Feladatok

1.) Legyen ξ és η két független valószínűségi változó, f(x, y) olyan függvény, melyre E|f(ξ, η)| < ∞. Bizonyítsuk be, hogy E(f(ξ, η)|η = y) = Ef(ξ, y). Mi ennek az állításnak a szemléletes tartalma?

2.) Az előző állítás jobb megértése érdekében mutassuk meg, hogy az állítás következik a Fubini tételből. Azaz, használjuk fel a következő eredményt: Legyen adva két mértéktér (X, A, μ), (Y, B, ν) és az (X × Y, A × B, μ × ν) szorzattér a szorzatmértékkel, továbbá egy mérhető f(x, y) függvény a szorzattéren. Akkor tetszőleges mérhető B ⊂ X-re

∫_{B×Y} f(x, y)μ(dx)ν(dy) = ∫_{B} g(x)μ(dx) ,

ahol g(x) = ∫ f(x, y)ν(dy). Mutassuk meg alkalmas transzformáció segítségével, hogy az előző állítás következik ebből az eredményből.

3.) Bizonyítsuk be az 1. feladat következő általánosítását. Legyen adva egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn egy F ⊂ A σ-algebra és két ξ illetve η valószínűségi változó, melyekre η F mérhető, és ξ független az F σ-algebrától. Lássuk be, hogy tetszőleges mérhető f(x, y) függvényre, melyre E|f(ξ, η)| < ∞

E(f(ξ, η)|F)(ω) = Ef(ξ, y)|_{y=η(ω)} .

4.) Legyen ξ(t), t ∈ T, valószínűségi változóknak a halmaza valamilyen T indexhalmazzal indexelve, egy η valószínűségi változó és egy A esemény valamely (Ω, A, P) valószínűségi mezőn úgy, hogy informálisan megfogalmazva, az A esemény feltételes valószínűsége feltéve a ξ_{t} valószínűségi változók bármely véges részhalmazának és az η valószínűségi változó értékét csak az η valószínűségi változótól függ. Azaz, tegyük fel, hogy P (A|σ(ξ_{t_{1}}, …, ξ_{t_{k}}, η)) = P (A|η) tetszőleges {t_{1}, …, t_{k}} ⊂ T véges halmazra. Ekkor P (A|σ(ξ_{t}, t ∈ T, η)) = P (A|η).

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. 5.)

a) Legyen adva k darab urna, és ezekbe dobjunk be véletlen ξ számú golyót, ahol ξ Poisson eloszlású valószínűségi változó λ > 0 paraméterrel. Legyenek az egyes dobások eredményei egymástól és a ξ valószínűségi változótól függetlenek. Tegyük fel továbbá, hogy minden egyes dobásnál a golyó az j-ik urnába p_{j} ≥ 0

valószínűséggel esik, j = 1, …, k, ∑_{j=1}^{k} p_{j} = 1. Jelölje η_{j} a j-ik urnába eső

golyók számát. Bizonyítsuk be, hogy az η_{j}, j = 1, …, k valószínűségi változók függetlenek, és η_{j} Poisson eloszlású λp_{j} paraméterrel, j = 1, …, k.

b.) Legyen adva egy (X, A) mérhető tér, és azon egy μ valószínűségi mérték. Legyen ξ Poisson eloszlású valószínűségi változó λ > 0 paraméterrel, Válasszunk egymástól és a ξ valószínűségi változótól függetlenül x_{1}, …, x_{ξ} pontokat az X téren úgy, hogy P (x_{j} ∈ A) = μ(A) minden A ∈ A és j = 1, …, ξre. Lássuk be, hogy tetszőleges diszjunkt A_{1} ∈ A, …, A_{k} ∈ A halmazokra az e halmazokba eső kiválasztott x_{l} pontok száma egymástól független, és az egyes A_{j}, j = 1, …, k, halmazokba eső pontok száma λμ(A_{j}) paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó.

c.) Legyen adva egy (X, A) mérhető tér és rajta egy ν σ-véges mérték. Az elöző konstrukciót felhasználva konstruáljunk egy olyan x_{1}, x_{2}, … véletlen pontrendszert az X téren, mely teljesíti a következő tulajdonságot: Bármely mérhető véges ν mértékű A halmazba eső pontok száma ν(A) mértékű Poisson eloszlású valószínűségi változó, és diszjunkt (mérhető, véges mértékű) halmazokba eső pontok száma egymástól független.

