\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\define \inff{\inf\limits}
\define \supp{\sup\limits}
\define \({\left(}
\define \){\right)}
\define \summ{\sum\limits}
\define \e{\varepsilon}
 
\centerline{\bf Invari\'ans m\'ert\'ekek \'es az 1997. \'evi
Schweitzer verseny 7. feladata}
\medskip\noindent
Az 1997. \'evi Schweitzer verseny 7. feladata a
k\"ovetkez\H{o}k\'eppen sz\'ol: \medskip\noindent
Legyen $\bold G$ Abel-csoport, $0\leq\varepsilon<1$ \'es $f\:\bold G
\to{\bold R}^n$ olyan f\"uggv\'eny, amelyik kiel\'eg\'{\i}ti az
$$
\|f(x+y)-f(x)-f(y)\|\le \varepsilon\|f(y)\|, \qquad (x,y)\in\bold G^2
$$
egyenl\H otlens\'eget. Igazoljuk, hogy ekkor l\'eteznek olyan
$A\:\bold G\to{\bold R}^n$ addit\'{\i}v valamint $\varphi\:A(\bold
G)\to{\bold R}^n$ folytonos f\"uggv\'enyek, melyekre $f=\varphi\circ
A$. \medskip
A feladat megold\'as\'aban kulcsszerepet j\'atszik a k\"ovetkez\H{o}
eredm\'eny: \medskip\noindent
{\bf T\'etel:}  {\it Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} fogalmat:  Egy
$\bold G$ csoporton \'ertelmezett korl\'atos f\"ugg\-v\'e\-nyek
$B(\bold G)$ ter\'en defini\'alt $M\:B(\bold G)\to \bold R^1$
lek\'epez\'es, (bal\-ol\-dali) transzl\'aci\'o invari\'ans
k\"o\-z\'ep\-\'er\-t\'ek, ha
\item{i.)} $M(c_1f_1+c_2f_2)=c_1Mf_1+c_2Mf_2$ minden $c_1, c_2\in \bold
R^1$ sz\'amra \'es $f_1,f_2$ $\bold G\to \bold R^1$
kor\-l\'a\-tos f\"ugg\-v\'eny\-re.
\item{ii.)} $M\bold T_gf=Mf$ minden $g\in \bold G$ \'es $f\in
B(\bold G)$-re, ahol $\bold T_g f(h)=f(gh)$.
\item{iii.)} $\inff_{g\in \bold G} f(g)\le Mf\le \supp_{g\in \bold G}
f(g)$ minden $f\in B(\bold G)$-re.
 
Ha a $G$ csoport kommutativ, akkor a rajta \'ertelmezett
korl\'atos f\"uggv\'enyek ter\'en l\'etezik
(baloldali) transzl\'aci\'o invari\'ans m\'ert\'ek.}
\medskip\noindent
E feladatsorban bel\'atjuk mind a fenti t\'etelt mind pedig a
megfogalmazott Schwei\-tzer verseny feladatot. Tov\'abb\'a
megt\'argyalunk n\'eh\'any a fenti t\'etelhez kapcsol\'od\'o
prob\-l\'e\-m\'at. L\'assuk be el\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o}
\'all\'{\i}t\'ast: \medskip
\item{0.)} A fent megfogalmazott t\'etel ekvivalens a k\"ovetkez\H{o}
\'all\'{\i}t\'assal. Ha a $\bold G$ csoport kommutativ, akkor
l\'etezik azon (jobboldali) invari\'ans egyre norm\'alt $\mu$ v\'eges
m\'ert\'ek, azaz olyan $\mu$ f\"uggv\'eny $\bold G$ {\it \"osszes}\/
r\'eszhalmalmaz\'an, melyre $0\le\mu(\bold A)\le 1$ minden
$\bold A\subset \bold G$ halmazra, $\mu(\bold G)=1$, $\mu(\bold A
g)=\mu(\bold A)$ minden $\bold A\subset \bold G$ halmazra \'es
$g\in\bold G$ ,,mozgat\'asra", \'es ha $\bold A_1$,\dots $\bold A_k$
a $\bold G$ diszjunkt r\'eszhalmazai, akkor $\mu(\bold
A_1\cup\cdots\cup\bold A_k)=\mu(\bold A_1)+\cdots+\mu(\bold A_k)$.
