Invariáns mértékek és az 1997. évi Schweitzer verseny 7. feladata

Az 1997. évi Schweitzer verseny 7. feladata a következőképpen szól:

Legyen G Abel-csoport, 0 ≤ ε < 1 és f: G → R^{n} olyan függvény, amelyik kielégíti az

∥f(x + y) − f(x) − f(y)∥ ≤ ε∥f(y)∥, (x, y) ∈ G^{2}

egyenlőtlenséget. Igazoljuk, hogy ekkor léteznek olyan A: G → R^{n} additív valamint φ: A(G) → R^{n} folytonos függvények, melyekre f = φ ∘ A.

A feladat megoldásában kulcsszerepet játszik a következő eredmény:

Tétel: Vezessük be a következő fogalmat: Egy G csoporton értelmezett korlátos függvények B(G) terén definiált M: B(G) → R^{1} leképezés, (baloldali) transzláció invariáns középérték, ha i.) M(c_{1}f_{1} + c_{2}f_{2}) = c_{1}Mf_{1} + c_{2}Mf_{2} minden c_{1}, c_{2} ∈ R^{1} számra és f_{1}, f_{2} G → R^{1}

korlátos függvényre. ii.) MT_{g}f = Mf minden g ∈ G és f ∈ B(G)-re, ahol T_{g}f(h) = f(gh). iii.) inf_{g∈G} f(g) ≤ Mf ≤ sup_{g∈G} f(g) minden f ∈ B(G)-re.

Ha a G csoport kommutativ, akkor a rajta értelmezett korlátos függvények terén létezik (baloldali) transzláció invariáns mérték.

E feladatsorban belátjuk mind a fenti tételt mind pedig a megfogalmazott Schweitzer verseny feladatot. Továbbá megtárgyalunk néhány a fenti tételhez kapcsolódó problémát. Lássuk be először a következő állítást:

0.) A fent megfogalmazott tétel ekvivalens a következő állítással. Ha a G csoport kommutativ, akkor létezik azon (jobboldali) invariáns egyre normált μ véges mérték, azaz olyan μ függvény G összes részhalmalmazán, melyre 0 ≤ μ(A) ≤ 1 minden A ⊂ G halmazra, μ(G) = 1, μ(Ag) = μ(A) minden A ⊂ G halmazra és g ∈ G ,,mozgatásra”, és ha A_{1}, … A_{k} a G diszjunkt részhalmazai, akkor μ(A_{1} ∪ ⋯ ∪ A_{k}) = μ(A_{1}) + ⋯ + μ(A_{k}).

A fent megfogalmazott tétel kapcsán természetes módon vetődik fel néhány további kérdés is, melyekre esetleg későbbi szemináriumokon visszatérhetünk.

i.) Mely csoportokra létezik (jobboldali) invariáns véges mérték és melyekre nem? A fenti tétel szerint létezik ilyen mérték kommutativ csoport esetén. Negatív a válasz viszont akkor, ha a csoport nagyon ,,bonyolult”. Bebizonyítható, hogy nem létezik ilyen mérték, ha a csoport egy részcsoportja izomorf a két elem által generált szabad csoporttal. Lakos Gyula hívta fel a figyelmemet arra, hogy az ilyen kérdések vizsgálata fontos szerepet játszik Laczkovich Miklós speciálelőadásában is. Valóban, például a Tarski paradoxon (egy gömböt szét lehet vágni véges sok részre, és azokból össze lehet rakni két ugyanolyan sugarú gömböt) szoros kapcsolatban van a három dimenziós tér mozgatáscsoportjának bonyolultságával. Szívesen venném, ha a jövőben valaki beszélne ilyen problémákról. ii.) Egy másik érdekes kérdés, melyet később esetleg tárgyalhatunk az, hogy mikor

létezik egy halmaz összes részhalmazain nem triviális (nem megszámlálható sok pontba koncentrált) σ-additív mérték.

