\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm

\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
%\parskip=2.5pt plus 1.2pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script =cmcsc10


\define\stimess {\operatornamewithlimits{\times}}

\beginsection Wiener-folyamatok legfontosabb
tulajdons\'agai. Poisson-folyamatok.

L\'attuk, hogy a Wiener-folyamat teljes\'{\i}ti az \'ugynevezett
funkcion\'alis centr\'alis ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-telt. Ez az
eredm\'eny durv\'an sz\'olva azt fejezi ki, hogy ha olyan f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat vesz\"unk, amelyek
teljes\'{\i}tik a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
fel\-t\'e\-te\-le\-it, akkor ezek r\'eszlet\"osszegeinek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel term\'eszetes m\'odon defini\'alhatunk olyan
t\"o\-r\"ott\-vonal\-f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket,
amelyek viselked\'ese hasonl\'o a Wiener-folyamat\'ehoz. A Wiener
folyamatok seg\'{\i}ts\'eg\'evel egyszer\H{u}en  lehet
defini\'alni egy Wiener-bridge-nek (vagy Brown-bridge-nek) nevezett
(Gauss) sztochasztikus folyamatot, amelyre az igaz, hogy
f\"uggetlen, a $[0,1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol k\'esz\'{\i}tett
empirikus el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek normaliz\'altjai
gyeng\'en konverg\'alnak a Wiener-bridge eloszl\'as\'ahoz.
Ez az eredm\'eny rendk\'{\i}v\"ul fontos a matematikai statisztika
sz\'am\'ara, ez\'ert \'erdemes a fent megfogalmazott
\'all\'{\i}t\'ast r\'eszletesebben \'es pontosabban kifejteni.
El\H{o}sz\"or megadom a Wiener-bridge definici\'oj\'at.

\medskip\noindent
{\bf Wiener-bridge definici\'oja.} {\it Egy $B(t)$, $0\le t\le 1$,
Wiener-bridge olyan folytonos trajekt\'ori\'aj\'u Gauss-folyamat,
amelyre $EB(t)=0$, $0\le t\le1$, \'es $EB(s)B(t)=\min(s,t)-st$,
$0\le s,t\le1$.}

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} k\'et feladat feladat megfogalmazza a Wiener-bridge
n\'eh\'any fontos tulajdons\'ag\'at. Speci\'alisan, ezen feladatok
eredm\'eny\'eb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy val\'oban l\'etezik
Wiener-bridge.
\medskip\noindent
{\bf 1. feladat.} {\it Legyen $W(t)$, $0\le t\le1$, Wiener-folyamat a
$[0,1]$ intervallumon. Ekkor a $B(t)=W(t)-tW(1)$, $0\le t\le 1$,
Wiener-bridge, amely f\"uggetlen a $W(1)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot\'ol.

Megford\'{\i}tva: Legyen $B(t)$, $0\le t\le1$, Wiener-bridge, \'es
$\eta$ a $B(t)$ Wiener-bridge-t\H{o}l f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ekkor
$W(t)=B(t)+t\eta$ Wiener-folyamat a $0\le t\le1$ intervallumon.}

\medskip
A fenti feladat pontos meg\'ert\'ese \'erdek\'eben id\'ezz\"uk fel a
k\"ovetkez\H{o} definici\'ot.

\medskip\noindent
{\bf Sztochasztikus folyamatok f\"uggetlens\'ege.} {\it Legyen adva
k\'et $X(t)$, $t\in T$, \'es $Y(t')$, $t'\in T'$ sztochasztikus
folyamat. Azt mondjuk, hogy az $X(t)$ sztochasztikus folyamat
f\"ug\-get\-len az $Y(t')$ sztochasztikus folyamatt\'ol, ha minden
$\{t_1,\dots,t_s\}\subset T$ \'es $\{t'_1,\dots,t'_{s'}\}\subset T'$
v\'eges halmazra az $(X(t_1),\dots,X(t_k))$ \'es
$(Y(t'_1),\dots,Y(t'_{s'}))$ v\'eletlen vektorok f\"ug\-get\-le\-nek
egym\'ast\'ol.}

\medskip
{\it A feladat megold\'as\'anak alapgondolata:}\/ Norm\'alis
eloszl\'as\'u vektorok eloszl\'as\'at egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en
meghat\'arozza azok v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora \'es
kovariancia m\'atrixa. Egy nor\-m\'a\-lis eloszl\'as\'u vektor
koordin\'at\'ai f\"uggetlenek, ha korrel\'alatlanok.
\medskip

A m\'asodik feladat megfogalmaz\'asa el\H{o}tt megadom az
eloszl\'asf\"uggv\'eny, illetve normaliz\'alt eloszl\'asf\"uggv\'eny
definici\'oj\'at.
\medskip\noindent
{\bf Empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja, \'es annak
normaliz\'altja.}\/ {\it Legyen adva egy $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny,
\'es legyen $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen $F(x)$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata. Ekkor a
$\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata
(a matematikai statisztika sz\'ohaszn\'alat\'aban minta) \'altal
meghat\'arozott $F_n(x)$ empirikus el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enyt
a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} k\'eplet adja meg:
$$
F_n(x)=\frac1n\times {\text{\rm azon $j$, $1\le j\le n$, indexek
sz\'ama, amelyekre $\xi_j<x$}},\quad -\infty<x <\infty. \tag C1
$$
Az $F_n(x)$  empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny normaliz\'altja a
$$
G_n(x)=\sqrt n(F_n(x)-F(x)) \tag C2
$$
f\"uggv\'eny.}

\medskip
Az el\H{o}bbi definici\'o tetsz\H{o}leges $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny eset\'en \'erv\'enyes.
Viszont a k\"ovetkez\H{o} (egyszer\H{u}) feladat lehet\H{o}v\'e
teszi, hogy statisztikai  feladatok vizsg\'alat\'aban figyelm\"unket
csak a $[0,1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'assal foglalkozzunk.

\medskip\noindent
{\it Feladat.} Legyen az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
folytonos f\"uggv\'eny, $\xi_1,\dots,\xi_n$ $F(x)$ eloszl\'as\'u
minta. Ekkor az $\eta_j=F(\xi_j)$, $1\le j\le n$, f\"uggetlen a
$[0,1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, azaz az $\eta_j$,
$1\le j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
\'es $G(x)=P(\eta_j<x)=x$, ha $0\le x\le 1$, $G(x)=1$, ha $x>1$,
$G(x)=0$, ha $x<0$.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Az $\eta=F(\xi)$ transzform\'aci\'o
\'altal\'anos\'{\i}tott (v\'eletlen\'{\i}tett) transzform\'aci\'oja
seg\'{\i}ts\'eg\'evel tetsz\H{o}leges eloszl\'as\'u
minta transzform\'alhat\'o a $[0,1]$ intervallumban egyenletes
eloszl\'ashoz tartoz\'o mint\'av\'a.
\medskip
Bizonyos \'all\'{\i}t\'asok (k\'enyelmesebb) megfogalmaz\'asa
\'erdek\'eben \'erdemes bevezetni az empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'enyek, illetve azok normaliz\'altj\'anak olyan
alkalmas m\'odos\'{\i}t\'as\'at bevezetni, amely folytonos
f\"uggv\'eny.

\medskip\noindent
{\bf M\'odos\'{\i}tott empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny definic\'oja,
illetve annak nor\-ma\-li\-z\'alt\-ja.} {\it Legyen $\xi_1,\dots,\xi_n$
f\"uggetlen, a $[0,1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata.
Tekints\"uk az e sorozat \'altal a (C1) k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel
defini\'alt $F_n(x)$ empirikus eloszl\'asf\"uggv\'enyt. Ennek
mod\'os\'{\i}t\'asa
a k\"ovetkez\H{o} $\tilde F_n(x)$ f\"uggv\'eny, $0\le x\le 1$,
amelynek egyszer\H{u}bb megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben
bevezetem a $\xi^*_0=0$, $\xi^*_{n+1}=1$ jel\"ol\'est.
Ezenk\'{\i}v\"ul legyen $\xi^*_1<\xi^*_2<\cdots<\xi^*_n$ a
$\xi_1,\dots,\xi_n$ mint\'ab\'ol k\'esz\'{\i}tett
rendezett minta, azaz e sorozat elemeinek nagys\'ag szerint
sorbarendezett v\'altozata. Ezekkel a jel\"ol\'esekkel legyen
$$
\aligned
\tilde F_n(\xi^*_j)&=F_n(\xi^*_j),\quad
0\le j\le n+1, \qquad (\tilde F_n(\xi^*_j)=\frac jn
\quad \text{{\rm ha} }0\le j\le n)\\
 F_n(x)&=\frac{\xi^*_j-x}{\xi^*_j-\xi^*_{j-1}}F_n(\xi^*_{j-1})
+\frac{x-\xi^*_{j-1}}{\xi^*_j-\xi^*_{j-1}}F_n(\xi^*_j),
\endaligned \tag C$1'$
$$
\'es
$$
\tilde G_n(x)=\sqrt n(\tilde F_n(x)-x). \tag C$2'$.
$$
}

\medskip\noindent
{\it 2. feladat.} Legyen $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen,
$F(x)$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata.
Ezek normaliz\'alt $G_n(x)=\sqrt n(F_n(x)-F(x))$ empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'enye teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
azonoss\'agokat: $EG_n(x)=0$ minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra,
$$
\Cov (G_n(x),G_n(y))=\min(F(x),F(y))-F(x)F(y),\quad
-\infty<x,y<\infty.
$$
Speci\'alisan, ha $F(x)$ meg\-egye\-zik az egyenletes eloszl\'as
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'evel a $[0,1]$ intervallumon, akkor a
$G_n(x)$, $0\le x\le 1$, \'es egy $B(x)$, $0\le x\le 1$, Wiener-bridge
kovariancia f\"uggv\'enye egyenl\H{o}. (Mind a k\'et sztochasztikus
folyamat nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okb\'ol \'all.)

