\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm

\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
%\parskip=2.5pt plus 1.2pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script =cmcsc10


\define\stimess {\operatornamewithlimits{\times}}

\beginsection Sztochasztikus folyamatok fogalma \'es megad\'asa.

El\H{o}sz\"or r\"oviden ismertetem az el\H{o}ad\'as c\'{\i}m\'eben
szerepl\H{o} sztochasztikus folyamat de\-fi\-nic\'o\-j\'at, illetve
t\'argyalom azt a k\'erd\'est, hogy hogyan lehet \'es \'erdemes
egy sztochasztikus folyamatot megadni. E k\'erd\'esek tiszt\'az\'asa
\'erdek\'eben felid\'ezem a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
definici\'oj\'at. \'Erdemes ezt a fogalmat el\H{o}sz\"or a
leg\'altal\'anosabb esetben ismertetni, amikor egy nem felt\'etlen\"ul
val\'os vagy vektor \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot tekint\"unk.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok (\'altal\'anos)
definici\'oja.} {\it Legyen adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o} (azaz egy $\Omega$
halmaz, amelyet biztos esem\'enynek is neveznek, valamint egy az
$\Omega$ halmaz bizonyos (m\'erhet\H{o}nek nevezett)
r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\Cal A$ $\sigma$-algebra \'es egy az
$\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an defini\'alt $P$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek), tov\'abb\'a egy
$(X,\Cal F)$ m\'erhet\H{o} t\'er, azaz egy $X$ halmaz \'es annak
bizonyos (m\'erhet\H{o}nek nevezett) r\'eszhalmazait tartalmaz\'o
$\Cal F$ $\sigma$-algebra. Azt mondjuk, hogy egy az
$(\Omega,\Cal A,P)$ t\'eren defini\'alt, \'es \'ert\'ekeit az
$(X,\Cal F)$ t\'eren felvett m\'erhet\H{o} $\xi(\oo)$ f\"uggv\'eny egy
$(X,\Cal F)$ \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Ez azt jelenti, hogy a $\xi\colon \Omega\to F$ lek\'epez\'es
m\'erhet\H{o}. A $\xi\colon \Omega\to F$  lek\'epez\'est
akkor nevezz\"uk m\'erhet\H{o}nek, ha minden $F\in \Cal F$
m\'erhet\H{o} halmaz \H{o}sk\'epe, azaz az
$\{\oo\colon \xi(\oo)\in F\}$ halmaz m\'erhet\H{o}, m\'as sz\'oval
$\{\oo\colon \xi(\oo)\in F\}\in \Cal A$. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\'us\'egi
v\'altoz\'o \'ert\'ek\'et egy $F\in \Cal F$ halmazban
veszi fel a $P(\xi\in F)= P\{\oo\colon \xi(\oo)\in F\}$ k\'eplet
adja meg.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} A fenti kiss\'e form\'alisnak t\H{u}n\H{o}
definici\'o az\'ert term\'eszetes, mert egyr\'eszt nem
megszor\'{\i}t\'o abban az \'ertelemben, hogy minden minket
\'erdekl\H{o} esetben al\-kal\-maz\-ha\-t\'o, m\'asr\'eszt biztos\'{\i}tja,
hogy mindazok a term\'eszetes heurisztikus \'ervel\'esek, amelyeket
haszn\'alni szeretn\'enk igazolhat\'oak. K\"ul\"on kiemelem azt a
t\'enyt, hogy sokszor, amikor v\'egtelen \"osszegekkel sz\'amolunk,
azt a t\'enyt haszn\'aljuk fel, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
nemcsak addit\'{\i}v, hanem $\sigma$-addit\'{\i}v is. A
m\'ert\'ekelm\'elet eredm\'enyei seg\'{\i}ts\'eg\'evel
megmutathat\'o, hogy ez a plusz felt\'etel is teljes\'{\i}thet\H{o}.
Ennek azonban az az \'ara, hogy nem tudunk minden esem\'enynek, hanem
csak bizonyos `sz\'ep' m\'erhet\H{o} halmazoknak meg\-fe\-le\-l\H{o}
ese\-m\'e\-nyek\-nek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l besz\'elni.
Az ilyen esem\'enyek egy\"utt egy $\sigma$-algebr\'at alkotnak.
Ez\'ert jelenik meg a definici\'oban az els\H{o} hall\'asra
idegen\"ul hangz\'o $\sigma$-algebra fogalma. Vi\-szont az
\"osszes minket \'erdekl\H{o} esem\'eny, amelynek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l besz\'elni k\'{\i}v\'anunk
r\'esze ennek a $\sigma$-algebr\'anak. Ez\'ert
ennek bevezet\'ese nem okoz val\'odi probl\'em\'at.

