\magnification=\magstep1
\nopagenumbers
\input amstex
\hsize=16truecm
\parindent=0pt
\parskip=5pt
 
\define\tr{\text{Tr}\,}
\define \A{\bold A}
\define \BB{\bold B}
\define \U{\bold U}
\define \e{\varepsilon}
 
\parindent=16pt
\noindent
{\bf Line\'aris algebra feladatok:}
\bigskip
\item{1.} Bizony\'\i{}tsuk be, hogy tetsz\H oleges $\A$ $n\times n$-es
m\'atrix
fel\'\i{}rhat\'o a k\"ovetkez\H o ``pol\'ar ko\-ordin\'at\'as alakban":
$\A=\BB_1\U_1$ vagy
$\A=\U_2\BB_2$, ahol $\BB_1$, $\BB_2$ szimmetrikus pozit\'\i{}v
(szemi)definit m\'atrixok, $\U_1$ \'es $\U_2$ unit\'er m\'atrixok. A
$\BB_1$ \'es $\BB_2$
m\'atrixok egy\'ertelm\H uen meghat\'arozottak.
\smallskip\item{2.}
Legyen $\A$ $n\times n$-es m\'atrix. Ekkor
$\sup\limits_{\U\text{ unit\'er m\'atrix}}\tr \A\U=\tr \A\U_0^*$, ahol
$\A=\BB\U_0$ az $\A$ m\'atrix pol\'ar felbont\'asa.
\smallskip\item{3.}
Legyen $\A=(a_{i,j})$ \'es $\BB=(b_{i,j})$,  $1\le i, j\le n$, k\'et
$n\times
n$-es m\'atrix. Defini\'aljuk k\"oz\"ott\"uk a k\"ovetkez\H o
m\H uveletet:
$\A\circ\BB=(a_{i,j}b_{i,j})$, $1\le i, j\le n$. Bizony\'\i{}tsuk
be, hogy
ha $\A$ \'es $\BB$ szimmetrikus, pozit\'\i{}v definit m\'atrixok, akkor
$\A\circ\BB$ is az.
\smallskip\item{4.}
Legyenek $\A_1$, \dots, $\A_k$ $n\times n$-es szimmetrikus
pozit\'\i{}v definit m\'atrixok,
\'es legyenek az $\A_j$, $j=1\dots,k$, m\'atrix saj\'at\'ert\'ekei
monoton sorrendben $0\le\lambda_1^{(j)}\le
\lambda_2^{(j)}\le\dots\le\lambda_n^{(j)}$. Legyenek
$\BB_0$, $\BB_1$,\dots,
$\BB_k$, $n\times n$-es m\'atrixok, melyeknek a norm\'aja kisebb
vagy egyenl\H o 1. Bizony\'\i{}tsuk be, hogy
$$
|\tr\BB_0\A_1\BB_1\cdots\A_k\BB_k|\le\sum_{p=1}^n\lambda^{(p)}_1
\lambda^{(p)}_2\cdots\lambda^{(p)}_k.
$$
Ennek az egyenl\H otlens\'egnek a seg\'\i{}ts\'eg\'evel
bizony\'\i{}tsuk be a k\"ovetkez\H o
``H\"older egyen\-l\H ot\-len\-s\'e\-get" m\'atrixokra:
$$
|\tr \A_1\cdots\A_k|\le \prod_{m=1}^k
\left( \tr |\A_m|^{p_m}\right)^{1/p_m},
$$
ahol $\A_m=|\A_m|\U_m$ pol\'ar felbont\'as defini\'alja az
$|\A_m|$ m\'atrixot,
(mindegy, hogy a bal vagy jobboldali pol\'ar felbont\'ast
tekintj\"uk), \'es
$p_m$, $m=1,\dots, k$, eg\'esz sz\'amok, melyek teljes\'\i{}tik a
$\sum\limits_{m=1}^k \dfrac1{p_m}=1$ rel\'aci\'ot.
\smallskip\item{5.}
Legyen $\A$ \'es $\BB$ k\'et szimmetrikus $n\times n$-es m\'atrix,
melyekre
$\A\ge \BB$, azaz $(\A x,x)\ge (\BB x,x)$ minden $x\in \bold R^n$-re.
Bizony\'\i{}tsuk be, hogy az $\A$ \'es $\BB$ m\'atrixok $\lambda_1\le
\lambda_2\le
\cdots \le\lambda_n$, $\mu_1\le\mu_2\le \dots\le \mu_n$
saj\'at\'ert\'ekei
teljes\'\i{}tik a $\lambda_j\ge\mu_j$, $j=1,2,\dots, n$ rel\'aci\'ot.
