\magnification=\magstep1 \hsize=16truecm \input amstex \TagsOnRight \parindent=20pt %\parskip=2.5pt plus 1.2pt \parskip=3pt plus 1pt \define\A{{\bold A}} \define\BB{{\bold B}} \define\DD{{\bold D}} \define\T{{\bold T}} \define\U{{\bold U}} \define\({\left(} \define\){\right)} \define\[{\left[} \define\]{\right]} \define\e{\varepsilon} \define\oo{\omega} \define\const{\text{\rm const.}\,} \define\supp {\sup\limits} \define\inff{\inf\limits} \define\summ{\sum\limits} \define\prodd{\prod\limits} \define\limm{\lim\limits} \define\limsupp{\limsup\limits} \define\liminff{\liminf\limits} \define\bigcapp{\bigcap\limits} \define\bigcupp{\bigcup\limits} \define\Var{\text{\rm Var}\,} \define\Cov{\text{\rm Cov}\,} \def\Re{\text{\rm Re}\,} \def\Im{\text{\rm Im}\,} \font\script =cmcsc10 \beginsection Folytonos idej\H{u} Markov-l\'ancok. A folytonos idej\H{u} Markov l\'ancok \'es Markov folyamatok elm\'elet\'et nem fogom olyan r\'eszletesen t\'argyalni, mint a diszkr\'et idej\H{u} Markov l\'ancok\'et. Megel\'egszem n\'eh\'any fontos probl\'ema \'es eredm\'eny ismertet\'es\'evel. L\'attuk, hogy diszkr\'et idej\H{u} Markov-l\'ancok \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek megad\'as\'ahoz elegend\H{o} az egy l\'ep\'eses $P(i,j)=P(1,i,j)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket defini\'alni. Ezek ismeret\'eben az $n$-l\'ep\'eses $P(n,i,j)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket minden $n$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra ki tudjuk sz\'amolni az $n$ l\'ep\'essz\'am szerinti teljes indukci\'oval a $$ P(n,i,j)=\sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E} P(n-1,i,k)P(k,j) $$ Chapman--Kolmogorov azonoss\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Szeretn\'enk megtal\'alni ennek az ered\-m\'eny\-nek a folytonos idej\H{u} meg\-fe\-le\-l\H{o}\-j\'et. Ebben az esetben nincsen a 0 id\H{o}pont ut\'an k\"ozvetlen\"ul k\"ovetkez\H{o} id\H{o}pont. Vi\-szont tekinthet\"unk egy kis $h$ sz\'amot, \'es fel\'{\i}rhatjuk a $P(t+h,i,j)$ id\H{o}pontbeli \'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge\-ket \'es a $\frac{P(t+h,i,j)-P(t,i,j)}h$ dif\-fe\-ren\-cia\-h\'a\-nya\-dost a Chapman--Kolmogorov azonoss\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ezut\'an a $h$ sz\'ammal 0-hoz tartva egy olyan differenci\'alegyenletet kapunk az \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre, amely seg\'{\i}t meg\'erteni a Markov-l\'anc \'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gei\-nek a viselked\'es\'et. Abb\'ol a c\'elb\'ol, hogy ezt jobban meg\'erts\"uk, te\-kint\-s\"uk el\H{o}sz\"or a v\'eges sok $E_1,\dots,E_k$ \'allapotot felvev\H{o} Markov-l\'ancokat, \'es vizsg\'aljuk ennek $P(t,i,j)=P(X(t)=E_j|X(0)=E_i)$ \'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-geit \'es az \'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek \'altal meghat\'arozott $\Pi(t)=(P(t,i,j))$ $k\times k$ m\'eret\H{u} (szto\-chasz\-ti\-kus) \'atmenet m\'atrixokat, $t\ge0$. Be fogjuk l\'atni egy egyszer\H{u} t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy amennyiben a $\Pi(t)$ \'atmenet m\'atrixok rendszere differenci\'alhat\'o f\"uggv\'enye a $t\ge0$ id\H{o}param\'eternek, akkor a Markov-l\'anc eloszl\'asainak viselked\'ese egyszer\H{u}en megadhat\'o a $t>0$ id\H{o}pont f\"uggv\'eny\'eben, mint egy line\'aris dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyen\-let megold\'asa. El\H{o}tte megfogalmazok egy itt nem bizony\'{\i}tott eredm\'enyt, amely azt mondja ki, hogy az azt k\"ovet\H{o} T\'etel felt\'etelei nagyon \'altal\'anos felt\'etelek mellett teljes\"ulnek. \medskip\noindent {\bf Propozici\'o.} {\it Ha egy v\'eges \'allapotter\H{u} folytonos idej\H{u} Markov-l\'anc $\Pi(t)$ \'at\-me\-net\-m\'at\-rixai, $t\ge0$, folytonosak a null\'aban, akkor azok deriv\'alhat\'oak is minden $t\ge0$ sz\'amra.} \medskip\noindent {\bf T\'etel v\'eges \'allapotter\H{u} folytonos idej\H{u} Markov-l\'ancok eloszl\'asainak vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'e\-r\H{o}l.} {\it Legyen $X(t)$, $t\ge0$ Markov l\'anc egy $k$ (v\'eges) elem\H{u} $E_1,\dots,E_k$ \'allapott\'eren $P(t,i,j)=P(X(t)=E_j|X(0)=E_i)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel. Jel\"olje $$ \Pi(t)=((P(t,i,j)), \quad 1\le i,j\le k,\quad t\ge0, $$ a Markov-l\'anc \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg m\'atrixait. Tegy\"uk fel, hogy a $\Pi(t)$ m\'atrixnak l\'etezik a (jobboldali, koordin\'at\'ank\'ent vett) differenci\'alh\'anyadosa a $t=0$ pontban. Jel\"olje a $Q$ m\'atrix ezt a differenci\'alh\'anyadost. Ha $P(t)=(P(t,1),\dots,P(t,k))$, $t\ge0$, jel\"oli a Markov-l\'anc $t$ id\H{o}pontbeli eloszl\'as\'at, azaz, $P(t,j)=P(X(t)=E_j)$, akkor ez a vektor \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a $$ \frac d{dt}P(t)=P(t)Q,\quad t\ge0, $$ differenci\'alegyenletet, amelynek megold\'asa $$ P(t)=P(0)e^{tQ}, $$ ahol $P(0)=(P(0,1),\dots,P(0,k))$ a Markov-l\'anc eloszl\'asa a nulla id\H{o}pontban.} \medskip\noindent {\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ A (stacion\'arius) Markov tulajdons\'agai miatt $P(t+h)=P(t)\Pi(h)$, ahonnan $\frac {P(t+h)-P(t)}h=P(t)\frac{\Pi(h)-I}h$, ahol $I$ az identit\'as m\'atrixot jel\"oli. Mivel $\Pi(0)=I$, a fenti azonoss\'agb\'ol $h\to0$ hat\'ar\'atmenettel k\"ovetkezik a fel\'{\i}rt differenci\'alegyenlet. (N\'emi plusz munk\'aval, amit most elhagyunk be lehet bizony\'{\i}tani, hogy a fenti $h\to0$ hat\'ar\'atmenet negat\'{\i}v $h$ sz\'amokra is igaz. Ez k\"onnyen l\'athat\'o, ha el\H{o}sz\"or megmutatjuk, hogy $P(t)$ a $t$ v\'altoz\'o folytonos f\"uggv\'enye.) A t\'etel m\'asodik \'all\'{\i}t\'asa a line\'aris dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyen\-le\-tek\-nek az anal\'{\i}zisben tanult megold\'as\'ab\'ol k\"ovetkezik. \medskip\noindent {\it Els\H{o} megjegyz\'es.