\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\parindent=18pt
 
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\e{\varepsilon}
 
{\bf Feladatok:}
\medskip
Az al\'abbi feladat t\'argyal\'as\'at a szemin\'ariumon a P\'alffy P\'eter
P\'al el\H oad\'as\'anak a v\'ege sugallta.
 
Hat\'arozzuk meg az $\Cal A$, $\Cal Af(x)=x^2f(x)-\dfrac{d^2f}{dx^2}(x)$
oper\'ator saj\'at\'ert\'ekeit \'es sa\-j\'at\-f\"ugg\-v\'e\-nye\-it.
\smallskip
{\it Megjegyz\'es:\/} Az $\Cal A$ oper\'ator az un.\ quantum rot\'atort
le\'{\i}r\'o oper\'ator. Val\'oban, egy (klasszikus) rot\'ator
(harmonikus oszcill\'ator) Hamilton f\"uggv\'enye $\Cal H=x^2+v^2$, 
ha a param\'etereket alkalmasan v\'alasztjuk. Kvant\'al\'askor az 
$x^2$-nek az $x^2$ szorz\'ooper\'ator, $v$-nek az $i\frac d{dx}$ 
(a Planck \'alland\'ot egynek v\'alasztottuk), \'\i gy $v^2$-nek a
$-\frac{d^2}{dx^2}$ oper\'ator felel meg. Ez\'ert a $\Cal H$
kvant\'altja a $\Cal A$ oper\'ator.

\smallskip
V\'azolok egy lehets\'eges megold\'ast.
 
\medskip
L\'assuk be, hogy az $\Cal A$ oper\'ator \"onadjung\'alt
oper\'ator a n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"ugg\-v\'e\-nyek
ter\'eben, amelynek saj\'ataltereit alkotj\'ak minden $k$-ra a
k\"ovetkez\H{o} f\"ugg\-v\'e\-nyek: $g(x)=P_k(x)e^{-x^2/2}$,
ahol $P_k(x)$ legfeljebb $k$-fok\'u polinom. Oldjuk meg a
feladatot ennek az \'eszrev\'etelnek az alapj\'an.
A saj\'atf\"uggv\'enyben szerepl\H o polinom legmagasabb
fok\'u tagj\'anak az egy\"utthat\'oj\'at vizsg\'alva l\'assuk 
be, hogy amennyiben e polinom foksz\'ama $k$, akkor a 
saj\'at\'ert\'ek $2k$.

\parindent=0pt \bigskip
{\it Feladat Fourier transzform\'alt aszimptotikus viselked\'es\'enek
meghat\'aroz\'as\'ara a v\'egtelen k\"ornyezet\'eben a nyeregpont
m\'odszer seg\'{\i}ts\'eg\'evel.} 

\medskip 
Hat\'arozzuk meg az $\varphi(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{itx-x^{4}}\,dx$ 
Fourier transzform\'alt aszimptotikus vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'et, 
ha $t\to\infty$. Mutassuk meg, hogy ez $t\to\infty$-re 
aszimptotikusan
$$
 C{t^{-1/3}}\exp\left\{-\frac3{8\root 3\of 4}t^{4/3}\right\}\;,
$$
alkalmas $C>0$-val. Sz\'am\'\i{}tsuk ki a $C>0$ konstanst.

\bigskip
Ennek a feladatnak a megold\'asa a nyeregpont m\'odszer egy nem
trivi\'alis alkalmaz\'as\'an alapul. Besz\'elt\"unk a szemin\'ariumon
arr\'ol, hogy analitikus f\"uggv\'eny Fourier transzform\'altja a
v\'egtelenben exponenci\'alis gyorsan tart null\'ahoz. A feladat az,
hogy ennek az \'all\'\i{}t\'asnak a bizony\'\i{}t\'as\'at
finom\'{\i}tva egy konkr\'et esetben pontos aszimptotik\'at adjunk.
Tov\'abbi k\'erd\'es: Milyen a 
$\varphi(t)=\int _{-\infty}^\infty e^{itx-x^{2k}}\, dx$ Fourier 
transzform\'alt aszimptotikus viselked\'ese tetsz\H{o}leges 
pozit\'{\i}v eg\'esz $k$ sz\'amra?
(E feladat megold\'as\'anak r\'eszleteit nem dolgozzuk ki, de ha
valaki a r\'esztvev\H ok k\"oz\"ul ezt m\'egis megteszi, azt
sz\'\i{}vesen meghallgatjuk.) 

