\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2pt plus0.5pt
\parindent=18pt
\TagsOnRight
%\nopagenumbers
 
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\e{\varepsilon}
 
 
\centerline{\bf A Korteweg-deVries egyenlet vizsg\'alata}
\bigskip\noindent
A Korteweg-de Vries egyenlet (az egyik szok\'asos norm\'al\'assal) a
k\"ovetkez\H o:
$$
u_t+uu_x+u_{xxx}=0\;. \tag$*$
$$
Fontos, hogy az $uu_x$ tag miatt az egyenlet nem line\'aris. Be lehet
l\'atni, hogy ennek az egyenletnek az
$u(x,t)=s(x-ct,c)$, $s(x,c)=\dfrac{3c}{\cosh^2\frac13\sqrt cx}$
f\"uggv\'enyek megold\'asai tetsz\H oleges $c>0$ sz\'amra. Ezek
a f\"uggv\'enyek egyenletes $c$ sebess\'eggel halad\'o
hul\-l\'a\-mo\-kat \'\i{}rnak le. Az igaz\'an \'erdekes nem az, hogy
ezek a f\"uggv\'enyek megold\'asok, hanem hogy e megold\'asok fontos
szerepet j\'atszanak az \'altal\'anos megold\'as viselked\'enek
le\'\i{}r\'as\'aban. (A nem-linearit\'as miatt nem v\'arhatjuk, hogy az
\'altal\'anos megold\'as fel\'\i{}rhat\'o speci\'alis megold\'asok
line\'aris kombin\'aci\'ojak\'ent.) Az eredm\'eny, melyet legal\'abb
r\'eszben meg k\'\i{}v\'anunk \'erteni, a k\"ovetkez\H o:
\medskip\noindent {\bf T\'etel:} {\it Legyen $u(x,t)$ a $(*)$ egyenlet
$\pm\infty$-ben elt\"un\H o megold\'asa. L\'eteznek olyan
$c_1$,\dots, $c_N$ pozit\'\i{}v sz\'amok, (az $u$ megold\'as
saj\'atsebess\'egei) \'es olyan $\theta^{\pm}_i$ eltol\'asok, melyekre
$$
\lim_{t\to\pm\infty}u(x+ct)=
\cases s(x-\theta^{\pm}_i,c_i)&\text{ha } c=c_i,\\
0&\text{ha }c\neq c_i
\endcases
$$
}\medskip
A megold\'as fontos l\'ep\'ese sok (a fizikai irodalomban integr\'alnak
nevezett) megmarad\'o mennyis\'eget tal\'alni
(p\'eld\'aul a $c_i$ sa\-j\'at\-se\-bes\-s\'e\-gek ilyenek), azaz olyan
$\Cal Fu$ funk\-ci\-o\-n\'a\-lokat, ahol $u=u(x)$ $\pm\infty$-ben
elt\"un\H o sima f\"uggv\'eny, melyekre $\Cal Fu(x,t)$ nem f\"ugg
$t$-t\H ol, ha $u(x,t)$ a $(*)$ egyenlet megold\'asa. Ha id\H onk
engedi, \'erdemes megt\'argyalni a k\"ovetkez\H o k\'erd\'est is: Ha
olyan megold\'ast tekint\"unk, melyek negat\'\i{}v id\H opontokban egy
gyorsan \'es el\H otte pedig egy lassan halad\'o hull\'amb\'ol \'all,
akkor hogyan viselkedik a megold\'as azut\'an, hogy a gyors hull\'am
el\'eri a lass\'u hull\'amot?
