\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\parindent=18pt
 
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\e{\varepsilon}
\define\limm{\lim\limits}
 
\noindent
{\bf Feladat: A h\'aromtest probl\'ema speci\'alis megold\'asai}
\bigskip
Arra vagyunk kiv\'ancsiak, hogy a bolyg\'o mozg\'asnak milyen egyszer\H u
egyens\'ulyi meg\-ol\-d\'a\-sai vannak h\'arom bolyg\'o eset\'en. Az
\'\i{}gy felmer\"ul\H o h\'arom-test probl\'ema \'altal\'aban nem
megoldhat\'o, de van \'erdekes egyszer\H u speci\'alis megold\'asa.
 
Tekints\"unk h\'arom pontszer\H u t\"omeget $m_1$, $m_2$ \'es
$m_3$ t\"omeggel, valamilyen kezd\H o sebess\'eggel, amelyek k\"oz\"ott a
gravit\'aci\'os k\"olcs\"onhat\'as m\H uk\"odik.
 
L\'assuk be, hogy nem lehet a h\'arom pontot \'ugy elhelyezni, hogy egy
inerciarendszerben helyben maradjanak. Ez az \'all\'\i{}t\'as nem
igaz\'an \'erdekes, de \'erdekes lehet, hogy a h\'arom-test
probl\'em\'anak l\'etezik a k\"ovetkez\H o speci\'alis megold\'asa:
 
A h\'arom pont egyenl\H ooldal\'u h\'aromsz\"oget alkot, amelyik
egyenletes sebess\'eggel forog a h\'arom pont \'altal kifesz\'\i{}tett
s\'\i{}kban e h\'arom (nem felt\'etlen\"ul egyforma t\"omeg\H u) pont
fizikai s\'ulypontja k\"or\"ul. Hat\'arozzuk meg a forg\'as
sebess\'eg\'et.
 
Ez az \'all\'\i{}t\'as azt jelenti, hogy a h\'arom pont egy helyben
\'all egy forg\'o koor\-din\'ata\-rend\-szer\-ben, \'es egy egyenl\H
ooldal\'u h\'aromsz\"oget fesz\'\i{}t ki. Bizony\'\i{}tsuk be, hogy ha
a h\'arom pont egy helyben \'all egy forg\'o
koor\-di\-n\'ata\-rend\-szer\-ben, \'es nincs egy egyenesen, akkor a
h\'arom pont szab\'alyos h\'aromsz\"oget alkot, melynek fizikai
s\'ulypontja a forg\'as tengelye.
 
L\'assuk be, hogy lehets\'eges olyan megold\'asa is a h\'arom-test
probl\'em\'anak, melyben a h\'arom pont egy egyenesen van, mely a
fizikai s\'ulypont k\"or\"ul egyenletes sebess\'eggel forog. De
ilyenkor a h\'arom pont \'altal meghat\'arozott szakaszok hossz\'anak
az ar\'anya f\"ugg a pontok t\"omeg\'et\H ol.
\bigskip
T\"ort\'eneti megjegyz\'es:
 
A h\'arom-test probl\'em\'anak itt ismertetett egyens\'ulyi
megold\'as\'at Lagrange tal\'alta meg el\H osz\"or. Az egy egyenesen
lev\H o megold\'as Eulert\H ol sz\'armazik. Lagrange \'ugy hitte, hogy
az \'altala tal\'alt megold\'as az \'egbolton nem figyelhet\H o meg.
J\'oval k\'es\H obb vett\'ek \'eszre a csillag\'aszok, hogy a Nap, a
Jupiter \'es az un.\ tr\'ojai bolyg\'ocsoport k\"ozel\'\i{}t\H oleg
egyenl\H ooldal\'u h\'aromsz\"oget alkot, teh\'at a Lagrange \'altal
tal\'alt megold\'as megval\'osul az \'egbolton.
 
