 %%%%%%% Itt kezdodik a TeX file %%%%%%%%%%
 
 
\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\nopagenumbers
\define\oo{\omega}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
 
\centerline{\bf Feladatok}\medskip
 
 
Az els\H{o} k\'et feladatot V.I. Arnol'dnak a Magyar Tudom\'any
1998 okt\'oberi (10.) sz\'am\'aban az 1247--1251. oldalon Kersner
R\'obert ford\'{\i}t\'as\'aban megjelent ``A matematika
tan\'{\i}t\'as\'ar\'ol" c\'{\i}m\H{u} cikke motiv\'alta. \medskip
\item{1.} Milyen fel\"uletet \'{\i}r le a  $2xz=y^2$ egyenlet?
\item{2.} Egy az $ax^2+by^2+cz^2+dxy+f xz+gyz=0$ egyenlettel
meghat\'arozott m\'asodfok\'u polinom null-helyei \'altal
meghat\'arozott fel\"ulet mikor tartalmaz egyeneseket?
\item{3.} Ha k\'et egyforma \'atm\'er\H{o}j\H{u} goly\'o cs\'usz\'as
n\'elk\"ul legurul ugyanazon a lejt\'on, az egyik goly\'o t\"om\"or
homog\'en, a m\'asik bel\"ul \"ures, akkor melyik goly\'o
\'er le el\H{o}bb a lejt\H{o} alj\'ara?
\smallskip
Tekints\"uk az el\"oz\H{o} feladat k\"ovetkez\H{o}
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at
 \item{4.} Hogyan lehet kisz\'am\'{\i}tani azt, hogy egy goly\'o mennyi
id\H{o} alatt gurul le egy sima (de nem felt\'etlen\"ul \'alland\'o
sz\"og\H{u}) lejt\H{o}n? Hogyan lehet fel\'{\i}rni a megfelel\H{o}
diffe\-ren\-ci\'al\-egyen\-letet?
\medskip\item{} E feladat l\'enyeges r\'esze az, hogy egy cs\'usz\'as
n\'elk\"uli gurul\'as p\'aly\'aj\'at hogyan lehet \'at\'{\i}rni egy
\'all\'o koordin\'atarendszerbe, (egy inerciarendszerbe). Ez a tartalma
a k\"ovetkez\H{o} feladatnak.
\item{5.} Tekints\"uk egy $R$ sugar\'u k\"orlap $\oo(t)$
sz\"ogsebess\'eggel t\"ort\'en\H{o} cs\'usz\'as n\'elk\"uli
forg\'as\'at egy sima $y=a(x)$ egyenlettel defini\'alt lejt\H{o}n.
Azaz tekints\"unk egy olyan mozg\'ast, melyben a k\"orlap
$R\omega(t)\,dt$ utat tesz meg a lejt\H{o}n a $[t,t+dt]$
id\H{o}intervallumban, \'es ek\"ozben az \'erintkez\'esi pontja is
$\omega(t)\,dt$ sz\"oggel megy el\H{o}r\'ebb.
\item{} Mutassuk meg, hogy  a lejt\H{o} egy pontj\'ahoz
r\"ogz\'{\i}tve a koordin\'atarendszert a k\"orlap mozg\'asa
le\'{\i}rhat\'o a k\"ovetkez\H{o} m\'odon: A mozg\'as el\H{o}\'all,
mint a k\"or egy tetsz\H{o}legesen kijel\"olt pontj\'anak
valamilyen $v(x(t))$ sebess\'eggel val\'o mozg\'as\'anak \'es a
k\"ornek e pont k\"or\"uli  $\bar\omega(t)$ sz\"ogsebess\'eggel val\'o
forg\'as\'anak a szuperpozici\'oja. Ez a $\bar\omega(t)$
sz\"og\-se\-bes\-s\'eg nem f\"ugg att\'ol, hogy a k\"or melyik
pontj\'at jel\"olt\"uk ki. Mutassuk meg, hogy $\bar
\oo(t)=\oo(t)(1+R\rho(t))$, ahol $\rho(t)$ a lejt\H{o} g\"orb\"ulete a
k\"or \'es lejt\H{o} k\"oz\"otti \'erintkez\'esi pontban a $t$
id\H{o}pontban. Ha a k\"or k\"oz\'eppontj\'at jel\"olj\"uk ki, mint a
forg\'as k\"oz\'eppontj\'at a mozg\'as eme reprezent\'aci\'oj\'aban,
akkor e pont sebess\'eg\'enek nagys\'aga $(R+R^2\rho(t))\omega(t)$,
ir\'anya pedig p\'arhuzamos a lejt\H{o} \'erint\H{o}j\'evel az
\'erint\'esi pontban.
 
\bye
