Mértékelméleti feladatok:

0.) Lássuk be a következő állítást: Ha (X, A) szeparábilis metrikus tér, μ véges mérték az (X, A) tér Borel mérhető halmazain. Ekkor tetszőleges A Borel mérhető halmazra, és ε > 0 számra létezik olyen G nyílt halmaz, melyre A ⊂ G, és μ(G) < μ(A) + ε. Természetesen felmerül a következő kérdés. Igaz-e a fenti állítás megfelelője olyan

topológikus terekben, melyek nem metrizálhatóak? Ez a kérdés nehezebb. Egy ellenpéldát fogunk megtárgyalni a további feladatokban. Ezt a példát Laczkovich Miklóstól tanultam.

A tárgyalandó példa: Legyen Ω az összes megszámlálható rendszámból és a legkisebb nem megszámlálható rendszámból az ω_{1} rendszámból álló halmaz. Ha α és β két megszámlálható rendszám, α < β, akkor a {γ: α < γ < β}, {γ: γ > α} alakú halmazok nyíltak. Az összes nyílt halmaz az ezen halmazok unióiból álló halmazok. (Lássuk be, hogy ez a definició jogos, e definició teljesíti a nyílt halmazrendszerektől elvárt tulajdonságokat.) Tekintsük a nyílt halmazok által generált Borel σ-algebrát. Ezen fogunk definiálni egy 0–1 mértéket, azaz olyan σ-additív halmazfüggvényt a Borel mérhető halmazokon, melyre μ(A) = 0 vagy μ(A) = 1 minden Borel mérhető halmazra.

Egy F zárt halmazt kofinális zárt halmaznak nevezünk, ha minden megszámlálható α rendszámra létezik β ∈ F megszámlálható rendszám, melyre α < β. Ha F zárt halmaz, akkor legyen μ(F) = 1, ha F kofinális zárt halmaz, μ(F) = 0, ha F nem kofinális zárt halmaz. Belátjuk, hogy ez a halmaz kiterjeszthető egy 0–1 mértékké az Ω tér Borel σ-algebráján. Ez a példa nem teljesíti az 1. feladat állítását.

A fent megfogalmazott állítást belátjuk a következő 1–3 feladatban. Ezenkívül a 4. feladatban belátjuk, hogy a fent definiált topológikus tér kompakt:

1.) Legyen F az előbb definiált topológikus tér zárt részhalmaza. Lássuk be, hogy ha α_{t} ∈ F bizonyos α_{t} rendszámokra, t ∈ T tetszőleges indexhalmaz, akkor sup_{t∈T} α_{t} ∈ F.

Lássuk be, hogy megszámlálható sok kofinális zárt halmaz metszete szintén kofinális zárt halmaz.

2.) Adva egy A ⊂ Ω halmaz, jelölje A^{c} e halmaz komplementerét. Lássuk be, hogy minden Borel mérhető A halmazra az (A, A^{c}) halmazpár egyik eleme tartalmaz egy kofinális zárt halmazt, a másik pedig nem. Legyen μ(A) = 1, ha A tartalmaz egy kofinális zárt halmazt, μ(A) = 0, ha az A halmaz nem tartalmaz kofinális zárt halmazt.

3.) Lássuk be, hogy μ({ω_{1}}) = 0, és μ(G) = 1 minden olyan G nyílt halmazra, melyre

ω_{1} ∈ G. 4.) Lássuk be, hogy az előbb definiált topológikus tér kompakt.

A következő feladatban egy érdekes, nem triviális mértékelméleti tétel bizonyítását tárgyaljuk meg. Ez a következő eredmény:

Vitali–Hahn–Saks tétel. Legyen adva egy (Ω, A) mértéktéren μ_{n} valószínűségi mértékek egy sorozata. Ha a μ(A) = lim_{n→∞} μ_{n}(A) limesz létezik minden A ∈ A halmazra akkor a μ(A), A ∈ A halmazfüggvény is valószínűségi mérték.

Egy lehetséges bizonyítás vázlata:

5.) Lássuk be, hogy elég az állítást elég abban a speciális esetben bebizonyítani, amikor Ω = {1, 2, … }, A = a természetes számok összes részhalmaza. Továbbá kényelmesebb tárgyalás érdekében feltehetjük, hogy van egy μ_{0} domináló valószínűségi mérték, μ_{0}({k}) = 2^{−k}, k = 1, 2, …, és a tekintett μ_{n}, n = 1, 2, …, mértéksorozat elemeinek létezik f_{n}, n = 1, 2, …, sűrűségfüggvényük a μ_{0} mérték szerint.

Az állítás jobb megértése érdekében tekintsük a következő példát: Legyen μ_{n} az a

mérték, melyre μ_{n}(\{j\}) = \frac{1}{n}, 1 ≤ j ≤ n. Miért nem alkalmazható a Vitali–Hahn–Saks tétel ebben az esetben?

A fenti példa mutatja, hogy a Vitali–Hahn–Saks tételben nagyon fontos, hogy a limesz létezését minden mérhető halmaz esetében feltettük. Az ilyen feladatok megoldásában hasznos a Baire féle kategória tétel, mely a következőt állítja: Legyen (X, ρ) teljes szeparábilis metrikus tér, F_{k} ⊂ X, k = 1, 2, …, zárt halmazok, melyek

uniója a teljes X tér, azaz ⋃_{k=1}^{∞} F_{k} = X. Ekkor létezik olyan F_{k}, melynek van belső

pontja.

6.) Álljon az X a természetes számok részhalmazaiból, és legyen ρ(A, B) = μ_{0}(AΔB) = μ_{0} ((A ∩ B^{c}) ∪ (A^{c} ∩ B)), μ_{0}({k}) = 2^{−k}, k = 1, 2, . . .. Ekkor (X, ρ) teljes szeparábilis metrikus tér. Minden ε > 0 és N pozitív egész számra a C(ε, N) = {A: sup_{n,m≥N} |μ_{n}(A) − μ_{m}(A)| ≤ ε} halmaz az (X, ρ) tér zárt részhalmaza.

7.) Tudjuk, hogy ha teljesülnek a Vitali–Hahn–Saks tétel feltételeinek teljesülése esetén lim_{n→∞} |μ_{n}(A) − μ(A)| = 0 a természetes számok minden A részhalmazára. Lássuk be, hogy lim_{n→∞} sup_{A véges halmaz} |μ_{n}(A) − μ(A)| = 0.

8.) Tudjuk, hogy lim_{k→∞} μ_{n}({k, k + 1, … } = 0 minden rögzített n számra. Lássuk be, hogy a Vitali–Hahn–Saks tétel feltételeinek teljesülése estén a

lim_{k→∞} sup_{1≤n<∞} μ_{n}({k, k + 1, … }) = 0

reláció is igaz. 9.) Bizonyítsuk be az Vitali–Hahn-Saks tételt. 10.) Mutassunk példát olyan μ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi mértékekre és μ_{0} határmér-

tékre a [0, 1] intervallumon, melyekre lim_{n} μ_{n}(A) = μ_{0}(A) minden Borel mérhető A halmazra, de a lim_{n} sup_{A} |μ_{n}(A) − μ_{0}(A)| = 0 reláció nem teljesül.

Segítség: Lássuk be, hogy az f_{n}(x) = 1 + sin nx, n = 1, 2, …, f_{0}(x) = 1 sűrűségfüggvénnyel rendelkező mértékek példát mutatnak erre.