Lineáris algebra feladatok:

1. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges A n × n-es mátrix felírható a következő “polár koordinátás alakban”: A = B_{1}U_{1} vagy A = U_{2}B_{2}, ahol B_{1}, B_{2} szimmetrikus pozitív (szemi)definit mátrixok, U_{1} és U_{2} unitér mátrixok. A B_{1} és B_{2} mátrixok egyértelműen meghatározottak.

2. Legyen A n × n-es mátrix. Ekkor sup_{U unitér mátrix} Tr AU = Tr AU_{0}^{∗}, ahol A = BU_{0}

az A mátrix polár felbontása.

3. Legyen A = (a_{i,j}) és B = (b_{i,j}), 1 ≤ i, j ≤ n, két n × n-es mátrix. Definiáljuk közöttük a következő műveletet: A ∘ B = (a_{i,j}b_{i,j}), 1 ≤ i, j ≤ n. Bizonyítsuk be, hogy ha A és B szimmetrikus, pozitív definit mátrixok, akkor A ∘ B is az.

4. Legyenek A_{1}, …, A_{k} n × n-es szimmetrikus pozitív definit mátrixok, és legyenek az A_{j}, j = 1 …, k, mátrix sajátértékei monoton sorrendben 0 ≤ λ_{1}^{(j)} ≤ λ_{2}^{(j)} ≤ ⋯ ≤ λ_{n}^{(j)}. Legyenek B_{0}, B_{1}, …, B_{k}, n × n-es mátrixok, melyeknek a normája kisebb vagy egyenlő 1. Bizonyítsuk be, hogy

|Tr B_{0}A_{1}B_{1} ⋯ A_{k}B_{k}| ≤ ∑_{p=1}^{n} λ_{1}^{(p)}λ_{2}^{(p)} ⋯ λ_{k}^{(p)}.

Ennek az egyenlőtlenségnek a segítségével bizonyítsuk be a következő “Hölder egyenlőtlenséget” mátrixokra:

|Tr A_{1} ⋯ A_{k}| ≤ ∏_{m=1}^{k} (Tr |A_{m}|^{p_{m}})^{1/p_{m}} ,

ahol A_{m} = |A_{m}|U_{m} polár felbontás definiálja az |A_{m}| mátrixot, (mindegy, hogy a bal vagy jobboldali polár felbontást tekintjük), és p_{m}, m = 1, …, k, egész számok,

melyek teljesítik a ∑_{m=1}^{k} \frac{1}{p_{m}} = 1 relációt.

5. Legyen A és B két szimmetrikus n × n-es mátrix, melyekre A ≥ B, azaz (Ax, x) ≥ (Bx, x) minden x ∈ R^{n}-re. Bizonyítsuk be, hogy az A és B mátrixok λ_{1} ≤ λ_{2} ≤ ⋯ ≤ λ_{n}, μ_{1} ≤ μ_{2} ≤ ⋯ ≤ μ_{n} sajátértékei teljesítik a λ_{j} ≥ μ_{j}, j = 1, 2, …, n relációt.

6. Legyen A egy n × n-es szimmetrikus mátrix s_{1}, …, s_{n} sajátvektorokkal és λ_{1}, …, λ_{n} sajátértékekkel. Legyen B egy másik n × n-es szimmetrikus mátrix. Tegyük fel, hogy az A mátrix sajátértékei különbözőek. Bizonyítsuk be, hogy a perturbált mátrix A(ε) = A+εB s_{j}(ε) sajátvektorai és λ_{j}(ε) sajátértékei, j = 1, …, n teljesítik a

s_{j}(ε) = s_{j} + εt_{j} + O(ε^{2})
λ_{j}(ε) = λ_{j} + εμ_{j} + O(ε^{2})

relációt. Számítsuk ki az t_{j} vektorokat és μ_{j} számokat a fenti képletben. Mit lehet mondani abban esetben, amikor az A mátrixnak többszörös sajátértéke van?

Hasznos észrevételek a feladatok megoldásához:

1. Ha A = B_{1}U_{1} akkor AA^{∗} = B_{1}^{2}. Határozzuk meg a B_{i} mátrixokat ezen észrevétel segítségével.

2. Lássuk be, hogy ha B pozitív definit szimmetrikus, és U unitér mátrix, akkor Tr BU ≤ Tr B. (Későbbi alkalmazások céljából lássuk be, hogy az állítás akkor is igaz, ha ∥U∥ ≤ 1, de U nem feltétlenül unitér mátrix.)