A fent megfogalmazott eredmények bizonyításához transzfinit indukció, tehát a kiválasztási axióma felhasználása szükséges. Ez azért fontos, mert ez egyben azt jelenti, hogy a fenti feladatokra csak egzisztencia bizonyításokat nem pedig explicit konstrukciót tudunk adni. Ezt a transzfinit indukciót több ekvivalens módon alkalmazhatjuk. Az egyik leggyakrabban (és talán legkényelmesebben) használt módszer a következő un. Zorn lemma.

Zorn lemma. Legyen (X, ⪯) egy részben rendezett halmaz. (Bízonyos x ∈ X, y ∈ X párokra teljesül az x ⪯ y egyenlőtlenség, mely teljesíti a következő tulajdonságokat: (i) x ⪯ x, (ii) ha x ⪯ y és y ⪯ z ⇒ x ⪯ z, (iii) ha x ⪯ y és y ⪯ x ⇒ x = y.) Egy A ⊂ X halmazt X teljesen rendezett részhalmazának hívunk, ha tetszőleges x ∈ A és y ∈ A elemekre x ⪯ y vagy y ⪯ x. Egy m ∈ X elemet maximálisnak nevezünk, ha m ⪯ x ⇒ m = x.

Tegyük fel, hogy az (X, ⪯) részben rendezett halmaz teljesíti a következő tulajdonságot: Az X halmaz tetszőleges A ⊂ X rendezett részhalmazának van majoránsa, azaz olyan z ∈ X elem, melyre x ⪯ z minden x ∈ A elemre. Ekkor tetszőleges x ∈ X elemre létezik olyan m ∈ X maximális elem, melyre x ⪯ m.

A Zorn lemma bizonyítását nem tárgyaljuk. Ugyancsak elhagyjuk az alább kimondott Banach–Hahn tétel bizonyítását, mely a Zorn lemma segítségével bizonyítható. Ez a funkcionálanalízis egyik legfontosabb eredménye és része a felső éves egyetemi tananyagnak. A tételsor elején kimondott tételt könnyebb a Banach–Hahn tétel segítségével mint a Zorn lemma közvetlen alkalmazásával bizonyítani.

Banach–Hahn tétel. Legyen adva egy E valós lineáris tér, annak egy L altere, egy u_{0} : L → R^{1} lineáris leképezés, és egy az egész E téren definiált p(x), x ∈ E, valós értékű függvény, mely teljesíti a következő tulajdonságokat:

i.) u_{0}(x) ≤ p(x), ha x ∈ L. ii.) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ha x, y ∈ E. iii.) p(αx) = αp(x), ha x ∈ E, és α ≥ 0.

Ekkor létezik az u_{0} lináris leképezésnek olyan u: E → R^{1} kiterjesztése az egész E térre, mely lineáris leképezés, és u(x) ≤ p(x) minden x ∈ E pontban.

1.) Bizonyítsuk be, hogy egy G csoport korlátos függvényeinek terén akkor és csak akkor létezik (baloldali) transzláció invariáns középérték, ha tetszőleges f_{1}, …, f_{k} G-n definiált korlátos függvényekre és g_{1} ∈ G, …, g_{k} ∈ G elemekre

sup_{h∈G} ∑_{j=1}^{k} (f_{j}(h) − T_{g_{j}}f_{j}(h)) ≥ 0 ,

ahol T_{g}f(h) = f(gh) minden h ∈ G-re.

Segítség: Lássuk be, hogy a feltétel teljesülése esetén a ∑_{j=1}^{k} (f_{j}(h) − T_{g_{j}}f_{j}(h)) alakú függvényekből álló altéren definiált u_{0}(f) ≡ 0 leképezés kiterjeszthető a G téren értelmezett korlátos függvények terén definiált u lineáris leképezéssé úgy, hogy

u(f) ≤ sup_{h∈G} f(h).

