\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\input amstex
\parindent=20pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
 
\beginsection Feladatok
 
\item{1.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o,
$f(x,y)$ olyan f\"uggv\'eny, melyre $E|f(\xi,\eta)|<\infty$.
Bizony\'\i{}tsuk be,
hogy $E(f(\xi,\eta)|\eta=y)=Ef(\xi,y)$. Mi ennek az
\'all\'\i{}t\'asnak a szeml\'eletes tartalma?
\item{2.)} Az el\H oz\H o \'all\'\i{}t\'as jobb meg\'ert\'ese
\'erdek\'eben mutassuk meg, hogy
az \'all\'\i{}t\'as k\"ovetkezik a Fubini t\'etelb\H ol. Azaz,
haszn\'aljuk fel a k\"ovetkez\H o
eredm\'enyt: Legyen adva k\'et m\'ert\'ekt\'er $(X,\Cal A,\mu)$,
$(Y,\Cal B,\nu)$ \'es az $(X\times Y, \Cal A\times\Cal
B,\mu\times\nu)$ szorzatt\'er a szor\-zat\-m\'er\-t\'ek\-kel,
tov\'abb\'a egy
m\'erhet\H o $f(x,y)$ f\"uggv\'eny a szorzatt\'eren.
Akkor tetsz\H oleges m\'erhet\H o $B\subset X$-re
$$
\int_{B\times Y}f(x,y)\mu(dx)\nu(dy)=\int_B g(x)\mu(dx)\;,
$$
ahol $g(x)=\int f(x,y)\nu(dy)$. Mutassuk meg alkalmas
transzform\'aci\'o seg\'\i{}ts\'eg\'evel, hogy
az el\H oz\H o \'all\'\i{}t\'as k\"ovetkezik ebb\H ol az eredm\'enyb\H
ol.
\item{3.)} Bizony\'\i{}tsuk be az 1. feladat k\"ovetkez\H o
\'altal\'anos\'\i{}t\'as\'at.
Legyen adva egy $(\Omega, \Cal A,P)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi mez\H
on egy $\Cal
F\subset \Cal A$ $\sigma$-algebra \'es k\'et $\xi$ illetve $\eta$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o, melyekre $\eta$ $\Cal F$
m\'erhet\H o, \'es $\xi$
f\"uggetlen az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'at\'ol. L\'assuk be, hogy
tetsz\H oleges
m\'erhet\H o $f(x,y)$ f\"uggv\'enyre, melyre $E|f(\xi,\eta)|<\infty$
$$
E(f(\xi,\eta)|\Cal F)(\oo)=Ef(\xi,y)|_{y=\eta(\oo)}\;.
$$
\item{4.)} Legyen $\xi(t)$, $t\in T$, val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'oknak a halmaza
valamilyen $T$ indexhalmazzal indexelve, egy $\eta$ val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'o \'es egy $\A$
esem\'eny valamely $(\Omega,\Cal A, P)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi mez\H
on \'ugy, hogy
inform\'alisan megfogalmazva, az $\A$ esem\'eny felt\'eteles
val\'osz\'\i{}n\H us\'ege
felt\'eve a $\xi_t$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok b\'armely
v\'eges r\'eszhalmaz\'anak \'es
az $\eta$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ek\'et csak az
$\eta$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ot\'ol f\"ugg. Azaz, tegy\"uk fel, hogy
$P(\A|\sigma(\xi_{t_1},\dots,\xi_{t_k},\eta))=P(\A|\eta)$
tetsz\H oleges $\{t_1,\dots,t_k\}\subset T$ v\'eges halmazra. Ekkor
$P(\A|\sigma(\xi_t,t\in T,\eta))=P(\A|\eta)$.
\smallskip\noindent A k\"ovetkez\H o feladat  c\'elja az, hogy
egyszer\H u m\'odon konstru\'aljunk Poisson folyamatokat.
\item{5.)} \itemitem{a)}Legyen adva $k$ darab  urna, \'es ezekbe
dobjunk be
v\'eletlen $\xi$ sz\'am\'u goly\'ot, ahol $\xi$  Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o $\lambda>0$ param\'eterrel.
