Feladatok a lánctörtekről:

1. Legyenek α_{1}, …, α_{k} valós számok. Ekkor létezik vegtelen sok olyan q egész szám,

melyekre |α_{s} − \frac{p_{s}}{q} | ≤ \frac{const.}{q^{(k+1)/k}} alkalmas p_{s} egésszel minden s = 1, …, k számra.

2. Tekintsük az [a_{1}, a_{2}, …] = lim_{n→∞}[a_{1}, …, a_{n}] lánctörtet, ahol a_{1}, a_{2}, … pozitív valós (nem feltétlenül egész) számok, feltéve, hogy a fenti limesz létezik. Lássuk be, hogy

a fenti limesz akkor és csak akkor létezik, ha ∑_{k=1}^{∞} a_{k} = ∞.

Megjegyzés: Láttuk, hogy a konvergencia szükséges és elégséges feltétele az, hogy ha q_{n} = a_{n}q_{n−1} + q_{n−2} az n-ik közelítő tört “nevezője”, akkor lim q_{n}q_{n+1} → ∞. Továbbá, a q_{2k}, illetve q_{2k+1}, k = 1, 2, …, sorozatok monoton nővekvőek.

3. Legyenek (a, b) és (c, d) egész koordinátájú vektorok a síkban. E két vektor által kifeszített parallelogramma akkor és csak akkor nem tartalmaz a belsejében rácspontot, ha |ad − bc| = 1. Hogy szól ennek a feladatnak a több-dimenziós változata?

4. Mutassuk meg, hogy tetszőleges ε > 0 számhoz megadható olyan α szám és annak

\frac{p_{n}}{q_{n}} közelítő lánctörtje, melyre |\frac{p_{n}}{q_{n}} − α| > \frac{(1 − ε)}{q_{n}^{2}}.

5. Mutassuk meg, hogy a racionális számokkal legrosszabbul approximálható számra

azaz az α = [1, 1, …] számra [1, 1, …] = \frac{\sqrt{5} − 1}{2}. Továbbá, lim sup_{n→∞} q_{n}^{2} |α − \frac{p_{n}}{q_{n}} | =

\frac{1}{\sqrt{5}}.

5a. Az 5. feladat megoldása érdekében mutassuk meg, hogy az ötödik feladatban sze-

replő α = \frac{\sqrt{5} − 1}{2} szám n-ik lánctörtje \frac{B_{n−1}}{B_{n}} alakban írható, ahol B_{0} = 1, B_{1} = 1,

B_{k+2} = B_{k+1} + B_{k}, ≥ 0. Adjunk explicit formulát a B_{n} sorozat elemeinek értékére.

6. Mutassuk meg, hogy egy lánctört, mely egy idő múlva egy (b_{1}, …, b_{s}) periódust ismétel egy egész együtthatós másodfokú egyenlet megoldása. (Az állítás megfordítása az előadáson fog szerepelni.)

7. Legyen α irracionális szám, és legyen az α számnak \frac{p_{n}}{q_{n}} az n-ik közelítő lánctörtje.

Mérjük fel az egységkörre a kα, 0 ≤ k < q_{n} + q_{n+1}, szögeket. Mutassuk meg, hogy ezek a pontok q_{n} darab 2π|q_{n−1}α − p_{n−1}| és q_{n−1} darab 2π|q_{n}α − p_{n}| hosszúságú ívre osztják az egységkört.

8. Lássuk be, hogy a μ(A) = \frac{1}{log 2} ∫_{A} \frac{dx}{1 + x} (úgynevezett Gauss) mérték invariáns

mérték a T x = \{\frac{1}{x}\} transzformációra, ahol \{u\} az u szám tört részét jelenti, azaz

{u} = u − [u], és [u] a legnagyobb az u számnál kisebb egész szám. Az, hogy a μ mérték invariáns a T transzformácóra azt jelenti, hogy μ([0, a]) = μ{x: T x ∈ [0, a]} minden 0 < a < 1 számra.