\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm

\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
%\parskip=2.5pt plus 1.2pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script =cmcsc10


\define\stimess {\operatornamewithlimits{\times}}

\beginsection Wiener-folyamatok definici\'oja. A funkcion\'alis
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.

A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik nagyon fontos
fogalma a Wiener-folyamat, amelyet Brown-mozg\'asnak is h\'{\i}vnak.
Az els\H{o} elnevez\'es e fogalom els\H{o}
matematikailag prec\'{\i}z be\-ve\-ze\-t\H{o}\-j\'e\-re, Norbert
Wienerre, a m\'asodik pedig egy Brown nev\H{u} XIX. sz\'azadban \'elt
angol bio\-l\'o\-gus\-ra utal, aki egy folyad\'ekban lev\H{o},
egym\'assal \"utk\"oz\H{o} apr\'o r\'eszecsk\'ek mozg\'as\'at
ta\-nul\-m\'a\-nyoz\-ta. K\'es\H{o}bb kider\"ult, hogy
a Wiener-folyamat az egy r\'eszecske (v\'eletlen) p\'aly\'aj\'at
le\'{\i}r\'o legjobb matematikai modell. Kor\'abbi tanulm\'anyainkban
l\'attuk, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\"or\'eben a
norm\'alis eloszl\'as, a vektor \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\"oz\"ott a
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as k\"ozponti szerepet j\'atszik.
A Wiener-folyamat hasonl\'oan fontos szerepet j\'atszik a
sztochasztikus folyamatok elm\'elet\'eben, \'es tulajdonk\'eppen \'ugy
tekinthet\H{o}, mint a standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok megfelelel\H{o}je a
sztochasztikus folyamatok k\"oz\"ott. Ennek a
meglehet\H{o}sen nagy\-vo\-na\-l\'u kijelent\'esnek pontosabb
\'ertelmet ad a k\'es\H{o}bb ismertetett funkcion\'alis centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel. A tov\'abbiakban felhaszn\'alom a
kor\'abban t\'argyalt szto\-chasz\-ti\-kus folyamatokr\'ol sz\'ol\'o
alapvet\H{o} fogalmakat \'es eredm\'enyeket.

\medskip\noindent
A Wiener-folyamat definici\'oj\'anak megad\'asa el\H{o}tt vezess\"uk
be a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} definici\'ot (elnevez\'est).
\medskip\noindent
{\bf Szochasztikus folyamat trajekt\'ori\'aj\'anak a fogalma.} {\it
Legyen adva egy $T$ indexhalmazzal param\'eterezett
$\xi_t(\oo)=\xi(t,\oo)$
sztochasztikus folyamat. Ennek egy r\"ogz\'{\i}tett $\oo$ elemi
esem\'enyhez tartoz\'o trajekt\'ori\'aj\'an a $T$ halmazon defini\'alt
$\xi(t,\oo)$, $t\in T$, f\"uggv\'enyt \'ertj\"uk.}

\medskip
Bevezetj\"uk tov\'abb\'a a k\"ovetkez\H{o} fogalmat is.
\medskip\noindent
{\bf Gauss (sztochasztikus) folyamat definici\'oja.}  {\it Egy
$\xi_t$, $t\in T$, folyamatot Gauss-folyamatnak nevez\"unk, ha ennek
minden v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asa norm\'alis eloszl\'as\'u, azaz
$T$ halmaz minden $T_0=\{t_1,\dots,t_k\}$ v\'eges r\'eszhalmaz\'ara a
$(\xi_{t_1},\dots,\xi_{t_k})$ v\'eletlen vektor t\"obb-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u vektor.}

\medskip\noindent
{\it 1. feladat:}\/ Id\'ezz\"uk fel a
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as definici\'oj\'at. L\'assuk be,
hogy egy $n$-dimenzi\'os $(X_1,\dots,X_n)$ norm\'alis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor eloszl\'as\'at meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak az $EX_j$,
$1\le j\le n$ v\'arhat\'o \'ert\'ekek \'es a
$\Cov(X_j,X_k)=EX_jX_k-EX_jEX_k$, $1\le j,k\le n$, kovarianci\'ak.
\medskip
Megfogalmazom a Wiener-folyamat definici\'oj\'at.

\medskip\noindent
{\bf Wiener-folyamat definici\'oja.} {\it
Egy a $[0,T]$ $0<T\le\infty$, intervallumon \'ertelmezett
Wiener-folyamaton olyan Gauss-folyamatot \'ert\"unk, amelyre
\item{a)} $EW(t)=0$, $0\le t\le T$, $EW(s)W(t)=\min(s,t)$, $\le s,t\le
T$.
\item{b)} A $W(t,\oo)$ folyamat trajekt\'ori\'aja minden $\oo$ elemi
esem\'enyre folytonos f\"uggv\'eny a $[0,T]$ intervallumon.}
\medskip
A Wiener-folyamat definici\'oja kapcs\'an sz\'amos k\'erd\'est
tiszt\'azni kell. A f\H{o} k\'erd\'es az, hogy a fent megadott
definici\'o \'ertelmes-e. El\H{o}sz\"or tiszt\'azni kell az a) pontot.
Mondhatjuk-e, hogy defini\'altuk a Wiener-folyamat v\'eges dimenzi\'os
eloszl\'asait kon\-zisz\-tens m\'odon? A definici\'o b) pontja m\'eg
rejt\'elyesebb. A Kolmogorov-f\'ele alapt\'etelben semmilyen
kijelent\'es nem szerepelt a sztochasztikus folyamat
trajekt\'ori\'aj\'at illet\H{o}en. Honnan tudjuk, hogy
l\'etezik folytonos trajekt\'ori\'aj\'u, a Wiener-folyamat a)
felt\'etel\'et teljes\'{\i}t\H{o} Gauss-folyamat? Ha l\'etezik, akkor
mit mondhatunk a folytonos trajekt\'oria l\'etez\'es\'er\H{o}l?
Automatikusan teljes\"ul-e ez a k\"ovetelm\'eny, vagy tenn\"unk kell-e
valamit ennek teljes\'{\i}t\'ese \'erdek\'eben?

Az els\H{o} k\'erd\'es megv\'alaszol\'asa egyszer\H{u}bb. Egyr\'eszt
az el\H{o}bb megfogalmazott 1.~fel\-adat egyik \'all\'{\i}t\'asa szerint
a v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es a kovariancia megad\'as\'aval \'es azzal a
megk\"ot\'essel, hogy a Wiener-folyamat Gauss-folyamat,
egy\'ertelm\H{u}en megadtuk e folyamat v\'eges dimenzi\'os
eloszl\'asait. M\'asr\'eszt igaz az al\'abbi 2.~feladat
\'all\'{\i}t\'asa:

\medskip\noindent
{\it 2. feladat.} R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamely $0\le
t_1<t_2<\cdots<t_n\le T$ sz\'amokat, vegy\"unk f\"uggetlen, nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $t_j-t_{j-1}$, $1\le
j\le n$, $t_0=0$, norm\'alis eloszl\'as\'u $\eta_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, \'es defini\'aljuk a
$Z_k=\summ_{j=1}^k\eta_j$, $1\le k\le n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat. L\'assuk be, hogy a $(Z_1,\dots,Z_n)$ v\'eletlen
vektor eloszl\'asa megegyezik a Wiener-folyamatban defini\'alt
$(W(t_1),\dots,W(t_n))$ v\'eletlen vektor eloszl\'as\'aval. L\'assuk
be ennek az \'eszrev\'etelnek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a
Wiener-folyamat definici\'oj\'aban el\H{o}\'{\i}rt v\'eges
dimenzi\'os eloszl\'asok \'ertelmesek, azaz val\'oban l\'eteznek a
k\'{\i}v\'ant kovarianci\'aval rendelkez\H{o} v\'eges dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'asok, \'es ezek az eloszl\'asok konzisztensek.