\medskip\noindent
{\it Seg\'{\i}ts\'eg a 2. feladat megold\'as\'ahoz.}\/ Minden
$-\infty<x<\infty$ sz\'amra \'es $1\le j\le n$ indexre defini\'aljuk
az $\eta_j(x)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat az
$\eta_j(x)=1$, ha $\xi_j<x$, $\eta_j(x)=0$, ha $\xi_j\ge x$.
Ekkor $F_n(x)=\frac1n\summ_{j=1}^n\eta_j(x)$. Ezen \'eszrev\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a keresett v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es
kovarianciaf\"uggv\'enyt ki tudjuk sz\'amolni egyszer\H{u}
f\"uggetlen v\'eletlen vektorok \"osszeg\'enek a vizsg\'alat\'aval.

\medskip
A 2. feladat \'all\'{\i}t\'asa azt jelenti, hogy egy a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozat\'ab\'ol elk\'esz\'{\i}tett $G_n(x)$ empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'eny v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es kovariancia
f\"uggv\'eny strukt\'ur\'aja meg\-egye\-zik a Wiener-bridge-\'evel.
Ezenk\'{\i}v\"ul a t\"obbdimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l az is kiolvashat\'o, hogy a $G_n(x)$
v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai konverg\'alnak a Wiener-bridge
megfelel\H{o} koordin\'at\'ainak v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asaihoz.
Ezek az eredm\'enyek azt sugallj\'ak, hogy a normaliz\'alt empirikus
folyamatok gyeng\'en konverg\'alnak a Wiener-bridge eloszl\'as\'ahoz,
azaz a funkcion\'alis centr\'alis  hat\'areloszl\'ast\'etelhez
hasonl\'o \'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes ebben az esetben is. Ez az
el\-k\'ep\-ze\-l\'es helyes. Az al\'abb kimondott t\'etel
megfogalmazza a pontos \'all\'{\i}t\'ast.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel normaliz\'alt empirikus eloszl\'asf\"uggv\'enyek gyenge
kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'a\-r\'ol a Wiener-bridge-hez.} {\it Legyen
adva egy f\"uggetlen $\xi_1,\dots,\xi_n$, a $[0,1]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o sorozat. K\'esz\'{\i}ts\"uk el
seg\'{\i}ts\'eg\"ukkel a~(C2) k\'epletben defini\'alt normaliz\'alt
empirikus eloszl\'asf\"uggv\'enyt, vagy annak a (C2$'$) k\'epletben
defini\'alt v\'altozat\'at. (Jelen esetben $F(x)$ a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as eloszl\'asf\"uggv\'enye.)
Ekkor mind a $G_n(x)$ mind a $\tilde G_n(x)$, $0\le x\le1$,
szto\-chasz\-ti\-kus folyamatok gyeng\'en konverg\'alnak a
Wiener-bridge eloszl\'as\'ahoz, ha $n\to\infty$.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Annak az \'all\'{\i}t\'asnak a jelent\'ese,
hogy a $G_n(x)$ v\'eletlen f\"uggv\'enyek sorozata gyeng\'en
konverg\'al a Wiener-bridge eloszl\'as\'ahoz tov\'abbi magyar\'azatra
szorul. Ugyan\-is a $G_n(x)$ sztochasztikus folyamat trajekt\'ori\'ai
nem folytonos f\"uggv\'enyek, \'{\i}gy ez nem
tekinthet\H{o} $C([0,1])$ t\'erbeli val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak. Viszont gyenge konvergenci\'at csak valamely
szepar\'abilis metrikus t\'er \'er\-t\'e\-ke\-it felvev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asaira
defini\'altunk. Ezen a technikai jelleg\H{u} neh\'ezs\'egen lehet
seg\'{\i}teni. Az irodalomban be\-ve\-zet\-t\'ek az \'ugynevezett
$D([0,1])$ teret, amely a $[0,1]$ intervallumon balr\'ol folytonos
\'es minden pontj\'aban
jobboldali hat\'ar\'ert\'ekkel is rendelkez\H{o} f\"uggv\'enyekb\H{o}l
\'all, \'es ezen a t\'eren alkalmas metrik\'at is bevezettek. Ezen a
t\'eren dolgozva a fenti T\'etelben kimondott \'all\'{\i}t\'asnak
pontos \'ertelme van. Mi egy egyszer\H{u}bb megold\'ast
v\'a\-lasz\-tot\-tunk. Bevezett\"uk a m\'odos\'{\i}tott $\tilde G_n(x)$
normaliz\'alt empirikus el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket,
amelyek m\'ar folytonos (v\'eletlen) f\"uggv\'enyek \'es alig
k\"ul\"onb\"oznek a $G_n(x)$ em\-pi\-ri\-kus
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek\-t\H{o}l. Ezek gyenge
konvergenci\'aj\'ar\'ol a Wiener-bridge eloszl\'as\'ahoz minden
el\H{o}k\'esz\'{\i}t\'es n\'elk\"ul jogunk van besz\'elni. Ez az
eredm\'eny ugyanolyan j\'ol haszn\'alhat\'o, mint a fenti
t\'etel els\H{o} \'all\'{\i}t\'asa. Val\'oj\'aban a k\'et eredm\'eny
ekvivalens.

\medskip
A normaliz\'alt empirikus eloszl\'asf\"uggv\'enyek gyenge
kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'a\-r\'ol sz\'ol\'o t\'etelnek fontos
k\"ovetkezm\'enyei vannak. Sz\'amos a ma\-te\-ma\-ti\-kai
statisztik\'aban szerepl\H{o} eredm\'eny k\"ovetkezik ebb\H{o}l az
eredm\'enyb\H{o}l. \'Igy p\'eld\'aul az a t\'eny, hogy a
$\supp_{0\le x\le 1}\sqrt n|F_n(x)-F(x)|$ vagy
$\supp_{0\le x\le 1}\sqrt n(F_n(x)-F(x))$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oknak van hat\'areloszl\'asuk, ha $n\to\infty$, ahol $F_n$
egy $n$-elem\H{u} minta empirikus eloszl\'asf\"uggv\'enye, $F(x)$
pedig a mintaelemek val\'odi eloszl\'asf\"uggv\'enye ad\'odik innen.
(Az els\H{o} kifejez\'est Kolmogorov statisztik\'anak a m\'asodikat
Szmirnov statisztik\'anak h\'{\i}vj\'ak.) Az els\H{o} esetben a
hat\'areloszl\'as meg\-egye\-zik a $\supp_{0\le x\le1}|B(x)|$
a m\'asodik esetben pedig a $\supp_{0\le x\le1}B(x)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval, ahol $B(x)$,
$0\le x\le1$, egy Brown-bridge. Ezen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'as\'at bizonyos nem trivi\'alis m\'odszerek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki lehet sz\'amolni. Annak t\'argyal\'asa,
hogy ezt a sz\'amol\'ast hogyan lehet v\'egrehajtani, nem r\'esze
ennek az el\H{o}ad\'asnak. Megjegyzem,
hogy a ma\-te\-ma\-ti\-kai statisztik\'aban szokt\'ak az
\'ugynevezett von Mieses sta\-tisz\-ti\-k\'a\-kat is tekinteni.
Ezek $n\int_{-\infty}^\infty (F_n(x)-F(x))^2\,F(\,dx)$ alak\'u
statisztik\'ak. Ezeknek is van limesze, amely meg\-egye\-zik az
$\int_0^1 B^2(x)\,dx$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as\'aval. A von Mieses-f\'ele sta\-tisz\-ti\-k\'ak\-r\'ol
sz\'ol\'o ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel
is k\"ovetkezik a fenti gyenge konvergencia t\'etelb\H{o}l.

\medskip\noindent
{\it Wiener-folyamat trajekt\'ori\'ainak a viselked\'ese.}

\medskip\noindent
L\'attuk, hogy a Wiener-folyamat trajekt\'ori\'ai folytonosak.
(Pontosabban azt, hogy ezt feltehetj\"uk, azaz l\'eteznek olyan a
Wiener-folyamat definici\'oj\'aban el\H{o}\'{\i}rt v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es kovariancia f\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o}
Gauss-folyamatok, amelyeknek a trajekt\'ori\'ai folytonosak.)
M\'asr\'eszt ezek a trajekt\'ori\'ak egy\'ebk\'ent el\'eg rossz
s\'{\i}mas\'agi tulajdons\'agokkal rendelkeznek. N\'eh\'any ilyen
jelleg\H{u} eredm\'enyt ismertetek. Az, hogy a Wiener-folyamatok
rossz folytonoss\'agi tulajdons\'agokkal rendelkeznek tulajdonk\'eppen
nem meglep\H{o}. Heurisztikus szinten ez azzal magyar\'azhat\'o,
hogy a Wiener-folyamatok v\'eletlenszer\H{u}en fejl\H{o}dnek, \'es
ez bizonyos szab\'alytalans\'agot k\"olcs\"on\"oz a
viselked\'es\"uknek.