Mivel ez egy k\"ozel\'\i{}t\H o megold\'as, amelyik m\'ar r\'eg
kialakult, \'es az\'ota sem robbant fel, azt v\'arjuk, hogy a Lagrange
f\'ele megold\'as stabil, azaz ha a kezdeti id\H opontban
be\'all\'\i{}tjuk ennek egy kis perturb\'aci\'oj\'at, mint kezdeti
felt\'etelt, akkor a trajekt\'oria \"or\"okk\'e ennek az egyens\'ulyi
\'allapotnak a k\"ozel\'eben marad. Ez az \'all\'\i{}t\'as be van
bizony\'\i{}tva, de a bizony\'\i{}t\'as neh\'ez. Az Euler f\'ele
megold\'as viszont instabil.
 
Egy k\"ul\"on lapon v\'azolom, hogyan lehet ezt a feladatot megoldani
egyszer\H uen bizonyos fizikai t\"orv\'enyszer\H us\'egeket
felhaszn\'alva.
\vfill\eject
 
A k\'\i{}v\'ant megold\'asnak olyannak kell lenni, hogy a h\'arom
bolyg\'o \'all egy a (fizikai) s\'ulypont k\"oz\'eppont\'u $\omega$
sz\"ogsebess\'eggel forg\'o kordin\'atarendszerben. Ez \'ugy
lehet\-s\'e\-ges, ha mindegyik bolyg\'ora a r\'ahat\'o er\H ok
\"osszege (figyelembe v\'eve az $m_i r_i\omega^2$ s\'ulypontba
mutat\'o centrifug\'alis er\H ot is) nulla. L\'assuk be, hogy a h\'arom
bolyg\'ora hat\'o er\H ok \"osszege nulla. (Az \'all\'\i{}t\'as nem
trivi\'alis r\'esze az, hogy a centrifug\'alis er\H ok \"osszege nulla,
ha a forg\'as k\"oz\'eppontja a h\'arom pontb\'ol \'all\'o rendszer
(fizikai) s\'ulypontja.) Ha a h\'arom pont szab\'alyos h\'aromsz\"oget
alkot, akkor az egyes bolyg\'okra hat\'o er\H ok a (fizikai)
s\'ulyvonal ir\'any\'aban hatnak. Ha az egyik bolyg\'ora hat\'o er\H ok
\"osszege nulla, akkor mind a h\'arom bolyg\'ora igaz ez. Hat\'arozzuk
meg az egyenl\H o oldal\'u h\'aromsz\"og alak\'u megold\'ast.
 
Mutassuk meg, hogy t\"omegvonz\'asi er\H ok csak \'ugy lehetnek
p\'arhuzamosak a cent\-ri\-fu\-g\'a\-lis er\H ok\-kel, ha a h\'arom
bolyg\'o vagy egyenl\H o oldal\'u h\'aromsz\"oget alkot vagy egy
egyenesen van. Oldjuk meg a feladatot.
 
Meg kell m\'eg tal\'alnunk a h\'arom egy forg\'o egyenesen lev\H o
pontokb\'ol \'all\'o megold\'ast. Ennek \'erdek\'eben vezess\"uk be a
k\"ovetkez\H o jel\H ol\'eseket. Legyen $x_1$, $x_2$ \'es $x_3$,
$x_1<x_2<x_3$, a h\'arom pont koordin\'at\'aja a (fizikai) s\'ulypont
k\"or\"ul forg\'o koordin\'atarendszerben, $x_3-x_1=a$, $x_2-x_1=\rho
a$, $x_3-x_2=\sigma a$, $\omega$ a forg\'as sz\"ogsebess\'ege \'es
$M=m_1+m_2+m_3$. Ekkor $0<\rho,\sigma<1$, $\rho+\sigma=1$, \'es
\'erv\'enyesek a k\"ovetkez\H o egyenletek:
$$
m_1 x_1+m_2 x_2+m_3 x_3=0,
$$
$$
\align
-m_1x_1\omega^2&=\frac{m_1m_2}{(x_1-x_2)^2}+\frac{m_1m_3}{(x_1-x_3)^2}\\
m_3x_3\omega^2&=\frac{m_2m_3}{(x_2-x_3)^2}+\frac{m_1m_3}{(x_1-x_3)^2}
\endalign
$$
Az utols\'o k\'et egyenletet \'at lehet \'\i{}rni \'\i{}gy:
$$
\align
\frac {m_2}{\rho^2 a^2}+\frac {m_3}{a^2}&=-x_1\omega^2=
\frac {a\omega^2}M (m_2\rho+m_3)\\
\frac {m_2}{\sigma^2 a^2}+\frac {m_1}{a^2}&=x_3\omega^2=
\frac {a\omega^2}M (m_1+m_2\sigma)
\endalign
$$
\'es innen
$$
\frac{\dfrac{m_2}{\sigma^2}+m_1}{m_2\sigma+m_1}=
\frac{\dfrac{m_2}{\rho^2}+m_3}{m_2\rho+m_3},\qquad \rho=1-\sigma.
$$
L\'assuk be az utols\'o egyenlet k\'et oldal\'anak monoton\'\i{}t\'asa
alapj\'an, hogy az egy\'ertelm\H uen megoldhat\'o $\rho$-ban,
$0<\rho<1$, \'es ez\'ert az eredeti feladat is egy\'ertelm\H uen
megoldhat\'o.
\vfill  \eject
 
