\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\parindent=18pt
 
\define\e{\varepsilon}
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\noindent Nagy elt\'er\'esek elm\'elete
\bigskip
\item{1.)} Legyen $\xi_1,\dots,\xi_{n}$ f\"uggetlen val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok sorozata, $P(\xi_j=1-p)=1-P(\xi_j=-p)=p$, $0<p<1$,
$S_n=\sum\limits_{k=1}^n\xi_k$. V\'alasszunk $p=1/3$ sz\'amot, \'es
legyen $n$ oszthat\'o 3-mal. Akkor $P(S_{n}=0)=\dfrac{1+o(1)}
{\sqrt{2\pi np(1-p)}}$. Ha $P(\xi_j=1-p)=1-P(\xi_j=-p)=\dfrac12$, akkor
$P(S_n=0)=\dfrac{1+o(1)}{\sqrt{2\pi np(1-p)}}e^{n(H(p)-\log 2)}$, ahol
$H(p)=-(p\log p+(1-p)\log(1-p))$. Azon $n$ hossz\'us\'ag\'u 0,~1
sorozatok sz\'ama, melyek pontosan $\dfrac n3$ egyest tartalmaznak
$\dfrac{3+o(1)}{2\sqrt{\pi n}}e^{nH(1/3)}$.
\item{2.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok, melyekre $Ee^{t\xi_j}\le R(t)$ vala\-mi\-lyen
$t>0$-ra. Legyen $S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$. Ekkor
$$
P(S_n>nx)\le e^{n(\log R(t)-tx)}\;.
$$
\smallskip
A k\"ovetkez\H o k\'erd\'essel foglalkozunk: Legyenek $\xi_k$,
$k=1,2,\dots$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok,
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$. Tegy\"uk fel, hogy ezek a
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok minden nem t\'ul
megszor\'\i{}t\'o, j\'o tulajdons\'aggal rendelkeznek. A
$P(S_n-ES_n>nx)$ va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gek
aszimptotikus viselked\'es\'enek min\'el pontosabb le\'\i{}r\'as\'at
sze\-ret\-n\'enk megadni, ha $n\to\infty$. Az els\H o feladatban
bizonyos speci\'alis esetben a $P(S_n=nx)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'eg
pontos aszimptotik\'aj\'at adtuk meg. K\'erd\'esek: Tudunk-e az els\H o
feladat \'all\'\i{}t\'as\'ara olyan bizony\'\i{}t\'ast adni, mely
\'altal\'anosabb, teh\'at nemcsak ebben a speci\'alis esetben m\H
uk\"odik? \'Eles-e a m\'asodik feladat \'all\'\i{}t\'asa? Ebben
szerepel egy $t$ param\'eter. Term\'eszetesen ezt a $t$ param\'etert
igyekez\"unk optim\'alis m\'odon v\'alasztani. Ilyen v\'alaszt\'as
eset\'en \'eles becsl\'est kapunk-e, vagy ez a becsl\'es l\'enyegesen
jav\'\i{}that\'o?
 
E k\'erd\'es meg\'ert\'ese c\'elj\'ab\'ol tekints\"uk a k\"ovetkez\H o
probl\'em\'at. Legyenek $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H  us\'egi v\'altoz\'ok,
melyekre $P(\xi_1=j)=p(j)$, $j=0,\pm1,\pm2,\dots$,
$\summ_{j=-\infty}^\infty p(j)=1$, azaz a $\xi_n$ val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok csak eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel. Legyen
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, \'es vizsg\'aljuk a $p^{(n)}(m)=P(S_n=m)$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egek viselked\'es\'et. E k\'erd\'es az els\H o
feladat term\'eszetes \'altal\'anos\'\i{}t\'asa. Ezt vizsg\'alhatjuk a
$p^{(n)}(m)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egek kisz\'am\'\i{}t\'as\'aval a
Fourier analizis seg\'\i{}ts\'eg\'evel. K\'erd\'es: Tudunk-e ilyen
m\'odon j\'o aszimptotik\'at adni a $p^{(n)}(m)$ val\'osz\'\i{}n\H
us\'egekre? Ez elegend\H o-e a $p^{(n)}([n\alpha])$ val\'osz\'\i{}n\H
us\'egek j\'o aszimptotik\'aj\'anak vizsg\'alat\'ahoz, ahol $[x]$ az
$x$ sz\'am eg\'esz r\'esze? Ez a k\'erd\'es egyszer\H ubb,  mint a
$P(S_n>nx)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'eg vizsg\'alata. Viszont az eredeti
k\'erd\'es megold\'as\'ahoz sz\"uks\'eges \"osszes l\'enyeges gondolat
m\'ar e k\'erd\'es vizsg\'alat\'aban is megjelenik.
 