 
Ugyancsak \'erdemes besz\'elni arr\'ol, hogy melyek azok az $u_t=K(u)$
parci\'alis dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyenlettel le\'\i{}rhat\'o
,,integr\'alhat\'o rendszerek", melyek megoldhat\'oak a sok
meg\-ma\-ra\-d\'o mennyis\'eg miatt. (A mi eset\"unkben
$K(u)=-uu_x-u_{xxx}$.) Megbesz\'elj\"uk, r\'eszben feladatok
form\'aj\'aban a k\"ovetkez\H o fontos Lax P\'eter \'altal
megfogalmazott m\'od\-szert. Minden sima $u=u(x)$ f\"uggv\'enyhez
rendelj\"unk hozz\'a egy $\bold L_u$ \"onadjung\'alt ope\-r\'a\-tort
(mondjuk az $L_2(R,\Cal A,\lambda)$ t\'erben). R\"ogz\'\i{}ts\"unk egy
$u=u_0$ f\"uggv\'enyt, \'es legyen $\bold L(t)=\bold L_{u(x,t)}$, ahol
$u(x,t)$ az $u_t=K(u)$, $u(x,0)=u_0$ egyenlet megold\'asa.
Pr\'ob\'aljuk az $\bold L_u$ oper\'atorokat \'ugy megadni, hogy az
$\bold L(t)$, $t\ge0$, oper\'atorok unit\'er ekvivalensek, ami a
k\"ovetkez\H ot jelenti:\medskip\noindent
{\bf Definici\'o.} {\it Az $\bold L(t)$, $t\ge0$, \"onadjung\'alt
oper\'atorok unit\'er ekvivalensek, ha l\'etezik $\bold U(t)$ unit\'er
oper\'atoroknak serege, melyekre az $\bold U^{-1}(t)\bold L(t)\bold
U(t)$ oper\'atorok nem f\"uggnek a $t$ param\'etert\H ol.} \medskip
(Ilyen esetben a $\bold L(t)$ oper\'ator spektruma nem f\"ugg $t$-t\H
ol.)
 
E m\'odszer m\"og\"ott a k\"ovetkez\H o filoz\'ofia \'all. A
fizik\'aban szerepl\H o k\"oz\"ons\'eges differenci\'alegyenletek
vizsg\'alat\'aban fontos szerepet j\'atszanak a megmarad\'o
mennyis\'egek, azaz integr\'alok, melyek konstansok egy trajekt\'oria
ment\'en. Jelen esetben parci\'alis differenci\'alegyenleteket
tekint\"unk, melyekben v\'egtelen sok megmarad\'o mennyis\'eget
ke\-re\-s\"unk. Szeretn\'enk olyan v\'egtelen dimenzi\'os m\'atrixokat
(oper\'atorokat) tal\'alni, melyek konstansok egy trajekt\'oria
ment\'en. K\'enytelenek vagyunk azonban egy enn\'el gyeng\'ebb
c\'elt kit\H uzni. \'Ugy akarunk oper\'atorokat a f\"uggv\'enyekhez
hozz\'arendelni, hogy a parci\'alis differenci\'alegyenlet egy
trajekt\'ori\'aja ment\'en egy oper\'ator elforgatottjai jelenjenek
meg. Ezt jelenti az unit\'er ekvivalencia bevezet\'ese. Egy
k\"oz\"ons\'eges $\dfrac{dx}{dt}=F(x,t)$ dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyenlet
eset\'eben egyszer\H uen megfogalmazhat\'o annak felt\'etele, hogy egy
$G(x)$ f\"uggv\'eny integr\'al legyen. Ehhez az kell, hogy
teljes\"ulj\"on a $\dfrac{dG(x(t))}{dt}=0$ felt\'etel. A k\"ovetkez\H o
t\'etel ennek az \'all\'\i{}t\'asnak a v\'egtelen dimenzi\'os, nem
kommutativ megfelel\H oje.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it  Legyen adva (a $\pm \infty$-ben elt\"un\H o
sima $u$ f\"uggv\'enyekt\H ol folytonosan f\"ugg\H o) $\bold L_u$
\"onadjung\'alt \'es $\bold B_u$ antiszimmetrikus oper\'atorok (azaz
$\bold B^*=-\bold B$) egy rendszere, tov\'abb\'a az $u$
f\"uggv\'enyeknek egy a $t$ param\'etert\H ol folytonosan f\"ugg\H o
$u=u(t)$ csal\'adja, (pl.\ egy $u_t=K(u)$ egyenlet megold\'asai).