Legyenek az egyes
dob\'asok eredm\'enyei egym\'ast\'ol \'es a $\xi$ val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ot\'ol
f\"uggetlenek. Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy  minden egyes
dob\'asn\'al a goly\'o
az $j$-ik urn\'aba $p_j\ge0$ val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel esik,
$j=1,\dots,k$,
$\sum\limits_{j=1}^k p_j=1$.  Jel\"olje $\eta_j$ a $j$-ik urn\'aba
es\H o goly\'ok
sz\'am\'at. Bizony\'\i{}tsuk be, hogy az $\eta_j$, $j=1,\dots,k$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es $\eta_j$ Poisson eloszl\'as\'u
$\lambda p_j$ param\'eterrel, $j=1,\dots,k$.
\itemitem{b.)} Legyen adva egy $(X,\Cal A)$ m\'erhet\H o t\'er, \'es
azon egy
$\mu$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ek. Legyen $\xi$ Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'o  $\lambda>0$ param\'eterrel, V\'a\-lasszunk egym\'ast\'ol
\'es a $\xi$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen\"ul
$x_1$,\dots, $x_\xi$ pontokat az
$X$ t\'eren \'ugy, hogy $P(x_j\in\A)=\mu(\A)$ minden $\A\in\Cal A$
\'es
$j=1,\dots,\xi$-re. L\'assuk be, hogy tetsz\H oleges diszjunkt $\A_1\in
\Cal A$,\dots, $\A_k\in \Cal A$ halmazokra az e halmazokba es\H o
kiv\'alasztott $x_l$ pontok sz\'ama egym\'ast\'ol
f\"uggetlen, \'es az egyes $\A_j$, $j=1,\dots,k$,  halmazokba es\H o
pontok sz\'ama
$\lambda\mu(\A_j)$ param\'eter\H u Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o.
\itemitem{c.)} Legyen adva egy  $(X,\Cal A)$ m\'erhet\H o t\'er \'es
rajta egy
$\nu$ $\sigma$-v\'eges m\'ert\'ek. Az el\"oz\H o konstrukci\'ot
felhaszn\'alva
konstru\'aljunk egy olyan $x_1,x_2,\dots$ v\'eletlen pontrendszert az
$X$ t\'eren, mely
teljes\'\i{}ti a k\"ovetkez\H o tulajdons\'agot: B\'armely m\'erhet\H
o v\'eges $\nu$ m\'ert\'ek\H u
$\A$ halmazba es\H o pontok sz\'ama $\nu(\A)$ m\'ert\'ek\H u Poisson
eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o, \'es diszjunkt (m\'erhet\H o,
v\'eges m\'ert\'ek\H u) halmazokba
es\H o pontok sz\'ama egym\'ast\'ol f\"uggetlen.
\item{6.)} Legyen $W(t)$ (standard) Wiener folyamat. R\"ogz\'\i{}ts\"unk bizonyos
$0<t_1<t_2<\cdots<t_k<1$ sz\'amokat. Bizonny\'\i{}tsuk be, hogy a
$W(t_1),\dots,W(t_k)$ felt\'eteles eloszl\'asa $W(1)=x$ felt\'etel mellett egy
$d_{j,l}=d_{l,j}=t_j(1-t_l)$, $1\le j\le l\le k$, kovarianciam\'atrix\'u \'es
$m_j=t_jx$, $1\le j\le k$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H u norm\'alis eloszl\'as\'u vektor. A
$W(t)$, $0\le t\le1$, folyamat felt\'eteles eloszl\'asa felt\'eve, hogy
$W(1)=x$, megegyezik a $B(t)+tx$ eloszl\'as\'aval, ahol $B(t)$ Brown bridge.