}\/ A t\'etelben szerepl\H{o} $Q$ m\'atrixot a Markov-l\'anc in\-fi\-ni\-te\-zi\-m\'a\-lis ope\-r\'a\-to\-r\'a\-nak h\'{\i}vj\'ak az irodalomban. \medskip\noindent {\it M\'asodik megjegyz\'es.}\/ Az $e^{tQ}$ kifejez\'est a $Q$ m\'atrix Jordan alakj\'anak a fel\'{\i}r\'asa se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel \'erdemes kisz\'amolni. Ha a $Q$ m\'atrixnak megtal\'aljuk a $J$ Jord\'an alakj\'at, akkor a $Q$ m\'atrixot reprezent\'alhatjuk $Q=CJC^{-1}$ alakban alkalmas invert\'alhat\'o $C$ m\'atrix seg\'{\i}ts\'eg\'evel, \'es ekkor $e^{tQ}=Ce^{tJ}C^{-1}$. A $J$ Jordan alak\'u m\'atrix $e^{tJ}$ alak\'u f\"uggv\'enye egyszer\H{u}en kisz\'am\'{\i}that\'o. \medskip\noindent {\it Feladat.} Mutassuk meg, hogy a $Q$ m\'atrix sor\"osszegei null\'aval egyenl\H{o}ek. \medskip Meg akarjuk mutatni, hogy a v\'eges sok \'allapotot felvev\H{o} Markov-l\'ancokhoz hasonl\'oan, megsz\'aml\'alhat\'oan sok \'allapotot felvev\H{o} Markov-l\'ancoknak az \'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gei is teljes\'{\i}tenek olyan differenci\'alegyenletrendszereket, amelyek fontos sze\-re\-pet j\'at\-sza\-nak a Markov-l\'ancok viselked\'es\'enek a tanulm\'anyoz\'as\'aban. Ebben az el\H{o}ad\'asban k\'et fontos speci\'alis modellt fogunk vizsg\'alni r\'eszletesebben, a sz\"ulet\'esi \'es sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamatokat. Megmutatjuk, hogy ezek `infinitezim\'alisan kis' id\H{o}intervallum alatt bek\"ovetkezett megv\'altoz\'asainak ismeret\'eben fel lehet \'{\i}rni olyan dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyen\-le\-te\-ket, amelyek lehet\H{o}v\'e teszik e folyamatok \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek kisz\'am\'{\i}t\'as\'at tetsz\H{o}leges id\H{o}intervallumban. Felmer\"ul az a k\'erd\'es, hogy ezeknek a Markov-folyamatok \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit meghat\'aroz\'o differenci\'alegyenleteknek egy\'ertelm\H{u}-e a megold\'asuk. Kider\"ult, hogy ez az egy\'ertelm\H{u}s\'egi k\'erd\'es nem puszt\'an technikai probl\'ema, hanem olyan a Markov-l\'ancok viselked\'es\'et le\'{\i}r\'o bonyolultabb jelens\'egekhez kapcsol\'odik, amelyek m\'ar a legegyszer\H{u}bb modellekben, a sz\"ulet\'esi folyamatokban is megjelennek, \'es vizsg\'alatuk a Markov-folyamatok elm\'elet\'enek fontos r\'esze. K\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyen\-let\-rend\-szert, fogunk fel\'{\i}rni, az \'ugynevezett Kolmogorov-f\'ele forward \'es Kolmogorov-f\'ele backward dif\-f\-e\-ren\-ci\'al\-egyen\-le\-tek rendszer\'et. K\'es\H{o}bb bebizony\'{\i}tjuk \'es t\'argyaljuk ezeket a differenci\'alegyenleteket \'altal\'anos Mar\-kov-fo\-lya\-ma\-tok eset\'eben is. Mind a sz\"ulet\'esi mind a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat olyan Markov-l\'anc, amely\-nek \'allapottere az $\Cal E=\{0,1,2,\dots\}$ term\'eszetes sz\'amok halmaza. A tekintett mo\-del\-lek olyan Markov-l\'ancok, amelyek egy popul\'aci\'o fejl\H{o}d\'es\'et \'{\i}rj\'ak le. Annak, hogy $X(t)=j$ az a szeml\'eletes tartalma, hogy a Markov-l\'anc \'altal le\'{\i}rt popul\'aci\'o l\'etsz\'ama a $t$ id\H{o}pontban $j$. A (stacion\'arius) Markov-l\'anc teljes definici\'oj\'ahoz meg kell adnunk a $P(t,i,j)=P(X(t)=j|X(0)=0)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Mind a sz\"ulet\'esi mind a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat definici\'oj\'aval meg fogunk adni egy aszimptotikus formul\'at a $P(t,i,j)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek \'ert\'ek\'ere kis $t$ sz\'amok eset\'ere a mo\-dell param\'etereinek tekintett sz\'amok seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Azt mondjuk, hogy egy Markov-l\'anc sz\"ulet\'esi vagy sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat az adott param\'eterekkel, ha annak \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei teljes\'{\i}tik az el\H{o}\'{\i}rt aszimptotikus formul\'at. \medskip\noindent {\bf Sz\"ulet\'esi folyamat definici\'oja.} {\it Azt mondjuk, hogy egy $X(t)$, $t\ge0$, id\H{o}ben folytonos (stacion\'arius) Markov-l\'anc az $\Cal E=\{0,1,2,\dots\}$ \'allapott\'eren sz\"ulet\'esi folyamat $\lambda_0$, $\lambda_1$,\dots param\'eterekkel, ha $P(t,i,j)=P(X(t)=j|X(0)=i)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei teljes\'{\i}tik a $$ \align P(h,i,i+1)&=\lambda_ih+o(h),\quad P(h,i,i)=1-\lambda_ih+o(h),\quad\text{\'es} \\ P(h,i,j)&=o(h),\text { ha $j\neq i$ \'es $j\neq i+1$} \quad h\to0 \text{ eset\'en} \endalign $$ rel\'aci\'ot.} \medskip A sz\"ulet\'esi folyamat definici\'oj\'anak szeml\'eletes tartalma ny\'{\i}lv\'anval\'o. A popul\'aci\'o tagjai nem halnak meg, \'es egy $i$ elem\H{u} popul\'aci\'oban kis $h$ id\H{o} alatt 1 \'uj egyed sz\"ulethet k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $\lambda_i h$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. \medskip\noindent {\bf Sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat definici\'oja.} {\it Azt mondjuk, hogy egy $X(t)$, $t\ge0$, id\H{o}ben folytonos (stacion\'arius) Markov-l\'anc az $\Cal E=\{0,1,2,\dots\}$ \'allapott\'eren sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat $\lambda_0,\lambda_1,\dots$ \'es $\mu_0,\mu_1,\dots$ param\'eterekkel, ($\mu_0=0$), ha $P(t,i,j)=P(X(t)=j|X(0)=i)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei teljes\'{\i}tik a $$ \align P(h,i,i+1)&=\lambda_ih+o(h),\quad P(h,i,i-1)=\mu_ih+o(h),\\ P(h,i,i)&=1-(\lambda_i+\mu_i)h+o(h), \\ \text{\'es } &P(h,i,j)=o(h),\text { ha $j\neq i$ \'es $j\neq i\pm1$} \quad h\to0 \text{ eset\'en} \endalign $$ rel\'aci\'ot.