\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm

\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
%\parskip=2.5pt plus 1.2pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script =cmcsc10

\beginsection Folytonos idej\H{u} Markov-l\'ancok.

A folytonos idej\H{u} Markov l\'ancok \'es Markov folyamatok
elm\'elet\'et nem fogom olyan r\'eszletesen t\'argyalni, mint a
diszkr\'et idej\H{u} Markov l\'ancok\'et. Megel\'egszem n\'eh\'any 
fontos probl\'ema \'es eredm\'eny ismertet\'es\'evel.

L\'attuk, hogy diszkr\'et idej\H{u} Markov-l\'ancok
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek megad\'as\'ahoz elegend\H{o}
az egy l\'ep\'eses $P(i,j)=P(1,i,j)$
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket defini\'alni. Ezek
ismeret\'eben az $n$-l\'ep\'eses $P(n,i,j)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket minden $n$ pozit\'{\i}v eg\'esz
sz\'amra ki tudjuk sz\'amolni az $n$
l\'ep\'essz\'am szerinti teljes indukci\'oval a
$$
P(n,i,j)=\sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E} P(n-1,i,k)P(k,j)
$$
Chapman--Kolmogorov azonoss\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Szeretn\'enk
megtal\'alni ennek az ered\-m\'eny\-nek a folytonos idej\H{u}
meg\-fe\-le\-l\H{o}\-j\'et. Ebben az esetben nincsen a 0 id\H{o}pont
ut\'an k\"ozvetlen\"ul k\"ovetkez\H{o} id\H{o}pont. Vi\-szont
tekinthet\"unk egy kis $h$ sz\'amot, \'es fel\'{\i}rhatjuk a
$P(t+h,i,j)$ id\H{o}pontbeli
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge\-ket \'es a
$\frac{P(t+h,i,j)-P(t,i,j)}h$ dif\-fe\-ren\-cia\-h\'a\-nya\-dost a
Chapman--Kolmogorov azonoss\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ezut\'an a $h$
sz\'ammal 0-hoz tartva egy olyan differenci\'alegyenletet kapunk az
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre, amely seg\'{\i}t meg\'erteni a
Markov-l\'anc \'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gei\-nek
a viselked\'es\'et.
Abb\'ol a c\'elb\'ol, hogy ezt jobban meg\'erts\"uk, te\-kint\-s\"uk
el\H{o}sz\"or a v\'eges sok $E_1,\dots,E_k$ \'allapotot
felvev\H{o} Markov-l\'ancokat, \'es vizsg\'aljuk ennek
$P(t,i,j)=P(X(t)=E_j|X(0)=E_i)$
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-geit
\'es az \'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek
\'altal meghat\'arozott
$\Pi(t)=(P(t,i,j))$ $k\times k$ m\'eret\H{u} (szto\-chasz\-ti\-kus)
\'atmenet m\'atrixokat, $t\ge0$. Be fogjuk l\'atni egy egyszer\H{u}
t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy amennyiben a $\Pi(t)$ \'atmenet
m\'atrixok rendszere differenci\'alhat\'o f\"uggv\'enye a $t\ge0$
id\H{o}param\'eternek, akkor a Markov-l\'anc eloszl\'asainak
viselked\'ese egyszer\H{u}en megadhat\'o a $t>0$ id\H{o}pont
f\"uggv\'eny\'eben, mint egy line\'aris dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyen\-let
megold\'asa. El\H{o}tte megfogalmazok egy itt nem bizony\'{\i}tott
eredm\'enyt, amely azt mondja ki, hogy az azt k\"ovet\H{o} T\'etel
felt\'etelei nagyon \'altal\'anos felt\'etelek mellett teljes\"ulnek.

\medskip\noindent
{\bf Propozici\'o.} {\it Ha egy v\'eges \'allapotter\H{u} folytonos
idej\H{u} Markov-l\'anc $\Pi(t)$ \'at\-me\-net\-m\'at\-rixai,
$t\ge0$, folytonosak a null\'aban,  akkor azok deriv\'alhat\'oak is
minden $t\ge0$ sz\'amra.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel v\'eges \'allapotter\H{u} folytonos idej\H{u}
Markov-l\'ancok eloszl\'asainak vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'e\-r\H{o}l.}
{\it Legyen $X(t)$, $t\ge0$ Markov l\'anc egy $k$ (v\'eges)
elem\H{u} $E_1,\dots,E_k$ \'allapott\'eren
$P(t,i,j)=P(X(t)=E_j|X(0)=E_i)$
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel. Jel\"olje
$$
\Pi(t)=((P(t,i,j)), \quad 1\le i,j\le k,\quad t\ge0,
$$
a Markov-l\'anc \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg m\'atrixait.
Tegy\"uk fel, hogy a $\Pi(t)$ m\'atrixnak l\'etezik a (jobboldali,
koordin\'at\'ank\'ent vett) differenci\'alh\'anyadosa a $t=0$
pontban. Jel\"olje a $Q$ m\'atrix ezt a differenci\'alh\'anyadost.
Ha $P(t)=(P(t,1),\dots,P(t,k))$, $t\ge0$, jel\"oli a Markov-l\'anc
$t$ id\H{o}pontbeli eloszl\'as\'at,  azaz, $P(t,j)=P(X(t)=E_j)$,
akkor ez a vektor \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a
$$
\frac d{dt}P(t)=P(t)Q,\quad t\ge0,
$$
differenci\'alegyenletet, amelynek megold\'asa
$$
P(t)=P(0)e^{tQ},
$$
ahol $P(0)=(P(0,1),\dots,P(0,k))$ a Markov-l\'anc eloszl\'asa a
nulla id\H{o}pontban.}

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ A (stacion\'arius) Markov
tulajdons\'agai miatt $P(t+h)=P(t)\Pi(h)$, ahonnan $\frac
{P(t+h)-P(t)}h=P(t)\frac{\Pi(h)-I}h$, ahol $I$ az identit\'as
m\'atrixot jel\"oli. Mivel $\Pi(0)=I$, a fenti azonoss\'agb\'ol
$h\to0$ hat\'ar\'atmenettel k\"ovetkezik a fel\'{\i}rt
differenci\'alegyenlet. (N\'emi plusz munk\'aval, amit most elhagyunk
be lehet bizony\'{\i}tani, hogy a fenti $h\to0$ hat\'ar\'atmenet
negat\'{\i}v $h$ sz\'amokra is igaz. Ez k\"onnyen l\'athat\'o, ha
el\H{o}sz\"or megmutatjuk, hogy  $P(t)$ a $t$ v\'altoz\'o folytonos
f\"uggv\'enye.)
A t\'etel m\'asodik \'all\'{\i}t\'asa a line\'aris
dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyen\-le\-tek\-nek az anal\'{\i}zisben
tanult megold\'as\'ab\'ol k\"ovetkezik.

\medskip\noindent
{\it Els\H{o} megjegyz\'es.}\/ A t\'etelben szerepl\H{o} $Q$
m\'atrixot a Markov-l\'anc
in\-fi\-ni\-te\-zi\-m\'a\-lis ope\-r\'a\-to\-r\'a\-nak
h\'{\i}vj\'ak az irodalomban.

\medskip\noindent
 {\it M\'asodik megjegyz\'es.}\/ Az $e^{tQ}$ kifejez\'est a $Q$
m\'atrix Jordan alakj\'anak a fel\'{\i}r\'asa
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel \'erdemes kisz\'amolni. Ha a $Q$
m\'atrixnak megtal\'aljuk a $J$ Jord\'an alakj\'at, akkor  a $Q$
m\'atrixot reprezent\'alhatjuk $Q=CJC^{-1}$ alakban alkalmas
invert\'alhat\'o $C$ m\'atrix seg\'{\i}ts\'eg\'evel, \'es ekkor
$e^{tQ}=Ce^{tJ}C^{-1}$. A $J$ Jordan alak\'u m\'atrix $e^{tJ}$
alak\'u f\"uggv\'enye egyszer\H{u}en kisz\'am\'{\i}that\'o.

\medskip\noindent
{\it Feladat.} Mutassuk meg, hogy a $Q$ m\'atrix sor\"osszegei
null\'aval egyenl\H{o}ek.