\medskip\noindent
{\bf Val\'os \'es vektor \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok definici\'oja.} {\it
Val\'os illetve $n$-dimenzi\'os vektor \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'on egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n de\-fi\-ni\-\'alt
$(R,\Cal B)$, illetve $(R^n,\Cal B^n)$ \'ert\'ek\H{u} m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'enyt \'ert\"unk, ahol $R$ a val\'os
sz\'amok halmaz\'at, $R^n$ pedig az $n$-dimenzi\'os Euklideszi teret
jel\"oli. Tov\'abb\'a $\Cal B$ a Borel m\'erhet\H{o} halmazok
$\sigma$-algebr\'aja az $R$ t\'eren, $\Cal B^n$ pedig a Borel
m\'erhet\H{o} halmazok $\sigma$-algebr\'aja az $R^n$ t\'eren. (A Borel
$\sigma$-algebra a ny\'{\i}lt halmazokat tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb
$\sigma$-algebra.)}

\medskip\noindent
E bevezet\'es ut\'an ismertetem a sztochasztikus folyamatok
fogalm\'at.

\medskip\noindent
{\bf Sztochasztikus folyamatok definici\'oja.} {\it Legyen adva egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} \'es egy
tetsz\H{o}leges $T$ (index)halmaz.  Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oknak  az $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n
de\-fi\-ni\-\'alt \'es a
$T$ halmaz elemeivel indexelt $\xi_t$, $t\in T$, rendszer\'et az
$(\Omega,\Cal A,P)$ t\'eren de\-fi\-ni\-\'alt (\'es a $T$ halmazzal
indexelt) sztochasztikus folyamatnak nevez\"unk. Az
al\-kal\-ma\-z\'a\-sok t\"obbs\'eg\'eben a $T$ halmazt a (nem-negativ)
val\'os vagy eg\'esz sz\'amok halmaz\'anak v\'alasztjuk.} 

\medskip
Megjegyzem, hogy az esetek t\"obbs\'eg\'eben  csak {\it val\'os
\'ert\'ek\H{u}}\/ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat fogunk
tekinteni, de az \'altal\'anos definici\'o szerint tetsz\H{o}leges
($(X,\Cal X)$ m\'erhet\H{o} t\'eren \'ertelmezett) m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'enyt is val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
nevez\"unk. Ezt a szabads\'agot felhaszn\'alva id\H{o}nk\'ent vektor
vagy komplex sz\'am \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okr\'ol is besz\'elhet\"unk.

\medskip\noindent
{\bf Nem k\"otelez\H{o} feladat:} {\it Legyen adva egy $T$ indexhalmaz
\'es az $(R,\Cal B)$ val\'os sz\'am\-egye\-nes\-nek a rajta defini\'alt
$\Cal B$ Borel $\sigma$-algebr\'aval a $T$ halmaz elemeivel indexelt
$(R_t,\Cal B_t)$, $t\in T$, p\'eld\'anyai minden $t\in T$ elemre.
Tekints\"uk az $(R_t,\Cal B_t)$ m\'erhet\H{o} terek
$(R^T,\Cal B^T)=\prodd_{t\in T}(R_t,\Cal B_t)$ direkt szorzat\'at  az
minden $t\in T$ elemre, ami egy \'uj $(R^T,\Cal B^T)$ m\'erhet\H{o} t\'er.
Mutassuk meg, hogy a $T$-halmazzal indexelt val\'os \'ert\'ek\H{u}
sztochasztikus folyamatokat a k\"ovetkez\H{o} m\'odon is
defini\'alhattuk volna ekvivalens m\'odon: Egy $T$-halmazzal indexelt
val\'os \'ert\'ek\H{u} sztochasztikus folyamat egy
$(R^T,\Cal B^T)$ \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.}
\medskip

Felmer\"ul az a k\'erd\'es, hogy hogyan adhatunk meg egy sztochasztikus
folyamatot. Eml\'ekeztetek arra, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat \'altal\'aban nem \'ugy adtunk meg, hogy defini\'altuk
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t \'es rajta a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, hanem megadtuk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et, \'es azt mondtuk, hogy valamely
(k\"ozelebbr\H{o}l nem defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n) egy olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot
tekint\"unk, amely\-nek ez az eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ahhoz, hogy ezt
megtehess\"uk sz\"uks\'eg\"unk volt egy olyan eredm\'enyre, amely
pontosan jellemezte az eloszl\'asf\"uggv\'enyeket. Term\'eszetes
k\'{\i}v\'ans\'ag az, hogy k\'epesek legy\"unk
sztochasztikus folyamatokat hasonl\'oan jellemezni.