 \noindent {\bf A k\'ettest probl\'ema megold\'asa:}\bigskip
A k\"ovetkez\H o feladatok c\'elja annak megmutat\'asa, hogy a
k\"oz\'episkol\'aban tanult fizika leford\'\i{}t\'asa a matematika
nyelv\'ere seg\'\i{}t a bolyg\'omozg\'ast le\'\i{}r\'o
differenci\'alegyenletek le\'\i{}r\'as\'aban. Azt\'an \'erdemes
megfogalmazni azokat az \'altal\'anos k\'erd\'eseket, melyek
vizs\-g\'a\-lata seg\'\i{}t mechanikai feladatok megold\'as\'aban. A
feladatokban csak a nap \'es a boly\-g\'ok k\"olcs\"onhat\'as\'at
vessz\"uk figyelembe, azaz a k\'ettest probl\'em\'aval foglalkozunk.
Teh\'at adva van k\'et pont, $\bold x^{1}(t)=(x_1^{1}(t),x_2^{1}(t),
x_3^{1}(t))$ \'es $\bold x^{2}(t)=(x_1^{2}(t),x_2^{2}(t),x_3^{2}(t))$ a
t\'erben, \'es ezek k\"oz\"ott a k\"olcs\"onhat\'as
$-\dfrac{\text{const.}}{r^2}$, $r=|\bold x^1-\bold x^2|$ nagys\'ag\'u
\'es a m\'asik pont ir\'any\'aba hat. Ebben az esetben a Newton
egyenletek a k\"ovetkez\H ok:
$$
\align
m_1\frac
{d^2\bold{x}^{1}(t)}{dt^2}&=\(\frac{C(x_1^{1}(t)-x_1^{2}(t))}
{|\bold x_1(t)-\bold x_2(t)|^3},
\frac {C(x_2^{1}(t)-x_2^{2}(t))}{|\bold x_1(t)-\bold x_2(t)|^3},
\frac {C(x_3^{1}(t)-x_3^{2}(t))}{|\bold x_1(t)-\bold x_2(t)|^3} \)\\
m_2\frac {d^2\bold x^2(t)}{dt^2}&=\(\frac
{C(x_1^{2}(t)-x_1^{1}(t))}{|\bold x_1(t)-\bold x_2(t)|^3},
\frac {C(x_2^{2}(t)-x_1^{1}(t))}{|\bold x_1(t)-\bold x_2(t)|^3}
\frac {C(x_3^{2}(t)-x_3^{1}(t))}{|\bold x_1(t)-\bold x_2(t)|^3}
\),
\endalign
$$
ahol $\bold x^1(t)=\(x^1_1(t),x^1_2(t),x^1_3(t)\)$ \'es
$\bold x^2(t)=\(x^2_1(t),x^2_2(t),x^2_3(t)\)$. L\'assuk el\H{o}sz\"or
azt be, hogy ez a k\'ettest probl\'ema k\'et egytest probl\'em\'av\'a
esik sz\'et, ha a a koordin\'atarendszer k\"oz\'eppontj\'at a
s\'ulypontba helyezz\"uk. Pontosabban
\item{1.)} Legyen
$$
\align
\bar {\bold x}^1&=\bold x^1-\frac{m_1\bold x^1+m_2\bold x^2}{m_1+m_2}\\
\bar {\bold x}^2&=\bold x^2-\frac{m_1\bold x^1+m_2\bold x^2}{m_1+m_2}.
\endalign
$$
Ekkor
$$
\frac {d^2\bar{\bold x}^{1}(t)}{dt^2}=\(\frac{\bar C\bar x_1^{1}(t)}
{|\bar{\bold x}^1(t)|^3}, \frac {\bar C\bar x_2^{1}(t)}{|\bar{\bold
x}^1(t)|^3}, \frac {\bar C\bar x_3^{1}(t)}{|\bar{\bold x}^1(t)|^3}\)
$$
alkalmas $\bar C$ sz\'ammal, ahol $\bar {\bold x}^1=(\bar x_1,\bar
x_2,\bar x_3)$. Tov\'abb\'a,
$$
\dfrac{d^2}{dt^2}\(m_1\bold x^1(t)+m_2\bold x^2(t)\)=0.
$$