\medskip
Meg akarjuk mutatni, hogy a v\'eges sok \'allapotot felvev\H{o}
Markov-l\'ancokhoz hasonl\'oan, megsz\'aml\'alhat\'oan sok
\'allapotot felvev\H{o} Markov-l\'ancoknak az
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gei is
teljes\'{\i}tenek olyan differenci\'alegyenletrendszereket,
amelyek fontos sze\-re\-pet j\'at\-sza\-nak a Markov-l\'ancok
viselked\'es\'enek a tanulm\'anyoz\'as\'aban. Ebben az
el\H{o}ad\'asban k\'et fontos speci\'alis modellt fogunk vizsg\'alni
r\'eszletesebben, a sz\"ulet\'esi \'es sz\"ulet\'esi \'es
hal\'aloz\'asi folyamatokat. Megmutatjuk, hogy ezek
`infinitezim\'alisan kis' id\H{o}intervallum alatt bek\"ovetkezett
megv\'altoz\'asainak ismeret\'eben fel lehet \'{\i}rni olyan
dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyen\-le\-te\-ket, amelyek lehet\H{o}v\'e
teszik e folyamatok \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek
kisz\'am\'{\i}t\'as\'at tetsz\H{o}leges id\H{o}intervallumban.

Felmer\"ul az a k\'erd\'es, hogy ezeknek a Markov-folyamatok
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit meghat\'aroz\'o
differenci\'alegyenleteknek egy\'ertelm\H{u}-e a megold\'asuk.
Kider\"ult, hogy ez az egy\'ertelm\H{u}s\'egi k\'erd\'es nem
puszt\'an technikai probl\'ema, hanem olyan a Markov-l\'ancok
viselked\'es\'et le\'{\i}r\'o bonyolultabb jelens\'egekhez
kapcsol\'odik, amelyek m\'ar a legegyszer\H{u}bb modellekben, a
sz\"ulet\'esi folyamatokban is megjelennek, \'es vizsg\'alatuk a
Markov-folyamatok elm\'elet\'enek fontos r\'esze. K\'et
k\"ul\"onb\"oz\H{o} dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyen\-let\-rend\-szert,
fogunk fel\'{\i}rni, az \'ugynevezett Kolmogorov-f\'ele forward 
\'es Kolmogorov-f\'ele backward dif\-f\-e\-ren\-ci\'al\-egyen\-le\-tek 
rendszer\'et. K\'es\H{o}bb bebizony\'{\i}tjuk \'es t\'argyaljuk
ezeket a differenci\'alegyenleteket \'altal\'anos
Mar\-kov-fo\-lya\-ma\-tok eset\'eben is.

Mind a sz\"ulet\'esi mind a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi
folyamat olyan Markov-l\'anc, amely\-nek \'allapottere az $\Cal
E=\{0,1,2,\dots\}$ term\'eszetes sz\'amok halmaza. A tekintett
mo\-del\-lek olyan Markov-l\'ancok, amelyek egy popul\'aci\'o
fejl\H{o}d\'es\'et \'{\i}rj\'ak le. Annak, hogy $X(t)=j$ az a
szeml\'eletes tartalma, hogy a Markov-l\'anc \'altal le\'{\i}rt
popul\'aci\'o l\'etsz\'ama a $t$ id\H{o}pontban $j$. A
(stacion\'arius) Markov-l\'anc teljes
definici\'oj\'ahoz meg kell adnunk a $P(t,i,j)=P(X(t)=j|X(0)=0)$
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Mind a sz\"ulet\'esi
mind a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat definici\'oj\'aval
meg fogunk adni egy aszimptotikus formul\'at a $P(t,i,j)$
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek \'ert\'ek\'ere kis $t$
sz\'amok eset\'ere a mo\-dell param\'etereinek tekintett sz\'amok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Azt mondjuk, hogy egy Markov-l\'anc
sz\"ulet\'esi vagy sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat az
adott param\'eterekkel, ha annak \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei
teljes\'{\i}tik az el\H{o}\'{\i}rt aszimptotikus formul\'at.

\medskip\noindent
{\bf Sz\"ulet\'esi folyamat definici\'oja.} {\it Azt mondjuk, hogy
egy $X(t)$, $t\ge0$, id\H{o}ben folytonos (stacion\'arius)
Markov-l\'anc az $\Cal E=\{0,1,2,\dots\}$ \'allapott\'eren
sz\"ulet\'esi folyamat $\lambda_0$, $\lambda_1$,\dots param\'eterekkel,
ha $P(t,i,j)=P(X(t)=j|X(0)=i)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei
teljes\'{\i}tik a
$$
\align
P(h,i,i+1)&=\lambda_ih+o(h),\quad
P(h,i,i)=1-\lambda_ih+o(h),\quad\text{\'es} \\
P(h,i,j)&=o(h),\text { ha $j\neq i$ \'es $j\neq i+1$} \quad h\to0
\text{ eset\'en}
\endalign
$$
rel\'aci\'ot.}

\medskip
A sz\"ulet\'esi folyamat definici\'oj\'anak szeml\'eletes tartalma
ny\'{\i}lv\'anval\'o. A popul\'aci\'o tagjai nem halnak meg, \'es
egy $i$ elem\H{u} popul\'aci\'oban kis $h$ id\H{o} alatt 1 \'uj
egyed sz\"ulethet k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $\lambda_i h$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.

\medskip\noindent
{\bf Sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat definici\'oja.}
{\it Azt mondjuk, hogy egy $X(t)$, $t\ge0$, id\H{o}ben folytonos
(stacion\'arius) Markov-l\'anc az $\Cal E=\{0,1,2,\dots\}$
\'allapott\'eren sz\"ulet\'esi
\'es hal\'aloz\'asi folyamat $\lambda_0,\lambda_1,\dots$ \'es
$\mu_0,\mu_1,\dots$ param\'eterekkel, ($\mu_0=0$),
ha $P(t,i,j)=P(X(t)=j|X(0)=i)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei
teljes\'{\i}tik a
$$
\align
P(h,i,i+1)&=\lambda_ih+o(h),\quad
P(h,i,i-1)=\mu_ih+o(h),\\
P(h,i,i)&=1-(\lambda_i+\mu_i)h+o(h), \\
\text{\'es } &P(h,i,j)=o(h),\text { ha $j\neq i$ \'es
$j\neq i\pm1$} \quad h\to0 \text{ eset\'en}
\endalign
$$
rel\'aci\'ot.}

\medskip
A sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat definici\'oja
a sz\"ulet\'esi folyamathoz hasonl\'oan interpret\'alhat\'o. Egy $i$
elem\H{u} popul\'aci\'oban k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $\lambda_i h$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\"ort\'enik egy sz\"ulet\'es, \'es
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg  $\mu_i h$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\"ort\'enik egy hal\'aloz\'as kis $h$
id\H{o} alatt.

