonságot: Bármely mérhető véges ν mértékű A halmazba eső pontok száma ν(A) mértékű Poisson eloszlású valószínűségi változó, és diszjunkt (mérhető, véges mértékű) halmazokba eső pontok száma egymástól független.

Legyen adva egy (X, A) mértéktér, és azon egy μ σ-véges mérték. Jelölje Z az összes olyan (x_{1}, x_{2}, …), x_{j} ∈ X, j = 1, 2, …, pontrendszert, és legyen F az a legszűkebb σ-algebra, melyet az z: z ∈ Z, z(A_{1}) = k_{1}, …, z(A_{j}) = k_{j}) halmazok generálnak, ahol z(A), A ∈ A, jelöli a z pontrendszernek az A halmazba eső pontjainak a számát; j = 1, 2, …, továbbá k_{l} nem negatív egész szám, és A_{l} ∈ A, μ(A_{l}) < ∞, minden 1 ≤ l ≤ j-re. Egy (Ω, B, P) téren értelmezett mérhető ξ : (Ω, B) → (Z, F) leképezést az (X, A) téren értelmezett pontfolyamatnak nevezik. Azt mondjuk, hogy a ξ pontfolyamat Poisson pontfolyamat az (X, A) téren μ számláló mértékkel, ha tetszőleges pozitív egész k számra és diszjunkt A_{j} ∈ A, μ(A_{j}) < ∞, j = 1, …, k, halmazokra az A_{j}, j = 1, …, k, halmazokba eső pontok száma egymástól független valószínűségi változók, és az A halmazba eső pontok száma Poisson eloszlású valószínűségi változó μ(A) paraméterrel. Az elöző feladatból következik, hogy tetszőleges (X, A, μ) mérhető tér esetén σ-additiv μ mértékkel létezik e téren értelmezett Poisson pontfolyamat μ számláló mértékkel.

Egy X(t), 0 ≤ t ≤ T sztochasztikus folyamatot a [0, T] intervallumon Poisson folyamatnak nevezünk λ paraméterrel, ha

(i) Az X(t) folyamat független növekményű, azaz tetszőleges 0 < t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{k} ≤ T pontokra az X(t_{1}), X(t_{2}) − X(t_{1}), …, X(t_{k}) − X(t_{k−1}) valószínűségi változók függetlenek.

(ii) X(t) − X(s) Poisson eloszlású λ(t − s) paraméterrel. (iii) Az X(·, ω) trajektória szigorúan monoton, balról folytonos egész értékű függvény.

Ha ξ(ω) Poisson pontfolyamat a [0, T] intervallumon a μ = λ×Lebesgue mérték számláló mértékkel, akkor X(t.ω) = ξ pontfolyamat pontjainak száma a [0, t) intervallumban Poisson folyamat λ paraméterrel a [0, T] intervallumon.

Egy ξ valószínűségi változó exponenciális eloszlású λ, λ > 0 paraméterrel, ha P (ξ < x) = 1 − e^{−λx} minden x ≥ 0-ra.

3.) Lássuk be a következő azonosságot: P (ξ > x + y|ξ > y) = P (ξ > x), ha a ξ valószínűségi változó exponenciális eloszlású. Ezt az azonosságot az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságának nevezik. Lássuk be ennek az állításnak a következő általánosítását is: Legyen adva egy F ⊂ A σ-algebra az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Legyen ezenkívül adva egy η F mérhető és egy ξ az F σ-algebrától független λ paraméterű, exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Ekkor

P (ξ + η > x|F)(ω) = e^{−λ(x−η(ω))} ha x ≥ η(ω)

(és P (ξ + η > x|F)(ω) = 1 ha x < η(ω).) Tegyük fel, hogy a ξ, η valószínűségi változók és F σ-algebra teljesítik az elöző állítás feltételeit. Tegyük fel továbbá, hogy η(ω) ≤ x egy valószínűséggel. Definiáljuk a B = {ξ(ω) + η(ω) > x} eseményt, és az F̄ = σ(F, σ{B, Ω \ B}) σ-algebrát. (Azaz, F̄ a (A_{1} ∩ B) ∪ (A_{2} ∩ (Ω \ B)), A_{1}, A_{2} ∈ F, alakú halmazokból áll.) Válasszunk egy z > x számot, és mutassuk meg (az elöző azonosság felhasználásával,) hogy

