\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\parindent=18pt
 
\define\e{\varepsilon}
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\noindent{\bf Komplex f\"uggv\'enytan}
\bigskip
Egy a komplex sz\'ams\'\i{}kon defini\'alt $F(z)$ eg\'esz f\"uggv\'enyt
nulla rend\H u exponenci\'alis f\"uggv\'enynek ne\-ve\-z\"unk, ha
$$
|F(z)|\le C(\e)e^{\e|z|}\quad\text{minden val\'os $\e>0$ \'es komplex
$z$ sz\'amra}
$$
alkalmas $C(\e)>0$ sz\'ammal.
\item{1.)} Bizony\'\i{}tsuk be, hogy $F(z)$ akkor \'es csak akkor
nulla rend\H u exponenci\'alis eg\'esz f\"uggv\'eny, ha az
$F(z)=\sum\limits_{k=0}^\infty c_kz^k$ Taylor sor egy\"utthat\'oi
teljes\'\i{}tik a
$$
|c_k|\le C(\e)\frac{\e^k}{k!}\quad \text{minden $\e>0$ \'es
$k=0,1,2,\dots$-ra}
$$
egyenl\H otlens\'eget alkalmas $C(\e)$ egy\"utthat\'oval.
\item{2.)} Legyen $F(z)=\sum\limits_{k=0}^\infty c_kz^k$
nulla rend\H u exponenci\'alis eg\'esz f\"uggv\'eny, \'es
defini\'aljuk az $f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty F(n)z^n$
f\"uggv\'enyt. Bizony\'\i{}tsuk be, hogy
$$
f(e^w)=\sum\limits_{k=0}^\infty
c_k \frac{d^k}{dw^k}\frac1{1-e^w}=G(w),\quad\text{ha
} \Re w<0.
$$
A $G(w)$  f\"uggv\'eny kiterjeszthet\H o $2\pi i$ szerint periodikus
f\"uggv\'enny\'e, mely ana\-li\-tikus a $2\pi ik$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$
pontokkal kipontozott komplex sz\'ams\'\i{}kon.
\item{3.)}  Ha $F(z)$ analitikus, nulla rend\H u exponenci\'alis
f\"uggv\'eny, akkor az $f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty F(n)z^n$
ana\-li\-ti\-kusan folytathat\'o a $z\neq1$ ponttal kipontozott komplex
sz\'ams\'\i{}kra.
\item{4.)} Ha $a_k$, $k=1,2,\dots$, pozit\'\i{}v eg\'esz sz\'amok
exponenci\'alisan ritka sorozata, akkor az
$F(z)=\prod\limits_{k=1}^\infty\(1-\dfrac z{a_k}\)$ f\"uggv\'eny
anal\'\i{}tikus, nulla rend\H u exponenci\'alis f\"uggv\'eny, melyre
$F(a_k)=0$ \'es $F(n)\to\infty$, ha $n\to\infty$, de $n\neq a_k$,
$k=1,2,\dots$. \bigskip
A fentiek alapj\'an oldjuk meg a k\"ovetkez\H o egy Szeg\H o G\'abor
\'altal felvetett k\'erd\'es alapj\'an megfogalmazott \'es az 1996.
\'evi Schweitzer verseny 7. feladat\'aban kit\H uz\"ott probl\'em\'at:
\item{} Konstru\'aljunk olyan $f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n$
$(|z|<1)$, az egys\'egk\"orben regul\'aris f\"ugg\-v\'enyt, amely egy
pont kiv\'etel\'evel az egys\'egk\"orvonal minden pontj\'an \'at
analitikusan folytathat\'o, \'es amelyre az $\{a_n\}$ sorozatnak k\'et
torl\'od\'asi pontja van, a $\infty$ \'es egy v\'eges \'ert\'ek.
 
A komplex f\"uggv\'enytan fontos \'es neh\'ez k\'erd\'ese a
k\"ovetkez\H o probl\'ema: Tekints\"unk egy analitikus
f\"uggv\'enyt, melyet egy az egys\'egk\"orben konvergens
hatv\'anysor defini\'al. Az egys\'egk\"orvonal mely pontjaiban
folytathat\'o ez a f\"uggv\'eny analitikusan? A Hal\'asz G\'abor
felaj\'anlotta, hogy err\H ol a k\'erd\'esr\H ol k\'es\H obb el\H
oad\'ast tart. Mi most csak n\'eh\'any egyszer\H ubb probl\'em\'at
besz\'el\"unk meg.
 
\item{5.)} Ha egy hatv\'anysor konvergenciasugara egy, akkor az
egys\'egk\"or hat\'ar\'an van olyan pont, amelyikben a hatv\'anysor
 \'altal defini\'alt f\"uggv\'eny nem folytathat\'o analitikusan.
\item{6.)} Az $f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty z^{n!}$ f\"uggv\'eny az
egys\'egk\"or egyetlen pontj\'aban sem folytathat\'o analitikusan. A
Petruska Gy\"orgy jegyzet\'eben szerepel az Hadamard t\'etel
(bizony\'\i{}t\'assal) \'es a Fabri t\'etel (csak kimondva), melyek
el\'egs\'eges felt\'eteleket adnak arra, hogy egy hatv\'anysor a
konvergenciak\"or hat\'ar\'anak egyetlen pontj\'aban sem
folytathat\'o ana\-li\-ti\-ku\-san. Hogyan sz\'olnak ezek a t\'etelek?
 
Egy az egys\'egk\"orben analitikus \'es a Fabri t\'etel szerint sehol
sem folytathat\'o ana\-li\-ti\-kus f\"uggv\'eny a k\"ovetkez\H o
$$
\vartheta(z)=1+2\sum_{k=1}^\infty z^{k^2}
$$
f\"uggv\'eny. Ez a f\"uggv\'eny fontos p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H o
okb\'ol: Legyen
$$
S_r(n)=\left\{(x_1,\dots,x_r),\quad \sum\limits_{p=1}^r x^2_p=n\right\},
$$
a $\sqrt n$ sugar\'u g\"omb az $r$ dimenzi\'os t\'erben.
 
\item{7.)}
$$
\text{Az $S_r(n)$-be es\H o r\'acspontok sz\'ama}=\frac1{2\pi
i}\oint_{\Cal C} \frac{\vartheta(z)^r}{z^{n+1}}\,dz
$$
ahol ${\Cal C}$ tetsz\H oleges egyszer\H u g\"orbe az egys\'egk\"orben,
mely a null\'at a belsej\'eben tartalmazza.
 
A Fabri t\'etel megszor\'\i{}t\'ast jelent ennek az integr\'al\'asi
\'utnak a megv\'alaszt\'as\'aban. Ennek az integr\'alnak a vizsg\'alata
a sz\'amelm\'elet fontos \'es neh\'ez k\'erd\'ese. Ez lehets\'eges a
h\'\i{}res ``Hardy f\'ele circle method" seg\'\i{}ts\'eg\'evel. Ezzel
azonban (legal\'abbis a jelenlegi szemin\'ariumon) nem foglalkozunk.
 
\bye