\medskip
Tekints\"unk egy sz\"ulet\'esi folyamatot, $\lambda_0,\lambda_1,\dots$
param\'eterekkel tetsz\H{o}leges kezdeti $t=0$ id\H{o}pontbeli
eloszl\'assal, \'es jel\"olje $P_n(t)$ annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a Markov-l\'anc a $t$
id\H{o}pontban az $n$ \'allapotban van. Ekkor
$$
P_n(t+h)=(1-h\lambda_n)P_n(t)+h\lambda_{n-1}P_{n-1}(t)+o(h),\quad
\text{ ha } n\ge1, \text{ \'es } h\to0,
$$
\'es
$$
P_0(t+h)=(1-\lambda_0h)P_0(t)+o(h),\quad \text{ ha } h\to0,
$$
mert a $t+h$ id\H{o}pontban (elhanyagolhat\'oan kis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} esem\'enyeket figyelmen k\'{\i}v\"ul
hagyva) vagy \'ugy lehet a popul\'aci\'onak $n$ eleme,
hogy az $n$ id\H{o}pontban a po\-pu\-l\'a\-ci\'o\-nak $n$ eleme van
\'es az adott id\H{o}intervallumban nem k\"ovetkezett be sz\"ulet\'es,
aminek va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge
$P_n(t)(1-\lambda_n h+o(h))$ vagy a popul\'aci\'onak a $t$
id\H{o}pontban $n-1$ eleme van, \'es az adott
id\H{o}intervallumban egy sz\"ulet\'es t\"ort\'ent. Ez ut\'obbi
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $P_{n-1}(t)\lambda_{n-1}h+o(h)$.
\'Atrendezve az els\H{o} egyenletet kapjuk, hogy
$$
\frac{P_n(t+h)-P_n(t)}h=-\lambda_n  P_n(t)
+\lambda_{n-1}P_{n-1}(t)+o(1),\quad
\text{ha } n\ge1, \text{ \'es } h\to0,
$$
ahonnan $h\to0$ hat\'ar\'atmenettel kapjuk, hogy
$$
P'_n(t)=-\lambda_n  P_n(t)+\lambda_{n-1}P_{n-1}(t),\quad
\text{ha } n\ge1.         \tag1a
$$
Hasonl\'oan
$$
P'_0(t)=-\lambda_0 P_0(t).   \tag1b
$$
A sz\"ulet\'esi folyamat \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit
megad\'o differenci\'alegyenletek fenti le\-ve\-ze\-t\'e\-s\'e\-ben
nem fogalmaztuk meg azokat a felt\'eteleket, amelyek sz\"uks\'egesek
ahhoz, hogy a benne szerepl\H{o} hat\'ar\'atmeneteket
v\'egrehajthassuk. A sz\"ulet\'esi \'es sz\"ulet\'esi \'es
hal\'aloz\'asi folyamatok ismertet\'ese ut\'an fogom t\'argyalni
azt, hogy milyen felt\'etelek mellett \'er\-v\'e\-nye\-sek az ott
fel\'{\i}rt egyenletek \'es azok \'altal\'anos\'{\i}t\'asai.

Vegy\"uk \'eszre, hogy r\"ogz\'{\i}tve egy $i\ge0$ sz\'amot \'es
a $P_i(0)=1$, $P_j(0)=0$, ha $j\neq i$ kezdeti felt\'eteleket v\'eve, 
azaz olyan sz\"ulet\'esi folyamatot tekintve, amelyben a 
popul\'aci\'o l\'etsz\'ama $i$ a nulla id\H{o}pontban 
az (1a), (1b) differenci\'alegyenlet rendszer rekurz\'{\i}v
m\'odon megoldhat\'o. Azt kapjuk, hogy $P_j(t)=0$ a $0\le j<i$ esetben
minden $t\ge0$ sz\'amra. Ezut\'an indukci\'oval megoldhat\'o az (1a)
egyenletet el\H{o}sz\"or az $i$ param\'eterre, majd ezut\'an
indukci\'oval $j=i+1$, $j=i+2$ sz\'amokra \'es \'{\i}gy tov\'abb.

L\'atsz\'olag ilyen m\'odon kiel\'eg\'{\i}t\H{o} le\'{\i}r\'as\'at
kapjuk ez\'altal a tiszta sz\"ulet\'esi fo\-lya\-ma\-tok\-nak.
Val\'oj\'aban sz\'amos k\'erd\'es nyitva maradt. Tiszt\'aznunk kell,
hogy a kapott megold\'asrendszer teljes\'{\i}ti-e a Chapman--Kolmogorov
egyenleteket, azaz tekinthet\H{o}-e egy Markov-l\'anc
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek. Erre a k\'erd\'esre
igenl\H{o} a v\'alasz, de a bizony\'{\i}t\'ast elhagyjuk. Ugyancsak
\'erdekes k\'erd\'es, hogy a kapott megold\'as teljes\'{\i}ti-e a
$\summ_{j=1}^\infty P(t,i,j)=1$ egyenletet minden $t\ge0$
sz\'amra, ha ez a rel\'aci\'o teljes\'{\i}ti ezt az egyenletet
$t=0$ sz\'amra. Ez az \"osszeg mindig kisebb vagy egyenl\H{o},
mint 1, de el\H{o}fordulhat, hogy szigor\'uan kisebb, mint~1. Ennek
sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et tartalmazza az
al\'abbi t\'etel, amelynek bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom, de
adok r\'a egy heurisztikus magyar\'azatot.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel sz\"ulet\'esi folyamatok viselked\'es\'er\H{o}l.}
{\it Tekints\"uk egy $\lambda_0,\lambda_1,\dots$,
pa\-ra\-m\'e\-te\-rek\-kel defini\'alt $X(t)$, $t\ge0$,
sz\"ulet\'esi folyamatot $P(t,i,j)=P(X(t)=j|X(0)=i)$
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-kel.
A $\summ_{j=i}^\infty P(t,i,j)=1$ azonoss\'ag teljes\"ul minden
$t\ge0$ sz\'amra, ha $\summ_{n=i}^\infty \frac1{\lambda_n}=\infty$.
Ha $\summ_{n=i}^\infty \frac1{\lambda_n}<\infty$, akkor
$\summ_{j=i}^\infty P(t,i,j)<1$ minden $t>0$ sz\'amra.}

\medskip
Az el\H{o}z\H{o} t\'etel annak a sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges
felt\'etel\'et adja meg, hogy a sz\"ulet\'esi folyamat
popul\'aci\'oj\'anak l\'etsz\'ama egy alkalmas v\'eges
id\H{o}intervallumban pozit\'{\i}v
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel el\'eri a v\'egtelent. Ha
ez bek\"ovetkezik valamely $[0,t_0]$ id\H{o}intervallumban, akkor
$\summ_{j=i}^\infty P(t,i,j)<1$ minden $t>t_0$ sz\'amra. Ha van
ilyen $t_0$ sz\'am, akkor minden $t_0>0$ ilyen sz\'am.

Az al\'abbi feladat seg\'{\i}thet az el\H{o}z\H{o} t\'etel ok\'anak
meg\'ert\'es\'eben.

\medskip\noindent
{\it Nem k\"otelez\H{o} feladat.}\/ Tekints\"unk egy id\H{o}ben
folytonos, stacion\'arius Markov-l\'ancot valamely $\Cal
E=\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapott\'eren $P(t,i,j)=P(X(t)=E_j|X(0)=E_i)$
\'at\-me\-net\-val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-kel. Tegy\"uk
fel, hogy a $P(t,j,j)$ folytonos f\"uggv\'eny. Mutassuk, hogy ebben
az esetben $F(t)=P(X(u)=E_j \text{minden $0\le u\le t$
id\H{o}pontra}|X(0)=E_j)=e^{-\lambda_jt}$ alkalmas $\lambda_j\ge 0$
sz\'ammal, azaz az $E_j$ \'allapotban val\'o \'alland\'o
tart\'ozkod\'as hossz\'anak ideje exponenci\'alis eloszl\'as\'u.

\medskip\noindent
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy $F(t+s)=F(t)F(s)$.
Ha az $F(t)$ f\"uggv\'eny a null\'aban folytonos, akkor a
fenti egyenletnek $F(t)=e^{-\lambda t}$, $\lambda>0$, alak\'u a
megold\'asa.

\medskip
A fenti feladat eredm\'enye mutatja, hogy egy folytonos
idej\H{u} Markov-folyamat egy helyen exponenci\'alis sok ideig
tart\'ozkodik. Egy sz\"ulet\'esi folyamatban az $n$ helyen val\'o
tart\'ozkod\'as $\xi_n$ ideje exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda=\lambda_n$
param\'eterrel. Tov\'abb\'a ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok k\"ul\"onb\"oz\H{o} $n$ indexekre f\"uggetlenek. Az $i$
\'al\-la\-pot\-b\'ol indul\'o sz\"ulet\'esi folyamat akkor \'es csak 
akkor \'eri el a v\'egtelent v\'eges id\H{o} alatt, ha
$\summ_{n=i}^\infty\xi_n<\infty$. A
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik klasszikus
eredm\'eny\'eb\H{o}l (Kolmogorov-f\'ele h\'arom sor t\'etel) 
k\"ovetkezik, hogy ez az \"osszeg egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
diverg\'al, ha $\summ_{n=i}^\infty\frac1{\lambda_n}=\infty$, \'es
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al, ha
$\summ_{n=i}^\infty\frac1{\lambda_n}<\infty$.