El\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt ismertetem.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel Wiener-folyamat trajekt\'ori\'ainak
viselked\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen $W(t,\oo)$, $0\le t\le1$,
Wiener-folyamat a $[0,1]$ intervallumon. A Wiener-folyamat
teljes\'{\i}ti az al\'abbi rel\'aci\'ot:
$$
\align
\limm_{n\to\infty}\summ_{k=1}^{2^n}&\[W\(\frac
k{2^n},\oo\)-W\(\frac{k-1}{2^n},\oo\)\]^2=1 \\
&\qquad \text{majdnem minden $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre.}
\endalign
$$
}

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy
r\"ogz\'{\i}tett $n$ indexre az
$$
\eta_{k,n}=\[W\(\frac k{2^n},\oo\)-W\(\frac{k-1}{2^n},\oo\)\]^2, \quad
k=1,\dots,2^n
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}, $2^{-n}$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
n\'egyzetei.
Ez\'ert $\eta_{k,n}=2^{-n}$, $\Var\eta_{k,n}=2\cdot 2^{-2n}$, ahonnan
k\"ovetkezik, hogy
$$
E\(\summ_{k=1}^{2^n}\[W\(\frac k{2^n},\oo\)
-W\(\frac{k-1}{2^n},\oo\)\]^2\)=1,
$$
$$
\Var\(\summ_{k=1}^{2^n}\[W\(\frac
k{2^n},\oo\)-W\(\frac{k-1}{2^n},\oo\)\]^2\)=2\cdot2^{-n},
$$
\'es a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
$$
P\(\left|\summ_{k=1}^{2^n}\[W\(\frac k{2^n},\oo\)
-W\(\frac{k-1}{2^n},\oo\)\]^2-1\right|>\e\)\le 2^{-n}\e^{-1}
$$
minden $\e>0$ sz\'amra. Mivel a $\summ_{n=1}^\infty
2^{-n}\e^{-1}<\infty$ minden $\e>0$-ra, ez\'ert a Borel--Cantelli
lemma alapj\'an a fenti egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"ovetkezik a
t\'etel \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip
A fenti t\'etel h\'atter\'eben az a t\'eny \'all, hogy a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an egy kis $[s,t]$ intervallumban a
Wiener-folyamat megv\'altoz\'asa $(t-s)^{1/2}$ nagys\'agrend\H{u},
\'es diszjunkt intervallumokra e megv\'altoz\'asok f\"uggetlenek.
Ez\'ert e megv\'altoz\'asok n\'egy\-zet\-\"ossze\-ge k\"ozel van e
n\'egyzet\"osszegek v\'arhat\'o \'ert\'ek\'ehez. Megjegyzem, hogy
s\'{\i}ma, p\'eld\'aul differenci\'alhat\'o $f(x)$ (a $[0,1]$
intervallumon defini\'alt) f\"uggv\'enyek korl\'atos
v\'altoz\'as\'uak, azaz teljes\'{\i}tik a $\summ_{j=1}^k
|f(x_j)-f(x_{j-1})|<K$ egyenl\H{o}tlens\'eget valamely csak az $f$
f\"ugg\-v\'eny\-t\H{o}l f\"ugg\H{o} $k$ sz\'ammal a $[0,1]$
intervallum tetsz\H{o}leges $0=t_0<t_1<\cdots<t_k=1$ feloszt\'asra.
A fenti t\'etel eredm\'eny\'eb\H{o}l az is k\"ovetkezik, hogy a
Wiener-folyamat trajekt\'ori\'ai nem korl\'atos v\'altoz\'as\'uak.
Megfogalmazom ennek a t\'etelnek egy lehets\'eges
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'at is. Az
\'altal\'anos\'{\i}tott t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at, amely a
marting\'alok elm\'elet\'enek az eredm\'enyein alapul, elhagyom.

\medskip\noindent
{\bf A Wiener-folyamat trajekt\'ori\'ainak viselked\'es\'er\H{o}l
sz\'ol\'o t\'etel \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.} {\it Legyen
$W(t,\oo)$, $0\le t\le1$, Wiener-folyamat a $[0,1]$ intervallumon.
Tekints\"uk a $[0,1]$ intervallum egyre finomod\'o
$0=t_0^{(n)}<t_1^{(n)} <\cdots<t_{k_n}^{(n)}$ feloszt\'asait
$n=1,2,\dots$, (azaz teljes\"ulj\"on a
$\{t_0^{(n)},t_1^{(n)},\dots,t_{k_n}^{(n)}\}\subset
\{t_0^{(n+1)},t_1^{(n+1)},\dots,t_{k_{n+1}}^{(n+1)}\}$ felt\'etel)
\'ugy, hogy $\limm_{n\to\infty}\supp_{1\le k\le k_n}
(t^{(n)}_k-t^{(n)}_{k-1})=0$. A Wiener-folyamat majdnem minden
trajekt\'ori\'aja teljes\'{\i}ti az al\'abbi rel\'aci\'ot:
$$
\limm_{n\to\infty}\summ_{j=1}^{k_n}\[W\(t^{(n)}_j,\oo\)
-W\(t^{(n)}_{j-1},\oo\)\]^2\!=1 \quad \text{majdnem minden
$\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre.}
$$
}\medskip

A k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} feladat az\'ert is \'erdekes
sz\'amunkra, mert lehet\H{o}v\'e teszi azt, hogy a Wiener-folyamat
trajekt\'ori\'ainak a $[0,1]$ intervallumban meg\'allap\'{\i}tott
tulajdons\'agait ``\'at\"or\"ok\'{\i}ts\"uk'' a trajekt\'ori\'ak m\'as
intervallumokban val\'o viselked\'es\'ere is.

\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/ Ha $W(t)$ Wiener-folyamat valamely az $[a,b]$
intervallumot tartalmaz\'o intervallumon, akkor $\bar
W(t)=\frac1{\sqrt{b-a}}(W(a+t(b-a))-W(a))$, $0\le t\le1$, Wiener
folyamat a $[0,1]$ intervallumon. Ha $W(t)$, $0\le t\le a$, Wiener
folyamat valamely $[0,a]$ intervallumon, akkor a $ta^{-1/2}W\(\frac
at\)$, $t\ge1$, sztochasztikus folyamat Wiener-folyamat az $[1,\infty]$
intervallumon, (azaz
eloszl\'asa megegyezik egy a $[0,\infty)$ f\'elegyenesen defini\'alt
Wiener-folyamatnak a megszor\'{\i}t\'as\'aval a
$[1,\infty)$ f\'elegyenesre.)

\medskip
A fenti feladatb\'ol \'es az el\H{o}z\H{o} t\'etelb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy egy $W(t)$ Wiener-folyamat trajekt\'ori\'ainak
egy tetsz\H{o}leges $[a,b]$ intervallum feloszt\'asain vett
meg\-v\'al\-to\-z\'a\-sai\-ra igaz, hogy azok n\'egyzet\"osszegei
a fent kimondott t\'etelhez hasonl\'o tulajdons\'agot
teljes\'{\i}tenek. Ez a t\'eny az\'ert is \'erdekes, mert a
sztochasztikus folyamatok elm\'elet\'eben vagy a nem param\'eteres
statisztik\'ak elm\'elet\'eben t\"obbsz\"or megjelenik az a feladat,
hogy sz\'a\-m\'{\i}t\-suk ki egy sztochasztikus folyamat
eloszl\'as\'anak egy m\'asik sztochasztikus folyamatra eloszl\'asa
szerinti s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et,
azaz Radon--Nikodym deriv\'altj\'at. Ilyen
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny nem mindig l\'etezik.
Elk\'epzelhet\H{o} (s\H{o}t gyakran el\H{o}fordul), hogy k\'et
szto\-chasz\-ti\-kus fo\-lya\-mat egy\-m\'as\-ra n\'ezve
szingul\'aris, mert
trajekt\'or\'aik m\'as tipus\'u f\"ugg\-v\'e\-nyek csal\'adj\'aban
vannak. L\'assuk be a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast.

\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/ Legyen $W(t,\oo)$, $0\le t\le1$, egy Wiener
folyamat a $[0,1]$ intervallumon. L\'assuk be, hogy a $W(t,\oo)$
\'es $2W(t,\oo)$ sztochasztikus folyamatok egym\'asra n\'ezve
szingul\'arisak, azaz l\'etezik a $C([0,1])$ t\'ernek k\'et olyan
(m\'erhet\H{o}) $A$ \'es $B$ halmaza, amelyekre teljes\"ulnek az
$A\cap B=\emptyset$ \'es $P(\oo\: W(t,\oo)\in A)=1$,
$P(\oo\: 2W(t,\oo)\in B)=1$ tulajdons\'agok.
\medskip
Megfogalmazom (bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul) az al\'abbi k\'et
eredm\'enyt, amely Wiener-fo\-lya\-ma\-tok trajekt\'ori\'ainak
folytonoss\'agi modulus\'at, illetve az \'ugynevezett iter\'alt
logaritmus t\'etelt \'{\i}rja le.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel Wiener-folyamatok folytonoss\'agi modul\'as\'ar\'ol.}\/
{\it Legyen $W(t,\oo)$, $0\le t\le1$, Wiener-folyamat a $[0,1]$
intervallumon. Teljes\"ul a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'ag:
$$
P\(\lim_{\e\to0}\sup_{(s,t)\: 0\le s<t\le1,\,t-s\le\e}
\frac{|W(t,\oo)-W(s,\oo)|}{\sqrt{2(t-s)\log\frac1{t-s}}}=1\)=1.
$$
}

\medskip\noindent
{\bf Iter\'alt logaritmus t\'etel Wiener-folyamatokra.} {\it Legyen
$W(t,\oo)$, $0\le t\le1$, Wiener-folyamat a $[0,1]$ intervallumon.
Ekkor teljes\"ul a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'ag:
$$
P\(\lim_{t\to0}
\frac{|W(t,\oo)|}{\sqrt{2t\log\log\frac1{t}}}=1\)=1.
$$
}

\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/ L\'assuk be az egyik kor\'abbi feladat eredm\'enye
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a Wiener-folyamatokra megfogalmazott
iter\'alt logaritmus t\'etel ekvivalens az al\'abbi
\'all\'{\i}t\'assal: Ha $W(t)$ Wiener  folyamat a $t\ge0$
f\'elegyenesen, akkor
$$
P\(\lim_{t\to\infty}
\frac{|W(t,\oo)|}{\sqrt{2t\log\log t}}=1\)=1.
$$