\item{7.)} Egy Komogorovt\'ol sz\'armaz\'o eredm\'eny szerint, ha az
$X(t)$, $0\le t\le 1$, szto\-chasz\-ti\-kus folyamat teljes\'\i{}ti az
$E|X(t)-X(s)|^{2+\delta}\le C|t-s|^{1+\e}$ felt\'etelt valamely
$\delta>0$, $\e>0$
\'es  $C>0$ sz\'amokkal, akkor l\'etezik olyan $\bar X(t)$ egy
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel
folytonos trajekt\'ori\'aj\'u folyamat a $[0,1]$ intervallumon, melyre
$P(\bar X(t)=X(t))=1$ minden
$t\in[0,1]$-re. \'Altal\'anos\'\i{}tsuk ezt az eredm\'enyt arra az
esetre, amikor
az $X(t)$ sztochasztikus folyamat a $t\in[0,1]^k$ van \'ertelmezve.
Ennek
megfogalmaz\'as\'ahoz vezess\"uk be a k\"ovetkez\H o jel\H ol\'eseket:
Ha $\Delta=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_k,b_k]\subset [0,1]^k$ egy
$k$-dimenzi\'os t\'eglatest, akkor
$|\Delta|=\prod\limits_{j=1}^k(b_j-a_j)$,
az $X(t)$ megv\'altoz\'asa a $\Delta$-n $X(\Delta)=\sum\limits\Sb
t_j=a_j\text{ vagy }b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(t_1,\dots,t_k)}
X(t_1,\dots,t_k)$, ahol $\chi(t_1,\dots,t_k)=\#\{j\: t_j=a_j,\;1\le
j\le k\}$.
Ha $E|X(\Delta)|^{2+\delta}\le C|\Delta|^{1+\e}$ valamely $\delta>0$,
$\e>0$ \'es $C>0$-ra, akkor l\'etezik olyan $\bar X(t)$ folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u sztochasztikus folyamat a $[0,1]^k$-n, melyre
$P(\bar X(t)=X(t))=1$ minden $t\in [0,1]^k$-ra.
\newpage
 
\beginsection Megold\'asok, megold\'asv\'azlatok
 
\item{1.)} L\'assuk be az \'all\'\i{}t\'ast el\H osz\"or abban az
esetben, amikor
$f(x,y)= I_{\A}(x)I_{\BB}(y)$, ahol $I_{\bold C}(\cdot)$ jel\"oli a
$\bold
C$ halmaz indik\'atorf\"uggv\'eny\'et, \'es $\A\subset R^1$ illetve
$\BB\subset
R^1$ tetsz\H oleges Borel m\'erhet\H o halmazok. Ekkor a felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek tulajdons\'agai alapj\'an
$$
\align
E(f(\xi,\eta)|\eta=y)&=E(I_{\A}(\xi)I_{\BB}(\eta)|\eta=y)=I_{\BB}(y)
E(I_{\A}(\xi|\eta=y)\\
&=I_{\BB}(y)EI_{\A}(\xi)=EI_{\BB}(y)I_{\A}(\xi)
=Ef(\xi,y)\;.
\endalign
$$
Az azonoss\'ag a v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es a felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek line\'aris
tulajdons\'aga miatt k\"ovetkezik a fenti formul\'ab\'ol abban az
esetben, ha az
$f(x,y)$ f\"uggv\'eny $f(x,y)=\sum\limits_{j=1}^k
I_{\A_j}(x)I_{\BB_j}(y)$ alak\'u. Tekints\"uk azt
a speci\'alis esetet, amikor az $\A_j\times \BB_j$ halmazok
diszjunktak.