A sz\"ulet\'esi folyamat \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit
le\'{\i}r\'o (1a) \'es (1b) egyenletek a Kol\-mo\-go\-rov-f\'e\-le
forward egyenletek speci\'alis esetei. K\'es\H{o}bb t\'argyalni fogom
ennek az egyenletnek pontos megfogalmaz\'as\'at \'es
bizony\'{\i}t\'as\'at az \'altal\'anos esetben. Ez az eredm\'eny 
felveti azt a k\'erd\'est is,
hogy van-e a olyan sz\"ulet\'esi folyamat, amelynek
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit nem lehet megtal\'alni a
Kolmogorov-f\'ele forward egyenlet megold\'asaik\'ent, mert
nem el\'eg\'{\i}ti ki ennek az egyenlet \'erv\'enyess\'eg\'ehez
sz\"uks\'eges \"osszes felt\'etelt. Erre a k\'erd\'esre igenl\H{o}
a v\'alasz, de ennek ok\'ara csak heurisztikus magyar\'azatot adok,
a r\'eszletes bizony\'{\i}t\'ast elhagyom.

A sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat hasonl\'oan
vizsg\'alhat\'o a sz\"ulet\'esi folyamatokhoz.
Ha a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat param\'eterei
$\lambda_0,\lambda_1,\dots$, illetve $\mu_0,\mu_1,\dots$, akkor
annak $P_n(t)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a folyamat a $t$
id\H{o}pontban az $n$ \'ert\'eket veszi fel teljes\'{\i}ti a
$$
P_n(t+h)=(1-h(\lambda_n+\mu_n))P_n(t)+h\lambda_{n-1}P_{n-1}(t)
+h\mu_{n+1}P_{n+1}(t)+o(h),\quad \text{ ha } n\ge1,
$$
\'es $h\to0$, \'es
$$
P_0(t+h)=(1-\lambda_0h)P_0(t)+h\mu_1 P_1(t)+o(h),\quad \text{ ha }
h\to0,
$$
egyenleteket, ahonnan $h\to0$ hat\'ar\'atmenettel kapjuk, hogy
$$
P'_n(t)=-(\lambda_n+\mu_n)P_n(t)+\lambda_{n-1}P_{n-1}(t)
+\mu_{n+1}P_{n+1}(t),\quad \text{ha } n\ge1.         \tag2a
$$
Hasonl\'oan
$$
P'_0(t)=-\lambda_0 P_0(t)+\mu_1 P_1(t).   \tag2b
$$
Ez a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamatr\'ol sz\'ol\'o
Kolmogorov-f\'ele forward  egyenlet, amelyet hasonl\'oan
indokolhatunk, mint a sz\"ulet\'esi folyamatokr\'ol sz\'ol\'o
egyenletet. Ebben az esetben a megold\'as nem \'{\i}rhat\'o
fel olyan explicit m\'odon, mint a sz\"ulet\'esi folyamat eset\'en,
\'es nem adhat\'o egyszer\H{u} univerz\'alis v\'alasz arra a
k\'erd\'esre sem, hogy mikor jut el egy ilyen folyamat v\'eges id\H{o}
alatt pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a v\'egtelenbe.

A Kolmogorov-f\'ele backward egyenleteknek is el\H{o}sz\"or a
sz\"ulet\'esi \'es sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamatok
eset\'en \'erv\'enyes alakj\'at ismertetem r\"oviden. A sz\"ulet\'esi
folyamatok eset\'eben a
$$
P(t+h,i,j)=(1-\lambda_ih)P(t,i,j)+\lambda_i hP(t,i+1,j)+o(h)
$$
rel\'aci\'o \'erv\'enyes, mert el\H{o}sz\"or a $[0,h]$, majd a
$[h,t+h]$ intervallumot figyelve annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et,
hogy a sz\"ulet\'esi folyamat $t+h$ id\H{o} alatt az $i$
\'allapotb\'ol a $j$ \'allapotba jut \'ugy \'{\i}rhatjuk fel,
mint annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a folyamat a $[0,h]$
id\H{o} alatt az $i$ \'allapotot nem v\'altoztatja, majd $t$ id\H{o}
alatt az $i$ \'allapotb\'ol a $j$ \'allapotba jut, plusz annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $[0,h]$ id\H{o} alatt az $i$
\'allapotb\'ol az $i+1$ \'allapotba jut, majd $t$ id\H{o} alatt az
$i+1$ \'allapotb\'ol a $j$ \'allapotba jut plusz egy $o(h)$
nagys\'ag\'u esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege. A tekintett
esem\'enyek k\"oz\"ul az els\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
k\"or\"ulbel\"ul $(1-\lambda_ih)P(t,i,j)$, a m\'asodik pedig
$\lambda_ih P(t,i+1,j)$. A fenti aszimptotikus rel\'aci\'o
\'ugy is \'{\i}rhat\'o, hogy
$$
\frac{P(t+h,i,j)-P(t,i,j)}h=-\lambda_iP(t,i,j)+\lambda_i P(t,i+1,j)+o(1),
$$
ahonnan $h\to0$ hat\'ar\'atmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel azt kapjuk, hogy
$$
P'(t,i,j)=-\lambda_i P(t,i,j)+\lambda_i P(t,i+1,j). \tag3
$$
Ez a Kolmogorov-f\'ele backward egyenlet a sz\"ulet\'esi
folyamatra. A sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat
eset\'eben hasonl\'o indokl\'assal kapjuk, hogy
$$
P(t+h,i,j)=(1-\lambda_ih-\mu_ih)P(t,i,j)+\lambda_i hP(t,i+1,j)
+\mu_i hP(t,i-1,j)+o(h),
$$
ahonnan
$$
P'(t,i,j)=-(\lambda_i+\mu_i)P(t,i,j)+\lambda_iP(t,i+1,j)+\mu_i
P(t,i-1,j). \tag4
$$
A (3) \'es (4) formul\'aban fel\'{\i}rt backward egyenletek
kapcsolata az (1a), (1b) illetve (2a), (2b) forward egyenletek
kapcsolat\'anak meg\'ert\'ese alaposabb vizsg\'alatot ig\'enyel.
Ennek \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or fel\'{\i}rjuk a
forward \'es backward egyenleteket az \'altal\'anos esetben.

\medskip
Az al\'abbiakban a Kolmogorov-f\'ele forward \'es backward
egyenleteket bebizony\'{\i}tjuk tetsz\H{o}leges Markov-l\'ancokra.
\'Erdemes ezt a k\'erd\'est kis\-s\'e
\'al\-ta\-l\'a\-no\-sab\-ban vizsg\'alni, \'es
nem felt\'etlen\"ul stacion\'arius, id\H{o}ben folytonos,
leg\-fel\-jebb meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o sok k\"ul\"onb\"oz\H{o}
\'ert\'eket felvev\H{o} Markov-l\'ancokat tekinteni.

