A Korteweg-deVries egyenlet vizsgálata

A Korteweg-de Vries egyenlet (az egyik szokásos normálással) a következő:

u_{t} + uu_{x} + u_{xxx} = 0 .  (∗)

Fontos, hogy az uu_{x} tag miatt az egyenlet nem lineáris. Be lehet látni, hogy ennek

az egyenletnek az u(x, t) = s(x − ct, c), s(x, c) = \frac{3c}{cosh^{2} \frac{1}{3} \sqrt{c}x} függvények megoldásai

tetszőleges c > 0 számra. Ezek a függvények egyenletes c sebességgel haladó hullámokat írnak le. Az igazán érdekes nem az, hogy ezek a függvények megoldások, hanem hogy e megoldások fontos szerepet játszanak az általános megoldás viselkedének leírásában. (A nem-linearitás miatt nem várhatjuk, hogy az általános megoldás felírható speciális megoldások lineáris kombinációjaként.) Az eredmény, melyet legalább részben meg kívánunk érteni, a következő:

Tétel: Legyen u(x, t) a (∗) egyenlet ±∞-ben eltünő megoldása. Léteznek olyan c_{1}, …, c_{N} pozitív számok, (az u megoldás sajátsebességei) és olyan θ_{i}^{±} eltolások, melyekre

lim_{t→±∞} u(x + ct) = \{ \begin{matrix}s(x − θ_{i}^{±}, c_{i}) & ha c = c_{i}, \\ 0 & ha c ≠ c_{i} \end{matrix}

A megoldás fontos lépése sok (a fizikai irodalomban integrálnak nevezett) megmaradó mennyiséget találni (például a c_{i} sajátsebességek ilyenek), azaz olyan Fu funkcionálokat, ahol u = u(x) ±∞-ben eltünő sima függvény, melyekre Fu(x, t) nem függ t-től, ha u(x, t) a (∗) egyenlet megoldása. Ha időnk engedi, érdemes megtárgyalni a következő kérdést is: Ha olyan megoldást tekintünk, melyek negatív időpontokban egy gyorsan és előtte pedig egy lassan haladó hullámból áll, akkor hogyan viselkedik a megoldás azután, hogy a gyors hullám eléri a lassú hullámot?

Ugyancsak érdemes beszélni arról, hogy melyek azok az u_{t} = K(u) parciális differenciálegyenlettel leírható ,,integrálható rendszerek”, melyek megoldhatóak a sok megmaradó mennyiség miatt. (A mi esetünkben K(u) = −uu_{x} − u_{xxx}.) Megbeszéljük, részben feladatok formájában a következő fontos Lax Péter által megfogalmazott módszert. Minden sima u = u(x) függvényhez rendeljünk hozzá egy L_{u} önadjungált operátort (mondjuk az L_{2}(R, A, λ) térben). Rögzítsünk egy u = u_{0} függvényt, és legyen L(t) = L_{u(x,t)}, ahol u(x, t) az u_{t} = K(u), u(x, 0) = u_{0} egyenlet megoldása. Próbáljuk az L_{u} operátorokat úgy megadni, hogy az L(t), t ≥ 0, operátorok unitér ekvivalensek, ami a következőt jelenti:

Definició. Az L(t), t ≥ 0, önadjungált operátorok unitér ekvivalensek, ha létezik U(t) unitér operátoroknak serege, melyekre az U^{−1}(t)L(t)U(t) operátorok nem függnek a t paramétertől.

(Ilyen esetben a L(t) operátor spektruma nem függ t-től.)

E módszer mögött a következő filozófia áll. A fizikában szereplő közönséges differenciálegyenletek vizsgálatában fontos szerepet játszanak a megmaradó mennyiségek, azaz integrálok, melyek konstansok egy trajektória mentén. Jelen esetben parciális differenciálegyenleteket tekintünk, melyekben végtelen sok megmaradó mennyiséget keresünk. Szeretnénk olyan végtelen dimenziós mátrixokat (operátorokat) találni, melyek konstansok egy trajektória mentén. Kénytelenek vagyunk azonban egy ennél gyengébb célt kitűzni. Úgy akarunk operátorokat a függvényekhez hozzárendelni, hogy a parciális differenciálegyenlet egy trajektóriája mentén egy operátor elforgatottjai jelenjenek meg.