Jel\"olje $\Cal D$ azon $\bold D\subset R^2$ halmazok oszt\'aly\'at,
melyekre $EI_{\bold
D}(\xi,y)=E(I_{\bold D}(\xi,\eta)|\eta=y)$. Tudjuk, hogy $\Cal D$
tartalmazza a v\'eges sok diszjunkt t\'eglalapb\'ol \'all\'o
halmazokat. Tov\'abb\'a
a v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
tulajdons\'agai miatt $\Cal D$
monoton halmazoszt\'aly, azaz rendelkezik a k\"ovetkez\H o
tulajdons\'agokkal: Ha
${\bold D}_1\subset\Cal D$, ${\bold D}_2\subset\Cal D$, ${\bold D}_1$,
${\bold D}_2$ diszjunktak, akkor ${\bold D}_1\cup{\bold D}_2\subset\Cal
D$, \'es ${\bold D}_j\in \Cal D$, ${\bold D}_j\subset {\bold D}_{j+1}$,
$j=1,2,\dots$, akkor $\bigcup\limits_{j=1}^\infty {\bold D}_j\subset
\Cal D$. \'Altal\'anos m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyek szerint
egy a
t\'eglalapokat (\'altal\'aban egy halmazgy\H ur\H ut) tartalmaz\'o
monoton
halmazoszt\'aly tartalmazza a Borel $\sigma$-algebr\'at (a halmazgy\H
ur\H u \'altal
gener\'alt $\sigma$-algebr\'at). Ez\'ert a bizony\'\i{}tand\'o
azonoss\'ag igaz akkor,
ha az $f(x,y)$ f\"uggv\'eny egy m\'erhet\H o halmaz
indik\'atorf\"uggv\'enye.
Felhaszn\'alva a v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek tulajdons\'agait
kapjuk, hogy a k\'\i{}v\'ant azonoss\'ag igaz tetsz\H oleges l\'epcs\H
osf\"uggv\'enyre,
illetve azut\'an hat\'ar\'atmenettel kapjuk, hogy igaz olyan $f(x,y)$
f\"uggv\'enyre, melyre $E|f(\xi,\eta)|<\infty$.
\item{2.)} Legyen a $\xi$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$F(x)$, \'es az $\eta$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye $G(x)$.
Defini\'aljuk az $R^2=R^1\times R^1$ szorzatteret a
$\mu(dx,dy)=F(dx)G(dy)$ szorzatm\'ert\'ekkel, tov\'abb\'a a $\T\:
(\Omega,\Cal A,P)\to (R^2,\Cal B,\mu)$ m\'erhet\H o lek\'epez\'est a
$\T(\omega)=(\xi(\omega),\eta(\omega))$ k\'eplettel. Ez a $\T$
lek\'epez\'es
m\'ert\'ektart\'o, azaz tetsz\H oleges $\BB\subset R^2$ m\'erhet\H o
halmazra
$\mu(\BB)=P(\T^{-1}(\BB)$. Annak meg\-\'al\-la\-p\'\i{}\-t\'a\-s\'a\-hoz,
hogy a
$\T$ lek\'epez\'es
m\'ert\'ektart\'o el\'eg ellen\H orizni azt hogy
$\mu(\A\times\BB)=P(\T^{-1}
(\A\times\BB))$ tetsz\H o\'eleges $\A\times\BB\subset R^2$ tipus\'u
halmazra, ami a felt\'etelekb\H ol k\"onnyen ad\'odik.
 
\item{}\'Irjuk \'at a bizony\'\i{}tand\'o formul\'at az el\H obbi
transzform\'aci\'o seg\'\i{}ts\'eg\'evel
az $(R^2,\Cal A,\mu)$ t\'erre. A bizony\'\i{}tand\'o \'all\'\i{}t\'as
ekvivalens az
$$
\int_{\eta\in\bold C}  f(\xi,\eta)\,dP=
\int_{\eta\in \bold C} \left. Ef(\xi,y)\right|_{y=\eta}\,dP
$$
azonoss\'aggal tetsz\H oleges m\'erhet\H o $\bold C\in R^1$ halmazra.
Ez pedig
ekvivalens, a $\T$ transzform\'aci\'o m\'ert\'ektart\'o tulajdons\'aga
miatt az
$$
\int_{R^1\times \bold C} f(x,y) \mu(\, dx,\,dy)=
\int_{\bold C}\(\int_{-\infty}^\infty f(x,y) F(\,dx)\)G(\,dy)
$$
azonoss\'aggal, \'es az utols\'o \'all\'\i{}t\'as a Fubini t\'etel
k\"ovetkezm\'enye.