\medskip
A fent megfogalmazott t\'etel kapcs\'an term\'eszetes m\'odon
vet\H{o}dik fel n\'eh\'any tov\'abbi k\'erd\'es is, melyekre esetleg
k\'es\H{o}bbi szemin\'ariumokon visszat\'erhet\"unk. \medskip
\item{i.)} Mely csoportokra l\'etezik (jobboldali) invari\'ans v\'eges
m\'ert\'ek \'es melyekre nem? A fenti t\'etel szerint l\'etezik ilyen
m\'ert\'ek kommutativ csoport eset\'en. Negat\'{\i}v a v\'alasz
viszont akkor, ha a csoport nagyon ,,bonyolult". Bebizony\'{\i}that\'o,
hogy nem l\'etezik ilyen m\'ert\'ek, ha a csoport egy r\'eszcsoportja
izomorf a k\'et elem \'altal gener\'alt szabad csoporttal. Lakos Gyula
h\'{\i}vta fel a figyelmemet arra, hogy az ilyen k\'erd\'esek
vizsg\'alata fontos szerepet j\'atszik Laczkovich Mikl\'os
speci\'alel\H{o}ad\'as\'aban is. Val\'oban, p\'eld\'aul a Tarski
paradoxon (egy g\"omb\"ot sz\'et lehet v\'agni v\'eges sok r\'eszre,
\'es azokb\'ol \"ossze lehet rakni k\'et ugyanolyan sugar\'u
g\"omb\"ot) szoros kapcsolatban van a h\'arom dimenzi\'os t\'er
mozgat\'ascsoportj\'anak bonyolults\'ag\'aval. Sz\'{\i}vesen
venn\'em, ha a j\"ov\H{o}ben valaki besz\'elne ilyen
probl\'em\'akr\'ol.
\item{ii.)} Egy m\'asik \'erdekes k\'erd\'es, melyet k\'es\H{o}bb
esetleg t\'argyalhatunk az, hogy mikor l\'etezik egy halmaz \"osszes
r\'eszhalmazain nem trivi\'alis (nem megsz\'aml\'alhat\'o sok pontba
koncentr\'alt) $\sigma$-addit\'{\i}v m\'ert\'ek.
\medskip
 
A fent megfogalmazott eredm\'enyek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz transzfinit
indukci\'o, teh\'at a kiv\'alaszt\'asi axi\'oma felhaszn\'al\'asa
sz\"uks\'eges. Ez az\'ert fontos, mert ez egyben azt jelenti, hogy a
fenti feladatokra csak egzisztencia bizony\'{\i}t\'asokat nem pedig
explicit konstrukci\'ot tudunk adni. Ezt a transzfinit indukci\'ot
t\"obb ekvivalens m\'odon alkalmazhatjuk. Az egyik leggyakrabban (\'es
tal\'an legk\'enyelmesebben) haszn\'alt m\'odszer a k\"ovetkez\H{o}
un.\ Zorn lemma. \medskip\noindent
{\bf Zorn lemma.} {\it Legyen $(X,\preceq)$ egy r\'eszben rendezett
halmaz. (B\'{\i}zonyos $x\in X$, $y\in X$ p\'arokra teljes\"ul az
$x\preceq y$ egyenl\H{o}tlens\'eg, mely teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokat: (i) $x\preceq x$, (ii)
ha $x\preceq y$ \'es $y\preceq z$ $\Rightarrow x\preceq z$, (iii) ha
$x\preceq y$ \'es $y\preceq x$ $\Rightarrow x=y$.) Egy $A\subset X$
halmazt $X$ teljesen rendezett r\'eszhalmaz\'anak h\'{\i}vunk, ha
tetsz\H{o}leges $x\in A$ \'es $y\in A$ elemekre $x\preceq y$ vagy
$y\preceq x$. Egy $m\in X$ elemet maxim\'alisnak nevez\"unk, ha
$m\preceq x\Rightarrow m=x$.