Legyen $X(t)$, $t\ge0$, nem felt\'etlen\"ul stacion\'arius
Markov-l\'anc egy v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen $\Cal
E=\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapott\'eren, $P(s,t,i,j)=P(X(t)=j|X(s)=i)$,
$0\le s\le t<\infty$, \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel. Ezek
az \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek teljes\'{\i}tik a
$$
P(s,t,i,j)=\sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E} P(s,u,i,k)P(u,t,k,j) \quad
s\le u\le t \tag5
$$
Chapman--Kolmogorov egyenleteket. Megmutatjuk, hogy amennyiben
az \'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek
teljes\'{\i}tenek bizonyos folytonoss\'ag jelleg\H{u}
felt\'eteleket is, akkor kiel\'eg\'{\i}tenek bizonyos
differenci\'alegyenlet rendszert is. S\H{o}t k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
differenci\'alegyenletrendszert is levezethet\"unk. Az egyiket, az
\'ugynevezett Kolmogorov-f\'ele forward
dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyen\-let\-rend\-szert \'ugy kap\-juk, hogy
tekint\"uk a $\frac{P(s,t+h,i,j)-P(s,t,i,j)}h$
differenciah\'anyadosokat, illetve ezek limeszeit $h\to0$ eset\'en,
\'es a  $P(s,t+h,i,j)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget \'ugy
sz\'amoljuk ki a Chapman--Kolmogorov egyenlet seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
hogy k\"ovetj\"uk annak va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et,
hogy az $s$ id\H{o}pontban az $E_i$ \'allapotban tart\'ozkod\'o
trajekt\'oria a $t$ id\H{o}pontban eljut valamely $E_k$ \'allapotba,
majd onnan $h$ id\H{o} m\'ulva az $E_j$ \'allapotba jut. A m\'asik
egyenletrendszert, a Kolmogorov-f\'ele backward
differenci\'alegyenletrendszert \'ugy kap\-juk, hogy a
$\frac{P(s,t,i,j)-P(s-h,t,i,j)}h$ differenciah\'anyadosokat,
illetve ezek limeszeinek vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'et vizs\-g\'al\-juk
$h\to0$ eset\'en. Ebben az esetben a $P(s-h,t,i,j)$
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget \'ugy sz\'amoljuk ki a
Chapman--Kolmogorov egyenlet seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy k\"ovetj\"uk
annak va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et, hogy az $s-h$
id\H{o}pontban az $E_i$ \'allapotban tartozkod\'o trajekt\'oria $h$
id\H{o}pont m\'ulva eljut valamely $E_k$ \'allapotba, majd onnan
$t-s$ id\H{o} m\'ulva az $E_j$ \'allapotba ker\"ul.

Mind a Kolmogorov-f\'ele forward mind a Kolmogorov-f\'ele backward
egyenlet teljes\"ul\'es\'ehez bizonyos felt\'eteleknek teljes\"ulni
kell. El\H{o}sz\"or megfogalmazom azokat az 1a), 2a), 3a)
felt\'eteleket, amelyek teljes\"ul\'ese eset\'en be tudjuk
bizony\'{\i}tani a Kolmogorov-f\'ele forward egyenleteket, majd
megfogalmazom \'es bebizony\'{\i}tom ezeket az egyenleteket.

\medskip\noindent
{\it 1a) felt\'etel:}\/ Minden $E_k$ \'allapothoz l\'etezik olyan
$c_k(t)\ge0$ f\"uggv\'eny, amelyre
$$
\lim_{h\to0}\frac{1-P(t,t+h,k,k)}h=c_k(t)\quad\text{minden $t\ge0$
sz\'amra}. \tag6
$$

\medskip\noindent
{\it 2a) felt\'etel:}\/ Minden $E_k$ \'es $E_j$, $E_j\neq E_k$,
\'allapotp\'arhoz \'es $t$ id\H{o}ponthoz l\'eteznek olyan folytonos
$p_{k,j}(t)$ `\'atmenet val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg' f\"uggv\'enyek,
melyekre teljes\"ul, hogy
$$
\lim_{h\to0}\frac{P(t,t+h,k,j)}h=c_k(t)p_{k,j}(t)\quad j\neq k
\tag7
$$
rel\'aci\'o, ahol $c_k(t)$ az 1a) felt\'etelben szerepl\H{o}
f\"uggv\'eny. Tov\'abb\'a,
$$
\sum_{j\colon\; E_j\in\Cal E}p_{k,j}(t)=1,\quad p_{k,k}(t)=0 \quad
\text{minden $t\ge 0$ sz\'amra}.
$$

\medskip\noindent
{\it 3a) felt\'etel:}\/ A 2a) felt\'etelben megfogalmazott (7)
rel\'aci\'oban vett hat\'ar\'ert\'ekben a konvergencia egyenletes a
$k$ v\'altoz\'oban minden r\"ogz\'{\i}tett $j$ indexre \'es $t\ge0$
id\H{o}pontra. 

\medskip
L\'atni fogjuk, hogy a fenti felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en
fel tudunk \'{\i}rni egy
dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyen\-let\-rend\-szert,
amelynek megold\'asa megadja a Markov-l\'anc
\'at\-menet\-val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge\-it. Ez a
hozz\'a\'all\'as term\'eszetes analogonja a v\'eges \'allapotter\H{u}
folytonos idej\H{u} Markov-l\'ancok eloszl\'asainak
vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'e\-r\H{o}l sz\'ol\'o t\'etelnek. A Markov-l\'anc
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge\-it annak
seg\'{\i}ts\'eg\'evel pr\'ob\'aljuk meghat\'arozni, hogy az
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kis id\H{o}tartam alatt
bek\"ovetkezett v\'altoz\'asair\'ol van inform\'aci\'onk. Ez
hasonl\'o az eml\'{\i}tett t\'etel ered\-m\'e\-ny\'e\-hez, amelyben
a Markov-l\'anc infinitezim\'alis oper\'atora seg\'{\i}ts\'eg\'evel
ha\-t\'a\-roz\-tuk meg az
\'at\-menet\-val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge\-ket. Hasonl\'o
szellemet t\"ukr\"oz a mechanika tudom\'anya is, ahol egy rendszer
mozg\'as\'at az annak lok\'alis kis id\H{o} alatt
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg megad\'o dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyen\-le\-tek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel pr\'ob\'aljuk meghat\'arozni.

A fent megfogalmazott 1a) \'es 2a) felt\'etelek term\'eszetesek.
Az 1a) feltev\'es azt fejezi ki, hogy kis id\H{o} alatt a
Markov-l\'anc csak kis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'altoztatja meg
az \'allapot\'at. Ha a Markov l\'anc a $t$ id\H{o}pontban az $E_k$ 
\'allapotban tart\'ozkodik, akkor annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, 
hogy $h$ id\H{o} m\'ulva megv\'altoztatja az \'allapot\'at 
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $hc_k(t)$. Az, hogy ez
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg f\"ugghet a $t$ id\H{o}pontt\'ol,
azzal f\"ugg \"ossze, hogy a Markov-l\'anc nem felt\'etlen\"ul
stacion\'arius. Az 1a) felt\'etel tartalm\'anak jobb
meg\'ert\'es\'ehez hozz\'aj\'arulhat az al\'abb megfogalmazott
feladat is.

A 2a) felt\'etel azt fogalmazza meg, hogy ha a Markov-l\'anc a  $t$
id\H{o}pontban vagy egy ehhez k\"ozeli id\H{o}pontban megv\'altoztatja
az \'allapot\'at, \'es egy $E_k$ \'allapotb\'ol a  valamely m\'as
\'allapotba ugrik, akkor $p_{k,j}(t)$
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $E_j$ lesz ez az
\'uj \'allapot. \'Ertelemszer\H{u}en, $p_{j,j}(t)=0$. A
3a) felt\'etel viszont tiszt\'an technikai jelleg\H{u}. Ez a
felt\'etel a  forward egyenlet gyenges\'egeit t\"ukr\"ozi. Van
olyan Markov-l\'anc, amelynek \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit
nem kaphatjuk meg az al\'abb ismertetend\H{o} Kolmogorov-f\'ele
forward egyenlet megold\'asak\'ent, mert a Markov-l\'anc \'atmenet
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei nem teljes\'{\i}tik a 3a) tulajdons\'agot.

\medskip\noindent
{\bf A Kolmogorov-f\'ele forward differenci\'alegyenletek.} {\it
Legyen $X(t)$, $t\ge0$, (nem felt\'etlen\"ul stacion\'arius)
folytonos idej\H{u} Markov-l\'anc egy $\Cal E=\{E_1,E_2,\dots\}$
\'allapott\'eren $P(s,t,i,j)=P(X(t)=E_j|X(s)=E_i)$
\'at\-menet\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-kel. Ha ezek
az  \'at\-menet\-val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek teljes\'{\i}tik
az 1a), 2a) \'es 3a) felt\'eteleket, akkor teljes\'{\i}tik az
$$
\frac{\partial P(s,t,i,j)}{\partial t}=-c_j(t)P(s,t,i,j)+
\sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E}P(s,t,i,k)c_k(t)p_{k,j}(t)
$$
egyenleteket is. Ezeket az egyenleket h\'{\i}vj\'ak
Kolmogorov-f\'ele forward egyenleteknek.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A bizony\'{\i}t\'asban ki fogjuk haszn\'alni,
hogy a $P(s,t,i,j)$
\'at\-menet\-val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek teljes\'{\i}tik
az 1a), 2a) \'es 3a) felt\'etelek mellett a Chapman--Kolmogorov
egyenletet, valamint $\summ_j P(s,t,i,j)\le1$. Az utols\'o
rel\'aci\'oban kisebb vagy egyenl\H{o} jelet \'{\i}rtam, mert
lehets\'eges, hogy a folyamat ``elt\H{u}nik'' (l\'asd a sz\"ulet\'esi
folyamatot, amikor a popul\'aci\'o v\'eges id\H{o} alatt v\'egtelen
elemsz\'am\'u lesz), de az \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek 
\"ossze\-ge nem
lehet 1-n\'el na\-gyobb. Hasonl\'o megjegyz\'es \'erv\'enyes a
k\'es\H{o}bb t\'argyaland\'o backward egyenletek eset\'eben is.