E k\'erd\'es vizsg\'alata el\H{o}tt id\'ezz\"uk fel a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol sz\'ol\'o
anal\'og ered\-m\'enyt.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.}\/ {\it Egy $F(u_1,\dots,u_k)$ f\"ugg\-v\'eny
akkor \'es csak akkor eloszl\'asf\"uggv\'enye alkalmas
$\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak
valamely $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
azaz akkor \'es csak akkor l\'etezik
$\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak
olyan rendszere egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
amelyre
$$
P(\xi_1<u_1,\dots,\xi_k<u_k)=F(u_1,\dots,u_k)
$$
minden $u_1,\dots,u_k$ val\'os sz\'am-$k$-asra,
ha ez az $F$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
(i)---(iv) tulajdons\'agokat. \medskip
\item\item {(i)} $F(u_1,\dots,u_k)$ minden v\'altoz\'oj\'anak
balr\'ol folytonos f\"uggv\'enye.
\itemitem {(ii)} $\lim\limits\Sb u_j\to\infty \\ \text{minden }
j=1,\dots,k\text{ sz\'amra}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=1$.
\itemitem{(iii)} $\lim\limits\Sb u_j\to-\infty \\ \text{valamely }
1\le j\le k\text{ sz\'amrra}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=0$. (Ez \'ugy
\'ertend\H{o}, hogy az \"osszes $u_s$, $1\le s\le k$, $s\neq j$
koordin\'at\'at r\"ogz\'{\i}tj\"uk, \'es $u_j\to-\infty$.)
\itemitem{} V\'eg\"ul defini\'aljuk egy az $R^k$ t\'eren defini\'alt
$F$ f\"uggv\'enyre \'es egy
$\bold K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ t\'eg\-la\-test\-re a
$$
\mu(\bold K)=\mu_F(\bold K)=\sum\Sb u_j=\; a_j\text{ vagy
}b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)}F(u_1,\dots,u_k)
$$
mennyis\'eget, ahol $\chi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k
sz\'am\'at az $u_1,\dots,u_k$ sorozatban. Ekkor
\itemitem{(iv)} $\mu_F(\bold K)\ge 0$ minden $\bold K$ t\'eglatestre.}
\medskip

Az el\H{o}bb megfogalmazott t\'etel \'all\'{\i}t\'as\'anak az egyik
fele, az hogy egy v\'e\-let\-len vektor
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye teljes\'{\i}ti a fent
megfogalmazott (i)--(iv) tulajdons\'agokat viszonylag egyszer\H{u}.
Csak a (iv) tulajdons\'ag igazol\'asa ig\'enyel n\'emi munk\'at. Azt
kell meg\'erteni, hogy a viszonylag bonyolult $\mu(\bold K)$ sz\'am
megegyezik a $P(a_j\le\xi_j<b_j,\,1\le j\le k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. A t\'etel m\'asik r\'esz\'enek az
\'all\'{\i}t\'as\'at nehezebb bizony\'{\i}tani.
Az a feladat, hogy adva egy (i)--(iv) tulajdons\'agokat
teljes\'{\i}t\H{o} $F(u_1,\dots,u_k)$ f\"ugg\-v\'eny, konstru\'aljunk
egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t
\'es azon az el\H{o}\'{\i}rt tulajdons\'agokkal rendelkez\H{o}
$\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat.