Legyen $\bold L(t)=\bold L_{u(t)}$, $\bold B(t)=\bold B_{u(t)}$. Ha
$\bold L_t=[\bold B(t),\bold L(t)]$, ahol $\bold L_t=\dfrac{d\bold
L(t)}{dt}$, $[\bold B, \bold L]=\bold B\bold L-\bold L\bold B$, akkor
az $\bold L(t)$ oper\'atorok unit\'er ekvivalensek.}\medskip\noindent
Megfogalmazunk n\'eh\'any feladatot, melyek megt\'argyal\'asa
seg\'\i{}thet ennek az \'all\'\i{}t\'asnak a meg\'ert\'es\'eben.
\medskip
\item{1.)} Legyen $\bold U(t)$ unit\'er $n\times n$-es m\'atrixok a $t$
v\'altoz\'o szerint differenci\'alhat\'o rendszere. Ekkor $\dfrac
{d\bold U(t)}{dt}= \bold B\bold U$, ahol $\bold B=\bold B(t)$
antiszimmetrikus m\'atrix, azaz $\bold B^*=-\bold B$. Megford\'\i{}tva,
ha adva van antiszimmetrikus m\'atrixoknak egy differenci\'alhat\'o
$\bold B (t)$ serege, $t\ge0$, akkor az $\dfrac{d \bold U(t)}{dt}=\bold
B(t)\bold U(t)$, $\bold U(0)=\bold I$ egyenlet megold\'asa unit\'er
m\'atrixoknak egy $\bold U(t)$ serege.
\item{}{\it Seg\'\i{}ts\'eg:}\/ Tekints\"uk a k\"ovetkez\H o
k\"ozel\'\i{}t\H o megold\'asokat:$\bold U(t)= e^{(t-\frac jn)\bold
B(\frac jn)}\bold U\(\frac jn\)$, ha $\dfrac jn\le t<\dfrac{j+1}n$.
\item{2.)} (Ism\'etl\'es) Az $i\dfrac{d}{dx}$
oper\'ator \"onadjung\'alt (pontosabban kiterjeszthet\H o
\"on\-ad\-jun\-g\'alt\-t\'a) az $L_2(R^1,\Cal B,\lambda)$ t\'eren, ahol
$\lambda$ a Lebesgue m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen.
\item{3.)} Ha $\bold A(t)$ invert\'alhat\'o m\'atrixok a $t$
param\'eter szerint differenci\'alhat\'o serege, akkor $\dfrac{d\bold
A^{-1}(t)}{dt}=-\bold A^{-1}(t)\dfrac{d\bold A(t)}{dt}\bold A^{-1}(t)$.
\item{4.)} Bizony\'\i{}tsuk be a t\'etelt az 1. feladat v\'egtelen
dimenzi\'os v\'altozata seg\'\i{}ts\'eg\'evel.
\item{} {\it Seg\'\i{}ts\'eg:}\/ L\'assuk be, hogy $\dfrac {d\bold
U^{-1}(t)\bold L(t)\bold U(t)}{dt}=0$, ha az $\bold U(t)$ unit\'er
oper\'atorokat a $\bold U_t=\bold B \bold U$, ($\bold U(0)=\bold I$)
egyenlet hat\'arozza meg.