\medskip
A 2. feladat \'all\'{\i}t\'asa azt jelenti, hogy a Kolmogorov-f\'ele
alapt\'etel szerint l\'etezik a Wiener-folyamat definic\'oj\'aban
szerepl\H{o} a) tulajdons\'agot teljes\'{\i}t\H{o} Gauss-folyamat.
A b) tulajdons\'aggal kapcsolatban a helyzet bonyolultabb. Oldjuk
meg el\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} feladatot.
\medskip\noindent
{\it 3. feladat:} Legyen adva egy $\xi_t$, $0\le t\le1$,
a $[0,1]$ intervallummal mint index halmazzal indexelt
sztochasztikus folyamat valamely $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Jel\"olje $\Cal F$ a $\xi_t$,
$0\le t\le 1$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal
gener\'alt $\sigma$-algebr\'at. L\'assuk be, hogy az az
esem\'eny, hogy a $\xi_t$ folyamat folytonos trajekt\'ori\'aj\'u
nincs benne az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'aban.

\medskip
A 3. feladat eredm\'enye az\'ert \'erdekes a sz\'amunkra, mert
csak az ott defini\'alt $\sigma$-algebra esem\'enyeinek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l tudunk besz\'elni. Ha alaposabban
meg\-gon\-dol\-juk be lehet l\'atni, hogy egy szto\-chasz\-ti\-kus
folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asainak is\-me\-re\-t\'e\-ben
nem besz\'elhet\"unk annak az esem\'enynek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l, hogy a szto\-chasz\-ti\-kus
folyamat minden trajekt\'ori\'aja folytonos f\"uggv\'eny. Viszont
lehet\H{o}s\'eg\"unk van arra, hogy ha adva van egy sztochasztikus
folyamat, akkor megpr\'ob\'aljuk annak trajekt\'ori\'ait
,,kijav\'{\i}tani''  \'ugy, hogy a sztochasztikus folyamatot
defini\'al\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat egy
null-m\'ert\'ek\H{u} halmazon megv\'altoztatunk. Ez\'altal a
sztochasztikus
folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asait nem v\'altoztatjuk meg,
viszont bizonyos esetekben es\'e\-ly\"unk van arra, hogy egy
sztochasztikus folyamatban kontinum sok null-m\'ert\'ek\H{u} halmazon
v\'altoztatva a trajekt\'ori\'ak tulajdons\'agait megv\'altoztatva
jobb tulajdons\'ag\'u trajekt\'ori\'akat kapunk. Az al\'abbiakban
megfogalmazok \'es bebizony\'{\i}tok egy eredm\'enyt, amely
el\'egs\'eges felt\'etelt ad arra, hogy egy sztochasztikus folyamat
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'o\-it
null-m\'ert\'ek\H{u} halmazon
megv\'altoztatva olyan sztochasztikus folyamatot kapjunk, amelynek
trajekt\'ori\'ai folytonosak. (Term\'eszetesen az \'uj folyamat v\'eges
dimenzi\'os eloszl\'asai megegyeznek az eredeti folyamat v\'eges
dimenzi\'os eloszl\'asaival.) Azut\'an megmutatom, hogy ez az
eredm\'eny alkalmazhat\'o a Wiener-folyamatok eset\'eben is. Ez
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy a Wiener-folyamat definici\'oj\'aban
megk\"ovetelj\"uk a b) tulajdons\'agot.

Az eredm\'eny megfogalmaz\'asa el\H{o}tt bevezetem a k\"ovetkez\H{o}
definici\'ot. \medskip\noindent
{\bf Sztochasztikus folyamat sztochasztikus folytonoss\'ag\'anak a
definici\'oja.} {\it Legyen adva egy $X(t)$, $a\le t\le b$, 
szto\-chasz\-ti\-kus folyamat valamely $[a,b]$ intervallumon. Azt 
mondjuk, hogy ez a szto\-chasz\-ti\-kus folyamat folytonos valamely
$a\le t\le b$ pontban, ha minden $t_n\to t$ sz\'amsorozatra az $X(t_n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sztochasztikusan konverg\'alnak 
az $X(t)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, azaz ha minden 
$\e>0$ sz\'amra \'es $t_n\to t$ sz\'amsorozatra teljes\"ul a
$$
\lim_{t_n\to t} P(|X(t_n,\oo)-X(t,\oo)|>\e)=0
$$
rel\'aci\'o.}

\medskip
Most megfogalmazom a k\"ovetkez\H{o} Lemm\'at.

\medskip\noindent
{\bf Lemma sztochasztikus folyamat folytonos trajekt\'ori\'air\'ol.}
{\it Legyen adva egy $X(t,\oo)$, $0\le t\le1$, szto\-chasz\-ti\-kus
folyamat a $[0,1]$ intervallumon. Teljes\'{\i}tse ez a
szto\-chasz\-ti\-kus folyamat a k\"ovetkez\H{o} k\'et tulajdons\'agot.

\medskip
\item{a)} Az $X(t,\oo)$ sztochasztikus folyamat sztochasztikusan
folytonos a $[0,1]$ intervallum minden pontj\'aban.
\item{b)} A sztochasztikus folyamat majdnem minden $X(t,\oo)$,
$0\le t\le 1$, $\oo\in\Omega$, trajekt\'ori\'aja rendelkezik a
k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'aggal. Az $X\(\frac k{2^n},\oo\)$,
$n=1,2,\dots$, $0\le k\le 2^n$ f\"uggv\'eny, azaz az $X(\cdot,\oo)$
f\"uggv\'eny megszor\'{\i}t\'asa a diadikusan racion\'alis pontokra,
egyenletesen folytonos.

\medskip
Ekkor l\'etezik olyan $\bar X(t,\oo)$, $0\le t\le1$, sztochasztikus
folyamat, amelynek minden $\bar X(\cdot,\oo)$ trajekt\'ori\'aja
folytonos f\"uggv\'eny, \'es $P(\bar X(t,\oo)=X(t,\oo))=1$ minden
$0\le t\le1$ pontban.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Bel\'athat\'o, hogy a Lemm\'aban szerepl\H{o}
a) \'es b) felt\'etel teljes\"ul\'ese vagy nem teljes\"ul\'ese az
$X(t,\oo)$ sztochasztikus folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asait\'ol
f\"ugg.

\medskip\noindent
{\it A Lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Defini\'aljuk az $\bar X(t,\oo)$
sztochasztikus folyamatot a k\"ovetkez\H{o} m\'odon: Legyen
$\bar X(t,\oo)=0$ minden $0\le t\le 1$ sz\'amra egy olyan $\oo$
eset\'eben, amelyre az $X\(\frac k{2^n},\oo\)$ f\"uggv\'eny nem
egyenletesen folytonos. Az olyan $\oo$ elemi esem\'enyekre viszont,
amelyekre ez a f\"uggv\'eny egyenletesen folytonos a diadikusan
racion\'alis pontokban te\-kint\-s\"unk minden $0\le t\le 1$ sz\'amra
egy olyan $\frac{k_n}{2^n}=\frac{k_n(t)}{2^n}$ sorozatot,
$n=1,2,\dots$, amelyre $\limm_{n\to\infty}\frac{k_n}{2^n}=t$, \'es
legyen $\bar X(t,\oo)=\limm_{n\to\infty} X\(\frac{k_n}{2^n},\oo\)$.
Ez a limesz l\'etezik, mert az $X\(\frac{k_n}{2^n},\oo\)$,
$n=1,2,\dots$, sorozat Cauchy sorozat.  Az $X(t,\oo)$ \'es $\bar
X(t,\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel megegyezik, mert mind a kett\H{o}h\"oz
sztochasztikusan (a m\'ert\'ekelm\'elet nyelv\'en m\'ert\'ekben)
konverg\'al az $X\(\frac{k_n}{2^n},\oo\)$, $n=1,2,\dots$, sorozat.
Ezenk\'{\i}v\"ul az $\bar X(\cdot,\oo)$ trajekt\'ori\'ak folytonos
f\"uggv\'enyek minden $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre.