A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny a Wiener-folyamatok trajekt\'ori\'ainak
egy \'erdekes tu\-laj\-don\-s\'a\-g\'at fogalmazza meg.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a Wiener-folyamat trajekt\'ori\'ainak nem
differenci\'alhat\'os\'agi tu\-laj\-don\-s\'a\-gai\-r\'ol.} {\it Egy
a $[0,1]$ intervallumban tekintett $W(t,\oo)$, $0\le t\le1$, Wiener
folyamat trajekt\'ori\'ai 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel sehol sem
differenci\'alhat\'oak.}

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Jel\"olje $D$ azt az esem\'enyt,
hogy a Wiener-folyamat trajekt\'ori\'aja differenci\'alhat\'o valamely
pontban. Ha $\oo\in D$, akkor valamely $0\le s(\oo)\le1$ sz\'amra
a $W'(s,\oo)$ v\'eges deriv\'alt l\'etezik. Vegy\"uk minden el\'eg
nagy $n$ eg\'esz sz\'amra azt a $\[\frac jn,\frac{j+1}n\]$
intervallumot, $j=j(s,n)$, amelyre $s\in\[\frac jn,\frac{j+1}n\]$.
Ekkor $s<1$ eset\'en a $W(\cdot,\oo)$ f\"uggv\'eny
deriv\'alhat\'os\'ag\'ab\'ol az $s$ pontban k\"ovetkezik,
hogy alkalmas $L$ eg\'esz sz\'amra a
$$
\left|W\(\frac{j+1}n,\oo\)-W\(\frac jn,\oo\)\right|\le \frac Ln,
$$
$$
\left|W\(\frac{j+2}n,\oo\)-W\(\frac {j+1}n,\oo\)\right|\le \frac Ln
$$
\'es
$$
\left|W\(\frac{j+3}n,\oo\)-W\(\frac {j+2}n,\oo\)\right|\le\frac Ln
$$
egyenl\H{o}tlens\'egek mindegyike teljes\"ul. Fontos, hogy  az
ezekben az egyenl\H{o}tlens\'egekben szerepl\H{o} $L$ sz\'am nem
f\"ugg az $n$ sz\'amt\'ol. (Az $s=1$ sz\'am esete kiss\'e elt\'er\H{o},
mert ekkor $j+1=n$ \'es nem vehet\"unk a $\[\frac
jn,\frac{j+1}n\]$ intervallumt\'ol jobbra fekv\H{o} intervallumot.
Viszont ebben az esetben fel\'{\i}rhatjuk az
$$
\left|W\(\frac{j}n,\oo\)-W\(\frac {j-1}n,\oo\)\right|\le \frac Ln
$$
\'es
$$
\left|W\(\frac{j-1}n,\oo\)-W\(\frac {j-2}n,\oo\)\right|\le\frac Ln
$$
egyenl\H{o}tlens\'egeket minden el\'eg nagy $n\ge n_0(\oo)$
sz\'amra. A fent elmondottakb\'ol k\"o\-vet\-ke\-zik, hogy ha a 
$W(\cdot,\oo)$ trajekt\'ori\'anak van olyan pontja, ahol ez a 
f\"uggv\'eny differenci\'alhat\'o, akkor el\'eg nagy $L_0=L_0(\oo)$ 
\'es $m=m(\oo)$ eg\'esz sz\'amra igaz, hogy minden $L\ge L_0$ \'es 
$n\ge m$ sz\'amra a 
$C(j,n,L)=\bigcapp_{s=1}^3\left\{\oo\colon\;
 \left|W\(\frac{j+s}n,\oo\)-W\(\frac{j+s-1}n,\oo\)\right|\le
\frac Ln\right\}$, $1\le j\le n-3$, esem\'enyek k\"oz\"ul legal\'abb az
egyik teljes\"ul. Ez azt jelenti, hogy 
$$
D\subset\bigcup_{L=1}^\infty\(\bigcup_{m=1}^\infty
\(\bigcap_{n=m}^\infty \(\bigcup_{j=0}^{n-3} C(j,n,L)\)\)\),
$$
ahol
$$
C(j,n,L)=\bigcap_{s=1}^3\left\{\oo\:
\left|W\(\frac{j+s}n,\oo\)-W\(\frac{j+s-1}n,\oo\)\right|\le
\frac Ln\right\}.
$$
Ez\'ert a t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni azt, hogy
$$
P\(\bigcap_{n=m}^\infty\(\bigcup_{j=0}^{n-3} C(j,n,L)\)\)=0
$$
minden $m$ \'es $L$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra, ami k\"ovetkezik a
$$
\lim_{n\to\infty}P\(\bigcup_{j=0}^{n-3} C(j,n,L)\)=0\quad
\text{minden $L=1,2,\dots$ sz\'amra} \tag C3
$$
\'all\'{\i}t\'asb\'ol. 

Viszont a $C(j,n,L)$ esem\'eny h\'arom f\"uggetlen esem\'eny metszete,
\'es ezek mindegyike olyan esem\'eny, amelyben  azt tekintj\"uk,
hogy egy 0 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\frac1n$
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o abszolut \'ert\'eke kisebb,
mint $\frac Ln$. Ez\'ert 
$$
\align
P\(\bigcup_{j=0}^{n-3} C(j,n,L)\)
&\le nP\(\left|W\(\frac1n,\oo\)\right|\le\frac Ln\)^3\\
&\le n P\(|\xi|\le \frac{L}{\sqrt n}\)^3 
\le n\(\frac {2L}{\sqrt n}\)^3=\frac {8L^3}{\sqrt n},
\endalign
$$
ahol $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ebb\H{o}l az
egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"ovetkezik a (C3) rel\'aci\'o, ez\'ert
a T\'etel \'all\'{\i}t\'asa is.

\beginsection Wiener-folyamatok jellemz\'ese.

Megadom a Wiener-folyamat n\'eh\'any fontos jellemz\'es\'et. Ezek
ismertet\'es\'enek \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or bevezetek n\'eh\'any
fogalmat.

\medskip\noindent
{\bf F\"uggetlen n\"ovekm\'eny\H{u} folyamat definici\'oja.} {\it
Legyen adva egy $X(t,\oo)$, $-\infty\le a<t<b\le\infty$,
sztochasztikus folyamat valamely $[a,b]$ (v\'eges vagy v\'egtelen)
intervallumban. Azt mondjuk, hogy az $X(t,\oo)$ sztochasztikus
folyamat f\"uggetlen n\"ovekm\'eny\H{u},  ha minden $k\ge2$ eg\'esz
sz\'amra  \'es tetsz\H{o}leges $a\le t_1<t_2<\cdots<t_k\le b$
val\'os sz\'amokra az $[a,b]$ intervallumban az
$X(t_{j+1},\oo)-X({t_j},\oo)$, $1\le j<k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok  f\"uggetlenek.}

\medskip\noindent
{\bf Stacion\'arius n\"ovekm\'eny\H{u} folyamat definici\'oja.}
{\it Legyen adva egy $X(t,\oo)$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamat a
$-\infty<t<\infty$ egyenesen vagy a $0\le t<\infty$ f\'elegyenesen.
Azt mondjuk, hogy az $X(t,\oo)$ sztochasztikus folyamat
stacion\'arius n\"ovekm\'eny\H{u}, ha minden $u>0$ sz\'amra
az $\bar X(t,\oo)=X(t+u,\oo)-X(u,\oo)$ sztochasztikus folyamat
v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai megegyeznek az $X(t,\oo)$ folyamat
v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asaival. M\'ask\'epp megfogalmazva azt
k\"ovetelj\"uk meg, hogy minden $u>0$ sz\'amra, \'es minden $k\ge1$
eg\'esz sz\'amra valamint  $t_1<t_2<\cdots<t_k$ sz\'amokra a
sz\'amegyenesen, illetve a $\{t\:t\ge0\}$ f\'elegyenesen az
$X(t_{j},\oo)$, $1\le j<k$, $k$-dimenzi\'os \'es
$X(t_{j}+u,\oo)-X(u,\oo)$, $1\le j<k$, $k$-dimenzi\'os v\'eletlen
vektorok eloszl\'asai egyezzenek meg.}

\medskip
A k\'es\H{o}bben t\'argyaland\'o t\'em\'ak meg\'ert\'ese
\'erdek\'eben vezess\"uk be a stacion\'arius folyamatok fogalm\'at is.

\medskip\noindent
{\bf Stacion\'arius folyamat definici\'oja.}
{\it Legyen adva egy $X(t,\oo)$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamat a
$-\infty<t<\infty$ egyenesen, vagy a $t=0,\pm1,\pm2,\dots$ eg\'esz
sz\'amok halmaz\'an. Azt mondjuk, hogy az $X(t,\oo)$ sztochasztikus
folyamat (er\H{o}s \'ertelemben) stacion\'arius, ha minden $u>0$
sz\'amra (a sz\'amegyenes eset\'eben, \'es minden $u>0$ eg\'esz
sz\'amra, ha a sztochasztikus folyamat az eg\'esz sz\'amokkal van
indexelve)  ``az $X(t,\oo)$ sztochasztikus folyamat $u$ sz\'ammal
val\'o eltoltja'' az $\bar X(t,\oo)=X(t+u,\oo)$,
$-\infty<t<\infty$, (vagy $t=0,\pm1,\pm2,\dots$), sztochasztikus
folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai megegyeznek az $X(t,\oo)$
folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asaival. M\'ask\'epp
megfogalmazva azt k\"ovetelj\"uk meg, hogy minden $u>0$  (eg\'esz)
sz\'amra, \'es minden $k\ge1$ eg\'esz sz\'amra valamint
$-\infty<t_1<t_2<\cdots<t_k<\infty$ sz\'amokra az
$X(t_{j},\oo)$, $1\le j<k$, $k$-dimenzi\'os \'es
$X(t_{j}+u,\oo)$, $1\le j<k$, $k$-dimenzi\'os v\'eletlen
vektorok eloszl\'asai egyezzenek meg.}

\medskip
Megjegyzem, hogy az er\H{o}s \'ertelemben stacion\'arius folyamatnak
van egy megfelel\H{o}je, amelyet \'ugy h\'{\i}vnak, hogy gyeng\'en
stacion\'arius folyamat. Megadom ennek a definici\'oj\'at is.