\item{5.)} Az $\bold L_u=D^2+\dfrac16u$ oper\'ator \"onadjung\'alt, a
$\bold B_0=D$ \'es $\bold
B_1=D^3 +bD+Db$ oper\'atorok pedig antiszimmetrikusak
az $L^2(R,\Cal B,\lambda)$ t\'erben, ahol $D=\dfrac d{dx}$, az $f$
f\"uggv\'eny szorz\'ooper\'ator az $f$ f\"uggv\'ennyel. $[\bold
B_0,\bold L]=\dfrac16u_x$,
$$
[\bold B_1,\bold L]=\frac12
u_xD^2+\frac12u_{xx}D+\frac16u_{xxx}-4b_xD^2-4b_{xx}D-
b_{xxx}+\frac13bu_x\; .
$$
\item{6.)} A $[\bold B_0,\bold L]=\frac16 u_x$ \'all\'\i{}t\'asb\'ol
k\"ovetkezik, hogy az $u_x=u_t$ egyenlet $u(x)=u(t,x)$
megold\'asaira az $\bold L=D^2+\dfrac16u$ oper\'atorok unit\'er
ekvivalensek. Mi\'ert ny\'\i{}lv\'anval\'o ez az \'all\'\i{}t\'as a
fenti sz\'amol\'asok n\'elk\"ul is? A $b=\dfrac18u$ v\'alaszt\'assal a
$\bold B_1$ oper\'ator definici\'oj\'aban \'es $\bold B=24\bold
B_1$ definici\'oval mutassuk meg, hogy a fenti $\bold
L$ oper\'atorok unit\'er ekvivalensek, ha a benn\"uk szerepl\H o
$u=u(t,x)$ f\"uggv\'enyek a $(*)$ egyenlet megold\'asai.
 \item{7.)} Az $\Cal F u=\int_{-\infty}^\infty u^2(x)\,dx$ a
$(*)$ egyenlet megmarad\'o mennyis\'ege, azaz $\Cal F u(x,t)$ nem f\"ugg
$t$-t\H ol, ha $u(x,t)$ a $(*)$ egyenlet megold\'asa.
\item{}{\it Seg\'\i{}ts\'eg:}\/ Mutassuk meg, hogy $\dfrac d{dt}\Cal F
u(t,x)=\int 2u(x,t)u_t(x,t)\,dx=0$ parci\'alis integr\'al\'as
seg\'\i{}ts\'eg\'evel.
 
\'Erdemes bevezetni a v\'eges dimenzi\'os terekben defini\'alt
\'erint\H ovektor term\'eszetes megfelel\H oj\'et a sima \'es a
$\pm\infty$-ben elt\"un\H o f\"uggv\'enyek ter\'eben. Legyen $u=u(x)$
egy ilyen f\"uggv\'eny \'es az $u(x,\e)$, $u(x,0)=u$
f\"uggv\'enysereghez, rendelj\"uk hozz\'a a $\left. v=\dfrac
{du(x,\e)}{d\e}\right|_{\e=0}$ \'erint\H ot, felt\'eve, hogy az
l\'etezik. Vizsg\'aljuk meg, hogy hogyan v\'altozik az
\'erin\-t\H o\-vek\-tor, ha az $u$ f\"uggv\'eny v\'altoz\'as\'at egy
parci\'alis differenci\'alegyenlet ir\'any\'\i{}tja. R\'eszletesebben
le\'\i{}rva, tekints\"unk egy $u_t=K(u)$ parci\'alis
differenci\'alegyenletet, ahol $K(u)$ egy ,,sz\'ep" funkcion\'al,
legyen $u_0=u_0(x,\e)$ egy a 0 id\H opontban kiindul\'o
f\"uggv\'enysereg $v$ \'erin\-t\H o\-vek\-tor\-ral. Legyen
$u(t,\e)=u(x,t,\e)$ az $u_t=K(u)$ egyenlet megold\'asa
$u(x,0,\e)=u_0(x,\e)$ kezdeti felt\'etellel, \'es hat\'arozzuk meg az
ehhez a f\"uggv\'enysereghez tartoz\'o $\left. v(t)=\dfrac
{du(x,t,\e)}{d\e}\right|_{\e=0}$ \'erint\H ovektorokat. \medskip
\item{8.)} Legyen az $u_t=K(u)$ diffe\-ren\-ci\'al\-egyenlet olyan,
melyre a $K(u)$ kifejez\'es dif\-fe\-ren\-ci\'al\-hat\'o, azaz l\'etezik
olyan $V=V(u)$ funkcion\'al a sima f\"uggv\'enyek ter\'en, melyre igaz
minden sima $\pm\infty$-ben elt\"un\H o $v$ f\"uggv\'enyre, hogy
$\left.\dfrac{d K(u+\e v)}{d\e}\right|_{\e=0}=V(u)v$. Ekkor a fent
defini\'alt $v(t)$ \'erint\H ovektorok l\'eteznek, \'es teljes\'\i{}tik
a $v_t=V(u(t))v$ parci\'alis differenci\'alegyenletet. Ha
$K(u)=-uu_x-u_{xxx}$, (a Korteweg-deVries egyenlet), akkor
$V(u)=-uD-u_x-D^3=-Du-D^3$, ahol $D$ a differenci\'aloper\'atort, $f$
pedig az $f$ f\"uggv\'ennyel val\'o szorz\'as oper\'ator\'at jel\"oli.