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Az (5) Chapman--Kolmogorov egyenlet
alapj\'an
$$
P(s,t+h,i,j)=\sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E} P(s,t,i,k)P(t,t+h,k,j).
$$
Ennek az azonoss\'agnak \'es az 1a) felt\'etelben szerepl\H{o}
(6)~formula alapj\'an
$$
\align
&\frac{P(s,t+h,i,j)-P(s,t,i,j)}h\\
&\quad=-P(s,t,i,j)\frac{1-P(t,t+h,j,j)}h
+\sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E,\,k\neq j}
P(s,t,i,k)\frac{P(t,t+h,k,j)}h. \tag8
\endalign
$$
Az 1a) felt\'etel szerint
$\limm_{h\to0}P(s,t,i,j)\frac{1-P(t,t+h,j,j)}h=
P(s,t,i,j)c_j(t)$, \'es a 2a) felt\'etel alapj\'an 
$\limm_{h\to0}P(s,t,i,k)\frac{P(t,t+h,k,j)}h=
P(s,t,i,k)c_k(t)p_{k,j}(t)$, ha $k\neq j$. Innen form\'alis
hat\'ar\'atmenettel megkapjuk a Kolmogorov-f\'ele forward
differenci\'alegyenletet.

Be kell l\'atnunk, hogy ez a form\'alis hat\'ar\'atmenet 
v\'egrehajthat\'o, ha teljes\"ulnek a t\'etel felt\'etelei.
Ennek igazol\'as\'aban felhaszn\'aljuk a 3a) felt\'etelt \'es a
$\summ_kP(s,t,i,k)\le1$ rel\'aci\'ot. A 2a) \'es 3a) rel\'aci\'okb\'ol
k\"ovetkezik, hogy
$$
\left|\frac{P(t,t+h,k,j)}h-c_k(t)p_{k,j}(t)\right|\le \e, \quad 
\text{ha } h\le h_0(\e,j,t). \tag9
$$
Ez\'ert speci\'alisan az is igaz, hogy $c_k(t)p_{k,j}(t)\le A(j,t)$
alkalmas $A(j,t)<\infty$ sz\'ammal minden $k$ indexre. Val\'oban, 
$\frac{P(t,t+h_0,k,j)}{h_0}\le \frac1{h_0}$, \'es 
$c_k(t)p_{k,j}(t)\le\frac1{h_0}+\e$, ahol $h_0=h_0(\e,j,t)$. Innen, \'es
a $\summ_kP(s,t,i,k)\le1$ egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg\-b\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy a Kol\-mo\-go\-rov-f\'ele forward egyenlet 
jobboldal\'an 
sze\-rep\-l\H{o} \"osszeg konvergens. (A fenti \'ervel\'esben
$\summ_kP(s,t,i,k)\le1$ egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-get \'{\i}rtam \'es
nem egyenl\H{o}s\'eget. Ennek oka az, hogy nem akartam kiz\'arni olyan
Markov-l\'ancokat, amelyekben a Markov-l\'anc v\'eges id\H{o} alatt
kiszalad a v\'egtelenbe vagy egy hat\'arpontba. L\'attuk, hogy ilyen
lehet\H{o}s\'eg m\'ar a sz\"ulet\'esi folyamatokban is megjelenhet.)
Ez\'ert a (8) \'es (9) rel\'aci\'ok valamint a 
$\summ_kP(s,t,i,k)\le1$ egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg\-b\H{o}l
k\"ovetkezik a Kolmogorov-f\'ele forward egyenlet.

\medskip
R\'at\'erek a backward Kolmogorov-f\'ele egyenletek ismertet\'ese. Ezek
bizony\'{\i}t\'asa az al\'abbi 1b) \'es 2b) felt\'eteleken alapul.
\medskip\noindent
{\it 1b) felt\'etel:}\/ Minden $E_j$ \'allapothoz l\'etezik olyan
$c_j(t)\ge0$ f\"uggv\'eny, amelyre
$$
\lim_{h\to0}\frac{1-P(t-h,t,j,j)}h=c_j(t)\quad\text{minden $t\ge0$
sz\'amra}. \tag$6'$
$$

\medskip\noindent
{\it 2b) felt\'etel:}\/ Minden $E_j$ \'es $E_k$, $E_j\neq E_k$,
\'allapotp\'arhoz \'es $t$ id\H{o}ponthoz l\'eteznek olyan folytonos
$p_{j,k}(t)$ `\'atmenet val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg' f\"uggv\'enyek,
melyekre teljes\"ul, hogy
$$
\lim_{h\to0}\frac{P(t-h,t,j,k)}h=c_j(t)p_{j,k}(t)\quad j\neq k
\tag$7'$
$$
rel\'aci\'o, ahol $c_j(t)$ az 1b) felt\'etelben szerepl\H{o}
f\"uggv\'eny. Tov\'abb\'a,
$$
\sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E}p_{j,k}(t)=1,\quad p_{j,j}(t)=0 \quad
\text{minden $t\ge 0$ sz\'amra}.
$$

\medskip
A fenti tulajdons\'agok term\'eszetes megfelel\H{o}i az 1a) \'es 2a)
tulajdons\'agoknak. Vi\-szont nem fogalmaztam meg semmilyen a 3a)
tulajdons\'agnak megfelel\H{o} felt\'etelt. A k\"ovetkez\H{o}
ered\-m\'eny\-ben megmutatom,
hogy a Kolmogorov-f\'ele backward egyenlet
\'er\-v\'e\-nyes\-s\'e\-g\'e\-hez
elegend\H{o} a fent megfogalmazott 1b) \'es 2b) tulajdons\'ag.
\medskip\noindent
{\bf A Kolmogorov-f\'ele backward differenci\'alegyenletek.} {\it
Legyen $X(t)$, $t\ge0$, (nem felt\'etlen\"ul stacion\'arius)
folytonos idej\H{u} Markov-l\'anc egy $\Cal E=\{E_1,E_2,\dots\}$
\'allapott\'eren $P(s,t,i,j)=P(X(t)=E_j|X(s)=E_i)$
\'at\-menet\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-kel. Ha ezek
az  \'at\-menet\-val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek teljes\'{\i}tik
az 1b) \'es 2b) felt\'eteleket, akkor teljes\'{\i}tik az
$$
\frac{\partial P(s,t,i,j)}{\partial s}=c_i(s)P(s,t,i,j)-c_i(s)
\sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E}P(s,t,k,j)p_{i,k}(s)
$$
egyenleteket is. Ezeket az egyenleket h\'{\i}vj\'ak Kolmogorov-f\'ele
backward egyenleteknek.}