\medskip\noindent
{\bf Gyeng\'en stacion\'arius folyamat definici\'oja.}
{\it Legyen adva egy $X(t,\oo)$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamat a
$-\infty<t<\infty$ egyenesen, vagy a $t=0,\pm1,\pm2,\dots$ eg\'esz
sz\'amok halmaz\'an, \'es legyen $EX(t,\oo)^2<\infty$ minden $t$
param\'eterre. Azt mondjuk, hogy az $X(t,\oo)$ szto\-chasz\-ti\-kus
folyamat gyenge \'ertelemben stacion\'arius, ha l\'etezik olyan
$M$ sz\'am, hogy $EX(t,\oo)=M$, minden $t$ sz\'amra, azaz a
v\'arhat\'o \'ert\'ek nem f\"ugg a $t$ sz\'amt\'ol, \'es l\'etezik
olyan $\rho(s)$ f\"uggv\'eny ($-\infty<s<\infty$, ha a
szto\-chasz\-ti\-kus folyamat a val\'os, \'es $s=0,\pm1,\pm2,\dots$,
ha a sztochasztikus folyamat az eg\'esz sz\'amokkal van indexelve),
\'ugy, hogy $\Cov(X(t,\oo),X(t+s,\oo))=\rho(s)$, azaz az
$X(t,\oo)$ \'es $X(t+s,\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok kovarianciaf\"ugggv\'enye nem f\"ugg a $t$
sz\'amt\'ol, hanem csak a $t$ \'es $t+s$ sz\'amok $s$
k\"ul\"onbs\'eg\'et\H{o}l f\"ugg.}

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} lemm\'aban megfogalmazok egy
egyszer\H{u} kapcsolatot az er\H{o}sen \'es gyeng\'en
stacion\'arius sztochasztikus folyamatok k\"oz\"ott.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Ha $X(t,\oo)$ er\H{o}sen stacion\'arius
sztochasztikus folyamat, \'es $EX(t,\oo)^2<\infty$, akkor $X(t,\oo)$
gyeng\'en stacion\'arius folyamat.

Megford\'{\i}tva, ha $X(t,\oo)$ gyeng\'en stacion\'arius
sztochasztikus folyamat, \'es egyben Gauss-folyamat, akkor $X(t,\oo)$
er\H{o}sen stacion\'arius folyamat.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ A Lemma els\H{o} \'all\'{\i}t\'asa
ny\'{\i}lv\'anval\'o. A m\'asodik \'all\'{\i}t\'as igazol\'asa
szint\'en egyszer\H{u}, ha meg\'ertj\"uk, hogy egy
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
vektor eloszl\'as\'at meghat\'arozza annak v\'arhat\'o \'ert\'ek
vektora \'es kovariancia m\'atrixa.

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'asokat feladat form\'aj\'aban
fogalmazom meg. Ezek megold\'asa is azon alapul, hogy egy
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u vektor eloszl\'as\'at
meghat\'arozza annak v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora \'es
kovariancia m\'atrixa.

\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/ Egy Wiener-folyamat f\"uggetlen n\"ovekm\'eny\H{u}
\'es stacion\'arius n\"ovekm\'eny\H{u}, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
Ga\-uss-folyamat. Megford\'{\i}tva, minden f\"uggetlen
n\"ovekm\'eny\H{u} \'es stacion\'arius n\"ovekm\'eny\H{u}, nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} (\'es folytonos trajekt\'ori\'aj\'u)
Gauss-folyamat egy Wiener folyamat konstansszorosa.

\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/ Legyen adva egy $W(t,\oo)$, $0\le t<\infty$,
Wiener-folyamat a pozit\'{\i}v f\'elegyenesen, \'es defini\'aljuk
a $Z(t,\oo)=\frac{W(e^t,\oo)}{e^{t/2}}$, $-\infty<t<\infty$,
sztochasztikus folyamatot. A $Z(t,\oo)$ sztochasztikus folyamat
stacion\'arius $EZ(t,\oo)=0$, $-\infty<t<\infty$, v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel, \'es $EZ(t,\oo)Z(u,\oo)=e^{-|u-t|/2}$,
$-\infty<t,u<\infty$ kovariancia f\"uggv\'ennyel.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti feladatban defini\'alt $Z(t,\oo)$
sztochasztikus folyamatot Ornstein--Uhlenbeck folyamatnak
h\'{\i}vj\'ak az irodalomban.

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} tartalmasabb eredm\'enyben megadom a
Wiener-folyamatok egy nem-trivi\'alis jellemz\'es\'et.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a Wiener-folyamatok egy jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it
Legyen $X(t,\oo)$, $EX(t,\oo)=0$, $0\le t<\infty$, f\"uggetlen
\'es stacion\'arius n\"ovekm\'eny\H{u} sztochasztikus folyamat a
pozit\'{\i}v f\'elegyenesen, amelyre teljes\"ul az
$EX(t,\oo)^2<\infty$ rel\'aci\'o minden $t>0$ sz\'amra. Tegy\"uk
fel tov\'abb\'a, hogy az $X(t,\oo)$ sztochasztikus fo\-lya\-mat
minden trajekt\'ori\'aja foly\-to\-nos. Ekkor az $X(t,\oo)$
sztochasztikus folyamat egy Wiener-folyamat konstansszorosa.}

\medskip
A fenti eredm\'enyben nem tett\"uk fel, hogy a tekintett
sztochasztikus folyamat Gauss-folyamat. K\'es\H{o}bb ismertetni
fogom ennek az eredm\'enynek egy \'eles\'{\i}t\'es\'et is, amelyben
marting\'alok seg\'{\i}ts\'eg\'evel jellemezz\"uk a Wiener-folyamatot.
Ezen \'altal\'anosabb t\'etel t\'argyal\'as\'hoz viszont sz\"uks\'eges 
meg\'erteni a marting\'alok \"onmag\'aban is \'erdekes elm\'elet\'enek 
a legfontosabb eredm\'enyeit, illetve \'atism\'etelni a marting\'alok
definici\'oj\'aban fontos szerepet j\'atsz\'o felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek fogalm\'at.

A fenti t\'etel, illetve e t\'etel (marting\'al t\'{\i}pus\'u) 
\'eles\'{\i}t\'es\'enek a
bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom. Viszont szeretn\'em legal\'abb
heu\-risz\-ti\-kus szinten elmagyar\'azni, hogy mi\'ert fontos a 
Wiener-folyamatok egy jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etelnek
az a a felt\'etele, hogy a sztochasztikus folyamat trajekt\'ori\'ai
folytonosak. Az itt nem ismertetett bizony\'{\i}t\'as f\H{o}
gondolata az, hogy a T\'etel felt\'eteleit teljes\'{\i}t\H{o}
sztochasztikus folyamatok Gauss-fo\-lya\-ma\-tok. Ezt a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel lehet 
megmutatni.

A bizony\'{\i}t\'as f\H{o} r\'esze annak megmutat\'as\'ab\'ol
\'all, hogy ha tekint\"unk valamely $0\le s<t$ sz\'amokat, akkor
az $X(t,\oo)-X(s,\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
norm\'alis eloszl\'as\'u. Ennek megmutat\'asa \'erdek\'eben
\'erdemes az $[s,t]$ intervallum finom $s=t_1<t_2<\cdots<t_k=t$
feloszt\'as\'at tekinteni, (azaz olyan feloszt\'as\'at, amelyre
$\supp_{1\le j<k}(t_{j+1}-t_j)$ kicsi), \'es be bevezethetj\"uk az
$\eta_j(\oo)=X(t_{j+1},\oo)-X(t_j,\oo)$, $1\le j<k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Az $\eta_j$, $1\le j<k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es
$X(t,\oo)-X(s,\oo)=\summ_{j=1}^{k-1}\eta_j(\oo)$.  Be szeretn\'enk
l\'atni, hogy az $[s,t]$ intervallum egyre finomod\'o feloszt\'asaihoz
tartoz\'o el\H{o}bb defini\'alt \"osszegekre alkalmazhat\'o a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel, ez\'ert az $X(t,\oo)-X(s,\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o norm\'alis eloszl\'as\'u. Be
lehet l\'atni, hogy a sztochasztikus fo\-lya\-ma\-tok
trajekt\'ori\'ainak folytonoss\'aga biztos\'{\i}tja az $\eta_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'altoz\'okra azt a kicsis\'egi
felt\'etelt, (a Lindeberg felt\'etel teljes\"ul\'es\'et), amely
sz\"uks\'eges a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
teljes\"ul\'es\'ehez. A Poisson-fo\-lya\-mat al\'abb ismertetett
konstrukci\'oja mutatja, hogy a trajekt\'ori\'ak
folytonoss\'ag\'ar\'ol sz\'ol\'o felt\'etel nem
hagyhat\'o el ebb\H{o}l a t\'etelb\H{o}l.


\vfill\eject

\noindent
{\bf Poisson-folyamat konstrukci\'oja \'es e folyamat n\'eh\'any
fontos tulajdons\'aga.}
\medskip\noindent
El\H{o}sz\"or felid\'ezem a Poisson-folyamat ismertet\'es\'eben
fontos szerepet j\'atsz\'o Poisson el\-osz\-l\'as definici\'oj\'at.

Azt mondjuk, hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
Poisson eloszl\'as\'u $\lambda$, $0<\lambda<\infty$,
pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel, ha $\xi$ nem negat\'\i{}v eg\'esz
\'ert\'ekeket vesz fel, \'es
$P(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$, $k=0,1,\dots$.

