Feladatok

1.) Lássuk be, hogy egy végesen generált idempotens félcsoport véges. Definiciók: A félcsoport olyan halmaz, melyen van egy kétváltozós, asszociativ művelet. A félcsoport idempotens, ha annak minden a elemére a^{2} = a.

1b.) Hány eleme lehet maximum egy öt elemmel generált idempotens félcsoportnak? Hogy néz ki egy szabad idempotens félcsoport?

2. Tetszőleges x_{1}, …, x_{k} számokra és ε > 0-ra létezik végtelen sok olyan \frac{p_{j,l}}{q_{j}}, l =

1, …, k törtek közös q_{j} nevezővel, melyekre

|x_{l} − \frac{p_{j,l}}{q_{j}} | ≤ \frac{1 + ε}{q_{j}^{(k+1)/k}} minden l = 1, …, k indexre.

Segitség: Alkalmazzuk a skatulya elvet a (jx_{1} mod 1, …, jx_{k} mod 1) vektorokra, 1 ≤ j ≤ n, aszerint, hogy ezek a vektorok a k-dimenziós egységkocka melyik

[\frac{l_{1}}{N} , \frac{l_{1} + 1}{N}) × ⋯ × [\frac{l_{k}}{N} , \frac{l_{k} + 1}{N}) részébe esnek alkalmas N számmal.

Az ebben a feladatban megfogalmazott un. Dirichlet tétel fontos szerepet játszott az idei Schweitzer verseny 4. feladatának megoldásában. Arról a fontos speciális esetről, amikor egyetlen számot akarunk jól approximálni kis nevezőjű tört segítségével teljesebb leírást lehet adni a lánctörtek elméletének felhasználásával. Ezt a kérdést tárgyalni fogjuk a későbbiekben a szemináriumon.

Továbbá ismertetni fogjuk az idei Schweitzer verseny 10. feladatának a megoldását. Ez a következőképpen szól:

Legyen ξ_{n}, n = 1, 2, …, független valószinűségi változók sorozata, Eξ_{n} = 0,

Eξ_{n}^{2} = σ_{n}^{2}, lim_{n→∞} σ_{n}^{2} = 0. Legyen S_{n} = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}, és jelölje I(A) egy A halmaz in-

dikátorfüggvényét. Lássuk be, hogy

\frac{1}{log n} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} I \{( max_{1≤j≤k} |S_{j}| > \sqrt{k})\} → 0 1 valószinűséggel, ha n → ∞.