Ezt jelenti az unitér ekvivalencia bevezetése. Egy közönséges \frac{dx}{dt} = F (x, t) differenciálegyenlet esetében egyszerűen megfogalmazható annak feltétele, hogy egy G(x) függvény

integrál legyen. Ehhez az kell, hogy teljesüljön a \frac{dG(x(t))}{dt} = 0 feltétel. A következő tétel ennek az állításnak a végtelen dimenziós, nem kommutativ megfelelője.

Tétel. Legyen adva (a ±∞-ben eltünő sima u függvényektől folytonosan függő) L_{u} önadjungált és B_{u} antiszimmetrikus operátorok (azaz B^{∗} = −B) egy rendszere, továbbá az u függvényeknek egy a t paramétertől folytonosan függő u = u(t) családja, (pl. egy u_{t} = K(u) egyenlet megoldásai). Legyen L(t) = L_{u(t)}, B(t) = B_{u(t)}. Ha L_{t} =

[B(t), L(t)], ahol L_{t} = \frac{dL(t)}{dt}, [B, L] = BL − LB, akkor az L(t) operátorok unitér ekvivalensek.

Megfogalmazunk néhány feladatot, melyek megtárgyalása segíthet ennek az állításnak a megértésében.

1.) Legyen U(t) unitér n × n-es mátrixok a t változó szerint differenciálható rendszere.

Ekkor \frac{dU(t)}{dt} = BU, ahol B = B(t) antiszimmetrikus mátrix, azaz B^{∗} = −B. Megfordítva, ha adva van antiszimmetrikus mátrixoknak egy differenciálható B(t)

serege, t ≥ 0, akkor az \frac{dU(t)}{dt} = B(t)U(t), U(0) = I egyenlet megoldása unitér mátrixoknak egy U(t) serege.

Segítség: Tekintsük a következő közelítő megoldásokat:U(t) = e^{(t− \frac{j}{n})B( \frac{j}{n})}U (\frac{j}{n}), ha

\frac{j}{n} ≤ t < \frac{j + 1}{n}.

2.) (Ismétlés) Az i\frac{d}{dx} operátor önadjungált (pontosabban kiterjeszthető önadjungálttá)

az L_{2}(R^{1}, B, λ) téren, ahol λ a Lebesgue mérték a számegyenesen. 3.) Ha A(t) invertálható mátrixok a t paraméter szerint differenciálható serege, akkor

\frac{dA^{−1}(t)}{dt} = −A^{−1}(t)\frac{dA(t)}{dt}A^{−1}(t).

4.) Bizonyítsuk be a tételt az 1. feladat végtelen dimenziós változata segítségével.

Segítség: Lássuk be, hogy \frac{dU^{−1}(t)L(t)U(t)}{dt} = 0, ha az U(t) unitér operátorokat a U_{t} = BU, (U(0) = I) egyenlet határozza meg.

5.) Az L_{u} = D^{2} + \frac{1}{6}u operátor önadjungált, a B_{0} = D és B_{1} = D^{3} + bD + Db operátorok pedig antiszimmetrikusak az L^{2}(R, B, λ) térben, ahol D = \frac{d}{dx}, az f

függvény szorzóoperátor az f függvénnyel. [B_{0}, L] = \frac{1}{6}u_{x},

[B_{1}, L] = \frac{1}{2}u_{x}D^{2} + \frac{1}{2}u_{xx}D + \frac{1}{6}u_{xxx} − 4b_{x}D^{2} − 4b_{xx}D − b_{xxx} + \frac{1}{3}bu_{x} .