\medskip
Az el\H{o}z\H{o} lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel bebizony\'{\i}tom az
al\'abbi \'all\'{\i}t\'ast, amely a kor\'abbi ered\-m\'e\-nyek\-kel
egy\"utt biztos\'{\i}tja, hogy l\'etezik Wiener-folyamat.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel (folytonos trajekt\'ori\'aj\'u) Wiener-folyamat
l\'etez\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen adva egy olyan $\bar W(t,\oo)$,
$0\le t\le 1$, Gauss-folyamat a $[0,1]$ intervallumon, amely
teljes\'{\i}ti a Wiener-folyamat definici\'oj\'aban szerepl\H{o} a)
felt\'etelt. Ekkor l\'etezik olyan $W(t,\oo)$, $0\le t\le 1$,
Wiener-folyamat a $[0,1]$ intervallumon, amelyre
$P(W(t,\oo)=\bar W(t,\oo))=1$ minden $0\le t\le1$ sz\'amra,
\'es trajekt\'ori\'ai 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel folytonosak.}

\medskip\noindent
{\it A Wiener-folyamat l\'etez\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel
bizony\'{\i}t\'asa.}\/ El\'eg megmutatni, hogy mindk\'et a
Lem\-m\'a\-ban szerepl\H{o} felt\'etel teljes\"ul egy olyan
$\bar W(t,\oo)$ Gauss-folyamatra, amely teljes\'{\i}ti a
Wiener-folyamat
definici\'oj\'aban szerepl\H{o} a) felt\'etelt. Ezek
k\"oz\"ul az a) tulajdons\'ag teljes\"ul\'ese ny\'{\i}lv\'anval\'o
a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an,
mert $\bar W(t_n,\oo)-\bar W(t,\oo)$ 0 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
\'es $|t-t_n|$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. A b) tulajdons\'ag bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
el\'eg megmutatni azt, hogy
$$
\summ_{n=1}^\infty P\(\supp_{1\le k\le 2^n}\left|\bar
W\(\frac k{2^n},\oo\)-\bar W\(\frac{k-1}{2^n},\oo\)\right|>
2^{-n/8}\)<\infty. \tag A
$$
Ebb\H{o}l ugyanis a Borel-Cantelli lemma alapj\'an k\"ovetkezik,
hogy l\'etezik olyan $\bar\Omega\subset\Omega$, $P(\bar\Omega)=1$
esem\'eny, amelyre igaz, hogy minden $\oo\in\bar\Omega$ elemi
esem\'enyre van olyan $n(\oo)$ k\"usz\"obindex \'ugy, hogy
$\supp_{1\le k\le 2^n}\left|\bar W\(\frac k{2^n},\oo\)-\bar
W\(\frac{k-1}{2^n},\oo\)\right|\le2^{-n/8}$ minden $n\ge n(\oo)$
sz\'amra. Azt \'all\'{\i}tom, hogy ebb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
ha $t$ \'es $s$ k\'et olyan diadikus racion\'alis sz\'am, amelyre
$0<t-s<2^{-L}$ valamely (nagy) $L$ eg\'esz sz\'amra,
$\oo\in\bar\Omega$, $L\ge n(\oo)$ akkor $|X(t,\oo)-X(s,\oo)|\le
2\summ_{n=L}^\infty \supp_{1\le k\le 2^n}\left|\bar W\(\frac
k{2^n},\oo\)-\bar W\(\frac{k-1}{2^n},\oo\)\right|\le
\summ_{n=L}^\infty 2^{-n/8}\le 1000\cdot2^{-L/8}$, ahonnan
k\"ovetkezik, hogy a $\bar W(t,\oo)$ folyamat teljes\'{\i}ti a b)
tulajdons\'agot, ha $\oo\in\bar\Omega$.

A fenti egyenl\H{o}tlens\'egsorozat els\H{o}
egyenl\H{o}tlens\'eg\'enek bel\'at\'asa \'erdek\'eben tekints\"uk a
leghosszabb $\[\frac k{2^j},\frac{k+1}{2^j}\]$ intervallumokat,
amelyekre $\[\frac k{2^j},\frac{k+1}{2^j}\]\subset [s,t]$. Egy
vagy k\'et ilyen intervallum van, \'es $j\ge L$. Legyen ezen
intervallumok egyes\'{\i}t\'es\'enek a bal v\'egpontja $\frac k{2^j}$,
jobb v\'egpontja pedig $\frac{\bar k}{2^j}$, $\bar k=k+1$ vagy $\bar
k=k+2$. Mind az $\[s,\frac k{2^j}\]$ mind a $\[\frac{\bar k}{2^j},t\]$
intervallum el\H{o}\'all\'{\i}that\'o k\"ul\"onb\"oz\H{o}
hossz\'us\'ag\'u $2^{-j'}$, $j'\ge j+1$, hossz\'us\'ag\'u diadikus
intervallumok egyes\'{\i}t\'esek\'ent. Az el\H{o}bbiekb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy az $[s,t]$ intervallum el\H{o}\'all $2^{-j}$,
$j\ge L$, hossz\'us\'ag\'u diadikus intervallumok
egyes\'{\i}t\'esek\'ent, \'es ebben az egyes\'{\i}t\'esben minden
$j\ge L$-re legfeljebb~2 darab $2^{-j}$ hossz\'us\'ag\'u intervallum
szerepel. Innen k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant egyenl\H{o}tlens\'eg.

Az (A) rel\'aci\'o bizony\'{\i}t\'as\'ahoz vegy\"uk \'eszre, hogy
$$ \allowdisplaybreaks
\align
&\summ_{n=1}^\infty P\(\supp_{1\le k\le 2^n}\left|\bar
W\(\frac k{2^n},\oo\)-\bar W\(\frac{k-1}{2^n},\oo\)\right|>
2^{-n/8}\)\\
&\qquad \le\summ_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^{2^n} P\(\left|\bar
W\(\frac k{2^n},\oo\)-\bar W\(\frac{k-1}{2^n},\oo\)\right|>
2^{-n/8}\)\\
&\qquad\le\summ_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^{2^n} \frac{E\(\bar W
\(\frac k{2^n},\oo\)-\bar W\(\frac{k-1}{2^n},\oo\)\)^4}{2^{-n/2}}
=\sum_{n=1}^\infty 2^n\frac{3\cdot2^{-2n}}{2^{-n/2}}<\infty,
\endalign
$$
mert a $W\(\frac k{2^n},\oo\)-\bar W\(\frac{k-1}{2^n},\oo\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok norm\'alis eloszl\'as\'uak,
nulla v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ekkel \'es $2^{-n}$ sz\'or\'asn\'egyzettel.
Ez\'ert a negyedik momentumuk $3\cdot2^{-2n}$. A t\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'at befejezt\"uk.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti t\'etelben bel\'attuk, hogy l\'etezik a
$[0,1]$ intervallumon defini\'alt Wiener-folyamat. A jel\"ol\'esek
n\'emi v\'altoztat\'as\'aval be lehet l\'atni ugyanezzel a
m\'od\-szer\-rel, hogy tetsz\H{o}leges $T>0$ sz\'amra l\'etezik
Wiener-folyamat a $[0,T]$ intervallumon. De be lehet l\'atni azt,
hogy l\'etezik $W(t,\oo)$, $t\ge0$. Wiener-folyamat a pozit\'{\i}v
f\'elegyenesen p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o} feladat megold\'as\'anak
a seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/ Legyen $W_n(t,\oo)$, $n=1,2,\dots$, $0\le t\le1$,
f\"uggetlen Wiener-folyamatok sorozata a $[0,1]$ intervallumon.
L\'assuk be, hogy ,,ezeket a f\"uggetlen Wiener-fo\-lya\-ma\-to\-kat
\"ossze\-ra\-gaszt\-va", azaz defini\'alva a
$W(t,\oo)=\summ_{j=1}^{[t]}W_j(1,\oo)+W_{[t]+1}(\{t\},\oo)$, $0\le
t<\infty$, Wiener-folyamat a $t\ge0$ f\'elegyenesen, ahol $[t]$ a $t$
sz\'am eg\'esz r\'eszet $\{t\}$ pedit a $t$ sz\'am t\"ort r\'esz\'et
jel\"oli.