6.) Legyen W (t) (standard) Wiener folyamat. Rögzítsünk bizonyos 0 < t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{k} < 1 számokat. Bizonnyítsuk be, hogy a W (t_{1}), …, W (t_{k}) feltételes eloszlása W (1) = x feltétel mellett egy d_{j,l} = d_{l,j} = t_{j}(1 − t_{l}), 1 ≤ j ≤ l ≤ k, kovarianciamátrixú és m_{j} = t_{j}x, 1 ≤ j ≤ k várható értékű normális eloszlású vektor. A W (t), 0 ≤ t ≤ 1, folyamat feltételes eloszlása feltéve, hogy W (1) = x, megegyezik a B(t) + tx eloszlásával, ahol B(t) Brown bridge.

7.) Egy Komogorovtól származó eredmény szerint, ha az X(t), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamat teljesíti az E|X(t) − X(s)|^{2+δ} ≤ C|t − s|^{1+ε} feltételt valamely δ > 0, ε > 0 és C > 0 számokkal, akkor létezik olyan X̄(t) egy valószínűséggel folytonos trajektóriájú folyamat a [0, 1] intervallumon, melyre P (X̄(t) = X(t)) = 1 minden t ∈ [0, 1]-re. Általánosítsuk ezt az eredményt arra az esetre, amikor az X(t) sztochasztikus folyamat a t ∈ [0, 1]^{k} van értelmezve. Ennek megfogalmazásához vezessük be a következő jelőléseket: Ha Δ = [a_{1}, b_{1}] × ⋯ × [a_{k}, b_{k}] ⊂ [0, 1]^{k}

egy k-dimenziós téglatest, akkor |Δ| = ∏_{j=1}^{k}(b_{j} − a_{j}), az X(t) megváltozása a Δ-

n X(Δ) = ∑_{\begin{matrix}t_{j}=a_{j} vagy b_{j} \\ j=1,...,k \end{matrix}}(−1)^{χ(t_{1},...,t_{k})}X(t_{1}, …, t_{k}), ahol χ(t_{1}, …, t_{k}) = #\{j: t_{j} =

a_{j}, 1 ≤ j ≤ k}. Ha E|X(Δ)|^{2+δ} ≤ C|Δ|^{1+ε} valamely δ > 0, ε > 0 és C > 0-ra, akkor létezik olyan X̄(t) folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamat a [0, 1]^{k}-n, melyre P (X̄(t) = X(t)) = 1 minden t ∈ [0, 1]^{k}-ra.

Megoldások, megoldásvázlatok

1.) Lássuk be az állítást először abban az esetben, amikor f(x, y) = I_{A}(x)I_{B}(y), ahol I_{C}(·) jelöli a C halmaz indikátorfüggvényét, és A ⊂ R^{1} illetve B ⊂ R^{1} tetszőleges Borel mérhető halmazok. Ekkor a feltételes várható érték tulajdonságai alapján

E(f(ξ, η)|η = y) = E(I_{A}(ξ)I_{B}(η)|η = y) = I_{B}(y)E(I_{A}(ξ|η = y)
= I_{B}(y)EI_{A}(ξ) = EI_{B}(y)I_{A}(ξ) = Ef(ξ, y) .