\item{3.)} Az els\H o feladatnak mind a k\'et bizony\'\i{}t\'asa
m\'odos\'\i{}that\'o \'ugy,
hogy megadja ennek a feladatnak a bizony\'\i{}t\'as\'at. Az els\H o
bizony\'\i{}t\'asban
szinte semmit sem kell v\'altoztatni. A m\'asodik bizony\'\i{}t\'asban a
$\T\:(\Omega,\Cal A,P)\to (R^1\times\Omega,\Cal B\times\Cal
F,\mu_F\times P)$, $\T(\oo)=(\xi(\oo),\oo)$, lek\'epez\'est
tekintj\"uk, ahol
$\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebra $R^1$-en \'es $\mu_F$ a $\xi$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o $F$ eloszl\'asa
\'altal meghat\'arozott m\'ert\'ek. Ekkor a $\T$ transzform\'aci\'o
m\'ert\'ektart\'o.
Ennek a tulajdons\'agnak az ellen\H orz\'esekor el\'eg a
$\BB\times\bold C$ alak\'u
halmazokat \'es azok \H osk\'ep\'et el\'eg vizsg\'alni, ahol $\BB\in
\Cal B$ \'es $\bold
C\in \Cal F$. Fontos: A $\bold C$ halmaznak csak $\Cal F$ m\'erhet\H
onek kell lenni \'es nem felt\'etlen\"ul $\Cal A$ m\'erhet\H onek.
Innen kapjuk, a
m\'asodik bizony\'\i{}t\'as \'ervel\'es\'et haszn\'alva, hogy egy a
$[0,1]\times\Omega$-n
defini\'alt $\Cal B\times \Cal F$ m\'erhet\H o $H(x,\oo)$
f\"uggv\'enyre
$E(H(\xi,\oo)|\Cal F)(\oo)=\int_{-\infty}^\infty H(x,\oo)dF(x)$. Ezt az
\"osszef\"ugg\'est a $H(x,\oo)=f(x,\eta(\oo))$ f\"uggv\'enyre
alkalmazva megkapjuk a k\'\i{}v\'ant \'all\'\i{}t\'ast.
\item{4.)} Mivel a $P(\A|\eta)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o
$\sigma(\xi_t,
 t\in T,\eta)$ m\'erhet\H o a bizony\'\i{}tand\'o \'all\'\i{}t\'as
ekvivalens a k\"ovetkez\H ovel: $$
\int_{\BB}P(\A|\eta)\,dP=P(\A\cap\BB)
$$
tetsz\H oleges $\BB\in \sigma(\xi_t,t\in T,\eta)$ \'es $\A\in \Cal A$
halmazra. R\"ogz\'\i{}ts�k az $\A\in \Cal A$ halmazt. A feladat felt\'etelei
miatt a k\'\i{}v\'ant azonoss\'ag igaz minden
$\BB\in \sigma(\xi_{t_1},\xi_{t_2},\dots,\xi_{t_k},\eta)$ halmazra,
ahol
$\{t_1,\dots,t_k\}$  a $T$ param\'eter halmaz tetsz\H oleges v\'eges
r\'eszhalmaza. Mivel a bizony\'\i{}tand\'o azonoss\'ag mindk\'et oldala
$\sigma$-addit\'\i{}v mint a $\BB\in \Cal A$ halmazokon \'ertelmezett
f�ggv\'eny,
ez\'ert a m\'ert\'ekek kiterjeszt\'es\'enek egy\'ertelm\H us\'ege
miatt egy
halmazgy\H ur\H ur\H ol az \'altala gener\'alt $\sigma$-algebr\'ara az
azonoss\'ag igaz minden $\BB\in \sigma(\xi_t,t\in T,\eta)$ halmazra.
\item{5.)}a.)
$$
\align
P(\eta_1=l_1,\dots,\eta_k=l_k)
&=P(\xi=l_1+\cdots+l_k)\frac{(l_1+\cdots+l_k)!}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}\\
&=\frac{\lambda^{(l_1+\cdots+l_k)}}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}e^{-\lambda}
=\prod_{j=1}^k\frac{ (\lambda p_j)^{l_j}}{l_j!}e^{-\lambda p_j}
\endalign
$$
tetsz\H oleges $l_1\ge0$, \dots, $l_k\ge0$ eg\'esz sz\'amokra. Innen
ad\'odik az \'all\'\i{}t\'as.