\medskip\noindent
{\it Nem k\"otelez\H{o} feladat:}\/ Mutassuk meg, (felhaszn\'alva az
el\H{o}z\H{o} bizony\'{\i}t\'as gondolatait, hogy ha egy $X(t,\oo)$,
$0\le t\le1$, sztochasztikus folyamat a $[0,1]$ intervallumon
teljes\'{\i}ti az $E|X(t,\oo)-X(s,\oo)|^{2+\alpha}\le C|t-s|^{1+\beta}$
felt\'etelt alkalmas $\alpha>0$, $\beta>0$ \'es $C>0$ konstansokkal
mindet $0\le s<t\le1$ sz\'amp\'arra, akkor l\'etezik az $X(t,\oo)$
sztochasztikus folyamatnak olyan $\bar X(t,\oo)$ m\'odos\'{\i}t\'asa,
amelyre $P(X(t,\oo)=\bar X(t,\oo)$ minden $0\le t\le 1$ sz\'amra,
\'es a $\bar X(t,\oo)$ folyamat minden trajekt\'ori\'aja folytonos
f\"uggv\'eny. (Val\'oj\'aban az $\alpha>0$ felt\'etel elhagyhat\'o
a felt\'etelk\'ent szerepl\H{o} egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l. Az\'ert
tett\"uk ezt fel, mert a legt\"obb \'erdekes esetben csak $\alpha>0$
sz\'ammal tudjuk biztos\'{\i}tani a k\'{\i}v\'ant felt\'etel
teljes\"ul\'es\'et.)

\medskip\noindent
{\it 4. feladat:}\/ Mutassuk meg, hogy egy a $[0,1]$
intervallumon defini\'alt folytonos trajekt\'ori\'aj\'u sztochasztikus
folyamat tekinthet\H{o}, mint egy $C([0,1])$-t\'er \'ert\'ek\H{u},
azaz a $[0,1]$ intervallumon \'ertelmezett folytonos \'ert\'ek\H{u}
f\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all\'o, \'es a szup\-r\'e\-mum norm\'aval
ell\'atott Banach t\'eren \'ertelmezett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. A probl\'ema jobb meg\'ert\'ese \'erdek\'eben a
megfogamazom e k\'erd\'es 4a) v\'altozat\'at, amely
meg\-ma\-gya\-r\'az\-za, mi a probl\'ema l\'enyege.

\medskip\noindent
{\it 4a. feladat:}\/ Vil\'agos, hogy egy a $[0,1]$
intervallumon \'ertelmezett folytonos trajekt\'ori\'aj\'u $X(t,\oo)$
sztochasztikus folyamat az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t lek\'epezi a $C([0,1])$ t\'erbe.
De be kell l\'atni, hogy ez a lek\'epez\'es m\'erhet\H{o}. Tudjuk,
hogy mivel minden r\"ogz\'{\i}tett $0\le t\le 1$ sz\'amra az
$X(t,\cdot)$ f\"uggv\'eny folytonos, azaz tetsz\H{o}leges Borel
m\'erhet\H{o} $B$ halmazra $\{\oo\: X(t,\oo)\in B\}\in\Cal A$, (azaz
a $B$ halmaz \H{o}sk\'epe m\'erhet\H{o}). L\'assuk be, hogy a
$C([0,1])$ t\'er tetsz\H{o}leges m\'erhet\H{o} $D$
halmaz\'ara $\{\oo\: X(t,\oo)\in D\}\in\Cal A$.

\medskip\noindent
{\it 4b. feladat:}\/ Az 4. feladat \'all\'{\i}t\'asa
szerint tetsz\H{o}leges a $[0,1]$ intervallumon defini\'alt
folytonos trajekt\'ori\'aj\'u folyamat tekinthet\H{o} \'ugy, mint
egy \'ert\'ekeit a $C([0,1])$ t\'erben felvev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. L\'assuk be, hogy e folyamat
v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai meghat\'arozz\'ak annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et is, hogy v\'eve egy tetsz\H{o}leges
Borel-m\'erhet\H{o} halmazt  a $C([0,1])$ t\'erben, a sztochasztikus
folyamat trajekt\'ori\'ai ebbe a halmazba esnek.

 \medskip\noindent
{\it 5. feladat:}\/ Az el\H{o}z\H{o} t\'etel
megold\'as\'aban fontos szerepet j\'atszott az a l\'ep\'es, hogy
adjunk j\'o becsl\'est annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy egy
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy
adott sz\'amn\'al nagyobb \'ert\'eket vesz fel. Ezt a becsl\'est
abban a bizony\'{\i}t\'asban a negyedik momentum becsl\'es\'enek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel kaptuk. Az ebben a feladatban megfogalmazott
becsl\'es pontosabb, \'es bizonyos nehezebb feladatokban erre van
sz\"uks\'eg. A k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'est fogjuk alkalmazni.
$\Phi(x)$ jel\"oli a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'enyt,
$\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, ennek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.  Mutassuk meg (parci\'alis
integr\'al\'assal), hogy minden $x>0$ sz\'amra teljes\"ul a
k\"ovetkez\H{o} egyenl\H{o}tlens\'eg:
$$
\(\frac1x-\frac1{x^3}\)\varphi(x)<1-\Phi(x)<\frac1x \varphi(x).
$$

\beginsection Wiener-folyamatok tulajdons\'agai.

Megfogalmazom azt a fontos eredm\'enyt, amelyet funkcion\'alis
centr\'alis ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel\-nek
szo\-k\'as nevezni, \'es amely a szok\'asos
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel term\'eszetes \'es fontos
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-sa. El\H{o}sz\"or felid\'ezem
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel \'altal\'anos alakj\'at.

Ez a t\'etel arr\'ol sz\'ol, hogy ha tekintj\"uk
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak egy
sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-t\'at, azaz minden egyes $k=1,2,\dots$ eg\'esz
sz\'amra megadjuk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_{k,j}$,
$j=1,2,\dots,n_k$, sorozat\'at, amelyek (r\"ogz\'{\i}tett $k$
sz\'amra) f\"uggetlenek, akkor a $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$
v\'eletlen \"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak a norm\'alis
eloszl\'ashoz nagyon \'altal\'anos fel\-t\'e\-te\-lek mellett.
E felt\'etelek k\"oz\"ul a legfontosabb az \'ugynevezett Lindeberg
felt\'etel, amelyet k\"ul\"on felid\'ezek.

\medskip\noindent
{\bf Lindeberg felt\'etel definici\'oja sz\'eriasorozatokra:}
{\it Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, olyan
sz\'eriasorozat, amelyre $E\xi_{k,j}=0$, $E\xi_{k,j}^2<\infty$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, \'es
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$. Ez a
sz\'eriasorozat akkor \'es csak akkor teljes\'{\i}ti a Lindeberg
felt\'etelt, ha tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2I\(\{|\xi_{k,j}|>\e\}\)=0,
$$
ahol $I(A)$ egy $A$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'enye.}

\medskip\noindent
{\bf Centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel sz\'eriasorozatokra a
Lindeberg felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en.}
{\it Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, olyan
sz\'eriasorozat, amelyre $E\xi_{k,j}=0$, $E\xi_{k,j}^2<\infty$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$, \'es
teljes\'{\i}tse e sz\'eriasorozat a Lindeberg felt\'etelt. Ekkor
\item{a.)} a sz\'eriasorozat tagjai teljes\'{\i}tik a
$\limm_{k\to\infty}\(\supp_{1\le j\le n_k}E\xi_{k,j}^2\)=0$
kicsis\'egi felt\'etelt.
\item{b.)} Az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$, $1\le k<\infty$,
v\'eletlen \"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak  a standard, azaz
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es 1 sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
norm\'alis eloszl\'ashoz, ha $k\to\infty$.}
\medskip
Be lehet l\'atni azt is, hogy a centr\'alis eloszl\'ast\'etel ezen
form\'aja bizonyos \'ertelemben \'eles, \'es tov\'abb nem
jav\'{\i}that\'o. Ezzel a k\'erd\'essel itt nem foglalkozunk.

