\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\parindent=18pt
 
 
\define \supp{\sup\limits}
\define\e{\varepsilon}
 
\centerline{\bf V\'egesen additiv invari\'ans m\'ert\'ekek csoportokon}
\medskip\noindent
\item{1.)} A term\'eszetes sz\'amok halmaz\'an l\'etezik nem
trivi\'alis v\'egesen addit\'{\i}v 0--1 m\'ert\'ek, azaz a
term\'eszetes sz\'amok \"osszes r\'eszhalmaz\'ahoz 0 vagy 1 sz\'amot
lehet hozz\'a\-ren\-del\-ni \'ugy, hogy a teljes halmazhoz az 1
sz\'amot az egy elem\H{u} halmazokhoz a 0 sz\'amot rendelj\"uk, \'es
a halmazf\"uggv\'eny v\'egesen addit\'{\i}v.
\medskip
A ,,klasszikus p\'elda" olyan $\bold G$ csoportra, melyben nem
l\'etezik a csoport \"osszes r\'eszhalmaz\'an defini\'alt egyre
norm\'alt v\'egesen add\'{\i}tiv (jobboldali) mozgat\'asra invari\'ans
m\'ert\'ek, illetve ami ezzel ekvivalens, a $\bold G$ csoporton
\'ertelmezett korl\'atos f\"ugg\-v\'e\-nyek ter\'en defini\'alt
(bal\-ol\-dali) transzl\'aci\'o invari\'ans k\"o\-z\'ep\-\'er\-t\'ek,
(l\'asd {\it Invari\'ans m\'ert\'ekek \'es az 1997. \'evi
Schweitzer verseny 7. feladata}\/ feladatsort, ahol ezeket a
fogalmakat t\'argyaltuk) a k\'et elem \'altal gener\'alt szabad
csoport, illetve az ezt r\'eszcsoportk\'ent tartalmaz\'o csoportok.
Az al\'abbiakban bel\'atjuk e csoportoknak a fent eml\'{\i}tett
tulajdons\'ag\'at.
 
