\magnification=\magstep1 \hsize=16truecm \input amstex \TagsOnRight \parindent=20pt %\parskip=2.5pt plus 1.2pt \parskip=3pt plus 1pt \define\A{{\bold A}} \define\BB{{\bold B}} \define\DD{{\bold D}} \define\T{{\bold T}} \define\U{{\bold U}} \define\({\left(} \define\){\right)} \define\[{\left[} \define\]{\right]} \define\e{\varepsilon} \define\oo{\omega} \define\const{\text{\rm const.}\,} \define\supp {\sup\limits} \define\inff{\inf\limits} \define\summ{\sum\limits} \define\prodd{\prod\limits} \define\limm{\lim\limits} \define\limsupp{\limsup\limits} \define\liminff{\liminf\limits} \define\bigcapp{\bigcap\limits} \define\bigcupp{\bigcup\limits} \define\Var{\text{\rm Var}\,} \define\Cov{\text{\rm Cov}\,} \def\Re{\text{\rm Re}\,} \def\Im{\text{\rm Im}\,} \font\script =cmcsc10 \beginsection Diszkr\'et idej\H{u} Markov-l\'ancok vizsg\'alata. Tekints\"unk egy diszkr\'et idej\H{u} $X_0,X_1,\dots$ Markov-l\'ancot $P(j,k)=P(X_{n+1}=E_k|X_n=j)$, $n=1,2,\dots$, \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel egy $(\Omega,\Cal A, P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amely bizonyos $E_1,E_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesz fel. Els\H{o}sorban a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'esekre vagyunk kiv\'ancsiak. \medskip \item{a)} Milyen $P(j,k)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek eset\'eben mondhatjuk azt, hogy a Markov-l\'anc az $E_j$ \'allapotb\'ol kiindulva 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel (v\'egtelen sokszor) visszat\'er az $E_j$ \'allapotba? (Mint l\'atni fogjuk, ha a Markov-l\'anc 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel visszat\'er az $E_j$ \'allapotba, akkor az is igaz, hogy 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'egtelen sokszor visszat\'er oda.) \medskip \item{b)} Tekints\"uk egy $X_0,X_1,\dots$ Markov-l\'anc $E_j$ \'allapot\'at, \'es a $P(n,j,j)=P(X_{n}=E_j|X_0=E_j)$ $n$-l\'ep\'eses \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. L\'etezik-e a $\limm_{n\to\infty}P(n,j,j)$ ha\-t\'ar\-\'er\-t\'ek? Ha l\'etezik meg tudjuk-e adni ezt a hat\'ar\'ert\'eket viszonylag egyszer\H{u} m\'odon? L\'e\-tez\-nek-e \'es jellemezhet\H{o}ek-e a $\limm_{n\to\infty}P(n,j,k)=\limm_{n\to\infty}P(X_{n}=E_k|X_0=E_j)$ ha\-t\'ar\-\'er\-t\'e\-kek? \medskip \item{c)} Mondhatjuk-e, hogy amennyiben $E_j$ \'es $E_k$ k\'et olyan \'allapot, amelyekre teljes\"ul az a tulajdons\'ag, hogy a Markov-l\'anc pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel jut el az az $E_j$ \'allapotb\'ol az $E_k$ \'allapotba, illetve az $E_k$ \'allapotb\'ol az $E_j$ \'allapotba (alkalmas sz\'am\'u l\'ep\'esben) akkor a Markov-l\'ancot az $E_j$ illetve $E_k$ \'allapotb\'ol elind\'{\i}tva egy\-szer\-re igaz vagy nem igaz az, hogy a Markov-l\'anc v\'egtelen sokszor visszat\'er illetve csak v\'eges sok alkalmommal t\'er vissza oda; egy\-szer\-re l\'eteznek vagy nem l\'eteznek pozit\'{\i}v $\limm_{n\to\infty}P(n,j,j)>0$ \'es $\limm_{n\to\infty}P(n,k,k)>0$ ha\-t\'ar\-\'er\-t\'e\-kek? \'Altal\'anosabban, fel tudjuk-e osztani a Markov-l\'anc \'allapotter\'et annak alapj\'an, hogy mely \'allapotb\'ol mely \'allapotba lehet eljutni pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel term\'eszetes m\'odon oszt\'alyokra \'ugy, hogy az egy oszt\'alyban lev\H{o} elemeknek sok fontos hasonl\'o tulajdons\'aga van? \medskip E k\'erd\'esek t\'argyal\'asa el\H{o}tt \'erdemes bevezetni n\'eh\'any fogalmat \'es mennyis\'eget. \medskip\noindent {\bf Markov-l\'anc rekurrens \'es tranziens \'allapot\'anak fogalma.} {\it Legyen $X_0,X_1,\dots$ egy Markov-l\'anc egy $\Cal E=\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapott\'eren. Azt mondjuk, hogy a Markov-l\'anc $E_j$ \'allapota\/ {\rm rekurrens}, ha a Markov-l\'ancot az $E_j$ \'allapotb\'ol ind\'{\i}tva, azaz ha $P(X_0=E_j)=1$, a Markov-l\'anc 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel visszat\'er valamikor az $E_j$ \'allapotba. Ez azt jelenti, hogy $$ P\(\bigcupp_{n=1}^\infty\{\oo\colon X_n(\oo)=E_j\}\)=1. $$ A Markov-l\'anc $E_j$ \'allapota\/ {\rm tranziens}, ha a Markov-l\'ancot az $E_j$ \'allapotb\'ol ind\'{\i}tva, az 1-n\'el kisebb val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\'er vissza valamikor az $E_j$ \'allapotba, azaz $$ P\(\bigcupp_{n=1}^\infty\{\oo\colon X_n(\oo)=E_j\}\)<1. $$ } \medskip\noindent {\bf Markov-l\'anc egy \'allapot\'anak a peri\'odusa.} {\it Legyen $X_0,X_1,\dots$ egy Markov-l\'anc egy $\Cal E=\{E_1,E_2,\dots\}$, \'allapott\'eren, \'es jel\"olje $P(n,j,k)=P(X_{n}=E_k|X_0=E_j)$, az $n$-l\'ep\'eses \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Vezess\"uk be az $\Cal A(j)=\{n\colon P(n,j,j)>0\}$, halmazokat, azaz azon $n$ indexek halmaz\'at, amelyekre a $P(n,j,j)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg szigor\'uan pozit\'{\i}v. Azt mondjuk, hogy a Markov-l\'anc $E_j$ \'allapot\'anak peri\'odusa $l$, ha az $\Cal A(j)$ halmazban szerepl\H{o} sz\'amok legnagyobb k\"oz\"os oszt\'oja $l$. Ha ez a legnagyobb k\"oz\"os oszt\'o 1, akkor a Markov-l\'anc $E_j$ \'allapot\'at aperi\'odikusnak nevezz\"uk. (Ha a $\Cal A(j)$ halmaz \"ures, azaz a Markov-l\'anc 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel soha nem t\'er vissza az $E_j$ \'allapotba, akkor nem defini\'aljuk az $E_j$ halmaz peri\'odus\'at.)} \medskip\noindent {\it (Egyszer\H{u}) feladat.}\/ Egy a $d$-dimenzi\'os t\'er eg\'esz koordi\'at\'aj\'u pontjaib\'ol \'all\'o r\'acson t\"ort\'en\H{o} bolyong\'as peri\'odusa 2. \medskip Legyen $X_0,X_1,\dots$ Markov-l\'anc egy $\Cal E=\{E_1,E_2,\dots\}$, \'allapott\'eren, \'es jel\"olje $P(n,j,k)=P(X_{n}=E_k|X_0=E_j)$, az $n$-l\'ep\'eses \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Vezess\"uk be az al\'abbi mennyis\'egeket: $$ f_j(n)=P(X_{n}=E_j, X_m\neq E_j,\text{ ha }1\le m0$ egy\"utthat\'oval minden $n=1,2,\dots$, param\'eterre \'es $d=1,2,\dots$ dimenzi\'ora. (Jegyezz\"uk meg, hogy $P(2n+1,0,0)=0$, azaz p\'aratlan sok l\'ep\'esben nem t\'erhet\"unk vissza az orig\'oba). Viszont ismert az \'ugynevezett lok\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel, amely jelen esetben azt fejezi ki, kiss\'e fel\"uletesen megfogalmazva, hogy a $P(X_{n}=k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek \'ugy viselkednek, mint ahogy azt a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel sugallja. Fel\'{\i}rhatjuk az $X_n=\summ_{j=1}^{n-1}(X_j-X_{j-1})$ rel\'aci\'ot, ahol az \"osszegben f\"uggetlen \'es (ismert) egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szerepelnek. Ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz hasonl\'oan, (val\'oj\'aban egy\-sze\-r\H{u}b\-ben), j\'o aszimp\-to\-ti\-kus rel\'aci\'ot \'{\i}rjunk fel annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy az $X_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o adott \'ert\'eket vesz fel. Most csak a sz\'amunkra a jelen feladatban \'erdekes formul\'at l\'atjuk be. Nevezetesen azt, hogy amennyiben $Y_k=X_{k}-X_{k-1}$, $k=1,\dots,2n$ f\"uggetlen $d$-dimenzi\'os t\'erbeli \'ert\'ekeket felvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $P(Y_k=e_j)=P(Y_k=-e_j)=\frac1{2d}$, $j=1,\dots,d$, $k=1,\dots,2n$, akkor $$ \limm_{n\to\infty} n^{-d/2}P(X_{2n}=0) =\limm_{n\to\infty}n^{-d/2}P(Y_1+\cdots+Y_{2n}=0) =\frac{2d^{d/2}}{(2\pi)^{d/2}}. \tag5 $$ Innen k\"ovetkezik P\'olya Gy\"orgy t\'etele. Az (5) rel\'aci\'o bizony\'{\i}t\'as\'anak r\'eszleteit elhagyom, Csak r\"ovid magyar\'azatot adok arra, honnan lehet l\'atni, hogy egy ilyen aszimp\-to\-ti\-kus formula \'erv\'enyes, illetve, mi a bizony\'{\i}t\'as alapgondolata. A r\'eszletek kidolgoz\'asa szorgalmi feladat. Az (5) k\'eplet bizonyos \'ertelemben a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel lok\'alis alakj\'anak tekinthet\H{o}. A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'asa azon m\'ulik, hogy az $X_{2n}$ v\'eletlen f\"uggetlen \"osszeg $\varphi_n(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ere, illetve annak normaliz\'altj\'ara j\'o aszimptotikus becs\-l\'est tudunk adni. Jelen esetben a karakterisztikus f\"uggv\'eny egy $\varphi_n(t_1,\dots,t_d)=c_n(k_1,\dots,k_d) e^{i(k_1t_1+\cdots+k_dt_d)}$ alak\'u (t\"obb-v\'altoz\'os) Fourier sor, amely\-nek tagjai $c_n(k_1,\dots,k_d)e^{i(k_1t_1+\cdots+k_dt_d)}$ alak\'u f\"uggv\'enyek, ahol $k_1,\dots,k_d$ eg\'esz sz\'a\-mok, \'es $k_1+\cdots+k_d$ p\'aros sz\'am. Tov\'abb\'a a f\"uggetlens\'eg miatt $\varphi_n(t_1,\dots,t_d)=\bar\varphi^{2n}(t_1,\dots,t_d)$, ahol $\bar\varphi(t_1,\dots,t_d)=\frac1{2d}\summ_{j=1}^d(e^{it_j}+e^{-it_j})$. \'Igy a $\varphi_n(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny ki\-sz\'a\-mol\-ha\-t\'o. Ez\'ert felhaszn\'alva, hogy a Fourier sor tagjaiban szerepl\H{o} f\"ugg\-v\'e\-nyek ortogon\'alisak a $K=\[-\frac\pi2,\frac\pi2\]\times[-\pi,\pi]^{d-1}$ $d$-dimenzi\'os t\'eglatesten, (mely \'all\'{\i}t\'ast k\"ul\"on igazolni kell,) a $c_n(0,\dots,0)$ Fourier egy\"utt\-ha\-t\'ot, ami egyenl\H{o} a $P(X_{2n}=0)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ki lehet fejezni a Fourier sor integr\'alj\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel a $K$ t\'eglatesten. Ez, mivel a Fourier sor \'ert\'ek\'ere j\'o aszimp\-to\-ti\-kus formul\'ank van, lehet\H{o}v\'e teszi az (5) k\'eplet igazol\'as\'at. Ennek a sz\'amol\'asnak a f\H{o} l\'ep\'ese annak megmutat\'asa, hogy a tekintend\H{o} integr\'al l\'enyeg\'eben az orig\'o egy kis k\"ornyezet\'ebe van koncentr\'alva, ahol az integrandusra j\'o aszimptotikus formul\'at lehet adni. Mag\'at a v\'egeredm\'enyt el\H{o}re megsejthetj\"uk. A keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg egyenl\H{o} a