6.) A [B_{0}, L] = \frac{1}{6}u_{x} állításból következik, hogy az u_{x} = u_{t} egyenlet u(x) = u(t, x)

megoldásaira az L = D^{2} + \frac{1}{6}u operátorok unitér ekvivalensek. Miért nyílvánvaló

ez az állítás a fenti számolások nélkül is? A b = \frac{1}{8}u választással a B_{1} operátor definiciójában és B = 24B_{1} definicióval mutassuk meg, hogy a fenti L operátorok unitér ekvivalensek, ha a bennük szereplő u = u(t, x) függvények a (∗) egyenlet megoldásai.

7.) Az Fu = ∫_{−∞}^{∞} u^{2}(x) dx a (∗) egyenlet megmaradó mennyisége, azaz Fu(x, t) nem függ t-től, ha u(x, t) a (∗) egyenlet megoldása.

Segítség: Mutassuk meg, hogy \frac{d}{dt}Fu(t, x) = ∫ 2u(x, t)u_{t}(x, t) dx = 0 parciális integrálás segítségével. Érdemes bevezetni a véges dimenziós terekben definiált érintővektor természetes

megfelelőjét a sima és a ±∞-ben eltünő függvények terében. Legyen u = u(x) egy ilyen

függvény és az u(x, ε), u(x, 0) = u függvénysereghez, rendeljük hozzá a v = \frac{du(x, ε)}{dε}|_{ε=0}

érintőt, feltéve, hogy az létezik. Vizsgáljuk meg, hogy hogyan változik az érintővektor, ha az u függvény változását egy parciális differenciálegyenlet irányítja. Részletesebben leírva, tekintsünk egy u_{t} = K(u) parciális differenciálegyenletet, ahol K(u) egy ,,szép” funkcionál, legyen u_{0} = u_{0}(x, ε) egy a 0 időpontban kiinduló függvénysereg v érintővektorral. Legyen u(t, ε) = u(x, t, ε) az u_{t} = K(u) egyenlet megoldása u(x, 0, ε) = u_{0}(x, ε) kezdeti feltétellel, és határozzuk meg az ehhez a függvénysereghez tartozó

v(t) = \frac{du(x, t, ε)}{dε}|_{ε=0} érintővektorokat.

8.) Legyen az u_{t} = K(u) differenciálegyenlet olyan, melyre a K(u) kifejezés differenciálható, azaz létezik olyan V = V (u) funkcionál a sima függvények terén, melyre igaz

minden sima ±∞-ben eltünő v függvényre, hogy \frac{dK(u + εv)}{dε}|_{ε=0} = V (u)v. Ekkor

a fent definiált v(t) érintővektorok léteznek, és teljesítik a v_{t} = V (u(t))v parciális differenciálegyenletet. Ha K(u) = −uu_{x} − u_{xxx}, (a Korteweg-deVries egyenlet), akkor V (u) = −uD − u_{x} − D^{3} = −Du − D^{3}, ahol D a differenciáloperátort, f pedig az f függvénnyel való szorzás operátorát jelöli.

Legyen I(u) az u_{t} = K(u) parciális differenciálegyenlet egy integrálja, (azaz a differenciálegyenlet egy u = u(t) megoldására I(u(t)) =const.). Azt mondjuk, hogy az I(u) funkcionálnak létezik egy G(u) gradiense, ha minden sima ±∞-ben eltünő u és v

függvényekre \frac{dI(u + εv)}{dε}|_{ε=0} = (G(u), v) = ∫ G(u)(x)v(x)dx.

9.) Teljesítse az u_{t} = K(u) egyenlet az elöző feladat feltételeit, legyen u(t) ennek az egyenletnek megoldása, v = v(t) pedig az u(t) pontokból kiinduló érintősereg. (Ez ekvivalens azzal, hogy v(t) a v_{t} = V (u(t))v egyenlet megoldása.) Ekkor a (G(u(t)), v(t)) kifejezés nem függ t-től.

