\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\parindent=18pt
 
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\e{\varepsilon}
 
\noindent{\bf Feladatok:}\smallskip\noindent
Az els\H o k\'et feladatban a Koml\'os
J\'anos
el\H oad\'as\'aban szerepl\H o, az el\'agaz\'o fo\-lya\-ma\-tok\-r\'ol
sz\'ol\'o \'all\'\i{}t\'asok bizony\'\i{}t\'asa. Az els\H o feladatban
megadjuk az el\'agaz\'o folyamat kihal\'as\'anak a val\'osz\'\i{}n\H
us\'eg\'et. A m\'asodikban bizony\'\i{}tjuk azt az \'all\'\i{}t\'ast,
 hogy k\'et el\'agaz\'o folyamatnak Poisson
eloszl\'as\'u sz\"ulet\'essz\'ammal megegyezik a felt\'eteles
eloszl\'asa azon felt\'etel mellett, hogy a folyamat kihal, felt\'eve,
hogy a k\'et folyamatban szerepl\H o Poisson eloszl\'as param\'etere
k\"oz\"ott bizonyos rel\'aci\'o teljes\"ul. (Ez volt az az
\'all\'\i{}t\'as, melyr\H ol az el\H oad\'o megjegyezte, hogy
val\'osz\'\i{}n\H uleg sokan ismerik, de az irodalomban nem tal\'alta
meg.)
\smallskip Eml\'ekeztet\H o\"ul: Egy el\'agaz\'o folyamatban a kezdeti
null id\H opontban egy \H os \'el, akinek az egy id\H opntban v\'eletlen
(eg\'esz) sz\'am\'u ut\'oda sz\"uletik $F(x)$ eloszl\'assal. Legyen
$X_n$ az ut\'odok sz\'ama az $n$ id\H opontban. Ezek mindegyik\'enek
sz\"uletik v\'eletlen sz\'am\'u ut\'oda egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul
$F(x)$ eloszl\'assal az $n+1$ id\H opontban. Ezek sz\'am\'anak az
\"osszege az $n+1$ id\H opontban \'el\H o ut\'odok $X_{n+1}$ sz\'ama.
Azt mondjuk, hogy az el\'agaz\'o folyamat kihal az $n$ id\H opontig, ha
$X_n=0$. (Ekkor $X_m=0$ minden $m\ge n$-re.) Az el\'agaz\'o folyamatnak
a sz\"ulet\'essz\'ama Poisson eloszl\'as\'u $\lambda$ param\'eterrel,
ha az $F(x)$ eloszl\'as Poisson eloszl\'as\'u $\lambda$ param\'eterrel,
azaz egy $F(x)$ eloszl\'as\'u $\xi$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ora $P(\xi=n)=\dfrac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}$.
\item{1.)} Adva egy $\mu$ m\'ert\'ek a nem-negat\'\i{}v eg\'esz
sz\'amokon, melyre $\mu(n)=p_n$ defini\'aljuk az e m\'ert\'ekhez
tartoz\'o $H(x)=H_\mu(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty p_nx^n$
gener\'atorf\"uggv\'enyt. Legyen $G(x)$ az el\'agaz\'asi folyamat
definic\'oj\'aban szerepl\H o $F(x)$ eloszl\'as ($F(x)$ annak az
eloszl\'asa, hogy az egyes egyedeknek h\'any ut\'oda sz\"uletik)
\'altal meghat\'arozott m\'ert\'ek ge\-ne\-r\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'enye,
\'es $\mu_n$ az $n$ id\H opontban \'el\H o ut\'odok  $X_n$ sz\'am\'anak
az eloszl\'asa. L\'assuk be, hogy a $\mu_n$ m\'ert\'ek
ge\-ne\-r\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nye $G^{(n)}(x)$, a $G(x)$
f\"uggv\'eny $n$-ik iter\'aci\'oja, azaz $G^{(n)}(x)=\underbrace
{G(G(\cdots (G}_n(x)\cdots))$. L\'assuk be, hogy annak
val\'osz\'\i{}n\H us\'ege, hogy az el\'agaz\'o folyamat az $n$ id\H