Viszont megfogalmazok egy olyan eredm\'enyt, amely azt fejezi ki, hogy
amennyiben vesz\"unk egy a Lindeberg felt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o}
sz\'eriasorozatot, \'es r\"ogz\'{\i}tett $k$ sz\'amra nemcsak az
$S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ v\'eletlen \"osszeget vezetj\"uk be,
hanem az \"osszes
$$
S_k(j)=\summ_{p=1}^{j}\xi_{k,p}, \quad 1\le j\le n_k \tag B1
$$
r\'eszlet\"osszeget, \'es tekintj\"uk az $S_k(j)$, $1\le j\le n_k$,
sorozat eloszl\'as\'at, akkor ennek a\-szim\-pto\-ti\-kus viselked\'ese
bizonyos \'ertelemben j\'ol le\'{\i}rhat\'o egy Wiener-folyamat
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel.

A fenti \'all\'{\i}t\'as pontos megfogalmaz\'as\'anak \'erdek\'eben
vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} je\-l\"o\-l\'e\-se\-ket: Legyen adva
egy
$$
\aligned
&\xi_{1,1},\dots,\xi_{1,n_1}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots   \\
&\xi_{k,1},\dots,\xi_{k,n_k}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots
\endaligned \tag B2
$$
sz\'eriasorozat, amelyre $E\xi_{k,j}=0$, $E\xi_{k,j}^2=\sigma_{k,j}^2$,
$\summ_{j=1}^{n_k}\sigma^2_{k,j}=s_k^2$, \'es feltessz\"uk, hogy
teljes\"ul a $\limm_{k\to\infty}s_k^2=1$ rel\'aci\'o. Vezess\"uk be
az $S_k(0)=0$, $S_k(j)=\summ_{p=1}^j\xi_{k,p}$ \'es
$s_k(j)^2=\summ_{p=1}^j\sigma^2_p$, $\bar s_k^2(0)=0$,
$\bar s_k(j)^2=\frac{s_k(j)^2}{s_k^2}$, $1\le j\le n_k$, $k=1,2,\dots$,
mennyis\'egeket. Adjuk meg ezen mennyis\'egek seg\'{\i}ts\'eg\'evel a
k\"ovetkez\H{o} a $[0,1]$ intervallumon
defini\'alt $X_k(t)=X_k(t,\oo)$, $0\le t\le1$, (v\'eletlen) folytonos
f\"uggv\'enyeket:
$$
\aligned
X_k(\bar s^2_k(j),\oo)&=S_k(j),\quad 0\le j\le n_k\quad\text{ \'es }\\
X_k(t,\oo)& =\frac{\bar s_k(j)^2-t}{\bar s_k(j)^2-\bar
s_k(j-1)^2}X_k(\bar s^2_k(j-1),\oo)+
\frac{t-\bar s_k(j-1)^2}{\bar s_k(j)^2-\bar s_k(j-1)^2}X_k(\bar
s^2_k(j),\oo) \\
&\qquad \text{ ha } \bar s_k(j-1)^2\le t\le \bar s_k(j)^2, \quad 1\le
j\le n_k, \endaligned \tag B3
$$
azaz az $X_k(\cdot,\oo)$ f\"uggv\'eny az $\bar s_k(j)^2$ pontokban
megegyeznek az els\H{o} $j$ $\xi_{k,p}(\oo)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o \"osszeg\'evel, a
k\"ozt\"uk lev\H{o} pontokban pedig line\'aris f\"uggv\'enyk\'ent
kieg\'esz\'{\i}tj\"uk \H{o}ket. (Vegy\"uk \'eszre, hogy az 
$\bar s_k(j)^2=\frac{s_k(j)^2}{s_k^2}$ sz\'am k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg 
egyenl\H{o} az $S_k(j)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
sz\'or\'asn\'egyzet\'evel, mert $s_k(j)^2=\Var S_k(j)$, \'es
$\limm_{k\to\infty}s_k^2=1$. Ez a t\'eny teszi term\'eszetess\'e az 
$X_k(\cdot)$ sztochasztikus folyamat sk\'al\'az\'as\'at.) Tegy\"uk fel, 
hogy a (B2) sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt is. 
Ekkor alkalmazhat\'o r\'a a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel. N\'emi
plusz munk\'aval be lehet l\'atni, hogy nem\-csak az $X_k(1,\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok konverg\'alnak eloszl\'asban
a standard norm\'alis el\-osz\-l\'as\-hoz, ha $k\to\infty$, hanem az 
is igaz, hogy minden r\"ogz\'{\i}tett $t$ sz\'amra az $X_k(t,\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok konverg\'alnak eloszl\'asban
egy 0 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $t$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.
S\H{o}t, az is igaz, hogy minden $0\le t_1<t_2<\cdots<t_m\le 1$
sz\'amokra az $(X_k(t_1,\oo),\dots,X_k(t_m,\oo))$ v\'eletlen vektorok
eloszl\'asban konverg\'alnak egy olyan $(Z_1,\dots,Z_m)$
$m$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u vektor eloszl\'as\'ahoz,
amelyre $EZ_j=0$, $0\le j\le k$, $EZ_jZ_{j'}=\min(t_j,t_{j'})$. Ez
szeml\'eletesen azt jelenti, hogy nagy $k$ indexre a (B3) k\'epletben
defini\'alt $X_k(t,\oo)$ sztochasztikus fo\-lya\-mat k\"ozel van
eloszl\'asban
egy a $[0,1]$ intervallumon defini\'alt Wiener-folyamathoz. Az
al\'abbiakban megfogalmazok egy t\'etelt, amely a fent
megfogalmazattokhoz hasonl\'o, de tartalmasabb \'all\'{\i}t\'ast
fogalmaz meg. A t\'etel kimond\'asa el\H{o}tt eml\'ekeztetek
arra, hogy mint azt a 4.~feladatban megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as
megfogalmazza, egy a $[0,1]$ intervallumon defini\'alt folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u sztochasztikus folyamatot tekinthet\"unk egy
$C([0,1])$ t\'eren defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak is. Ezt az \'eszrev\'etelt alkalmazhatjuk mind a
Wiener-folyamatra, mind a (B3) k\'epletben defini\'alt folyamatokra.
Az a t\'eny, hogy egy Wiener-folyamat felfoghat\'o \'ugy, mint egy
\'ert\'ekeit a $C([0,1])$ t\'erben felvev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o lehet\H{o}v\'e teszi, hogy
bevezess\"uk az al\'abb megadand\'o Wiener m\'er\-t\'ek fogalm\'at.

\medskip\noindent
{\bf Wiener-m\'ert\'ek definici\'oja.} {\it Legyen adva egy
Wiener-folyamat a $[0,1]$ intervallumban. Tekints\"uk ezt, mint egy
\'ert\'ekeit a $C([0,1])$ t\'erben felvev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Ennek eloszl\'as\'at, azaz a
$\mu_W(A)=P(\oo\: W(\cdot,\oo)\in A)$ f\"uggv\'enyt minden a
$C([0,1])$ t\'erbeli Borel m\'erhet\H{o} $A$ halmazra, (azaz minden
olyan $A$ halmazra, amely benne van a $B([0,1])$ t\'erben l\'ev\H{o}
ny\'{\i}lt halmazok \'altal gener\'alt legsz\H{u}kebb
$\sigma$-algebr\'aban) Wiener-m\'ert\'eknek nevezz\"uk.}