 
Tegy\"uk fel, hogy az $(X,\preceq)$ r\'eszben rendezett halmaz
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agot: Az $X$ halmaz
tetsz\H{o}leges $A\subset X$  rendezett r\'eszhalmaz\'anak van
major\'ansa, azaz olyan $z\in X$ elem, melyre $x\preceq z$ minden $x\in
A$  elemre. Ekkor tetsz\H{o}leges $x\in X$ elemre l\'etezik olyan $m\in
X$ maxim\'alis elem, melyre $x\preceq m$.} \medskip
A Zorn lemma bizony\'{\i}t\'as\'at nem t\'argyaljuk. Ugyancsak
elhagyjuk az al\'abb kimondott Banach--Hahn t\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'at, mely a Zorn lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel
bizony\'{\i}that\'o. Ez a funkcion\'alanal\'{\i}zis egyik legfontosabb
eredm\'enye \'es r\'esze a fels\H{o} \'eves egyetemi tananyagnak. A
t\'etelsor elej\'en kimondott t\'etelt k\"onnyebb a Banach--Hahn
t\'etel se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel mint a Zorn lemma k\"ozvetlen
alkalmaz\'as\'aval bizony\'{\i}tani. \medskip \noindent
{\bf Banach--Hahn t\'etel.} {\it Legyen adva egy $E$ val\'os line\'aris
t\'er, annak egy $L$  altere, egy $u_0\: L\to\bold R^1$ line\'aris
lek\'epez\'es, \'es egy az eg\'esz $E$ t\'eren defini\'alt $p(x)$,
$x\in E$, val\'os \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'eny, mely teljes\'{\i}ti
a k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokat:\medskip
\item{i.)} $u_0(x)\le p(x)$, ha $x\in L$.
\item{ii.)} $p(x+y)\le p(x)+p(y)$, ha $x,y\in E$.
\item {iii.)} $p(\alpha x)=\alpha p(x)$, ha $x\in E$, \'es $\alpha\ge
0$.\medskip
Ekkor l\'etezik az $u_0$ lin\'aris lek\'epez\'esnek olyan $u\:E\to
\bold R^1$ kiterjeszt\'ese az eg\'esz  $E$ t\'erre, mely line\'aris
lek\'epez\'es, \'es $u(x)\le p(x)$ minden $x\in E$ pontban.}
\medskip
\item{1.)} Bizony\'{\i}tsuk be, hogy egy $\bold G$ csoport
korl\'atos f\"uggv\'enyeinek ter\'en akkor \'es
csak akkor l\'etezik (baloldali)
transzl\'aci\'o invari\'ans k\"oz\'ep\'ert\'ek, ha
tetsz\H{o}leges $f_1,\dots,f_k$ $\bold G$-n defini\'alt korl\'atos
f\"uggv\'enyekre \'es $g_1\in \bold G$, \dots, $g_k\in \bold G$ elemekre
$$
\sup_{h\in \bold G}\sum_{j=1}^k \(f_j(h)-\bold T_{g_j}f_j(h)\)\ge 0\;,
$$
ahol $\bold T_gf(h)=f(gh)$ minden $h\in \bold G$-re. \hfill\break
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ L\'assuk be, hogy a felt\'etel
teljes\"ul\'ese eset\'en a $\summ_{j=1}^k \(f_j(h)-\bold
T_{g_j}f_j(h)\)$ alak\'u f\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all\'o
alt\'eren defini\'alt $u_0(f)\equiv0$ lek\'epez\'es kiterjeszthet\H{o}
a $\bold G$ t\'eren \'ertel\-me\-zett korl\'atos f\"uggv\'enyek ter\'en
defini\'alt $u$ line\'aris lek\'epez\'ess\'e \'ugy, hogy
$u(f)\le \supp_{h\in \bold G}f(h)$.\medskip
A kimondott t\'etel bebizony\'{\i}that\'o az els\H{o} feladat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A bizony\'{\i}t\'asban megjelenik egy a
matematika bizonyos probl\'em\'aiban fontos szerepet j\'atsz\'o fogalom
a null kohomologia, az hogy tetsz\H{o}leges $n$ eg\'esz sz\'amra
a $\summ_{j=1}^n(\bold T^j f-\bold T^{j-1} f)=\bold T^n f-f$, teh\'at
mind\"ossze k\'et elemb\H{o}l \'all\'o \"osszeg. (Pontosabban a null
kohomologia t\"obbdimenzi\'os v\'altozat\'at haszn\'aljuk).