A k\"ovetkez\H o h\'arom feladatban j\'o aszimptotik\'at adunk a
$p^{(n)}(m)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egekre. Viszont a nagy elt\'er\'es
tipus\'u probl\'em\'ak vizsg\'alat\'ahoz \'uj gondolat is
sz\"uks\'eges. A nagy elt\'er\'es probl\'em\'ak egyik
lehets\'eges \'es term\'eszetes megold\'asa a nyeregpont m\'odszer
meg\'ert\'ese \'es alkalmaz\'asa.
 
De\-fi\-ni\-\'al\-juk~a
$$
\varphi(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty  p(k)e^{ikt}
$$
Fourier sort. Bizony\'\i{}tsuk be a k\"ovetkez\H o \'all\'\i{}t\'asokat:
\item{3.)}
$$
\varphi^n(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty p^{(n)}(k)e^{ikt} \quad\text{ahol }
p^{(n)}(k)=P(\xi_1+\cdots+\xi_n=k)
$$
minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra. Ez\'ert
$$
p^{(n)}(k)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-ikt} \varphi^n(t)\,dt\;,
\quad k=0,\pm1,\pm2,\dots\;.
$$
\item{4.)} $|\varphi(t)|\le 1$. Tov\'abb\'a $|\varphi(t)|<1$ minden
$t\neq0$ \'es $|t|\le\pi$ eset\'en akkor \'es csak akkor, ha a
$\Cal K=\{k\: p(k)>0,\; k=0,\pm1,\pm2,\dots\}$ halmaz nincs egy
egyn\'el
na\-gyobb r\'acssz\'eless\'eg\H u r\'acs eltoltj\'an, azaz minden
$d\ge2$ \'es $r$ sz\'amra az $\Cal L(d,r)=\{jd+r;\;
j=0,\pm1,\pm2,\dots\}$ halmaz (a $d$ r\'acssz\'eless\'eg\H u $r$
sz\'ammal eltolt r\'acs) nem tartalmazza a $\Cal K$ halmazt.
\item{}  $E\xi_1^l=i^{l}\varphi^{(l)}(0)$, $l=0,1,2,\dots$, ahol
$\xi_1$ olyan val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o, melyre
$P(\xi_1=k)=p(k)$, $i=\sqrt{-1}$, \'es $\varphi^{(l)}(0)$ a
$\varphi(t)$ f\"uggv\'eny $l$-ik deriv\'altja a null\'aban.
\item{5.)} Ha a $\Cal K=\{k\: p(k)>0,\; k=0,\pm1,\pm2,\dots\}$ halmaz
nincs egy egyn\'el nagyobb r\'acs\-sz\'e\-les\-s\'e\-g\H u r\'acs
eltoltj\'an, akkor r\"ogz\'\i{}tett $k$ eg\'esz sz\'amra \'es tetsz\H
oleges olyan $\e(n)$ sorozatra, melyre $\e(n)\to0$, ha $n\to\infty$,
r\"ogz\'\i{}tett $n$-re alkalmazva a
$k=nE\xi_1+m\sqrt{n\text{Var}\,\xi_1}$
term\'eszetes sk\'al\'az\'ast fel\'\i{}rhatjuk, hogy
$$
\align
P\(S_n=k\)
=\frac1{2\pi} &\int_{-\e(n)}^{\e(n)}\exp\left\{-i\(nE\xi_1+m\sqrt
{n\text{Var}\,\xi_1}\) t\right\} \varphi^n(t)\,dt\\
&\qquad+O\(e^{-\const n\e(n)^2}\)\;,
\endalign
$$
\'es
$$
\varphi^n(t)=\exp\left\{n\(iE\xi_1t-\text{Var}\,\xi_1\frac
{t^2}2\)\right\}\(1+O(nt^3)\),\quad \text{ha } |t|<n^{-1/6}\;.
$$
L\'assuk be ennek az \"osszef\"ugg\'esnek a seg\'\i{}ts\'eg\'evel, hogy
az el\H oz\H o felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en
