%%%%%%% Itt kezdodik a TeX file %%%%%%%%%%
 
 
\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2pt
\define\e {\varepsilon}
%\nopagenumbers
 
\noindent
{\bf M\'ert\'ekelm\'eleti feladatok:}
\medskip\noindent
\item{0.)} L\'assuk be a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast: Ha $(X,\Cal
A)$ szepar\'abilis metrikus t\'er, $\mu$ v\'eges m\'ert\'ek az $(X,\Cal
A)$ t\'er Borel m\'erhet\H{o}  halmazain. Ekkor tetsz\H{o}leges $A$
Borel m\'erhet\H{o} halmazra, \'es $\e>0$ sz\'amra l\'etezik olyen $G$
ny\'{\i}lt halmaz, melyre $A\subset G$, \'es $\mu(G)<\mu(A)+\e$.
 
Term\'eszetesen felmer\"ul a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'es. Igaz-e a
fenti \'all\'{\i}t\'as megfelel\H{o}je olyan topol\'ogikus  terekben,
melyek nem metriz\'alhat\'oak? Ez a k\'erd\'es nehezebb. Egy
ellenp\'eld\'at fogunk megt\'argyalni a tov\'abbi feladatokban. Ezt a
p\'eld\'at Laczkovich Mik\-l\'os\-t\'ol tanultam. \medskip
\noindent
{\it A t\'argyaland\'o p\'elda:}\/ Legyen $\Omega$ az
\"osszes megsz\'aml\'alhat\'o rendsz\'amb\'ol \'es a legkisebb nem
megsz\'aml\'alhat\'o rendsz\'amb\'ol az $\omega_1$ rendsz\'amb\'ol
\'all\'o halmaz. Ha $\alpha$ \'es $\beta$ k\'et megsz\'aml\'alhat\'o
rendsz\'am, $\alpha<\beta$, akkor a $\{\gamma\:\alpha<\gamma<\beta\}$,
$\{\gamma\: \gamma>\alpha\}$ alak\'u halmazok ny\'{\i}ltak. Az \"osszes
ny\'{\i}lt halmaz az ezen halmazok uni\'oib\'ol \'all\'o halmazok.
(L\'assuk be, hogy ez a definici\'o jogos, e definici\'o
teljes\'{\i}ti a ny\'{\i}lt halmazrendszerekt\H{o}l elv\'art
tulajdons\'agokat.) Tekints\"uk a ny\'{\i}lt halmazok \'altal
gener\'alt Borel $\sigma$-algebr\'at. Ezen fogunk defini\'alni egy
0--1 m\'ert\'eket, azaz olyan $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyt
a Borel m\'erhet\H{o} halmazokon, melyre $\mu(A)=0$ vagy $\mu(A)=1$
minden Borel m\'erhet\H{o} halmazra.
 
Egy $F$ z\'art halmazt kofin\'alis z\'art halmaznak
nevez\"unk, ha minden megsz\'aml\'alhat\'o $\alpha$ rendsz\'amra
l\'etezik  $\beta\in F$ megsz\'aml\'alhat\'o  rendsz\'am, melyre
$\alpha<\beta$. Ha $F$ z\'art halmaz, akkor legyen $\mu(F)=1$, ha $F$
kofin\'alis z\'art halmaz, $\mu(F)=0$, ha $F$ nem kofin\'alis z\'art
halmaz. Bel\'atjuk, hogy ez a halmaz kiterjeszthet\H{o} egy 0--1
m\'ert\'ekk\'e az $\Omega$ t\'er Borel $\sigma$-algebr\'aj\'an. Ez a
p\'elda nem teljes\'{\i}ti az 1. feladat \'all\'{\i}t\'as\'at.
\medskip
 
