Végesen additiv invariáns mértékek csoportokon

1.) A természetes számok halmazán létezik nem triviális végesen additív 0–1 mérték, azaz a természetes számok összes részhalmazához 0 vagy 1 számot lehet hozzárendelni úgy, hogy a teljes halmazhoz az 1 számot az egy elemű halmazokhoz a 0 számot rendeljük, és a halmazfüggvény végesen additív.

A ,,klasszikus példa” olyan G csoportra, melyben nem létezik a csoport összes részhalmazán definiált egyre normált végesen addítiv (jobboldali) mozgatásra invariáns mérték, illetve ami ezzel ekvivalens, a G csoporton értelmezett korlátos függvények terén definiált (baloldali) transzláció invariáns középérték, (lásd Invariáns mértékek és az 1997. évi Schweitzer verseny 7. feladata feladatsort, ahol ezeket a fogalmakat tárgyaltuk) a két elem által generált szabad csoport, illetve az ezt részcsoportként tartalmazó csoportok. Az alábbiakban belátjuk e csoportoknak a fent említett tulajdonságát.

Egy a és b elem által generált szabad csoport az a, a^{−1}, b és b^{−1} jelekből álló véges sorozatok (szavak), két szó szorzata a két szó egymás után írása. Egy szó megegyezik annak rövidítésével, melyet úgy kapunk, hogy egy esetlegesen részként tartalmazott aa^{−1}, a^{−1}a, bb^{−1} vagy b^{−1}b sorozatot elhagyunk. Egy tovább nem egyszerűsíthető szót irreducibilisnek nevezünk. Egy szó irreducibilis alakja egyértelmű. Miért?

2.) Lássuk be, hogy az a és b elem által generált G szabad csoporton értelmezett korlátos függvények terén nincsen (baloldali) transzláció invariáns középérték. Lássuk be, hogy ennek az állításnak a bizonyításához elég megadni olyan korlátos f függvényt a G csoporton és α ∈ G, β ∈ G, γ ∈ G szavakat, melyekre

sup_{x∈G}[f(αx) + f(βx) − f(γx) − f(x)] < 0.

Lássuk be, hogy ez a tulajdonság teljesül a következő választással. Legyen f(x) = 1, ha x = a^{ε}y, f(x) = 0, ha x = b^{ε}y alakú, ε = ±1, ahol az x szót annak irreducibilis alakjában írjuk fel. Legyen továbbá γ = a, α = ba^{−1}, β = b^{−1}a^{−1}.

3.) Ha a G csoporton értelmezett korlátos függvények terén létezik M (jobboldali) transzláció invariáns középérték, és a H csoport a G csoport részcsoportja, akkor létezik M_{0} (baloldali) transzláció invariáns középérték a H csoporton értelmezett korlátos függvények terén is. Részletesebben, mutassuk meg, hogy a következő konstrukció példát ad ilyen M_{0} mértékre. Válasszunk minden Hx jobboldali mellékosztályban egy x′ = x′(Hx) ∈ G elemet, és minden z ∈ Hx-re definiáljuk a γ(z) ∈ H egyértelműen meghatározott elemet, melyre z = γ(z)x′(Hx). Egy f(·) H-n értelmezett korlátos függvényhez rendeljük hozzá az f′(z) = f(γ(z)) korlátos függvényt G-n, és legyen M_{0}f = Mf′.

Ha a két elem által generált szabad csoport a G csoport részcsoportja, akkor a G csoporton nem létezik baloldali (jobboldali) transzláció invariáns középérték. Segítség: Mutassuk meg, hogy h ∈ H és z ∈ G-re hγ(z) = γ(hz), ha h ∈ H, f korlátos függvény H-n, f_{1}(z) = f(hz) akkor f′_{1}(z) = f′(hz).

4.) Ha a G csoporton definiált korlátos függvények terén van baloldali eltolás invariáns középérték, akkor létezik jobboldali, sőt egyszerre bal és jobboldali eltolás invariáns középérték is. Segítség: Ha M_{l} baloldali eltolás invariáns középérték, akkor M_{r}f(x) = M_{l}f(x^{−1}) jobboldali eltolásinvariáns középérték. Definiáljuk az f′(x) = M_{r}f(x·) függvényt, és az M_{0}f = M_{l}f′ leképezést. Mutassuk meg, hogy M_{0} mind bal mind jobboldali eltolás invariáns mérték. Ehhez lássuk be, hogy f_{1}(x) = f(ax) és f_{2}(x) = f_{2}(xb), a, b ∈ G-re f′_{1}(x) = f′(ax) és f′_{2}(x) = f′(x).