megfelel\H{o} kovarianci\'aj\'u, 0 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny in\-teg\-r\'al\-j\'a\-val a $K$ t\'eglatesten. R\'aad\'asul, mivel a kovariancia m\'atrix (nagy $n$ index eset\'en) nagy, ez\'ert kis hib\'at k\"ovet\"unk el, ha a $K$ t\'eglatest helyett az eg\'esz t\'eren integr\'alunk. \medskip R\'at\'erek a b) k\'erd\'es t\'argyal\'as\'ara, annak vizsg\'alat\'ara, hogy mennyivel egyenl\H{o} egy Markov-l\'anc \'atmeneteinek $\limm_{n\to\infty}P(n,j,j)$ hat\'ar\'ert\'eke (felt\'eve, hogy ez a hat\'ar\'ert\'ek l\'etezik), illetve az \'{\i}gy kapott eredm\'enyb\H{o}l milyen k\"ovetkeztet\'eseket tudunk levonni a $P(n,j,k)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek aszimptotikus viselked\'es\'ere nagy $n$ param\'eter eset\'en. A vizsg\'alat elej\'en csak aperi\'odikus $E_j$ \'allapotokat vizsg\'alunk. Ha ezek viselked\'es\'et j\'ol le tudjuk \'{\i}rni, akkor az \'altal\'anos eset vizsg\'alata viszonylag egyszer\H{u}en visszavezethet\H{o} erre. A vizsg\'alat kulcsl\'ep\'ese a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik \'erdekes eredm\'eny\'enek az \'ugy\-ne\-ve\-zett fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etelnek az alkalmaz\'asa. Ezt az eredm\'enyt az el\H{o}ad\'asban nem bizony\'{\i}tom, csak elmagyar\'azom, hogy szeml\'eletesen nagyon term\'eszetes. (A ki\-eg\'e\-sz\'{\i}\-t\'es\-ben ismertetem ennek az eredm\'enynek egy lehets\'eges bizony\'{\i}t\'as\'at William Feller: Bevezet\'es a Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asba c\'{\i}m\H{u} k\"onyve XIII. fejezet\'enek 11. pontj\'aban le\-\'{\i}rt bizony\'{\i}t\'as alapj\'an.) \medskip\noindent {\bf Fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etel.} {\it Legyen $Y_1,Y_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u, (szigor\'uan) pozit\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket felvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok sorozata. Jel\"olje $S_n=\summ_{j=1}^nY_j$, $n=1,2,\dots$, a tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeit, \'es $\Cal A=\{m\colon P(Y_1=m)>0\}$, azaz azon eg\'esz sz\'amok halmaz\'at, amelyeket az $Y_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o pozit\'{\i}v va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel vesz fel. Tegy\"uk fel, hogy az $\Cal A$ halmazban szerepl\H{o} sz\'amok legnagyobb k\"oz\"os oszt\'oja 1. Jel\"olje tov\'abb\'a $\mu=\summ_{j=1}^\infty jP(Y_1=j)$ az $Y_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. Ekkor a k\"ovetkez\H{o} aszimptotikus formul\'at \'erv\'enyes annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy valamelyik $S_m$ r\'eszlet\"osszeg felvesz egy el\H{o}re r\"ogz\'{\i}tett nagy $n$ \'ert\'eket: $$ \lim_{n\to\infty}P\(\oo\colon\;\;n\in \bigcupp_{m=1}^\infty \{S_m(\oo)\}\)=\frac1\mu. \tag6 $$ A (6) rel\'aci\'o mind $\mu<\infty$, mind $\mu=\infty$ esetben fenn\'all. Ut\'obbi esetben ez a k\'eplet a $\frac1\infty=0$ jel\"ol\'essel \'erv\'enyes.} \medskip A fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel be fogjuk l\'atni a k\"ovetkez\H{o} t\'etelt. \medskip\noindent {\bf T\'etel Markov-l\'ancok \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek aszimptotikus vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'e\-r\H{o}l.} {\it Legyen $X_0,X_1,\dots$ olyan Markov-l\'anc $P(n,i,j)=P(X_{n}=E_j|X_0=E_i)$ \'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-kel, amelyben az $E_j$ \'allapot rekurrens \'es aperi\'odikus. Ekkor teljes\"ul a $$ \lim_{n\to\infty}P(n,j,j)=\frac1{\mu_j} \tag7 $$ azonoss\'ag, ahol a $\mu_j$ mennyis\'eg a (2) formul\'aban van defini\'alva. A (7) k\'eplet speci\'alisan azt is \'all\'{\i}tja, hogy ha $\mu_j=\infty$, akkor $\limm_{n\to\infty}P(n,j,j)=0$.} \medskip El\H{o}sz\"or elmagyar\'azom a fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etel szeml\'eletes tartalm\'at, majd azt, hogy ho\-gyan lehet ennek seg\'{\i}ts\'eg\'evel az ezt k\"ovet\H{o} t\'etelt bel\'atni. Term\'eszetes azt v\'arni, hogy hogy a f\"uggetlen, pozit\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $S_1,S_2,\dots$, r\'eszlet\"osszegei k\"or\"ulbel\"ul ugyanolyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesznek fel valamilyen indexre minden el\'eg nagy $n$ sz\'amot. (Ahhoz, hogy ez a tulajdons\'ag teljes\"ulj\"on fel kellett tenni, hogy a t\'etelben defini\'alt $\Cal A$ halmazban szerepl\H{o} sz\'amok legnagyobb k\"oz\"os oszt\'oja 1. Ezzel kapcsolatban l\'asd a k\"ovetkez\H{o} feladatot.) Ez azt su\-gall\-ja, hogy ha megjel\"olj\"uk azokat a (v\'eletlen) pontokat, amelyeket az $S_1(\oo),S_2(\oo),\dots$ r\'eszlet\"osszegek megl\'atogatnak, akkor a megjel\"olt pontok halmaz\'anak az \"osszes pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok halmaz\'aban van valamilyen s\H{u}r\H{u}s\'ege, \'es a (6) k\'eplet baloldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'esnek ez a s\H{u}r\H{u}s\'eg a (l\'etez\H{o}) limesze. Viszont ezt a s\H{u}r\H{u}s\'eget k\"onnyen ki\-sz\'a\-mol\-hat\-juk. Ugyan\-is a nagy sz\'amok t\"orv\'enye alapj\'an $\frac{S_n}n$ \'ert\'eke tart a $\mu$ sz\'amhoz 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha $n\to\infty$. Ez azt jelenti, hogy nagy $n$ indexre van egy olyan $[1,A_n]$ intervallum, (v\'eletlen $A_n$ v\'egponttal), amelyre $A_n\sim n\mu$, \'es az $[1,A_n]$ intervallumban pontosan $n$ megjel\"olt pont van. Ez\'ert a megjel\"olt pontok s\H{u}r\H{u}s\'ege $\frac1\mu$. \medskip\noindent {\it Feladat.}\/ Legyenek $Y_1,Y_2,\dots$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u, pozit\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket felvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok. Tekints\"uk a fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etel megfogalmaz\'as\'aban defini\'alt $\Cal A=\{m\colon P(Y_1=m)>0\}$ halmazt. Mutassuk, meg hogy ha a $\Cal A$ halmazban szerepl\H{o} sz\'amok legnagyobb k\"oz\"os oszt\'oja 1, akkor l\'etezik olyan (az $\Cal A$ halmazt\'ol f\"ugg\H{o}) $N_0$ k\"usz\"obsz\'am, \'es olyan $a_1,\dots,a_k\in \Cal A$ sz\'amok, hogy minden $n\ge N_0$ sz\'am fel\'{\i}rhat\'o $n=r_1 a_1+\cdots+r_k a_k$ alakban, ahol $r_1,\dots,r_k$ szigor\'uan pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok. Ez\'ert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $\summ_{j=1}^M Y_j=n$ valamilyen $M\ge1$ sz\'amra, ha $n\ge N_0$, szigor\'uan pozit\'{\i}v. \medskip\noindent {\it Seg\'{\i}ts\'eg.}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy bizonyos sz\'amelm\'eleti eredm\'enyek alapj\'an igaz a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as: Ha $a_1,\dots,a_k$ eg\'esz sz\'amok legnagyobb k\"oz\"os oszt\'oja 1, akkor az $s_1a_1+\cdots+s_ka_k=1$ rel\'aci\'o teljes\"ul alkalmas $s_1,\dots,s_k$ eg\'esz, de nem felt\'etlen\"ul pozit\'{\i}v sz\'amokkal. Ha $R(a_1+\cdots+a_k)\le n<(R+1)(a_1+\cdots+a_k)$, akkor \'{\i}rjuk fel az $n$ sz\'amot $n= R(a_1+\cdots+a_k)+[n-R(a_1+\cdots+a_k)]$ alakban, \'es alkalmazzuk a fenti eredm\'enyt. \medskip A fenti heurisztikus gondolatmenet mutatja, mi\'ert hihet\H{o}, hogy a fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etel igaz. M\'asr\'eszt, egy az al\'abb megfogalmazott lemma eredm\'enye szerint ha egy valamely $E_j$ rekurrens \'es aperi\'odikus \'allapotb\'ol indul\'o Markov-l\'ancot tekint\"unk, \'es vessz\"uk azon id\H{o}pontokat, amikor ez a Markov l\'anc az $E_j$ pontot megl\'atogatja, akkor az egym\'ast k\"ovet\H{o} l\'atogat\'asi id\H{o}pontok k\"oz\"ott eltelt id\H{o}szakaszok hosszai olyan f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyek teljes\'{\i}tik a fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etel felt\'eteleit $\mu=\mu_j$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel. Ezen \'eszrev\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel megkapjuk a (7) formula bizony\'{\i}t\'as\'at. \medskip Legyen $X_0,X_1,\dots$, stacion\'aris Markov-l\'anc, $P(X_0=E_j)=1$, \'es legyen $E_j$ a Markov-l\'anc egy rekurrens \'allapota. Legyen $$ \tau_1=\tau_1(E_j)=\min\{k\colon k>0,\;X_k=E_j\}. \tag8 $$ Defini\'aljuk ezut\'an a $\tau_n$, $n=1,2,\dots$, meg\'all\'asi szab\'alyokat az $n$ sz\'am szerinti teljes indukci\'oval a k\"ovetkez\H{o} m\'odon. Ha $\tau_n$-et m\'ar defini\'altuk, akkor legyen $$ \tau_{n+1}=\tau_{n+1}(E_j)=\min\{k\colon k>\tau_n,\;X_k=E_j\}. \tag9 $$ Szavakkal megfogalmazva, $\tau_n$ az $E_j$ \'allapotba val\'o $n$-ik visszat\'er\'es id\H{o}pontja. Bel\'atjuk a k\"ovetkez\H{o} lemm\'at. \medskip\noindent {\bf Lemma.} {\it Tekints\"unk egy $X_0,X_1,\dots$, Markov-l\'ancot. Ha $E_j$ a Markov-l\'anc egy rekurrens \'allapota, \'es $P(X_0=E_j)=1$, akkor a (8) \'es (9) formul\'akban defini\'alt $\tau_n$, $n=1,2,\dots$, meg\'all\'asi szab\'alyokra az $Y_1=\tau_1$, $Y_k=\tau_k-\tau_{k-1}$, $k=2,3,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es egyforma eloszl\'as\'uak. Tov\'abb\'a $P(Y_1=N)=f_j(N)$, $N=1,2,\dots$, ahol $f_j(N)$ a (1) k\'epletben van defini\'alva.