3. Lássuk be, hogy A = ∑ λ_{j}s_{j} ∘ s_{j}^{∗} alakba írható, ahol s_{j} és λ_{j} az A mátrix sajátvektorai és sajátértékei. Bizonyítsuk be az állítást az A és B mátrixok ilyen reprezentációja segítségével.

4. Lássuk be az állítást abban a speciális esetben, amikor A_{j} = P^{(j)} egy projekció. (Ebben az esetben azt kell belátni, hogy az egyenlőtlenség baloldala kisebb, mint min_{j} rank P^{(j)}.) Lássuk be az általános esetet az A_{j} mátrixot a következő alakban

felírva: A_{j} = ∑_{m=0}^{n−1}(λ_{m+1}^{(j)} − λ_{m}^{(j)})P_{m}^{(j)}, ahol P_{m}^{(j)} a projekció az A_{j} mátrixnak a λ_{m}^{(j)}

sajátértékeknél kisebb sajátértékű sajátvektorok által kifeszített altérre.

5. Az, hogy λ_{n} ≥ μ_{n} azonnal következik a λ_{n} = sup(Ax, x) és μ_{n} = sup(Bx, x) relációkból. Az általános eset bizonyításához lássuk be a felhasznált eredmény következő mini-max általánosítását: λ_{k} = max_{x∈R̄^{k}} min_{R̄_{k}∈R^{k}}(Ax, x), ahol R^{k} jelőli R^{n}

összes k-dimenziós alterének a halmazát.

6. Koordináta transzformációval elérhetjük, hogy az A mátrix megegyezik a Λ = (λ_{j,k}), λ_{j,k} = δ_{j,k}λ_{j} diagonális mátrixszal, és s_{k} = e_{k} a k-ik egységvektorral. Tekintsük a transzformált feladatot. Legyen B = (b_{j,k}), a keresett t_{k} vektor (t_{j,k}, 1 ≤ j ≤ n). Ekkor az (s_{k} + εt_{k})(Λ + εB) = (λ_{k} + εμ_{k})(s_{k} + εt_{k}) egyenletben az ε együttható vizsgálata a következő egyenletet adja:

t_{k}(λ_{k}I − Λ) = e_{k}(B − μ_{k}I).

Innen t_{j,k} = \frac{b_{k,j}}{λ_{k} − λ_{j}}, ha j ≠ k, μ_{k} = b_{k,k}. Válasszuk a t_{k,k} koordinátát t_{k,k} = 0-nak,

ami a sajátvektor valamilyen normálását jelenti. (Miért van szabadságunk ennek a koordinátának a megválasztásában?) Be kell látni, hogy az így kapott becslés helyes, és nem csupán formális közelítés.

Abban az esetben, ha sajátértékek nem mind különbözőek, tekintsük azt a speciális esetet, amikor λ_{1} = λ_{2}, és λ_{j} ≠ λ_{i}, ha j ≠ i és j ≥ 2. Ekkor az A = Λ mátrix s_{1} és s_{2} sajátvektorai helyettesíthetőek bármely s′_{1} = αs_{1} + βs_{2} és s′_{2} = βs_{1} − αs_{2}, α^{2} + β^{2} = 1, ortogonális vektorokkal. Az α és β számok megválaszthtók úgy, hogy a B mátrix megszorításának a s_{1} és s_{2} vektorok által kifeszített altérre s′_{1} és s′_{2} sajátvektorai. mátrix. Jelőljük e mátrix sajátértékeit m_{1} és m_{2}-vel.

Ekkor a különböző sajátértékek esetén tárgyalt egyenlet adja meg a sajátvektorok és sajátértékek elsőrendű közelítését. A különbség a megoldásban az, hogy most s_{i}(ε) = s_{i}, μ_{i}(ε) = m_{i}, i = 1, 2-re. Ez a formula leírja, hogy az m_{1} = m_{2} elfajuló esetet kivéve a B mátrix hatására hogyan hasad szét az A mátrix kétdimenziós invariáns altere a perturbáció hatására.