} \medskip A sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat definici\'oja a sz\"ulet\'esi folyamathoz hasonl\'oan interpret\'alhat\'o. Egy $i$ elem\H{u} popul\'aci\'oban k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $\lambda_i h$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\"ort\'enik egy sz\"ulet\'es, \'es k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $\mu_i h$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\"ort\'enik egy hal\'aloz\'as kis $h$ id\H{o} alatt. \medskip Tekints\"unk egy sz\"ulet\'esi folyamatot, $\lambda_0,\lambda_1,\dots$ param\'eterekkel tetsz\H{o}leges kezdeti $t=0$ id\H{o}pontbeli eloszl\'assal, \'es jel\"olje $P_n(t)$ annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a Markov-l\'anc a $t$ id\H{o}pontban az $n$ \'allapotban van. Ekkor $$ P_n(t+h)=(1-h\lambda_n)P_n(t)+h\lambda_{n-1}P_{n-1}(t)+o(h),\quad \text{ ha } n\ge1, \text{ \'es } h\to0, $$ \'es $$ P_0(t+h)=(1-\lambda_0h)P_0(t)+o(h),\quad \text{ ha } h\to0, $$ mert a $t+h$ id\H{o}pontban (elhanyagolhat\'oan kis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} esem\'enyeket figyelmen k\'{\i}v\"ul hagyva) vagy \'ugy lehet a popul\'aci\'onak $n$ eleme, hogy az $n$ id\H{o}pontban a po\-pu\-l\'a\-ci\'o\-nak $n$ eleme van \'es az adott id\H{o}intervallumban nem k\"ovetkezett be sz\"ulet\'es, aminek va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge $P_n(t)(1-\lambda_n h+o(h))$ vagy a popul\'aci\'onak a $t$ id\H{o}pontban $n-1$ eleme van, \'es az adott id\H{o}intervallumban egy sz\"ulet\'es t\"ort\'ent. Ez ut\'obbi esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $P_{n-1}(t)\lambda_{n-1}h+o(h)$. \'Atrendezve az els\H{o} egyenletet kapjuk, hogy $$ \frac{P_n(t+h)-P_n(t)}h=-\lambda_n P_n(t) +\lambda_{n-1}P_{n-1}(t)+o(1),\quad \text{ha } n\ge1, \text{ \'es } h\to0, $$ ahonnan $h\to0$ hat\'ar\'atmenettel kapjuk, hogy $$ P'_n(t)=-\lambda_n P_n(t)+\lambda_{n-1}P_{n-1}(t),\quad \text{ha } n\ge1. \tag1a $$ Hasonl\'oan $$ P'_0(t)=-\lambda_0 P_0(t). \tag1b $$ A sz\"ulet\'esi folyamat \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit megad\'o differenci\'alegyenletek fenti le\-ve\-ze\-t\'e\-s\'e\-ben nem fogalmaztuk meg azokat a felt\'eteleket, amelyek sz\"uks\'egesek ahhoz, hogy a benne szerepl\H{o} hat\'ar\'atmeneteket v\'egrehajthassuk. A sz\"ulet\'esi \'es sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamatok ismertet\'ese ut\'an fogom t\'argyalni azt, hogy milyen felt\'etelek mellett \'er\-v\'e\-nye\-sek az ott fel\'{\i}rt egyenletek \'es azok \'altal\'anos\'{\i}t\'asai. Vegy\"uk \'eszre, hogy r\"ogz\'{\i}tve egy $i\ge0$ sz\'amot \'es a $P_i(0)=1$, $P_j(0)=0$, ha $j\neq i$ kezdeti felt\'eteleket v\'eve, azaz olyan sz\"ulet\'esi folyamatot tekintve, amelyben a popul\'aci\'o l\'etsz\'ama $i$ a nulla id\H{o}pontban az (1a), (1b) differenci\'alegyenlet rendszer rekurz\'{\i}v m\'odon megoldhat\'o. Azt kapjuk, hogy $P_j(t)=0$ a $0\le j0$ sz\'amra.} \medskip Az el\H{o}z\H{o} t\'etel annak a sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et adja meg, hogy a sz\"ulet\'esi folyamat popul\'aci\'oj\'anak l\'etsz\'ama egy alkalmas v\'eges id\H{o}intervallumban pozit\'{\i}v va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel el\'eri a v\'egtelent. Ha ez bek\"ovetkezik valamely $[0,t_0]$ id\H{o}intervallumban, akkor $\summ_{j=i}^\infty P(t,i,j)<1$ minden $t>t_0$ sz\'amra. Ha van ilyen $t_0$ sz\'am, akkor minden $t_0>0$ ilyen sz\'am. Az al\'abbi feladat seg\'{\i}thet az el\H{o}z\H{o} t\'etel ok\'anak meg\'ert\'es\'eben. \medskip\noindent {\it Nem k\"otelez\H{o} feladat.}\/ Tekints\"unk egy id\H{o}ben folytonos, stacion\'arius Markov-l\'ancot valamely $\Cal E=\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapott\'eren $P(t,i,j)=P(X(t)=E_j|X(0)=E_i)$ \'at\-me\-net\-val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-kel. Tegy\"uk fel, hogy a $P(t,j,j)$ folytonos f\"uggv\'eny. Mutassuk, hogy ebben az esetben $F(t)=P(X(u)=E_j \text{minden $0\le u\le t$ id\H{o}pontra}|X(0)=E_j)=e^{-\lambda_jt}$ alkalmas $\lambda_j\ge 0$ sz\'ammal, azaz az $E_j$ \'allapotban val\'o \'alland\'o tart\'ozkod\'as hossz\'anak ideje exponenci\'alis eloszl\'as\'u. \medskip\noindent {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy $F(t+s)=F(t)F(s)$. Ha az $F(t)$ f\"uggv\'eny a null\'aban folytonos, akkor a fenti egyenletnek $F(t)=e^{-\lambda t}$, $\lambda>0$, alak\'u a megold\'asa. \medskip A fenti feladat eredm\'enye mutatja, hogy egy folytonos idej\H{u} Markov-folyamat egy helyen exponenci\'alis sok ideig tart\'ozkodik. Egy sz\"ulet\'esi folyamatban az $n$ helyen val\'o tart\'ozkod\'as $\xi_n$ ideje exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda=\lambda_n$ param\'eterrel. Tov\'abb\'a ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\"ul\"onb\"oz\H{o} $n$ indexekre f\"uggetlenek. Az $i$ \'al\-la\-pot\-b\'ol indul\'o sz\"ulet\'esi folyamat akkor \'es csak akkor \'eri el a v\'egtelent v\'eges id\H{o} alatt, ha $\summ_{n=i}^\infty\xi_n<\infty$. A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik klasszikus eredm\'eny\'eb\H{o}l (Kolmogorov-f\'ele h\'arom sor t\'etel) k\"ovetkezik, hogy ez az \"osszeg egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel diverg\'al, ha $\summ_{n=i}^\infty\frac1{\lambda_n}=\infty$, \'es egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al, ha $\summ_{n=i}^\infty\frac1{\lambda_n}<\infty$. A sz\"ulet\'esi folyamat \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit le\'{\i}r\'o (1a) \'es (1b) egyenletek a Kol\-mo\-go\-rov-f\'e\-le forward egyenletek speci\'alis esetei. K\'es\H{o}bb t\'argyalni fogom ennek az egyenletnek pontos megfogalmaz\'as\'at \'es bizony\'{\i}t\'as\'at az \'altal\'anos esetben. Ez az eredm\'eny felveti azt a k\'erd\'est is, hogy van-e a olyan sz\"ulet\'esi folyamat, amelynek \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit nem lehet megtal\'alni a Kolmogorov-f\'ele forward egyenlet megold\'asaik\'ent, mert nem el\'eg\'{\i}ti ki ennek az egyenlet \'erv\'enyess\'eg\'ehez sz\"uks\'eges \"osszes felt\'etelt. Erre a k\'erd\'esre igenl\H{o} a v\'alasz, de ennek ok\'ara csak heurisztikus magyar\'azatot adok, a r\'eszletes bizony\'{\i}t\'ast elhagyom. A sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat hasonl\'oan vizsg\'alhat\'o a sz\"ulet\'esi folyamatokhoz. Ha a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat param\'eterei $\lambda_0,\lambda_1,\dots$, illetve $\mu_0,\mu_1,\dots$, akkor annak $P_n(t)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a folyamat a $t$ id\H{o}pontban az $n$ \'ert\'eket veszi fel teljes\'{\i}ti a $$ P_n(t+h)=(1-h(\lambda_n+\mu_n))P_n(t)+h\lambda_{n-1}P_{n-1}(t) +h\mu_{n+1}P_{n+1}(t)+o(h),\quad \text{ ha } n\ge1, $$ \'es $h\to0$, \'es $$ P_0(t+h)=(1-\lambda_0h)P_0(t)+h\mu_1 P_1(t)+o(h),\quad \text{ ha } h\to0, $$ egyenleteket, ahonnan $h\to0$ hat\'ar\'atmenettel kapjuk, hogy $$ P'_n(t)=-(\lambda_n+\mu_n)P_n(t)+\lambda_{n-1}P_{n-1}(t) +\mu_{n+1}P_{n+1}(t),\quad \text{ha } n\ge1. \tag2a $$ Hasonl\'oan $$ P'_0(t)=-\lambda_0 P_0(t)+\mu_1 P_1(t). \tag2b $$ Ez a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamatr\'ol sz\'ol\'o Kolmogorov-f\'ele forward egyenlet, amelyet hasonl\'oan indokolhatunk, mint a sz\"ulet\'esi folyamatokr\'ol sz\'ol\'o egyenletet. Ebben az esetben a megold\'as nem \'{\i}rhat\'o fel olyan explicit m\'odon, mint a sz\"ulet\'esi folyamat eset\'en, \'es nem adhat\'o egyszer\H{u} univerz\'alis v\'alasz arra a k\'erd\'esre sem, hogy mikor jut el egy ilyen folyamat v\'eges id\H{o} alatt pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a v\'egtelenbe. A Kolmogorov-f\'ele backward egyenleteknek is el\H{o}sz\"or a sz\"ulet\'esi \'es sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamatok eset\'en \'erv\'enyes alakj\'at ismertetem r\"oviden. A sz\"ulet\'esi folyamatok eset\'eben a $$ P(t+h,i,j)=(1-\lambda_ih)P(t,i,j)+\lambda_i hP(t,i+1,j)+o(h) $$ rel\'aci\'o \'erv\'enyes, mert el\H{o}sz\"or a $[0,h]$, majd a $[h,t+h]$ intervallumot figyelve annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a sz\"ulet\'esi folyamat $t+h$ id\H{o} alatt az $i$ \'allapotb\'ol a $j$ \'allapotba jut \'ugy \'{\i}rhatjuk fel, mint annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a folyamat a $[0,h]$ id\H{o} alatt az $i$ \'allapotot nem v\'altoztatja, majd $t$ id\H{o} alatt az $i$ \'allapotb\'ol a $j$ \'allapotba jut, plusz annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $[0,h]$ id\H{o} alatt az $i$ \'allapotb\'ol az $i+1$ \'allapotba jut, majd $t$ id\H{o} alatt az $i+1$ \'allapotb\'ol a $j$ \'allapotba jut plusz egy $o(h)$ nagys\'ag\'u esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege. A tekintett esem\'enyek k\"oz\"ul az els\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"or\"ulbel\"ul $(1-\lambda_ih)P(t,i,j)$, a m\'asodik pedig $\lambda_ih P(t,i+1,j)$. A fenti aszimptotikus rel\'aci\'o \'ugy is \'{\i}rhat\'o, hogy $$ \frac{P(t+h,i,j)-P(t,i,j)}h=-\lambda_iP(t,i,j)+\lambda_i P(t,i+1,j)+o(1), $$ ahonnan $h\to0$ hat\'ar\'atmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel azt kapjuk, hogy $$ P'(t,i,j)=-\lambda_i P(t,i,j)+\lambda_i P(t,i+1,j). \tag3 $$ Ez a Kolmogorov-f\'ele backward egyenlet a sz\"ulet\'esi folyamatra. A sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat eset\'eben hasonl\'o indokl\'assal kapjuk, hogy $$ P(t+h,i,j)=(1-\lambda_ih-\mu_ih)P(t,i,j)+\lambda_i hP(t,i+1,j) +\mu_i hP(t,i-1,j)+o(h), $$ ahonnan $$ P'(t,i,j)=-(\lambda_i+\mu_i)P(t,i,j)+\lambda_iP(t,i+1,j)+\mu_i P(t,i-1,j). \tag4 $$ A (3) \'es (4) formul\'aban fel\'{\i}rt backward egyenletek kapcsolata az (1a), (1b) illetve (2a), (2b) forward egyenletek kapcsolat\'anak meg\'ert\'ese alaposabb vizsg\'alatot ig\'enyel. Ennek \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or fel\'{\i}rjuk a forward \'es backward egyenleteket az \'altal\'anos esetben. \medskip Az al\'abbiakban a Kolmogorov-f\'ele forward \'es backward egyenleteket bebizony\'{\i}tjuk tetsz\H{o}leges Markov-l\'ancokra. \'Erdemes ezt a k\'erd\'est kis\-s\'e \'al\-ta\-l\'a\-no\-sab\-ban vizsg\'alni, \'es nem felt\'etlen\"ul stacion\'arius, id\H{o}ben folytonos, leg\-fel\-jebb meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o sok k\"ul\"onb\"oz\H{o} \'ert\'eket felvev\H{o} Markov-l\'ancokat tekinteni. Legyen $X(t)$, $t\ge0$, nem felt\'etlen\"ul stacion\'arius Markov-l\'anc egy v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen $\Cal E=\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapott\'eren, $P(s,t,i,j)=P(X(t)=j|X(s)=i)$, $0\le s\le t<\infty$, \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel. Ezek az \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek teljes\'{\i}tik a $$ P(s,t,i,j)=\sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E} P(s,u,i,k)P(u,t,k,j) \quad s\le u\le t \tag5 $$ Chapman--Kolmogorov egyenleteket. Megmutatjuk, hogy amennyiben az \'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek teljes\'{\i}tenek bizonyos folytonoss\'ag jelleg\H{u} felt\'eteleket is, akkor kiel\'eg\'{\i}tenek