\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight

\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\minn{\min\limits}
\define\maxx{\max\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script=cmcsc10


\medskip
\centerline{\bf FELT\'ETELES VAL\'OSZ\'IN\H{U}S\'EG \'ES
FELT\'ETELES V\'ARHAT\'O \'ERT\'EK}

\medskip\noindent
A felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek fogalm\'at nulla  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
be\-k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} felt\'etelek eset\'en is defini\'alj\'ak,
teh\'at olyan esetekben is, amikor a hagyom\'anyos, a bevezet\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as el\H{o}ad\'asban tanult
definici\'onak nincs \'ertelme. De e fogalmak
\'altal\'anos\'{\i}t\'asai az ilyen esetekre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as legnehezebb fogalmai
k\"oz\'e tartoznak. Ezek jobb meg\'ert\'ese \'erdek\'eben
meg\-pr\'o\-b\'a\-lom el\H{o}sz\"or megmutatni egy p\'elda
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy milyen szeml\'eletes k\'epet akarunk
ennek a definici\'onak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel megfogalmazni.
Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'at.

Van t\'{\i}z darab l\'amp\'ank, ezek \'elettartama egym\'ast\'ol
f\"uggetlen, (exponenci\'alis el\-osz\-l\'as\-sal \'es) 25 \'ora
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel. Egy foglalatba betessz\"uk az els\H{o}
l\'amp\'at, hogy bevil\'ag\'{\i}tson egy termet. Ha a l\'ampa
ki\'egett azonnal kicser\'elj\"uk a k\"ovetkez\H{o} l\'amp\'ara.
Els\H{o} k\'erd\'es: Mit v\'arunk v\'arunk, mennyi ideig
elegend\H{o} a t\'{\i}z l\'ampa egy\"uttesen a terem
bevil\'ag\'{\i}t\'as\'ahoz? A term\'eszetes v\'alasz az, hogy ez
a t\'{\i}z l\'ampa egy\"uttes \'elettartam\'anak a v\'arhat\'o
\'ert\'eke, azaz $10\times$25=250 \'ora. A m\'asodik k\'erd\'es
a k\"ovetkez\H{o}: Meg\-fi\-gyel\-j\"uk, hogy me\-lyik
id\H{o}\-pont\-ban cser\'elj\"uk ki a m\'asodik l\'amp\'at. Mit
v\'arunk ennek az inform\'aci\'onak az ismeret\'eben a t\'{\i}z
l\'ampa egy\"uttes \'elettartam\'ara? Ha ez a csere 48 \'ora 22
perc m\'ulva t\"ort\'enik meg, akkor a term\'eszetes becsl\'es
a 10 l\'ampa egy\"uttes \'elettartam\'ara 48 \'ora 22 perc plusz
$8\times25$ \'ora, azaz 248 \'ora 22 perc. Ha ez a csere 51 \'ora
19 perc m\'ulva t\"ort\'enik, akkor hasonl\'oan azt v\'arjuk, hogy
ez az id\H{o}tartam 251 \'ora 19 perc.

A fenti p\'elda nem \"onmaga miatt \'erdekes sz\'amunkra, hanem
az\'ert, mert r\'amutat arra, hogy term\'eszetes vizsg\'alni a
k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'est. Ha adva van egy esem\'eny vagy egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, akkor \'erdekelhet
minket ennek az esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege vagy
ennek a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'onak a
v\'arhat\'o \'ert\'eke. El\H{o}fordulhat, hogy m\'as
ese\-m\'e\-nyek\-nek a be\-k\"o\-vet\-ke\-z\'e\-s\'et vagy be nem
k\"ovetkez\'es\'et, m\'as val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
felvett \'ert\'ek\'et meg tudjuk figyelni, \'es ezen plusz
inform\'aci\'ok ismeret\'eben akarjuk megbecs\"ulni a minket
\'erdekl\H{o} esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et vagy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
Ekkor term\'eszetes olyan becsl\'est adni, amely ezeket a plusz
inform\'aci\'okat is figyelembe veszi. A k\'erd\'es az, hogy
hogyan tegy\"uk ezt. Az el\H{o}z\H{o} p\'eld\'aban is ilyen
k\'erd\'est fogalmaztam meg. Ott meg akartuk becs\"ulni t\'{\i}z
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et azon felt\'etel mellett, hogy az els\H{o}
k\'et v\'altoz\'o \"osszeg\'enek az \'ert\'eke
ismert. Olyan p\'eld\'at tekintett\"unk, ahol a megfigyelt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, az els\H{o} k\'et l\'ampa
\"ossz\'elettartama, folytonos eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ez\'ert nulla annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az egy el\H{o}\'{\i}rt
\'ert\'eket vesz fel. Teh\'at a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'ere olyan
felt\'etel mellett vagyunk kiv\'ancsiak, hogy egy nulla
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi esem\'eny k\"o\-vet\-ke\-zett be.
Viszont a bevezet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg el\H{o}ad\'asban
defini\'alt felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg (\'es
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek) csak abban az eset\-ben volt
\'ertelmes, ha a felt\'etel val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nem nulla.

Szeretn\'enk a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek fogalm\'anak olyan
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at adni, amely lehet\H{o}v\'e teszi,
hogy a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egr\H{o}l \'es
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ekr\H{o}l besz\'elhess\"unk nulla
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi felt\'etelek mellett is. Emellett
azt is elv\'arjuk, hogy a bevezetett fogalmak megfeleljenek
szeml\'eletes k\'ep\"unknek, amelyet, legal\'abbis egyel\H{o}re,
csak hom\'alyosan tudunk megfogalmazni. Lehets\'eges egy ilyen
definici\'ot adni, de ehhez sz\"uks\'eg\"unk van a
m\'ert\'ekelm\'elet n\'eh\'any m\'ely eredm\'eny\'ere. Ennek az
el\H{o}ad\'asnak a c\'elja a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
\'es v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'anak az ismertet\'ese az
\'altal\'anos esetben, illetve e fogalmak legfontosabb
tulajdons\'againak a t\'argyal\'asa.

Az el\H{o}z\H{o} p\'elda azt sugallja, hogy egy $A$ halmaz
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et felt\'eve bizonyos
$\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'ert\'ek\'et \'ugy \'erdemes defini\'alni, mint a
$\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
alkalmas (Borel) m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny\'et, azaz
$$
P(A|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)=f_A(x_1,\dots,x_k),
$$
ahol $f_A(x_1,\dots,x_k)$ Borel m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny az $R^k$
$k$-dimenzi\'os euklideszi t\'erben, \'es azt m\'eri mennyire
val\'osz\'{\i}n\H{u} az $A$ esem\'eny felt\'eve, hogy
$\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k$. Ezt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget
implicit m\'odon tudjuk defini\'alni. Azt v\'arjuk a
$P(A\cap B)=P(B)P(A|B)$ azonoss\'ag
anal\'ogi\'aj\'ara, hogy b\'armely $A$ halmazra \'es
$$
B=\{\oo\colon\; \xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in [x_1,x_1+dx_1]
\times\cdots\times[x_k,x_k+dx_k]\}
$$
alak\'u $B$ halmazra teljes\"ul a
$$
\align
&P\((\xi_1,\dots,\xi_k)\in [x_1,x_1+dx_1]\times\cdots\times
[x_k,x_k+dx_k] \cap A\)\\
&\qquad =P\((\xi_1,\dots,\xi_k)\in [x_1,x_1+dx_1]
\times\cdots\times [x_k,x_k+dx_k]) f_A(x_1,\dots,x_k\)
\endalign
$$
azonoss\'ag. Ez az azonoss\'ag azonban semmitmond\'o, mert annak
mind a k\'et oldala  null\'aval egyenl\H{o}. Vi\-szont tartalmas
\'all\'{\i}t\'ass\'a  v\'alhat, ha megfelel\H{o} m\'odon
kiintegr\'aljuk. Alkalmas integr\'al\'as azt su\-gall\-ja, hogy
teljes\"ulnie kell a
$$
\align
&P\(A\cap \{(\xi_1,\dots,\xi_k)\in B\}\)\\
&\qquad=\int_{(x_1,\dots,x_k)\in B}
f_A(x_1,\dots,x_k) P\(\xi_1\in [x_1,x_1+dx_1],\dots,\xi_k\in
[x_k,x_k+dx_k]\)\\
&\qquad=\int_{(x_1,\dots,x_k)\in B}
f_A(x_1,\dots,x_k) F(\,dx_1,\dots,\,dx_k) \tag$*$
\endalign
$$
azonoss\'agnak, ahol $B$ az $R^k$ $k$-dimenzi\'os t\'er
tetsz\H{o}leges (Borel) m\'erhet\H{o} halmaza, $F(x_1,\dots,x_k)$
pedig a $k$-dimenzi\'os $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye. Az
anal\'{\i}zis egyik fontos eredm\'eny\'eb\H{o}l, a k\'es\H{o}bb
ismertetend\H{o} Radon--Nikodym t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
l\'etezik olyan $f_A(\cdot,\cdot,\cdot)$ f\"uggv\'eny amely
teljes\'{\i}ti a $(*)$ azonoss\'agot minden m\'erhet\H{o} $B$
halmazra, \'es ezek az azonoss\'agok l\'e\-nye\-g\'e\-ben
egy\'ertelm\H{u}en meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak ezt az $f_A$
felt\'eteles va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eget. Az el\H{o}z\H{o}
mondatban haszn\'alt `l\'e\-nye\-g\'e\-ben egy\'ertelm\H{u}en'
kifejez\'es \'ertelm\'enek a pontos magyar\'azat\'ara k\'es\H{o}bb
m\'eg visszat\'erek.