P (ξ + η > z|F̄)(ω)) = \{ \begin{matrix}e^{−λ(z−x)} & ha ω ∈ B \\ 0 & ha ω ∈ Ω \ B \end{matrix}

4.) Bizonyítsuk be, hogy ha egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye teljesíti az örökifjú tulajdonságot, azaz P (ξ > x + y|ξ > y) = P (ξ > x) minden x ≥ 0 és y ≥ 0 számra, akkor ξ exponenciális eloszlású.

5.) Legyenek ξ_{1}, …,ξ_{k}független exponenciális eloszlású valószínűségi változók λ >

0 paraméterrel, és S_{k} = ∑_{j=1}^{k} ξ_{j}. Lássuk be, hogy S_{k} sűrűságfüggvénye f(x) = \frac{λ^{k}}{k!} x^{k−1}e^{−λx} ha x ≥ 0, f(x) = 0 ha x < 0, és eloszlásfüggvénye

F (x) = 1 − ∑_{j=0}^{k} \frac{λ^{j}x^{j}}{j!} e^{−λx} ,

ha x ≥ 0 és F (x) = 0 ha x < 0. 6.) Legyen X(t), 0 ≤ t < ∞, λ paraméterű Poisson folyamat, és definiáljuk a ζ_{0} = 0,

ζ_{k} = inf{t: X(t) ≥ k}, k = 1, 2, …, valószínűségi változókat. Lássuk be, hogy a ζ_{k} − ζ_{k−1} valószínűségi változók független exponenciális eloszlású valószínűségi változók λ paraméterrel, (azaz P (ζ_{k} − ζ_{k−1} < x) < 1 − e^{−λx} minden x ≥ 0-ra.

7.) Legyenek η_{j}, j = 1, 2…., független λ paraméterű exponenciális eloszlású való-

színűségi változók, és definiáljuk az Y (t) = sup {k: ∑_{j=1}^{k} η_{j} ≤ k}, 0 ≤ t < ∞

sztochasztikus folyamatot. Lássuk be, hogy Y (t) λ paraméterű Poisson folyamat. 8.) Legyen ξ_{k,j}, j = 1, …, n_{k} valószínűségi változók szériasorozata, melyek rögzített

k-ra függetlenek. Tegyük fel ezen kívül, hogy

(i) A ξ_{k,j} valószínűségi változókra P (ξ_{k,j} = 1) = 1 − P (ξ_{k,j} = 0) = λ_{k,j}, 1 ≤ j ≤ n_{k}.

(ii) lim_{k→∞} sup_{1≤j≤n_{k}} λ_{k,j} = 0

(iii) lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} λ_{k,j} → λ > 0

Ekkor az S_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} ξ_{k,j} valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak egy Poisson

eloszlású valószínűségi változóhoz λ paraméterrel.

Lássuk be, hogy az állítás igaz marad, ha az (i) feltételt a következö gyengébb (i′) feltétellel helyettesítjük. (i′) A ξ_{k,j} valószínűségi változók nem-negatív egész értékeket vesznek fel, P (ξ_{k,j} =

1) = λ_{k,j}, P (ξ_{k,j} ≥ 2) = o(λ_{k,j}), 1 ≤ j ≤ n_{k}, és a o(·) egyenletes j-ben. 7.) Legyen ξ_{k}, k = 1, …, n, n darab független exponenciális eloszlású valószínűségi

változó ugyanazzal a λ > 0 paraméterrel, és definiáljuk a S_{k} = ∑_{j=1}^{k} ξ_{j}, k = 1, …, n

részletösszegeket. Lássuk be, hogy az (S_{1}, S_{2}, …, S_{n−1}) vektor feltételes eloszlása az S_{n} = x feltétel mellett megegyezik egy n − 1 elemű a [0, x] intervallumban egyenletes eloszlású rendezett minta eloszlásával. (Azaz, legyen η_{1}, …, η_{n−1} n − 1 független a [0, x] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó, és az η_{1}∗ ≤ η_{2}^{∗} ⋯ ≤ η_{n−1}^{∗} n−1 elemű rendezett minta ezen η_{k} számok monoton sorendbe való átrendezése. A fenti feltételes eloszlás megegyezik ezen η_{j}^{∗} valószínűségi változók együttes eloszlásával.) Lássuk be a következő (a fenti állítással ekvivalens)

állítást is: Az (\frac{S_{1}}{S_{n}} , …, \frac{S_{n−1}}{S_{n}} ) vektor független az S_{n} valószínűségi változótól, és eloszlása megegyezik egy a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású rendezett minta eloszlásával.