opontig kihal $G^{(n)}(0)$. L\'assuk be, hogy $G(x)$ monoton, konvex
f\"uggv\'eny, $G(1)=1$, \'es $G'(1)=\nu$ egy $F(x)$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke. Annak
val\'osz\'\i{}n\H us\'ege, hogy az el\'agaz\'o folyamat kihal egyenl\H o  $\lim\limits_{n\to\infty}
G^{(n)}(0)$-val, ami a $G(x)=x$, $0\le x\le 1$, egyenlet kisebb
megold\'asa. Az el\'agaz\'o folyamat akkor \'es csak akkor hal ki egy
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel, ha $\nu\le1$.
 \item{2.)} Mutassuk meg, hogy egy el\'agaz\'o folyamat $\lambda$
param\'eter\H u Poisson eloszl\'as\'u sz\"u\-le\-t\'es\-sz\'am\-mal
Markov folyamat $p(j,k)=\dfrac{(j\lambda)^k}{k!}e^{-j\lambda}$
\'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eggel, ha $j\ge1$. Annak
val\'osz\'\i{}n\H us\'ege, hogy a folyamat az $n+1$ id\H opontban hal
ki, \'es az $r$ id\H opontban, $1\le r\le n$, $l_r\ge1$ sz\'am\'u ut\'od
\'el, $C(l_1,\dots,l_n)e^{-\lambda}(\lambda e^{-\lambda})
^{l_1+\cdots+l_n}$ al\-kal\-mas $C(l_1,\dots,l_n)$ sz\'ammal. Ez\'ert
annak a felt\'eteles val\'osz\'\i{}n\H us\'ege, hogy a folyamat az
$n+1$ id\H opontban kihal, \'es az $r$ id\H opontban $l_r\ge1$
sz\'am\'u ut\'od \'el, kifejezhet\H o, mint az $l_r$, $1\le r\le n$
\'es a $\lambda e^{-\lambda}$ sz\'amok f\"uggv\'enyek\'ent. Legyenek
$\lambda$ \'es $\varphi$ olyan val\'os sz\'amok, melyekre $\lambda
e^{-\lambda}=\varphi e^{-\varphi}$. Tekints\"uk az el\'agaz\'o
folyamatokat Poisson eloszl\'as\'u sz\"ulet\'essz\'ammal $\lambda$
illetve $\varphi$ param\'eterekkel.  L\'assuk be el\H osz\"or azt, hogy
a k\'et folyamat kihal\'asi idej\'enek a felt\'eteles eloszl\'asa azon
felt\'etel mellett, hogy a folyamat kihal megegyezik. L\'assuk be, hogy
enn\'el \'elesebb \'all\'\i{}t\'as is igaz. A k\'et folyamat
felt\'eteles eloszl\'asa megegyezik azon felt\'etel mellett, hogy a
folyamat kihal.
\medskip
A k\"ovetkez\H o k\'et feladatban egy a Beck J\'ozsef el\H oad\'as\'aban
javasolt feladatot, illetve egy ahhoz kapcsol\'od\'o \'all\'\i{}t\'ast
vizsg\'alunk. Legyen adva egy $x_n$, $0\le x_n\le1$, $n=1,2,\dots$,
sz\'amsorozat. Azt mondjuk, hogy ez az eloszl\'as egyenletes
eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumban, ha tetsz\H oleges $0\le a<b\le1$
sz\'amokra
$$
\lim_{n\to\infty}\frac 1n\#\{k\: 1\le k \le n,\; a\le x_k\le b\}\to
b-a\;,
$$
ahol $\#(A)$ jel\"oli az $A$ halmaz sz\'amoss\'ag\'at.
\item{3.)} Az $x_n$ sorozat akkor \'es csak akkor egyenletes
eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumban, ha minden $k$ eg\'esz sz\'amra,
$k\neq0$,
$$
\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{p=1}^n e^{2\pi ikx_p}=0\;.
$$
(Weyl lemma.)
\item{4.)} Ha $\alpha$ irracion\'alis sz\'am, akkor az
$n^2\alpha$~mod~(1), $n=1,2,\dots$, sorozat egyenletes eloszl\'as\'u a
$[0,1]$ intervallumban.
 