bizonyos differenci\'alegyet rendszert is. S\H{o}t k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} differenci\'alegyenletrendszert is levezethet\"unk. Az egyiket, az \'ugynevezett Kolmogorov-f\'ele forward dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyen\-let\-rend\-szert \'ugy kap\-juk, hogy tekint\"uk a $\frac{P(s,t+h,i,j)-P(s,t,i,j)}h$ differenciah\'anyadosokat, illetve ezek limeszeit $h\to0$ eset\'en, \'es a $P(s,t+h,i,j)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget \'ugy sz\'amoljuk ki a Chapman--Kolmogorov egyenlet seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy k\"ovetj\"uk annak va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et, hogy az $s$ id\H{o}pontban az $E_i$ \'allapotban tart\'ozkod\'o trajekt\'oria a $t$ id\H{o}pontban eljut valamely $E_k$ \'allapotba, majd onnan $h$ id\H{o} m\'ulva az $E_j$ \'allapotba jut. A m\'asik egyenletrendszert, a Kolmogorov-f\'ele backward differenci\'alegyenletrendszert \'ugy kap\-juk, hogy a $\frac{P(s,t,i,j)-P(s-h,t,i,j)}h$ differenciah\'anyadosokat, illetve ezek limeszeinek vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'et vizs\-g\'al\-juk $h\to0$ eset\'en. Ebben az esetben a $P(s-h,t,i,j)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget \'ugy sz\'amoljuk ki a Chapman--Kolmogorov egyenlet seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy k\"ovetj\"uk annak va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et, hogy az $s-h$ id\H{o}pontban az $E_i$ \'allapotban tartozkod\'o trajekt\'oria $h$ id\H{o}pont m\'ulva eljut valamely $E_k$ \'allapotba, majd onnan $t-s$ id\H{o} m\'ulva az $E_j$ \'allapotba ker\"ul. Mind a Kolmogorov-f\'ele forward mind a Kolmogorov-f\'ele backward egyenlet teljes\"ul\'es\'ehez bizonyos felt\'eteleknek teljes\"ulni kell. El\H{o}sz\"or megfogalmazom azokat az 1a), 2a), 3a) felt\'eteleket, amelyek teljes\"ul\'ese eset\'en be tudjuk bizony\'{\i}tani a Kolmogorov-f\'ele forward egyenleteket, majd megfogalmazom \'es bebizony\'{\i}tom ezeket az egyenleteket. \medskip\noindent {\it 1a) felt\'etel:}\/ Minden $E_k$ \'allapothoz l\'etezik olyan $c_k(t)\ge0$ f\"uggv\'eny, amelyre $$ \lim_{h\to0}\frac{1-P(t,t+h,k,k)}h=c_k(t)\quad\text{minden $t\ge0$ sz\'amra}. \tag6 $$ \medskip\noindent {\it 2a) felt\'etel:}\/ Minden $E_k$ \'es $E_j$, $E_j\neq E_k$, \'allapotp\'arhoz \'es $t$ id\H{o}ponthoz l\'eteznek olyan folytonos $p_{k,j}(t)$ `\'atmenet val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg' f\"uggv\'enyek, melyekre teljes\"ul, hogy $$ \lim_{h\to0}\frac{P(t,t+h,k,j)}h=c_k(t)p_{k,j}(t)\quad j\neq k \tag7 $$ rel\'aci\'o, ahol $c_k(t)$ az 1a) felt\'etelben szerepl\H{o} f\"uggv\'eny. Tov\'abb\'a, $$ \sum_{j\colon\; E_j\in\Cal E}p_{k,j}(t)=1,\quad p_{k,k}(t)=0 \quad \text{minden $t\ge 0$ sz\'amra}. $$ \medskip\noindent {\it 3a) felt\'etel:}\/ A 2a) felt\'etelben megfogalmazott (7) rel\'aci\'oban vett hat\'ar\'ert\'ekben a konvergencia egyenletes a $k$ v\'altoz\'oban minden r\"ogz\'{\i}tett $j$ indexre \'es $t\ge0$ id\H{o}pontra. \medskip L\'atni fogjuk, hogy a fenti felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en fel tudunk \'{\i}rni egy dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyen\-let\-rend\-szert, amelynek megold\'asa megadja a Markov-l\'anc \'at\-menet\-val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge\-it. Ez a hozz\'a\'all\'as term\'eszetes analogonja a v\'eges \'allapotter\H{u} folytonos idej\H{u} Markov-l\'ancok eloszl\'asainak vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'e\-r\H{o}l sz\'ol\'o t\'etelnek. A Markov-l\'anc \'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge\-it annak seg\'{\i}ts\'eg\'evel pr\'ob\'aljuk meghat\'arozni, hogy az \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kis id\H{o}tartam alatt bek\"ovetkezett v\'altoz\'asair\'ol van inform\'aci\'onk. Ez hasonl\'o az eml\'{\i}tett t\'etel ered\-m\'e\-ny\'e\-hez, amelyben a Markov-l\'anc infinitezim\'alis oper\'atora seg\'{\i}ts\'eg\'evel ha\-t\'a\-roz\-tuk meg az \'at\-menet\-val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge\-ket. Hasonl\'o szellemet t\"ukr\"oz a mechanika tudom\'anya is, ahol egy rendszer mozg\'as\'at az annak lok\'alis kis id\H{o} alatt k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg megad\'o dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyen\-le\-tek seg\'{\i}ts\'eg\'evel pr\'ob\'aljuk meghat\'arozni. A fent megfogalmazott 1a) \'es 2a) felt\'etelek term\'eszetesek. Az 1a) feltev\'es azt fejezi ki, hogy kis id\H{o} alatt a Markov-l\'anc csak kis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'altoztatja meg az \'allapot\'at. Ha a Markov l\'anc a $t$ id\H{o}pontban az $E_k$ \'allapotban tart\'ozkodik, akkor annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $h$ id\H{o} m\'ulva megv\'altoztatja az \'allapot\'at k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $hc_k(t)$. Az, hogy ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg f\"ugghet a $t$ id\H{o}pontt\'ol, azzal f\"ugg \"ossze, hogy a Markov-l\'anc nem felt\'etlen\"ul stacion\'arius. Az 1a) felt\'etel tartalm\'anak jobb meg\'ert\'es\'ehez hozz\'aj\'arulhat az al\'abb megfogalmazott feladat is. A 2a) felt\'etel azt fogalmazza meg, hogy ha a Markov-l\'anc a $t$ id\H{o}pontban vagy egy ehhez k\"ozeli id\H{o}pontban megv\'altoztatja az \'allapot\'at, \'es egy $E_k$ \'allapotb\'ol a valamely m\'as \'allapotba ugrik, akkor $p_{k,j}(t)$ annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $E_j$ lesz ez az \'uj \'allapot. \'Ertelemszer\H{u}en, $p_{j,j}(t)=0$. A 3a) felt\'etel viszont tiszt\'an technikai jelleg\H{u}. Ez a felt\'etel a forward egyenlet gyenges\'egeit t\"ukr\"ozi. Van olyan Markov-l\'anc, amelynek \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit nem kaphatjuk meg az al\'abb ismertetend\H{o} Kolmogorov-f\'ele forward egyenlet megold\'asak\'ent, mert a Markov-l\'anc \'atmenet val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei nem teljes\'{\i}tik a 3a) tulajdons\'agot. \medskip\noindent {\bf A Kolmogorov-f\'ele forward differenci\'alegyenletek.