A fenti tulajdons\'agokkal rendelkez\H{o} modell konstrukci\'oja
a k\"ovetkez\H{o} \'ugyevezett Stieltjes m\'ert\'ek
l\'etez\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o \'all\'{\i}t\'ason alapul:

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a Stieltjes m\'ert\'ek l\'etez\'es\'er\H{o}l.} {\it
Legyen $F(u_1,\dots,u_k)$ olyan $k$-v\'altoz\'os f\"ugg\-v\'eny,
amely teljes\'{\i}ti az el\H{o}z\H{o} t\'etelben megfogalmazott
(i)--(iv) tulajdons\'agokat. Ekkor l\'etezik \'es egy\'ertelm\H{u}en
meg van hat\'arozva egy olyan $\mu_F$ Stieltjes m\'ert\'ek az $R^k$
$k$-dimenzi\'os t\'er Borel m\'erhet\'o halmazainak $\Cal B^k$
$\sigma$-algebr\'aj\'an, amely nem negat\'{\i}v $\sigma$-addit\'{\i}v
hal\-maz\-f\"ugg\-v\'eny ezen a $\sigma$-algebr\'an, $\mu_F(R^k)=1$,
\'es
$$
\mu_F(\{v_1,\dots,v_k\}\:v_j<u_j,\,1\le j\le k\})=F(u_1,\dots,u_k)
$$
minden $u_1,\dots,u_k$ val\'os sz\'amra.}

\medskip
R\"oviden ismertetem, hogyan lehet a fenti t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a k\'{\i}v\'ant konstrukci\'ot megadni.
Legyen $(\Omega,\Cal A,P)=(R^k,\Cal B^k,\mu_F)$, ahol $R^k$ a
$k$-dimenzi\'os Eulideszi t\'er, $\Cal B^k$ a rajta defini\'alt Borel
$\sigma$-algebra, \'es $\mu_F$ az adott tulajdons\'ag\'u $F$
f\"uggv\'eny \'altal meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott Stieltjes m\'ert\'ek.
Defini\'aljuk a $\xi_j(\oo)$, $1\le j\le k$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat a fenti $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n a k\"ovetkez\H{o}k\'epp: Ha $\oo=(x_1,\dots,x_k)$, akkor
$\xi_j(\oo)=x_j$, $1\le j\le k$. Nem neh\'ez bel\'atni, hogy a fenti
konstrukci\'o teljes\'{\i}ti az \"osszes k\'{\i}v\'ant tulajdons\'agot.
Az egyetlen neh\'ezs\'eg a bizony\'{\i}t\'asban annak megmutat\'asa,
hogy val\'oban val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t defini\'altunk.
Ehhez azt kell tudnunk, hogy $\mu_F$ val\'oban ($\sigma$-addit\'{\i}v)
m\'ert\'ek, \'es ezt mondja ki az el\H{o}bb megfogalmazott t\'etel.

Vektor \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asainak jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etelnek fon\-tos
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa az al\'abb ismertetend\H{o} t\'etel, amely
megadja, hogy
mikor lehet szto\-chasz\-tikus folyamatokat azok v\'eges dimenzi\'os
eloszl\'asainak seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadni. Ennek ki\-mon\-d\'a\-sa
el\H{o}tt bevezetek egy a t\'etelben term\'eszetes m\'odon
megjelen\H{o} definici\'ot.

\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok konzisztenci\'aj\'anak definici\'oja.} {\it Legyen
adva valamely $T$ (v\'egtelen) halmaz, \'es legyen a $T$ halmaz minden
$\{t_1,\dots,t_n\}\subset T$ r\'eszhalmaz\'ahoz egy ezen halmaz
ele\-me\-i\-vel indexelt $F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})$
eloszl\'asf\"uggv\'eny hozz\'arendelve. (Ezek szeml\'eletes tartalma a
k\'es\H{o}bbi alkalmaz\'asokban az lesz, hogy ha egy
a $T$ halmazzal indexelt szto\-chasz\-ti\-kus folyamatot
megszor\'{\i}tunk
a $\{t_1,\dots,t_n\}$ halmazra, akkor ennek a v\'eletlen vektornak az
eloszl\'asa legyen $F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})$.) Azt
mondjuk, hogy a v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asok ezen rendszere
konzisztens, ha tetsz\H{o}leges v\'eges
$\{t_1,\dots,t_n\}\subset T$ halmazra \'es annak (v\'eges)
$\{t_1,\dots,t_n,\bar t_1,\dots,\bar t_m\}\subset T$
kiterjeszt\'es\'ere
$$
F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})=
F_{t_1,\dots,t_n,t_{n+1},\dots,t_{n+m}}(x_{t_1},\dots,x_{t_n},\infty,
,\dots,\infty),
$$
ahol
$$
\align
&F_{t_1,\dots,t_n,t_{n+1},\dots,t_{n+m}}(x_{t_1},\dots,x_{t_n},\infty,
,\dots,\infty) \\
&\qquad=\lim_{x_{t_{n+1}}\to\infty}\cdots
\lim_{x_{t_{n+m}}\to\infty}
F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n},x_{t_{n+1}},\dots,x_{t_{n+m}}),
\endalign
$$
\'es tetsz\H{o}leges
$\{t_1,\dots,t_n\}\subset T$ halmazra \'es annak tetsz\H{o}leges
$\{t_{\pi(1)},\dots,t_{\pi(n)}\}\subset T$ permut\'aci\'oj\'ara
$$
F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})=
F_{t_{\pi(1)},\dots,t_{\pi(n)}}(x_{t_{\pi(1)}},\dots,x_{t_{\pi(n)}}).
$$
}\medskip
Ezen definici\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadhatjuk az al\'abbi, a
sztochasztikus folyamatok megad\'as\'aban alapvet\H{o} fontoss\'ag\'u
t\'etelt.

