Líneáris algebra és funkcionál analízis

1.) Legyen A és B két n × n-es mátrix. Bizonyítsuk be, hogy

det (I − AB) = det (I − BA).

Segítség: Mi a kapcsolat az AB és BA mátrixok Jordan féle normálalakja között?

A további példák segítségével a lineáris algebra és a Hilbert terek (szép) operátoraira vonatkozó spektráltétel kapcsolatát igyekszünk jobban megérteni. Tekintsük a következő példát: Legyen (X, A, μ) egy mérhető tér egy μ mértékkel. Tekintsük az ezen a téren négyzetesen integrálható függvények által meghatározott H Hilbert teret. Legyen továbbá adva egy f mérhető függvény ezen a mérhető téren, és legyen B = B_{f} az általa meghatározott szorzás operátor, azaz legyen Bg(x) = f(x)g(x), minden x ∈ X pontra és g ∈ H függvényre. Legyen adva egy H̄ Hilbert tér és azon egy A operátor. Azt mondjuk, hogy ennek a A operátornak a H̄ téren megadjuk a spektrál előállítását, ha definiálunk egy (X, A, μ) mértékteret, az e téren definiált négyzetesen integrálható függvények terén egy f függvény segítségével meghatározott B = B_{f} szorzásoperátort továbbá a H̄ Hilbert tér olyan izomorfiáját a H Hilbert térrel, mely az A operátort a B operátorba viszi, azaz Au = B(Tu) minden u ∈ H̄ vektorra. (Az állítás azon része, hogy minden u ∈ H̄ pontot tekintünk nem korlátos operátorok esetében pontatlan, de ettől most ne zavartassuk magunkat.) Bár ez a definició csak az egyik lehetséges definiciója operátorok spektrál előállításának, jó érveket lehet felhozni amellett, hogy érdemes ezt a definiciót vizsgálni.

2a.) Mutassuk meg, hogy véges dimenziós térbeli transzformáció esetében a spektrál előállítás ekvivalens a transzformáció mátrixának diagonalizálásával. Pontosabban egy az n dimenziós térben értelmezett A operátor diagonalizálása ekvivalens az ndimenziós térnek az A operátorral együtt a fenti értelmű izomorfiájával az (X, A, μ) térbe egy alkalmas szorzásoperátorral, ahol X egy n elemű halmaz, A az X összes részhalmazának σ-algebrája és μ a számláló mérték.

2.) Tekintsük az (R^{1}, A, λ) téren a négyzetesen integrálható függvények terét és ezen

az i\frac{d}{dx} differenciáloperátort, ahol R^{1} a számegyenes, A a Borel σ-algebra és λ a Lebesgue mérték. (A differenciáloperátor úgy értendő, hogy azt természetes módon definiáljuk a differenciálható függvényekre, és tekintjük ennek a számunkra legkényelmesebb kiterjesztését. Kényelmi okokból a differenciáloperátort beszoroztuk az i = \sqrt{−1} számmal.) Adjuk meg ennek az operátornak a spektrál előállítását.

Konkrétabban: Adjuk meg az L_{2} (R^{1}, A, i\frac{d}{dx}) és az L_{2} (R^{1}, A, A_{x}) rendszer izo-

morfiáját, ahol A_{x} az x függvénnyel való szorzás operátorát jelenti.

2b.) Ki lehet-e terjeszteni az i\frac{d}{dx} operátort az egész Hilbert térre?

A következő feladat a funkcionálanalízisben (és a kvantummechanikában) fontos szerepet játszó Stone tétel hátterét kívánja elmagyarázni egy véges dimenziós terekben kimondott állítás segítségével. Az említett eredmény a következő:

Stone tétel. Legyen Q_{t}, t ≥ 0, unitér operátorok folytonos félcsoportja egy szeparábilis Hilbert téren, azaz legyen Q_{s+t} = Q_{s}Q_{t}, Q_{0} = I, lim_{t→0} Q_{t} = I. Ekkor létezik olyan A

önadjungált operátor, melyre Q_{t} = e^{itA}, minden t ≥ 0-ra.

Az állítás jobb megértése érdekében lássuk be annak véges dimenziós analogonját.

3.) Legyen R és S két felcserélhető unitér n × n-es mátrix, azaz legyen RS = SR. Jelölje P_{λ} az ortogonális vetítést az R − λI és Q_{μ} az ortogonális vetítést a S − μI mátrix magterére. Lássuk be, hogy P_{λ} és Q_{μ} is felcserélhető.

a.) Legyen R_{t}, t ∈ T, felcserélhető n×n-es unitér mátrixok egy rendszere. Akkor ezeknek létezik szimultán diagonizálása, azaz olyan U unitér transzformáció, melyre R_{t} = UΛ_{t}U^{∗} minden t ∈ T-re, és Λ_{t} diagonális mátrix (egy abszolut értékű elemekkel a főátlóban).

b.) Ha R_{t}, t ≥ 0, unitér n × n-es mátrixok folytonos félcsoportja, azaz R_{s}R_{t} = R_{s+t} és lim_{t→0} R_{t} = I, akkor e mátrixok felírhatóak R_{t} = e^{itA} alakban, ahol A n × n-es önadjungált mátrix.

Segítség: Írjuk fel az n dimenziós teret R^{n} = Ker (R − λI) + Im (R − λI) alakban, és vegyük észre, hogy u ∈ Ker (R − λI)-ból (u ∈ Im (R − λI)-ból) következik, hogy Su ∈ Ker (R − λI) (Su ∈ Im (R − λI)).