Eml\'ekeztetek tov\'abb\'a a Poisson eloszl\'asnak az al\'abbi
lemm\'aban megfogalmazott fontos tulajdons\'ag\'ara.
\medskip\noindent
{\bf 1. Lemma.} {\it Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $\xi$ $\lambda$
\'es $\eta$ $\mu$ pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel. Akkor $\xi+\eta$ Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'o $\lambda+\mu$
param\'eterrel.}

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} lemma tekinthet\H{o} az el\H{o}z\H{o} lemma
megford\'{\i}t\'as\'anak. Ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy egyszer\H{u}
m\'odon konstru\'aljunk Poisson-folyamatokat.

\medskip \noindent
{\bf 2. Lemma.} {\it Legyen adva $k$ darab  urna, \'es ezekbe
dobjunk be v\'eletlen $\xi$ sz\'am\'u goly\'ot, ahol $\xi$  Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda>0$
param\'eterrel. Legyenek az egyes dob\'asok eredm\'enyei egym\'ast\'ol
\'es a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlenek.
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy  minden egyes dob\'asn\'al a goly\'o
az $j$-ik urn\'aba $p_j\ge0$ val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel esik,
$j=1,\dots,k$, $\sum\limits_{j=1}^k p_j=1$.  Jel\"olje $\eta_j$ a
$j$-ik urn\'aba es\H o goly\'ok sz\'am\'at. Az az $\eta_j$,
$j=1,\dots,k$, val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, \'es $\eta_j$ Poisson eloszl\'as\'u $\lambda p_j$
param\'eterrel, $j=1,\dots,k$.}

\medskip\noindent
{\it A 2. Lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(\eta_1=l_1,\dots,\eta_k=l_k)
&=P(\xi=l_1+\cdots+l_k)\frac{(l_1+\cdots+l_k)!}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}\\
&=\frac{\lambda^{(l_1+\cdots+l_k)}}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}e^{-\lambda}
=\prod_{j=1}^k\frac{ (\lambda p_j)^{l_j}}{l_j!}e^{-\lambda p_j}
\endalign
$$
tetsz\H{o}leges $l_1\ge0$, \dots, $l_k\ge0$ eg\'esz sz\'amokra. Innen
ad\'odik a 2.~lemma \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip
Az al\'abbiakban defini\'alom a Poisson-mez\H{o} fogalm\'at, \'es
bebizony\'{\i}tom az 1.~Lemma \'es 2.~Lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
hogy Poisson-mez\H{o}k val\'oban l\'eteznek.

\medskip\noindent
{\bf Poisson-mez\H{o} definici\'oja.} {\it Legyen adva egy $(X,\Cal X)$
m\'erhet\H{o} t\'er, \'es azon egy  $\mu$ $\sigma$-addit\'{\i}v
m\'ert\'ek. Legyen adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, \'es azon minden $\oo\in\Omega$
elemi esem\'enyre az $X$ t\'er v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'o sok
kijel\"olt $x_1(\oo),x_2(\oo),\dots$ pontja.  (A kijel\"olt pontok
sz\'ama lehet nulla is.) Azt mondjuk, hogy az \'{\i}gy defini\'alt
rendszer Poisson-mez\H{o} az $(X,\Cal X)$ t\'eren $\mu$ sz\'aml\'al\'o
m\'ert\'ekkel, ha minden $A\in \Cal X$, $\mu(A)<\infty$, halmazra az
$A$ halmazba es\H{o} kijel\"olt pontok $\zeta_A(\oo)$ sz\'ama Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\mu(A)$
param\'eterrel, \'es diszjunkt $A_1,\dots,A_k\in \Cal X$,
$\mu(A_j)<\infty$, $1\le j\le k$, halmazokra az ezekbe a halmazokba
es\H{o} pontok $\zeta_{A_j}(\oo)$, $1\le j\le k$, sz\'amai
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel Poisson-mez\H{o}k l\'etez\'es\'er\H{o}l.}\/ {\it
Tetsz\H{o}leges $(X,\Cal X)$ m\'erhet\H{o} t\'erhez \'es azon
de\-fi\-ni\-\'alt $\mu$ $\sigma$-addit\'{\i}v m\'ert\'ekhez
l\'etezik Poisson-mez\H{o} az $(X,\Cal X)$ t\'eren $\mu$
sz\'am\-l\'a\-l\'o m\'er\-t\'ek\-kel.}

\medskip\noindent
{\it A Poisson-mez\H{o}k l\'etez\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel
bizony\'{\i}t\'asa.}\/ El\H{o}sz\"or azzal a speci\'alis esettel
foglalkozunk, amikor a $\mu$ m\'ert\'ek v\'eges, azaz $\mu(X)<\infty$.
Te\-kint\-s\"uk a k\"ovetkez\H{o} konstrukci\'ot. Vesz\"unk
v\'eletlen sok $\zeta(\oo)$ pontot, amelyek sz\'ama Poisson
eloszl\'as\'u $\mu(X)$ param\'eterrel, \'es dobjuk le ezeket a
pontokat az $(X,\Cal X)$ t\'erre \'ugy, hogy mindegyik pont
$\frac{\mu(A)}{\mu(X)}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik az $A$
halmazba. (Ilyen konstrukci\'o lehets\'eges, de ennek technikai
r\'eszleteit elhagyom.) Azt \'all\'{\i}tom, hogy az \'{\i}gy
defini\'alt rendszer Poisson-mez\H{o} az $(X,\Cal X)$ t\'eren
$\mu$ sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ekkel. El\'eg bel\'atni azt, hogy az
$X$ t\'er tetsz\H{o}leges $A_1,\dots,A_k$ partici\'oj\'ara, azaz
olyan $A_1,\dots,A_k$ esem\'enyekre, amelyekre $A_j\cap
A_{j'}=\emptyset$, ha $j\neq j'$, $\bigcupp_{j=1}^kA_j=\Omega$ az
$A_1,\dots,A_k$
halmazokba es\H{o} ledobott pontok $\zeta_j(\oo)$ sz\'amai,
f\"uggetlen, Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\mu(A_j)$ param\'eterrel. (Ha $A_1,\dots, A_k$
diszjunkt halmazok, akkor kieg\'esz\'{\i}thetj\"uk ezt a rendszert
e halmazok uni\'oj\'anak a komplementer\'evel egy partici\'ov\'a,
\'es elegend\H{o} bel\'atni, hogy e partici\'o elemeibe es\H{o}
ledobott pontok sz\'amai f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok a megfelel\H{o}
param\'eterekkel.) Viszont ez  ut\'obbi \'alll\'{\i}t\'as
k\"ovetkezik a~2. Lemm\'ab\'ol $\lambda=\mu(X)$, \'es
$p_j=\frac{\mu(A_j)}{\mu(X)}$ v\'alaszt\'assal.

Tekints\"unk \'altal\'anosan egy $(X,\Cal X)$ m\'erhet\H{o} teret
egy $\mu$ $\sigma$-addit\'{\i}v $\mu$ m\'ert\'ekkel. Ekkor az $X$
t\'ernek l\'etezik olyan v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'o
$X_1,X_2,\dots$ diszjunkt halmazokb\'ol \'all\'o partici\'oja,
$\bigcupp_j A_j=X$, amelyre teljes\"ul, hogy $\mu(X_j)<\infty$,
$j=1,2,\dots$, a partici\'o minden $X_j$ elem\'ere. Jel\"olje
$(X_j,\Cal X_j,\mu_j)$ azt a teret amelyre $\Cal X_j$ az $A\in
\Cal X$, $A\subset X_j$ alak\'u  halmazokb\'ol \'all, \'es
$\mu_j$ a $\mu$ m\'ert\'ek megszor\'{\i}t\'asa a $\Cal X_j$
$\sigma$-algebr\'ara. Te\-kint\-s\"unk mindegyik $(X_j,\Cal X_j)$
t\'eren egy Poisson-mez\H{o}t $\mu_j$ sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ekkel,
amelyek k\"ul\"onb\"oz\H{o} $j$ indexre f\"uggetlenek. Ekkor be
lehet l\'atni az 1. lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy minden $A\in
\Cal X$, $\mu(A)<\infty$ halmazra $A=\bigcupp_j (X_j\cap A)$ az $A$
halmaz felbont\'asa diszjunkt halmazokra ez\'ert az $A$ halmazba
es\H{o} pontok sz\'ama Poisson eloszl\'as\'u
$\mu(A)=\summ_j\mu(X_j\cap A)$ param\'eterrel, \'es ha $A_1$,\dots,
$A_k$ diszjunkt v\'eges $\mu$ m\'ert\'ek\H{u} halmazok, akkor az
ezekbe a halmazokba es\H{o} pontok sz\'ama f\"uggetlen.

\medskip
V\'eg\"ul megadom a Poisson-folyamat definici\'oj\'at.

\medskip \noindent
{\bf Poisson-folyamat definici\'oja.} {\it
Egy $\Pi(t,\oo)$, $0\le t\le T$, $T>0$, sztochasztikus fo\-lya\-ma\-tot
Poisson-fo\-lya\-mat\-nak nevez\"unk $\lambda$ param\'eterrel a
$[0,T]$ intervallumon, ha $\Pi(t,\oo)$ teljes\'{\i}ti
a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket.

\medskip
\item{(i)} A $\Pi(t,\oo)$ folyamat f\"uggetlen n\"ovekm\'eny\H{u},
azaz tetsz\H{o}leges $0<t_1<t_2<\cdots<t_k\le T$ pontokra a
$\Pi(t_1,\oo)$, $\Pi(t_2,\oo)-\Pi(t_1,\oo)$,\dots,
$\Pi(t_k,\oo)-\Pi(t_{k-1},\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek.