$$
P(S_n=k)=\frac1{\sqrt{2\pi n
\text{Var}\,\xi_1}} e^{-(k-nE\xi_1)^2/2n\text {Var}\,\xi_1}+O\(\frac1{
n}\)\;.
$$
Hogyan m\'odosul ez az \'all\'\i{}t\'as akkor, ha a $\Cal K$ halmaz egy
$d>1$ r\'acssz\'eless\'eg\H u r\'acs eltoltja tartalmazza?
\medskip Az utols\'o feladat eredm\'enye j\'o aszimptotik\'at ad a
$p^{(n)}(k)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'eg \'ert\'ek\'ere, ha
$k-nE\xi_1\sim\sqrt n\text{Var}\,\xi_1$. Mi\'ert nem m\H uk\"odik ez
a m\'odszer j\'ol a t\"obbi esetben? \'Erts\"uk meg, hogy az
\'altal\'anos esetben a nyeregpont m\'odszer seg\'\i{}ts\'eg\'evel
a k\"ovetkez\H o eredm\'enyt kapjuk (felt\'etelezve, hogy a $\xi_1$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa teljes\'\i{}t
bizonyos felt\'eteleket.)
\item{6.)} Tegy\"uk fel, hogy  $E\xi_1=0$, \'es $\xi_1$ eloszl\'as\'anak
tart\'oja, a $\Cal K=\{k\: p(k)>0,\; k=0,\pm1,\pm2,\dots\}$ halmaz
nincs egy egyn\'el nagyobb r\'acssz\'eless\'eg\H u r\'acs eltoltj\'an.
Ekkor
$$
p^{(n)}(k)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-ik(t+is)}
\varphi^n(t+is)\,dt\;, \quad k=0,\pm1,\pm2,\dots
$$
tetsz\H oleges $s$ val\'os sz\'amra, ahol $\varphi(t+is)$ a
$\varphi(t)$ Fourier sor \'altal defini\'alt f\"uggv\'eny analitikus
kiterjeszt\'ese a komplex sz\'ams\'\i{}kra. Legyen az $s$
sz\'am a $n\psi'(is)=ik$,  egyenlet val\'os megold\'asa, ahol
$\psi(t+is)=\log\varphi(t+is)$. \'Erts\"uk meg az
$$
e^{-ik(t+is)}\varphi^n(t+is)
$$
f\"uggv\'eny viselked\'es\'et ennek az $is$ pontnak a
k\"ornyezet\'eben. Ennek \'erdek\'eben l\'assuk be, hogy $\bar
\psi(s)=\psi(-is)$ val\'os \'ert\'ek\H u f\"uggv\'eny, melynek
m\'asodik deriv\'altja szigor\'uan po\-zi\-t\'\i{}v, \'es
$\bar\psi(s)=0$.  Ez\'ert az el\H oz\H o egyenletnek legfeljebb egy
megold\'asa van. Ha ez az egyenlet megoldhat\'o, \'es a $\psi(\cdot)$
f\"uggv\'eny analitikus a megold\'as kis k\"ornyezet\'eben, akkor
$$
p^{(n)}(k)= \frac{\exp\left\{n\(\bar\psi(-s)-\frac kn
(-s)\)\right\}}{\sqrt{2\pi n\bar\psi''(-s)}}\(1+O\(\frac1{\sqrt
n}\)\)\;.
$$
Ha $k>cn$ alkalmas $c>0$ sz\'ammal, akkor mivel
$\bar\psi(0)=\psi'(0)=0$, \'es $\bar\psi(s)$ szigor\'uan konvex,
$\psi(s)+\dfrac kn<-c'$, alkalmas $c'>0$-val. L\'assuk be, hogy a 1.
feladat eredm\'enye e feladat \'all\'\i{}t\'asainak speci\'alis esete.
$\bar\psi(-s)=\log R(s)=\log Ee^{s\xi_1}$. Hasonl\'\i{}tsuk \"ossze az
ebben a feladatban adott aszimptotik\'at a 2. feladat becsl\'es\'evel.
 
\bye
 