A fent megfogalmazott \'all\'{\i}t\'ast bel\'atjuk a k\"ovetkez\H{o}
1--3 feladatban. Ezenk\'{\i}v\"ul a 4. feladatban bel\'atjuk, hogy a
fent defini\'alt topol\'ogikus t\'er kompakt:  \medskip
\item{1.)} Legyen $F$ az el\H{o}bb defini\'alt topol\'ogikus t\'er
z\'art r\'eszhalmaza. L\'assuk be, hogy ha $\alpha_t\in F$ bizonyos
$\alpha_t$ rendsz\'amokra, $t\in T$ tetsz\H{o}leges indexhalmaz, akkor
$\sup\limits_{t\in T}\alpha_t\in F$. L\'assuk be, hogy
megsz\'aml\'alhat\'o sok kofin\'alis z\'art halmaz metszete szint\'en
kofin\'alis z\'art halmaz.
\item{2.)} Adva egy $A\subset\Omega$ halmaz, jel\"olje $A^c$ e halmaz
komplementer\'et. L\'assuk be, hogy minden Borel m\'erhet\H{o} $A$
halmazra az $(A,A^c)$ halmazp\'ar egyik eleme tartalmaz egy kofin\'alis
z\'art halmazt, a m\'asik pedig nem. Legyen $\mu(A)=1$, ha $A$
tartalmaz egy kofin\'alis z\'art halmazt, $\mu(A)=0$, ha az $A$ halmaz
nem tartalmaz kofin\'alis z\'art halmazt.
\item{3.)} L\'assuk be, hogy $\mu(\{\omega_1\})=0$, \'es $\mu(G)=1$
minden olyan $G$ ny\'{\i}lt halmazra, melyre $\omega_1\in G$.
\item{4.)} L\'assuk be, hogy az el\H{o}bb defini\'alt topol\'ogikus
t\'er kompakt.
\bigskip A k\"ovetkez\H{o} feladatban egy \'erdekes, nem trivi\'alis
m\'ert\'ekelm\'eleti t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at t\'argyaljuk meg.
Ez a k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny: \medskip
\noindent{\bf Vitali--Hahn--Saks t\'etel.} {\it Legyen adva egy
$(\Omega, \Cal A)$ m\'ert\'ekt\'eren $\mu_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'er\-t\'e\-kek egy sorozata. Ha a
$\mu(A)=\lim\limits_{n\to\infty}\mu_n(A)$ limesz
l\'etezik minden $A\in\Cal A$ halmazra akkor a $\mu(A)$, $A\in \Cal A$
halmazf\"uggv\'eny is val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek.}
\medskip\noindent
Egy lehets\'eges bizony\'{\i}t\'as v\'azlata:
\medskip
\item{5.)} L\'assuk be, hogy el\'eg az \'all\'{\i}t\'ast el\'eg abban
a speci\'alis esetben bebizony\'{\i}tani, amikor $\Omega=\{1,2,\dots\}$,
$\Cal A=\text{a term\'eszetes sz\'amok \"osszes r\'eszhalmaza}$.
Tov\'abb\'a k\'e\-nyel\-me\-sebb t\'argyal\'as \'erdek\'eben
feltehetj\"uk, hogy van egy $\mu_0$ domin\'al\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek, $\mu_0(\{k\})=2^{-k}$,
$k=1,2,\dots$, \'es a tekintett $\mu_n$, $n=1,2,\dots$,
m\'ert\'eksorozat elemeinek l\'etezik $f_n$, $n=1,2,\dots$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk a $\mu_0$ m\'ert\'ek szerint. \medskip
{} Az \'all\'{\i}t\'as jobb meg\'ert\'ese \'erdek\'eben
tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'at: Legyen $\mu_n$ az a
m\'ert\'ek, melyre $\mu_n(\{j\})=\dfrac1n$, $1\le j\le n$. Mi\'ert nem
alkalmazhat\'o  a Vitali--Hahn--Saks t\'etel ebben az esetben? \medskip
\item{} A fenti p\'elda mutatja, hogy a Vitali--Hahn--Saks t\'etelben
nagyon fontos, hogy a limesz l\'etez\'es\'et {\it minden}\/
m\'erhet\H{o} halmaz eset\'eben feltett\"uk. Az ilyen feladatok
megold\'as\'aban hasznos a Baire f\'ele kateg\'oria t\'etel, mely a
k\"ovetkez\H{o}t \'all\'{\i}tja: Legyen $(X,\rho)$ teljes
szepar\'abilis metrikus t\'er, $F_k\subset X$, $k=1,2,\dots$, z\'art
halmazok, melyek uni\'oja a teljes $X$ t\'er, azaz
$\bigcup\limits_{k=1}^\infty F_k=X$. Ekkor l\'etezik olyan $F_k$,
melynek van bels\H{o} pontja. \medskip
\item{6.)} \'Alljon az $X$ a term\'eszetes sz\'amok
r\'eszhalmazaib\'ol, \'es legyen $\rho(A,B)=\mu_0(A\Delta
B)=\mu_0\left((A\cap B^c)\cup(A^c\cap B)\right)$,
$\mu_0(\{k\})=2^{-k}$, $k=1,2,\dots$. Ekkor $(X,\rho)$
teljes sze\-pa\-r\'a\-bi\-lis metrikus t\'er. Minden $\e>0$ \'es $N$
pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra a $C(\e,N)=\{A\:\sup\limits_{n,m\ge N}
|\mu_n(A)-\mu_m(A)|\le \e\}$ halmaz az $(X,\rho)$ t\'er z\'art
r\'eszhalmaza.
\item{7.)} Tudjuk, hogy ha teljes\"ulnek a Vitali--Hahn--Saks t\'etel
felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en
$\lim\limits_{n\to\infty}|\mu_n(A)-\mu(A)|=0$
a term\'eszetes sz\'amok minden $A$ r\'esz\-hal\-ma\-z\'a\-ra. L\'assuk
be, hogy $\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{A\text{
v\'eges halmaz}} |\mu_n(A)-\mu(A)|=0$.
\item{8.)} Tudjuk, hogy
$\lim\limits_{k\to\infty}\mu_n(\{k,k+1,\dots\}=0$ minden r\"ogz\'{\i}tett $n$
sz\'amra. L\'assuk be, hogy a Vitali--Hahn--Saks t\'etel felt\'eteleinek
teljes\"ul\'ese est\'en a
$$
\lim\limits_{k\to\infty}\sup\limits_{1\le
n<\infty} \mu_n(\{k,k+1,\dots\})=0
$$
rel\'aci\'o is igaz.
\item{9.)} Bizony\'{\i}tsuk be az Vitali--Hahn-Saks t\'etelt.
\item{10.)} Mutassunk p\'eld\'at olyan $\mu_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekekre \'es $\mu_0$
ha\-t\'ar\-m\'er\-t\'ek\-re a $[0,1]$ intervallumon, melyekre
$\lim\limits_n\mu_n(A)=\mu_0(A)$ minden Borel m\'erhet\H{o} $A$
halmazra, de a $\lim\limits_n\sup\limits_A|\mu_n(A)-\mu_0(A)|=0$
rel\'aci\'o nem teljes\"ul.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ L\'assuk be, hogy az $f_n(x)=1+\sin
nx$, $n=1,2,\dots$, $f_0(x)=1$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'ennyel
rendelkez\H{o} m\'ert\'ekek p\'eld\'at mutatnak erre.
 
 \bye