Nem negatív harmonikus függvények a d dimenziós rácson.

A parciális differenciálegyenletek egyik fontos problémája a harmonikus függvények leírása, azaz a Δf(x_{1}, …, x_{d}) = 0 egyenlet megoldásainak leírása a d-dimenziós tér

valamely tartományában, ahol Δ = ∑_{j=1}^{d} \frac{∂^{2}}{∂x_{j}^{2}} . Ha az egész n dimenziós téren nem negatív

harmonikus függvényeket keressük, akkor ezek csak a konstans függvények. Miért? Adjuk meg az egy pont kivételével harmonikus függvényeket, azaz az R^{d} \ {x} halmazon értelmezett harmonikus függvényeket, ahol x ∈ R^{d}. Miért fontosak a harmonikus függvények vizsgálatában ezeknek a függvényeknek az ismerete?

A harmonikus függvények természetes megfelelője a d-dimenziós Z^{d} egész kooridinátájú Z^{d} rácson értelmezett függvények között azon szintén harmonikus függvényeknek nevezett f(n) = f(n_{1}, …, n_{d}), n = (n_{1}, …, n_{d}) ∈ Z függvények, melyekre

\frac{1}{2d} ∑_{j=1}^{d} (f(n + e_{j}) + f(n − e_{j})) = f(n)

minden n ∈ Z^{d} pontban, ahol e_{j} az az egységvektor, melynek j-ik koordinátája 1 az összes többi koordinátája nulla. A követekező feladatokban belátjuk, hogy az egész téren értelmezett korlátos (vagy általánosabban, nem-negatív) harmonikus függvények korlátosak. Ennek az állításnak a bizonyítása nehezebb mint a diszkrét megfelelőjének.

Ha f(n) korlátos harmonikus függvény a Z^{d} rácson, akkor φ(n) = f(n + e_{1}) − f(n) és

a φ_{L}(n) = ∑_{p=1}^{L} φ(n + pe_{1}) szintén korlátos harmonikus függvények, sőt a φ_{L} függvény

abszolut értékének szuprémumára lehet az L indextől független becsést adni.

Lássuk be a fenti észrevételek segítségével azt, hogy a Z^{d} rácson minden korlátos harmonikus függvény konstans.

Azt, hogy az egész rácson értelmezett nem-negatív, harmonikus függvények is konstansok nehezebb bebizonyítani. A következő feladatokban ezt dolgozzuk ki. A bizonyításban egyrészt belátjuk, hogy az összes nem-negatív harmonikus f(n) függvények, melyekre f(0) = 1 konvex kompakt halmazt alkotnak egy természetes topológiával. Megmutatjuk, hogy ennek a konvex halmaznak a leírásához elég megadni e halmaz extremális pontjait, és ez csak az f(n) ≡ 1 függvényből áll.

1. feladat: Tekintsük a Z^{d}-n értelmezett függvények terét, R^{Z^{d}}-t a számegyenesen értelmezett szokásos topológia szorzat topológiájával. Definiáljuk ennek a következő E részhalmazát:

E = {f(x), x ∈ Z^{d}, f(x) nem-negatív harmonikus függvény, f(0) = 1}.

Bizonyítsuk be, hogy E a fenti tér egy konvex, kompakt részhalmaza.

(Egy E zárt halmaz ebben a térben akkor és csak akkor kompakt, ha minden x ∈ Z^{d}-re sup_{f∈E} |f(x)| kisebb, mint egy x-től függő szám.)

2. feladat: Egy f ∈ E függvényt extremálisnak hívunk az E halmazban, ha nem írható fel két különböző f_{1} ∈ E és f_{2} ∈ E függvény f = α_{1}f_{1} + α_{2}f_{2}, 0 ≤ α_{i} ≤ 1, i = 1, 2, α_{1} + α_{2} = 1, konvex lineáris kombinációjaként. Bizonyítsuk be, hogy ha a Z^{d}-n értelmezett függvények terén (az 1. feladatban szereplő topológiával) egy konvex kompakt halmaz tartalmaz legalább két függvényt, akkor tartalmaz legalább két extremális függvényt.

(Rendezzük el a Z^{d} rácspontjait valamilyen sorrendben, és definiáljuk az E_{0} ⊃ E_{1} ⊃ ⋯ halmazokat a következő módon: E_{0} = E, E_{n+1} = {f f ∈ E_{n}, f(x_{n}) = sup_{g∈E_{n}} g(x_{n})} vagy

E_{n+1} = {f: f ∈ E_{n}, f(x_{n}) = inf_{g∈E_{n}} g(x_{n})}. Mutassuk meg, hogy a ⋂_{n=0}^{∞} E_{n} halmaz az E

halmaz egy extremális függvényéből áll.)

3. feladat: Mutassuk meg, hogy az első feladatban definiált E halmazban az f(x) ≡ 1 az egyetlen extremális függvény.

(Használjuk ki, hogy egy nem-negativ harmonikus függvény eltoltja is az. Írjuk fel az

f(n) függvényt az \frac{f(n ± e_{j})}{f(±e_{j})} függvények lineáris kombinációjaként.)