Nagy eltérések elmélete

1.) Legyen ξ_{1}, …, ξ_{n} független valószínűségi változók sorozata, P (ξ_{j} = 1 − p) = 1 −

P (ξ_{j} = −p) = p, 0 < p < 1, S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}. Válasszunk p = 1/3 számot, és

legyen n osztható 3-mal. Akkor P (S_{n} = 0) = \frac{1 + o(1)}{\sqrt{2πnp(1 − p)}}. Ha P (ξ_{j} = 1 −

p) = 1 − P (ξ_{j} = −p) = \frac{1}{2}, akkor P (S_{n} = 0) = \frac{1 + o(1)}{\sqrt{2πnp(1 − p)}}e^{n(H(p)−log 2)}, ahol

H(p) = −(p log p + (1 − p) log(1 − p)). Azon n hosszúságú 0, 1 sorozatok száma,

melyek pontosan \frac{n}{3} egyest tartalmaznak \frac{3 + o(1)}{2\sqrt{πn}}e^{nH(1/3)}.

2.) Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független valószínűségi változók, melyekre Ee^{tξ_{j}} ≤ R(t) valamilyen t > 0-ra. Legyen S_{n} = ξ_{1} + ⋯ + ξ_{n}. Ekkor

P (S_{n} > nx) ≤ e^{n(log R(t)−tx)} .

A következő kérdéssel foglalkozunk: Legyenek ξ_{k}, k = 1, 2, … független, egy-

forma eloszlású valószínűségi változók, S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}. Tegyük fel, hogy ezek a va-

lószínűségi változók minden nem túl megszorító, jó tulajdonsággal rendelkeznek. A P (S_{n}−ES_{n} > nx) valószínűségek aszimptotikus viselkedésének minél pontosabb leírását szeretnénk megadni, ha n → ∞. Az első feladatban bizonyos speciális esetben a P (S_{n} = nx) valószínűség pontos aszimptotikáját adtuk meg. Kérdések: Tudunk-e az első feladat állítására olyan bizonyítást adni, mely általánosabb, tehát nemcsak ebben a speciális esetben működik? Éles-e a második feladat állítása? Ebben szerepel egy t paraméter. Természetesen ezt a t paramétert igyekezünk optimális módon választani. Ilyen választás esetén éles becslést kapunk-e, vagy ez a becslés lényegesen javítható?

E kérdés megértése céljából tekintsük a következő problémát. Legyenek ξ_{n}, n = 1, 2, …, független, egyforma eloszlású valószínűségi változók, melyekre P (ξ_{1} = j) =

p(j), j = 0, ±1, ±2, …, ∑_{j=−∞}^{∞} p(j) = 1, azaz a ξ_{n} valószínűségi változók csak egész

értékeket vesznek fel. Legyen S_{n} = ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}, és vizsgáljuk a p^{(n)}(m) = P (S_{n} = m)

valószínűségek viselkedését. E kérdés az első feladat természetes általánosítása. Ezt vizsgálhatjuk a p^{(n)}(m) valószínűségek kiszámításával a Fourier analizis segítségével. Kérdés: Tudunk-e ilyen módon jó aszimptotikát adni a p^{(n)}(m) valószínűségekre? Ez elegendő-e a p^{(n)}([nα]) valószínűségek jó aszimptotikájának vizsgálatához, ahol [x] az x szám egész része? Ez a kérdés egyszerűbb, mint a P (S_{n} > nx) valószínűség vizsgálata. Viszont az eredeti kérdés megoldásához szükséges összes lényeges gondolat már e kérdés vizsgálatában is megjelenik.

A következő három feladatban jó aszimptotikát adunk a p^{(n)}(m) valószínűségekre. Viszont a nagy eltérés tipusú problémák vizsgálatához új gondolat is szükséges. A nagy eltérés problémák egyik lehetséges és természetes megoldása a nyeregpont módszer megértése és alkalmazása.

Definiáljuk a

φ(t) = ∑_{k=−∞}^{∞} p(k)e^{ikt}

Fourier sort. Bizonyítsuk be a következő állításokat:

3.)

φ^{n}(t) = ∑_{k=−∞}^{∞} p^{(n)}(k)e^{ikt} ahol p^{(n)}(k) = P (ξ_{1} + ⋯ + ξ_{n} = k)

minden n = 1, 2, … számra. Ezért

p^{(n)}(k) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{−ikt}φ^{n}(t) dt , k = 0, ±1, ±2, ….