Hasonl\'o gondolatmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alhatjuk egy
$\eta$, $E|\eta|<\infty$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$g_\eta(x_1,\dots,x_k)=E(\eta|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et felt\'eve a
$\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k$ felt\'eteleket. Ez olyan
(Borel-m\'erhet\H{o}) $g_\eta(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny,
amelyre az
$$
\aligned
E\eta(\oo) I\(\{\oo\colon\; (\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in B\}\)&
=\int_{\{\oo\colon\;(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in B\}}
\eta(\oo)\,dP(\oo)\\
&=\int_B g_\eta(x_1,\dots,x_k) F(dx_1,\dots,dx_k)
\endaligned  \tag $**$
$$
rel\'aci\'ok teljes\"ulnek a $k$-dimenzi\'os $R^k$ euklideszi t\'er
tetsz\H{o}leges $B$ Borel m\'erhet\H{o} r\'esz\-hal\-ma\-z\'a\-ra,
ahol $I(B)$ jel\"oli egy $B\subset\Omega$ halmaz indik\'ator
f\"uggv\'eny\'et, \'es $F(x_1,\dots,x_k)$ a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor eloszl\'asf\"uggv\'enye. Azt, hogy ilyen
$g_\eta(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny val\'oban l\'etezik, \'es ez a
$g_\eta$ f\"uggv\'eny az $F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
\'altal meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott Lebesgue--Stieltjes m\'ert\'ek
szerint egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel meg van hat\'arozva
szint\'en a Radon--Nikodym t\'etel se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel
l\'athatjuk be.

Meg fogom mutatni, hogy a fent v\'azolt logika \'es a Radon--Nikodym
t\'etel se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel bevezethetj\"uk a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
egy \'altal\'anos, \'es szem\-l\'e\-le\-tes elv\'ar\'asainknak
megfelel\H{o} definici\'oj\'at. S\H{o}t, ezeket a fogalmakat n\'emileg
\'altal\'anosabb esetben fogom defini\'alni. El\H{o}\-for\-dul\-hat
ugyanis, hogy azon el\H{o}zetes inform\'aci\'oink, amelyek alapj\'an
egy halmaz va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'e\-re vagy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ek\'ere becsl\'est
akarunk adni nem t\"om\"or\'{\i}thet\H{o}ek v\'eges sok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o megfigyelt \'ert\'ek\'ebe.
Annak \'erdek\'eben, hogy a felt\'eteles
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg \'es felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek fogalm\'at term\'eszetes m\'odon tudjuk t\'argyalni ilyen
\'altal\'anosabb esetben is, el\H{o}sz\"or azt kell tiszt\'aznunk,
hogy mit jelent az \'altal\'anos esetben az, hogy bizonyos megfigyelt
esem\'enyek f\"ugg\-v\'e\-nye\-k\'ent akarunk valamit megbecs\"ulni.

Ha meg tudunk figyelni megsz\'aml\'alhat\'o sok esem\'enyt, akkor
meg tudjuk figyelni ezek uni\'oj\'at, metszet\'et, illetve mindegyik
esem\'eny komplementer\'et. Ez azt jelenti, hogy a megfigyelhet\H{o}
esem\'enyek $\sigma$-algebr\'at alkotnak. Ez\'ert az \'altal\'anos
k\'erd\'es \'ugy fogalmazhat\'o meg, hogy adva egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n egy
$\Cal F\subset\Cal A$ $\sigma$-algebra, (amely tartalmazza az
\'altalunk megfigyelt esem\'enyeket, amelyek mindegyik\'er\H{o}l
tudjuk, hogy bek\"ovetkezett-e vagy sem) \'es egy $A$ esem\'eny
vagy egy $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre
$E|\eta|<\infty$, akkor hogyan defini\'aljuk a $P(A|\Cal F)(\oo)$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget illetve
$E(\eta|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket
felt\'eve az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'at. Az, hogy az $\Cal F$
$\sigma$-algebra ismeret\'eben akarjuk megbecs\"ulni az $A$
halmaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et illetve $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ek\'et a
$P(A|\Cal F)(\oo)$ \'es $E(\eta|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg definici\'oj\'aban azt jelenti, hogy

\medskip
\item{i.)} A $P(A|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\Cal F$ m\'erhet\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\item{i.$'$)} Az $E(\eta|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek $\Cal F$ m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o.

\medskip
Az $\Cal F$ $\sigma$-algebra szerinti felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
definici\'oj\'at a $(*)$ k\'eplethez vezet\H{o} \'ervel\'eshez
hasonl\'oan a k\"ovetkez\H{o} m\'odon pr\'ob\'aljuk defini\'alni a
$P(A|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget \'es
$E(\eta|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket.

\medskip
\item{ii.)} $P(A\cap B)= \int_B P(A|\Cal F)(\oo)\,dP(\oo)$
minden $\Cal F$ m\'erhet\H{o} $B$ halmazra.

\item{ii.$'$)} $\int_B \eta(\oo)\,dP(\oo)=
\int_B E(\eta|\Cal F)(\oo)\,dP(\oo)$ minden $\Cal F$
m\'erhet\H{o} $B$ halmazra.

Ezut\'an bevezetem a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'at az
\'altal\'anos esetben.

\medskip\noindent
{\bf A felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oja.} {\it Legyen adva egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}nek egy
$\Cal F\subset \Cal A$  r\'esz-$\sigma$-algebr\'aja. Legyen
tov\'abb\'a adva egy $A\in \Cal A$ esem\'eny vagy egy $\eta(\oo)$,
$E|\eta(\oo)|<\infty$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o ezen a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Az $A$ esem\'eny
$P(A|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege felt\'eve
a $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'at olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amely teljes\'{\i}ti az i.) \'es ii.)
tulajdons\'agokat. Az $\eta(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $E(\eta|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'eke felt\'eve a $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'at olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amely teljes\'{\i}ti az
i.$'$) \'es ii.$'$) tulajdons\'agokat.}

\medskip
Az el\H{o}z\H{o} definici\'o mint\'aj\'ara bevezetem az
el\H{o}ad\'as elej\'en t\'argyalt felt\'eteles
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg \'es felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek fogalm\'at felt\'eve bizonyos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'ert\'ekeinek az ismeret\'et.

\medskip\noindent
{\bf A felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oja felt\'eve bi\-zo\-nyos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'ert\'ek\'et.} {\it Legyen
adva egy $A$ esem\'eny vagy egy $\eta$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n valamint v\'eges sok $\xi_1,\dots,\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o ugyanezen a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Az $A$ esem\'eny felt\'eteles
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge felt\'eve, hogy $\xi_1=x_1$,\dots,
$\xi_k=x_k$ egy olyan $f_A(x_1,\dots,x_k)$ $k$-v\'altoz\'os Borel
m\'er\-he\-t\H{o} f\"uggv\'eny, amely teljes\'{\i}ti a $(*)$
rel\'aci\'ot. Egy $\eta$, $E|\eta|<\infty$, szint\'en az
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
mez\H{o}n defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eke felt\'eve, hogy
$\xi_1=x_1$,\dots, $\xi_k=x_k$ egy olyan $g_\eta(x_1,\dots,x_k)$
$k$-v\'altoz\'os Borel m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny, amely
teljes\'{\i}ti a $(**)$ rel\'aci\'ot.}

\medskip
Meg kell mutatni, hogy a fenti tulajdons\'agokkal rendelkez\H{o}
$P(A|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es
$E(\xi|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek val\'oban
l\'etezik, illetve, hogy ezek a tulajdons\'agok meghat\'arozz\'ak
\H{o}ket. Meg fogom mutatni, hogy ez k\"ovetkezik az al\'abb
megfogalmazand\'o  Radon--Nikodym t\'etelb\H{o}l.
Ezenk\'{\i}v\"ul meg k\'{\i}v\'anjuk \'erteni az \'altal\'anos
eset\-ben definini\'alt $P(A|\Cal F)$ illetve $E(\eta|\Cal F)$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek kapcsolat\'at az el\H{o}z\H{o}leg speci\'alis esetben
defini\'alt $P(A|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$ \'es
$E(\eta|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$ kifejez\'esekkel, amelyek
l\'etez\'es\'et szint\'en meg kell indokolni.