} {\it Legyen $X(t)$, $t\ge0$, (nem felt\'etlen\"ul stacion\'arius) folytonos idej\H{u} Markov-l\'anc egy $\Cal E=\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapott\'eren $P(s,t,i,j)=P(X(t)=E_j|X(s)=E_i)$ \'at\-menet\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-kel. Ha ezek az \'at\-menet\-val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek teljes\'{\i}tik az 1a), 2a) \'es 3a) felt\'eteleket, akkor teljes\'{\i}tik az $$ \frac{\partial P(s,t,i,j)}{\partial t}=-c_j(t)P(s,t,i,j)+ \sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E}P(s,t,i,k)c_k(t)p_{k,j}(t) $$ egyenleteket is. Ezeket az egyenleket h\'{\i}vj\'ak Kolmogorov-f\'ele forward egyenleteknek.} \medskip\noindent {\it Megjegyz\'es:}\/ A bizony\'{\i}t\'asban ki fogjuk haszn\'alni, hogy a $P(s,t,i,j)$ \'at\-menet\-val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek teljes\'{\i}tik az 1a), 2a) \'es 3a) felt\'etelek mellett a Chapman--Kolmogorov egyenletet, valamint $\summ_j P(s,t,i,j)\le1$. Az utols\'o rel\'aci\'oban kisebb vagy egyenl\H{o} jelet \'{\i}rtam, mert lehets\'eges, hogy a folyamat ``elt\H{u}nik'' (l\'asd a sz\"ulet\'esi folyamatot, amikor a popul\'aci\'o v\'eges id\H{o} alatt v\'egtelen elemsz\'am\'u lesz), de az \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek \"ossze\-ge nem lehet 1-n\'el na\-gyobb. Hasonl\'o megjegyz\'es \'erv\'enyes a k\'es\H{o}bb t\'argyaland\'o backward egyenletek eset\'eben is. \medskip\noindent {\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Az (5) Chapman--Kolmogorov egyenlet alapj\'an $$ P(s,t+h,i,j)=\sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E} P(s,t,i,k)P(t,t+h,k,j). $$ Ennek az azonoss\'agnak \'es az 1a) felt\'etelben szerepl\H{o} (6)~formula alapj\'an $$ \align &\frac{P(s,t+h,i,j)-P(s,t,i,j)}h\\ &\quad=-P(s,t,i,j)\frac{1-P(t,t+h,j,j)}h +\sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E,\,k\neq j} P(s,t,i,k)\frac{P(t,t+h,k,j)}h. \tag8 \endalign $$ Az 1a) felt\'etel szerint $\limm_{h\to0}P(s,t,i,j)\frac{1-P(t,t+h,j,j)}h= P(s,t,i,j)c_j(t)$, \'es a 2a) felt\'etel alapj\'an $\limm_{h\to0}P(s,t,i,k)\frac{P(t,t+h,k,j)}h= P(s,t,i,k)c_k(t)p_{k,j}(t)$, ha $k\neq j$. Innen form\'alis hat\'ar\'atmenettel megkapjuk a Kolmogorov-f\'ele forward differenci\'alegyenletet. Be kell l\'atnunk, hogy ez a form\'alis hat\'ar\'atmenet v\'egrehajthat\'o, ha teljes\"ulnek a t\'etel felt\'etelei. Ennek igazol\'as\'aban felhaszn\'aljuk a 3a) felt\'etelt \'es a $\summ_kP(s,t,i,k)\le1$ rel\'aci\'ot. A 2a) \'es 3a) rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik, hogy $$ \left|\frac{P(t,t+h,k,j)}h-c_k(t)p_{k,j}(t)\right|\le \e, \quad \text{ha } h\le h_0(\e,j,t). \tag9 $$ Ez\'ert speci\'alisan az is igaz, hogy $c_k(t)p_{k,j}(t)\le A(j,t)$ alkalmas $A(j,t)<\infty$ sz\'ammal minden $k$ indexre. Val\'oban, $\frac{P(t,t+h_0,k,j)}{h_0}\le \frac1{h_0}$, \'es $c_k(t)p_{k,j}(t)\le\frac1{h_0}+\e$, ahol $h_0=h_0(\e,j,t)$. Innen, \'es a $\summ_kP(s,t,i,k)\le1$ egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg\-b\H{o}l k\"ovetkezik, hogy a Kol\-mo\-go\-rov-f\'ele forward egyenlet jobboldal\'an sze\-rep\-l\H{o} \"osszeg konvergens. (A fenti \'ervel\'esben $\summ_kP(s,t,i,k)\le1$ egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-get \'{\i}rtam \'es nem egyenl\H{o}s\'eget. Ennek oka az, hogy nem akartam kiz\'arni olyan Markov-l\'ancokat, amelyekben a Markov-l\'anc v\'eges id\H{o} alatt kiszalad a v\'egtelenbe vagy egy hat\'arpontba. L\'attuk, hogy ilyen lehet\H{o}s\'eg m\'ar a sz\"ulet\'esi folyamatokban is megjelenhet.) Ez\'ert a (8) \'es (9) rel\'aci\'ok valamint a $\summ_kP(s,t,i,k)\le1$ egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg\-b\H{o}l k\"ovetkezik a Kolmogorov-f\'ele forward egyenlet. \medskip R\'at\'erek a backward Kolmogorov-f\'ele egyenletek ismertet\'ese. Ezek bizony\'{\i}t\'asa az al\'abbi 1b) \'es 2b) felt\'eteleken alapul. \medskip\noindent {\it 1b) felt\'etel:}\/ Minden $E_j$ \'allapothoz l\'etezik olyan $c_j(t)\ge0$ f\"uggv\'eny, amelyre $$ \lim_{h\to0}\frac{1-P(t-h,t,j,j)}h=c_j(t)\quad\text{minden $t\ge0$ sz\'amra}. \tag$6'$ $$ \medskip\noindent {\it 2b) felt\'etel:}\/ Minden $E_j$ \'es $E_k$, $E_j\neq E_k$, \'allapotp\'arhoz \'es $t$ id\H{o}ponthoz l\'eteznek olyan folytonos $p_{j,k}(t)$ `\'atmenet val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg' f\"uggv\'enyek, melyekre teljes\"ul, hogy $$ \lim_{h\to0}\frac{P(t-h,t,j,k)}h=c_j(t)p_{j,k}(t)\quad j\neq k \tag$7'$ $$ rel\'aci\'o, ahol $c_j(t)$ az 1b) felt\'etelben szerepl\H{o} f\"uggv\'eny. Tov\'abb\'a, $$ \sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E}p_{j,k}(t)=1,\quad p_{j,j}(t)=0 \quad \text{minden $t\ge 0$ sz\'amra}. $$ \medskip A fenti tulajdons\'agok term\'eszetes megfelel\H{o}i az 1a) \'es 2a) tulajdons\'agoknak. Vi\-szont nem fogalmaztam meg semmilyen a 3a) tulajdons\'agnak megfelel\H{o} felt\'etelt. A k\"ovetkez\H{o} ered\-m\'eny\-ben megmutatom, hogy a Kolmogorov-f\'ele backward egyenlet \'er\-v\'e\-nyes\-s\'e\-g\'e\-hez elegend\H{o} a fent megfogalmazott 1b) \'es 2b) tulajdons\'ag. \medskip\noindent {\bf A Kolmogorov-f\'ele backward differenci\'alegyenletek.