\medskip
\item{(ii)} $\Pi(t,\oo)-\Pi(s,\oo)$ Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda (t-s)$ param\'eterrel.

\medskip
\item{(iii)} A $\Pi(\cdot,\oo)$ trajekt\'oria szigor\'uan monoton
jobbr\'ol folytonos eg\'esz \'ert\'ek\H u f\"uggv\'eny.

\medskip
Ha  $\Pi(t,\oo)$, $t\ge0$, teljes\'{\i}ti az (i)--(iii) felt\'eteleket,
akkor $\Pi(t,\oo)$ Poisson-folyamat a $[0,\infty)$ f\'elegyenesen.}
\medskip

Tekints\"unk egy $Z$ Poisson-mez\H{o}t a $[0,\infty)$ f\'elegyenesen
$\mu=\lambda\cdot$Lebesgue m\'ert\'ek sz\'aml\'al\'o m\'ert\'ekkel.
Legyen $\Pi(t,\oo)$ ezen $Z$ Poisson-mez\H{o} pontjainak sz\'ama a
$(0,t]$ intervallumban. Ekkor $\Pi(t,\oo)$, $t\ge0$, Poisson-folyamat
$\lambda$ param\'eterrel a $[0,\infty]$ f\'elegyenesen.
\medskip

Legyen $\Pi(t,\oo)$ Poisson-folyamat a f\'elegyenesen $\lambda=1$
param\'eterrel, \'es legyen $X(t,\oo)=\Pi(t,\oo)-t$, $t\ge0$.
Ekkor $X(t,\oo)$ f\"uggetlen \'es stacion\'arius
n\"ovekm\'eny\H{u} folyamat, $EX(t,\oo)=0$ minden $t\ge0$
sz\'amra. Az $X(t,\oo)$ folyamat val\'oban stacion\'arius \'es
f\"uggetlen n\"ovekm\'eny\H{u} folyamat,
mert a $\Pi(t,\oo)$ Poisson-folyamat az.
Teh\'at az $X(t,\oo)$ folyamat a Wiener-folyamatok
jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etel minden felt\'etel\'et teljes\'{\i}ti, kiv\'eve, hogy
e folyamat trajekt\'ori\'ai nem folytonos f\"uggv\'enyek.

A fenti p\'elda mutatja a folytonos trajekt\'oria l\'etez\'es\'enek
fontoss\'ag\'at a Wiener-folyamatok jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etelben. \'Erts\"uk meg azt is, hogy a
$$
X(1,\oo)=\summ_{j=1}^n\[X\(\frac jn,\oo\)-X\(\frac{j-1}n,\oo\)\]
$$
azonoss\'ag jobboldal\'an megadott
\"osszegekre az $n\to\infty$ eset\'en az\'ert nem alkalmazhat\'o a
centr\'alis hat\'areloszl\'as-t\'etel, mert nem teljes\"ul a
Lindeberg felt\'etel. Ugyanis abban az esetben, ha a
Poisson-folyamat nem azonosan nulla a $[0,1]$ intervallumban, aminek
poz\'{\i}tiv (nevezetesen $1-e^{-1}$) a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
akkor $\summ_{j=1}^n\[X\(\frac jn,\oo\)-
X\(\frac{j-1}n,\oo\)\]^2\ge(1-\frac1n)^2$. Ez\'ert a Lindeberg
felt\'etel nem teljes\"ul ebben az esetben.

Abb\'ol, hogy a Poisson-folyamat f\"uggetlen \'es stacion\'arius
n\"ovekm\'eny\H{u} k\"ovetkezik az is, hogy (folytonos idej\H{u})
stacion\'arius Markov-l\'anc. Nem neh\'ez bel\'atni, hogy egy
a $P(n,t,t+h)=h+o(h)$, ha $h\to0$ felt\'etelnek eleget tev\H{o}
\'atmenet-val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel rendelkez\H{o}
sz\"ulet\'esi folyamat Poisson-folyamat. A Poisson-folyamatnak van
m\'asfajta el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa is. Igaz a k\"ovetkez\H{o}
t\'etel.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel A.} {\it Legyenek $X_1,X_2,\dots$ f\"uggetlen,
$\lambda$ param\'eter\H{u}, exponenci\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, $S_0=0$,
$S_n=\summ_{k=1}^n X_k$, $n=1,2,\dots$, \'es defini\'aljunk egy
$\Pi(t)$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamatot a $\Pi(t)=n$, ha $S_n\le
t<S_{n+1}$, $n=0,1,2,\dots$ k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Az \'{\i}gy
defini\'alt $\Pi(t)$ sztochasztikus folyamat Poisson folyamat $\lambda$
param\'eterrel.}

\medskip\noindent
Az, hogy a T\'etel A-ban defini\'alt $\Pi(t)$ sztochasztikus folyamat
trajekt\'ori\'ai a k\'{\i}v\'ant tu\-laj\-don\-s\'a\-g\'u\-ak k\"onnyen
l\'athat\'o. Azt is l\'athatjuk, hogy egy $\lambda$ param\'eter\H{u}
$\bar\Pi(t)$ Poisson-folyamat eset\'eben
az $\bar S_1=\min\{t\: \bar \Pi(t)\ge1\}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o ex\-po\-nen\-ci\'a\-lis el\-osz\-l\'a\-s\'u 
$\lambda$ param\'eterrel.
Val\'oban, $P(S_1\ge t)=e^{-\lambda t}$, mert $P(S_1\ge t)$ megegyezik
annak va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'e\-vel, hogy a
Poisson-folyamatot meghat\'aroz\'o Poisson mez\H{o}ben
a $[0,t]$ intervallumba nem esik pont. Ha h\'{\i}vatkozhatn\'ank az
el\H{o}ad\'ason nem t\'argyalt folytonos idej\H{u} Markov l\'ancokra
\'erv\'enyes er\H{o}s Markov tulajdons\'agra, akkor be tudn\'ank
bizony\'{\i}tani azt is, hogy a
Poisson-folyamatnak az az $n=1,2,\dots$ pontokba t\"ort\'en\H{o}
egym\'ast k\"ovet\H{o} ugr\'as id\H{o}pontjai k\"oz\"ott eltelt
id\H{o}intervallumok egym\'ast\'ol f\"uggetlen, $\lambda$
param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Innen k\"ovetkezik a
T\'etel~A \'all\'{\i}t\'asa. A kieg\'esz\'{\i}t\'esben ismertetem a
T\'etel~A egy a Poisson-folyamat alkalmas diszkretiz\'aci\'oj\'an
alapul\'o bizony\'{\i}t\'as\'at. A diszkretiz\'aci\'o lehet\H{o}v\'e
teszi, hogy az er\H{o}s Markov tulajdons\'agot csak egyszer\H{u},
k\"onnyen ellen\H{o}r\'{\i}zhet\H{o} esetekben kelljen haszn\'alnunk.

A Wiener-folyamatr\'ol sz\'ol\'o legfontosabb eredm\'eny, a
funkcion\'alis centr\'alis ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel,
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel v\'egtelen dimenzi\'os
v\'altozatak\'ent is tekinthet\H{o}. A centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelhez hasonl\'oan l\'etezik egy olyan fontos
hat\'areloszl\'ast\'etel, amelyben a limesz a
Poisson eloszl\'as, b\'ar ennek az eredm\'enynek a jelent\H{o}s\'ege
kisebb, mint a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel\'e. Ennek az
al\'abb ismertetett eredm\'enynek l\'etezik funk\-cio\-n\'a\-lis
hat\'areloszl\'ast\'etel v\'altozata, amelyben a hat\'ar\'ert\'ek a
Poisson-folyamat eloszl\'asa. Ismertetem (bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul)
mind a hat\'areloszl\'ast\'etelt, mind annak funk\-cio\-n\'a\-lis
ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel v\'altozat\'at. Ez ut\'obbi
eredm\'eny teljes magyar\'azat\'ahoz hoz\-z\'a\-tar\-toz\-na a
gyenge konvergencia bevezet\'ese az \'ugynevezett $D([0,1])$ t\'erben,
de ezt elhagyom. A probl\'ema az,
hogy az ebben a t\'etelben megjelen\H{o} hat\'ar\'ert\'ek, a
Poisson-folyamat eloszl\'asa, nem tekinthet\H{o} a folytonos
f\"uggv\'enyek $C([0,1])$ ter\'en defini\'alt m\'er\-t\'ek\-nek.
Ez\'ert sz\"uks\'eges alkalmas definici\'oval a balr\'ol folytonos,
jobbr\'ol hat\'ar\'ert\'ekkel rendelkez\H{o} ( cadlag, azaz continue
\`a droite, limite \`a gauche) f\"uggv\'enyek ter\'et (teljes)
szepar\'abilis metrikus t\'err\'e tenni. Ez teszi lehet\H{o}v\'e azt,
hogy besz\'elhess\"unk az \'ert\'ekeitket e t\'er m\'erhet\H{o}
halmazain felvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek gyenge kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'a\-r\'ol.