El\H{o}sz\"or megfogalmazok egy k\'erd\'est, amelyre a
Radon--Nikodym t\'etel ad v\'alaszt. Erre az eredm\'enyre
sz\"uks\'eg\"unk van a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg 
\'es v\'arhat\'o \'ert\'ek l\'etez\'es\'enek az indokl\'as\'aban 
is.

\medskip\noindent
{\bf K\'erd\'es.} {\it Legyen adva egy $\mu$ ($\sigma$-v\'eges)
m\'ert\'ek egy $(\Omega,\Cal F)$ m\'erhet\H{o} t\'eren \'es egy
az $(\Omega,\Cal F)$ t\'eren defini\'alt $\Cal F$ m\'erhet\H{o}
$g(\cdot)$ f\"uggv\'eny, amelyre $\int |g(\oo)|\,\mu(\,d\oo)<\infty$.
Ekkor a $\nu(A)=\int_A g(\oo)\mu(\,d\oo)$ halmazf\"uggv\'eny,
$A\in\Cal F$, el\H{o}jeles m\'ert\'ek az $(\Omega,\Cal F)$ t\'eren.
(Azaz, $\nu$ $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny. L\'assuk be,
hogy ez k\"ovetkezik a Lebesgue t\'etelb\H{o}l.) K\'erd\'es:
Mely $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ekek \'all\'{\i}that\'oak el\H{o}
ilyen m\'odon, azaz az $(\Omega,\Cal F)$ t\'eren lev\H{o} $\nu$
m\'ert\'ekek k\"oz\"ul melyekhez l\'etezik olyan $g(\oo)$ $\Cal F$
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny, amelyre $\nu(A)=\int_A g(\oo)\nu(\,d\oo)$
minden $A\in\Cal F$ halmazra?  Ha l\'etezik ilyen $g(\oo)$
f\"uggv\'eny, akkor az meg van-e ha\-t\'a\-roz\-va
egy\'ertelm\H{u}en?}

\medskip
Vil\'agos, hogy egy a fenti integr\'alel\H{o}\'all\'{\i}t\'as
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alhat\'o $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek
v\'eges, azaz $|\nu(A)|\le K$ minden $A\in\Cal F$ halmazra egy
alkalmas $K<\infty$ sz\'ammal. (A $K=\int |g(\oo)|\mu(\,d\oo)$ egy
alkalmas v\'alaszt\'as.) Ezenk\'{\i}v\"ul, ha $\mu(A)=0$ valamely
$A\in\Cal F$ halmazra, akkor $\nu(A)=\int_A g(\oo)\mu(\,d\oo)=0$.
Ez az \'eszrev\'etel vezetett a k\"ovetkez\H{o} definici\'o
bevezet\'es\'ehez.

\medskip\noindent
{\bf Egy el\H{o}jeles m\'ert\'ek egy m\'ert\'ek szerinti
abszolut folytonoss\'ag\'anak a de\-fi\-ni\-ci\'o\-ja.} {\it Legyen
$\mu$ (esetleg $\sigma$)-v\'eges ($\sigma$-addit\'{\i}v) m\'ert\'ek
\'es $\nu$ v\'eges ($\sigma$-addit\'{\i}v) el\H{o}jeles m\'ert\'ek
egy $\Omega$ t\'eren \'ertelmezett $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'an. Azt
mondjuk, hogy a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek abszolut foly\-to\-nos
a $\mu$ m\'ert\'ek szerint, ha minden olyan $B\in\Cal F$ halmazra,
amelyre $\mu(B)=0$ a $\nu(B)=0$ rel\'aci\'o is teljes\"ul.}

\medskip
A Radon--Nikodym t\'etel azt mondja ki, hogy a $\nu$ 
el\H{o}jeles m\'ert\'ek fent megfogalmazott abszolut 
folytonoss\'aga (\'es v\'egess\'ege) nemcsak sz\"uks\'eges, 
hanem el\'egs\'eges felt\'etele is $\nu$ k\'{\i}v\'ant alak\'u 
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'anak. Tov\'abb\'a ez az 
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as l\'enyeg\'eben egy\'ertelm\H{u}. Ez a 
k\"ovetkez\H{o}t jelenti. Vil\'agos, hogy ha a $g(\oo)$ 
f\"uggv\'enyt megv\'altoztatjuk egy a $\mu$ m\'ert\'ek szerint null 
m\'ert\'ek\H{u} halmazon, akkor a $\nu(A)=\int_A g(\oo)\mu(\,d\oo)$ 
integr\'alok \'ert\'ekei nem v\'altoznak. Teh\'at ennyi 
szabads\'agunk van a $g(\cdot)$ f\"uggv\'eny 
megv\'alaszt\'as\'aban. A Radon--Nikodym t\'etel azt is kimondja, 
hogy t\"obb szabads\'agunk m\'ar nincs. V\'eg\"ul szeretn\'em 
hangs\'ulyozni, hogy a Radon--Nikodym t\'etelben megjelen\H{o} 
$g(\cdot)$ f\"uggv\'eny {\it $\Cal F$ m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny.} 
Ezt az\'ert fontos \'erteni, mert sok esetben olyan 
$(\Omega,\Cal F)$ t\'erben al\-kal\-maz\-zuk a Radon--Nikodym 
t\'etelt, ahol term\'eszetes m\'odon megjelenik az $\Cal F$ 
$\sigma$ algebra mellett egy szint\'en az $X$ t\'eren
defini\'alt b\H{o}vebb $\Cal A$ $\sigma$-algebra is,
amelyre $\Cal F\subset \Cal A$. Fontos \'erteni, hogy olyan 
$g(\cdot)$ f\"uggv\'enyeket tekint\"unk ilyen esetekben is, 
amelyek a (sz\H{u}kebb) $\Cal F$ $\sigma$-algebra szerint is 
m\'erhet\H{o}ek.

\medskip\noindent
{\bf Radon--Nikodym t\'etel.} {\it Legyen adva egy $\Omega$ t\'er,
rajta egy $\Cal F$ $\sigma$-algebra, tov\'abb\'a ezen az $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'an egy $\mu$ ($\sigma$-v\'eges) m\'ert\'ek \'es
$\nu$ (v\'eges) el\H{o}jeles m\'ert\'ek. (Az, hogy egy $\nu$
el\H{o}jeles m\'ert\'ek v\'eges azt jelenti, hogy 
$|\nu(A)|<\infty$ minden $A\in\Cal F$
halmazra.) Tegy\"uk fel, hogy a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek
abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve. Akkor l\'etezik
olyan az $\Omega$ t\'eren defini\'alt val\'os \'ert\'ek\H{u}
$\Cal F$ m\'erhet\H{o} $f(\oo)$ f\"uggv\'eny, amelyre
$\int|f(\oo)|\,d\mu(\oo)<\infty$, \'es
$\nu(C)=\int_C f(\oo)\,d\mu(\oo)$ minden $C\in\Cal F$ halmazra.
Tov\'abb\'a ez az $f(\oo)$ f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u}en meg van
hat\'arozva a k\"ovetkez\H{o} \'ertelemben. Ha k\'et $f_1(\oo)$
\'es $f_2(\oo)$ $\Cal F$ m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti
a fenti rel\'aci\'ot minden $C\in\Cal F$ halmazra, akkor
$f_1(\oo)=f_2(\oo)$ a $\mu$ m\'ert\'ek szerint majdnem minden
$\oo\in\Omega$ pontban.}

\medskip
A t\'etelben kimondott tulajdons\'ag\'u $f(\oo)$ f\"uggv\'enyt a
$\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek $\mu$ m\'ert\'ek szerinti
Radon--Nikodym deriv\'altj\'anak nevezik az irodalomban, \'es
$\frac{d\nu}{d\mu}(\oo)$-val jel\"olik.