\medskip\noindent
{\bf A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as Kolmogorov-f\'ele
alapt\'etele.} {\it Legyen adva egy (v\'egtelen) $T$ halmaz, valamint
$F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})$ v\'eges dimenzi\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy a $T$ halmaz
$\{t_1,\dots,t_n\}\subset T$ v\'eges r\'eszhalamazaival indexelt
konzisztens rendszere. Ekkor l\'etezik egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, azon egy
$\xi_t$, $t\in T$, a $T$ halmazzal in\-de\-xelt szto\-chasz\-ti\-kus
folyamat \'ugy, hogy minden  $\{t_1,\dots,t_n\}\subset T$ v\'eges
halamazra a $(\xi_{t_1},\dots,\xi_{t_n})$ v\'eletlen vektor
eloszl\'asf\"uggv\'enye az $F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})$
eloszl\'asf\"uggv\'eny.} \medskip

Megfogalmazok egy Kolmogorovt\'ol sz\'armaz\'o
m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyt, amely\-b\H{o}l k\"onnyen
levezethet\H{o} a fenti alapt\'etel, \'es ezt a levezet\'est
r\"oviden ismertetem. A
m\'ert\'ekelm\'eleti t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at viszont elhagyom.
A t\'etel kimond\'asa el\H{o}tt bevezetek n\'eh\'any jel\"ol\'est.