\item{2.)} L\'assuk be az impulzusmomentum megmarad\'as
t\"orv\'eny\'et az 1. feladatban megadott differenci\'alegyenlet
megold\'as\'ara, azaz azt, hogy $\dfrac d{dt}\(\bar {\bold x}(t)\times
\dfrac d{dt}\bar{\bold x}(t)\)=0$. Mutassuk meg, hogy az
impulzusmomentum megmarad\'as t\"orv\'eny\'enek a k\"ovetkez\H{o}
geometriai interpret\'aci\'ot lehet adni. Legyen
$$
\align
S_{i,j}(s,t)&=\biggl\{\text{Az } (x_i^1(s),(x_i^2(s))\text{ \'es }
 (x_i^1(t),(x_i^2(t)) \text{ vektorok \'altal kifesz\'{\i}tett}\\
&\qquad\qquad\text{h\'aromsz\"og ter\"ulete} \biggr\}, \quad 1\le i,j\le
3,\;\; 0\le s,t<\infty.
\endalign
$$
Ekkor l\'etezik a $\limm_{s\to t}\dfrac {S_{i,j}(s,t)}{t-s}$ limesz,
\'es ez minden $0\le t<\infty$  param\'eterre ugyanaz a sz\'am.
Tekints\"uk azt a koordin\'atarendszert, melynek k\"oz\'eppontja a
s\'ulypont, \'es az $x^1$ \'es $x^2$ koordin\'at\'ak a
(transzform\'alt) feladat kezdeti felt\'eteleiben megadott hely \'es
sebess\'egkoordin\'at\'ekkal p\'arhuzamosak. L\'assuk be, hogy ebben a
koor\-di\-n\'ata\-rend\-szer\-ben az impulzusmomentum megmarad\'as
t\"orv\'enye a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'assal ekvivalens. Az
$\bar{\bold x}_1(t)$ pont p\'aly\'aja az $(x^1,x^2)$ koordin\'at\'ak
\'altal kifesz\'{\i}tett s\'{\i}kban van, \'es teljes\'{\i}ti Kepler
m\'asodik t\"orv\'eny\'et.
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} feladat tulajdonk\'eppen az eddigi eredm\'enyek
\"osszefoglal\'asa, illetve egy \'altal\'anosabb a fizika megmarad\'asi
t\"orv\'enyei seg\'{\i}ts\'eg\'evel szint\'en megoldhat\'o feladat
megfogalmaz\'asa. \medskip
\item{3.)} Mutassuk meg, hogy az $s=\dfrac{m_1\bold x^1(t)+
m_2\bold x^2(t)}{m_1+m_2}$ s\'ulypont egyenesvonal\'u egyenletes
mozg\'ast v\'egez, \'es a koordin\'atarendszert a s\'ulypontba
helyezve, a k\'ettest probl\'ema megold\'as\'ahoz a k\"ovetkez\H o
feladatot kell vizsg\'alni: $x\in R^2$, \'es
$$
\frac {d^2x(t)}{dt^2}=\text{grad}\, U(|x|),\qquad U(r)=\frac Cr\;.
$$
\bigskip \parindent=0pt
A k\"ovetkez\H okben \'altal\'anos $U(x)$ (s\'\i{}kbeli,
forg\'asszimmetrikus) potenci\'alf\"uggv\'enyt fogunk te\-kin\-teni.
C\'elunk az impulzusmomentum \'es az energiamegmarad\'as t\"orv\'eny
fel\-\'\i{}r\'a\-sa \'es a feladat megold\'asa e k\'et megmarad\'asi
t\"orv\'eny seg\'\i{}ts\'eg\'evel.
 
