\magnification\magstep1\nopagenumbers
\hsize=16truecm
\centerline{A Bolyai Koll\'egium matematika szemin\'ariuma}
\centerline{John H. Conway ut\'an szabadon}
\bigskip
Legyen $L(H)$ a $H$ halmazban nem szerepl\H o legkisebb rendsz\'am.
($L(H)$ teh\'at a legkisebb term\'eszetes sz\'am, ami nincs $H$-ban, ha van
ilyen.)
Defini\'aljuk rekurzi\'oval a rendsz\'amokon (ter\-m\'e\-sze\-tes sz\'amokon) a
k\"ovetkez\H o szokatlan \"osszead\'ast \'es szorz\'ast:
$$a+b=L(\{a'+b|a'<a\}\cup\{a+b'|b'<b\})$$
$$ab=L(\{(a'b+ab')+a'b'|a'<a,b'<b\}).$$
 
\item{0.} L\'assuk be, hogy a fenti rekurziv definici\'o \'ertelmes.
\item{1.} Igazoljuk, hogy a rendsz\'amok (term\'eszetes sz\'amok) ezzel a k\'et
m\H uvelettel kommutat\'\i v testet alkotnak. (Tan\'acs: l\'assuk be, hogy a
definici\'okban az \"osszes $a'<a$ mellett tesz\H oleges $a'>a$ is
bevehet\H o. Reciprok l\'etez\'ese nehezebb, l\'asd 6. feladat.)
 
\item{2.} \'Irjuk le a m\H uveleteket a term\'eszetes sz\'amokon. Mik ennek a
testnek a r\'esztestei?
 
\item{3.} Igazoljuk, hogy $\omega$ algebrai a term\'eszetes sz\'amok felett.
Mi a minim\'alpolinomja? Mi az \'altala gener\'alt testb\H ov\'\i t\'es?
 
\item{4.} Igazoljuk, hogy \"osszes rendsz\'am algebrailag z\'art testet ad.
 
\item{5.} Mi a legkisebb algebrailag z\'art r\'esztest (azaz a pr\'\i mtest algebrai
lez\'artja)? Mi a ``k\"ovetkez\H o'' test?
 
\item{6.} Igazoljuk, hogy minden rendsz\'am a lehet\H o legegyszer\H ubben
b\H oviti a kisebb rend\-sz\'a\-mok \'altal adott (parci\'alisan defini\'alt)
algebrai strukt\'ur\'at. Mit is jelent ez? (Ennek pontos megfogalmaz\'asa
\'es igazol\'asa seg\'\i t n\'eh\'any el\H oz\H o feladatn\'al. Seg\'\i
ts\'eg: \"osszeg egyszer\H ubb a szorzatn\'al, az a reciprokn\'al, az az
algebrai b\H ov\'\i t\'esn\'el, ami egyszer\H ubb a transzcendens b\H ov\'\i
t\'esn\'el.)
 
\bigskip
Aki irt\'ozik a v\'egtelent\H ol \'es a rendsz\'amokt\'ol m\'eg mindig
megoldhatja a 1. \'es 2. feladatot (az el\H obbit term\'eszetes
sz\'amokra). Azoknak, akik nem irt\'oznak a a rendsz\'amokt\'ol, de m\'eg
nem tal\'alkoztak vel\"uk \'\i me egy heveny\'eszett bevezet\'es:
 
A rendsz\'amok a term\'eszetes sz\'amok sorozat\'anak folytat\'asa:
bevesz\"unk egy ``v\'eg\-te\-len nagy'' sz\'amot, $\omega$-t, majd egy ann\'al
is nagyobbat \'es \'\i gy tov\'abb egyes\'evel, minden kez\-d\H o\-sze\-let
ut\'an egy m\'eg nagyobbat hozz\'av\'eve. V\'egtelen sok l\'ep\'es ut\'an sem
\'allunk meg, csak akor, ha m\'ar ``nem alkotnak halmazt'' a bevett
rendsz\'amok. Ugyanez kiss\'e prec\'\i zebben:
 
Line\'aris rendez\'es egy tranzit\'\i v $<$ rel\'aci\'o egy alaphalmazon, hogy
$x=y$, $x<y$, $y<x$ k\"oz\"ul pont egy teljes\"ul. Ez j\'olrendez\'es, ha
minden nem \"ures r\'eszhalmazb\'ol van legkisebb, azaz nincs lesz\'all\'o
v\'egtelen l\'anc. K\'et j\'olrendez\'es ekvivalens,
ha az alaphalmazok k\"ozt rendez\'estart\'o bijekci\'o van. A rendsz\'amok
ezen ekvivalencia oszt\'alyai (ha ez \'ertelmes lenne), azaz
a j\'olrendez\'esek tipusai. Egy j\'olrendez\'es
egy kezd\H oszelete az egy elem\'en\'el kisebb elemek halmaza ugyanazzal
a rendez\'essel. Egy rendsz\'am kisebb egy m\'asikn\'al, ha
kezd\H oszelete. Ez j\'olrendezi a rendsz\'amokat (eltekintve att\'ol,
hogy azok nem alkotnak halmazt). \'Igy azt\'an m\H uk\"odik
r\'ajuk az indukci\'o: $(\forall\alpha((\forall\beta<\alpha\,\,T(\beta))
\rightarrow
T(\alpha)))\rightarrow\forall\alpha T(\alpha)$, \'es a rekurzi\'o, mint a
m\H uveletek fenti definici\'oja. (Ezeket transzfinit indukci\'onak \'es
rekurzi\'onak h\'\i vjuk.) A v\'eges rendsz\'amokat azonos\'\i tjuk az
alaphalmaz m\'eret\'evel, mert v\'eges halmazok csak egy f\'ele k\'eppen
j\'olrendezhet\H oek.
Megsz\'aml\'alhat\'o rendsz\'am  azonban m\'ar nagyon sok (nem
megsz\'aml\'alhat\'o) van. A legkisebb v\'egtelen rendsz\'amot h\'\i vjuk
$\omega$-nak.
 
\'Erdemes felfigyelni arra, hogy a test szok\'asos
definici\'oj\'aban szerepel a testelemek halmaza, a rendsz\'amok pedig
nem alkotnak halmazt. A test most egy oszt\'alyon van adva, \'\i gy a
m\H uveletek sem f\"uggv\'enyek, ez azonban semmilyen zavart nem okoz.
Ha valakit m\'egis zavar, akkor szor\'\i tkozzon a megsz\'aml\'alhat\'o
rendsz\'amokra.
 
\bye