Megbeszéljük a Lax cikk néhány fontos részeredményét. Legyen az u_{t} = K(u) differenciálegyenlet eltolásinvariáns, és legyen u(t, x) = s(x − ct) ennek egy eltolásinvariáns (hullám) megoldása. Ha I(u) a differenciálegyenlet egy integrálja, G(u) gradienssel, akkor a G(u) gradiens függ mint az u függvénytől, mint az I(u) funkcionáltól. Viszont alkalmas feltételek teljesülése esetén, melyet például a Korteweg-deVries egyenlet teljesít G(s) = κs, (s egy hullám megoldás) minden valamilyen G gradienssel rendelkező I integrálra.

Legyen a differenciálegyenlet olyan, melyre az L_{u} = D^{2} + \frac{1}{6}u operátor I(u) = λ(u) sajátvektora integrál. Ennek meghatározható a gradiense, és ez \frac{1}{6}w^{2}, ahol w, ∫ w^{2} dx = 1, az L_{u} = λ(D^{2}w + \frac{1}{6}uw) egyenlet megoldása, azaz a λ sajátértékhez tartozó sajátvektor. Ez az összefüggés az alapja annak az eredménynek, mely a KortewegdeVries egyenlet megoldásában megjelenő hullámok sebességét kifejezi a hozzátartozó L_{u} operátor sajátértékeinek segítségével.

A duplahullámok vizsgálatához hasznos a KdV egyenlet olyan új integráljait találni, melyek I(u) = ∫ P (u) du alakúak, ahol P (u) az u, u_{x}, …, u_{x...x} függvények polinomja. Sikerült olyan I_{1}, I_{2}, I_{3} integrálokat találni, melyek magfüggvényei a következő alakúak: P_{1}(u) = \frac{1}{2}u^{2}, P_{2}(u) = \frac{1}{3}u^{3} − u_{x}^{2}, P_{3}(u) = \frac{1}{3}u^{4} − 3uu_{x}^{2} + \frac{9}{5}u_{xx}^{2}. Ahhoz, hogy be tudjuk látni, hogy ezek a kifejezések valóban integrálok, oldjuk meg a következő feladatot:

10.) Az alábbi tipusú függvények esetén a G(u) gradiens az u függvény és azok de-

riváltjainak (kiszámítható) polinomja, azaz az \frac{d}{dε} ∫ P (u + εv) dx|_{ε=0} = ∫ G(u)v dx

egy ilyen függvénnyel. Az ilyen gradienseket lokális függvényeknek hívják. (Miért?) A fenti tipusú I(u) funkcionál integrál, ha a hozzátartozó G(u) gradiensre G(u)K(u) teljes differenciál (az u_{t} = K(u) egyenlet integráljait keressük), azaz G(u)K(u) = [H(u)]_{x} alakú alkalmas H(u) függvénnyel.

Segítség: \frac{d}{dt} ∫ P (u) dx = (G(u), K(u)).

Tekintsük a fent definiált I_{1}, I_{2}, I_{3} integrálok valamilyen α_{1}I_{1} +α_{2}I_{2} +α_{3}I_{3} lineáris kombinációját, illetve a hozzá tartozó G = G(α_{1}, α_{2}, α_{3}) = α_{1}G_{1} + α_{2}G_{2} + α_{3}G_{3} gradienst. Lássuk be, hogy 11.) Ha u_{0} olyan függvény, melyre G(u) ≡ 0, akkor a KdV egyenlet u(t) megoldásai

u(0) = u_{0} kezdeti feltétellel szintén teljesítik az G(u(t)) ≡ 0 azonosságot.

Ez az észrevétel segít kétpupú hullámmegoldások megtalálásában. Válasszuk a G gradienst úgy, hogy két előírt c_{1} és c_{2} sebességű s_{1} és s_{2} hullámra G(s_{1}) = G(s_{2}) = 0. (Emlékeztetőül: G(s) = κs tetszőleges G gradiensre, ha s hullám megoldás.)