\item{2.)} Bizony\'{\i}tsuk be, hogy egy $\bold G$ kommutativ csoport
korl\'atos f\"uggv\'enyeinek ter\'en l\'etezik (baloldali)
transzl\'aci\'o invari\'ans k\"oz\'ep\'ert\'ek.\hfill\break
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Ha $\supp_{h\in \bold G}\summ_{j=1}^k
\(f_j(h)-\bold T_{g_j}f_j(h)\)\le-\e$ alkalmas v\'alaszt\'assal, akkor
te\-kint\-s\"uk a
$$
\supp_{h\in \bold G}\sum_{0\le l_1\le N,\dots0\le l_k \le N}
\sum_{j=1}^k \bold T_{g_1^{l_1}\cdots g_k^{l_k}}
\(f_j(h)-\bold T_{g_j}f_j(h)\)
$$
kifejez\'est el\'eg nagy $N$-re, \'es adjunk e kifejez\'esre
egym\'asnak ellentmond\'o als\'o \'es fels\H{o} becsl\'est.
\item {3.)} Egy $A\subset \bold R^n$ $\text{conv}\,A$ konvex burka
akkor \'es csak akkor tartalmaz egy $(x_1,\dots,x_n)\in \bold R^n$
pontot, ha tetsz\H{o}leges $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ sz\'amokra
$\inff_{(u_1,\dots,u_n)\in A}(\alpha_1u_1+\dots+\alpha_nu_n)\le
\alpha_1x_1+\dots+\alpha_nx_n\le \supp_{(u_1,\dots,u_n)\in
A}(\alpha_1u_1+\dots+\alpha_nu_n)$. Ha $M$ (baloldali) transzl\'aci\'o
invari\'ans k\"oz\'ep\'ert\'ek egy $\bold G$ Abel csoport korl\'atos
f\"uggv\'enyeinek ter\'en, $(f_1,\dots,f_n)$ $n$ korl\'atos
f\"uggv\'enyb\H{o}l \'all\'o vektor, akkor $(Mf_1,\dots,Mf_n)$ az
$(f_1(g),\dots,f_n(g))$, $g\in \bold G$, pontok konvex burk\'aban van.
\item{4.)} Legyen $M$ (baloldali) transzl\'aci\'o
invari\'ans k\"oz\'ep\'ert\'ek egy $\bold G$ Abel csoport korl\'atos
f\"uggv\'enyeinek ter\'en. Ha teljes\"ulnek a feladatsor elej\'en
megfogalmazott Schweitzer feladat felt\'etelei, akkor az $Af(x)=
M[f(x+\cdot)-f(\cdot)]$, $Af\:\bold G\to\bold R^n$ lek\'epez\'es j\'ol
defini\'alt f\"uggv\'eny $\bold G$-n, $A(x+y)=A(x)+A(y)$,
\'es teljes\"ul az $\|A(y)-f(y)\|\le\e\|f(y)\|$ egyenl\H{o}tlens\'eg.
\item{5.)} A $\varphi(u)=f(x)$, ha $u=A(x)$ \'ertelmesen defini\'alja
a $\bold G$ halmaz $A(\bold G)$ k\'ep\'enek lek\'epez\'es\'et az $\bold
R^n$ halmazra, azaz ha $A(x_1)=A(x_2)$, akkor $f(x_1)=f(x_2)$. S\H{o}t,
ha $u_1=A(x_1)$, $u_2=A(x_2)$, akkor mivel
$$
\align
(1-\e)\|f(x_1-x_2)\|&\le\|f(x_1)-f(x_2)\|\le(1+\e)\|f(x_1-x_2)\|\\
(1-\e)\|f(x_1-x_2)\|&\le\|A(x_1)-A(x_2)\|\le(1+\e)\|f(x_1-x_2)\|\;,
\endalign
$$
$\dfrac{1-\e}{1+\e}\|u_1-u_2\|\le\|\varphi(u_1)-\varphi(u_2)\|\le
\dfrac{1+\e}{1-\e}\|u_1-u_2\|$. L\'assuk be, hogy a defini\'alt $A$ and
$\varphi$ f\"uggv\'enyek a feladatsor elej\'en megfogalmazott
Schweitzer feladat megold\'as\'at szolg\'altatj\'ak. (Az is l\'athat\'o
innen, hogy a $\varphi$ f\"uggv\'enynek l\'etezik folytonos inverze.)
 
 \bye