Komplex függvénytan

Egy a komplex számsíkon definiált F (z) egész függvényt nulla rendű exponenciális függvénynek nevezünk, ha

|F (z)| ≤ C(ε)e^{ε|z|} minden valós ε > 0 és komplex z számra

alkalmas C(ε) > 0 számmal.

1.) Bizonyítsuk be, hogy F (z) akkor és csak akkor nulla rendű exponenciális egész

függvény, ha az F (z) = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}z^{k} Taylor sor együtthatói teljesítik a

|c_{k}| ≤ C(ε)\frac{ε^{k}}{k!} minden ε > 0 és k = 0, 1, 2, … -ra

egyenlőtlenséget alkalmas C(ε) együtthatóval.

2.) Legyen F (z) = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}z^{k} nulla rendű exponenciális egész függvény, és definiáljuk az

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} F (n)z^{n} függvényt. Bizonyítsuk be, hogy

f(e^{w}) = ∑_{k=0}^{∞} c_{k} \frac{d^{k}}{dw^{k}} \frac{1}{1 − e^{w}} = G(w), ha ℜw < 0.

A G(w) függvény kiterjeszthető 2πi szerint periodikus függvénnyé, mely analitikus a 2πik, k = 0, ±1, ±2, … pontokkal kipontozott komplex számsíkon.

3.) Ha F (z) analitikus, nulla rendű exponenciális függvény, akkor az f(z) = ∑_{n=0}^{∞} F (n)z^{n}

analitikusan folytatható a z ≠ 1 ponttal kipontozott komplex számsíkra.

4.) Ha a_{k}, k = 1, 2, …, pozitív egész számok exponenciálisan ritka sorozata, akkor

az F (z) = ∏_{k=1}^{∞} (1 − \frac{z}{a_{k}} ) függvény analítikus, nulla rendű exponenciális függvény,

melyre F (a_{k}) = 0 és F (n) → ∞, ha n → ∞, de n ≠ a_{k}, k = 1, 2, . . ..

A fentiek alapján oldjuk meg a következő egy Szegő Gábor által felvetett kérdés alapján megfogalmazott és az 1996. évi Schweitzer verseny 7. feladatában kitűzött problémát:

Konstruáljunk olyan f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} (|z| < 1), az egységkörben reguláris függ-

vényt, amely egy pont kivételével az egységkörvonal minden pontján át analitikusan folytatható, és amelyre az {a_{n}} sorozatnak két torlódási pontja van, a ∞ és egy véges érték.

A komplex függvénytan fontos és nehéz kérdése a következő probléma: Tekintsünk egy analitikus függvényt, melyet egy az egységkörben konvergens hatványsor definiál. Az egységkörvonal mely pontjaiban folytatható ez a függvény analitikusan? A Halász Gábor felajánlotta, hogy erről a kérdésről később előadást tart. Mi most csak néhány egyszerűbb problémát beszélünk meg.

5.) Ha egy hatványsor konvergenciasugara egy, akkor az egységkör határán van olyan pont, amelyikben a hatványsor által definiált függvény nem folytatható analitikusan.

6.) Az f(z) = ∑_{n=0}^{∞} z^{n!} függvény az egységkör egyetlen pontjában sem folytatható anali-

tikusan. A Petruska György jegyzetében szerepel az Hadamard tétel (bizonyítással) és a Fabri tétel (csak kimondva), melyek elégséges feltételeket adnak arra, hogy egy hatványsor a konvergenciakör határának egyetlen pontjában sem folytatható analitikusan. Hogyan szólnak ezek a tételek?

Egy az egységkörben analitikus és a Fabri tétel szerint sehol sem folytatható analitikus függvény a következő

ϑ(z) = 1 + 2 ∑_{k=1}^{∞} z^{k^{2}}

függvény. Ez a függvény fontos például a következő okból: Legyen

S_{r}(n) = {(x_{1}, …, x_{r}), ∑_{p=1}^{r} x_{p}^{2} = n} ,

a \sqrt{n} sugarú gömb az r dimenziós térben.

7.)

Az S_{r}(n)-be eső rácspontok száma = \frac{1}{2πi} ∮_{C} \frac{ϑ(z)^{r}}{z^{n+1}} dz

ahol C tetszőleges egyszerű görbe az egységkörben, mely a nullát a belsejében tartalmazza.

A Fabri tétel megszorítást jelent ennek az integrálási útnak a megválasztásában. Ennek az integrálnak a vizsgálata a számelmélet fontos és nehéz kérdése. Ez lehetséges a híres “Hardy féle circle method” segítségével. Ezzel azonban (legalábbis a jelenlegi szemináriumon) nem foglalkozunk.