} \medskip\noindent {\it A Lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ A $P(Y_1=N)=f_j(N)$, $N=1,2,\dots$, rel\'aci\'o ny\'{\i}lv\'an teljes\"ul, \'es el\'eg megmutatni tetsz\H{o}leges $k\ge1$, \'es $N_j\ge1$, $1\le j\le k+1$ eg\'esz sz\'amokra, hogy $$ P(Y_{k+1}=N_{k+1}|Y_1=N_1,\dots,Y_k=N_k)=f_j(N_k). $$ Ez ugyanis azt jelenti, hogy $Y_{k+1}$ felt\'eteles eloszl\'asa felt\'eve az $Y_j$, $1\le j\le k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok tetsz\H{o}leges \'ert\'ekeit mindig megegyezik $Y_1$ eloszl\'as\'aval. Ez pedig azt jelenti, hogy $Y_{k+1}$ f\"uggetlen az $(Y_1,\dots,Y_k)$ vektort\'ol, \'es eloszl\'asa megegyzik $Y_1$ eloszl\'as\'aval. A k\'{\i}v\'ant azonoss\'ag igazol\'as\'ahoz el\'eg megmutatni, hogy minden olyan $E_{j_1}$, $E_{j_2}$,\dots $E_{j_{N_1+\cdots+N_k}}$ sorozatra, amelyre $$ \align &\{\oo\colon\;X_0(\oo)=E_j,X_1(\oo)=E_{j_1}, X_2(\oo)=E_{j_2},\dots X_{N_1+\cdots+N_k}(\oo)=E_{j_{N_1+\cdots+N_k}}\}\\ &\qquad \subset\{\oo\colon\; Y_1(\oo)=N_1,\dots,Y_k(\oo)=N_k\} \endalign $$ $$ P(Y_{k+1}=N_{k+1}|X_0=E_j,X_1=E_{j_1}, X_2=E_{j_2},\dots X_{N_1+\cdots+N_k}=E_{j_{N_1+\cdots+N_k}})=f_j(N_k). $$ Viszont ebben az esetben $E_{j_{N_1+\cdots+N_k}}=E_j$, \'es a Markov tulajdons\'ag alapj\'an $$ \align &P(Y_{k+1}=N_{k+1}|X_0=E_j,X_1=E_{j_1}, X_2=E_{j_2},\dots X_{N_1+\cdots+N_k}=E_{j_{N_1+\cdots+N_k}})\\ &\qquad=P(Y_{k+1}=N_{k+1}|X_{N_1+\cdots+N_k}=E_j)=f_j(N_{k+1}). \endalign $$ Az utols\'o k\'eplet m\'asodik azonoss\'aga az\'ert igaz, mert annak felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et kell kisz\'amolni, hogy az $E_j$ pontb\'ol kiindul\'o Markov l\'anc $N_{k+1}$ id\H{o} m\'ulva t\'er vissza el\H{o}sz\"or az $E_j$ pontba. A lemm\'at bebizony\'{\i}tottuk. \medskip A Markov-l\'ancok \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek aszimptotikus viselked\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel egyszer\H{u} k\"ovetkezm\'enye a fenti lemm\'anak \'es a fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etelnek. Val\'oban, tekints\"uk a lemma m\'asodik \'all\'{\i}t\'as\'aban szerepl\H{o} $\tau_n$ meg\'all\'asi szab\'alyokat. Ezek fel\'{\i}rhat\'oak $\tau_n=\summ_{k=1}^n Y_k$ alakban, ahol $Y_1,Y_2,\dots$ f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es az az esem\'eny, hogy az $E_j$ pontb\'ol indul\'o bolyong\'as az $n$-ik id\H{o}pontban visszat\'er az $E_j$ \'allapotba azzal az esem\'ennyel egyezik meg, hogy az $\tau_1(\oo),\tau_2(\oo),\dots$, visszat\'er\'esi id\H{o}k valamelyike felveszi az $n$ \'ert\'eket. Mivel ezeket a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat el\H{o}\'all\'{\i}tottuk, mint f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u $Y_1,Y_2,\dots$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeit, azt kell meggondolnunk, hogy ezekre alkalmazhat\'o a fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etel, \'es az az \'altalunk megfogalmazott eredm\'enyt adja. Val\'oban, megadtuk az $Y_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'at, \'es abb\'ol l\'atszik, hogy $Y_1$ v\'arhat\'o \'ert\'eke a (2) formul\'aban defini\'alt $\mu_j$ sz\'am. M\'asr\'eszt azon pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok halmaz\'anak, amelyeket az $Y_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesz fel, (azaz a $\Cal A$ halmazban szerepl\H{o} sz\'amoknak) a legnagyobb k\"oz\"os oszt\'oja 1 az $E_j$ \'allapot aperi\'odikus tulajdons\'aga miatt. Val\'oban, ha ezen sz\'amok mindegyike oszthat\'o volna valamely $d\ge2$ sz\'ammal, akkor a $\tau_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'ert\'ekei 1~val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel oszthat\'ok lenn\'enek $d$-vel minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra, \'es ez azt jelenten\'e, hogy az $E_j$ \'allapot peri\'odusa oszthat\'o $d$-vel. \'Igy a fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etel megadja a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'ast. Az el\H{o}bb t\'argyalt eredm\'eny bizony\'{\i}t\'as\'aban azt bizony\'{\i}tottuk, illetve haszn\'altuk fel, hogy (diszkr\'et idej\H{u}) Markov l\'ancok teljes\'{\i}tik az \'ugynevezett er\H{o}s Markov tulajdons\'agot. Ez egyszer\H{u}, de fontos tulajdons\'ag, amelyet \'erdemes ismertetni. E tulajdons\'ag definici\'oj\'anak megad\'as\'ahoz be kell vezetni a meg\'all\'asi szab\'aly fogalm\'at. A meg\'all\'asi szab\'aly szeml\'eletes tartalma az, hogy ez olyan utas\'{\i}t\'as (v\'eletlen id\H{o}\-pont\-beli) meg\'all\'asra, amely v\'egrehajthat\'o, azaz az $n$ id\H{o}pontbeli inform\'aci\'ok alapj\'an, de a j\"o\-v\H{o}\-be\-li fejl\H{o}d\'est nem felt\'etlen\"ul ismerve el lehet d\"onteni, hogy az $n$-ik id\H{o}pontban meg\'all\'{\i}tsuk-e a folyamatot vagy sem. El\H{o}sz\"or az \'altal\'anos esetben fogalmazom meg a definici\'ot, akkor amikor az $n$ id\H{o}pontig szerzett inform\'aci\'ok egy $\Cal F_n$ $\sigma$-algebr\'aban vannak \"osszegy\"ujtve. \medskip\noindent {\bf Meg\'all\'asi szab\'aly definici\'oja.} {\it Legyen adva $\sigma$-algebr\'ak n\"ovekv\H{o} $\Cal F_1\subset \Cal F_2\subset \Cal F_3\subset\cdots\subset \Cal A$ sorozata egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Azt mondjuk, hogy egy pozit\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket (\'es esetleg a $\infty$) \'ert\'eket) felvev\H{o} $\tau(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o meg\'all\'asi szab\'aly e $\sigma$-algebr\'ak rendszer\'ere n\'ezve, ha $\{\oo\:\tau(\oo)=n\} \in \Cal F_n$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra.} \medskip Ezut\'an megadom a definici\'o v\'altozat\'at abban az esetben, ha $\sigma$-algebr\'ak helyett va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok egy sorozata van adva. \medskip\noindent {\bf Meg\'all\'asi szab\'aly definici\'oja.} {\it Legyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\dots$ so\-ro\-za\-ta egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Egy pozit\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket (\'es esetleg a $\infty$) \'ert\'eket) felvev\H{o} $\tau(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o meg\'all\'asi szab\'aly e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozat\'ara n\'ezve, ha meg\'all\'asi szab\'aly a $\Cal F_n=\Cal B(\xi_k(\oo),1\le k\le n)$ $\sigma$-algebr\'ak n\"ovekv\H{o} rendszer\'ere n\'ezve.} \medskip\noindent {\it Feladat:} Mutassuk meg, hogy a meg\'all\'asi szab\'aly definici\'oj\'at ekvivalens m\'odon fogalmazzuk \'at, ha az $\{\oo\:\tau(\oo)=n\}\in \Cal F_n$ felt\'etelt az $\{\oo\:\tau(\oo)\le n\}\in \Cal F_n$ felt\'etellel helyettes\'{\i}tj\"uk (minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra). \medskip E fogalom bevezet\'ese ut\'an megfogalmazom az er\H{o}s Markov tulajdons\'agot. \medskip\noindent {\bf Er\H{o}s Markov tulajdons\'ag definici\'oja diszkr\'et idej\H{u} Markov-l\'ancokra.} {\it Legyen $X_0,X_1,\dots$ (stacion\'arius) Markov-l\'anc. Azt mondjuk, hogy a Markov-l\'anc teljes\'{\i}ti az er\H{o}s Markov tulajdons\'agot, ha a Markov-l\'anc tetsz\H{o}leges olyan $\tau$ meg\'all\'asi szab\'aly\'ara, amelyre $P(\tau(\oo)<\infty)=1$ $$ \align &P(X_{\tau+1}=E_{u_1},X_{\tau+2}=E_{u_2},\dots, X_{\tau+j}=E_{u_j}| X_0=E_{v_0},\dots, X_{\tau}=E_{v_\tau})\\ &\qquad =P(X_{1}=E_{u_1},X_{2}=E_{u_2},\dots, X_{j}=E_{u_j}|X_0=E_{v_\tau}) \endalign $$ minden olyan $n$, $u_1,\dots,u_n$ \'es $v_1,\dots v_k$ sz\'amokra, amelyekre a fenti k\'eplet baloldal\'an szerepl\H{o} felt\'etel nem nulla val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} esem\'eny.} \medskip A Markov tulajdons\'ag (stacion\'arius) Markov-l\'ancokra azt mondja ki, hogy r\"ogz\'{\i}tve egy $n$ id\H{o}pontot, \'es egy trajekt\'ori\'at a $[0,n]$ intervallumon egy Markov-folyamatnak az $n$ id\H{o}pont ut\'ani viselked\'ese, felt\'eve, hogy a $[0,n]$ id\H{o}intervallumban az el\H{o}\'{\i}rt trajekt\'ori\'at j\'arta be ugyanolyan, mint egy olyan Markov-folyamat\'e, amely a 0 id\H{o}pontban ennek a trajekt\'ori\'anak a v\'egpontj\'ab\'ol indul. Az er\H{o}s Markov tulajdons\'ag ezt a tulajdons\'agot fogalmazza meg abban az \'altal\'anosabb esetben, amikor a Markov-folyamatnak nem egy determinisztikus, hanem egy v\'eletlen meg\'all\'asi szab\'aly \'altal defini\'alt id\H{o}pontja ut\'ani viselked\'es\'et k\'{\i}v\'anjuk le\'{\i}rni. B\'ar ezt a fogalmat csak diszkr\'et idej\H{u} Markov-l\'ancokra fogalmaztuk meg, az er\H{o}s Markov tulajdons\'ag fogalm\'at lehet (s\H{o}t \'erdemes) defini\'alni \'altal\'anos Markov-folyamatokra is. \medskip Bevezetem a k\"ovetkez\H{o} definici\'okat. \medskip\noindent {\bf Markov-l\'anc null rekurrens \'allapot\'anak a definici\'oja.} {\it Legyen $X_0,X_1,\dots$ Mar\-kov-l\'anc egy $\Cal E=\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapott\'eren. Azt mondjuk, hogy a Markov-l\'anc egy $E_j$ \'allapota null rekurrens \'allapot, ha az $E_j$ \'allapotb\'ol ind\'{\i}tott Markov-l\'anc egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel vissza\-t\'er az $E_j$ \'allapotba, de a visszat\'er\'es idej\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'eke v\'egtelen.} \medskip\noindent {\bf Markov-l\'anc pozit\'{\i}v rekurrens \'allapot\'anak a definici\'oja.} {\it Legyen $X_0,X_1,\dots$ Markov-l\'anc egy $\Cal E= \{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapott\'eren. Azt mondjuk, hogy a Markov-l\'anc egy $E_j$ \'allapota pozit\'{\i}v rekurrens \'allapot, ha az $E_j$ \'allapotb\'ol ind\'{\i}tott Markov-l\'anc egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel visszat\'er az $E_j$ \'allapotba, \'es a vissza\-t\'e\-r\'es idej\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'eke v\'eges. Egy pozit\'{\i}v rekurrens aperi\'odikus \'allapotot ergodikusnak nevez\"unk.