{\it Beck J\'ozsef \'altal javasolt seg\'\i{}ts\'eg:}\/ Azt kell
bel\'atni, hogy tetsz\H oleges $k\neq0$ eg\'esz sz\'amra
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n\sum\limits_{p=1}^ne^{2\pi ik\alpha
p^2}\to0$ vagy, ami ezzel ekvivalens:
$$
\align
I(k)=\lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^2}\left|\sum_{p=1}^ne^{2\pi ik\alpha
p^2}\right|^2&=\lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^2}\sum_{p=1}^n
\sum_{q=1}^ne^{2\pi ik\alpha(p^2-q^2)} \\
&=\lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^2}\sum_{p=1}^n
\sum_{q=1}^ne^{2\pi ik\alpha(p-q)(p+q)}=0
\endalign
$$
Vezess\"uk be a $p+q=r$ \'es $p-q=s$ \'uj v\'altoz\'okat, \'es
\"osszegezz\"unk el\H osz\"or a $r=p+q$ v\'altoz\'ora r\"ogz\'\i{}tett
$s=p-q$-ra, \'es becs\"ulj\"uk meg a
$J(k,s,n)=\dfrac1n\sum\limits_{r=s+2}^{2n-s}
e^{2\pi iks\alpha r}$ \"osszeget. Ez egy geometriai sor, amelyiket
\"osszegezve l\'atjuk, hogy a kifejez\'es r\"ogz\'\i{}tett $k$-ra \'es
$s$-re $n\to\infty$ eset\'en null\'ahoz tart. Pr\'ob\'aljuk meg ennek
alapj\'an megoldani a feladatot.
 
Tov\'abbi \'eszrev\'etelek: Ha a fenti \"osszegre $s$-ben egyenletes
konvergenci\'at tudn\'ank biztos\'\i{}tani, az el\'eg volna a feladat
megold\'as\'ahoz. Ezt azonban nem tudjuk, mert a geometriai \"osszegben
megjelenik az $1-e^{2\pi ks\alpha}$ nevez\H o. Ez\'ert a $J(k,s,n)$
kifejez\'esek term\'eszetes becsl\'ese alapj\'an nem mag\'at\'ol
\'ertet\"od\H o, hogy val\'oban $I(k)=0$. Hogyan birkozunk meg ezzel a
neh\'ezs\'eggel? Egy lehet\H os\'eg: Vegy\"uk \'eszre, hogy
$|J(k,n,s)|\le2$, \'es mivel a $ks\alpha$ sorozat egyenletes
eloszl\'as\'u (r\"ogz\'\i{}tett $k$-ra \'es $\alpha$-ra), azon $s$
sz\'amok, melyek eset\'en nem tudunk a $J(k,s,n)$ kifejez\'esre j\'o
becsl\'est adni ritk\'an vannak. Dolgozzuk ki a r\'eszleteket!
 
A 4. feladatnak nem trivi\'alis \'altal\'anos\'\i{}t\'asait is lehet
bizony\'\i{}tani. Igaz a k\"ovetkez\H o \'all\'\i{}t\'as: Ha az $x_n$,
$0\le x_n\le1$, sorozat olyan, hogy az $x_{n+s}-x_n$~mod~1,
$n=1,2,\dots$, sorozat minden r\"ogz\'\i{}tett $s$-re
egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumban, akkor az eredeti
$x_n$ sorozat is egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumban.
Ebb\H ol viszonylag egyszer\H u levezetni a k\"ovetkez\H o Weylt\H ol
sz\'armaz\'o eredm\'enyt: Legyen $P(x)$ egy polinom, melynek legal\'abb
az egyik egy\"utthat\'oja irracion\'alis. Ekkor az $x_n=P(n)$~mod~(1)
sorozat egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumban.
 
\bye