\medskip\noindent
{\bf Poisson eloszl\'ashoz val\'o hat\'areloszl\'ast\'etel.} {\it
Legyen
$$
\align
&\xi_{1,1}\dots,\xi_{1,n_1}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots   \\
&\xi_{k,1}\dots,\xi_{k,n_k}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots
\endalign
$$
sz\'eriasorozat, azaz legyenek a $k$-ik sorban szerepl\H{o}
$\xi_{k,1},\dots,\xi_{k,n_k}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, amely teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
felt\'eteleket: \medskip
\item{1.)} A $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem
negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel.
\item{2.)} $P(\xi_{k,j}=1)=\lambda_{k,j}$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}=\lambda>0$.
\item{3.)} $\supp_{1\le j\le n_k}\lambda_{k,j}\to0$, ha $k\to\infty$,
\'es $\summ_{j=1}^{n_k}P\(\xi_{k,j}\ge2\)\to0$, ha $k\to\infty$.
\medskip

Ekkor az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak a $\lambda$
para\-m\'e-te\-r\H{u} Poisson eloszl\'ashoz, ha $k\to\infty$.}
\medskip
E t\'etel funkcion\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel v\'altozata a
k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel Poisson folyamathoz val\'o gyenge konvergenci\'ahoz.}
{\it Teljes\'{\i}tse az el\H{o}z\H{o} t\'etelben tekintett
$$
\align
&\xi_{1,1}\dots,\xi_{1,n_1}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots   \\
&\xi_{k,1}\dots,\xi_{k,n_k}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots
\endalign
$$
sz\'eriasorozat az ott bevezetetett 1.), 2) \'es 3.) felt\'eteleket,
illetve a 2.) felt\'etel al\'abbi er\H{o}sebb v\'altozat\'at:
\medskip
\item{$2'$.)} $P(\xi_{k,j}=1)=\lambda_{k,j}$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{[tn_k]}\lambda_{k,j}=\lambda t>0$
minden $0<t\le1$ sz\'amra, ahol $[x]$ az $x$ sz\'am eg\'esz r\'esz\'et
jel\"oli.

\medskip
Legyen $\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}=\lambda_k$,
$\bar\lambda_{k,j}=\frac{\lambda_{k,j}}{\lambda_k}$,
$u_{k,0}=0$, $u_{k,j}=\summ_{s=1}^j \bar\lambda_{k,s}$,
$k=1,2,\dots,$, $1\le j\le n_k$, \'es
defini\'aljuk e sz\'eriasorozat seg\'{\i}ts\'eg\'evel az al\'abbi
$X_k(t)$, $k=1,2,\dots$, sztochasztikus folyamatokat a $[0,1]$
intervallumban:
$$
\align
&X_k(t)=0, \quad\text{ha }0\le t<u_{k,1} \quad X_k(t)=\sum_{s=1}^j
\xi_{k,s}, \quad\text{ha } u_{k,j}\le t<u_{k,j+1}, 
\quad 0\le j< n_k,\\
&\qquad X_k(1)=\sum_{s=1}^{n_k} \xi_{k,s}.
\endalign
$$
Ekkor az $X_k(t)$, $0\le t\le 1$, sztochasztikus folyamatok
eloszl\'asai gyeng\'en konverg\'alnak a $\lambda$ param\'eter\H{u}
Poisson folyamat eloszl\'as\'ahoz a $D([0,1])$ t\'erben, ha
$k\to\infty$.}

\beginsection
A T\'etel A egy lehets\'eges bizony\'{\i}t\'asa.

Tekints\"unk egy $\lambda$ param\'eter\H{u} $\bar \Pi(t)$
Poisson-folyamatot, \'es defini\'aljuk az $\bar S_n$, $n=1,2,\dots$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat,
mint a legkisebb olyan $t$ \'ert\'ekeket, amelyekre $\bar \Pi(t)=n$,
minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra. A T\'etel~A bebizony\'{\i}t\'as\'ahoz
el\'eg azt megmutatni, hogy az $S_1,S_2,\dots$ illetve
$\bar S_1,\bar S_2,\dots$ v\'eletlen sorozatok egy\"uttes eloszl\'asai
megegyeznek. Ugyan\-is tetsz\H{o}leges $0<t_1<t_2<\cdots t_k$
id\H{o}pontokra \'es $n_1,n_2,\dots,n_k$ pozit\'{\i}v eg\'esz
sz\'amokra $P(\Pi(t_1)\le n_1,\dots,\Pi(t_k)\le n_k)
=P(S_{n_1}\ge t_1,\dots, S_{n_k}\ge t_k)$, \'es hasonl\'o rel\'aci\'o
\'erv\'enyes a $\bar \Pi(t)$ sztochasztikus folyamatra \'es
$\bar S_1,\bar S_2,\dots$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra
is.

A k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'ast a $\bar \Pi(t)$ Poisson-folyamat
alkalmas diszkr\'et idej\H{u} Markov-l\'anc k\"ozel\'{\i}t\'es\'evel
fogjuk igazolni, felhaszn\'alva azt a t\'enyt, hogy diszkr\'et
idej\H{u} Markov l\'ancok eset\'eben alkalmazhatjuk
az er\H{o}s Markov tulajdons\'agot. Minden pozitiv $\e>0$ sz\'amra
defini\'aljuk az $\eta_k(\e)$, $k=1,2,\dots$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'ugy, hogy $\eta_k(\e)=1$,
ha $\bar \Pi(k\e)-\bar\Pi((k-1)\e)\ge1$, \'es $\eta_k(\e)=0$, ha
$\bar \Pi(k\e)-\bar\Pi((k-1)\e)=0$. Defini\'aljuk a
$\bar\eta_k=\bar\Pi(k\e)-\bar\Pi((k-1\e)$,
$Z_l(\e)=\summ_{k=1}^l\eta_k(\e)$, $l=1,2,\dots$, \'es
$S_n(\e)=\e\min\{l\: Z_l(e)\ge n\}$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Azt \'all\'{\i}tom, hogy
\medskip
\item{a)} $S_n(\e)\Rightarrow \bar S_n$, ha $\e\to0$ minden
$n=1,2,\dots$ sz\'amra, ahol $\Rightarrow$ sztochasztikus
konvergenci\'at jel\"ol.
\item{b)} Az $(S_1(\e), S_2(\e)-S_1(\e), \dots
S_n(\e)-S_{n-1}(\e))$ vektorok eloszl\'asban konverg\'alnak $n$
f\"uggetlen, $\lambda$ param\'eter\H{u} exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ob\'ol \'all\'o
v\'eletlen vektorhoz minden r\"ogz\'{\i}tett $n$ sz\'amra, ha $\e\to0$.
\medskip
Az a) \'es b) \'all\'{\i}t\'asb\'ol k\"ovetkezik, hogy
az $S_1,S_2,\dots$ illetve $\bar S_1,\bar S_2,\dots$ v\'eletlen
sorozatok egy\"uttes eloszl\'asai megegyeznek. Ez\'ert elegend\H{o}
ezt a k\'et \'all\'{\i}t\'ast bel\'atni.

Vezess\"uk be a $\bar Z_l(\e)=\summ_{k=1}^l\bar \eta_k(\e)$,
$l=1,2,\dots$, \'es
$\bar S_n(\e)=\e\min\{l\: \bar Z_l(e)\ge n\}$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat is. Az a) r\'eszben
megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as k\"ovetkezik az al\'abbi k\'et
rel\'aci\'ob\'ol.
\medskip
\item{a1)} $\limm_{\e\to0}P(\eta_k(\e)=\bar\eta_k(\e) \text{minden
$1\le k<e^{-3/2}$ sz\'amra})=1$, \'es minden r\"ogz\'{\i}tett $n$
pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra $\limm_{\e\to0}P(S_l(\e)=\bar S_l(\e)
\text{ minden $1\le l\le n$ sz\'amra})=1$.
\item{a2)} $\bar S_n(\e)\to \bar S_n$ 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, 
ha $\e\to0$ minden $n$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra.

\medskip
$P(\eta_k(\e)=\bar\eta_k(\e) \text{minden
$1\le k<\e^{-3/2}$ sz\'amra})=P(
\Pi(k\e)-\bar\Pi((k-1)\e\le1, \;1\le k<\e^{-3/2})
=\(1-P(\bar \Pi(\e)\ge2)\)^{\e^{-3/2}}\le(1-\lambda^2\e^2)^{\e^{-3/2}}
\le e^{-\lambda^2\e^{1/2}}$, ha $\e<\frac1{2\lambda}$, ahonnan
k\"ovetkezik az a1) els\H{o} \'all\'{\i}t\'asa. Innen
$$
\limm_{\e\to0}P(Z_l(\e)=\bar Z_l(\e) \text{minden
$1\le 1<\e^{-3/2}$ sz\'amra})=1.
$$
Tov\'abb\'a, mivel
$Z_{\e^{-3/2}}(\e)\to\infty$ 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha
$\e\to0$, innen k\"ovetkezik az a1) m\'asodik \'all\'{\i}t\'asa is.
Az a2) \'all\'{\i}t\'asa ny\'{\i}lv\'anval\'o az
$\bar S_n(\e)-\e\le\bar S_n\le\bar S_n(\e)$ \"osszef\"ugg\'es
alapj\'an.

A b) rel\'aci\'o a k\"ovetkez\H{o} \"osszef\"ugg\'es alapj\'an
l\'athat\'o. Az $\eta_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, \'es $P(\eta_k=1)=1-P(\eta_k=0)=1-e^{-\lambda\e}
=\lambda\e+O(\e^2)$. Ez\'ert az $\e^{-1}\bar S_n(\e)$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'ugy is \'ertelmezhet\H{o}ek,
hogy f\"uggetlen kis\'erleteket v\'egez\"unk egym\'as ut\'an,
amelyekben a siker val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$p(\e)=1-e^{-\lambda\e}=\lambda\e+O(\e^2)$, \'es $\e^{-1}S_n(\e)$
jel\"oli
az $n$-ik sikeres kis\'erlet id\H{o}pontj\'at. Ez\'ert az $S_1(\e)$,
$S_2(\e)-S_1(\e)$,\dots val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, \'es egyforma eloszl\'as\'uak,
valamint $P(S_1(\e)>k\e)=(1-p(\e))^k$, ahonnan
$P(S_1(\e)>u)\sim(1-\lambda\e+O(\e^2))^{u/\e}\sim e^{-\lambda u}$
minden $u>0$ sz\'amra, ha az $\e>0$ sz\'am kicsi. Ez azt jelenti,
hogy $\limm_{\e\to0}P(S_1(\e)>u)=e^{-\lambda u}$. Ez\'ert igaz a b)
\'all\'{\i}t\'as is.






\bye