Legyen adva egy $T$ v\'egtelen halmaz, \'es tekints\"uk a
sz\'amegyenesnek a hozz\'a tartoz\'o Borel $\sigma$-algebr\'aval
egy\"utt egy eme $T$ halmazzal indexelt $(R_t,\Cal B_t)$, $t\in T$,
p\'eld\'anyait, \'es vegy\"uk ezeknek $(R^T,\Cal
B^T)=\(\prodd_{t\in T} R_t, \prodd_{t\in T} \Cal
B_t\)$ direkt szorzat\'at. Defini\'aljuk tov\'abb\'a a k\"ovetkez\H{o}
$\Cal B_0^T$ halmazrendszert, amely val\'oj\'aban a
$\Cal B^T$ $\sigma$-algebra v\'eges sok koordin\'at\'at\'ol f\"ugg\H{o}
hengerhalmazaib\'ol \'all, \'es halmaz-algebr\'at alkot. Egy $B$
halmaz akkor \'es csak akkor eleme a $\Cal B_0^T$ halmazrendszernek, ha
l\'etezik olyan $T_0=\{t_1,\dots,t_n\}\subset T$ v\'eges r\'eszhalmaza
a $T$ halmaznak, \'es olyan $\bar B=\bar B(t_1,\dots,t_n)$ halmaz,
amelyre teljes\"ul a $\bar B\in \prodd_{j=1}^n (R_{t_j}, \Cal B_{t_j})$,
rel\'aci\'o, \'es $B$ a $\bar B$ \'altal meghat\'arozott hengerhalmaz
az $(X^T,\Cal B^T)$ t\'erben, azaz valamely $x=\{x_t,\,t\in T\}\in
R^T$ pontra az $x\in B$ rel\'aci\'o
akkor \'es csak akkor teljes\"ul, ha $(x_{t_1},\dots,x_{t_n})\in\bar
B$. Ezut\'an megfogalmazom a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel A.} {\it Legyen adva egy $T$ v\'egtelen halmaz, \'es
tekints\"uk a sz\'amegyenesnek a hozz\'a tartoz\'o Borel
$\sigma$-algebr\'aval egy\"utt egy eme $T$ halmazzal indexelt
$(R_t,\Cal B_t)$, $t\in T$, p\'eld\'anyait, \'es vegy\"uk
ezeknek az el\H{o}bb bevezetett 
$(R^T,\Cal B^T)=\(\prodd_{t\in T}R_t, \prodd_{t\in T} \Cal B_t\)$ 
direkt szorzat\'at valamint
a $\Cal B_0^T\subset \Cal B^T$ v\'eges sok koordin\'at\'at\'ol
f\"ugg\H{o} hengerhalmazokb\'ol \'all\'o halmazrendszert. Legyen adva
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy egy a $T$ halmaz v\'eges
$T_0=\{t_1,\dots,t_k\}\subset T$ r\'eszhalmazaival
indexelt $F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})$ konzisztens
rendszere, \'es defini\'aljuk egy $B\in\Cal B_0^T$ halmaznak a
k\"ovetkez\H{o} $\mu(B)$ m\'ert\'ek\'et. Ha egy $B$ halmaz el\H{o}\'all,
mint egy $\bar B=\bar B(t_1,\dots,t_k)$ halmaz \'altal meghat\'arozott
hengerhalmaz, akkor legyen $\mu(B)=\mu_{F_{t_1,\dots,t_k}}(\bar B)$,
ahol $\mu_{F_{t_1,\dots,t_k}}$ az
$F_{t_1,\dots,t_k}(x_{t_1},\dots,x_{t_k})$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
\'altal meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott Stieltjes m\'ert\'ek a
$\prodd_{j=1}^n (R_{t_j}, \Cal B_{t_j})$ t\'eren.
Ekkor $\mu$ (nem negat\'{\i}v, egyre norm\'alt) $\sigma$-addit\'{\i}v
halmazf\"uggv\'eny a $\Cal B_{0}^T$ algebr\'an.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} A fenti t\'etelben az\'ert kellett feltenni azt,
hogy a tekintett el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek konzisztens rendszert
alkotnak, mert ez biztos\'{\i}tja azt, hogy b\'ar egy $B$ hengerhalmaz
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa hengerhalmazk\'ent nem egy\'ertelm\H{u}
(egy $\bar B=\bar B(t_1,\dots,t_k)$ halmaz \'altal meghat\'arozott
hengerhalmaz el\H{o}\'all\'{\i}that\'o
$\bar B=\bar B'(t_1,\dots,t_k,t_{k+1})$ halmazk\'ent is, \'ugy hogy
a val\'oj\'aban semmitmond\'o $-\infty<x_{t_{k+1}}<\infty$
felt\'etellel eg\'esz\'{\i}tj\"uk ki a $\bar B$ halmazt defini\'al\'o
rel\'aci\'ot), de a $\mu(B)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
defini\'alhat\'o, ennek \'ert\'eke nem f\"ugg a $B$ halmaz
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at\'ol. A Stieltjes m\'ert\'ek
l\'etez\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etelb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy r\"ogz\'{\i}tett $k\ge1$ eg\'esz sz\'amra \'es
$t_1,\dots,t_k\in T$ indexekre igaz a k\"ovetkez\H{o}
\'all\'{\i}t\'as: Ha a $\mu$ halmazf\"uggv\'enyt
megszor\'{\i}tjuk a $\bar B=\bar B(t_1,\dots,t_k)$ alak\'u halmazok
\'altal meghat\'arozott hengerhalmazokra, akkor $\mu$
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny ezen a
megszor\'{\i}t\'ason. A t\'etel azt a l\'enyegesen tartalmasabb
\'all\'{\i}t\'ast fogalmazza meg, hogy $\mu$
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny az {\it \"osszes
hengerhalmazon}\/ is $\sigma$-addit\'{\i}v.

