\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\parindent=18pt
\nopagenumbers
 
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\e{\varepsilon}
\define\const{\text{const.}\,}
\define\limm{\lim\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
 
\noindent{\it Feladatok a l\'anct\"ortekr\H{o}l:}\/ \smallskip\noindent
 
\item{1.} Legyenek $\alpha_1$,\dots, $\alpha_k$ val\'os sz\'amok.
Ekkor l\'etezik vegtelen sok olyan $q$ eg\'esz sz\'am, melyekre
$\left|\alpha_s-\dfrac {p_s}q\right|\le\dfrac{\const}{q^{(k+1)/k}}$
alkalmas $p_s$ eg\'esszel minden $s=1,\dots,k$ sz\'amra.
\item{2.} Tekints\"uk az
$[a_1,a_2,\dots]=\limm_{n\to\infty}[a_1,\dots,a_n]$ l\'anct\"ortet,
ahol $a_1,a_2,\dots$ pozit\'{\i}v val\'os (nem felt\'etlen\"ul eg\'esz)
sz\'amok, felt\'eve, hogy a fenti limesz l\'etezik. L\'assuk be, hogy a
fenti limesz akkor \'es csak akkor l\'etezik, ha
$\summ_{k=1}^\infty a_k=\infty$.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ L\'attuk, hogy a konvergencia
sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etele az, hogy ha
$q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}$ az $n$-ik k\"ozel\'{\i}t\H{o} t\"ort
``nevez\H{o}je", akkor $\limm q_nq_{n+1}\to\infty$. Tov\'abb\'a, a
$q_{2k}$, illetve $q_{2k+1}$, $k=1,2,\dots$, sorozatok monoton
n\H{o}vekv\H{o}ek.
\item{3.} Legyenek $(a,b)$ \'es $(c,d)$ eg\'esz koordin\'at\'aj\'u
vektorok a s\'{\i}kban. E k\'et vektor \'altal kifesz\'{\i}tett
parallelogramma akkor \'es csak akkor nem tartalmaz a belsej\'eben
r\'acs\-pon\-tot, ha $|ad-bc|=1$. Hogy sz\'ol ennek a feladatnak a
t\"obb-dimenzi\'os v\'altozata?
\item{4.} Mutassuk meg, hogy tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amhoz
megadhat\'o olyan $\alpha$ sz\'am \'es annak $\dfrac{p_n}{q_n}$
k\"ozel\'{\i}t\H{o} l\'anct\"ortje, melyre
$\left|\dfrac{p_n}{q_n}-\alpha\right|>\dfrac{(1-\e)}{q_n^2}$.
\item{5.} Mutassuk meg, hogy a racion\'alis sz\'amokkal legrosszabbul
approxim\'alhat\'o sz\'amra azaz az $\alpha=[1,1,\dots]$ sz\'amra
$[1,1,\dots]=\dfrac{\sqrt 5-1}2$. Tov\'abb\'a, $\limsupp_{n\to\infty}
q_n^2\left|\alpha-\dfrac{p_n}{q_n}\right|=\dfrac1{\sqrt 5}$.
\item{5a.} Az 5. feladat megold\'asa \'erdek\'eben mutassuk meg, hogy
az \"ot\"odik feladatban sze\-rep\-l\H{o} $\alpha=\dfrac{\sqrt 5-1}2$
sz\'am $n$-ik l\'anct\"ortje $\dfrac{B_{n-1}}{B_n}$ alakban
\'{\i}rhat\'o, ahol $B_0=1$, $B_1=1$, $B_{k+2}=B_{k+1}+B_k$, $\ge0$.
Adjunk explicit formul\'at a $B_n$ sorozat elemeinek \'ert\'ek\'ere.
\item{6.} Mutassuk meg, hogy egy l\'anct\"ort, mely egy id\H{o}
m\'ulva egy $(b_1,\dots,b_s)$ peri\'odust ism\'etel egy eg\'esz
egy\"utthat\'os m\'asodfok\'u egyenlet megold\'asa. (Az \'all\'{\i}t\'as
megford\'{\i}t\'asa az el\H{o}ad\'ason fog szerepelni.)
\item{7.} Legyen $\alpha$ irracion\'alis sz\'am, \'es legyen az
$\alpha$ sz\'amnak $\dfrac{p_n}{q_n}$ az $n$-ik k\"ozel\'{\i}t\H{o}
l\'anct\"ortje. M\'erj\"uk fel az egys\'egk\"orre a $k\alpha$, $0\le
k<q_n+q_{n+1}$, sz\"ogeket. Mutassuk meg, hogy ezek a pontok $q_n$ darab
$2\pi|q_{n-1}\alpha-p_{n-1}|$ \'es  $q_{n-1}$ darab
$2\pi|q_n\alpha-p_n|$ hossz\'us\'ag\'u \'{\i}vre osztj\'ak az
egys\'egk\"ort.
\item{8.} L\'assuk be, hogy a $\mu(A)=\dfrac1{\log
2}\int_A\dfrac{\,dx}{1+x}$ (\'ugynevezett Gauss) m\'ert\'ek
invari\'ans m\'ert\'ek a $Tx=\left\{\dfrac1x\right\}$
transzform\'aci\'ora, ahol $\{u\}$ az $u$ sz\'am
t\"ort r\'esz\'et jelenti, azaz $\{u\}=u-[u]$, \'es $[u]$ a legnagyobb
az $u$ sz\'amn\'al kisebb eg\'esz sz\'am. Az, hogy a $\mu$ m\'ert\'ek
invari\'ans a $T$ transzform\'ac\'ora azt jelenti,
hogy $\mu([0,a])=\mu\{x\: Tx\in[0,a]\}$ minden $0<a<1$ sz\'amra.
 
 
 
 
\bye