 
\magnification=\magstep1
\nopagenumbers
\input amstex
\hsize=16truecm
\parindent=0pt
\parskip=5pt
 
\define\tr{\text{Tr}\,}
\define \A{\bold A}
\define \BB{\bold B}
\define \U{\bold U}
\define \e{\varepsilon}
\define \({\left(}
\define \){\right)}
 
\noindent
 
{\bf Nem negat\'{\i}v harmonikus f\"uggv\'enyek a $d$ dimenzi\'os
r\'acson.} \bigskip
 
A parci\'alis differenci\'alegyenletek egyik fontos probl\'em\'aja a
harmonikus f\"uggv\'enyek le\'{\i}r\'asa, azaz a $\Delta
f(x_1,\dots,x_d)=0$ egyenlet megold\'asainak le\'{\i}r\'asa a
$d$-dimenzi\'os t\'er valamely tartom\'any\'aban, ahol
$\Delta=\sum\limits_{j=1}^d\dfrac{\partial^2}{\partial x_j^2}$.  Ha az
eg\'esz $n$ dimenzi\'os t\'eren nem negat\'{\i}v harmonikus
f\"uggv\'enyeket keress\"uk, akkor ezek csak a konstans
f\"uggv\'enyek. Mi\'ert? Adjuk meg az egy pont kiv\'etel\'evel
harmonikus f\"uggv\'enyeket, azaz az $R^d\setminus \{x\}$ halmazon
\'ertelmezett harmonikus f\"uggv\'enyeket, ahol $x\in R^d$. Mi\'ert
fontosak a harmonikus f\"uggv\'enyek vizsg\'alat\'aban ezeknek
a f\"uggv\'enyeknek az ismerete?
 
A harmonikus f\"uggv\'enyek term\'eszetes megfelel\H{o}je a
$d$-dimenzi\'os $\bold Z^d$ eg\'esz kooridin\'at\'aj\'u $\bold Z^d$
r\'acson \'ertelmezett f\"ugg\-v\'e\-nyek k\"oz\"ott azon
szint\'en harmonikus f\"uggv\'enyeknek ne\-ve\-zett
$f(n)=f(n_1,\dots,n_d)$, $n=(n_1,\dots,n_d)\in \bold Z$ f\"uggv\'enyek,
melyekre
$$
\dfrac1{2d}\sum\limits_{j=1}^d\(f(n+e_j)+f(n-e_j)\)=f(n)
$$
minden $n\in \bold Z^d$ pontban, ahol $e_j$ az az egys\'egvektor,
melynek $j$-ik koordin\'at\'aja 1 az \"osszes t\"obbi koordin\'at\'aja
nulla. A k\"ovetekez\H{o} feladatokban bel\'atjuk, hogy az eg\'esz
t\'eren \'ertelmezett korl\'atos (vagy \'altal\'anosabban,
nem-negat\'{\i}v) harmonikus f\"uggv\'enyek korl\'atosak. Ennek az
\'all\'{\i}t\'asnak a bizony\'{\i}t\'asa nehezebb mint a diszkr\'et
megfelel\H{o}j\'enek.
 
Ha $f(n)$ korl\'atos harmonikus f\"uggv\'eny a $\bold Z^d$ r\'acson,
akkor $\varphi(n)=f(n+e_1)-f(n)$  \'es a
$\varphi_L(n)=\sum\limits_{p=1}^L \varphi(n+pe_1)$  szint\'en
korl\'atos harmonikus f\"uggv\'enyek, s\H{o}t a $\varphi_L$
f\"uggv\'eny abszolut \'ert\'ek\'enek szupr\'emum\'ara lehet az $L$
indext\H{o}l f\"uggetlen becs\'est adni.
\medskip
\item{} L\'assuk be a fenti \'eszrev\'etelek seg\'{\i}ts\'eg\'evel
azt, hogy a $\bold Z^d$ r\'acson minden korl\'atos harmonikus
f\"uggv\'eny konstans. \medskip
 
Azt, hogy az eg\'esz r\'acson \'ertelmezett nem-negat\'{\i}v,
harmonikus f\"uggv\'enyek is konstansok nehezebb bebizony\'{\i}tani.
A k\"ovetkez\H{o} feladatokban ezt dolgozzuk ki. A
bizony\'{\i}t\'asban egyr\'eszt bel\'atjuk, hogy az \"osszes
nem-negat\'{\i}v harmonikus $f(n)$ f\"uggv\'enyek, melyekre $f(0)=1$
konvex kompakt halmazt alkotnak egy term\'eszetes topol\'ogi\'aval.
Megmutatjuk, hogy ennek a konvex halmaznak a le\'{\i}r\'as\'ahoz el\'eg
megadni e halmaz extrem\'alis pontjait, \'es ez csak az $f(n)\equiv1$
f\"uggv\'enyb\H{o}l \'all.
 