\medskip\noindent
{\bf A T\'etel~A k\"ovetkezm\'enye.} {\it A Carath\'eodory f\'ele
kiterjeszt\'esi
t\'etel szerint a T\'etel~A-ban a $\Cal B_0^T$ algebr\'an defin\'alt 
$\mu$ $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny
egy\'ertelm\H{u}en kiterjeszthet\H{o} egy az
$$
(R^T,\Cal B^T)=\(\prodd_{t\in T} R_t, \prodd_{t\in T}
\Cal B_t\)
$$
t\'eren \'ertelmezett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekre.}

\medskip\noindent
{\it A Kolmogorov-f\'ele alapt\'etel bizony\'{\i}t\'asa a fenti
t\'etel, illetve annak k\"ovetkezm\'enye alap\-j\'an.}\/ Tekints\"uk
a T\'etel~A-ban, illetve annak k\"ovetkezm\'enye \'altal defini\'alt
$(R^T,\Cal B^T)$ rendszert. Ez tekinthet\H{o} \'ugy, mint egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, mert $\mu$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek ezen a t\'eren. (Ennek a
t\'enynek az igazol\'asa a bizony\'{\i}t\'as legnehezebb l\'ep\'ese.)
Ez\'ert defin\'alhatjuk az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, mint az $(R^T,\Cal B^T,\mu)$
teret, \'es az $\oo$ elemi esem\'enyek megegyeznek a $T$ halmazon
\'ertelmezett val\'os \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'enyekkel. Adva egy
$\oo=\{x_t,t\in T\}$ elemi esem\'eny, defini\'aljuk az $\xi_u(\oo)$,
$u\in T$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot a
$\xi_u(\{x_t, t\in T\})=x_u$ k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ekkor az
$\{\oo\:\xi_{u_1}(\oo)<x_{u_1},\dots,\xi_{u_k}(\oo)<x_{u_k}\}$ halmaz
megegyezik azon f\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all\'o hengerhalmazzal, mely
f\"uggv\'enyek \'ert\'eke az $u_1$ pontban kisebb, mint $x_{u_1}$, az
$u_2$ pontban kisebb, mint $x_{u_2}$, \dots, az $u_k$ pontban kisebb,
mint $x_{u_k}$. Az ilyen f\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all\'o halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege a konstrukci\'o alapj\'an
$F_{u_1,\dots,u_k}(x_{u_1},\dots,x_{u_k})$, \'es ezt kellett
bebizony\'{\i}tani.

\medskip\noindent
{\it Feladat a gyakorlatra:} Legyen adva egy $(X,\Cal X)$
m\'erhet\H{o} t\'er, \'es azon v\'egtelen sok (esetleg
megsz\'aml\'alhat\'on\'al is t\"obb) $f_t(x)$,
$t\in T$, m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny. Tekints\"uk az \"osszes
$f_t(x)$ f\"uggv\'eny \'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'at, azaz a
legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebr\'at, amelyre n\'ezve az \"osszes $f_t$
f\"uggv\'eny m\'erhet\H{o}. L\'assuk be, hogy ez a
k\"ovetkez\H{o}k\'epp is megadhat\'o: Tekints\"uk a $T$ halmaz
\"osszes lehets\'eges megsz\'aml\'alhat\'o r\'eszhalmaz\'at, vegy\"uk
az \'altaluk indexelt f\"uggv\'enyek \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebr\'at, \'es vegy\"uk ezen $\sigma$-algebr\'ak
egyes\'{\i}t\'es\'et.  Ez azt jelenti, hogy azt a halmazrendszert
vessz\"uk, amelyikbe egy $B$ halmaz akkor \'es csak akkor tartozik, ha
l\'etezik a $T$ indexhalmaznak olyan $T_0$ megsz\'aml\'alhat\'o
r\'eszhalmaza, hogy a $B$ halmaz eleme a $T_0$ halmaz elemeivel
indexelt f\"uggv\'enyek \'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'anak.

\medskip\noindent
{\it  Feladat a gyakorlatra:} Mutassuk meg az el\H{o}z\H{o} feladat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy az T\'etel~A \'all\'{\i}t\'asa
reduk\'alhat\'o arra a speci\'alis
esetre, amikor $T$ a nem negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amok halmaza.
\medskip\noindent
{\bf Szochasztikus folyamat trajekt\'ori\'aj\'anak a fogalma.} {\it
Legyen adva egy $T$ indexhalmazzal param\'eterezett $\xi_t(\oo)$
sztochasztikus folyamat. Ennek egy r\"ogz\'{\i}tett $\oo$ elemi
esem\'enyhez tartoz\'o trajekt\'ori\'aj\'an a $T$ halmazon defini\'alt
$\xi_t(\oo)$ f\"uggv\'enyt \'ertj\"uk.}
\medskip

\bye