\item{b.)} Legyen $\A_{k+1}=X\setminus\bigcup\limits_{j=1}^k\A_j$,
$p_j=\mu_j(\A_j)$, $j=1,\dots,k+1$. Ekkor a feladat a.) r\'esze
szerint az
egyes $\A_j$ halmazokba es\H o pontok sz\'ama egym\'ast\'ol f\"uggetlen
$\lambda\mu(\A_j)$ param\'eter\H u Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o.
\item{c.)} Tekints\"uk az $X$ halmaznak egy partici\'oj\'at, mely
rendelkezik a
k\"ovetkez\H o tulajdons\'agokkal: $X=\bigcup\limits_{j=1}^\infty
X_j$, az
$X_j$, $j=1,2,\dots$, halmazok diszjunktak, $\mu(X_j)=\lambda_j<\infty$.
Konstru\'aljunk a b.) feladat felhaszn\'al\'as\'aval mindegyik $X_j$
halmazon
egy olyan pontrendszert (v\'eletlen sz\'am\'u pontot dobva le
$\mu(X_j)$ param\'eter\H u Poisson eloszl\'assal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'ugy, hogy egy pont egy $\A_j\subset
X_j$ halmazba
$\dfrac{\mu(\A_j)}{\mu(X_j)}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel ess\'ek),
hogy egy $\A_j\subset X_j$ halmazba es\H o pontok
sz\'ama legyen $\mu(\A_j)$, param\'eter\H u Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o,
\'es diszjunkt halmazokba egym\'ast\'ol
f\"uggetlen sz\'am\'u pont ess\'ek. Legyenek a
k\"ul\"onb\"oz\H o $X_j$ halmazokba es\H o pontok sz\'ama
egym\'ast\'ol f\"uggetlen. Mivel
f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok \"osszege Poisson
eloszl\'as\'u, \'es az \"osszeg param\'etere egyenl\H o az
\"osszeadand\'ok param\'eter\'enek
az \"osszeg\'evel, ez\'ert az itt le\'\i{}rt konstrukci\'oban tetsz\H
oleges
$\mu(\A)<\infty$ m\'ert\'ek\H u halmazba $\mu(\A)$ param\'eter\H u
Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o esik, \'es diszjunkt
halmazokba es\H o pontok sz\'ama egym\'ast\'ol f\"uggetlen. (L\'assuk
be, hogy  v\'egtelen sok f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi  v\'altoz\'o \"osszege is Poisson
eloszl\'as\'u, \'es az \"osszeg param\'etere megegyezik az
\"osszeadand\'ok
pa\-ra\-m\'e\-te\-r\'e\-nek az \"osszeg\'evel, felt\'eve, hogy ez
az \"osszeg
v\'eges. Ennek bizony\'\i{}t\'as\'an\'al \'erdemes \'eszrevenni, hogy
ebben az esetben az \"osszeg 1~val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel, ez\'ert
eloszl\'asban is konverg\'al.)
