\magnification=\magstep1 \input amstex \hsize=16truecm \parskip=4pt \parindent=18pt \define\({\left(} \define\){\right)} \define\e{\varepsilon} {\bf Feladatok:} \medskip Az al\'abbi feladat t\'argyal\'as\'at a szemin\'ariumon a P\'alffy P\'eter P\'al el\H oad\'as\'anak a v\'ege sugallta. Hat\'arozzuk meg az $\Cal A$, $\Cal Af(x)=x^2f(x)-\dfrac{d^2f}{dx^2}(x)$ oper\'ator saj\'at\'ert\'ekeit \'es sa\-j\'at\-f\"ugg\-v\'e\-nye\-it. \smallskip {\it Megjegyz\'es:\/} Az $\Cal A$ oper\'ator az un.\ quantum rot\'atort le\'\i r\'o oper\'ator. Val\'oban, egy (klasszikus) rot\'ator (harmonikus oszcill\'ator) Hamilton f\"uggv\'enye $\Cal H=x^2+v^2$, ha a param\'etereket alkalmasan v\'alasztjuk. Kvant\'al\'askor az $x^2$-nek az $x^2$ szorz\'ooper\'ator, $v$-nek az $i\dfrac d{dx}$ (a Planck \'alland\'ot egynek v\'alasztottuk), \'\i gy $v^2$-nek a $-\dfrac{d^2}{dx^2}$ oper\'ator felel meg. Ez\'ert a $\Cal H$ kvant\'altja a $\Cal A$ oper\'ator. \smallskip V\'azolok egy lehets\'eges megold\'ast. \medskip L\'assuk be, hogy az $\Cal A$ oper\'ator \"onadjung\'alt oper\'ator a n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"ugg\-v\'e\-nyek ter\'eben, melynek saj\'ataltereit alkotj\'ak minden $k$-ra a k\"ovetkez\H o f\"uggv\'enyek: $g(x)=P_k(x)e^{-x^2/2}$, ahol $P_k(x)$ legfeljebb $k$-fok\'u polinom. Oldjuk meg a feladatot ennek az \'eszrev\'etelnek az alapj\'an. A saj\'atf\"uggv\'enyben szerepl\H o polinom legmagasabb fok\'u tagj\'anak az egy\"utthat\'oj\'at vizsg\'alva l\'assuk be, hogy amennyiben e polinom foksz\'ama $k$, akkor a saj\'at\'ert\'ek $2k$. \parindent=0pt \bigskip Hat\'arozzuk meg az $\varphi(t)=\int _{-\infty}^\infty e^{itx-x^{4}}\, dx$ Fourier transzform\'alt aszimptotikus vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'et, ha $t\to\infty$. Mutassuk meg, hogy ez $t\to\infty$-re aszimptotikusan $$ C{t^{-1/3}}\exp\left\{-\dfrac3{8\root 3\of 4}t^{4/3}\right\}\;, $$ alkalmas $C>0$-val. Sz\'am\'\i{}tsuk ki a $C>0$ konstanst. \bigskip Ennek a feladatnak a megold\'asa a nyeregpont m\'odszer egy nem trivi\'alis alkalmaz\'as\'an alapul. Besz\'elt\"unk a szemin\'ariumon arr\'ol, hogy analitikus f\"uggv\'eny Fourier transzform\'altja a v\'egtelenben exponenci\'alis gyorsan tart null\'ahoz. A feladat az, hogy ennek az \'all\'\i{}t\'asnak a bizony\'\i{}t\'as\'at finom\'\i{}tva egy konkr\'et esetben pontos aszimptotik\'at adjunk. Tov\'abbi k\'erd\'es: Milyen a $\varphi(t)=\int _{-\infty}^\infty e^{itx-x^{2k}}\, dx$ Fourier transzform\'alt aszimptotikus viselked\'ese tetsz\H oleges pozit\'\i{}v eg\'esz $k$-ra? (E feladat megold\'as\'anak r\'eszleteit nem dolgozzuk ki, de ha valaki a r\'esztvev\H ok k\"oz\"ul ezt m\'egis megteszi, azt sz\'\i{}vesen meghallgatjuk.) \bigskip {\it Megold\'asv\'azlat:}\/ A nyeregpontok, az exponensben lev\H o $itx-x^4$ f\"uggv\'eny nullhelyei, a $t_j=i\root 3\of{\dfrac t4}\varepsilon_j$, $j=1,\,2,\,3$ sz\'amok, ahol $\varepsilon_1=1$, $\varepsilon_2=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2$, $\varepsilon_3=-\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}2$. Mi a nyeregpont szeml\'eletes tartalma, \'es mi\'ert ezek az \'erdekes pontok? K\"onnyen l\'athat\'o, hogy a $\varphi(t)$ f\"uggv\'eny \'ert\'ek\'enek az abszolut \'ert\'eke $t_2$ \'es $t_3$ pontban kisebb mint a $t_1$ pontban. Azt v\'arjuk, hogy az integr\'al\'asi \'ut alkalmas \'athelyez\'es\'evel el\'erhet\H o, hogy az integr\'al e k\'et pont k\"ornyezet\'ebe koncentr\'al\'odik. A f\H o k\'erd\'es: Hogyan val\'os\'\i{}that\'o ez meg? A nyeregpont m\'odszer megadja azt, hogy milyen ir\'anyban \'erdemes elindulni a $t_1$ illetve $t_2$ pontb\'ol. Abban, amelyik ir\'anyban a $\Re(-z^4+itz)$ f\"uggv\'eny a leggyorsabban cs\"okken. Ezt az ir\'anyt a $-z^4+itz$ f\"uggv\'eny m\'asodik deriv\'altja adja meg. Hogyan? Azt kapjuk, hogy a $t_1$ pont k\"or\"ul az abszcissza tengellyel $-30$ fokos sz\"oget bez\'ar\'o, $[u_1,u_2]$, $0