} \medskip A k\"ovetkez\H{o} t\'etelben megfogalmazott eredm\'eny r\'eszben \"osszefoglal\'o jelleg\H{u}. Ebben felsorolom azokat a m\'ar bizony\'{\i}tott eredm\'enyeket is, amelyek a $P(n,j,k)$ \'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek seg\'{\i}ts\'eg\'evel jellemzik a tranziens, null rekurrens \'es pozit\'{\i}v rekurrens \'allapotokat. Ezenk\'{\i}v\"ul nagy $n$ id\H{o} eset\'en, aszimptotikus formul\'at is adunk a $P(n,i,j)$ \'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-re, azaz annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy az $E_j$ \'allapotba jutunk az (att\'ol esetleg k\"ul\"onb\"oz\H{o}) $E_i$ \'allapotb\'ol. Ahhoz, hogy ezeket az eredm\'enyeket meg\-kap\-juk, el\H{o}sz\"or bevezetek n\'eh\'any jel\"ol\'est, \'es megadok n\'eh\'any egyszer\H{u}, de hasznos formul\'at. Vezess\"uk be az $$ f_{i,j}(n)=P(X_{n}=E_j, X_m\neq E_j,\text{ ha }1\le m0$ rel\'aci\'o alkalmas $\mu_j>0$ sz\'ammal, ha $\mu_j=\summ_{n=1}^\infty nf_j(n)<\infty$, ahol az $f_j(n)$ mennyis\'eg az (1) k\'eplettel van megadva. Az itteni \'es a (2)~k\'epletben szerepl\H{o} $\mu_j$ sz\'am megegyezik. Ha az $E_j$ \'allapot ergodikus, akkor $$ \lim_{n\to\infty} P(n,i,j)=F(i,j)\frac1{\mu_j} \quad \text{minden $E_i$ \'allapotra.} \tag12 $$ Az ebben a k\'epletben szerepl\H{o} $F(i,j)$ sz\'amot a (10) \'es $(10')$ k\'epletben defini\'altuk.} \medskip\noindent {\it Markov-l\'anc egy \'allapot\'anak jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.} Az a) r\'esz els\H{o} \'al\-l\'{\i}\-t\'a\-s\'at a Markov-l\'ancok rekurrens \'es tranziens \'allapotainak jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel tartalmazza. Az a) r\'esz m\'asodik \'all\'{\i}t\'asa k\"ovetkezik az a) r\'esz els\H{o} \'all\'{\i}t\'as\'ab\'ol \'es a (11) formul\'ab\'ol, mert ebb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $$ \sum_{n=1}^\infty P(n,i,j)=\sum_{n=1}^\infty \sum_{l=1}^n f_{i,j}(l)P(n-l,j,j)=\(\sum_{l=1}^\infty f_{i,j}(l)\)\(\sum_{m=0}^\infty P(m,j,j)\)<\infty. $$ A b) r\'esz els\H{o} \'all\'{\i}t\'asa k\"ovetkezik a Markov-l\'ancok rekurrens \'es tranziens \'alla\-po\-tai\-nak \'es a Markov-l\'ancok \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek aszimptotikus viselked\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etelekb\H{o}l. Ez ut\'obbi eredm\'eny csak aperi\'odikus (azaz 1 peri\'odus\'u) \'allapotokr\'ol sz\'ol. Viszont, ha az $X_j$ \'allapot peri\'odusa $d\ge2$, akkor tekinthetj\"uk az $\bar X_j=X_{dj}$, $j=0,1,\dots$, $P(\bar X_j=0)=1$, Markov-l\'ancot. Ennek peri\'odusa 1, ez\'ert erre alkalmazva a Markov-l\'ancok \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeinek aszimptotikus viselked\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o eredm\'enyt kapjuk, hogy $\limm_{n\to\infty}P(X_{nd}=E_j)=0$. M\'asr\'eszt $P(X_{nd+r}=E_j)=0$, ha $00$, azaz az $E_j$ \'allapotb\'ol pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel el lehet jutni az $E_k$ \'allapotba. A $\Cal C(j)$ halmaz minden eleme rekurrens \'allapot. Ha $E_k\in \Cal C(j)$, $E_l\in \Cal C(j)$ akkor $F(k,l)=1$ a ($10'$) k\'epletben defini\'alt $F(\cdot,\cdot)$ mennyis\'eggel, azaz az $E_k$ \'allapotb\'ol kiindul\'o Markov-l\'anc 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel el\'eri az $E_l$ \'allapotot. A $\Cal C(j)$ halmazban lev\H{o} \'allapotok mindegyike egyszerre null vagy pozit\'{\i}v rekurrens \'allapot, \'es mindegyik\"uk peri\'odusa meg\-egye\-zik. Tov\'abb\'a minden $E_k\in\Cal C(j)$ (rekurrens) \'allapotra az $E_k$ \'allapott\'ol f\"ugg\H{o} $\Cal C(k)\subset \Cal E$ halmazra $\Cal C(k)=\Cal C(j)$.} \medskip\noindent {\it A Markov-l\'anc \'allapotainak tulajdons\'agair\'ol sz\'ol\'o t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ El\H{o}sz\"or azt mutatom meg, hogy ha $P(n,j,k)>0$ valamely $n\ge1$ sz\'amra, azaz a (rekurrens) $E_j$ \'allapotb\'ol ind\'{\i}tott Markov-l\'anc pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel eljut az $E_k$ \'allapotba, akkor $F(k,j)=1$, azaz az $E_k$ \'allapotb\'ol ind\'{\i}tott Markov-l\'anc 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel eljut az $E_j$ \'allapotba. Val\'oban, ha ez nem lenne igaz, akkor az $1-F(k,j)>0$ \'es $P(n,j,k)>0$ rel\'aci\'ok miatt pozit\'{\i}v lenne annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $E_j$ \'allapotb\'ol indul\'o Markov-l\'anc az $n$ id\H{o}pont ut\'an nem t\'er vissza az $E_j$ \'allapotba, mert az $n$ id\H{o}pontban az $E_k$ \'allapotba jut, \'es onnan nem l\'ep soha az $E_j$ \'allapotba. Ez viszont ellentmond annak a t\'enynek, hogy az $E_j$ \'allapot rekurrens, ez\'ert a Markov-l\'anc 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'egtelen sokszor visszat\'er az $E_j$ \'allapotba. Ha $k\in C(j)$, akkor l\'eteznek olyan $r$ \'es $\bar r$ sz\'amok, amelyekre $P(r,j,k)>0$ \'es $P(\bar r,k,j)>0$. Tov\'abb\'a $P(r+\bar r+n,k,k)\ge P(\bar r,k,j)P(n,j,j)P(r,j,k)$. Ebb\H{o}l az egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg\-b\H{o}l, illetve abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy a $E_j$ \'allapot rekurrens tulajdons\'aga ekvivalens azzal, hogy $\summ_{n=1}^\infty P(n,j,j)=\infty$ k\"ovetkezik, hogy $\summ_{n=1}^\infty P(n,k,k)=\infty$, \'es az $E_k$ \'allapot szint\'en rekurrens. Tov\'abb\'a, ha az $E_j$ \'allapot vagy $E_k$ \'allapot egyik\'eb\H{o}l egy $E_l$ pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel el\'erhet\H{o}, akkor ez az $E_l$ \'allapot a $E_j$ \'es $E_k$ \'allapotok m\'asik\'ab\'ol is pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel el\'erhet\H{o}, (esetleg el\H{o}sz\"or azt az \'allapotot l\'atogatva meg, ahonnan tudjuk, hogy az $E_l$ halmaz megl\'atogathat\'o). Ez azt jelenti, hogy $\Cal C(j)=\Cal C(k)$, ha $E_k\in \Cal C(j)$. Ez speci\'alisan azt a k\"ovetkezm\'enyt is maga ut\'an vonja, hogy $E_k,E_l\in\Cal C(j)$ eset\'en $F(k,l)=1$. Val\'oban (a param\'eterek m\'as szereposzt\'as\'aban) l\'attuk, hogy ez a rel\'aci\'o k\"ovetkezik abb\'ol, hogy $E_k\in \Cal C(l)$. Megmutatom, hogy abban az esetben, ha l\'etezik egy olyan $E_k\in \Cal C(j)$, amelyik null rekurrens \'allapot, akkor $E_j$ is null rekurrens \'allapot. Innen k\"ovetkezik, hogy a $\Cal C(j)$ oszt\'alyban lev\H{o} \'allapotok egyidej\H{u}leg null vagy pozit\'{\i}v rekurrens \'allapotok. Az eml\'{\i}tett tulajdons\'ag az\'ert \'erv\'enyes, mert $P(r+\bar r+n,k,k)\ge P(\bar r,k,j) P(n,j,j)P(r,j,k)$ al\-kal\-mas $P(\bar r,k,j)>0$ \'es $P(r,j,k)>0$ sz\'amokkal, ez\'ert a $\limm_{n\to\infty}P(n,k,k)=0$ rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik, hogy $\limm_{n\to\infty}P(n,j,j)=0$. A t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak befejez\'es\'ehez elegend\H{o} azt megmutatni, hogy ha $E_k, E_l\in \Cal C(j)$, \'es az $\Cal A(k)=\{n\:P(n,k,k)>0\}$ halmaz elemei oszthat\'ok egy $d$ sz\'ammal, akkor az $A(l)=\{n\:P(n,l,l)>0\}$ halmaz elemei szint\'en oszthat\'ok ezzel a $d$ sz\'ammal. Innen k\"ovetkezik, hogy a $\Cal C(j)$ halmaz elemei ugyanolyan peri\'odus\'u \'allapotok. A fent megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as igazol\'asa \'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre, hogy l\'eteznek olyan $r_1>0$ \'es $r_2>0$ sz\'amok, amelyekre $P(r_1,k,l)>0$ \'es $P(r_2,l,k)>0$. Tov\'abb\'a $r_1+r_2\in\Cal A(k)$, mert a Markov-l\'anc pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel visszajuthat $r_1+r_2$ l\'ep\'esben az $E_k$ \'allapotb\'ol az $E_k$ \'allapotba, $r_1$ l\'ep\'esben az $E_l$ majd tov\'abbi $r_2$ l\'ep\'esben az $E_k$ \'allapotba jutva. Ez\'ert $r_1+r_2$ oszthat\'o a $d$ sz\'ammal. Tov\'abb\'a, ha $n\in\Cal A(l)$, azaz $P(n,l,l)>0$ valamely $n$ sz\'amra, akkor $P(n+r_1+r_2,k,k)\ge P(r_1,k,l)P(n,l,l)P(r_2,l,k)>0$, ez\'ert $n+r_1+r_2$ oszthat\'o a $d$ sz\'ammal. A fentiekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $n$ oszthat\'o $d$-vel, \'es ezt kellett bel\'atnunk. \medskip Bevezetem a k\"ovetkez\H{o} k\'et definici\'ot. \medskip\noindent {\bf Z\'art oszt\'alyok definici\'oja egy Markov-l\'anc \'allapotter\'eben.} {\it Legyen adva egy $X_0,X_1,\dots$ Markov-l\'anc valamely $\Cal E=\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapotter\'en $P(j,k)$ 1 l\'ep\'eses \'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-kel. Azt mondjuk, hogy egy $\Cal C\subset \Cal E$ halmaz az \'allapott\'er egy z\'art oszt\'aly\'at alkotja, ha minden $E_j\in\Cal C$ \'allapotra $\summ_{E_k\in \Cal C}P(j,k)=1$, azaz, ha a Markov-l\'anc egy $\Cal C$ halmazbeli \'allapotb\'ol indul, akkor egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a k\"ovetkez\H{o} l\'ep\'esben is egy ilyen \'allapotban marad.} \medskip\noindent {\bf Irreducibilis, z\'art oszt\'alyok definici\'oja egy Markov-l\'anc \'allapotter\'eben.} {\it Azt mondjuk, hogy egy Markov-l\'anc \'allapotter\'enek egy z\'art oszt\'alya irreducibilis, ha \"on\-ma\-g\'an \'es az \"ures halmazon k\'{\i}v\"ul nincs m\'as olyan r\'eszhalmaza, amely z\'art oszt\'aly. Egy Markov-l\'ancot irreducibilisnak h\'{\i}vunk, ha a teljes \'allapott\'er irreducibilis (z\'art) oszt\'aly.} \medskip Az el\H{o}z\H{o} eredm\'enyb\H{o}l kiolvashat\'o, hogy ha $E_j$ egy rekurrens \'allapot, akkor az $E_j$ \'allapot az \"osszes olyan \'allapottal egy\"utt, amelyek az $E_j$ \'allapotb\'ol indul\'o Markov-l\'ancban pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel el\'erhet\H{o}ek z\'art oszt\'alyt alkotnak. S\H{o}t, ez egy irreducibilis z\'art oszt\'aly. Ugyanis, ha $P(n,j,k)>0$ valamely $n\ge1$ sz\'amra, akkor l\'etezik \'allapotoknak olyan $E_{j_0},E_{j_1},\dots,E{j_n}$, $j_0=j$, $j_n=k$ sorozata, amelyre $P(1,j_{l-1},j_l)>0$ minden $1\le l\le n$ sz\'amra. Ez\'ert mindegyik $E_{j_l}$, $1\le l\le n$, \'allapot, \'{\i}gy speci\'alisan az $E_k$ \'allapot is, benne van minden az $E_j$ \'allapotot tartalmaz\'o z\'art oszt\'alyban. A tranziens \'allapotok oszt\'alyoz\'asa nem ilyen egyszer\H{u}en \'attekinthet\H{o}. Az egyik lehet\H{o}s\'egre a k\"ovetkez\H{o} feladat mutat p\'eld\'at. \medskip\noindent {\bf Feladat.} {\it Legyen $X_1,X_2,\dots$ bolyong\'as a $d$-dimenzi\'os t\'eren. Ez irreducibilis Markov-l\'anc (azaz egyetlen irreducibilis oszt\'alyb\'ol \'all), amelynek elemei 2 peri\'odikusak. Ha $d=1$ vagy $d=2$ akkor ennek az oszt\'alynak az elemei null rekurrens \'allapotok, ha $d\ge3$ akkor tranziens \'allapotok.