 
 %%%%%%% Itt kezdodik a TeX file %%%%%%%%%%
 
\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\parindent=22pt
\nopagenumbers
\define\oo{\omega}
\centerline{\bf L\'{\i}ne\'aris algebra \'es funkcion\'al
anal\'{\i}zis} \bigskip
 
\item{1.)} Legyen $A$ \'es $B$ k\'et $n\times n$-es m\'atrix.
Bizony\'{\i}tsuk be, hogy
$$
\text{det\,}(I-AB)=\text{det\,}(I-BA).
$$
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}  Mi a kapcsolat az $AB$ \'es $BA$ m\'atrixok
Jordan f\'ele norm\'alalakja k\"oz\"ott?
\medskip
A tov\'abbi p\'eld\'ak seg\'{\i}ts\'eg\'evel a line\'aris algebra \'es
a Hilbert terek (sz\'ep) ope\-r\'a\-to\-rai\-ra vonatkoz\'o
spektr\'alt\'etel kapcsolat\'at igyeksz\"unk jobban meg\'erteni.
Tekints\"uk a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} p\'eld\'at: Legyen $(X,\Cal
A,\mu)$  egy m\'erhet\H{o} t\'er egy $\mu$ m\'ert\'ekkel. Tekints\"uk
az ezen a t\'eren n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek \'altal
meghat\'arozott $H$ Hilbert teret. Legyen to\-v\'ab\-b\'a adva egy $f$
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny ezen a m\'erhet\H{o} t\'eren, \'es legyen
$\bold B=\bold B_f$ az \'altala meghat\'arozott szorz\'as oper\'ator,
azaz legyen $\bold B g(x)=f(x)g(x)$, minden $x\in X$ pontra \'es $g\in
H$ f\"uggv\'enyre. Legyen adva egy $\bar H$ Hilbert t\'er \'es azon egy
$\bold A$ oper\'ator. Azt mondjuk, hogy ennek a $\bold A$ oper\'atornak
a $\bar H$ t\'eren megadjuk a spektr\'al el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at,
ha defini\'alunk egy $(X,\Cal A,\mu)$ m\'ert\'ekteret, az e t\'eren
defini\'alt n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek ter\'en egy
$f$ f\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel meghat\'arozott $\bold B=\bold
B_f$ szorz\'asoper\'atort tov\'abb\'a a $\bar H$ Hilbert t\'er olyan
izomorfi\'aj\'at a $H$ Hilbert t\'errel, mely az $\bold A$ oper\'atort
a $\bold B$ oper\'atorba viszi, azaz $\bold A u=\bold B(\bold T u)$
minden $u\in \bar H$ vektorra. (Az \'all\'{\i}t\'as azon r\'esze, hogy
minden $u\in \bar H$ pontot tekint\"unk nem korl\'atos oper\'atorok
eset\'eben pontatlan, de ett\H{o}l most ne zavartassuk magunkat.) B\'ar
ez a definici\'o csak az egyik lehets\'eges  definici\'oja oper\'atorok
spektr\'al el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'anak, j\'o \'erveket lehet felhozni
amellett, hogy \'erdemes ezt a definici\'ot vizsg\'alni.
\item{2a.)} Mutassuk meg, hogy v\'eges dimenzi\'os t\'erbeli
transzform\'aci\'o eset\'eben a spektr\'al el\H{o}\-\'all\'{\i}\-t\'as
ekvivalens a transzform\'aci\'o m\'atrix\'anak diagonaliz\'al\'as\'aval.
Pontosabban egy az $n$ dimenzi\'os t\'erben \'ertelmezett $\bold A$
oper\'ator diagonaliz\'al\'asa ekvivalens az $n$-dimenzi\'os t\'ernek
az $\bold A$ oper\'atorral egy\"utt a fenti \'ertelm\H{u}
izomorfi\'aj\'aval az $(X, \Cal A,\mu)$ t\'erbe egy alkalmas
szorz\'asoper\'atorral, ahol $X$ egy $n$ elem\H{u} halmaz, $\Cal A$ az
$X$ \"osszes r\'eszhalmaz\'anak $\sigma$-algebr\'aja \'es $\mu$ a
sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ek.
\item{2.)} Tekints\"uk az $(R^1,\Cal A,\lambda)$ t\'eren a
n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek ter\'et \'es ezen az