\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Legyen adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, azon egy $\Cal F\subset\Cal A$
$\sigma$-algebra, \'es egy $\eta(\oo)$, $E|\eta(\oo)|<\infty$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o vagy $A\in\Cal A$ esem\'eny.
L\'etezik a definici\'o k\"ovetelm\'enyeit teljes\'{\i}t\H{o}
$E(\eta|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek, illetve
$P(A|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg, \'es az
$E(\eta|\Cal F)(\oo)$ illetve $P(A|\Cal F)(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel meg van hat\'arozva.}

\medskip\noindent
{\it A k\"ovetkezm\'eny indokl\'asa.} Tekints\"uk a $\nu$,
$\nu(B)=\int_B\eta(\oo)\,dP(\oo)$, $B\in\Cal F$, illetve $\bar\nu$,
$\bar\nu(B)=P(A\cap B)$, $B\in \Cal F$, el\H{o}jeles m\'ert\'ekeket
valamint a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket az
$(\Omega,\Cal F)$ m\'erhet\H{o} t\'eren. (Fontos, hogy az
$\Cal F\subset\Cal A$ \'es nem az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at
te\-kint\-j\"uk.) Mind a $\nu$, mind a $\bar\nu$ m\'ert\'ek abszolut
folytonos a $P$ m\'ert\'ekre n\'ezve. Ez\'ert a Radon--Nikodym
t\'etel alapj\'an defini\'alhatjuk a $\nu$, illetve $\bar\nu$
el\H{o}jeles m\'ert\'ekek $\frac{d\nu}{dP}(\oo)$, illetve
$\frac{d\bar\nu}{dP}(\oo)$ Radon--Nikodym deriv\'altj\'at az
$(\Omega,\Cal F)$ t\'eren. Ekkor az
$E(\eta|\Cal F)(\oo)=\frac{d\nu}{dP}(\oo)$ \'es
$P(A|\Cal F)(\oo)=\frac{d\bar\nu}{dP}(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik az
$E(\eta|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ekre illetve
$P(B|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre
el\H{o}\'{\i}rt felt\'eteleket.
Az, hogy a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel meg
van hat\'arozva, k\"onnyen l\'athat\'o. Azt kell kihaszn\'alni,
hogy ha egy az $(\Omega,\Cal F,P)$ t\'eren defini\'alt $\Cal F$
m\'erhet\H{o} $\zeta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora
$\int_B\zeta(\oo)\,dP(\oo)=0$ minden $B\in\Cal F$ halmazra, akkor
a $\zeta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nulla. Innen k\"ovetkezik, hogy
ha $\zeta_1$ \'es $\zeta_2$ teljes\'{\i}ti az $E(\eta|\Cal F)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ekre el\H{o}\'{\i}rt felt\'eteleket
akkor a $\zeta_1(\oo)-\zeta_2(\oo)$ k\"ul\"onbs\'eg egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nulla.

\medskip \noindent
{\it 1. megjegyz\'es:}\/  Legyen adva egy $(\Omega, \Cal A)$
m\'erhet\H{o} t\'er, azon egy ($\sigma$-addit\'{\i}v) $\mu$
m\'ert\'ek. A Radon--Nikodym t\'etelben egy hasznos
reprezent\'aci\'oj\'at adtuk a $\mu$ m\'ert\'ek szerint abszolut
folytonos $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'eknek. L\'eteznek a $\mu$
m\'ert\'ek szerint nem abszolut folytonos el\H{o}jeles m\'ert\'ekek
is. Vannak p\'eld\'aul \'ugynevezett a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve
szingul\'aris (el\H{o}jeles) m\'ert\'ekek, amelyek egy a $\mu$
m\'ert\'ek szerint nulla m\'ert\'ek\H{u} halmazba vannak
koncentr\'alva. Ez azt jelenti, hogy l\'etezik az $\Omega$ t\'ernek
olyan $X\subset \Omega$ r\'eszhalmaza, amelyre $\mu(X)=0$, \'es
minden $B\subset \Omega\setminus X$ halmazra $\nu(B)=0$.
Tetsz\H{o}leges $\nu$ v\'eges el\H{o}jeles m\'ert\'ek az
$(\Omega,\Cal A)$ t\'eren egy\'ertelm\H{u}en felbonthat\'o
$\nu=\nu_1+\nu_2$ alakban, ahol $\nu_1$ a $\mu$ m\'ert\'ek
szerint  abszolut folytonos, $\nu_2$ pedig a $\mu$ m\'ert\'ekre
szingul\'aris el\H{o}jeles m\'ert\'ek.

Tekints\"uk azt a speci\'alis esetet, amikor $\mu$ a Lebesgue
m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen. Ekkor a $\mu$ m\'ert\'ekre
szingul\'aris m\'ert\'ekre p\'elda egy v\'eges vagy
megsz\'aml\'alhat\'o sok pontba koncentr\'alt m\'ert\'ek. Vannak
bonyolultabb a Lebesgue m\'ert\'ekre szingul\'aris
m\'ert\'ekek is, olyanok, amelyek szerint minden pont m\'ert\'eke
nulla. A szingul\'aris m\'er\-t\'e\-kek min\'el pontosabb
le\'{\i}r\'asa fontos k\'erd\'ese a m\'ert\'ekelm\'eletnek. De
mivel ez nem tar\-to\-zik a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
t\'emak\"or\'ebe, ez\'ert ezzel a probl\'em\'aval itt nem
foglalkozunk.

\medskip \noindent
{\it 2. megjegyz\'es:}\/ A Radon--Nikodym t\'etel tipikus
egzisztencia t\'etel. Nem ismert explicit m\'odszer a Radon--Nikodym
deriv\'alt kisz\'amol\'as\'ara az \'altal\'anos esetben. Ez a f\H{o}
oka annak, hogy a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel \'es
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ekkel csak nehezen tudunk
sz\'amolni. Van azonban egy fontos speci\'alis eset, amikor a
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel \'es felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ekekkel j\'ol tudunk sz\'amolni. Ha olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggv\'enyeivel dolgozunk,
amelyeknek l\'etezik egy\"uttes s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es
azt ismerj\"uk, akkor explicit m\'odon ki tudjuk sz\'amolni a minket
\'erdekl\H{o} felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket \'es
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ekeket. (A
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny ismerete \'ugy \'ertend\H{o} ebben az
esetben, hogy mindazon val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
egy\"uttes s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et ismerj\"uk, amelyek
vagy a felt\'etelben szerepelnek vagy a vizsg\'aland\'o esem\'eny
vagy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o t\H{o}l\"uk f\"ugg.)
A matematikai statisztik\'aban ilyen jelleg\H{u} probl\'em\'akkal
tal\'alkozunk. Erre a k\'erd\'esre k\'es\H{o}bb m\'eg visszat\'erek.


\medskip
A $g_\eta(x_1,\dots,x_k)=E(\eta|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek l\'etez\'es\'et az
$E(\eta|\Cal F)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
l\'etez\'es\'ehez hasonl\'oan igazolhatjuk, csak ekkor m\'as
$\mu$ m\'ert\'ekkel \'es $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ekkel kell
dolgozunk. Ekkor mind a $\mu$ m\'ert\'eket mind a $\nu$
el\H{o}jeles m\'ert\'eket az $R^k$ $k$-dimenzi\'os euklideszi t\'er
Borel m\'erhet\H{o} halmazain defini\'aljuk. A $\mu$ m\'ert\'ek
a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor eloszl\'asa az $R^k$ t\'er
$B\in\Cal B$ Borel m\'erhet\H{o} r\'esz\-hal\-ma\-za\-in, azaz
$\mu(B)=P((\xi_1,\dots,\xi_k)\in B)$, $B\in \Cal B$, \'es
$$
\nu(B)=\int_{\{\oo\colon\; (\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in B\}}
\eta(\oo)\,dP(\oo)
$$
minden $B\in \Cal B$ halmazra. A Radon--Nikodym t\'etel alapj\'an
l\'etezik olyan $g_\eta(x_1,\dots,x_k)$ Borel m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'eny a $k$-dimenzi\'os euklideszi t\'eren, amelyre
$$
\nu(B)=\int_B g_\eta(x_1,\dots,x_k)\mu(\,dx_1,\dots,\,dx_k),
\quad B\in\Cal B.
$$
Be lehet l\'atni, hogy ez a $g_\eta$ f\"uggv\'eny a
$g_\eta(x_1,\dots,x_k)=E(\eta|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek, azaz $g_\eta(x_1,\dots,x_k)$
egy olyan Borel m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny, amely teljes\'{\i}ti a
$(**)$ rel\'aci\'ot minden $B\in \Cal B$ halmazra. Val\'oban,
$$
\int_B g_\eta(x_1,\dots,x_k)\mu(\,dx_1,\dots,\,dx_k)
=\int_B g_\eta(x_1,\dots,x_k)\,dF(x_1,\dots,x_k),
$$
ahol $F(x_1,\dots,x_k)$ a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye, \'es $\nu(B)$ a $(**)$ baloldal\'an
szerepl\H{o} mennyis\'eg. Tov\'abb\'a azt sem neh\'ez bel\'atni,
hogy a $g_\eta(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny a $\xi_1,\dots,\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\mu$ eloszl\'asa szerint
1 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel meg van hat\'arozva.

A felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg fogalm\'aval nem kell
k\"ul\"on foglalkoznunk, mert a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
definici\'oj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy tetsz\H{o}leges
m\'er\-he\-t\H{o} $A$ halmazra \'es annak $I_A(\oo)$ indik\'ator
f\"uggv\'eny\'ere $P(A|\Cal F)(\oo)=E(I_A(\oo)|\Cal F)(\oo)$ \'es
$P(A|\xi_1(\oo)=x_1,\dots,\xi_k(\oo)=x_k)
=E(I_A(\oo)|\xi_1(\oo)=x_1,\dots,\xi_k(\oo)=x_k)$.

\medskip
Meg k\'{\i}v\'anom t\'argyalni az $E(\eta|\Cal F)(\oo)$ \'es
$$
g_\eta(x_1,\dots,x_k)=E(\eta|\xi_1(\oo)=x_1,\dots,\xi_k(\oo)=x_k)
$$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ekek k\"oz\"otti kapcsolatot
abban az esetben, ha $\Cal F=\sigma(\xi_1,\dots,\xi_k)$, a
$\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'altal gener\'alt $\sigma$-algebra, azaz a legsz\H{u}kebb olyan
$\sigma$-algebra, amelyre n\'ezve az \"osszes
$\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o m\'erhet\H{o} f\"ugg\-v\'eny. A k\'et fogalom
k\"oz\"otti kapcsolatot a k\"ovetkez\H{o} t\'etelben
fogalmazom meg.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
k\"ul\"onb\"oz\H{o} definici\'oi k\"oz\"otti kapcsolatr\'ol.}
{\it Legyen adva v\'eges sok $\xi_1,\dots,\xi_k$ valamint rajtuk
k\'{\i}v\"ul egy $\eta$, $E|\eta|<\infty$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, \'es jel\"olje $\Cal F$ a
$\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'at. Tekints\"uk
a kor\'abban defini\'alt $E(\eta|\Cal F)$ \'es
$g_\eta(x_1,\dots,x_k)=E(\eta|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ekeket. Ezek teljes\'{\i}tik az
al\'abbi azo\-nos\-s\'a\-got.
$$
E(\eta|\Cal F)(\oo)=g_\eta(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)) \quad
\text{1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.}
$$
}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Az egyszer\H{u}s\'eg \'es \'attekinthet\H{o}bb
fogalmaz\'as \'erdek\'eben csak v\'eges sok $\xi_1,\dots,\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eset\'eben defini\'altam a
fel\-t\'e\-te\-les val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget \'es fel\-t\'e\-te\-les
v\'arhat\'o \'ert\'eket a $\xi_1=x_1$,\dots, $\xi_k=x_k$ alak\'u
felt\'etelek mellett. Defini\'alhattam volna e fogalmakat akkor is,
ha a felt\'etelek v\'egtelen sok val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o el\H{o}\'{\i}rt \'ert\'ekeit tartalmazz\'ak, \'es
megfogalmazhattam volna a megfelel\H{o} eredm\'enyeket ebben az
esetben is. A megfogalmaz\'as \'es jel\"ol\'es ekkor bonyolultabb
lett volna, de nem l\'epett volna fel \'uj matematikai neh\'ezs\'eg.

\medskip
A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa felhaszn\'al bizonyos
m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyeket, amelyeket az al\'abbi
t\'etelben fogalmazok meg. E t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at a
kieg\'esz\'{\i}t\'esben adom meg.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'enyeinek a jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen adva egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, \'es azon
$\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok. Jel\"olje $\Cal F$ a $\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebr\'at. Egy $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o akkor \'es csak akkor m\'erhet\H{o} erre az $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'ara, ha l\'etezik a $k$-dimenzi\'os $R^k$
euklideszi t\'erben olyan Borel m\'erhet\H{o}
$f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny, amelyre
$\eta(\oo)=f(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$. Abban a speci\'alis
esetben, amikor $\eta(\oo)$ egy $B\in\Cal F$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'enye az
$\eta(\oo)=f(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$ 
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asban szerepl\H{o} $f$ f\"uggv\'eny 
v\'alaszthat\'o az $R^k$ Euklideszi t\'er  Borel--m\'erhet\H{o}
$B_1$ halmz\'anak indik\'ator f\"uggv\'enyek\'ent. Tov\'abb\'a, 
ha k\'et $k$-v\'altoz\'os $f_1(x_1,\dots,x_k)$ \'es 
$f_2(x_1,\dots,x_k)$ Borel m\'erhet\H{o} f\"uggv\'enyre
$f_1(\xi_1,\dots,\xi_k)=f_2(\xi_1,\dots,\xi_k)$ egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel, akkor
$f_1(x_1,\dots,x_k)=f_2(x_1,\dots,x_k)$ a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor $\mu$ eloszl\'asa szerint majdnem minden
$(x_1,\dots,x_k)$ pontban.}

\medskip\noindent
{\it A  felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek k\"ul\"onb\"oz\H{o}
definici\'oi k\"oz\"otti kapcsolatr\'ol sz\'ol\'o t\'etel
bizony\'{\i}t\'asa.} Mind az $E(\eta|\Cal F)(\oo)$ mind a
$g_\eta(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $\Cal F$ m\'erhet\H{o}. Ez\'ert el\'eg azt igazolni,
hogy $g_\eta(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$ teljes\'{\i}ti a
ii.$')$ rel\'aci\'ot. Ez ugyanis azt jelenti, hogy ezt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot is tekinthetj\"uk az
$E(\eta|\Cal F)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek egyik
verzi\'oj\'anak.

A kiv\'ant \'all\'{\i}t\'as igazol\'as\'anak \'erdek\'eben
tekints\"uk az $\Omega$ halmaz k\"ovetkez\H{o} $T$
transz\-for\-m\'a\-ci\'o\-j\'at az $R^k$ euklideszi t\'erbe:
$T(\oo)=(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$T$ m\'ert\'ektart\'o transzform\'aci\'oja az $(\Omega,\Cal A,P)$
t\'ernek az $(R^k,\Cal B^k,\mu_F)$ t\'erbe, ahol $\mu_F$ a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ vektor eloszl\'asa. Tov\'abb\'a
a {\it val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'enyeinek a jellemz\'es\'er\H{o}l} sz\'ol\'o t\'etel
alapj\'an minden $B\in\Cal F$ halmaz
$B=\{\oo\colon\;(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in B_1\}$ alakba
\'{\i}rhat\'o alkalmas $B_1$ Borel m\'erhet\H{o} halmazzal.
Ez\'ert a m\'ert\'ektart\'o transzform\'aci\'ok \'altal
induk\'alt in\-teg\-r\'al\-transz\-for\-m\'a\-ci\'ok
tu\-laj\-don\-s\'a\-gai\-b\'ol \'es a $(**)$ rel\'aci\'ob\'ol
k\"ovetkezik, hogy tetsz\H{o}leges
$B\in\Cal F$ \'es neki megfelel\H{o} $B_1$ halmazra
$$
\align
&\int_B g_\eta(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\,dP(\oo)
=\int_{\{\oo\colon\;(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)\in B_1\}}
g_\eta(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\,dP(\oo)\\
&\qquad=\int_{B_1} g_\eta(x_1,\dots,x_k)\,d\mu_F(x_1,\dots,x_k)\\
&\qquad=\int_{\{\oo\colon\;(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)\in B_1\}}
\eta(\oo)\,dP(\oo)=\int_B\eta(\oo)\,dP(\oo).
\endalign
$$
Ez azt jelenti, hogy
$$
E(\eta|F)(\oo)=g_\eta(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))
$$
v\'alaszt\'assal teljes\"ul a ii.$')$ rel\'aci\'o.

\medskip
L\'attuk, hogy ha $\Cal F$ valamely $\xi_1,\dots,\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebra, akkor egy $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $E(\eta|\Cal F)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eke
kifejezhet\H{o} a
$g_\eta(x_1,\dots,x_k)=E(\eta|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$
$k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
Megford\'{\i}tva, a $g_\eta(x_1,\dots,x_k)$  f\"uggv\'eny is
el\H{o}\'all\'{\i}that\'o az $E(\eta|\Cal F)$ felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ugyanis a
{\it val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'enyeinek a jellemz\'es\'er\H{o}l}\/ sz\'ol\'o t\'etel
alapj\'an az $E(\eta|\Cal F)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
fel\'{\i}rhat\'o $E(\eta|\Cal F)=h(\xi_1,\dots,\xi_k)$ alakban
alkalmas Borel m\'erhet\H{o} $h(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, \'es nem neh\'ez bel\'atni, hogy ez a
$h(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny v\'alaszthat\'o a
$g_\eta(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'enynek.