A kimondott tétel bebizonyítható az első feladat segítségével. A bizonyításban megjelenik egy a matematika bizonyos problémáiban fontos szerepet játszó fogalom a null

kohomologia, az hogy tetszőleges n egész számra a ∑_{j=1}^{n}(T^{j}f − T^{j−1}f) = T^{n}f − f, tehát

mindössze két elemből álló összeg. (Pontosabban a null kohomologia többdimenziós változatát használjuk). 2.) Bizonyítsuk be, hogy egy G kommutativ csoport korlátos függvényeinek terén

létezik (baloldali) transzláció invariáns középérték.

Segítség: Ha sup_{h∈G} ∑_{j=1}^{k} (f_{j}(h) − T_{g_{j}}f_{j}(h)) ≤ −ε alkalmas választással, akkor tekint-

sük a

sup_{h∈G} ∑_{0≤l_{1}≤N,...0≤l_{k}≤N} ∑_{j=1}^{k} T_{g_{1}^{l_{1}} ···g_{k}^{l_{k}}} (f_{j}(h) − T_{g_{j}}f_{j}(h))

kifejezést elég nagy N-re, és adjunk e kifejezésre egymásnak ellentmondó alsó és felső becslést.

3.) Egy A ⊂ R^{n} conv A konvex burka akkor és csak akkor tartalmaz egy (x_{1}, …, x_{n}) ∈ R^{n} pontot, ha tetszőleges α_{1}, …, α_{n} számokra inf_{(u_{1},...,u_{n})∈A}(α_{1}u_{1} + ⋯ + α_{n}u_{n}) ≤

α_{1}x_{1} + ⋯ + α_{n}x_{n} ≤ sup_{(u_{1},...,u_{n})∈A}(α_{1}u_{1} + ⋯ + α_{n}u_{n}). Ha M (baloldali) transzláció

invariáns középérték egy G Abel csoport korlátos függvényeinek terén, (f_{1}, …, f_{n}) n korlátos függvényből álló vektor, akkor (Mf_{1}, …, Mf_{n}) az (f_{1}(g), …, f_{n}(g)), g ∈ G, pontok konvex burkában van.

4.) Legyen M (baloldali) transzláció invariáns középérték egy G Abel csoport korlátos függvényeinek terén. Ha teljesülnek a feladatsor elején megfogalmazott Schweitzer feladat feltételei, akkor az Af(x) = M[f(x + ·) − f(·)], Af: G → R^{n} leképezés jól definiált függvény G-n, A(x + y) = A(x) + A(y), és teljesül az ∥A(y) − f(y)∥ ≤ ε∥f(y)∥ egyenlőtlenség.

5.) A φ(u) = f(x), ha u = A(x) értelmesen definiálja a G halmaz A(G) képének leképezését az R^{n} halmazra, azaz ha A(x_{1}) = A(x_{2}), akkor f(x_{1}) = f(x_{2}). Sőt, ha u_{1} = A(x_{1}), u_{2} = A(x_{2}), akkor mivel

(1 − ε)∥f(x_{1} − x_{2})∥ ≤ ∥f(x_{1}) − f(x_{2})∥ ≤ (1 + ε)∥f(x_{1} − x_{2})∥
(1 − ε)∥f(x_{1} − x_{2})∥ ≤ ∥A(x_{1}) − A(x_{2})∥ ≤ (1 + ε)∥f(x_{1} − x_{2})∥ ,

\frac{1 − ε}{1 + ε}∥u_{1} −u_{2}∥ ≤ ∥φ(u_{1})−φ(u_{2})∥ ≤ \frac{1 + ε}{1 − ε}∥u_{1} −u_{2}∥. Lássuk be, hogy a definiált A

and φ függvények a feladatsor elején megfogalmazott Schweitzer feladat megoldását szolgáltatják. (Az is látható innen, hogy a φ függvénynek létezik folytonos inverze.)