\'Irjuk fel a az $x=x(t)$ p\'aly\'aj\'at pol\'arkoordin\'ata
rendszerben. Legyen $e=e(t)$ az $x(t)$ vektorral p\'arhuzamos (\'es
egyir\'any\'u) $e_n=e_n(t)$ az $e$-re mer\H oleges (pozit\'\i{}v
ir\'anyban elforgatott) egys\'egvektor. Jel\"olje $\varphi=\varphi(t)$
az $x(t)$ vektor \'es az abszcissza egyenes \'altal k\"ozbez\'art
sz\"oget. Ekkor $x(t)=r(t)e(t)$, $r(t)=|x(t)|$. \parindent=18pt
\item{4.)} Mutassuk meg, hogy
$\dfrac{d e(t)}{dt}=\dfrac{d\varphi(t)}{dt}e_n(t)$,
$\dfrac{d e_n(t)}{dt}=-\dfrac{d\varphi(t)}{dt}e(t)$
$$
\frac {d^2x(t)}{dt^2}=\(\frac{d^2 r(t)}{dt^2}-r(t)\(\frac
{d\varphi(t)}{dt}\)^2\)e(t)+\(2\frac {d r(t)}{dt}\frac
{d\varphi(t)}{dt}+r(t)\frac{d^2\varphi(t)}{dt^2}\)e_n(t)
$$
\item{5.)} Mutassuk meg, hogy $M=r(t)^2\dfrac {d\varphi(t)}{dt}$
nem f\"ugg $t$-t\H ol. (Impulzusmomentum megmarad\'as t\"orv\'enye.)
\item{6.)} Mutassuk meg, hogy
$$
\align
0&=\frac{dr(t)}{dt}\(\frac{d^2r(t)}{dt^2}-r(t)
\(\frac {d\varphi(t)}{dt}\)^2-\left.\frac
{dU(r)}{dr}\right|_{r=r(t)}\)\\
&=\frac{d}{dt}\(\frac12\(\frac{dr(t)}{dt}\)^2
+\frac12\frac{M^2}{r(t)^2}-U(r(t))\)\;.
\endalign
$$
Ez\'ert
$K=\dfrac12\(\dfrac{dr(t)}{dt}\)^2+\dfrac12
\dfrac{M^2}{r(t)^2}-U(r(t))$ nem f\"ugg $t$-t\H ol.
\item{7.)} L\'assuk, hogy az utols\'o \"osszef\"ugg\'es az energia
megmarad\'as t\"orv\'enye. Mutassuk meg, hogy
$$
v^2(t)=\left|\frac{dx(t)}{dt}\right|^2=\(\frac{dr(t)}{dt}\)^2+r^2(t)
\(\frac{d\varphi(t)}{dt}\)^2=\(\frac{dr(t)}{dt}\)^2+\frac{M^2}{r^2(t)}.
$$
\item{8.)} Mutassuk meg a megmarad\'asi t\"orv\'enyek alapj\'an, hogy
$$
\align
\frac{d\varphi}{dr}&=\frac M{r^2\sqrt{2K+2U(r)-\dfrac{M^2}{r^2}}}\\
\frac{d\varphi}{dt}&=\frac M{r^2(\varphi)}
\endalign
$$
Oldjuk meg a k\'ettest probl\'em\'at.
 