} \medskip L\'atni fogunk p\'eld\'at olyan Markov-l\'ancokra is, amelyeknek tranziens \'allapotai nem tartoznak egyetlen z\'art oszt\'alyba sem. Bebizony\'{\i}tom az el\H{o}z\H{o} t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel az irreduciblis z\'art oszt\'alyok n\'eh\'any tu\-laj\-don\-s\'a\-g\'at. \medskip\noindent {\bf T\'etel Markov-l\'anc irreducibilis z\'art oszt\'alyainak tulajdons\'agair\'ol.} {\it Legyen $\Cal C$ egy $X_0,X_1,\dots$, $P(n,j,k)=P(X_n=E_k|X_0=E_j)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel rendelkez\H{o} Markov-l\'anc $\Cal E=\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapotter\'enek irreducibilis, z\'art oszt\'alya. Ekkor minden $E_k\in\Cal C$ \'es $E_l\in \Cal C$, \'allapotp\'arra az $E_l$ \'allapot el\'erhet\H{o} az $E_k$ \'allapotb\'ol, azaz l\'etezik olyan $r$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am, amelyre $P(r,k,l)>0$. Egy irreducibilis oszt\'aly minden elem\'enek ugyanaz a peri\'odusa, \'es egy irreducibilis oszt\'aly minden eleme egyidej\H{u}leg, tranziens, null-rekurrens vagy pozit\'{\i}v rekurrens \'allapot. Ha $E_j$ a Markov-l\'anc rekurrens \'allapota, akkor az el\H{o}z\H{o} t\'etelben defini\'alt $\,\Cal C(j)$ halmaz, amely azokb\'ol az \'allapotokb\'ol \'all, amelyeket az $E_j$ \'allapotb\'ol pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel el lehet \'erni, irreducibilis, z\'art oszt\'aly. Minden olyan z\'art, irreducibilis oszt\'aly, amely tartalmaz egy $E_j$ rekurrens \'allapotot megegyezik egy ilyen $\Cal C(j)$ oszt\'allyal.} \medskip\noindent {\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Adva egy $\Cal C$ z\'art oszt\'aly \'es egy $E_k\in \Cal C$ \'allapot defini\'aljuk azt a $\Cal C^{(k)}\subset \Cal C$ halmazt, amely azokb\'ol az $E_p\in \Cal C$ \'allapotokb\'ol \'all, amelyekre $P(n,k,p)>0$ valamely $n$ sz\'amra. Azt \'all\'{\i}tom, hogy $\Cal C^{(k)}$ is z\'art oszt\'aly. Innen k\"ovetkezik a T\'etel els\H{o} \'all\'{\i}t\'asa, mert ha a $\Cal C$ halmaznak van olyan \'allapota, amely nem \'erhet\H{o} el az $E_k$ \'allapotb\'ol, azaz ha l\'etezik olyan $E_l\in\Cal C$ \'allapot, amelyre $P(n,k,l)=0$ minden pozit\'{\i}v eg\'esz $n$ sz\'amra, akkor $\Cal C^{(k)}$ a $\Cal C$ halmaz olyan nem \"ures, val\'odi r\'eszhalmaza, (mert $\Cal C^{(k)}$ nem \"ures halmaz, az $E_l$ \'allapotot viszont nem tartalmazza), amely z\'art oszt\'aly. Ez azt jelenti, hogy ebben az esetben $\Cal C$ nem irreducibilis. Vil\'agos, hogy $\summ_{l\colon E_l\in\Cal C^{(k)}}P(n,k,l)=1$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra, mert $\Cal E\setminus \Cal C^{(k)}$ csak olyan $E_l$ \'allapotokat tartalmaz, amelyekre $P(n,k,l)=0$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra. Azt \'all\'{\i}tom, hogy ha $E_l\in\Cal C^{(k)}$, akkor a $\summ_{p\colon E_p\in\Cal C^{(k)}}P(n,l,p)=1$ rel\'aci\'onak is teljes\"ulnie kell minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra, amib\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $\Cal C^{(k)}$ z\'art oszt\'aly. A bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'as igaz, mert ellenkez\H{o} esetben lenne olyan $n\ge1$ sz\'am, amely\-re $\summ_{p\colon E_p\in \Cal C^{(k)}} P(n,l,p)<1$. Ekkor l\'etezik olyan $r$ sz\'am, amelyre $P(r,k,l)>0$, \'es $\summ_{\bar l\colon E_{\bar l}\in\Cal C^{(k)}} \!\! P(n+r,k,\bar l)\le\summ_{\bar l\colon E_{\bar l}\in\Cal E\setminus\{E_l\}}\!\!\!\! P(r,k,\bar l) +P(r,k,l)\!\!\!\summ_{p\colon E_p\in\Cal C^{(k)}}\!\!\! P(n,l,p)=1-P(r,k,l)+ P(r,k,l) \!\!\!\summ_{p\colon E_p\in\Cal C^{(k)}} \!\!\! P(n,l,p)<1$, \'es ez ellentmond\'as. Az irreducibilis oszt\'alyok m\'ar bizony\'{\i}tott tulajdons\'ag\'ab\'ol k\"ovetkezik az el\H{o}z\H{o} t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak befejez\'es\'ehez hasonl\'oan, hogy egy ilyen oszt\'aly minden elem\'enek ugyan\-annyi a peri\'odusa. Az el\H{o}z\H{o} t\'etelben l\'attuk, hogy egy rekurrens $E_j$ \'allapotra a $\Cal C(j)$ halmaz az \'allapott\'er egy z\'art oszt\'alya. Tov\'abb\'a, ha $\bar {\Cal C}\subset \Cal C(j)$ nem \"ures z\'art oszt\'aly, akkor l\'etezik egy $E_k\in\bar{\Cal C}$ elem, \'es ez\'ert $\Cal C(j)=\Cal C(k)\subset \bar{\Cal C}$. Ez\'ert $\Cal C(j)$ irreducibilis z\'art oszt\'aly. Tov\'abb\'a, ha egy irreducibilis z\'art oszt\'aly tartalmaz egy rekurrens $E_j$ \'allapotot, akkor tartalmazza a z\'art $\Cal C(j)$ oszt\'alyt is, ez\'ert megegyezik vele. Innen k\"ovetkezik, hogy egy irreducibilis z\'art oszt\'alynak vagy mindegyik eleme tranziens \'allapot vagy meg\-egye\-zik valamelyik $\Cal C(j)$ halmazzal, ahol $E_j$ rekurrens \'allapot. Egy ilyen oszt\'aly minden eleme null rekurrens vagy pozit\'{\i}v rekurrens \'allapot. A t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at befejezt\"uk. \medskip Megfogalmazom a fenti eredm\'enyek al\'abbi k\"ovetkezm\'eny\'et. \medskip\noindent {\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Legyen $X_0,X_1,\dots$ Markov-l\'anc $P(n,j,k)=P(X_n=E_k|X_0=E_j)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel egy $\Cal E=\{E_1,E_2\dots\}$ \'allapott\'eren. Bontsuk fel az $\Cal E$ \'allapotteret az $\Cal E=\Cal R\cup \Cal T$ k\'eplettel az $\Cal R$ rekurrens \'es $\Cal T$ tranziens \'allapotokb\'ol \'all\'o halmazok uni\'ojak\'ent. A $\Cal R$ halmaz felbonthat\'o $\Cal C(j)$ diszjunkt, irreducibilis, z\'art oszt\'alyok uni\'ojak\'ent. Ha $E_k,E_l\in\Cal C(j)$ az $\Cal R$ halmaz egy irreducibilis, z\'art $\Cal C(j)$ oszt\'aly\'ara, akkor $F(k,l)=1$ a $(10')$ k\'epletben defini\'alt $F(\cdot,\cdot)$ f\"uggv\'ennyel.} \medskip\noindent {\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ A megfogalmazott eredm\'enyek k\"ovetkeznek a Markov-l\'anc irreducibilis z\'art oszt\'alyainak \'es egy Markov-l\'anc \'allapotainak tulajdons\'agair\'ol sz\'ol\'o t\'etelek ered\-m\'e\-nyei\-b\H{o}l. Azt kell m\'eg megmutatnunk, hogy ha k\'et az ut\'obbi t\'etel megfogalmaz\'as\'aban defini\'alt $\Cal C(j)$ \'es $\Cal C(k)$ halmaz nem diszjunkt, akkor $\Cal C(j)=\Cal C(k)$. De ebben az esetben l\'etezik egy $E_l\in\Cal C(j)\cap\Cal C(k)$ \'allapot, \'es $\Cal C(j)=\Cal C(l)=\Cal C(k)$. \medskip A fent megfogalmazott k\"ovetezm\'enyben egy Markov-l\'anc rekurrens \'allapotainak halmaz\'at felbontottuk irreducibilis, z\'art halmazok uni\'ojak\'ent. A tranziens \'allapotok halmaz\'anak nincs ilyen egy\'ertelm\H{u} le\'{\i}r\'asa. Ennek megmutat\'asa \'erdek\'eben a bo\-lyon\-g\'a\-sok \'allapotter\'enek le\'{\i}r\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o feladatot kieg\'esz\'{\i}tem a k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'aval. \medskip\noindent {\bf P\'elda.} {\it Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} Markov-l\'ancot a k\'et-dimenzi\'os t\'er eg\'esz koordin\'at\'aj\'u r\'acs\-pont\-ja\-in: Ha a Markov-l\'anc valamely $(j,k)$, $j\neq0$ pontban van, akkor a k\"ovetkez\H{o} l\'ep\'esban egyforma $\frac14$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel l\'ep a $(j-1,k)$, $(j+1,k)$, $(j,k+1)$, $(j,k-1)$ szomsz\'ed pontok valamelyik\'ebe. Ha a Markov-l\'anc valamely $(0,k)$ alak\'u pontban van, akkor a k\"ovetkez\H{o} l\'ep\'esben $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel l\'ep a $(0,k+1)$ vagy a $(0,k-1)$ pontba. Ennek a Markov-l\'ancnak a $(0,k)$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$ alak\'u pontok a rekurrens \'allapotai, amelyek irreducibilis z\'art oszt\'alyt alkotnak. Ennek elemei null-rekurrens, 2 peri\'odus\'u \'allapotok. A $(j,k)$, $j\neq0$ alak\'u pontok tranziensek. Egy ilyen \'allapotb\'ol kiindul\'o Markov-l\'anc 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel eljut a rekurrens \'allapotokb\'ol \'all\'o halmazba, ez\'ert nincs olyan irreducibilis z\'art oszt\'aly, amely ezeket tartalmazza.} \medskip\noindent {\it Feladat:}\/ Bizony\'{\i}tsuk be a fenti p\'elda \'all\'{\i}t\'as\'at. \medskip Egy irreducibilis Markov-l\'ancokr\'ol sz\'ol\'o \'all\'{\i}t\'ast fogjuk bebizony\'{\i}tani, azaz olyan Markov-l\'ancot fogunk tekinteni, amelynek \'allapottere egyetlen, z\'art oszt\'aly. Az ismertetett t\'etel felt\'etelt ad arra, hogy mikor van egy ilyen Markov-l\'ancnak stacion\'arius eloszl\'asa. \medskip\noindent {\bf T\'etel irreducibilis Markov-l\'ancok stacion\'arius eloszl\'as\'ar\'ol.} {\it Legyen $X_0,X_1,\dots$ irreducibilis, aperi\'odikus Markov-l\'anc $P(n,j,k)=P(X_n=E_k|X_0=E_j)$ \'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-kel egy $\Cal E=\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapott\'eren. \medskip \item{a)} Ha a Markov-l\'anc \'allapotai pozit\'{\i}v rekurrensek, akkor az $u_j=\limm_{n\to\infty}P(n,i,j)>0$ hat\'ar\'ert\'ekek l\'eteznek, $u_j=\frac1{\mu_j}$, ahol a $\mu_j$ sz\'amok a (2) formul\'aban vannak defini\'alva. Az $u_j$ sz\'amok, $E_j\in\Cal E$, a Markov-l\'anc stacion\'arius eloszl\'as\'at defini\'alj\'ak, azaz teljes\'{\i}tik a (13) \'es (14) formul\'akat. \medskip \item{b)} Megford\'{\i}tva, ha a Markov-l\'ancnak van $u_j$, $E_j\in\Cal E$, stacion\'arius eloszl\'asa, akkor a Markov-l\'anc ergodikus, azaz pozit\'{\i}v rekurrens \'allapotokkal rendelkezik, (\'es aperi\'odikus). A Markov-l\'anc (egyetlen) stacion\'arius eloszl\'asa teljes\'{\i}ti az $u_j=\frac1{\mu_j}$, $E_j\in \Cal E_j$, azo\-nos\-s\'a\-got.