\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\nopagenumbers
\define\oo{\omega}
\define\e{\varepsilon}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\parindent=22pt
\centerline{\bf Feladatok}
\bigskip
 
 
\item{1.)}L\'assuk be, hogy egy v\'egesen gener\'alt idempotens
f\'elcsoport v\'eges. \hfill\break
Definici\'ok: A f\'elcsoport olyan halmaz, melyen van egy
k\'etv\'altoz\'os,
asszociativ m\H uvelet. A f\'elcsoport idempotens, ha annak minden
$a$ elem\'ere $a^2=a$.
\item{1b.)} H\'any eleme lehet maximum egy \"ot elemmel gener\'alt
idempotens f\'elcsoportnak? Hogy n\'ez ki egy szabad idempotens
f\'elcsoport?
\item{2.} Tetsz\H{o}leges  $x_1,\dots,x_k$ sz\'amokra \'es $\e>0$-ra
l\'etezik v\'egtelen sok olyan $\dfrac{p_{j,l}}{q_j}$, $l=1,\dots,k$
t\"ortek k\"oz\"os  $q_j$ nevez\H{o}vel, melyekre
$$
\left|x_l-\frac{p_{j,l}}{q_j}\right|\le\frac{1+\e}{q_j^{(k+1)/k}}
\quad \text{minden }l=1,\dots,k \text{ indexre.}
$$
\item{}{\it Segits\'eg:}\/ Alkalmazzuk a skatulya elvet a $(jx_1
\,\text{mod }1,\dots, jx_k\,\text{mod }1)$ vektorokra, $1\le j\le n$,
aszerint, hogy ezek a vektorok a $k$-dimenzi\'os egys\'egkocka melyik
$\left[\dfrac{l_1}N,\dfrac{l_1+1}N\)\times\cdots\times
\left[\dfrac{l_k}N,\dfrac{l_k+1}N\)$ r\'esz\'ebe esnek alkalmas $N$
sz\'ammal.
\smallskip Az ebben a feladatban megfogalmazott un. Dirichlet t\'etel
fontos szerepet j\'atszott az idei Schweitzer verseny 4. feladat\'anak
megold\'as\'aban. Arr\'ol a fontos speci\'alis esetr\H{o}l, amikor
egyetlen sz\'amot akarunk j\'ol approxim\'alni kis nevez\H{o}j\H{u}
t\"ort seg\'{\i}ts\'eg\'evel teljesebb le\'{\i}r\'ast lehet adni  a
l\'anct\"ortek elm\'elet\'enek felhaszn\'al\'as\'aval. Ezt a k\'erd\'est
t\'argyalni fogjuk a k\'es\H{o}bbiekben a szemin\'ariumon.
\bigskip Tov\'abb\'a ismertetni fogjuk az idei Schweitzer verseny 10.
feladat\'anak a megold\'as\'at. Ez a k\"ovetkez\H{o}k\'eppen
sz\'ol: \smallskip
\item{} Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen val\'oszin\H
us\'egi v\'altoz\'ok sorozata, $E\xi_n=0$, \ $E\xi_n^2=\sigma_n^2$,
$\lim\limits_{n\to\infty}\sigma_n^2=0$. Legyen
$S_n=\sum\limits_{j=1}^n\xi_j$, \'es jel\"olje $I(A)$ egy $A$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'eny\'et. L\'assuk be, hogy
$$
\frac1{\log n}\sum_{k=1}^n\frac1kI\left\{\(\max_{1\le j\le k}
|S_j|>\sqrt k\)\right\}\to0\quad \text{1 val\'oszin\H us\'eggel,
ha } \; n\to\infty.
$$
\bye
 