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Jelen esetben az~(1)
Chapman--Kolmogorov egyenletet a k\"ovetkez\H{o} form\'aban fogjuk
haszn\'alni:
$$
P(s-h,t,i,j)=\sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E} P(s-h,s,i,k)P(s,t,k,j).
$$
Innen, \'es a $(6')$ formul\'ab\'ol kapjuk, hogy
$$
\align
&\frac{P(s-h,t,i,j)-P(s,t,i,j)}h\\
&\qquad =\frac{P(s-h,s,i,i)-1}hP(s,t,i,j)+\sum_{k\colon\;
E_k\in\Cal E,k\neq i}\frac{P(s-h,s,i,k)}hP(s,t,k,j). \tag10
\endalign
$$
Az 1b) k\'eplet alapj\'an
$\limm_{h\to0}\frac{P(s-h,s,i,i)-1}hP(s,t,i,j)=-c_i(s)P(s,t,i,j)$,
\'es a 2b) felt\'etel szerint
$\limm_{h\to0}\frac{P(s-h,s,i,k)}hP(s,t,k,j)=c_i(s)p_{i,k}(s)P(s,t,k,j)$.
Ha v\'egrehajtjuk tagonk\'ent a ha\-t\'ar\-\'at\-me\-ne\-tet a (10)
k\'eplet jobboldal\'an, megkapjuk a backward Kolmogorov-f\'ele
egyenletet. (Vegy\"uk \'eszre, hogy a (10)~kifejez\'es baloldal\'anak
a limesze, felt\'eve, hogy az a limesz l\'etezik
$-\frac{\partial P(s,t,i,j)}{\partial s}$.) A prob\-l\'e\-ma az, 
hogy k\"ul\"on indokl\'ast ig\'enyel ennek a tagonk\'enti 
ha\-t\'ar\-\'atme\-net elv\'egz\'es\'enek a jogoss\'aga. A 
k\"ovetkez\H{o} \'ervel\'es mutatja, hogy ezt meg
lehet tenni an\'elk\"ul, hogy ehhez k\"ul\"on  felt\'eteleket
kellene el\H{o}\'{\i}rni. Ez rendk\'{\i}v\"ul l\'enyeges
k\"ul\"onbs\'eg a forward \'es backward
Kolmogorov-f\'ele egyenletek k\"oz\"ott.

Tekints\"unk egy el\'eg nagy $N$ sz\'amot, amelyre az is igaz, hogy
$N\ge i$. Akkor a (10) formula jobboldal\'an lev\H{o} v\'egtelen
\"osszeg $N$-n\'el nagyobb tagjainak hozad\'ek\'at a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon lehet megbecs\"ulni:
$$
\aligned
0&\le\sum_{k>N}\frac{P(s-h,s,i,k)}hP(s,t,k,j)\le\sum_{k>N}
\frac{P(s-h,s,i,k)}h\le\frac{1-\summ_{k=1}^N P(s-h,s,i,k)}h\\
&=\frac{1-P(s-h,s,i,i)}h-\frac{\summ_{k\colon\; 1\le k\le N,\,k\neq i}
P(s-h,s,i,k)}h\to c_i(s)\(1-\summ_{k=1}^N p_{i,k}(s)\). 
\endaligned \tag11
$$
A (11) egyenl\H{o}tlens\'eg els\H{o} sor\'anak v\'eg\'en megint
egyenl\H{o}tlens\'eget \'{\i}rtam, mert csup\'an a gyeng\'ebb
$\summ_{k=1}^\infty P(s-h,i,k)\le1$ felt\'etelt k\'{\i}v\'anom
haszn\'alni, nem k\"ovetelem meg, hogy pontos egyenl\H{o}s\'eg
teljes\"ulj\"on. A (11) rel\'aci\'ob\'ol, a
$\summ_{k=1}^\infty p_{i,k}(s)=1$ azonoss\'agb\'ol valamint az 1b) 
\'es 2b) tulajdons\'agokb\'ol k\"ovetkezik, hogy minden $\e>0$ 
sz\'amhoz l\'etezik olyan $N_0(\e)=N_0(\e,i)$ index, hogy 
$N\ge N_0(\e)$ eset\'en
$$
\align
\limsup_{h\to0}&\biggl|\frac{P(s-h,s,i,i)-1}hP(s,t,i,j)+\sum_{k\colon\;
E_k\in\Cal E,k\neq i}\frac{P(s-h,s,i,k)}hP(s,t,k,j)\\
&\qquad+c_i(s)P(s,t,i,j)-c_i(s)
\sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E,\,k\le N}P(s,t,k,j)p_{i,k}(s)\biggr|<\e.
\endalign
$$
M\'asr\'eszt a Kolmogorov-f\'ele backward egyenlet jobboldal\'an
lev\H{o} \"osszeg nagy index\H{u} tagjainak az \"osszeg\'ere is fel
lehet \'{\i}rni a $0\le c_i(s)
\summ_{k\colon\; E_k\in\Cal E,\,k> N}P(s,t,k,j)p_{i,k}(s)\le \e$
egyenl\H{o}tlens\'eget, ha $N\ge N(\e,i)$. Ez\'ert az utols\'o
egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$$
\align
\limsup_{h\to0}&\biggl|\frac{P(s-h,s,i,i)-1}hP(s,t,i,j)+\sum_{k\colon\;
E_k\in\Cal E,k\neq i}\frac{P(s-h,s,i,k)}hP(s,t,k,j)\\
&\qquad+c_i(s)P(s,t,i,j)-c_i(s)
\sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E}P(s,t,k,j)p_{i,k}(s)\biggr|<2\e.
\endalign
$$
Mivel ez a rel\'aci\'o minden $\e>0$-ra \'erv\'enyes
a (10) azonoss\'ag jobboldal\'an v\'egre lehet hajtani a
tagonk\'enti hat\'ar\'atmenet k\'epz\'est. A t\'etelt
bebizony\'{\i}tottuk.
\medskip

A Kolmogorov-f\'ele forward \'es backward egyenletek n\'emileg
egyszer\H{u}s\"odnek stacion\'arius Markov-folyamatok eset\'eben.
Ekkor $c_i(t)=c_i$, $P(s,t,i,j)=P(t-s,i,j)$, $p_{i,j}(t)=p_{i,j}$,
$\frac{\partial P(s,t,i,j)}{\partial t}=P'(t-s,i,j)$
\'es  $\frac{\partial P(s,t,i,j)}{\partial s}=-P'(t-s,i,j)$.
A sz\"ulet\'esi folyamat eset\'en $c_i(t)=\lambda_i$,
$p_{i,i+1}(t)=1$, $p_{i,j}(t)=0$, ha $j\neq i+1$. A sz\"ulet\'esi
\'es hal\'aloz\'asi folyamat eset\'eben $c_i(t)=\lambda_i+\mu_i$,
$p_{i,i+1}(t)=\frac{\lambda_i}{\lambda_i+\mu_i}$,
$p_{i,i-1}(t)=\frac{\mu_i}{\lambda_i+\mu_i}$ \'es
$p_{i,j}(t)=0$, ha $j\neq i+1$ \'es $j\neq i-1$.

\medskip
Tekints\"uk a sz\"ulet\'esi folyamatok modelljeit. P\'eld\'at 
mutatok egy olyan folytonos idej\H{u} Markov l\'ancra, amely 
tekinthet\H{o} a Kolmogorov-f\'ele backward egyenletet 
kiel\'eg\'{\i}t\H{o} sz\"ulet\'esi folyamatnak, de a megfelel\H{o} 
Kolmogorov-f\'ele forward egyenletet nem el\'eg\'{\i}ti ki. Ugyanis e
Markov l\'anc \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei teljes\'{\i}tik
a forward egyenlet megold\'as\'ahoz sz\"uks\'eges 1a) \'es 
2a)~felt\'eteleket, de nem teljes\'{\i}tik a 3a) felt\'etelt. 
Le\'{\i}rom ezt a modellt, \'es ismertetem vizsg\'alat\'anak 
legfontosabb gondolatait, de nem dolgozom ki a bizony\'{\i}t\'as
r\'eszleteit.