\smallskip\item{6.}
Legyen $\A$ egy $n\times n$-es szimmetrikus m\'atrix $\bold s_1$, \dots,
$\bold s_n$ saj\'atvektorokkal \'es $\lambda_1$,\dots, $\lambda_n$
saj\'at\'ert\'ekekkel. Legyen $\BB$ egy m\'asik $n\times n$-es
szimmetrikus
m\'atrix. Tegy\"uk fel, hogy az $\A$ m\'atrix saj\'at\'ert\'ekei
k\"ul\"onb\"oz\H oek.
Bizony\'\i{}tsuk be, hogy a perturb\'alt m\'atrix $\A(\e)=\A+\e\BB$
$\bold s_j(\e)$ saj\'atvektorai \'es  $\lambda_j(\e)$ saj\'at\'ert\'ekei,
$j=1,\dots,n$ teljes\'\i{}tik a
$$
\align
\bold s_j(\e)&=\bold s_j+\e\bold t_j+O(\e^2) \\
\bold \lambda_j(\e)&=\lambda_j +\e\mu_j+O(\e^2)
\endalign
$$
rel\'aci\'ot. Sz\'am\'\i{}tsuk ki az $\bold t_j$ vektorokat \'es
$\mu_j$ sz\'amokat a
fenti k\'epletben. Mit lehet mondani abban esetben, amikor az $\A$
m\'atrixnak t\"obbsz\"or\"os saj\'at\'ert\'eke van?
\vfill \eject \noindent
{\it Hasznos \'eszrev\'etelek a feladatok megold\'as\'ahoz:}
\medskip
\item{1.} Ha $\A=\BB_1\U_1$ akkor $\A\A^*=\BB_1^2$. Hat\'arozzuk meg a
$\BB_i$ m\'atrixokat ezen \'eszrev\'etel seg\'\i{}ts\'eg\'evel.
\medskip\item{2.}
L\'assuk be, hogy ha $\BB$ pozit\'\i{}v definit szimmetrikus, \'es
$\U$ unit\'er
m\'atrix, akkor $\tr \BB\U\allowmathbreak\le\tr \BB$. (K\'es\H obbi
alkalmaz\'asok c\'elj\'ab\'ol
l\'assuk be, hogy az \'all\'\i{}t\'as akkor is igaz, ha $\|\U\|\le1$,
de $\U$ nem felt\'etlen\"ul unit\'er m\'atrix.)
\medskip\item{3.}
L\'assuk be, hogy $\A=\sum\lambda_j \bold s_j\circ\bold s_j^*$ alakba
\'\i{}rhat\'o, ahol $\bold s_j$ \'es $\lambda_j$ az $\A$ m\'atrix
saj\'at\-vek\-to\-rai \'es saj\'at\-\'er\-t\'e\-kei. Bizony\'\i{}tsuk
be az \'all\'\i{}t\'ast az $\A$ \'es $\BB$ m\'atrixok ilyen
rep\-re\-zen\-t\'a\-ci\'o\-ja seg\'\i{}ts\'eg\'evel.
\medskip\item{4.}
L\'assuk be az \'all\'\i{}t\'ast abban a speci\'alis esetben,
amikor $\A_j=\bold P^{(j)}$ egy projekci\'o. (Ebben az esetben azt kell
bel\'atni, hogy az egyenl\H otlens\'eg baloldala kisebb, mint
$\min\limits_j\text{rank}\,\bold P^{(j)}$.) L\'assuk be az \'altal\'anos
esetet az
$\A_j$ m\'atrixot a k\"ovetkez\H o alakban fel\'\i{}rva:
$\A_j=\sum\limits_{m=0}^{n-1}
(\lambda^{(j)}_{m+1}-\lambda^{(j)}_m)\bold P^{(j)}_m$, ahol
$\bold P^{(j)}_m$ a
projekci\'o az $\A_j$ m\'atrixnak a $\lambda_m^{(j)}$
saj\'at\'ert\'ekekn\'el kisebb
saj\'at\'ert\'ek\H u saj\'atvektorok \'altal kifesz\'\i{}tett alt\'erre.