Az azonosság a várható érték és a feltételes várható érték lineáris tulajdonsága miatt következik a fenti formulából abban az esetben, ha az f(x, y) függvény

f(x, y) = ∑_{j=1}^{k} I_{A_{j}}(x)I_{B_{j}}(y) alakú. Tekintsük azt a speciális esetet, amikor az

A_{j} × B_{j} halmazok diszjunktak. Jelölje D azon D ⊂ R^{2} halmazok osztályát, melyekre EI_{D}(ξ, y) = E(I_{D}(ξ, η)|η = y). Tudjuk, hogy D tartalmazza a véges sok diszjunkt téglalapból álló halmazokat. Továbbá a várható érték és feltételes várható érték tulajdonságai miatt D monoton halmazosztály, azaz rendelkezik a következő tulajdonságokkal: Ha D_{1} ⊂ D, D_{2} ⊂ D, D_{1}, D_{2} diszjunktak, akkor

D_{1} ∪ D_{2} ⊂ D, és D_{j} ∈ D, D_{j} ⊂ D_{j+1}, j = 1, 2, …, akkor ⋃_{j=1}^{∞} D_{j} ⊂ D. Általános

mértékelméleti eredmények szerint egy a téglalapokat (általában egy halmazgyűrűt) tartalmazó monoton halmazosztály tartalmazza a Borel σ-algebrát (a halmazgyűrű által generált σ-algebrát). Ezért a bizonyítandó azonosság igaz akkor, ha az f(x, y) függvény egy mérhető halmaz indikátorfüggvénye. Felhasználva a várható érték és feltételes várható érték tulajdonságait kapjuk, hogy a kívánt azonosság igaz tetszőleges lépcsősfüggvényre, illetve azután határátmenettel kapjuk, hogy igaz olyan f(x, y) függvényre, melyre E|f(ξ, η)| < ∞.

2.) Legyen a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F (x), és az η valószínűségi változó eloszlásfüggvénye G(x). Definiáljuk az R^{2} = R^{1} × R^{1} szorzatteret a μ(dx, dy) = F (dx)G(dy) szorzatmértékkel, továbbá a T: (Ω, A, P) → (R^{2}, B, μ) mérhető leképezést a T(ω) = (ξ(ω), η(ω)) képlettel. Ez a T leképezés mértéktartó, azaz tetszőleges B ⊂ R^{2} mérhető halmazra μ(B) = P (T^{−1}(B). Annak megállapításához, hogy a T leképezés mértéktartó elég ellenőrizni azt hogy μ(A × B) = P (T^{−1}(A × B)) tetszőéleges A × B ⊂ R^{2} tipusú halmazra, ami a feltételekből könnyen adódik. Írjuk át a bizonyítandó formulát az előbbi transzformáció segítségével az (R^{2}, A, μ) térre. A bizonyítandó állítás ekvivalens az

∫_{η∈C} f(ξ, η) dP = ∫_{η∈C} Ef(ξ, y)|_{y=η} dP

azonossággal tetszőleges mérhető C ∈ R^{1} halmazra. Ez pedig ekvivalens, a T transzformáció mértéktartó tulajdonsága miatt az

∫_{R^{1}×C} f(x, y)μ( dx, dy) = ∫_{C} (∫_{−∞}^{∞} f(x, y)F ( dx)) G( dy)

azonossággal, és az utolsó állítás a Fubini tétel következménye. 3.) Az első feladatnak mind a két bizonyítása módosítható úgy, hogy megadja en-

nek a feladatnak a bizonyítását. Az első bizonyításban szinte semmit sem kell változtatni. A második bizonyításban a T: (Ω, A, P) → (R^{1} × Ω, B × F, μ_{F} × P), T(ω) = (ξ(ω), ω), leképezést tekintjük, ahol B a Borel σ-algebra R^{1}-en és μ_{F} a ξ valószínűségi változó F eloszlása által meghatározott mérték. Ekkor a T transzformáció mértéktartó. Ennek a tulajdonságnak az ellenőrzésekor elég a B × C alakú halmazokat és azok ősképét elég vizsgálni, ahol B ∈ B és C ∈ F. Fontos: A C halmaznak csak F mérhetőnek kell lenni és nem feltétlenül A mérhetőnek. Innen kapjuk, a második bizonyítás érvelését használva, hogy egy a [0, 1] × Ω-n definiált B × F mérhető H(x, ω) függvényre E(H(ξ, ω)|F)(ω) = ∫_{−∞}^{∞} H(x, ω)dF (x). Ezt az összefüggést a H(x, ω) = f(x, η(ω)) függvényre alkalmazva megkapjuk a kívánt állítást.