\bigskip
 
1. feladat: Tekints\"uk a ${\bold Z}^d$-n \'ertelmezett f\"uggv\'enyek
ter\'et, $R^{\bold Z^d}$-t a sz\'amegyenesen \'ertelmezett szok\'asos
topol\'ogia szorzat topol\'ogi\'aj\'aval. Defini\'aljuk ennek a
k\"ovetkez\H o $\Cal E$ r\'eszhalmaz\'at:
$$
{\Cal E}=\{f(x),\;x\in\bold Z^d, \; f(x)\text{ nem-negat\'\i v harmonikus
\ f\"uggv\'eny, }  f(0)=1\}.
$$
Bizony\'\i{}tsuk be, hogy ${\Cal E}$ a fenti t\'er egy konvex, kompakt
r\'eszhalmaza.
 
(Egy $\Cal E$ z\'art halmaz ebben a t\'erben akkor
\'es csak akkor kompakt, ha minden $x\in\bold Z^d$-re
$\sup\limits_{f\in\Cal E}|f(x)|$ kisebb, mint egy $x$-t\H ol f\"ugg\H o
sz\'am.)
\smallskip
2. feladat: Egy $f\in\Cal E$ f\"uggv\'enyt extrem\'alisnak h\'\i{}vunk
az $\Cal E$ halmazban, ha nem \'\i{}rhat\'o fel k\'et k\"ul\"onb\"oz\H o
$f_1\in \Cal E$ \'es $f_2\in \Cal E$ f\"uggv\'eny
$f=\alpha_1f_1+\alpha_2f_2$, $0\le \alpha_i\le 1$, $i=1,\,2$,
$\alpha_1+\alpha_2=1$, konvex line\'aris kombin\'aci\'ojak\'ent.
Bizony\'\i{}tsuk be,
hogy ha a ${\bold Z}^d$-n \'ertelmezett f\"uggv\'enyek ter\'en
(az 1. feladatban szerepl\H o topol\'ogi\'aval) egy konvex kompakt
halmaz tartalmaz
legal\'abb k\'et f\"uggv\'enyt, akkor tartalmaz legal\'abb k\'et
extrem\'alis f\"uggv\'enyt.
 
(Rendezz\"uk el a $\bold Z^d$ r\'acspontjait valamilyen sorrendben,
\'es defini\'aljuk az $\Cal E_0\supset \Cal E_1\supset\cdots$
halmazokat a k\"ovetkez\H o m\'odon: $\Cal E_0=\Cal E$,
$\Cal E_{n+1}=\{f\;f\in\Cal E_n,\; f(x_n)=\sup\limits_{g\in \Cal
E_n}g(x_n)\}$ vagy $\Cal E_{n+1}=\{f\: f\in\Cal
E_n,\; f(x_n)=\inf\limits_{g\in \Cal E_n}g(x_n)\}$. Mutassuk meg, hogy
a $\bigcap\limits_{n=0}^\infty \Cal E_n$ halmaz az $\Cal E$ halmaz egy
extrem\'alis f\"uggv\'eny\'eb\H ol \'all.)
\smallskip
3. feladat: Mutassuk meg, hogy az els\H o feladatban defini\'alt $\Cal E$
halmazban az $f(x)\equiv1$ az egyetlen extrem\'alis f\"uggv\'eny.
 
(Haszn\'aljuk ki, hogy egy nem-negativ harmonikus f\"uggv\'eny
eltoltja is az. \'Irjuk fel az $f(n)$ f\"uggv\'enyt az $\dfrac{f(n\pm
e_j)}{f(\pm e_j)}$ f\"uggv\'enyek line\'aris kombin\'aci\'ojak\'ent.)
 
\bye