\medskip
Legyen $I(u)$ az $u_t=K(u)$ parci\'alis differenci\'alegyenlet egy
integr\'alja, (azaz a differenci\'alegyenlet egy $u=u(t)$
megold\'as\'ara $I(u(t))=$const.). Azt mondjuk, hogy az $I(u)$ funkcion\'alnak l\'etezik
egy $G(u)$ gradiense, ha minden sima $\pm\infty$-ben elt\"un\H o $u$
\'es $v$ f\"uggv\'enyekre
$\left.\dfrac{dI(u+\e v)}{d\e}\right|_{\e=0}=(G(u),v)=\int
G(u)(x)v(x)dx $. \medskip
\item{9.)} Teljes\'\i{}tse az $u_t=K(u)$ egyenlet az el\"oz\H o feladat
felt\'eteleit, legyen $u(t)$ ennek az egyenletnek megold\'asa, $v=v(t)$
pedig az $u(t)$ pontokb\'ol kiindul\'o \'erint\H osereg. (Ez
ekvivalens azzal, hogy $v(t)$ a $v_t=V(u(t))v$ egyenlet megold\'asa.)
Ekkor a $(G(u(t)),v(t))$ kifejez\'es nem f\"ugg $t$-t\H ol. \medskip
Megbesz\'elj\"uk a Lax cikk n\'eh\'any fontos r\'eszeredm\'eny\'et.
Legyen az $u_t=K(u)$ dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyenlet
eltol\'asinvari\'ans, \'es legyen $u(t,x)=s(x-ct)$ ennek egy
eltol\'asinvari\'ans (hull\'am) megold\'asa. Ha $I(u)$ a
differenci\'alegyenlet egy integr\'alja, $G(u)$ gradienssel, akkor
a $G(u)$ gradiens f\"ugg mint az $u$
f\"uggv\'enyt\H ol, mint az $I(u)$ funkcion\'alt\'ol. Viszont alkalmas
felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en, melyet p\'eld\'aul a
Korteweg-deVries egyenlet teljes\'\i{}t $G(s)=\kappa s$, ($s$ egy
hull\'am megold\'as) minden valamilyen $G$ gradienssel rendelkez\H o
$I$ integr\'alra.
 
Legyen a differenci\'alegyenlet olyan, melyre az $\bold
L_u=D^2+\frac16 u$ oper\'ator $I(u)=\lambda(u)$ saj\'atvektora
integr\'al. Ennek meghat\'arozhat\'o a gradiense, \'es ez $\frac16 w^2$,
ahol $w$, $\int w^2\,dx=1$, az $\bold L_u=\lambda(D^2w+\frac 16 uw)$
egyenlet megold\'asa, azaz a $\lambda$ saj\'at\'ert\'ekhez  tartoz\'o
saj\'atvektor. Ez az \"osszef\"ugg\'es az alapja annak az
eredm\'enynek, mely a Korteweg-deVries egyenlet megold\'as\'aban
megjelen\H o hull\'amok sebess\'eg\'et kifejezi a hozz\'atartoz\'o
$\bold L_u$ oper\'ator saj\'at\'ert\'ekeinek seg\'\i{}ts\'eg\'evel.