\medskip\noindent
{\it P\'elda:}\/ A felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
definici\'oj\'anak jobb meg\'ert\'ese \'erdek\'eben tekints\"uk a
k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'at: Legyen az $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} az $\Omega=[0,1]\times[0,1]$
egys\'egn\'egyzet, rajta a szok\'asos $\Cal A$ Borel
$\sigma$-algebr\'aval, \'es legyen $P=\lambda$, a Lebesgue m\'ert\'ek
az egys\'egn\'egyzet Borel-m\'erhet\H{o} r\'esz\-hal\-ma\-za\-in.
Legyen $\Cal F$ az $A\times [0,1]$, $A\in\Cal B_1$ alak\'u
halmazokb\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra, ahol $\Cal B_1$ a $[0,1]$
intervallumon gener\'alt $\sigma$-algebr\'at jel\"oli. Tekints\"unk
egy tetsz\H{o}leges (m\'erhet\H{o} \'es integr\'alhat\'o) $f(x,y)$
f\"uggv\'enyt az egy\-s\'eg\-n\'egy\-ze\-ten (az $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n), \'es sz\'amoljuk ki az
$E(f(x,y)|\Cal F)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket az
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n.

Ha az $f(x,y)$ f\"uggv\'eny val\'oban f\"ugg mind a k\'et
v\'altoz\'oj\'at\'ol, akkor nem $\Cal F$ m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny.
Viszont de\-fi\-ni\-\'al\-juk a $g_0(x)=\int_0^1 f(x,y)\,dy$ \'es
$g(x,y)=g_0(x)$ f\"uggv\'enyeket. (A $g(x,y)$ f\"uggv\'eny
va\-l\'o\-j\'a\-ban nem f\"ugg az $y$ koordin\'at\'ol, viszont
tekinthet\H{o} egy az $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n defini\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak, \'es mivel nem f\"ugg az
$y$ koordin\'at\'ol (\'es Borel m\'erhet\H{o}), ez\'ert $\Cal F$
m\'erhet\H{o}. Azt \'all\'{\i}tom, hogy $E(f(x,y)|\Cal F)=g(x,y)$.
Ehhez azt kell ellen\H{o}rizni, hogy
$\int_{A\times [0,1]}g(x,y)\,dx\,dy=
\int_{A\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy$. Viszont
$$
\int_{A\times [0,1]}g(x,y)\,dx\,dy=
\int_Ag_0(x)\,dx=\int_A\(\int_0^1 f(x,y)\,dy\)\,dx=
\int_{A\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy,
$$
amint \'all\'{\i}tottuk.

\medskip\noindent
{\it Az el\H{o}z\H{o} p\'elda m\'odos\'{\i}tott v\'altozata:}\/
Legyen az $(\Omega,\Cal A, P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}
az $\Omega=[0,1]\times[0,1]$ egys\'egn\'egyzet, rajta a szok\'asos
$\Cal A$ Borel $\sigma$-algebr\'aval. R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy olyan
$h(x,y)$ f\"uggv\'enyt az egys\'egn\'egyzeten, amelyre $h(x,y)\ge0$
minden $(x,y)$ pontban, $\int_0^1\int_0^1 h(x,y)\,dx\,dy=1$, \'es
legyen a $P$ m\'ert\'ek az egys\'egn\'egyzeten a Lebesgue m\'ert\'ek
sze\-rint $h(x,y)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o}
m\'ert\'ek, azaz legyen $P(B)=\int_B h(x,y)\,dx\,dy$ az
egys\'egn\'egyzet minden Borel-m\'erhet\H{o} $B$
r\'esz\-hal\-ma\-z\'an. Legyen $\Cal F$ az $A\times [0,1]$ alak\'u
halmazokb\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra, ahol $A\in\Cal B_1$, \'es
$\Cal B_1$ a $[0,1]$ intervallumon gener\'alt $\sigma$-algebr\'at
jel\"oli. Tekints\"unk egy tetsz\H{o}leges (m\'erhet\H{o} \'es a
$P$ m\'ert\'ek szerint integr\'alhat\'o) $f(x,y)$ f\"uggv\'enyt az
egys\'egn\'egyzeten, \'es sz\'amoljuk ki az $E(f(x,y)|\Cal F)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n.

\medskip\noindent
{\it A m\'odos\'{\i}tott p\'eld\'aban felvetett probl\'ema
megold\'asa.} A keresett felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek a
k\"ovetkez\H{o}: De\-fi\-ni\-\'al\-juk a
$$
g_0(x)=\int_0^1 f(x,y)\frac{h(x,y)}{\int_0^1 h(x,z)\,dz}\,dy
=\frac{\int_0^1 f(x,y)h(x,y)\,dy}{\int_0^1 h(x,y)\,dy}
$$
\'es $g(x,y)=g_0(x)$ f\"uggv\'enyeket. Azt \'all\'{\i}tom, hogy a
$g(x,y)$ f\"uggv\'eny a keresett felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek.
Ez a f\"uggv\'eny nem f\"ugg az $y$ koordin\'at\'ol, \'{\i}gy
$\Cal F$ m\'erhet\H{o}. Azt \'all\'{\i}tom, hogy
$E(f(x,y)|\Cal F)=g(x,y)$. Azt kell ellen\H{o}rizni, hogy
$\int_{A\times [0,1]}g(x,y)h(x,y)\,dx\,dy=
\int_{A\times [0,1]}f(x,y)h(x,y)\,dx\,dy$ minden m\'erhet\H{o}
$A\subset[0,1]$ halmazra. Viszont
$$
\align
&\int_{A\times [0,1]}g(x,y)h(x,y)\,dx\,dy=
\int_A\(\int_0^1 h(x,y)\,dy\) g_0(x)\,dx\\
&\qquad=\int_A\(\int_0^1 f(x,y)h(x,y)\,dy\)\,dx
=\int_{A\times [0,1]}f(x,y)h(x,y)\,dx\,dy,
\endalign
$$
amint \'all\'{\i}tottam. A kapott eredm\'eny megfelel szeml\'eletes
k\'ep\"unknek, amely szerint r\"ogz\'{\i}tett $x_0$ sz\'amra az
$E(f(x,y)|x=x_0)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket \'ugy
sz\'amolhatjuk ki, hogy az $f(x_0,y)$ f\"uggv\'enyt kiintegr\'aljuk
az $y$ v\'altoz\'o szerint, de nem a $h(x_0,y)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, hanem ennek normaliz\'altja a
$\frac{h(x_0,y)}{\int_0^1 h(x_0,y)\,dy}$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny szerint. K\'es\H{o}bb t\'argyalni
fogok olyan eredm\'enyeket, amelyek az itt kapott k\'epletet
speci\'alis esetk\'ent tartalmazz\'ak.

\medskip
K\"ovetkez\H{o} t\'em\'ank a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
legfontosabb tulajdons\'againak is\-mer\-te\-t\'e\-se, \'es az,
hogy hogyan lehet a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ekekkel
sz\'amolni.

Az al\'abbi t\'etelben felsorolom a felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek legfontosabb tulajdons\'agait. \'Erdemes \'eszrevenni,
hogy ezek a tulajdons\'agok megfelelnek szeml\'eletes
k\'ep\"unknek. Olyan t\'enyeket fejeznek ki p\'eld\'aul, hogy
amennyiben a felt\'etelben szerepl\H{o} $\Cal F$ $\sigma$-algebra
f\"ug\-get\-len a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol,
amelynek a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et sz\'amoljuk,
akkor ez a $\sigma$-algebra semmilyen inform\'aci\'ot nem ad
a $\xi$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'e\-r\H{o}l, ez\'ert az $E(\xi|\Cal F)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek megegyezik az $E\xi$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel (5.~tu\-laj\-don\-s\'ag). Ha viszont a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\Cal F$ m\'erhet\H{o},
akkor $\Cal F$ ismeret\'eben
\H{o}t is ismerj\"uk, ez\'ert felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eke
megegyezik a val\'odi \'ert\'ek\'evel, s\H{o}t ha egy
$\xi\eta$ szorzat felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
sz\'amoljuk, akkor $\xi$ kiemelhet\H{o} a felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek el\'e. (6. tulajdons\'ag.)