4.) Mivel a P (A|η) valószínűségi változó σ(ξ_{t}, t ∈ T, η) mérhető a bizonyítandó állítás ekvivalens a következővel:

∫_{B} P (A|η) dP = P (A ∩ B)

tetszőleges B ∈ σ(ξ_{t}, t ∈ T, η) és A ∈ A halmazra. Rögzítsk az A ∈ A halmazt. A feladat feltételei miatt a kívánt azonosság igaz minden B ∈ σ(ξ_{t_{1}}, ξ_{t_{2}}, …, ξ_{t_{k}}, η) halmazra, ahol {t_{1}, …, t_{k}} a T paraméter halmaz tetszőleges véges részhalmaza. Mivel a bizonyítandó azonosság mindkét oldala σ-additív mint a B ∈ A halmazokon értelmezett fggvény, ezért a mértékek kiterjesztésének egyértelműsége miatt egy halmazgyűrűről az általa generált σ-algebrára az azonosság igaz minden B ∈ σ(ξ_{t}, t ∈ T, η) halmazra.

5.) a.)

P (η_{1} = l_{1}, …, η_{k} = l_{k}) = P (ξ = l_{1} + ⋯ + l_{k})\frac{(l_{1} + ⋯ + l_{k})!}{l_{1}! ⋯ l_{k}!}p_{1}^{l_{1}} ⋯ p_{k}^{l_{k}}

= \frac{λ^{(l_{1}+···+l_{k})}}{l_{1}! ⋯ l_{k}!} p_{1}^{l_{1}} ⋯ p_{k}^{l_{k}}e^{−λ} = ∏_{j=1}^{k} \frac{(λp_{j})^{l_{j}}}{l_{j}!} e^{−λp_{j}}

tetszőleges l_{1} ≥ 0, …, l_{k} ≥ 0 egész számokra. Innen adódik az állítás.

b.) Legyen A_{k+1} = X \ ⋃_{j=1}^{k} A_{j}, p_{j} = μ_{j}(A_{j}), j = 1, …, k +1. Ekkor a feladat a.) része

szerint az egyes A_{j} halmazokba eső pontok száma egymástól független λμ(A_{j}) paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó.

c.) Tekintsük az X halmaznak egy particióját, mely rendelkezik a következő tulaj-

donságokkal: X = ⋃_{j=1}^{∞} X_{j}, az X_{j}, j = 1, 2, …, halmazok diszjunktak, μ(X_{j}) =

λ_{j} < ∞. Konstruáljunk a b.) feladat felhasználásával mindegyik X_{j} halmazon egy olyan pontrendszert (véletlen számú pontot dobva le μ(X_{j}) paraméterű Poisson eloszlással egymástól függetlenül úgy, hogy egy pont egy A_{j} ⊂ X_{j} halmazba \frac{μ(A_{j})}{μ(X_{j})} valószínűséggel essék), hogy egy A_{j} ⊂ X_{j} halmazba eső pontok száma legyen

μ(A_{j}), paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó, és diszjunkt halmazokba egymástól független számú pont essék. Legyenek a különböző X_{j} halmazokba eső pontok száma egymástól független. Mivel független Poisson eloszlású valószínűségi változók összege Poisson eloszlású, és az összeg paramétere egyenlő az összeadandók paraméterének az összegével, ezért az itt leírt konstrukcióban tetszőleges μ(A) < ∞ mértékű halmazba μ(A) paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó esik, és diszjunkt halmazokba eső pontok száma egymástól független. (Lássuk be, hogy végtelen sok független Poisson eloszlású valószínűségi változó összege is Poisson eloszlású, és az összeg paramétere megegyezik az összeadandók paraméterének az összegével, feltéve, hogy ez az összeg véges. Ennek bizonyításánál érdemes észrevenni, hogy ebben az esetben az összeg 1 valószínűséggel, ezért eloszlásban is konvergál.)