\bigskip
{\it Megold\'asv\'azlat:}\/ \'Erdemes a feladatot \'at\'{\i}rni
homog\'enabb form\'aban az $x=t^{1/3}\bar x$ 
he\-lyet\-te\-s\'{\i}\-t\'es\-sel. Azt kapjuk, hogy 
$\varphi(t)=\int _{-\infty}^\infty e^{itx-x^4}\, dx
=t^{1/3}\int _{-\infty}^\infty e^{t^{4/3}(i\bar x-\bar x^4)}\,d\bar x$, 
ez\'ert fog\-lal\-koz\-ha\-tunk az
$\int _{-\infty}^\infty e^{t^{4/3}(ix-x^4)}\,dx$ integr\'al
aszimptotik\'aj\'anak a vizsg\'alat\'aval. 
A nyeregpontok, az exponensben lev\H{o}
$h(x)=ix-x^4$ f\"uggv\'eny $i-4x^3$ deriv\'altj\'anak a nullhelyei, azaz
a $z_j=-i\root  3\of{\frac 14}\varepsilon_j$, $j=1,\,2,\,3$ sz\'amok, 
ahol $\varepsilon_1=1$, $\varepsilon_2=-\frac12+i\frac{\sqrt3}2$,
$\varepsilon_3=-\frac12-i\frac{\sqrt3}2$. Mi a nyeregpont
szeml\'eletes tartalma, \'es mi\'ert ezek az \'erdekes pontok?
A $h(z)$ pont \'ert\'eke a nyeregpontokban, $h(z_j)=z_j(i-z_j^3)
=\frac34iz_j=\frac3{4^{4/3}}\varepsilon_j$, $j=1,\,2,\,3$.
Olyan g\"orb\'et keres\"unk, amely a $-\infty$ pontb\'ol a
$\infty$ pontba megy, \'athaladva a $z_2$ \'es $z_3$ nyeregpontokon,
a nyeregpontokban a g\"orbe ir\'anya olyan, mint amilyet a nyeregpont
m\'odszer sugall, \'es az $e^{t^{4/3}h(x)}$ f\"uggv\'enyt ezen
a g\"orben integr\'alva, az integr\'al
\'ert\'ek\'enek f\H{o} hozad\'ek\'at a $z_2$ \'es $z_3$ nyeregpontok
kis k\"ornyezetei adj\'ak. A f\H{o} k\'erd\'es: Hogyan 
val\'os\'{\i}that\'o ez meg?

A $h(z)$ f\"uggv\'eny Taylor sor fejt\'ese a $z_j$ nyeregpontokban
a $h(z)=h(z_j)-6z_j^2(z-z_j)^2-4z_j(z-z_j)^3-(z-z_j)^4$ f\"uggv\'eny. 
A keresett integr\'al\'asi \'ut $z_j$ nyeregpontokon
\'atmen\H{o} r\'esz\'et $u_j(s)=z_j+\frac{|z_j|}{z_j}s$ alakban
\'erdemes v\'alasztani. Ekkor $h(u_j(s))=h(z_j)-6|z_j|^2s^2
-4\frac{|z_j|^3}{z_j^2}s^3-\frac{|z_j|^4}{z_j^4}s^4
=h(z_j)-6(\frac14)^{2/3}s^2+4^{2/3}\e_js^3+\bar\e_j s^4$,
ahonnan $\Re h(u_j(s))
=\Re h(z_j)-6(\frac14)^{2/3}s^2-2(\frac14)^{1/3}s^3-\frac12s^4$.
Innen k\"ovetkezik, hogy a $\Re h(u_j(s))$ f\"uggv\'eny maximuma
az $s=0$ pontban van, (ahol $u_j(s)=z_j$), mivel annak deriv\'altja,
a $\Re h(u_j(s))'=2s[-6(\frac14)^{1/3}-3(\frac14)^{2/3}s-2s^2]$ 
f\"uggv\'eny $s\le 0$ eset\'en pozit\'{\i}v \'es $s\ge0$ eset\'en
negat\'{\i}v. 

A fenti sz\'amol\'as a k\"ovetkez\H{o} integr\'al\'asi utat
sugallja a $\varphi(t)$ integr\'al kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara.
El\H{o}sz\"or menj\"unk a $-\infty$-b\H{o}l az abszcissza tengelyen
a $-\sqrt3 4^{-1/3}$ pontba, onnan az $u_3(\cdot)$ egyenesen 
az $4^{-1/3}i$ pontba, onnan az $u_2(\cdot)$ egyenesen a
$\sqrt34^{-1/3}$ pontba, onnan az abszcissza tengelyen a 
$+\infty$-be. A kapott integr\'al l\'enyeges hozad\'ekat a $z_2$ 
\'es $z_3$ pontok kis k\"ornyezete adja nagy $t$ param\'eterre.
Ez olyan Gauss t\'{\i}pus\'u integr\'al, amely j\'ol sz\'amolhat\'o.
A v\'egeredm\'eny: 

$$
\align
\varphi(t)&=t^{1/3}\Re \left[2e^{t^{4/3}h(z_2)}\frac{\bar z_2}{|z^2|}\right]
\int_{-\infty}^\infty e^{-t^{4/3}\cdot 6|z_2|^2s^2}\,ds(1+o(1)) \\
&=\frac{t^{1/3}}{t^{2/3}\sqrt 6|z_2|}\Re
\left[\frac{z_2}{|z_2|} e^{-3\cdot 4^{-4/3}\e_2t^{4/3}}\right](1+o(1))
=C(t)t^{-1/3}e^{-3/8\root 3 \of 4 \cdot t^{4/3}}(1+o(1)),
\endalign
$$
ahol
$$
C(t)=\frac{4\cdot 2^{1/3}\sqrt{6\pi}}6
\cos\left[\frac{3\sqrt 3}{8\root 3 \of 4} t^{4/3}+\frac\pi6\right].
$$
Val\'oj\'aban a fenti formul\'aban $o(1)$ helyett $O(t^{-2/3})$-ot
is \'{\i}rhatunk.

\bye