 
A duplahull\'amok vizsg\'alat\'ahoz hasznos a KdV egyenlet olyan \'uj
integr\'aljait tal\'alni, melyek $I(u)=\int P(u)\,du$ alak\'uak, ahol
$P(u)$ az $u$, $u_x$, \dots, $u_{x\dots x}$ f\"uggv\'enyek polinomja.
Siker\"ult olyan $I_1$, $I_2$, $I_3$ integr\'alokat tal\'alni, melyek
magf\"uggv\'enyei a k\"ovetkez\H o alak\'uak: $P_1(u)=\frac12u^2$,
$P_2(u)=\frac13 u^3-u_x^2$, $P_3(u)=\frac13u^4-3uu_x^2+\frac95
u_{xx}^2$. Ahhoz, hogy be tudjuk l\'atni, hogy ezek a kifejez\'esek
val\'oban integr\'alok, oldjuk meg a k\"ovetkez\H o feladatot: \medskip
\item{10.)} Az al\'abbi tipus\'u f\"uggv\'enyek eset\'en a $G(u)$
gradiens az $u$ f\"uggv\'eny \'es azok deriv\'altjainak
(kisz\'am\'\i{}that\'o) polinomja, azaz az
$\left.\dfrac{d}{d\e}\int P(u+\e v)\,dx\right|_{\e=0}=\int G(u)v\,dx$
egy ilyen f\"uggv\'ennyel. Az ilyen gradienseket lok\'alis
f\"uggv\'enyeknek h\'\i{}vj\'ak. (Mi\'ert?)
\item{} A fenti tipus\'u $I(u)$ funkcion\'al integr\'al, ha a
hozz\'atartoz\'o $G(u)$ gradiensre $G(u)K(u)$ teljes differenci\'al (az
$u_t=K(u)$ egyenlet integr\'aljait keress\"uk), azaz
$G(u)K(u)=[H(u)]_x$ alak\'u alkalmas $H(u)$ f\"uggv\'ennyel.
\item{} {\it Seg\'\i{}ts\'eg:}\/ $\dfrac d{dt}\int
P(u)\,dx=(G(u),K(u))$.\medskip
Tekints\"uk a fent defini\'alt $I_1$, $I_2$, $I_3$ integr\'alok
valamilyen $\alpha_1I_1+\alpha_2I_2+\alpha_3I_3$ line\'aris
kombin\'aci\'oj\'at, illetve a hozz\'a tartoz\'o
$G=G(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\alpha_1G_1+\alpha_2G_2+\alpha_3G_3$
gradienst.  L\'assuk be, hogy
\item{11.)} Ha $u_0$ olyan f\"uggv\'eny, melyre $G(u)\equiv0$, akkor a
KdV egyenlet $u(t)$ megold\'asai $u(0)=u_0$ kezdeti felt\'etellel
szint\'en teljes\'\i{}tik az $G(u(t))\equiv0$ azonoss\'agot.\medskip
Ez az \'eszrev\'etel seg\'\i{}t k\'etpup\'u hull\'ammegold\'asok
megtal\'al\'as\'aban. V\'alasszuk a $G$ gradienst \'ugy, hogy k\'et
el\H o\'\i{}rt $c_1$ \'es $c_2$ sebess\'eg\H u $s_1$ \'es $s_2$
hull\'amra $G(s_1)=G(s_2)=0$. (Eml\'ekeztet\H o\"ul: $G(s)=\kappa
s$ tetsz\H oleges $G$ gradiensre, ha $s$ hull\'am megold\'as.)
 
 
 
 
\bye