R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamely pozit\'{\i}v $\lambda_1,\lambda_2,\dots$
sz\'amokat, amelyekre $\summ_{j=1}^\infty\frac1{\lambda_j}<\infty$,
\'es legyen $\lambda_1=1$. Konstru\'aljunk minden $j=1,2,\dots$ sz\'amra
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
$\xi_j(1),\xi_j(2),\dots$ sorozat\'at, ahol a $\xi_j(i)$, $1\le i,j<\infty$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egym\'ast\'ol f\"uggetlenek, \'es
$\xi_j(i)$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\lambda_i$ param\'eterrel.
Legyen $\zeta_j=\summ_{i=1}^\infty\xi_j(i)$, $1\le j<\infty$. Ez a 
definici\'o \'ertelmes, mert a tekintett v\'eletlen \"osszegek (a
$\summ_{j=1}^\infty\frac1{\lambda_j}<\infty$ felt\'etel miatt) 
konvergensek. Legyen $T_0=T_0(1)=0$, $T_k=T_k(1)=\summ_{j=1}^k\zeta_j$, 
\'es defini\'aljuk a $T_k(l)=T_k+\summ_{p=1}^{l-1}\xi_{k+1}(l)$, 
$0\le k<\infty$, $2\le l<\infty$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'okat. Defini\'aljuk az $X(t)$, $t\ge0$, pozit\'{\i}v 
eg\'esz \'ert\'ek\H{u} sztochasztikus folyamatot az $X(t)=l$ 
egyenlettel, ha $T_k(l)\le t<T_k(l+1)$ valamely $k=0,1,2,\dots$
\'es $l\ge1$ indexekkel. Ekkor $X(t)$ egy folytonos idej\H{u}
Markov l\'anc, amelyre a $P(t,j,k)=P(X(t+s)=k|X(s)=j)$ 
\'atmenet val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek teljes\'{\i}tik az 1a), 2a) 
illetve 1b), 2b) felt\'eteleket $c_j=\lambda_j$, $p_{j,j+1}=1$, 
$p_{j,k}=0$, ha $k\neq j+1$ sz\'amokkal. Ugyanakkor a 
Kolmogorov-f\'ele forward egyenlet 3a) felt\'etel\'et nem teljes\'{\i}ti 
ez a Markov l\'anc.

Azt, hogy $X(t)$ mi\'ert folytonos idej\H{u} Markov l\'anc csak 
heurisztikusan magyar\'azom el. Ha $X(t)=i$ valamely $t>0$ id\H{o}pontban,
akkor $T_k(i)\le t$ \'es $T_k(i)+\xi_{k+1}(i+1)>t$ valamely 
$0\le k<\infty$ sz\'ammal. Az az id\H{o}, amit az $X(t)$ folyamat 
k\"ovetkez\H{o} l\'ep\'es\'eig kell v\'arni, teh\'at az a legkisebb
$u>0$ sz\'am, amelyre $X(t+u)=i+1$ a $\xi_{k+1}$ exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"or\"okifj\'u
tulajdons\'aga miatt nem f\"ugg att\'ol, hogy hogyan fejl\H{o}d\"ott 
az $X(\cdot)$ folyamat a $[0,t]$ id\H{o}intervallumban. (L\'asd a
jegyzet v\'eg\'en megfogalmazott feladatot.) 

Az $X(t)$ Markov l\'anc teljes\'{\i}ti a
$P(h,i,1)\le1-P(h,i,i)-P(h,i,i+1)=o(h)$ rel\'aci\'ot minden
$i\neq 1$ sz\'amra, ha $h\to0$, amint ezt a 2a) felt\'etel 
el\H{o}\'{\i}rja. Viszont b\'armilyen kis $h$-ra lehet tal\'alni olyan 
$i(h)$ indexet, hogy $i\ge i(h)$ eset\'en $P(h,i,1)\ge\frac14$, ami 
ny\'{\i}lv\'an ellentmond a 3a) felt\'etelnek. Ugyanis 
megv\'alaszthatjuk az $i(h)$ indexet olyan nagyra, hogy 
$P\(\summ_{l=i}^\infty\xi_j(l)<\frac h2\)>\frac12$, ha $i>i(h)$ (ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nem f\"ugg a $j$ indext\H{o}l), \'es kis 
$h$-ra $P(\xi_{k+1}(1)>h)\ge\frac 12$. Ez azt jelenti, hogy ha 
$X(t)=i$, akkor az $X(t)$ Markov l\'anc legal\'abb $\frac12$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel $\frac h2$ id\H{o}n bel\"ul az $1$ 
\'allapotba ker\"ul, \'es ezut\'an legal\'abb $\frac12$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\"obb mint $h$ ideig ott is marad.

A fenti modellben azt az esetet \'{\i}rtuk le form\'alisan, amelyben
amikor a tiszta sz\"ulet\'esi folyamat popul\'aci\'oja v\'egtelen 
nagys\'ag\'uv\'a n\"ovekszik, akkor az azonnal meg\-sz\H{u}\-nik, \'es 
helyette egy \'uj egy tag\'u popul\'aci\'oval indul\'o tiszta 
sz\"ulet\'esi folyamat keletkezik.

\medskip
R\"oviden, a bizony\'{\i}t\'asok elhagy\'as\'aval ismertetem,
milyen megold\'ast ad a Kol\-mo\-go\-rov-f\'e\-le forward \'es
backward egyenlet a sz\"ulet\'esi folyamat
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egei\-nek a
ki\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-ra. L\'attuk, hogy a forward egyenlet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel egy\'ertelm\H{u}en rekurz\'{\i}v m\'odon
egy\'ertelm\H{u}en kisz\'amolhat\'ok az
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek.
Be lehet l\'atni (nem trivi\'alis m\'odon) azt is, hogy ezek a
megold\'asok teljes\'{\i}tik a Chapman--Kolmogorov egyenletet.

A Kolmogorov-f\'ele backward egyenlet nem oldhat\'o meg olyan
explicit m\'odszerrel, mint a forward egyenlet. De be lehet l\'atni
(szint\'en nem trivi\'alis m\'odon), hogy a forward egyenlet
megold\'asa egyben megold\'asa a backward egyenletnek is. Felmer\"ul
a k\'erd\'es, van-e a backward egyenletnek m\'as megold\'asa is.
Mint az el\H{o}bb t\'argyalt p\'elda mutatja, a v\'alasz igenl\H{o} 
abban az esetben, ha a sz\"ulet\'esi folyamat olyan, hogy 
pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'eges id\H{o} alatt 
eljut a v\'egtelenbe. S\H{o}t a backward egyenletnek olyan \'uj 
megold\'asa is van, amelyik teljes\'{\i}ti a Chapman--Kolmogorov
egyenletet, teh\'at val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi
szempontb\'ol is \'erdekes.

Az el\H{o}bb v\'azlatosan t\'argyalt p\'elda h\'atter\'eben egy a
Markov-folyamatok el\-m\'e\-le\-t\'e\-ben fontos probl\'ema
rejt\H{o}zik. A tekintett Markov-l\'anc \'allapotter\'enek a
v\'eg\-te\-len ha\-t\'ar\-pont\-ja, \'es felmer\"ul a k\'erd\'es,
hogyan fejl\H{o}dik a Markov-l\'anc azut\'an, hogy egy
hat\'arpontj\'at el\'erte. Ez neh\'ez k\'erd\'es, \'es mint a fenti
p\'elda mutatja, m\'ar a legegyszer\H{u}bb modellekben is megjelenik
ez a neh\'ezs\'eg.


\medskip
V\'eg\"ul ismertetek egy feladatot, amely seg\'{\i}thet meg\'erteni,
hogy mi\'ert Markov folyamat az a sztochasztikus folyamat, amelyet
mint a Kolmogorov-f\'ele forward egyenletet ki nem el\'eg\'{\i}t\H{o}
sz\"ulet\'esi folyamatra adott p\'eld\'at tekintett\"unk.

\medskip
{\it Feladat:} 

\medskip
\item{} Legyen $Z$ nem negat\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, $\xi$ egy t\H{o}le f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda>0$
param\'eterrel. Ekkor tetsz\H{o}leges $t\ge0$ \'es $u>0$ sz\'amokra
$$
\frac{P(Z\le t,\, Z+\xi>t+u)}{P(Z\le t,\,Z+\xi>t)}=e^{-\lambda u}=P(\xi>u).
$$

\medskip\item{} {\it Megold\'as.} Jel\"olje $F(x)$ $Z$ 
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ekkor
$$
\frac{P(Z\le t,\, Z+\xi>t+u)}{P(Z\le t,\,Z+\xi>t)}
=\frac{\int_0^t e^{-\lambda(t+u-s)}F(\,ds)}
{\int_0^t e^{-\lambda(t-s)}F(\,ds)}=e^{-\lambda u}=P(\xi>u).
$$



\bye