Megoldások

1)

P (ξ + η = k) = ∑_{j=0}^{k} \frac{λ^{j}}{j!} e^{−λ} \frac{μ^{k−j}}{(j − k)!}e^{−μ} = \frac{e^{−(λ+μ)}}{k!} ∑_{j=0}^{k} \binom{k}{j}λ^{j}μ^{(k−j)}

= \frac{(λ + μ)^{k}}{k!} e^{−(λ+μ)}

minden k ≥ 0-ra. Innen következik az állítás. 2.) a.)

P (η_{1} = l_{1}, …, η_{k} = l_{k}) = P (ξ = l_{1} + ⋯ + l_{k})\frac{(l_{1} + ⋯ + l_{k})!}{l_{1}! ⋯ l_{k}!}p_{1}^{l_{1}} ⋯ p_{k}^{l_{k}}

= \frac{λ^{(l_{1}+···+l_{k})}}{l_{1}! ⋯ l_{k}!} p_{1}^{l_{1}} ⋯ p_{k}^{l_{k}}e^{−λ} = ∏_{j=1}^{k} \frac{(λp_{j})^{l_{j}}}{l_{j}!} e^{−λp_{j}}

tetszőleges l_{1} ≥ 0, …, l_{k} ≥ 0 egész számokra. Innen adódik az állítás.

b.) Legyen A_{k+1} = X \ ⋃_{j=1}^{k} A_{j}, p_{j} = μ_{j}(A_{j}), j = 1, …, k +1. Ekkor a feladat a.) része

szerint az egyes A_{j} halmazokba eső pontok száma egymástól független λμ(A_{j}) paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó.

c.) Tekintsük az X halmaznak egy particióját, mely rendelkezik a következő tulaj-

donságokkal: X = ⋃_{j=1}^{∞} X_{j}, az X_{j}, j = 1, 2, …, halmazok diszjunktak, μ(X_{j}) =

λ_{j} < ∞. Konstruáljunk a b.) feladat felhasználásával mindegyik X_{j} halmazon egy olyan pontrendszert (véletlen számú pontot dobva le μ(X_{j}) paraméterű Poisson eloszlással egymástól függetlenül úgy, hogy egy pont egy A_{j} ⊂ X_{j} halmazba

\frac{μ(A_{j})}{μ(X_{j})} valószínűséggel essék), hogy egy A_{j} ⊂ X_{j} halmazba eső pontok száma legyen

μ(A_{j}), paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó, és diszjunkt halmazokba egymástól független számú pont essék. Legyen a különböző X_{j} halmazokba eső pontok száma egymástól független. Mivel független Poisson eloszlású valószínűségi változók összege Poisson eloszlású, és az összeg paramétere egyenlő az összeadandók paraméterének az összegével, ezért az itt leírt konstrukcióban tetszőleges μ(A) < ∞ mértékű halmazba μ(A) paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó esik, és diszjunkt halmazokba eső pontok száma egymástól független. (Lássuk be, hogy végtelen sok független Poisson eloszlású valószínűségi változó összege is Poisson eloszlású, és az összeg paramétere megegyezik az összeadandók paraméterének az összegével, feltéve, hogy ez az összeg véges. Ennek bizonyításánál érdemes észrevenni, hogy ebben az esetben az összeg 1 valószínűséggel, ezért eloszlásban is konvergál.)