} \medskip\noindent {\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt az esetet, amikor az a) r\'esz felt\'etelei teljes\"ulnek. Az egy Markov-l\'anc egy \'allapot\'anak jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etelben bizony\'{\i}tott (12) formul\'ab\'ol \'es a Markov-l\'anc \'allapotainak tulajdons\'agair\'ol sz\'ol\'o t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $\limm_{n\to\infty}P(n,i,j)=F(i,j)\frac1{\mu_j} =\frac1{\mu_j}$. Azt kell m\'eg bel\'atnunk, hogy az $u_j=\frac1{\mu_j}$, $E_j\in\Cal E$, sz\'amok teljes\'{\i}tik a (13) \'es (14) azonoss\'agot. El\H{o}sz\"or azt mutatom meg, hogy $$ u_j=\summ_{k\colon E_k\in\Cal E}u_k P(m,k,j)\quad\text{minden } m=1,2,\dots, \text{ sz\'amra.} \tag15 $$ Ennek \'erdek\'eben \'{\i}rjuk fel a $$ P(n+m,i,j)=\summ_{k\colon E_k\in\Cal E}P(n,i,k)P(m,k,j) $$ \'es pr\'ob\'aljunk $n\to\infty$ limeszt venni az azonoss\'ag mind a k\'et oldal\'an, felhaszn\'alva azt, hogy $\limm_{n\to\infty}P(n+m,i,j)=u_j$ \'es $\limm_{n\to\infty}P(n,i,k)=u_k$. Mivel a jobb oldalon szerepl\H{o} $P(m,k,j)$ egy\"utthat\'ok \"osszege (r\"ogz\'{\i}tett $j$-re \'es a $k$ v\'altoz\'o szerint \"osszegezve) lehet divergens is, egyel\H{o}re csak az al\'abbi a k\'{\i}v\'antn\'al gyeng\'ebb \"osszef\"ugg\'est tudjuk fel\'{\i}rni (felhaszn\'alva, hogy a jobb-oldalon sze\-rep\-l\H{o} sz\'amok mind nem-negat\'{\i}vak): $$ u_j\ge\summ_{k\colon E_k\in\Cal E}u_k P(m,k,j) \tag15a $$ Hasonl\'oan a $\summ_{k\colon E_k\in\Cal E}P(n,i,k)=1$ azonoss\'agb\'ol kapjuk $n\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel, hogy $$ s=\summ_{k\colon E_k\in\Cal E} u_k\le1. \tag16 $$ Ezt az egyenl\H{o}tlens\'eget felhaszn\'alva, \'es \"osszegezve a (15a)~egyenl\H{o}tlens\'egeket a $j$ v\'altoz\'o szerint, azt kapjuk, hogy $$ \align s&=\sum_{j\colon E_j\in \Cal E} u_j\ge \sum_{j\colon E_j\in \Cal E}\summ_{k\colon E_k\in\Cal E}u_k P(m,k,j)\\ &=\sum_{k\colon\;E_k\in\Cal E}u_k \(\sum_{j\colon E_j\in \Cal E}P(m,k,j)\) =\sum_{k\colon\;E_k\in\Cal E}u_k=s, \endalign $$ mert $\summ_{j\colon E_j\in \Cal E}P(m,k,j)=1$ minden $k$ indexre. Mivel az utols\'o egyenl\H{o}tlens\'egsor bal \'es jobb oldala egyenl\H{o} (\'es v\'eges), a felhaszn\'alt (15a) egyenl\H{o}tlens\'egekben minden\"utt azonoss\'agnak kell \'allni, teh\'at a (15) formula \'erv\'enyes. Ha a (15) formul\'at $m=1$ v\'alaszt\'assal tekintj\"uk, megkapjuk a (14) k\'epletet. Tekints\"uk \'ujb\'ol a (15) formul\'at tetsz\H{o}leges $j$ sz\'ammal, \'es tartsunk v\'egtelenhez az $m$ param\'eterrel. Ekkor felhaszn\'alva a (16) formul\'at (pontosabban csak azt, hogy az ott tekintett \"osszeg v\'eges) azt kapjuk, hogy $$ u_j=\summ_{k\colon E_k\in\Cal E}u_k u_j =u_j\summ_{k\colon E_k\in\Cal E}u_k. $$ Mivel $u_j=\frac1{\mu_j}>0$, innen k\"ovetkezik a (13) rel\'aci\'o. R\'at\'erek a b) r\'esz b\'{\i}zony\'{\i}t\'as\'ara. Megmutatom $n$ szerinti teljes indukci\'oval a Chap\-man--Kol\-mo\-go\-rov egyenlet seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a b) esetben teljes\"ul a (14) k\'eplet k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} \'altal\'anos\'{\i}t\'asa is. $$ u_j=\sum_{i\colon E_i\in\Cal E} u_i P(n,i,j) \quad \text{minden $j=1,2,\dots$ \'es $n=1,2,\dots$ sz\'amra}. \tag$14'$ $$ Val\'oban, ha a ($14'$) formula igaz az $n$ sz\'amra, akkor $$ \align \sum_{i\colon E_i\in\Cal E} u_i P(n+1,i,j) &=\sum_{i\colon E_i\in\Cal E} u_i\sum_{k\colon E_k\in\Cal E} P(n,i,k)P(k,j) \\ &=\sum_{k\colon E_k\in\Cal E} P(k,j)\sum_{i\colon E_i\in\Cal E} u_iP(n,i,k) =\sum_{k\colon E_k\in\Cal E} P(k,j)u_k=u_j, \endalign $$ teh\'at a $(14')$ azonoss\'ag igaz $n+1$-re is. Alkalmazzunk $n\to\infty$ hat\'ar\'atmenetet a ($14'$) k\'epletben. Azt \'all\'{\i}tom, hogy a Markov-l\'anc ergodikus, minden $i$ \'es $j$ indexre l\'etezik a $\limm_{n\to\infty} P(n,i,j)=\frac1{\mu_j}>0$ (2)~k\'epletben defini\'alt hat\'ar\'ert\'ek, \'es $$ u_j=\sum_{i\colon E_i\in\Cal E} u_i \frac1{\mu_j} \quad \text{minden $j=1,2,\dots$ sz\'amra}. \tag17 $$ Val\'oban, mivel irreducibilis Markov-l\'ancot tekint\"unk, a Markov-l\'anc minden \'alla\-po\-ta egyszerre tranziens, null-rekurrens vagy pozit\'{\i}v rekurrens. Viszont az els\H{o} k\'et esetben $\limm_{n\to\infty}P(n,i,j)=0$, ez\'ert a ($14'$) formul\'aban elv\'egzett hat\'ar\'atmenet azt adn\'a, hogy $u_j=0$ minden $j$ indexre. Ez viszont ellentmond a (13) rel\'aci\'onak. Ez\'ert a Markov-l\'anc \'alla\-po\-tai pozit\'{\i}v rekurensek. Mivel feltett\"uk, hogy a Markov-l\'anc aperi\'odikus, ez\'ert ergodikus, az \'atmenet val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeknek az el\H{o}z\H{o} bekezd\'esben fel\'{\i}rt hat\'ar\'ert\'ekeik vannak, \'es teljes\"ul a (17) formula. A (17) \'es (13) formul\'ak alapj\'an viszont $$ u_j=\sum_{i\colon E_i\in\Cal E} u_i \frac1{\mu_j} =\frac1{\mu_j}\sum_{i\colon E_i\in\Cal E} u_i= \frac1{\mu_j} \quad \text{minden $j=1,2,\dots$ sz\'amra}. $$ Ez azt jelenti, hogy egy ergodikus Markov-l\'ancnak $u_j=\frac1{\mu_j}$, $E_j\in \Cal E_j$, az egyetlen stacion\'arius eloszl\'asa. \medskip\noindent {\it Feladat:} L\'assuk be az el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy egy $X_0,X_1,\dots$, irreducibilis, ergodikus Markov-l\'anc eloszl\'asa tetsz\H{o}leges kezdeti eloszl\'as eset\'en konverg\'al a Markov-l\'anc stacion\'arius eloszl\'as\'ahoz, ha $n\to\infty$, azaz $\limm_{n\to\infty}P(X_n=E_j)=u_j$ minden $u_j$ \'allapotra. \medskip A kor\'abbi eredm\'enyekben feltettem, hogy a tekintett Markov-l\'anc aperi\'odikus. Ezt els\H{o}sorban k\'enyelmi szempontok miatt tettem. Peri\'odikus Markov-l\'ancok vizsg\'alata hasonl\'oan t\"ort\'enhet, \'es az eredm\'enyek is hasonl\'oak, csak a jel\"ol\'es v\'alik kiss\'e bo\-nyo\-lul\-tab\-b\'a. Ezenk\'{\i}v\"ul peri\'odikus Markov-l\'ancok vizsg\'alata visszavezethet\H{o} az aperi\-\'o\-di\-kus Markov-l\'ancok eset\'ere. Itt csak r\"oviden \'attekintem azt, hogy milyen eredm\'enyek \'erv\'enyesek, \'es milyen \'eszrev\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel kaphatjuk meg azokat. Legyen $X_0,X_1,\dots$ irreducibilis Markov-l\'anc egy $\Cal E =\{E_1,E_2,\dots\}$ \'allapott\'eren $P(n,j,k)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Tegy\"uk fel, hogy a Markov-l\'anc \'allapotai pozit\'{\i}v rekurrensek, \'es peri\'odusaik egyenl\H{o}ek valamilyen $d\ge1$ sz\'ammal. (Tudjuk, hogy egy irreducibilis Markov-l\'anc minden \'allapota egyszerre, tranziens, null vagy pozit\'{\i}v rekurrens, \'es minden \'al\-la\-pot\-nak ugyanaz a peri\'odusa.) Tekints\"uk az $X_0,X_1,\dots$ Markov-l\'anc mellett az $\bar X_n=X_{dn}$, $n=0,1,2,\dots$ Markov-l\'ancot is, amelynek \'allapottere megegyezik az eredeti Markov-l\'anc $\Cal E$ \'allapotter\'evel, \'es \'ert\'eke az $n$ id\H{o}pontban egyenl\H{o} az eredeti Markov-l\'anc \'ert\'ek\'evel az $nd$ id\H{o}pontban. Ez ut\'obbi Markov-l\'anc aperi\'odikus, $\bar P(j,k)=P(d,j,k)$ egy l\'ep\'eses \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel, minden \'allapota pozit\'{\i}v rekurrens, de \'allapottere nem felt\'etlen\"ul irreducibilis. Viszont al\'abb megadom e Markov-l\'anc \'al\-la\-pot\-te\-r\'e\-nek a felbont\'as\'at $d$ darab $\Cal C_0,\dots,\Cal C_{d-1}$ irreducibilis oszt\'aly uni\'ojara. R\"ogz\'{\i}ts\"uk mondjuk az $E_1\in\Cal E$ \'allapotot, \'es tekints\"uk minden $E_k\in\Cal E$ \'allapotra az $\Cal N_k= \{n\colon\; P(n,1,k)>0\}$ halmazt, azaz azon id\H{o}pontok halmaz\'at, amely id\H{o}pontok alatt az $E_1$ \'allapotb\'ol pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel jutunk az $E_k$ \'allapotba. Nem neh\'ez bel\'atni, hogy az $X_0,X_1,\dots$ Markov-l\'anc $d$ peri\'odusa miatt l\'etezik olyan $0\le p\le d-1$ sz\'am, hogy $n=p$~mod~$d$ minden $n\in\Cal N_k$ sz\'amra. Nevezz\"uk ezt a $p$ sz\'amot az $E_k$ \'allapot $r(k)$ rangj\'anak. Defini\'aljuk a $\Cal C_p\subset\Cal E$, $1\le p\le d$, halmazokat \'ugy, hogy $E_k\in\Cal C_p$ akkor \'es csak akkor, ha $r(k)=p$. N\'emi munk\'aval be lehet l\'atni, hogy a $\bar X_0,\bar X_1,\dots$ Markov-l\'anc $\Cal E$ \'allapotter\'enek felbont\'asa irreducibilis z\'art oszt\'alyokra a $\Cal C_p$, $0\le p\le d-1$, halmazokb\'ol \'all. Tov\'abb\'a, ha $E_k\in\Cal C_p$, $E_l\in\Cal C_q$ valamely $p$ \'es $q$ sz\'amokkal, akkor $P(n,k,l)>0$ csak akkor lehets\'eges, ha $n=q-p$~mod~$d$. Ezenk\'{\i}v\"ul, ha $E_k\in \Cal C_p$, \'es $P(n,k,l)>0$ valamely $n$ id\H{o}pontra, akkor $E_l\in\Cal C_q$ azzal a $q$ sz\'ammal, amelyre $n=q-p$~mod~$d$. A fenti \"osszef\"ugg\'esek seg\'{\i}ts\'eg\'evel, \'es haszn\'alva a m\'ar bizony\'{\i}tott eredm\'enyeket az $\bar X_0,\bar X_1,\dots$ Markov-l\'anc $\Cal C_p$, $1\le p\le d-1$, irreducibilis, z\'art oszt\'alyaira kapjuk, hogy a $$ du_j=\lim_{n\to\infty} P(dn+q-p,i,j)=\frac d{\mu_j}\quad \text{ha }E_i\in\Cal C_p \quad\text{ \'es } E_j\in\Cal C_q $$ hat\'ar\'ert\'ek l\'etezik. Itt a $\mu_j$ sz\'am a (2) k\'epletben van defini\'alva, \'es $P(dn+r,i,j)=0$, ha $r\neq q-p$~mod~$p$. Tov\'abb\'a az is igaz, hogy az $u_j=\frac1{\mu_j}$ sz\'amok alkotj\'ak a Markov-l\'anc (egyetlen) stacion\'arius eloszl\'as\'at. A r\'eszletek bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom. \medskip R\'at\'erek v\'eges \'allapotter\H{u}, azaz v\'eges sok k\"ul\"onb\"oz\H{o} \'ert\'eket felvev\H{o} Markov-l\'ancok r\"ovid t\'argyal\'as\'ara. V\'eges \'allapotter\H{u} Markov-l\'ancok rendelkeznek n\'eh\'any extra tulajdons\'aggal, amelyeket a k\"ovetkez\H{o} t\'etelben fogalmazok meg. Ezenk\'{\i}v\"ul a sztochaszikus m\'atrixok n\'eh\'any line\'aris algebrai tulajdons\'aga seg\'{\i}t v\'eges \'allapotter\H{u} Markov-l\'ancok vizsg\'alat\'aban. \medskip\noindent {\bf T\'etel v\'eges \'allapotter\H{u} Markov-l\'ancok tulajdons\'agair\'ol.} {\it Egy v\'eges \'allapotter\H{u} Markov-l\'ancnak mindig van pozit\'{\i}v rekurrens \'allapota, viszont nincs null rekurrens \'allapota. Egy tranziens \'allapotb\'ol elind\'{\i}tott Markov-l\'anc 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel beker\"ul a Markov-l\'anc rekurrens \'allapotaib\'ol \'all\'o halmazba.