6.) A W (t) − tW (1), 0 ≤ t ≤ 1, folyamat független a W (1) valószínűségi változótól, mert korrelálatlanok, és a W (t_{j}) − t_{j}W (1), j = 1, …, k, és W (1) valószínűségi változók együttesen normális eloszlásúak tetszőleges k pozitív egész számra és 0 ≤ t_{1} < ⋯ < t_{k} ≤ 1 számokra. Ezért a W (t_{j}) = (W (t_{j}) − t_{j}W (1)) + t_{j}W (1), j = 1, …, k vektor feltételes eloszlása W (1) = x feltétel esetén megegyezik a W (t_{j}) − t_{j}W (1) + t_{j}x, j = 1, …, k vektor eloszlásával. Hogyan következik ez az állítás az első feladat többdimenziós változatából? Ily módon bebizonyítottuk a feladat első állítását. A feladat második, a folyamatokra vonatkozó állítása ekvivalens a következő két állítással: A C([0, 1]) tér tetszőleges (Borel) mérhető A halmazára és a számegyenes (Borel) mérhető B részhalmazára az F (u) = F_{A}(u) = P ({ω: (B_{0}(t, ω) + tu, 0 ≤ t ≤ 1) ∈ A}) függvény mérhető, és

∫_{u∈B} P ({ω: (B_{0}(t, ω) + tu, 0 ≤ t ≤ 1) ∈ A})φ(u) du
= P ({(ω: W (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1) ∈ A} ∩ {W (1) ∈ B}) ,

ahol B_{0}(·) a Brown bridge-t és φ(·) a standard normális sűrűségfüggvényt jelöli. A feladat első, már bizonyított feléből következik, hogy ez a két állítás igaz abban a speciális esetben, amikor A hengerhalmaz, azaz a következő alakú: A = {x(t), 0 ≤ t ≤ 1: x(·) ∈ C([0, 1]), x(t_{j}) ∈ B_{j}, j = 1, …, k} valamilyen pozitív egész k-ra, 0 ≤ t_{1} < ⋯ < t_{k} pontokra, és B_{j}, j = 1, …, k mérhető halmazokra. Az F_{A}(·) függvény mérhető, ha az A halmaz hengerhalmaz, és az olyan A halmazok, melyekre F_{A}(·) mérhető függvény, monoton halmazosztályt alkotnak, ezért az ilyen halmazok tartalmazzák a hengerhalmazok által generált legszűkebb σalgebrát, ami egybeesik a C([0.1]) tér Borel mérhető halmazaival. Annak érdekében, hogy belássuk azt, hogy a felírt azonosság igaz tetszőleges mérhető A halmazra, rögzítsünk egy Borel mérhető B halmazt a számegyenesen, és definiáljuk a μ_{1}(A) = ∫_{u∈B} P ({ω: (B_{0}(t, ω) + tu, 0 ≤ t ≤ 1) ∈ A})φ(u) du és μ_{2}(A) = P ({(ω: W (t, ω), 0 ≤ t ≤ 1) ∈ A} ∩ {W (1) ∈ B} halmazfüggvényeket. Mivel mind μ_{1} mind μ_{2} mérték a C([0, 1]) tér mérhető részhalmazain, és μ_{1}(A) = μ_{2}(A), ha A hengerhalmaz, ezért μ_{1} = μ_{2}, és ez a bizonyítandó azonosság.