3.) P (ξ > x + y|ξ > x) = \frac{e^{−λ(x+y)}}{e^{−λy}} = e^{−λ}. Az általánosabb állítás bizonyításához használjuk fel a feladatok feladatsor 3. feladatának az eredményét. Definiáljuk az f(u, v) = I(u + v > x) függvényt. Ekkor

\begin{aligned}P (ξ + η > x|F)(ω) & = E(f(ξ, η)|F)(ω) = Ef(ξ, v)|_{v=η(ω)} = P (ξ + v > x)|_{v=η(ω)} \\ & = \{ \begin{matrix}e^{−λ(x−η(ω))} & ha x ≥ η(ω) \\ 1 & ha x < η(ω) \end{matrix} \end{aligned}

Az utolsó állítás igazolásához azt kell belátni, hogy P (Ω \ B) ∩ A ∩ {ξ(ω) + η(ω) > z}) = 0 és P (B ∩ A ∩ {ξ(ω) + η(ω) > z}) = ∫_{A} e^{−λ(z−x)} dP = e^{−λ(z−x)}P (A ∩ B) minden A ∈ F halmazra. Az első azonosság nyílvánvaló, mivel Ω \ B) ∩ {ξ(ω) + η(ω) > z}) = ∅, és a második azonosság igaz, mivel

P (B ∩ A ∩ {ξ(ω) + η(ω) > z}) = P (A ∩ {ξ(ω) + η(ω) > z}) = ∫_{A} e^{−λ(z−η(ω))}dP

= e^{−λ(z−x)} ∫_{A} e^{−λ(x−η(ω))}dP = e^{−λ(z−x)}P (A ∩ B) .

8.) Első megoldás Mutassuk meg, hogy az S_{k} valószínűségi változók karakterisztikus függvényei konvergálnak egy λ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó karakterisztkus függvényéhez.

Ee^{itS_{k}} = ∏_{j=1}^{n_{k}}(1 − λ_{k,j} + λ_{k,j}e^{it}) = ∏_{j=1}^{n_{k}} exp {λ_{k,j}(e^{it} − 1) + O(λ_{k,j}^{2})}

= exp {(e^{it} − 1) (∑_{j=1}^{n_{k}} λ_{k,j}) + O (∑_{j=1}^{n_{k}} λ_{k,j}^{2})} → exp{λ(e^{it} − 1)} ,

és egy η λ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó karakterisztikus

függvénye Ee^{itη} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ+ikt} = exp\{−λ + λe^{it}\}.

Az általánosabb állítás bizonyításához, amikor az (i′) feltétel teljesül, vezessük be a ξ′_{k,j} valószínűségi változókat a következő módon: ξ′_{k,j} = ξ_{k,j} ha ξ_{k,j} = 1, és

ξ′_{k,j} = 0, ha ξ_{k,j} ≠ 1, 1 ≤ j ≤ n_{k}, k = 1, 2, . . .. Legyen S′_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} ξ′_{k,j}. Ekkor

a S′_{k} valószínűségi változókra alkalmazhatjuk a feladat már bizonyított részét. A funkcionális határeloszlástétel első feladata alapján elég belátni, hogy S_{k} −S′_{k} ⇒ 0, ha k → ∞, ahol ⇒ eloszlásban való (vagy sztochasztikus) konvergenciát jelöl.

Viszont ez a feltétel teljesül, mivel P (S_{k} ≠ S′_{k}) ≤ ∑_{j=1}^{n_{k}} P (ξ_{k,j} ≥ 2) → 0. második megoldás (vázlat)

P (S_{k} = m) = ∑_{1≤l_{1}<···<l_{m}≤n_{k}} ∏_{p=1}^{m} λ_{l_{p}} ∏_{r∈{1,...,n_{k}}\{l_{1},...,l_{m}}}(1 − λ_{r})

∼ ∑_{1≤l_{1}<···<l_{m}≤n_{k}} ∏_{p=1}^{m} λ_{l_{p}} exp\{−λ\} ∼ \frac{λ^{m}}{m!} e^{−λ}

minden m ≥ 0 egész számra. E becslések igazolásánál felhasználjuk, hogy 1 − λ_{r} ∼

e^{−λ_{r}}, és mivel ∑_{r=1}^{n_{k}} λ_{k,r} → λ, és ez a reláció érvényben marad, ha véges sok tagot

elhagyunk az összegből, ezért a belső produktum közelíthető e^{−λ}-val. Továbbá,

∑_{1≤l_{1}<···<l_{m}≤n_{k}} ∏_{p=1}^{m} λ_{l_{p}} ∼ \frac{1}{m!} (∑_{l=1}^{n_{k}} λ_{k,l})^{m} ∼ \frac{1}{m!}λ^{m} ,

mivel a (∑_{l=1}^{n_{k}} λ_{k,l})^{m} kifejezés kifejtésében, a λ_{k,r} → 0 feltétel miatt, elhanyagolható azon tagok hozadéka, melyben valamelyik λ_{k,r} tag magasabb hatványon szerepel.