\medskip
Eml\'ekeztetek tov\'abb\'a arra, hogy az eloszl\'asban val\'o
konvergencia term\'eszetes \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at defini\'alt\'ak
tetsz\H{o}leges szepar\'abilis metrikus t\'erben. Ezt gyenge
konvergenci\'anak nevezik \'altal\'aban az irodalomban, \'es
euklid\'eszi t\'erben lev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek
eset\'eben ez ekvivalens az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'aval.
T\"obb k\"ul\"onb\"oz\H{o} alakja van ennek a definici\'onak, de
ezek mindegyike
ekvivalens. A definici\'okat megadom, de ekvivalenci\'ajuk
bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek (gyenge)
konvergenci\'aj\'anak a definici\'oja, a) de\-fi\-ni\-ci\'o.}
{\it Legyen adva val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek $\mu_n$,
$n=1,2\dots$, sorozata egy $(X,\rho)$ sze\-pa\-r\'a\-bi\-lis metrikus
t\'er Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazain. Azt mondjuk, hogy e
m\'ert\'ekek sorozata gyeng\'en konverg\'al egy $\mu$ e szepar\'abilis
metrikus t\'er Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazain de\-fi\-ni\-\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekhez, ha minden
a metrikus t\'eren \'ertelmezett folytonos \'es korl\'atos 
$f(x)$ f\"ugg\-v\'eny\-re
$$
\lim_{n\to\infty}\int f(x)\mu_n(\,dx)=\int f(x)\mu(\,dx).
$$}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.} A fenti definici\'oban megk\"ovetelt\"uk, hogy az
$f(x)$ `tesztf\"uggv\'enyek' ne csak folytonosak, hanem korl\'atosak
is legyenek. Ez a megszor\'{\i}t\'as biztos\'{\i}tja, hogy
mindig besz\'elhet\"unk a (v\'eges) $\int f(x)\mu_n(\,dx)$ \'es
$\int f(x)\mu(\,dx)$ integr\'alokr\'ol.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek (gyenge)
konvergenci\'aj\'anak a definici\'oja, b1) de\-fi\-ni\-ci\'o.}
{\it Legyen adva val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek $\mu_n$,
$n=1,2\dots$, sorozata egy $(X,\rho)$ szepar\'abilis metrikus t\'er
Borel m\'erhet\H{o} r\'esz\-hal\-ma\-za\-in. Azt mondjuk, hogy e
m\'ert\'ekek sorozata gyeng\'en konverg\'al egy $\mu$ e
szepar\'abilis metrikus t\'er Borel m\'erhet\H{o}
r\'esz\-hal\-ma\-za\-in defini\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekhez, ha minden
a metrikus t\'eren l\'ev\H{o} z\'art $F$ halmazra
$$
\limsup_{n\to\infty} \mu_n(F)\le \mu(F).
$$}

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek (gyenge)
konvergenci\'aj\'anak a definici\'oja, b2) de\-fi\-ni\-ci\'o.}
{\it Legyen adva val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek $\mu_n$,
$n=1,2\dots$, sorozata egy $(X,\rho)$ szepar\'abilis metrikus t\'er
Borel m\'erhet\H{o} r\'esz\-hal\-ma\-za\-in. Azt mondjuk, hogy e
m\'ert\'ekek sorozata gyeng\'en konverg\'al egy $\mu$ e szepar\'abilis
metrikus t\'er Borel m\'erhet\H{o} r\'esz\-hal\-ma\-za\-in defini\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekhez, ha minden
a metrikus t\'eren l\'ev\H{o} ny\'{\i}lt $G$ halmazra
$$
\liminf_{n\to\infty} \mu_n(G)\ge \mu(G).
$$}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ A gyenge konvergencia a) definici\'oja \'es a
kor\'abban tanultak alapj\'an kimondhatjuk, hogy
eloszl\'asf\"uggv\'enyek $F_n$ sorozata a sz\'amegyenesen akkor \'es
csak akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez,
ha az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek \'altal meghat\'arozott $\mu_n$
Stieltjes (val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi) m\'ert\'ekek gyeng\'en
konverg\'alnak az $F$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny \'altal
meghat\'arozott $\mu$ Stieltjes m\'ert\'ekhez.

\medskip
Most kimondhatjuk az el\H{o}bb sz\'eriasorozatok \'altal defini\'alt
v\'eletlen line\-\'a\-ris da\-ra\-bok\-b\'ol \'all\'o
(t\"o\-r\"ottvonal) f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket \'ert\'ekk\'ent felvev\H{o}
sztochasztikus folyamatok gyen\-ge konvergenci\'aj\'at a
Wiener-m\'ert\'ekhez. Ezt a t\'etelt az irodalomban funkcion\'alis
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelnek h\'{\i}vj\'ak.

\medskip\noindent
{\bf Funkcion\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel}. {\it Legyen
adva egy a (B2) k\'epletben le\'{\i}rt sz\'eriasorozat, amelynek tagjai
teljes\'{\i}tik az $E\xi_{k,j}=0$, $E\xi_{k,j}^2=\sigma^2_{k,j}$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\sigma^2_{k,j}=1$ rel\'aci\'okat
\'es a Lindebeg felt\'etelt. Vezess\"uk be az e sz\'eriasorozat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a (B3) formul\'aban defini\'alt folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u $X_k(t)=X_k(t,\oo)$, $0\le t\le1$, $k=1,2,\dots$,
folytonos trajekt\'ori\'aj\'u sztochasztikus folyamatokat. Az
$X_k(t,\oo)$ sztochasztikus folyamatok gyeng\'en konverg\'alnak a
Wiener m\'ert\'ekhez, ha $k\to\infty$.}

\medskip
Felmer\"ul a k\'erd\'es, mi\'ert \'erdekes a fenti eredm\'eny.
Az\'ert, mert ez nem puszt\'an egy absztrakt t\'erben megfogalmazott
v\'altozata a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelnek, hanem maguknak
a sz\'eriasorozatok r\'eszlet\"osszegeinek aszimptotikus
viselked\'es\'er\H{o}l is l\'enyeges \'uj inform\'aci\'ot tartalmaz.
Annak \'erdek\'eben, hogy ezt meg\'erts\"uk l\'assuk be az
al\'abbi egyszer\H{u} lemm\'at, amely azt fejezi ki, hogy egy folytonos
transzform\'aci\'o gyeng\'en konvergens val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek sorozat\'at ism\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek gyeng\'en konvergens sorozat\'aba visz. Pontosabban
megfogalmazva a k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny \'erv\'enyes.