} {\it Legyen $X(t)$, $t\ge0$, (nem felt\'etlen\"ul stacion\'arius) folytonos idej\H{u} Markov-l\'anc egy $\Cal E=\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapott\'eren $P(s,t,i,j)=P(X(t)=E_j|X(s)=E_i)$ \'at\-menet\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-kel. Ha ezek az \'at\-menet\-val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek teljes\'{\i}tik az 1b) \'es 2b) felt\'eteleket, akkor teljes\'{\i}tik az $$ \frac{\partial P(s,t,i,j)}{\partial s}=c_i(s)P(s,t,i,j)-c_i(s) \sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E}P(s,t,k,j)p_{i,k}(s) $$ egyenleteket is. Ezeket az egyenleket h\'{\i}vj\'ak Kolmogorov-f\'ele backward egyenleteknek.} \medskip\noindent {\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Jelen esetben az~(1) Chapman--Kolmogorov egyenletet a k\"ovetkez\H{o} form\'aban fogjuk haszn\'alni: $$ P(s-h,t,i,j)=\sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E} P(s-h,s,i,k)P(s,t,k,j). $$ Innen, \'es a $(6')$ formul\'ab\'ol kapjuk, hogy $$ \align &\frac{P(s-h,t,i,j)-P(s,t,i,j)}h\\ &\qquad =\frac{P(s-h,s,i,i)-1}hP(s,t,i,j)+\sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E,k\neq i}\frac{P(s-h,s,i,k)}hP(s,t,k,j). \tag10 \endalign $$ Az 1b) k\'eplet alapj\'an $\limm_{h\to0}\frac{P(s-h,s,i,i)-1}hP(s,t,i,j)=-c_i(s)P(s,t,i,j)$, \'es a 2b) felt\'etel szerint $\limm_{h\to0}\frac{P(s-h,s,i,k)}hP(s,t,k,j)=c_i(s)p_{i,k}(s)P(s,t,k,j)$. Ha v\'egrehajtjuk tagonk\'ent a ha\-t\'ar\-\'at\-me\-ne\-tet a (10) k\'eplet jobboldal\'an, megkapjuk a backward Kolmogorov-f\'ele egyenletet. (Vegy\"uk \'eszre, hogy a (10)~kifejez\'es baloldal\'anak a limesze, felt\'eve, hogy az a limesz l\'etezik $-\frac{\partial P(s,t,i,j)}{\partial s}$.) A prob\-l\'e\-ma az, hogy k\"ul\"on indokl\'ast ig\'enyel ennek a tagonk\'enti ha\-t\'ar\-\'atme\-net elv\'egz\'es\'enek a jogoss\'aga. A k\"ovetkez\H{o} \'ervel\'es mutatja, hogy ezt meg lehet tenni an\'elk\"ul, hogy ehhez k\"ul\"on felt\'eteleket kellene el\H{o}\'{\i}rni. Ez rendk\'{\i}v\"ul l\'enyeges k\"ul\"onbs\'eg a forward \'es backward Kolmogorov-f\'ele egyenletek k\"oz\"ott. Tekints\"unk egy el\'eg nagy $N$ sz\'amot, amelyre az is igaz, hogy $N\ge i$. Akkor a (10) formula jobboldal\'an lev\H{o} v\'egtelen \"osszeg $N$-n\'el nagyobb tagjainak hozad\'ek\'at a k\"ovetkez\H{o} m\'odon lehet megbecs\"ulni: $$ \aligned 0&\le\sum_{k>N}\frac{P(s-h,s,i,k)}hP(s,t,k,j)\le\sum_{k>N} \frac{P(s-h,s,i,k)}h\le\frac{1-\summ_{k=1}^N P(s-h,s,i,k)}h\\ &=\frac{1-P(s-h,s,i,i)}h-\frac{\summ_{k\colon\; 1\le k\le N,\,k\neq i} P(s-h,s,i,k)}h\to c_i(s)\(1-\summ_{k=1}^N p_{i,k}(s)\). \endaligned \tag11 $$ A (11) egyenl\H{o}tlens\'eg els\H{o} sor\'anak v\'eg\'en megint egyenl\H{o}tlens\'eget \'{\i}rtam, mert csup\'an a gyeng\'ebb $\summ_{k=1}^\infty P(s-h,i,k)\le1$ felt\'etelt k\'{\i}v\'anom haszn\'alni, nem k\"ovetelem meg, hogy pontos egyenl\H{o}s\'eg teljes\"ulj\"on. A (11) rel\'aci\'ob\'ol, a $\summ_{k=1}^\infty p_{i,k}(s)=1$ azonoss\'agb\'ol valamint az 1b) \'es 2b) tulajdons\'agokb\'ol k\"ovetkezik, hogy minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan $N_0(\e)=N_0(\e,i)$ index, hogy $N\ge N_0(\e)$ eset\'en $$ \align \limsup_{h\to0}&\biggl|\frac{P(s-h,s,i,i)-1}hP(s,t,i,j)+\sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E,k\neq i}\frac{P(s-h,s,i,k)}hP(s,t,k,j)\\ &\qquad+c_i(s)P(s,t,i,j)-c_i(s) \sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E,\,k\le N}P(s,t,k,j)p_{i,k}(s)\biggr|<\e. \endalign $$ M\'asr\'eszt a Kolmogorov-f\'ele backward egyenlet jobboldal\'an lev\H{o} \"osszeg nagy index\H{u} tagjainak az \"osszeg\'ere is fel lehet \'{\i}rni a $0\le c_i(s) \summ_{k\colon\; E_k\in\Cal E,\,k> N}P(s,t,k,j)p_{i,k}(s)\le \e$ egyenl\H{o}tlens\'eget, ha $N\ge N(\e,i)$. Ez\'ert az utols\'o egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $$ \align \limsup_{h\to0}&\biggl|\frac{P(s-h,s,i,i)-1}hP(s,t,i,j)+\sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E,k\neq i}\frac{P(s-h,s,i,k)}hP(s,t,k,j)\\ &\qquad+c_i(s)P(s,t,i,j)-c_i(s) \sum_{k\colon\; E_k\in\Cal E}P(s,t,k,j)p_{i,k}(s)\biggr|<2\e. \endalign $$ Mivel ez a rel\'aci\'o minden $\e>0$-ra \'erv\'enyes a (10) azonoss\'ag jobboldal\'an v\'egre lehet hajtani a tagonk\'enti hat\'ar\'atmenet k\'epz\'est. A t\'etelt bebizony\'{\i}tottuk. \medskip A Kolmogorov-f\'ele forward \'es backward egyenletek n\'emileg egyszer\H{u}s\"odnek stacion\'arius Markov-folyamatok eset\'eben. Ekkor $c_i(t)=c_i$, $P(s,t,i,j)=P(t-s,i,j)$, $p_{i,j}(t)=p_{i,j}$, $\frac{\partial P(s,t,i,j)}{\partial t}=P'(t-s,i,j)$ \'es $\frac{\partial P(s,t,i,j)}{\partial s}=-P'(t-s,i,j)$. A sz\"ulet\'esi folyamat eset\'en $c_i(t)=\lambda_i$, $p_{i,i+1}(t)=1$, $p_{i,j}(t)=0$, ha $j\neq i+1$. A sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat eset\'eben $c_i(t)=\lambda_i+\mu_i$, $p_{i,i+1}(t)=\frac{\lambda_i}{\lambda_i+\mu_i}$, $p_{i,i-1}(t)=\frac{\mu_i}{\lambda_i+\mu_i}$ \'es $p_{i,j}(t)=0$, ha $j\neq i+1$ \'es $j\neq i-1$. \medskip Tekints\"uk a sz\"ulet\'esi folyamatok modelljeit. P\'eld\'at mutatok egy olyan folytonos idej\H{u} Markov l\'ancra, amely tekinthet\H{o} a Kolmogorov-f\'ele backward egyenletet kiel\'eg\'{\i}t\H{o} sz\"ulet\'esi folyamatnak, de a megfelel\H{o} Kolmogorov-f\'ele forward egyenletet nem el\'eg\'{\i}ti ki. Ugyanis e Markov l\'anc \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei teljes\'{\i}tik a forward egyenlet megold\'as\'ahoz sz\"uks\'eges 1a) \'es 2a)~felt\'eteleket, de nem teljes\'{\i}tik a 3a) felt\'etelt. Le\'{\i}rom ezt a modellt, \'es ismertetem vizsg\'alat\'anak legfontosabb gondolatait, de nem dolgozom ki a bizony\'{\i}t\'as r\'eszleteit. R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamely pozit\'{\i}v $\lambda_1,\lambda_2,\dots$ sz\'amokat, amelyekre $\summ_{j=1}^\infty\frac1{\lambda_j}<\infty$, \'es legyen $\lambda_1=1$. Konstru\'aljunk minden $j=1,2,\dots$ sz\'amra f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_j(1),\xi_j(2),\dots$ sorozat\'at, ahol a $\xi_j(i)$, $1\le i,j<\infty$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egym\'ast\'ol f\"uggetlenek, \'es $\xi_j(i)$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\lambda_i$ param\'eterrel. Legyen $\zeta_j=\summ_{i=1}^\infty\xi_j(i)$, $1\le j<\infty$. Ez a definici\'o \'ertelmes, mert a tekintett v\'eletlen \"osszegek (a $\summ_{j=1}^\infty\frac1{\lambda_j}<\infty$ felt\'etel miatt) konvergensek. Legyen $T_0=T_0(1)=0$, $T_k=T_k(1)=\summ_{j=1}^k\zeta_j$, \'es defini\'aljuk a $T_k(l)=T_k+\summ_{p=1}^{l-1}\xi_{k+1}(l)$, $0\le k<\infty$, $2\le l<\infty$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Defini\'aljuk az $X(t)$, $t\ge0$, pozit\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ek\H{u} sztochasztikus folyamatot az $X(t)=l$ egyenlettel, ha $T_k(l)\le t0$ id\H{o}pontban, akkor $T_k(i)\le t$ \'es $T_k(i)+\xi_{k+1}(i+1)>t$ valamely $0\le k<\infty$ sz\'ammal. Az az id\H{o}, amit az $X(t)$ folyamat k\"ovetkez\H{o} l\'ep\'es\'eig kell v\'arni, teh\'at az a legkisebb $u>0$ sz\'am, amelyre $X(t+u)=i+1$ a $\xi_{k+1}$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"or\"okifj\'u tulajdons\'aga miatt nem f\"ugg att\'ol, hogy hogyan fejl\H{o}d\"ott az $X(\cdot)$ folyamat a $[0,t]$ id\H{o}intervallumban. (L\'asd a jegyzet v\'eg\'en megfogalmazott feladatot.) Az $X(t)$ Markov l\'anc teljes\'{\i}ti a $P(h,i,1)\le1-P(h,i,i)-P(h,i,i+1)=o(h)$ rel\'aci\'ot minden $i\neq 1$ sz\'amra, ha $h\to0$, amint ezt a 2a) felt\'etel el\H{o}\'{\i}rja. Viszont b\'armilyen kis $h$-ra lehet tal\'alni olyan $i(h)$ indexet, hogy $i\ge i(h)$ eset\'en $P(h,i,1)\ge\frac14$, ami ny\'{\i}lv\'an ellentmond a 3a) felt\'etelnek. Ugyanis megv\'alaszthatjuk az $i(h)$ indexet olyan nagyra, hogy $P\(\summ_{l=i}^\infty\xi_j(l)<\frac h2\)>\frac12$, ha $i>i(h)$ (ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nem f\"ugg a $j$ indext\H{o}l), \'es kis $h$-ra $P(\xi_{k+1}(1)>h)\ge\frac 12$. Ez azt jelenti, hogy ha $X(t)=i$, akkor az $X(t)$ Markov l\'anc legal\'abb $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel $\frac h2$ id\H{o}n bel\"ul az $1$ \'allapotba ker\"ul, \'es ezut\'an legal\'abb $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\"obb mint $h$ ideig ott is marad. A fenti modellben azt az esetet \'{\i}rtuk le form\'alisan, amelyben amikor a tiszta sz\"ulet\'esi folyamat popul\'aci\'oja v\'egtelen nagys\'ag\'uv\'a n\"ovekszik, akkor az azonnal meg\-sz\H{u}\-nik, \'es helyette egy \'uj egy tag\'u popul\'aci\'oval indul\'o tiszta sz\"ulet\'esi folyamat keletkezik. \medskip R\"oviden, a bizony\'{\i}t\'asok elhagy\'as\'aval ismertetem, milyen megold\'ast ad a Kol\-mo\-go\-rov-f\'e\-le forward \'es backward egyenlet a sz\"ulet\'esi folyamat \'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egei\-nek a ki\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-ra. L\'attuk, hogy a forward egyenlet seg\'{\i}ts\'eg\'evel egy\'ertelm\H{u}en rekurz\'{\i}v m\'odon egy\'ertelm\H{u}en kisz\'amolhat\'ok az \'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek. Be lehet l\'atni (nem trivi\'alis m\'odon) azt is, hogy ezek a megold\'asok teljes\'{\i}tik a Chapman--Kolmogorov egyenletet. A Kolmogorov-f\'ele backward egyenlet nem oldhat\'o meg olyan explicit m\'odszerrel, mint a forward egyenlet. De be lehet l\'atni (szint\'en nem trivi\'alis m\'odon), hogy a forward egyenlet megold\'asa egyben megold\'asa a backward egyenletnek is. Felmer\"ul a k\'erd\'es, van-e a backward egyenletnek m\'as megold\'asa is. Mint az el\H{o}bb t\'argyalt p\'elda mutatja, a v\'alasz igenl\H{o} abban az esetben, ha a sz\"ulet\'esi folyamat olyan, hogy pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'eges id\H{o} alatt eljut a v\'egtelenbe. S\H{o}t a backward egyenletnek olyan \'uj megold\'asa is van, amelyik teljes\'{\i}ti a Chapman--Kolmogorov egyenletet, teh\'at val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi szempontb\'ol is \'erdekes. Az el\H{o}bb v\'azlatosan t\'argyalt p\'elda h\'atter\'eben egy a Markov-folyamatok el\-m\'e\-le\-t\'e\-ben fontos probl\'ema rejt\H{o}zik. A tekintett Markov-l\'anc \'allapotter\'enek a v\'eg\-te\-len ha\-t\'ar\-pont\-ja, \'es felmer\"ul a k\'erd\'es, hogyan fejl\H{o}dik a Markov-l\'anc azut\'an, hogy egy hat\'arpontj\'at el\'erte. Ez neh\'ez k\'erd\'es, \'es mint a fenti p\'elda mutatja, m\'ar a legegyszer\H{u}bb modellekben is megjelenik ez a neh\'ezs\'eg. \medskip V\'eg\"ul ismertetek egy feladatot, amely seg\'{\i}thet meg\'erteni, hogy mi\'ert Markov folyamat az a sztochasztikus folyamat, amelyet mint a Kolmogorov-f\'ele forward egyenletet ki nem el\'eg\'{\i}t\H{o} sz\"ulet\'esi folyamatra adott p\'eld\'at tekintett\"unk. \medskip {\it Feladat:} \medskip \item{} Legyen $Z$ nem negat\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $\xi$ egy t\H{o}le f\"uggetlen exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda>0$ param\'eterrel. Ekkor tetsz\H{o}leges $t\ge0$ \'es $u>0$ sz\'amokra $$ \frac{P(Z\le t,\, Z+\xi>t+u)}{P(Z\le t,\,Z+\xi>t)}=e^{-\lambda u}=P(\xi>u). $$ \medskip\item{} {\it Megold\'as.} Jel\"olje $F(x)$ $Z$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ekkor $$ \frac{P(Z\le t,\, Z+\xi>t+u)}{P(Z\le t,\,Z+\xi>t)} =\frac{\int_0^t e^{-\lambda(t+u-s)}F(\,ds)} {\int_0^t e^{-\lambda(t-s)}F(\,ds)}=e^{-\lambda u}=P(\xi>u). $$ \bye