\medskip\item{5.}
Az, hogy $\lambda_n\ge \mu_n$  azonnal k\"ovetkezik a
$\lambda_n=\sup(\A x,x)$ \'es $\mu_n=\sup(\BB x,x)$ rel\'aci\'okb\'ol. Az
\'altal\'anos eset bizony\'\i{}t\'as\'ahoz l\'assuk be a felhaszn\'alt
eredm\'eny k\"ovetkez\H o
mini-max \'altal\'anos\'\i{}t\'as\'at: $\lambda_{k}=\max\limits_{x\in \bar
R^k}\min\limits_{\bar R_k\in\Cal R^k} (\A x,x)$, ahol $\Cal R^k$
jel\H oli $R^n$ \"osszes $k$-dimenzi\'os alter\'enek a halmaz\'at.
%Mell\'ekfeladat: Hogyan \'altal\'anos\'\i{}that\'o a fenti mini-max elv
%nem szimmetrikus m\'atrixok eset\'ere?
\medskip\item{6.}
Koordin\'ata transzform\'aci\'oval el\'erhetj\"uk, hogy az $\A$ m\'atrix
megegyezik
a $\bold\Lambda=(\lambda_{j,k})$, $\lambda_{j,k}=\delta_{j,k}\lambda_j$
diagon\'alis m\'atrixszal, \'es $\bold s_k=\bold e_k$ a $k$-ik
egys\'egvektorral. Tekints\"uk a transzform\'alt feladatot. Legyen
$\BB=(b_{j,k})$, a keresett $\bold t_k$ vektor $(t_{j,k},\;1\le j\le
n)$. Ekkor az $(\bold s_k+\e\bold
t_k)(\bold\Lambda+\e\BB)=(\lambda_k+\e\mu_k)(\bold s_k+\e\bold t_k)$
egyenletben az $\e$ egy\"utthat\'o vizsg\'alata a k\"ovetkez\H o
egyenletet adja:
$$
\bold t_k(\lambda_k\bold I-\bold \Lambda)=\bold e_k(\bold B-\mu_k\bold
I).
$$
Innen $t_{j,k}=\dfrac{b_{k,j}}{\lambda_k-\lambda_j}$, ha $j\neq k$,
$\mu_k=b_{k,k}$. V\'alasszuk a $t_{k,k}$ koordin\'at\'at $t_{k,k}=0$-nak, ami
a saj\'atvektor valamilyen norm\'al\'as\'at jelenti. (Mi\'ert van
szabads\'agunk
ennek a koordin\'at\'anak a megv\'alaszt\'as\'aban?) Be kell
l\'atni, hogy az \'\i{}gy kapott becsl\'es helyes, \'es nem csup\'an
form\'alis k\"ozel\'\i{}t\'es.
 
\smallskip\item{}
Abban az esetben, ha saj\'at\'ert\'ekek nem mind k\"ul\"onb\"oz\H oek,
tekints\"uk azt
a speci\'alis esetet, amikor $\lambda_1=\lambda_2$, \'es
$\lambda_j\neq\lambda_i$, ha $j\neq i$ \'es $j\ge2$. Ekkor az
$\A=\bold \Lambda$
m\'atrix $\bold s_1$ \'es $\bold s_2$ saj\'atvektorai
helyettes\'\i{}thet\H oek b\'armely
$\bold s_1'=\alpha\bold s_1+\beta\bold s_2$ \'es
$\bold s_2'=\beta\bold s_1-\alpha\bold s_2$, $\alpha^2+\beta^2=1$,
ortogon\'alis vektorokkal. Az $\alpha$ \'es $\beta$ sz\'amok
megv\'alasztht\'ok \'ugy, hogy a
$\BB$ m\'atrix megszor\'\i{}t\'as\'anak a $\bold s_1$
\'es $\bold s_2$ vektorok
\'altal kifesz\'\i{}tett alt\'erre $\bold s_1'$ \'es
$\bold s_2'$ saj\'atvektorai.
m\'atrix. Jel\H olj\"uk e m\'atrix saj\'at\'ert\'ekeit
$m_1$ \'es $m_2$-vel. Ekkor a k\"ul\"onb\"oz\H o
saj\'at\'ert\'ekek eset\'en t\'argyalt
egyenlet adja meg a saj\'atvektorok \'es saj\'at\'ert\'ekek
els\H orend\H u k\"ozel\'\i{}t\'es\'et.
A k\"ul\"onbs\'eg a megold\'asban az, hogy most
$\bold s_i(\e)=\bold s_i$,
$\mu_i(\e)=m_i$, $i=1,2$-re. Ez a formula le\'\i{}rja, hogy az $m_1=m_2$
elfajul\'o
esetet kiv\'eve a $\BB$ m\'atrix hat\'as\'ara hogyan hasad sz\'et az $\A$
m\'atrix k\'etdimenzi\'os invari\'ans altere a perturb\'aci\'o
hat\'as\'ara.
 
\bye