\medskip\noindent
{\bf Lemma gyeng\'en konvergens val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek konvergenci\'aj\'ar\'ol.} {\it Le\-gyen adva egy
$(X,\Cal X)$ szepar\'abilis metrikus t\'er (itt $\Cal X$
a $\rho$ metrika seg\'{\i}ts\'eg\'evel az $X$ t\'eren
defini\'alt ny\'{\i}lt halmazok \'altal gener\'alt Borel
$\sigma$-algebr\'at jel\"oli, \'es hasonl\'oan \'ertelmezz\"uk
k\'es\H{o}bb az $\Cal Y$ $\sigma$-algebr\'at egy $(Y,\Cal Y)$ t\'eren)
\'es azon val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\mu_n$ sorozata,
$n=1,2,\dots$, amely az el\H{o}bb defini\'alt gyenge konvergencia
\'ertelm\'eben konverg\'al egy $\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekhez. Legyen adva ezenk\'{\i}v\"ul egy m\'asik $(Y,\Cal Y)$
szepar\'abilis metrikus t\'er, valamint egy $T$ \/ {\rm folytonos}
transzform\'aci\'o az $(X,\Cal X)$ t\'erb\H{o}l az $(Y,\Cal Y)$
t\'erbe. Ez a transzform\'aci\'o term\'eszetes m\'odon induk\'al egy
transzform\'aci\'ot, amely minden az $(X,\Cal X)$ t\'eren
defini\'alt $\nu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eknek a
k\"ovetkez\H{o} $T\nu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'eket felelteti meg az $(Y,\Cal Y)$ t\'eren:
$T\nu(B)=\nu(\{x\: Tx\in B\})$ minden $B\in \Cal Y$ halmazra. Ekkor a
$T\mu_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek gyeng\'en
konverg\'alnak a $T\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekhez.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.} Alkalmazzuk a gyenge konvergencia~a)
definici\'oj\'at. Ekkor azt kell bel\'atni, hogy tetsz\H{o}leges az
$(Y,\Cal Y)$ t\'eren folytonos \'es korl\'atos $g(y)$ f\"uggv\'enyre
$$
\lim_{n\to\infty}\int g(y)T\mu_n(\,dy)=\int g(y)T\mu(\,dy).
$$
Vezess\"uk be a $g(y)$ f\"uggv\'eny $f(x)=g(Tx)$ \H{o}sk\'ep\'et.
Ekkor az $f(x)$ f\"uggv\'eny folytonos \'es korl\'atos, \'es a 
m\'ert\'ekelm\'elet egyik fontos eredm\'enye alapj\'an 
m\'ert\'ektart\'o transzform\'aci\'ok sze\-rin\-ti integr\'alokr\'ol
$$
\int f(x)\mu(\,dx)=\int g(y)T\mu(\,dy)\quad \text{\'es } 
\int f(x)\mu_n(dx)=\int g(y)T\mu_n(dy)
$$ 
minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra. A $\mu_n$
m\'ert\'ekek gyenge konvergenci\'aj\'ab\'ol \'es az $f(x)$
f\"uggv\'eny folytonoss\'ag\'ab\'ol \'es korl\'atoss\'ag\'ab\'ol 
k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}\int f(x)\mu_n(\,dx)=\int f(x)\mu(\,dx)$ a fenti
sze\-rep\-osz\-t\'as\-sal. A fenti \"osszef\"ugg\'esekb\H{o}l
k\"ovetkezik a lemma \'al\-l\'{\i}\-t\'a\-sa.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es 1:}\/ \'Erdemes megfogalmazni a fenti lemma
\'all\'{\i}t\'as\'at ekvivalens m\'odon m\'er\-t\'e\-kek helyett 
(metrikus t\'erbeli \'ert\'ekeket felvev\H{o}) 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel. 
Ez \'{\i}gy sz\'ol. Legyen adva $(X,\Cal X)$ szepar\'abilis, metrikus 
t\'erbeli \'ert\'ekeket felvev\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
v\'altoz\'oknak egy $\xi_n$, $n=1,2\dots$ sorozata, amelyek eloszl\'asai 
(gyeng\'en) konverg\'alnak egy $\xi$ ($(X,\Cal X)$ t\'erbeli 
\'ert\'ekeket felvev\H{o}) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
eloszl\'as\'ahoz.  Legyen $T$
az $(X,\Cal X)$ t\'er egy folytonos lek\'epez\'ese valamely $(Y,\Cal
Y)$ szepar\'abilis metrikus t\'erbe. Ekkor a $T(\xi_n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asai eloszl\'asban
konverg\'alnak a $T(\xi)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as\'ahoz.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es 2:}\/ Be lehet l\'atni, hogy igaz a fenti lemma olyan
\'eles\'{\i}t\'ese, amely szerint a Lemma \'altal\'anos\'{\i}t\'asa
\'erv\'enyben marad akkor is, ha gyeng\'{\i}tj\"uk azt a felt\'etelt,
hogy a  $T$ transzform\'aci\'o folytonos. Elegend\H{o} csak annyit
megk\"ovetelni, hogy a $T$ transzform\'aci\'o egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel folytonos a $\mu$ (hat\'ar)m\'ert\'ek
szerint. Ez az \'altal\'anos\'{\i}t\'as \'erdekes bizonyos
alkalmaz\'asokban.

\medskip
A fenti lemma sz\'amunkra abban a speci\'alis esetben \'erdekes,
amikor az $(X,\Cal X)$ t\'er a $[0,1]$ intervallumon defini\'alt
folytonos f\"uggv\'enyek $C([0,1])$ tere, $(Y,\Cal Y)$ a sz\'amegyenes
vagy egy v\'eges dimenzi\'os euklid\'eszi t\'er a szok\'asos Borel
$\sigma$-algebr\'aval, \'es alkalmazunk egy $T$ transzform\'aci\'ot
a $C([0,1])$ t\'erb\H{o}l ebbe a v\'eges dimenzi\'os
euklid\'eszi t\'erbe. Ekkor a funkcion\'alis centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelnek \'erdekes k\"ovetkezm\'enyei vannak.
Te\-kint\-het\-j\"uk p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'akat:
$T_1f=\supp_{0\le x\le1}|f(x)|$, $T_2f=\supp_{0\le x\le1}f(x)$,
$T_3f=\int_0^1 f^2(x)\,dx$, $T_4f=(T_1f,T_2f,T_3f)$. Ezen a
transzform\'aci\'ok mindegyike folytonos, k\"oz\"ul\"uk az els\H{o}
h\'arom a sz\'amegyenesre, a negyedik a h\'arom dimenzi\'os
euklid\'eszi t\'erbe k\'epez. A $T_1$ transzform\'aci\'o alkalmaz\'asa
p\'eld\'aul azt adja, hogy ha egy sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti
a funkcion\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel felt\'eteleit,
akkor a $\supp_{1\le j\le n_k}\left|\summ_{p=1}^j\xi_{k,p}\right|$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak egy a $[0,1]$
intervallumban defini\'alt Wiener-folyamat szupr\'emum\'anak
eloszl\'as\'ahoz. Hasonl\'oan lehet egy hat\'areloszl\'ast\'etelt
mondani $T_2$, $T_3$ vagy $T_4$ transzform\'aci\'o alkalmaz\'asa
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Vegy\"uk \'eszre azt is, hogy a
hat\'areloszl\'as csak a hat\'arfolyamatt\'ol (a Wiener-folyamatt\'ol)
f\"ugg, teh\'at minden a funkcion\'alis centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel felt\'eteleit
teljes\'{\i}t\H{o} sz\'eriasorozatra ugyanaz.

Inform\'alis m\'odon a fenti eredm\'enyek \'ugy interpret\'alhat\'oak,
hogy a funkcion\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel felt\'eteleit
teljes\'{\i}t\H{o} sz\'eriasorozatokb\'ol k\'epzett
r\'eszlet\"osszegek sorozatai nagy indexre hasonl\'oan viselkednek,
\'es ezt a hasonl\'o viselked\'est a Wiener-folyamat
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel \'{\i}rhatjuk le.

\medskip
V\'eg\"ul megjegyzem, hogy Brown angol biol\'ogusnak az
ismertet\'es elej\'en eml\'{\i}tett azon megfigyel\'es\'enek a
h\'atter\'eben, amely  miatt a Wiener-folyamatot Brown mozg\'asnak
is h\'{\i}vj\'ak,  szint\'en a funkcion\'alis centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel van. Egy apr\'o r\'eszecske az id\H{o}
folyam\'an sok egym\'ast\'ol  f\"uggetlen apr\'o l\"ok\'est kap,
\'es mozg\'asa az ezen l\"ok\'esek hat\'as\'ara v\'egzett
sok kis egym\'ast\'ol f\"uggetlen elmozdul\'as \"osszegek\'ent
\'all el\H{o}. A funk\-cio\-n\'a\-lis centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel szerint egy ilyen p\'alya
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg \'ugy viselkedik, mint egy Wiener-folyamat
trajekt\'ori\'aja.


\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es.
{\it Megjegyz\'esek a feladatok megold\'as\'ahoz.}