$i\dfrac{d}{dx}$ differenci\'aloper\'atort, ahol $R^1$ a sz\'amegyenes,
$\Cal A$ a Borel $\sigma$-algebra \'es $\lambda$ a Lebesgue
m\'ert\'ek.  (A differenci\'aloper\'ator \'ugy \'ertend\H{o}, hogy
azt term\'eszetes m\'odon defini\'aljuk a differenci\'alhat\'o
f\"uggv\'enyekre, \'es tekintj\"uk ennek a sz\'amunkra
legk\'enyelmesebb kiterjeszt\'es\'et. K\'enyelmi okokb\'ol
a differenci\'aloper\'atort beszoroztuk az $i=\sqrt{-1}$ sz\'ammal.)
Adjuk meg ennek az oper\'atornak a spektr\'al
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at. Konkr\'etabban: Adjuk meg az
$L_2\left(R^1,\Cal A,i\dfrac d{dx}\right)$ \'es az
$L_2\left(R^1,\Cal A,\bold A_x\right)$ rendszer
izo\-mor\-fi\-\'a\-j\'at, ahol $\bold A_x$ az $x$ f\"uggv\'ennyel
val\'o szorz\'as oper\'ator\'at jelenti.
\item{2b.)} Ki lehet-e terjeszteni az $i\dfrac{d}{dx}$ oper\'atort az
eg\'esz Hilbert t\'erre? \medskip
A k\"ovetkez\H{o} feladat a funkcion\'alanal\'{\i}zisben (\'es a
kvantummechanik\'aban) fontos szerepet j\'atsz\'o Stone t\'etel
h\'atter\'et k\'{\i}v\'anja elmagyar\'azni egy v\'eges dimenzi\'os
terekben kimondott \'all\'{\i}t\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Az
eml\'{\i}tett eredm\'eny a k\"ovetkez\H{o}: \medskip\noindent
{\bf Stone t\'etel.} {\it Legyen $\bold Q_t$, $t\ge 0$, unit\'er
oper\'atorok folytonos f\'elcsoportja egy sze\-pa\-r\'a\-bi\-lis
Hilbert t\'eren, azaz legyen $\bold Q_{s+t}=\bold Q_s\bold Q_t$, $\bold
Q_0=\bold I$, $\lim\limits_{t\to 0}\bold Q_t=\bold I$. Ekkor l\'etezik
olyan $\bold A$ \"onadjung\'alt oper\'ator, melyre $\bold Q_t=e^{it
\bold A}$, minden $t\ge0$-ra.}\medskip
Az \'all\'\i{}t\'as jobb meg\'ert\'ese \'erdek\'eben l\'assuk be annak
v\'eges dimenzi\'os analogonj\'at. \medskip
\item{3.)} Legyen $\bold R$ \'es $\bold S$ k\'et felcser\'elhet\H o
unit\'er $n\times n$-es m\'atrix, azaz legyen $\bold R\bold
S=\bold S \bold R$. Jel\"olje $\bold P_\lambda$ az ortogon\'alis
vet\'\i{}t\'est az $\bold R-\lambda\bold I$ \'es  $\bold Q_\mu$ az
ortogon\'alis vet\'\i{}t\'est a $\bold S-\mu\bold I$ m\'atrix
magter\'ere. L\'assuk be, hogy $\bold P_\lambda$ \'es  $\bold Q_\mu$ is
felcser\'elhet\H o.
\itemitem{a.)} Legyen $\bold R_t$, $t\in\bold T$, felcser\'elhet\H o
$n\times n$-es unit\'er m\'atrixok egy rendszere. Akkor ezeknek
l\'etezik szimult\'an diagoniz\'al\'asa, azaz olyan $\bold U$ unit\'er
transzform\'aci\'o, melyre $\bold R_t=\bold U\Lambda_t\bold U^*$ minden
$t\in\bold T$-re, \'es $\Lambda _t$ diagon\'alis m\'atrix (egy abszolut
\'ert\'ek\H u elemekkel a f\H o\'atl\'oban).
\itemitem{b.)} Ha $\bold R_t$, $t\ge0$, unit\'er $n\times n$-es
m\'atrixok folytonos f\'elcsoportja, azaz $\bold R_s\bold R_t=\bold
R_{s+t}$ \'es $\lim\limits_{t\to0}\bold R_t=\bold I$, akkor e
m\'atrixok fel\'\i{}rhat\'oak $\bold R_t=e^{it\bold A}$ alakban, ahol
$\bold A$ $n\times n$-es \"onadjung\'alt m\'atrix.
\item{}{\it Seg\'\i{}ts\'eg:}\/ \'Irjuk fel az $n$ dimenzi\'os teret
$R^n=\text{Ker}\,(\bold R-\lambda\bold I)+\text{Im}\,(\bold
R-\lambda\bold I)$ alakban, \'es vegy\"uk \'eszre, hogy $u\in
\text{Ker}\,(\bold R-\lambda\bold I)$-b\'ol ($u\in\text{Im}\,(\bold
R-\lambda\bold I)$-b\'ol) k\"ovetkezik, hogy $\bold
Su\in\text{Ker}\,(\bold R-\lambda\bold I)$ ($\bold
Su\in\text{Im}\,(\bold R-\lambda\bold I)$).
 
\bye