R\"og\-z\'{\i}t\-s\"unk egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, \'es legyen
$\Cal F\subset A$ az ebben a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
mez\H{o}ben szerepl\H{o} $\Cal A$ $\sigma$-algebra egy
r\'esz-$\sigma$-algebr\'aja. Az al\'abbi tulajdons\'agokban
szerepl\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok az
el\H{o}bb r\"ogz\'{\i}tett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n
vannak defini\'alva.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
tulajdons\'agair\'ol.}

\medskip
\item{1.} {\it Ha $\summ_{k=1}^\infty |a_k|E|\xi_k|<\infty$,
$\Cal F\subset A$ tetsz\H{o}leges $\sigma$-algebra, akkor
$$
E\(\left.\summ_{k=1}^\infty a_k\xi_k\right|\Cal F\)(\oo)
=\summ_{k=1}^\infty a_k E(\xi_k|\Cal F)(\oo)
\quad\text{majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban.}
$$

\item{2.} Ha $E|\xi|<\infty$, $\Cal G\subset \Cal F\subset\Cal A$
tetsz\H{o}leges $\sigma$-algebr\'ak, akkor
$E\(E(\xi|\Cal F)|\Cal G\)(\oo)=E(\xi|\Cal G)(\oo)$ majdnem minden
$\oo\in \Omega$ pontban. Speci\'alisan $E\(E\xi|\Cal F)\)=E\xi$.

\item{3.} Ha $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
amelyre $P(a\le \xi\le b)=1$ alkalmas $-\infty<a<b<\infty$
sz\'amokkal, $\Cal F\subset \Cal A$ $\sigma$-algebra, akkor
$a\le E(\xi|\Cal F)(\oo)\le b$ majdnem minden $\oo\in \Omega$
pontban. \'Altal\'anosabban, ha $\xi(\oo)\ge\eta(\oo)$ majdnem
minden $\oo\in\Omega$ pontban, akkor
$E(\xi|\Cal F)(\oo)\ge E(\eta|\Cal F)(\oo)$ majdnem minden
$\oo\in\Omega$ pontban.

\item {4.} $E(\xi|\Cal A)(\oo)=\xi(\oo)$, ahol $\Cal A$ a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} definici\'oj\'aban szerepl\H{o}
,,leg\-na\-gyobb'' $\sigma$-algebra. Ha $\Cal A_0$ jel\"oli
a trivi\'alis $\sigma$-algebr\'at, amelyik csak az $\Omega$ \'es
$\emptyset$ \"ures halmazb\'ol \'all, akkor $E(\xi|\Cal
A_0)(\oo)=E\xi$.

\item{5.} Ha $E|\xi|<\infty$, $\Cal F\subset \Cal A$, a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggetlen az $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'at\'ol, azaz ha tetsz\H{o}leges $F\in \Cal F$ \'es
a sz\'amegyenesen l\'ev\H{o} Borel m\'erhet\H{o} $B\subset R^1$
halmazokra, $P(\{\oo\colon\;\xi(\oo)\in B\}\cap F)=
P(\{\oo\colon\;\xi(\oo) \in B\})P(F)$, akkor
$E(\xi|\Cal F)(\oo)=E\xi$.

\item{6.} Ha $E\xi^2<\infty$, $E\eta^2<\infty$,
$\Cal F\subset \Cal A$, a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'ara m\'erhet\H{o}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, azaz
tetsz\H{o}leges a sz\'amegyenesen l\'ev\H{o} Borel
m\'erhet\H{o} $B\subset R^1$  halmazra,
$\{\oo\colon\;\xi(\oo)\in B\}\in \Cal F$, akkor
$E(\xi\eta|\Cal F)(\oo)=\xi(\oo)E(\eta|\Cal F)(\oo)$
majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban. Speci\'alisan, ebben az
esetben $E(\xi|\Cal F)(\oo)=\xi(\oo)$ majdnem minden
$\oo\in\Omega$ pontban.}

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Az 1. tulajdons\'ag
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz azt kell bel\'atni, hogy minden
$F\in\Cal F$ halmazra
$$
\int_F\(\summ_{k=1}^\infty a_k E(\xi_k|\Cal F)(\oo)\)P(\,d\oo)
=\int_F \(\summ_{k=1}^\infty a_k\xi_k)(\oo)\)P(\,d\oo).
$$
Ez az \'all\'{\i}t\'as viszont igaz, mert a felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oja \'es az integr\'al alapvet\H{o}
tulajdons\'agai alapj\'an
$$
\align
\int_F\(\summ_{k=1}^\infty a_k E(\xi_k|\Cal F)(\oo)\)P(\,d\oo)
&=\summ_{k=1}^\infty a_k\int_F E(\xi_k|\Cal F)(\oo)P(\,d\oo)\\
&=\summ_{k=1}^\infty a_k\int_F \xi_k(\oo)P(\,d\oo)
=\int_F \(\summ_{k=1}^\infty a_k\xi_k(\oo)\)P(\,d\oo).
\endalign
$$
A fenti sz\'amol\'asban a Lebesgue t\'etel biztos\'{\i}totta az
integr\'alok v\'egtelen \"osszegeivel v\'egrehajtott sz\'amol\'asok
jogoss\'ag\'at, illetve azt a t\'eny, hogy a
$\summ_{k=1}^\infty |a_k|E|\xi_k|<\infty$ fel\-t\'e\-tel\-b\H{o}l
a $\summ_{k=1}^\infty |a_k|E|E(\xi_k|\Cal F)|<\infty$ rel\'aci\'o
is k\"ovetkezik. Ez az\'ert igaz, mert
$|E(\xi_k|\Cal F)|\le E(|\xi_k||\Cal F)$, amit nem neh\'ez
k\"ozvetlen\"ul bel\'atni, de k\"ovetkezik a
3.) tulajdons\'agb\'ol (aminek bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-ban
nem haszn\'altuk az 1.) tulajdons\'agot), \'es
$E(E(|\xi_k||\Cal F))=E|\xi_k|$.

\medskip\noindent
A 2. tulajdons\'ag els\H{o} \'all\'{\i}t\'as\'anak bel\'at\'as\'ahoz
azt kell ellen\H{o}rizni, hogy az adott felt\'etelek mellett minden
$G\in\Cal G$ halmazra
$$
\int_G \xi(\oo)P(\,d\oo)=\int_G E(\xi|\Cal F)(\oo)P(\,d\oo),
$$
mert a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oja alapj\'an
$$
\int_G E(\xi|\Cal F)(\oo)P(\,d\oo)=
\int_G E(E(\xi|\Cal F)|\Cal G)(\oo)P(\,d\oo)).
$$
A k\'{\i}v\'ant azonoss\'ag viszont igaz, mert az adott felt\'etelek
mellett $G\in\Cal F$. A m\'asodik \'all\'{\i}t\'as bel\'at\'asa
\'erdek\'eben tekints\"uk a trivi\'alis csak a teljes \'es \"ures
halmazb\'ol \'all\'o $\Cal A_0=\{\emptyset,\Omega\}$
$\sigma$-algebr\'at, \'es vegy\"uk \'eszre, hogy
$\Cal A_0\subset \Cal F$ minden a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n defini\'alt $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'ara, m\'asr\'eszt
$E(\eta|\Cal A_0)=E\eta$ tetsz\H{o}leges $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora. Innen
$EE(\xi|\Cal F)= E(E(\xi|\Cal F)|\Cal A_0)=E(\xi|\Cal A_0)=E\xi$.

\medskip\noindent
A 3. tulajdons\'ag az\'ert \'erv\'enyes, mert, ha
$\xi(\oo)\ge\eta(\oo)$ majdnem minden $\oo\in\Omega$ pontban, akkor
$$
\int_FE(\xi|\Cal F)(\oo)P(\,d\oo)=
\int_F\xi(\oo)P(\,d\oo)\ge
\int_F\eta(\oo)P(\,d\oo)=
\int_FE(\eta|\Cal F)(\oo)P(\,d\oo)
$$
minden $F\in\Cal F$ halmazra. Innen k\"ovetkezik, hogy az
$$
F_0=\{\oo\colon\; E(\xi|\Cal F)(\oo)<E(\xi|\Cal F)(\oo)\}\in\Cal F
$$
halmazra $P(F_0)=0$. Ellenkez\H{o} esetben ugyanis nem teljes\"ulne
a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg az $F_0=F$ halmazra. Mivel az azonosan
konstans f\"uggv\'enyek felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ekei
\"onmagukkal egyenl\H{o}, ez\'ert, ha $a\le \xi\le b$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, akkor
$$
a=E(a|\Cal F)\le E(\xi|\Cal F)\le E(b|\Cal F)=b.
$$
A 4. tulajdons\'ag bizony\'{\i}t\'asa trivi\'alis, ez\'ert azt
elhagyom.