\medskip\noindent
{\it 1.  feladat}\/ Egy $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ vektort
$k$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as\'u vektornak
nevez\"unk, ha koordin\'at\'ai f\"uggetlen, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Azokat a
vektorokat nevezz\"uk norm\'alis eloszl\'as\'unak, amelynek
eloszl\'asa megegyezik egy $\xi A+m$ v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'aval, ahol $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u vektor,
$A$ egy $k\times k$ m\'atrix $m$ egy $k$-dimenzi\'os
 (determinisztikus) vektor. N\'emi sz\'amol\'assal bel\'athat\'o,
hogy egy ilyen vektor kovariancia m\'atrixa $D=A^*A$ alak\'u. A
line\'aris algebra bizonyos eredm\'enyeib\H{o}l k\"ovetkezik, hogy a
$D=A^*A$ egyenletnek (r\"ogz\'{\i}tett $D$ m\'atrixra) akkor \'es csak
akkor van megold\'asa, ha $D$ szimmetrikus pozit\'{\i}v
(szemi)definit m\'atrix. (Mi\'ert?) Viszont egy ilyen egyenletnek nem
csak egy $A$ m\'atrix lehet a megold\'asa. Ennek ellen\'ere a $D$
kovariancia m\'atrix \'es az $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ek m\'atrix
meghat\'arozza egy norm\'alis eloszl\'as\'u vektor eloszl\'as\'at.
Ennek egy lehets\'eges magyar\'azata: El\'eg megmutatni, hogy a
$\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$Ee^{i(t,\xi)}$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et meghat\'arozza a $D$
kovariancia m\'atrix \'es  $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ek. M\'asr\'eszt be
lehet l\'atni, hogy $Ee^{i(t,\xi)}=e^{-(t, Dt)/2+i(m,t)}$.
\medskip\noindent
{\it 2. feladat}\/ Az eloszl\'asok megegyez\'es\'ehez a tekintett
vektorok norm\'alis eloszl\'asa \'es nulla v\'arhat\'o \'ert\'eke
miatt elegend\H{o} a kovarianciam\'atrixok megegyez\'es\'et
ellen\H{o}r\'{\i}zni. A konzisztencia k\"onnyen
l\'athat\'o, ha meg\'ertj\"uk, mir\H{o}l van sz\'o.
\medskip\noindent
{\it 3. feladat}\/ (V\'azlatos indokl\'as) A $\sigma$-algebra csak
megsz\'aml\'alhat\'o sok koordi\'at\'at\'ol f\"ugg\H{o} esem\'enyeket
tartalmaz. Egy f\"uggv\'eny ismerete viszont megsz\'aml\'alhat\'o sok
koor\-di\-n\'a\-t\'a\-j\'a\-ban nem hat\'arozza meg, hogy folytonos-e,
mert a t\"obbi koordin\'at\'aban el lehet rontani a folytonoss\'agot.
\medskip\noindent
{\it 4. feladat}\/ Mind a 4), mind a 4a) mind a 4b) feladat
megold\'asa a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as igazol\'as\'an alapul:

Tekints\"uk az $(R^{[0,1]},\Cal C^{[0,1]})= \(\prodd_{t\in[0,1]} R_t,
\prodd_{t\in[0,1]} \Cal B_t\)$ szorzatteret, ahol $R_t$ a
sz\'am\-egye\-nes\-nek $\Cal B_t$ pedig a sz\'amegyenes
$\sigma$-algebr\'aj\'anak egy a $t$ sz\'ammal
pa\-ra\-m\'e\-te\-re\-zett p\'eld\'anya. Jel\"olje $Z$ az \"osszes a
$[0,1]$ intervallumon folytonos f\"uggv\'enyb\H{o}l \'all\'o halmazt,
\'es tekints\"uk az $(R^{[0,1]},\Cal C^{[0,1]})$ t\'er $(Z,\Cal Z)$
megszor\'{\i}t\'as\'at a $Z$ halmazra. Ez azt jelenti, hogy vessz\"uk
a $Z$ halmazt, \'es $\Cal Z$ azokb\'ol a  $B$ halmazokb\'ol \'all,
amelyek el\H{o}\'allnak $B=Z\cap A$, $A\in\Cal C^{[0,1]}$ alakban.
Nem neh\'ez bel\'atni, hogy $\Cal Z$ a $Z$ halmaz bizonyos
r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra.  Azt \'all\'{\i}tjuk,
hogy tetsz\H{o}leges a $C([0,1])$ t\'erben Borel m\'erhet\H{o} halmaz
benne van a $\Cal Z$  $\sigma$-algebr\'aban. (Az is igaz, hogy a
$\Cal Z$ $\sigma$-algebra megegyezik a $C([0,1])$ t\'er Borel
$\sigma$-algebr\'aval, de ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a m\'asodik
fel\'ere nem lesz sz\"uks\'eg\"unk.)

Az el\H{o}bbi \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
el\'eg megmutatni azt, hogy a $C([0,1])$ t\'er minden $G$ ny\'{\i}lt
halmaz\'ara  $G\in \Cal Z$, mert ebb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy minden
a ny\'{\i}lt halmazok \'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'aj\'aban
lev\H{o} $B$ halmazra, $B\in\Cal Z$.

Tov\'abb lehet reduk\'alni az \'all\'{\i}t\'ast a k\"ovetkez\H{o}
tipus\'u halmazokra: Ha $x=x(t)\in C([0,1])$, $\e>0$, akkor legyen
$S(x,\e)=\{y\: y\in C([0,1]),\; \sup\limits_{t\in
[0,1]}|x(t)-y(t)|<\e\}$. El\'eg bel\'atni, hogy minden
$S(x,\e)$ tipus\'u halmazra $S(x,\e)\in \Cal Z$, mert
tetsz\H{o}leges ny\'{\i}lt halmaz el\H{o}\'all\'{\i}that\'o
megsz\'aml\'alhat\'o sok ilyen halmaz uni\'ojak\'ent.
A k\"ovetkez\H{o} meggondol\'as mutatja, hogy $S(x,\e)\in \Cal Z$.
Jel\"olje $Q$ a ra\-ci\-o\-n\'a\-lis sz\'amok halmaz\'at a $[0,1]$
intervallumban. Ekkor
$$
S(x,\e)=\bigcup_{n=1}^\infty\(\bigcap_{r\in
Q}\left\{y\: y\in Z,|y(r)-x(r)|<\(1-\frac1n\)\e\right\}\)\in\Cal Z.
$$
(Mi\'ert?)

\medskip\noindent
Az, hogy az $X(\cdot,\oo)$ folytonos trajekt\'ori\'aj\'u folyamat
azt jelenti, hogy $X(\cdot,\oo)\in Z$ minden $\oo\in\Omega$ elemi
esem\'enyre. Mivel a $C([0,1])$ t\'er minden $B$ Borel m\'erhet\H{o}
halmaza el\H{o}\'all $B=A\cap
Z$, $A\in\Cal C^{[0,1]}$ alakban, ez\'ert $\{\oo\:X(\cdot,\oo)\in
B\}=\{\oo\:X(\cdot,\oo)\in B\cap Z\} =\{\oo\:X(\cdot,\oo)\in A\}
\in \Cal A$, \'es a $P(X(\cdot,\oo)\in A)=P(X(\cdot,\oo)\in B$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget meghat\'arozz\'ak az $X(\cdot,\oo)$
sztochasztikus folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai. Innen
k\"ovetkezik mind a 4a) mind a 4b) feladat \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip\noindent
{\it 5. feladat}\/ Parci\'alis integr\'al\'assal bel\'athat\'o, hogy
$$
\align
\int_x^\infty e^{-u^2/2}\,du&=\frac1x e^{-x^2/2}-
\int_x^\infty\frac1{u^2} e^{-u^2/2}\,du\\
&=\frac1x e^{-x^2/2}-\frac1{x^3}e^{-x^2/2}+
\int_x^\infty\frac3{u^4} e^{-u^2/2}\,du\;,
\endalign
$$
\'es ebb\H{o}l az azonoss\'agb\'ol levezethet\H{o}  a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.





\bye

{\it 1. feladat.}\/ Be kell l\'atni, hogy a feladatban megadott
halmazrendszer $\sigma$-algebr\'at alkot. Haszn\'aljuk fel ennek
igazol\'as\'ahoz azt a halmazelm\'eleti t\'enyt, hogy
megsz\'aml\'alhat\'o sok megsz\'aml\'alhat\'o halmaz uni\'oja is
megsz\'aml\'alhat\'o. Ennek a t\'enynek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel
vegy\"uk \'eszre, hogy ha tekint\"unk megsz\'aml\'alhat\'o sok a
halmazrendszerben szerepl\H{o} halmazt, akkor feltehetj\"uk, hogy
ezek mindegyike ugyanazon megsz\'aml\'alhat\'o sok f\"uggv\'eny
\'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'aban van.
\medskip\noindent
{\it 1. a feladat}\/ (V\'azlatos indokl\'as) Ahhoz, hogy a tekintett
halmazf\"uggv\'eny $\sigma$-addit\'{\i}v legyen, ahhoz el\'eg ezt a
tulajdons\'agot megk\"ovetelni akkor, ha a t\'er indexhalmaz\'at
(tetsz\H{o}leges m\'odon) megszor\'{\i}tjuk megsz\'aml\'alhat\'o sok
koordin\'at\'ara. \'Atindexel\'essel vi\-szont
feltehetj\"uk, hogy ez a term\'eszetes sz\'amok halmaza.