} \medskip\noindent {\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Mivel egy v\'eges Markov-l\'anc $n$ l\'ep\'eses \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit is egy sztochasztikus m\'atrix adja meg, amelynek m\'erete nem f\"ugg az $n$ sz\'amt\'ol, \'es egy sztochasztikus m\'atrix sor\"osszege 1, ez\'ert, r\"ogz\'{\i}tve a sztochasztikus m\'atrix $i$-edik sor\'at valamely $i$ sz\'ammal, l\'etezik olyan $j$ index \'es pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok $n_k$ sorozata, amelyekre $\limsupp_{n_k\to\infty}P(n_k,i,j)>0$. Vi\-szont egy ilyen $j$ indexhez tartoz\'o $E_j$ \'allapot pozit\'{\i}v rekurrens, mert sem tranziens, sem null rekurrens nem lehet. Mivel a Markov-l\'anc rekurrens \'al\-la\-po\-tai\-b\'ol \'all\'o halmaz fel\-bont\-ha\-t\'o diszjunkt irreducibilis z\'art oszt\'alyok uni\'oj\'ara, \'es egy irreducibilis z\'art oszt\'aly elemei egyidej\H{u}leg pozit\'{\i}v vagy null rekurrens \'allapotok, ez\'ert tekintve a Markov-l\'anc megszor\'{\i}t\'as\'at egy irreducibilis z\'art oszt\'alyra az el\H{o}z\H{o} \'ervel\'es alapj\'an kapjuk, hogy a Markov-l\'ancnak nincs null rekurrens \'allapota. V\'eg\"ul, ha egy tranziens $E_i$ \'allapotb\'ol elind\'{\i}tott Markov-l\'anc pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel elker\"uln\'e a Markov-l\'anc rekurrens \'al\-la\-po\-tai\-b\'ol \'all\'o halmazt, akkor (\'ujb\'ol a Markov-l\'anc v\'eges \'allapottere miatt) l\'etezne a Markov-l\'ancnak olyan $E_j$ tranziens \'allapota, amelyre $\limsupp_{n_k\to\infty}P(n_k,i,j)>0$ alkalmas $n_k$ sz\'amorozattal, \'es ez ellentmond\'as. \medskip Egy Markov-l\'anc viselked\'es\'er\H{o}l nagyon hasznos inform\'aci\'ot ad az a Markov-l\'anc \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit megad\'o sztochasztikus m\'atrix spektrum\'anak, azaz sa\-j\'at\-\'er\-t\'e\-kei\-nek \'es saj\'atvektorainak az ismerete. Vegy\"uk \'eszre, hogy egy sztochasztikus m\'atrixnak, ha jobbr\'ol szorozzuk meg oszlopvektorokkal, akkor a csupa 1 koordin\'at\'ab\'ol \'all\'o vektor saj\'atvektor 1 saj\'at\'ert\'ekkel. Tov\'abb\'a 1-n\'el nagyobb saj\'at\'ert\'ekkel rendelkez\H{o} (oszlop) saj\'atvektor nem lehets\'eges. Azt is tudjuk a line\'aris algebr\'ab\'ol, hogy egy m\'atrixot ak\'ar balr\'ol szorozzuk meg egy sorvektorral, ak\'ar jobbr\'ol egy oszlopvektorral, ugyanazok lesznek a saj\'at\'ert\'ekei. (A saj\'atvektorai l\'enyegesen k\"ul\"onb\"ozhetnek.) \medskip\noindent {\it Feladat.}\/ L\'assuk be, hogy egy sztochasztikus m\'atrixnak nem lehet 1-n\'el nagyobb sa\-j\'at\-\'er\-t\'ek\-kel rendelkez\H{o} (oszlop) saj\'atvektora. \hfill\break {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Mutassuk meg, hogy az eredeti vektor legnagyobb abszolut \'ert\'ek\H{u} koor\-di\-n\'a\-t\'a\-j\'a\-nak az abszolut \'ert\'eke nagyobb vagy egyenl\H{o}, mint a k\'epvektor b\'armely koordin\'at\'aj\'anak az abszolut \'ert\'eke. \medskip Tudjuk teh\'at, hogy egy sztochasztikus m\'atrixnak l\'etezik egy 1 saj\'at\'ert\'ekkel rendelkez\H{o} (sor) saj\'atvektora. Enyhe plusz feltev\'esek mellett azt is lehet tudni, hogy ennek \"osszes koordin\'at\'aja pozit\'{\i}v, \'es sz\'ep esetekben az is igaz, hogy a sztochasztikus m\'atrix \"osszes t\"obbi saj\'at\'ert\'eke szigor\'uan kisebb, mint 1. Ilyen esetben a sztochasztikus m\'atrix $n$-ik hatv\'any\'anak viselked\'es\'er\H{o}l nagyon \'ert\'ekes inform\'aci\'ot nyerhet\"unk. Ugyanis fel\'{\i}rva a m\'atrix \'altal meghat\'arozott line\'aris transzform\'aci\'ot olyan koordin\'atarendszerben, ahol annak a lehet\H{o} legegyszer\H{u}bb az alakja (ez a Jordan f\'ele norm\'alalak haszn\'alat\'at jelenti) be lehet l\'atni, hogy a k\"ovetkez\H{o} aszimptotikus rel\'aci\'o \'erv\'enyes. Tekints\"unk egy tetsz\H{o}leges nem negat\'{\i}v \'ert\'ek\H{u} koordin\'at\'akb\'ol \'all\'o sorvektort, amelyben a koordin\'at\'ak \"osszege 1. Ha alkalmazzuk erre a vektorra az \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek \'altal meghat\'arozott sztochasztikus m\'atrix $n$-ik hatv\'any\'at, akkor olyan vektort kapunk, amely e m\'atrix 1 saj\'at\'ert\'ek\H{u} saj\'atvektor\'at\'ol az ($n$ v\'altoz\'o f\"uggv\'eny\'eben) exponenci\'alisan kis k\"ul\"onbs\'eggel t\'er el. Ez azt jelenti, hogy a m\'atrix saj\'atvektora adja meg a Markov-l\'anc stacion\'arius eloszl\'as\'at, \'es ha a Markov-l\'ancot tetsz\H{o}leges kezdeti eloszl\'assal ind\'{\i}tjuk el, akkor a Markov-l\'anc eloszl\'asa az $n$ id\H{o} f\"uggv\'eny\'eben exponenci\'alis sebess\'eggel konverg\'al a stacion\'arius eloszl\'ashoz. Az el\H{o}bb v\'azolt gondolatmenet azt mutatja, hogy hasznos olyan eredm\'enyeket bizony\'{\i}tani, amelyek megmondj\'ak, hogy egy sztochasztikus m\'atrixnak mikor van egyetlen 1 saj\'at\'ert\'ek\H{u} saj\'atvektora. A Markov-l\'ancok elm\'elet\'eben Perron egy t\'etele, illetve annak Frobenius \'altal bizony\'{\i}tott \'altal\'anos\'{\i}t\'asa hasznos. Ezek az eredm\'enyek olyan m\'atrixokkal foglalkoznak, amelyeknek \"osszes egy\"utthat\'oja nem negat\'{\i}v. Perron t\'etel\'et fogom kimondani, \'es r\"oviden jelzem, hogy milyen \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at adta ennek az ered\-m\'eny\-nek Frobenius. \medskip\noindent {\bf Perron t\'etele.} {\it Legyen egy $A$ $n\times n$ m\'eret\H{u} n\'egyzetes m\'atrix minden eleme {\rm szigor\'uan} pozit\'{\i}v sz\'am. Az $A$ m\'atrix $\det(A-\lambda I)$ karakterisztikus polinomj\'anak, (ahol $I$ az $n\times n$-es diagon\'alis egys\'egm\'atrix) legnagyobb abszolut \'ert\'ek\H{u} gy\"oke szigor\'uan pozit\'{\i}v, egyszeres gy\"ok, \'es a karakterisztikus polinom \"osszes t\"obbi gy\"ok\'enek az abszolut \'ert\'eke szigor\'uan kisebb, mint ez a saj\'at\'ert\'ek. Az $A$ m\'atrixnak a karakterisztikus polinom legnagyobb saj\'at\'ert\'ek\'ehez tartoz\'o egyszeres saj\'atvektor\'anak mindegyik koordin\'at\'aja szigor\'uan po\-zi\-t\'{\i}v sz\'am. Ha az $A$ m\'atrix sztochasztikus m\'atrix, azaz minden sor\"osszege 1-gyel egyenl\H{o}, akkor karakterisztikus polinomj\'anak a legnagyobb gy\"oke 1.} \medskip Perron t\'etele alkalmazhat\'o olyan v\'eges \'allapotter\H{u} Markov-l\'anc vizsg\'alat\'aban, amelynek \"osszes egy-l\'ep\'eses \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei szigor\'uan pozit\'{\i}vak. Sz\'amunkra a k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny \'erdekes. \medskip\noindent {\bf A Perron t\'etel egy k\"ovetkezm\'enye Markov l\'ancok viselked\'es\'er\H{o}l.} {\it Teljes\'{\i}tse egy $E_1,\dots,E_m$ \'allapotokat tartalmaz\'o Markov l\'anc $\Pi$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg m\'atrixa a Perron t\'etel felt\'eteleit. Ekkor a Markov l\'anc irreducibilis, \'es $q_j=P(X_0=E_j)$, $1\le j\le m$, stacion\'arius eloszl\'asa megegyezik a $\Pi$ m\'atrix azon 1 saj\'at\'ert\'ek\H{u} $q=(q_1,\dots,q_m)$ saj\'atvektor\'aval, amelyre $\summ_{k=1}^m q_k=1$. A Markov l\'anc tetsz\H{o}leges 0 id\H{o}pontbeli eloszl\'asa eset\'en a Markov l\'anc $n$ id\H{o}pontbeli eloszl\'asa (az $n$ v\'altoz\'o szerint) exponenci\'alis se\-bes\-s\'eg\-gel tart a $q$ eloszl\'ashoz, amikor $n\to\infty$.} \medskip\noindent {\it A k\"ovetkezm\'eny bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Mivel a tekintett Markov l\'anc b\'armely \'allapot\'ab\'ol a Markov l\'anc b\'armely m\'as \'allapot\'aba pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel el lehet jutni (1 l\'ep\'esben), a Markov l\'anc irreducibilis. A Markov l\'anc stacion\'arius eloszl\'asa megegyezik a Perron t\'etel \'all\'{\i}t\'asa szerint l\'etez\H{o} $q$ vektorral. A k\"ovetkezm\'eny \'all\'{\i}t\'as\'anak igazol\'as\'ahoz azt kell m\'eg megmutatni, hogy tetsz\H{o}leges $p=(p_1,\dots,p_m)$, $p_j\ge0$, $1\le j\le k$, $\summ_{j=1}^mp_j=1$ alak\'u vektorra $\limm_{n\to\infty}p\Pi^n=q$, \'es a konvergencia exponenci\'alis sebess\'eg\H{u} ebben a rel\'aci\'oban. Tekints\"uk a $\Pi$ m\'atrix $J$ Jordan-f\'ele norm\'alalakj\'at, \'es azt az $e^{(1)},\dots,e^{(m)}$ b\'azist, amelyben a $\Pi$ m\'atrix ezt a Jordan f\'ele norm\'alakot veszi fel. Ekkor $e^{(1)}=q$, a m\'atrix 1 saj\'at\'ert\'ek\H{u} saj\'atvektora, egy $1\times1$ m\'eret\H{u} Jordan kalick\'aban van, \'es a Jordan-f\'ele norm\'alalakban szerepl\H{o} \"osszes t\"obbi saj\'at\'ert\'ek szigor\'uan kisebb, mint 1. Ez\'ert, ha a Markov l\'anc $p=(p_1,\dots,p_m)$ eloszl\'asvektor\'at fel\'{\i}rjuk $p=c_1q+\summ_{j=2}^m c_je^{(j)}$ alakban, akkor a Markov l\'anc $n$ id\H{o}pontbeli $p^{(n)}=(p_1^{(n)},\dots,p_m^{(n)})=p\Pi^n$ eloszl\'as\'ara a $p^{(n)}=c_1q+\summ_{j=2}^m c(j,n)e^{(j)}$ rel\'aci\'o teljes\"ul alkalmas exponenci\'alisan kicsi $c(j,n)$ egy\"utthat\'okkal, azaz l\'etezik olyan $0<\lambda<1$ sz\'am, amelyre \'erv\'enyes a $\limm_{n\to\infty}c(j,n)\lambda^{-n}=0$ rel\'aci\'o minden $2\le j\le m$ sz\'amra. Azt kell m\'eg \'eszrevenni, hogy a $p=c_1q+\summ_{j=2}^m c_je^{(j)}$ rel\'aci\'oban $c_1=1$, mert $1=\limm_{n\to\infty}\summ_{j=1}^m p^{(n)}_j =\limm_{n\to\infty}\(c_1\summ_{j=1}^n q_j+\summ_{j=2}^m c(j,n) \summ_{s=1}^m e_s^{(j)}\)=c_1$, ahol $e^{(j)}=(e^{(j)}_1,\dots,e^{(j)}_m)$, $2\le j\le m$. \medskip A Perron t\'etelben tekintett m\'atrixok irreducibilis \'es 1 peri\'odus\'u Markov-l\'ancok vizsg\'alat\'aban haszn\'alhat\'oak. Algebrai m\'odon jellemezhet\H{o}ek az irreducibilis Markov-l\'ancok \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei \'altal meghat\'arozott sztochasztikus m\'atrixok \'altal\'anosan is. Be lehet vezetni a nem-negat\'{\i}v elem\H{u}, \'ugynevezett irreducibilis m\'atrixok fogalm\'at az \'al\-ta\-l\'a\-nos esetben, amely az irreducibilis Markov-l\'ancok \'altal meghat\'arozott szto\-chasz\-ti\-kus m\'atrixok term\'eszetes \'altal\'anos\'{\i}t\'asa. A Perron t\'etel Frobenius \'altal bizony\'{\i}tott \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-sa irreducibilis, nem-negat\'{\i}v elem\H{u} m\'atrixok legnagyobb abszolut \'ert\'ek\H{u} sa\-j\'at\-\'er\-t\'e\-kei\-nek \'es a hozz\'ajuk tartoz\'o saj\'atvektorok jellemz\'es\'et adja meg. Ennek megfogalmaz\'asa, amelyet ebben az ismertet\'esben elhagyok, bonyolultabb, mint az eredeti Perron t\'etel\'e. Ez a bonyolults\'ag azzal f\"ugg \"ossze, hogy Frobenius eredm\'enye nemcsak az aperi\'odikus, hanem az irreducibils, peri\'odikus Markov-l\'ancok viselked\'es\'et is le\'{\i}rja. \beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es. {\bf A fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.