9.) Jelölje f(x_{1}, …, x_{n}) az (S_{1}, S_{2}, …, S_{n}) vektor és g_{n}(x) az S_{n} valószínűségi változó sűrűségfüggvényét. Ekkor az (S_{1}, …, S_{n}) feltételes sűrűségfüggvénye az S_{n} =

x feltétel mellett explicit felírható, mint h(x_{1}, …, x_{n−1}|x) = \frac{f(x_{1}, …, x_{n−1}, x)}{g_{n}(x)}.

(lásd feladatok feladatsor 5. feladatát.) Az (S_{1}, …, S_{n}) vektor sűrűségfüggvénye az (x_{1}, …, x_{n}) pontban megegyezik a (ξ_{1}, …, ξ_{n}) vektor sűrűségfüggvényével az (y_{1}, …, y_{n}) pontban, ahol y_{j} = x_{j} − x_{j−1}, j = 1, …, n, x_{0} = 0. (Miért?)

Ezért f(x_{1}, …, x_{n}) = ∏_{k=1}^{n} e^{−λy_{k}} = λe^{−λx_{n}}, ha 0 < x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n}, és

f(x_{1}, …, x_{n}) = 0 különben. Egyszerű számolással (n szerinti indukcióval) kap-

juk, hogy g_{n}(x) = \frac{λ^{n}}{(n − 1)!}x^{n−1}e^{−λx}. Ezért a h(x_{1}, …, x_{n−1}|x) = \frac{(n − 1)!}{x^{(}n − 1)}, ha

0 < x_{1} < x_{2} < ⋯ < x, és h(x_{1}, …, x_{n−1}|x) = 0 különben. Ez megegyezik az n − 1 elemű a [0, x] intervallumbeli egyenletes eloszlású függgetlen valószínűségi változókból készített rendezett minta sűrűségfüggvényével, mivel e változók együttes sűrűségfüggvénye a rendezés előtt x^{−(n−1)}, a rendezés után pedig ez (n − 1)!- sal szorzódik, és az 0 < x_{1} < ⋯ < x_{n−1} < x halmazra koncentrálódik. Innen következik az első állítás. A második állítás levezethető ebből az eredményből is a feltételes eloszlások tulajdonságait használva, de egyszerűbb levezetni a következő állításból: Ha az (S_{1}, …, S_{n}) függvény sűrűségfüggvénye f(x_{1}, …, x_{n}), akkor,

mint az könnyen bizonyítható, a (\frac{S_{1}}{S_{n}} , ⋯, \frac{S_{n−1}}{S_{n}} , S_{n}) vektor sűrűségfüggvénye

x_{n}^{n−1}f(x_{1}x_{n}, …, x_{n−1}x_{n}, x_{n}). Ez a mi esetünkben azt jelenti, hogy a vizsgált vektor és valószínűségi változó együttes sűrűségfüggvénye e^{−λx_{n}}x_{n}^{n−1} az {(x_{1}, …, x_{n}):

0 < x_{1} < ⋯ < x_{n−1} < 1, x_{n} > 0}, halmazon, és nulla ennek komplementerén. Ezért ez a sűrűségfüggvény h(x_{1}, …, x_{n−1})g(x_{n}) alakban írható, ahol a

h(x_{1}, …, x_{n−1}) = (n − 1)!I(0 < x_{1} < ⋯ < x_{n−1} < 1)

függvény a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású n − 1 elemű rendezett minta

sűrűségfüggvénye, és g(x) = λ^{n}e^{−λx} \frac{x^{n−1}}{(n − 1)!} az S_{n} sűrűségfüggvénye. Innen követ-

kezik az állítás.