\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\parindent=18pt
 
\noindent{\bf Feladatmegold\'as:}
\bigskip\noindent
P\'elda olyan
gr\'afelm\'eleti f\"uggv\'enyre, amelyik minden racion\'alis pontban
szakad.
\bigskip
Egy  $\dfrac12 \leq \dfrac pq < 1$ racion\'alis sz\'amnak tekints\"uk a
k\"ovetkez\H o szorzatreprezent\'aci\'oj\'at, melyet nevezz\"unk
moh\'o reprezent\'aci\'onak:
$$
{p \over q} = {k_1 - 1 \over k_1} \cdot {k_2 - 1 \over
k_2}\,  \cdots \, {k_r - 1 \over k_r}
$$
ahol $k_i > (k_{i-1} - 1)^2$, $i=1,2,\dots,r-1$-re.
\medskip
\item{1.)} Bizony\'\i tsuk be, hogy  minden $\dfrac12 \leq \dfrac pq <
1$ racion\'alis sz\'amnak van moh\'o  rep\-re\-zen\-t\'a\-ci\'o\-ja,
\'es az egy\'ertelm\"u.
\medskip
Az 1. feladat \'all\'\i t\'as\'at elfogadva \'ertelmes a
k\"ovetkez\H o definici\'o:
\medskip
Egy $\dfrac12 \leq \dfrac pq < 1$ racion\'alis sz\'amra legyen
$$
f\left(\dfrac p
q\right) = \dfrac{k_1 - 2}{k_1} \cdot\dfrac {k_2 - 2 }{k_2}
\cdots \dfrac {k_r - 2} {k_r}\;,
$$
ahol $\dfrac p q =\dfrac{k_1 - 1}{k_1} \cdot \dfrac{k_2 - 1}
{k_2}  \cdots \dfrac {k_r - 1}{k_r}$ a racion\'alis sz\'am
moh\'o reprezent\'aci\'oja.
\medskip
\item{2.)} Bizony\'\i tsuk be, hogy a f\"uggv\'eny irracion\'alis
$\dfrac12 < x < 1$
sz\'amokra is hat\'ar\'ert\'ekk\'ent kiterjeszthet\H o, a k\"ovetkez\H o
m\'odon:
$$
f(x)=\lim_{\frac pq \to x} f\left(\frac pq\right)\;.
$$
Azaz, a fenti hat\'ar\'ert\'ek l\'etezik.
\item{3.)} Bizony\'\i tsuk be, hogy a kiterjesztett, az
$\left[1/2,1\right)$ intervallumban \'ertelmezett   f\"uggv\'eny
\itemitem{(a)} szigor\'uan monoton n\"ovekv\H o,
\itemitem{(b)} minden irracion\'alis pontban folytonos, de
\itemitem{(c)} minden racion\'alis pontban szakad\'asa van, ott csak
balr\'ol folytonos.
 
\bye