\item{6.)} A  $W(t)-tW(1)$, $0\le t\le1$, folyamat f\"uggetlen a $W(1)$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ot\'ol, mert korrel\'alatlanok,
\'es a
$W(t_j)-t_j W(1)$, $j=1,\dots,k$, \'es $W(1)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok egy\"uttesen norm\'alis eloszl\'as\'uak tetsz\H oleges
$k$ pozit\'\i{}v eg\'esz
sz\'amra \'es $0\le t_1<\cdots<t_k\le1$ sz\'amokra. Ez\'ert a
$W(t_j)=(W(t_j)-t_jW(1))+t_jW(1)$, $j=1,\dots,k$ vektor felt\'eteles
eloszl\'asa $W(1)=x$ felt\'etel eset\'en megegyezik a
$W(t_j)-t_jW(1)+t_jx$,
$j=1,\dots,k$ vektor eloszl\'as\'aval. Hogyan k\"ovetkezik ez az
\'all\'\i{}t\'as az
els\H o feladat t\"obbdimenzi\'os v\'altozat\'ab\'ol? Ily m\'odon
bebizony\'\i{}tottuk a
feladat els\H o \'all\'\i{}t\'as\'at. A feladat m\'asodik, a
folyamatokra vonatkoz\'o
\'all\'\i{}t\'asa ekvivalens a k\"ovetkez\H o k\'et \'all\'\i{}t\'assal:
A $C([0,1])$ t\'er tetsz\H oleges
(Borel) m\'erhet\H o $\A$ halmaz\'ara \'es a sz\'amegyenes (Borel)
m\'erhet\H o $\BB$ r\'eszhalmaz\'ara
az $F(u)=F_{\A}(u)=P(\{\oo\:(B_0(t,\oo)+tu,\;0\le t\le1)\in\A\})$
f\"uggv\'eny m\'erhet\H o, \'es
$$
\align
&\int_{u\in \BB}P(\{\oo\:(B_0(t,\oo)+tu,\;0\le
t\le1)\in\A\})\varphi(u)\,du\\
&\qquad\quad=P(\{(\oo\:W(t,\oo),\;0\le t\le1)\in\A\}
\cap \{W(1)\in \BB\})\;,
\endalign
$$
ahol $B_0(\cdot)$ a Brown bridge-t \'es $\varphi(\cdot)$
a standard norm\'alis s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enyt jel\"oli. A feladat
els\H o, m\'ar
bizony\'\i{}tott fel\'eb\H ol k\"ovetkezik, hogy ez a k\'et
\'all\'\i{}t\'as igaz
abban a speci\'alis esetben, amikor $\A$ hengerhalmaz, azaz a
k\"ovetkez\H o alak\'u: $\A=\{x(t),\, 0\le t\le 1\: x(\cdot)\in
C([0,1]),\;
x(t_j)\in \BB_j,\,j=1,\dots,k\}$ valamilyen pozit\'\i{}v eg\'esz $k$-ra,
$0\le
t_1<\cdots<t_k$ pontokra, \'es $\BB_j$, $j=1,\dots,k$ m\'erhet\H o
halmazokra.
\item{} Az $F_{\A}(\cdot)$ f\"uggv\'eny m\'erhet\H o, ha az $\A$ halmaz
hengerhalmaz, \'es az olyan $\A$ halmazok, melyekre $F_{\A}(\cdot)$
m\'erhet\H o f\"uggv\'eny, monoton halmazoszt\'alyt alkotnak, ez\'ert
az ilyen
halmazok tartalmazz\'ak a hengerhalmazok \'altal gener\'alt legsz\H
ukebb
$\sigma$-algebr\'at, ami egybeesik a $C([0.1])$ t\'er Borel m\'erhet\H
o halmazaival.
\item{}
Annak \'erdek\'eben, hogy bel\'assuk azt, hogy a fel\'\i{}rt
azonoss\'ag igaz tetsz\H oleges m\'er\-he\-t\H o $\A$
halmazra, r\"ogz\'\i{}ts\"unk egy Borel m\'erhet\H o $\BB$ halmazt a
sz\'amegyenesen, \'es de\-fi\-ni\'al\-juk a
$\mu_1(\A)=\int_{u\in \BB}P(\{\oo\:(B_0(t,\oo)+tu,\;0\le
t\le1)\in\A\})\varphi(u)\,du$ \'es
$\mu_2(\A)=P(\{(\oo\:W(t,\oo),\;0\le t\le1)\in\A\}\cap \{W(1)\in \BB\}$
halmazf\"uggv\'enyeket. Mivel mind $\mu_1$ mind $\mu_2$ m\'ert\'ek a
$C([0,1])$
t\'er m\'erhet\H o r\'eszhalmazain, \'es $\mu_1(\A)=\mu_2(\A)$, ha $\A$
hengerhalmaz, ez\'ert $\mu_1=\mu_2$, \'es ez a bizony\'\i{}tand\'o
azonoss\'ag.
 
 
 
 
\bye
 
 
 
 
 