\vfill\eject
 
\noindent
{\bf N\'eh\'any term\'eszetesen felvet\H{o}d\H{o} \'altal\'anos
matematikai probl\'ema, melyeket az el\H{o}bb t\'argyalt fizikai
k\'erd\'esek vetnek fel} \bigskip
 
\item{1.)} Hogyan tudjuk kihaszn\'alni a megmarad\'asi t\"orv\'enyeket?
B\'ar ebb\H ol a feladatsorb\'ol nem der\"ult ki, de az alaposan
kidolgozott elm\'elet megmutatja, hogy fontos k\'erd\'es az, hogy a
k\"ul\"onb\"oz\H o megmarad\'o mennyis\'egek Poisson z\'ar\'ojele
null\'aval egyenl\H o-e. Ezt is jobban meg kell \'erteni.
\item{2.)} Milyen jelent\H os\'ege van a mechanikai rendszer mozg\'as\'at
meghat\'aroz\'o Hamilton f\"uggv\'eny szimmetri\'ainak?
\item{3.)} Hogyan lehet a mechanikai probl\'em\'akat le\'\i{}r\'o
differenci\'alegyenleteket \'at\'\i{}rni mozg\'o koordin\'atarendszerbe?
Melyek a megengedett transzform\'aci\'ok \'es melyek ezek k\"oz\"ul a
leghasznosabbak?
\item{4.)} Mit lehet mondani a mechanika probl\'em\'ak
stabilit\'as\'ar\'ol? \'Erts\"uk meg, hogy periodikus p\'alya
stabilit\'as\'anak a vizsg\'alata l\'enyegesen m\'as (l\'enyegesen
nehezebb) probl\'ema, mint egy \'all\'o pont stabilit\'as\'anak a
vizsg\'alata.
\item{5.)} B\'ar ebben a feladatsorban nem mer\"ult fel, szint\'en
hasznos meg\'erteni a Hamilton--Jacobi \'es Euler--Lagrange egyenletek
(a mechanikai t\"orv\'enyek megfogalmaz\'asa optimum elvek alapj\'an)
kapcsolat\'at.
\item{6.)} Hogyan lehet jellemezni azokat a differenci\'alegyenleteket,
melyek a klasszikus me\-cha\-ni\-ka mozg\'asait \'{\i}rj\'ak le?
Pontosabban, a k\'erd\'es a k\"ovetkez\H{o}: A Hamilton--Jacobi
differenci\'alegyenletek a k\"ovetkez\H{o} alak\'uak:
$$
\align
\frac {dx_i}{dt}&=\frac{\partial H}{\partial p_i},\quad i=1,\dots,n, \\
\frac {dp_i}{dt}&=-\frac{\partial H}{\partial x_i},\quad i=1,\dots,n,
\endalign
$$
ahol $\bold x(t)=(x_1(t),\dots,x_n(t),p_1(t),\dots,p_n(t))$ a rendszer
le\'{\i}r\'o pont helye a a f\'a\-zis\-t\'er\-ben a $t$ id\H{o}pontban,
$(x_1,\dots,x_n)$ ennek a pontnak a hely \'es $(p_1,\dots,p_n)$ ennek a
pontnak az impulzus koordin\'at\'ai, a $H(\bold x,\bold p)$ (vagy
$H(\bold x,\bold p,t)$) a rendszer Hamilton f\"uggv\'enye. Mely
differenci\'alegyenletek jobboldala \'{\i}rhat\'o ilyen alakban
alkalmas $H$ Hamilton f\"uggv\'ennyel?  Mely differenci\'alegyenletek
\'{\i}rhat\'oak ilyen alakban megfelel\H{o}
koor\-di\-n\'a\-ta\-transz\-for\-m\'a\-ci\'o ut\'an?
 
 
\bye