4.) |φ(t)| ≤ 1. Továbbá |φ(t)| < 1 minden t ≠ 0 és |t| ≤ π esetén akkor és csak akkor, ha a K = {k: p(k) > 0, k = 0, ±1, ±2, … } halmaz nincs egy egynél nagyobb rácsszélességű rács eltoltján, azaz minden d ≥ 2 és r számra az L(d, r) = {jd + r; j = 0, ±1, ±2, … } halmaz (a d rácsszélességű r számmal eltolt rács) nem tartalmazza a K halmazt.

Eξ_{1}^{l} = i^{l}φ^{(l)}(0), l = 0, 1, 2, …, ahol ξ_{1} olyan valószínűségi változó, melyre P (ξ_{1} = k) = p(k), i = \sqrt{−1}, és φ^{(l)}(0) a φ(t) függvény l-ik deriváltja a nullában.

5.) Ha a K = {k: p(k) > 0, k = 0, ±1, ±2, … } halmaz nincs egy egynél nagyobb rácsszélességű rács eltoltján, akkor rögzített k egész számra és tetszőleges olyan ε(n) sorozatra, melyre ε(n) → 0, ha n → ∞, rögzített n-re alkalmazva a k = nEξ_{1} + m\sqrt{nVar ξ_{1}} természetes skálázást felírhatjuk, hogy

P (S_{n} = k) = \frac{1}{2π} ∫_{−ε(n)}^{ε(n)} exp \{−i (nEξ_{1} + m\sqrt{nVar ξ_{1}}) t\} φ^{n}(t) dt
+ O (e^{−const. nε(n)^{2}}) ,

és

φ^{n}(t) = exp \{n (iEξ_{1}t − Var ξ_{1} \frac{t^{2}}{2} )\} (1 + O(nt^{3})) , ha |t| < n^{−1/6} .

Lássuk be ennek az összefüggésnek a segítségével, hogy az előző feltételek teljesülése esetén

P (S_{n} = k) = \frac{1}{\sqrt{2πnVar ξ_{1}}} e^{−(k−nEξ_{1})^{2}/2nVar ξ_{1}} + O (\frac{1}{n}) .

Hogyan módosul ez az állítás akkor, ha a K halmaz egy d > 1 rácsszélességű rács eltoltja tartalmazza?

Az utolsó feladat eredménye jó aszimptotikát ad a p^{(n)}(k) valószínűség értékére, ha k − nEξ_{1} ∼ \sqrt{n}Var ξ_{1}. Miért nem működik ez a módszer jól a többi esetben? Értsük meg, hogy az általános esetben a nyeregpont módszer segítségével a következő eredményt kapjuk (feltételezve, hogy a ξ_{1} valószínűségi változó eloszlása teljesít bizonyos feltételeket.)

6.) Tegyük fel, hogy Eξ_{1} = 0, és ξ_{1} eloszlásának tartója, a K = {k: p(k) > 0, k = 0, ±1, ±2, … } halmaz nincs egy egynél nagyobb rácsszélességű rács eltoltján. Ekkor

p^{(n)}(k) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{−ik(t+is)}φ^{n}(t + is) dt , k = 0, ±1, ±2, …

tetszőleges s valós számra, ahol φ(t + is) a φ(t) Fourier sor által definiált függvény analitikus kiterjesztése a komplex számsíkra. Legyen az s szám a nψ′(is) = ik, egyenlet valós megoldása, ahol ψ(t + is) = log φ(t + is). Értsük meg az

e^{−ik(t+is)}φ^{n}(t + is)

függvény viselkedését ennek az is pontnak a környezetében. Ennek érdekében lássuk be, hogy ψ̄(s) = ψ(−is) valós értékű függvény, melynek második deriváltja szigorúan pozitív, és ψ̄(s) = 0. Ezért az előző egyenletnek legfeljebb egy megoldása van. Ha ez az egyenlet megoldható, és a ψ(·) függvény analitikus a megoldás kis környezetében, akkor

p^{(n)}(k) = \begin{matrix}exp & \{n (ψ̄(−s) − \frac{k}{n}(−s))\} \\ √ & \overline{2πnψ̄′′(−s)} \end{matrix} (1 + O (\frac{1}{\sqrt{n}})) .

Ha k > cn alkalmas c > 0 számmal, akkor mivel ψ̄(0) = ψ′(0) = 0, és ψ̄(s) szigorúan

konvex, ψ(s)+ \frac{k}{n} < −c′, alkalmas c′ > 0-val. Lássuk be, hogy a 1. feladat eredménye

e feladat állításainak speciális esete. ψ̄(−s) = log R(s) = log Ee^{sξ_{1}}. Hasonlítsuk össze az ebben a feladatban adott aszimptotikát a 2. feladat becslésével.