Egy $a$ \'es $b$ elem \'altal gener\'alt szabad csoport az $a$,
$a^{-1}$, $b$ \'es $b^{-1}$ jelekb\H{o}l \'all\'o v\'eges sorozatok
(szavak), k\'et sz\'o szorzata a k\'et sz\'o egym\'as ut\'an
\'{\i}r\'asa. Egy sz\'o megegyezik annak r\"ovid\'{\i}t\'es\'evel,
melyet \'ugy kapunk, hogy egy esetlegesen r\'eszk\'ent tartalmazott
$aa^{-1}$, $a^{-1}a$, $bb^{-1}$ vagy $b^{-1}b$ sorozatot elhagyunk. Egy
tov\'abb nem egyszer\H{u}s\'{\i}thet\H{o} sz\'ot irreducibilisnek
nevez\"unk. Egy sz\'o irreducibilis alakja egy\'ertelm\H{u}. Mi\'ert?
\medskip
\item{2.)} L\'assuk be, hogy az $a$ \'es $b$ elem \'altal gener\'alt
$\bold G$ szabad csoporton \'ertelmezett korl\'atos f\"ugg\-v\'e\-nyek
ter\'en nincsen (bal\-ol\-dali) transz\-l\'aci\'o invari\'ans
k\"o\-z\'ep\-\'er\-t\'ek. L\'as\-suk be, hogy ennek az
\'all\'{\i}t\'asnak a bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg megadni
olyan korl\'atos $f$ f\"uggv\'enyt a $\bold G$ csoporton \'es
$\alpha\in \bold G$, $\beta\in \bold G$, $\gamma\in \bold G$
szavakat, melyekre
$$
\supp_{x\in \bold G}[f(\alpha x)+f(\beta x)-f(\gamma x)-f(x)]<0.
$$
L\'assuk be, hogy ez a tulajdons\'ag teljes\"ul a k\"ovetkez\H{o}
v\'alaszt\'assal. Legyen $f(x)=1$, ha $x=a^\e y$, $f(x)=0$, ha
$x=b^\e y$ alak\'u, $\e=\pm1$, ahol az $x$ sz\'ot annak irreducibilis
alakj\'aban \'{\i}rjuk fel. Legyen tov\'abb\'a $\gamma=a$,
$\alpha=ba^{-1}$, $\beta=b^{-1}a^{-1}$.
\item{3.)} Ha a $\bold G$ csoporton \'ertelmezett korl\'atos
f\"ugg\-v\'e\-nyek ter\'en l\'etezik $M$ (jobboldali) transz\-l\'aci\'o
invari\'ans k\"o\-z\'ep\-\'er\-t\'ek, \'es a $\bold H$ csoport a $\bold
G$ csoport r\'eszcsoportja, akkor l\'etezik $M_0$ (baloldali)
transzl\'aci\'o invari\'ans k\"o\-z\'ep\-\'er\-t\'ek a $\bold H$
csoporton \'ertelmezett korl\'atos f\"ugg\-v\'e\-nyek ter\'en is.
R\'eszletesebben, mutassuk meg, hogy a k\"ovetkez\H{o} konstrukci\'o
p\'eld\'at ad ilyen $M_0$ m\'ert\'ekre. V\'alasszunk minden $\bold Hx$
jobboldali mell\'ek\-oszt\'aly\-ban egy $x'=x'(\bold Hx)\in \bold G$
elemet, \'es minden $z\in \bold Hx$-re defini\'aljuk a $\gamma(z)\in
\bold H$ egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott elemet, melyre
$z=\gamma(z)x'(\bold Hx)$. Egy $f(\cdot)$ $\bold H$-n
\'er\-tel\-me\-zett korl\'atos f\"uggv\'enyhez rendelj\"uk hozz\'a az
$f'(z)=f(\gamma(z))$ korl\'atos f\"uggv\'enyt $\bold G$-n, \'es legyen
$M_0f=Mf'$.
\item{} Ha a k\'et elem \'altal gener\'alt szabad csoport a $\bold G$
csoport r\'eszcsoportja, akkor a $\bold G$ csoporton nem l\'etezik
baloldali (jobboldali) transzl\'aci\'o invari\'ans k\"oz\'ep\'ert\'ek.
\hfill\break{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Mutassuk meg, hogy $h\in \bold H$
\'es $z\in \bold G$-re $h\gamma(z)=\gamma(hz)$, ha $h\in\bold H$, $f$
korl\'atos f\"uggv\'eny $\bold H$-n, $f_1(z)=f(hz)$ akkor
$f'_1(z)=f'(hz)$.
\item{4.)} Ha a $\bold G$ csoporton defini\'alt korl\'atos
f\"ugg\-v\'e\-nyek ter\'en van bal\-ol\-dali eltol\'as invari\'ans
k\"oz\'ep\-\'er\-t\'ek, akkor l\'etezik jobboldali, s\H{o}t egyszerre
bal \'es jobboldali eltol\'as invari\'ans k\"oz\'ep\'ert\'ek is.
\hfill\break{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Ha $M_l$ baloldali eltol\'as
invari\'ans k\"oz\'ep\'ert\'ek, akkor $M_rf(x)=M_lf(x^{-1})$
jobboldali eltol\'asinvari\'ans k\"oz\'ep\'ert\'ek. Defini\'aljuk az
$f'(x)=M_rf(x\cdot)$ f\"uggv\'enyt, \'es az $M_0f=M_lf'$
lek\'epez\'est. Mutassuk meg, hogy $M_0$ mind bal mind jobboldali
eltol\'as invari\'ans m\'ert\'ek. Ehhez l\'assuk be, hogy $f_1(x)=f(ax)$
\'es $f_2(x)=f_2(xb)$, $a,b\in\bold G$-re $f_1'(x)=f'(ax)$ \'es
$f'_2(x)=f'(x)$.
 
\bye
 
 