} \medskip\noindent Legyenek $Y_1,Y_2\dots$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u pozit\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $S_n=\summ_{k=1}^nY_k$, $n=1,2,\dots$, \'es defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} mennyis\'egeket: $f_k=P(Y_1=k)$, $k=1,2,\dots$, $\mu=EY_1=\summ_{k=1}^\infty kf_k$, $B(\oo)=\{S_1(\oo),S_2(\oo)\dots\}$, $u_n=P(\{\oo\colon\;n\in B(\oo)\})$, $n=1,2,\dots$, \'es $u_0=1$. Vegy\"uk \'eszre, hogy teljes\"ulnek a $$ \sum_{k=1}^\infty f_k=1, \quad\text{\'es} \quad f_k\ge0\quad \text{ minden } k=1,2,\dots \text{ sz\'amra,} \tag A1 $$ valamint az $$ u_n=f_1 u_{n-1}+f_2u_{n-2}+\cdots f_nu_0,\quad n=1,2,\dots \tag A2 $$ rel\'aci\'ok. Az (A1) formula azt fejezi ki, hogy az $Y_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'eke 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am. Az (A2) formula az\'ert igaz, mert $f_ju_{n-j}$ annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $Y_1=j$, \'es $Y_2+\cdots Y_l=n-j$ valamilyen $l\ge 2$ sz\'amra, ha $1\le j0\}$ halmazban szerepl\H{o} sz\'amok legnagyobb k\"oz\"os oszt\'oja 1. Ez\'ert a fel\'uj\'{\i}t\'asi t\'etel k\"ovetkezik az al\'abb megfogalmazott \'es k\'es\H{o}bb bebizony\'{\i}tand\'o eredm\'enyb\H{o}l. \medskip\noindent {\bf T\'etel A.} {\it Legyenek $f_1,f_2,\dots$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok, amelyek teljes\'{\i}ti az (A1) rel\'aci\'ot, \'es amelyekre az $\Cal A=\{j\:f_j>0\}$ halmazban szerepl\H{o} sz\'amok legnagyobb k\"oz\"os oszt\'oja 1. Legyen $u_0=1$, \'es defini\'aljuk az $u_n$, $n=1,2,\dots$, sz\'amokat rekurz\'{\i}ve az (A2) formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ekkor $$ \lim_{n\to\infty} u_n=\frac1\mu, \quad \text{ahol } \mu=\sum_{k=1}^\infty f_k. \tag A3 $$ A $\mu=\infty$ esetben az (A3) formula a $\limm_{n\to\infty} u_n=0$ azonoss\'agot adja.} \medskip A T\'etel A \'all\'{\i}t\'as\'at a k\"ovetkez\H{o} Propozici\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel fogjuk bebizony\'{\i}tani. \medskip\noindent {\bf Propozici\'o.} {\it Teljes\"uljenek a T\'etel A felt\'etelei. Vezess\"uk be a T\'etel~A jel\"ol\'eseit hasz\-n\'al\-va az $\eta=\limsupp_{n\to\infty} u_n$ mennyis\'eget. Ekkor l\'etezik olyan $n_10$ sz\'amra, \'es hajtsuk v\'egre a $j\to\infty$ hat\'ar\'atmenetet. Ekkor az (A5) formul\'ab\'ol, illetve a $\mu=\summ_{k=0}^\infty\rho_k=\infty$ azonoss\'agb\'ol k\"ovetkezik, hogy $\eta=\limsupp_{n\to\infty}u_n=0$. Viszont mivel $u_n\ge0$ minden $n\ge0$ indexre, innen ad\'odik a $\limm_{n\to\infty}u_n=0$ rel\'aci\'o ebben az esetben. A $\mu<\infty$ esetben mutassuk meg el\H{o}sz\"or azt, hogy $\eta=\frac1\mu$. Az (A2) formul\'ab\'ol l\'athat\'o, hogy $0\le u_n\le1$ minden $n$ indexre. Alkalmazzuk az (A5) formul\'at az $N=n_j$ sz\'amokkal, ahol az $n_j$ sz\'amok a Propozici\'oban szerepl\H{o} indexeket jel\"olik, \'es tartsunk a $j$ index-szel v\'egtelenhez. Nem neh\'ez bel\'atni, felhaszn\'alva a $\limm_{j\to\infty}u_{n_j-k}\rho_k=\rho_k\eta$ rel\'aci\'ot minden fix $k$ indexre, hogy a $\mu=\summ_{k=0}^\infty \rho_k<\infty$ esetben a $j\to\infty$ hat\'ar\'atmenet az (A5) formul\'aban az $$ \eta(\rho_0+\rho_1+\cdots)=1 $$ azonoss\'aghoz vezet, ahonnan $\eta=\frac1\mu$. A T\'etel~A bizony\'{\i}t\'as\'anak befejez\'es\'ehez el\'eg azt megmutatni, hogy ak\'arhogy r\"og\-z\'{\i}\-t\"unk egy $\e>0$ sz\'amot nem lehet a pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok olyan $n_j$ r\'eszsorozat\'at tal\'alni, amelyre $\limm_{j\to\infty}u_{n_j}=\eta_0$ valamely $0\le \eta_0\le \eta-\e$ sz\'ammal. Val\'oban, ha lenne ilyen sorozat, akkor felhaszn\'alva azt, hogy $0\le u_n\le \eta+\frac\e{2\mu}$ $n\ge n_0$ eset\'eben alkalmas $n_0$ k\"usz\"obindex-szel, \'es $0\le u_n\le1$ minden $n$-re az (A5) formula baloldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'est a k\"ovetkez\H{o} m\'odon becs\"ulhetn\'enk fel\"ulr\H{o}l $N=n_j$ indexre el\'eg nagy $j$ sz\'amra. $$ \align &\rho_0u_N+\rho_1 u_{N-1}+\cdots+\rho_Nu_0 \\ &\qquad\le\(\eta_0+\frac\e{2\mu}\)\rho_0+(\rho_1+\dots+\rho_K) \(\eta+\frac\e{2\mu}\)+\sum_{j=K+1}^\infty\rho_j \\ &\qquad \le (\eta_0-\eta)+\eta\sum_{l=0}^K\rho_l +\frac\e{2\mu}\sum_{l=0}^K\rho_l+\frac\e4 \le -\e+1+\frac\e2+\frac\e4\le 1-\frac\e4, \endalign $$ ha el\H{o}sz\"or a $K$, majd att\'ol f\"ugg\H{o}en a $j$ indexet v\'alasztjuk el\'eg nagyra. A sz\'amol\'asban kihaszn\'aljuk az $\eta\mu=1$ \'es $\mu=\summ_{l=0}^\infty \rho_l$ azonoss\'agokat. A kapott egyenl\H{o}tlens\'eg ellentmond az (A5) rel\'aci\'onak. Ez\'ert a k\'{\i}v\'ant tulajdons\'ag\'u $\eta_0$ nem l\'etezik, hanem teljes\"ul a $\limm_{n\to\infty} u_n=\eta=\frac1\mu$ azonoss\'ag. A bizony\'{\i}t\'as befejez\'es\'ehez be kell m\'eg bizony\'{\i}tani a Propozici\'ot. Ennek \'erdek\'eben v\'alasszuk ki a pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok egy olyan $n_j$ r\'eszsorozat\'at, amelyre l\'etezik minden $k=0,\pm1,\pm2,\dots$ sz\'amra a $\limm_{j\to\infty} u_{n_j+k}=w_k$ hat\'ar\'ert\'ek, tov\'abb\'a $w_0=\eta=\limsupp_{n\to\infty} u_n$. Ilyen r\'eszsorozat l\'etezik. Val\'oban, mivel az $u_n$ sorozat korl\'atos, ez\'ert ki lehet v\'alasztani pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok egy olyan $n_1^{(0)},n^{(0)}_2,\dots$ r\'eszsorozat\'at, amelyre teljes\"ul a $\limm_{n\to\infty} u_{n_j^{(0)}}=\limsupp_{n\to\infty}u_n=\eta$ rel\'aci\'o. Ezut\'an szukcessz\'{\i}ve ki lehet v\'alasztani a term\'eszetes sz\'amok egym\'asba skatuly\'azott $n_1^{(l)},n^{(l)}_2,\dots$, r\'esz\-so\-ro\-za\-ta\-it minden $l=1,2,\dots$ sz\'amra \'ugy, hogy teljes\"ulj\"on a $\limm_{n\to\infty} u_{n_j^{(l)+k}}=w_k$ rel\'aci\'o minden $|k|\le l$ eg\'esz sz\'amra valamely $w_k$ hat\'ar\'ert\'ekkel. Ezut\'an a szok\'asos \'atl\'os elj\'ar\'assal megkaphatjuk a k\'{\i}v\'ant tulajdons\'ag\'u $u_{n_j}$ sorozatot. Azt \'all\'{\i}tom, hogy az \'{\i}gy kapott sorozat teljes\'{\i}ti a Propozici\'oban el\H{o}\'{\i}rt tulajdons\'agokat. Azt kell bel\'atni, hogy a Pro\-po\-zi\-ci\'o felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en $w_k=\eta$ minden $k=0,\pm1,\pm2,\dots$ sz\'amra. Az eddig bizony\'{\i}tott \'all\'{\i}t\'asokb\'ol csak az k\"ovetkezik, hogy $0\le w_k\le\eta$ minden $k=0,\pm1,\pm2,\dots$ sz\'amra, \'es $w_0=\eta$. Ahhoz, hogy a m\'eg bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'ast igazoljuk, el\H{o}sz\"or megmutatom, hogy teljes\"ul a $$ w_k=\summ_{l=1}^\infty f_lw_{k-l} \tag A6 $$ azonoss\'ag minden $k=0,\pm1,\pm2,\dots$ sz\'amra. Val\'oban, defini\'aljuk a $$ V^{(j)}_k=\left\{ \aligned &u_{n_j+k},\quad \text{ha } n_j+k\ge0\\ &0,\quad \text{ha } n_j+k<0 \endaligned \right. $$ sz\'amokat minden $j=1,2,\dots$ \'es $k=0,\pm1,\pm2,\dots$ indexre. Ekkor az (A2) formula alapj\'an $$ V^{(j)}_k=\summ_{l=1}^\infty f_l V^{(j)}_{k-l}, $$ \'es innen $j\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel megkapjuk az (A6) formul\'at. Megfogalmazom a k\"ovetkez\H{o} Lemmm\'at. \medskip\noindent {\bf Lemma.} {\it Legyen $w_k$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$, val\'os sz\'amok olyan sorozata, amely teljes\'{\i}ti az (A6) rel\'aci\'ot valamely az (A1) formul\'at kiel\'eg\'{\i}t\H{o} $f_k$ sorozattal. Legyen tov\'abb\'a $0\le w_k\le\eta$ minden $k=0,\pm1,\pm2,\dots$ indexre, $w_0=\eta$, \'es legyen az $\Cal A=\{j\:f_j>0\}$ halmazban szerepl\H{o} sz\'amok legnagyobb k\"oz\"os oszt\'oja 1. Ekkor $w_k=\eta$ minden $k=0,\pm1,\pm2,\dots$ indexre.} \medskip A Propozici\'o az (A6) rel\'aci\'o \'es a Lemma k\"ovetkezm\'enye. Ez\'ert elegend\H{o} a Lemm\'at bel\'atni. \medskip\noindent {\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Mivel az $f_k$ sorozat teljes\'{\i}ti az (A1) rel\'aci\'ot, \'es $0\le w_k\le w_0=\eta$ minden $k$ indexre, az (A6) formula adja $k=0$ v\'alaszt\'assal, hogy $w_{-k}=\eta$ minden $k\in \Cal A$ indexre. Ezut\'an az (A6) rel\'aci\'ot $k$, $-k\in\Cal A$, alak\'u sz\'amokra alkalmazva kapjuk, hogy $w_{-(k_1+k_2)}=\eta$, ha $k_1,k_2\in \Cal A$. Folytatva ezt az elj\'ar\'ast azt kapjuk, hogy minden $k=\alpha_1 k_1+\dots+\alpha_s k_s$ alak\'u line\'aris kombin\'aci\'ora, ahol $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok, \'es $k_1,\dots,k_s\in\Cal A$ igaz a $w_{-k}=\eta$ rel\'aci\'o. M\'asr\'eszt azt \'all\'{\i}tom, hogy mivel a $\Cal A$ halmazban lev\H{o} sz\'amok legnagyobb k\"oz\"os oszt\'oja 1, l\'etezik olyan $k_0$ k\"usz\"obindex, hogy minden $k\ge k_0$ sz\'am fel\'{\i}rhat\'o a fenti alak\'u $k=\alpha_1 k_1+\cdots+\alpha_s k_s$ line\'aris kombin\'aci\'ok\'ent. Val\'oban, alapvet\H{o} sz\'amelm\'eleti eredm\'enyek alapj\'an l\'eteznek olyan $a_1,\dots,a_j\in\Cal A$ sz\'amok, \'es $\beta_1,\dots,\beta_j$ eg\'esz, (nem felt\'etlen\"ul pozit\'{\i}v) egy\"utthat\'ok, amelyekre teljes\"ul a $\summ_{s=1}^j\beta_s a_s=1$ rel\'aci\'o. Legyen $A=a_1+\cdots+a_j$, \'es \'{\i}rjunk minden $k$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amot $k=tA+p$, $0\le p