\medskip\noindent
Az 5. tulajdons\'ag bizony\'{\i}t\'as\'ahoz azt kell bel\'atni,
hogy ha $F\in\Cal F$, \'es az $\Cal F$ $\sigma$-algebra f\"uggetlen
a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol, akkor
$$
\int_F\xi(\oo)P(\,d\oo)=
\int_FE\xi(\oo)P(\,d\oo)=P(F)E\xi.
$$
Viszont ebben az esetben az $F$ halmaz $I_F(\oo)$ indik\'ator
f\"uggv\'enye f\"uggetlen a $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol, ez\'ert
$\int_F\xi(\oo)P(\,d\oo)=EI_F(\oo)\xi(\oo)=EI_F(\oo)E\xi=P(F)E\xi$.

\medskip\noindent
A 6. tulajdons\'ag bizony\'{\i}t\'as\'ahoz azt kell bel\'atni,
hogy ha $E\xi^2<\infty$, $E\eta^2<\infty$ \'es $\xi$ $\Cal F$
m\'erhet\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o, akkor minden $F\in\Cal F$ halmazra
$$
\int_F \xi(\oo)E(\eta|\Cal F)(\oo)P(\,d\oo) =\int_F
\xi(\oo)\eta(\oo)P(\,d\oo).
$$
Abban az esetben, ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
egy $B$ $\Cal F$ m\'erhet\H{o} halmaz indik\'ator f\"uggv\'enye,
akkor ez az \'all\'{\i}t\'as nyilv\'anval\'o, mert ekkor
$B\cap C\in\Cal F$, ez\'ert
$$
\align
\int_F \xi(\oo)E(\eta|\Cal F)(\oo)P(\,d\oo)
&=\int_{F\cap B} E(\eta|\Cal F)(\oo)P(\,d\oo)\\
&=\int_{F\cap B} \eta(\oo)P(\,d\oo)=
\int_F \xi(\oo)\eta(\oo)P(\,d\oo).
\endalign
$$
Ezut\'an az 1. tulajdons\'agb\'ol k\"ovetkezik, hogy a
bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag
\'erv\'enyes olyan $\xi(\oo)=\summ c_jI_{B_j}(\oo)$ l\'epcs\H{o}s
f\"uggv\'enyekre is, melyeket v\'eges sok $B_j\in\Cal F$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'eny\'enek line\'aris kombin\'aci\'ojak\'ent
kapunk. Mivel tetsz\H{o}leges $\Cal F$ m\'erhet\H{o} $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o j\'ol approxim\'alhat\'o
ilyen l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enyekkel, innen standard
hat\'ar\'atmenettel be lehet l\'atni az \'all\'{\i}t\'ast. Ennek
r\'eszleteit elhagyom.

\medskip
Megfogalmazom \'es bebizony\'{\i}tom a fenti \'all\'{\i}t\'asok egy
\'erdekes k\"ovetkezm\'eny\'et az al\'abbi t\'etelben.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek egy optimum
tulajdons\'ag\'ar\'ol.} {\it Legyen adva egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre $E\xi^2<\infty$,
\'es egy $\Cal F$ $\sigma$-algebra, $\Cal F\subset\Cal A$, egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ekkor az
$E(\xi|\Cal F)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek
megvan a k\"ovetkez\H{o} optimum tulajdons\'aga:
$$
E\[\xi(\oo)-E(\xi|\Cal F)(\oo)\]^2=\inf\Sb \eta\;
\Cal F \text{ m\'erhet\H{o}} \\ \text{val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, } E\eta^2<\infty \endSb E(\xi(\oo)-\eta(\oo))^2.
$$
}

\medskip\noindent
{\it 1.~megjegyz\'es:}\/ A fenti t\'etel azt fejezi ki, hogy ha a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot az $\Cal F$
$\sigma$-algebra esem\'enyeit\H{o}l f\"ugg\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval, azaz $\Cal F$
m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval
akarjuk becs\"ulni, \'es k\'et becsl\'es k\"oz\"ul azt tekintj\"uk
jobbnak a m\'asikn\'al, amelyikre a becsl\'es \'es a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o k\"oz\"otti k\"ul\"onbs\'eg
n\'egyzet\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'eke kisebb, akkor
az $E(\xi|\Cal F)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek az
optim\'alis becsl\'es. Meg\-jegy\-zem, hogy a be\-ve\-ze\-t\H{o}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
el\H{o}ad\'asban szerepelt egy eredm\'eny, amelyik a fenti
\'all\'{\i}t\'as speci\'alis eset\'enek tekinthet\H{o}.
Nevezetesen bel\'attuk, hogy $\Var\xi=E(\xi-E\xi)^2\le E(\xi-a)^2$
tetsz\H{o}leges $a$ val\'os sz\'amra. Ha defini\'aljuk azt a
trivi\'alis $\Cal F_0=\{\emptyset,\Omega\}$ $\sigma$-algebr\'at,
amelyik csak az \"ures halmazb\'ol \'es a biztos esem\'enyb\H{o}l
\'all, akkor erre a $\sigma$-algebr\'ara csak a konstans
f\"uggv\'enyek m\'erhet\H{o}ek, \'es erre a $\Cal F_0$
$\sigma$-algebr\'ara n\'ezve $E(\xi|\Cal F_0)=E\xi$. Ez\'ert az
el\H{o}bb megfogalmazott t\'etel az ebben a megjegyz\'esben
megfogalmazott \'all\'{\i}t\'ast jelenti ebben a speci\'alis
esetben.

\medskip\noindent
{\it 2.~megjegyz\'es:}\/ Az $(\Omega,\Cal A,P)$ t\'eren
m\'erhet\H{o} \'es n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek
(val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok) egy \'ugynevezett $L_2$
teret alkotnak, ami Hilbert t\'er \'es az $\Cal F$ m\'erhet\H{o},
n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek e t\'er egyik
alter\'et alkotj\'ak. Ebben az in\-ter\-pre\-t\'a\-ci\'o\-ban a fenti
eredm\'eny azt mondja ki, hogy a Hilbert t\'er ezen alter\'enek
a Hilbert t\'er egy $\xi$ elem\'ehez legk\"ozelebbi eleme az
$E(\xi|\Cal F)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. A Hilbert
terek \'ugy tekinthet\H{o}k, mint (esetleg) v\'egtelen dimenzi\'os
euklideszi terek. Tudjuk, hogy egy euklideszi t\'erben egy ponthoz
egy alt\'erben lev\H{o} pontok k\"oz\"ul a legk\"ozelebbi pont e
pont mer\H{o}leges vet\"ulete az alt\'erre, tov\'abb\'a ez a
tulajdons\'ag \'erv\'enyes Hilbert terekre is. Az al\'abb
ismertetett bizony\'{\i}t\'as tulajdonk\'eppen ezen geometriai
k\'ep \'altal sugallt m\'odszer kidolgoz\'asa  a most vizsg\'alt
esetben.

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Legyen $\eta$ tetsz\H{o}leges
$\Cal F$ m\'erhet\H{o} n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny.
Bel\'atjuk, hogy
$$
E\eta(\oo)(\xi(\oo)-E(\xi|\Cal F)(\oo))=0 \quad \text{azaz} \quad
E\eta(\oo)\xi(\oo)=E\eta(\oo)E(\xi|\Cal F)(\oo).
$$
(Ez jelenti azt, hogy $\xi(\oo)-E(\xi|\Cal F)(\oo)$ a $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o ortogon\'alis vet\"ulete
az $\Cal F$ m\'erhet\H{o} \'es n\'egyzetesen integr\'alhat\'o
f\"uggv\'enyek alter\'ere.) Ez az \'all\'{\i}t\'as az\'ert igaz,
mert
$$
E\eta(\oo)\xi(\oo)=E(E(\eta\xi|\Cal F)(\oo))
=E\eta(\oo) E(\xi|\Cal F)(\oo)
$$
a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek el\H{o}z\H{o} t\'etelben
megfogalmazott 2. \'es 6. tulajdons\'agai alapj\'an. Innen
tetsz\H{o}leges $\eta$ $\Cal F$ m\'erhet\H{o}, n\'egyzetesen
integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyre
$$
\align
E(\eta-\xi)^2&=E\((\eta-E(\xi|\Cal F))+(E(\xi|\Cal F)-\xi)\)^2\\
&=E(\eta-E(\xi|\Cal F))^2+E\(E(\xi|\Cal F)-\xi\)^2+2
E(\eta-E(\xi|\Cal F))(E(\xi|\Cal F)-\xi))\\
&=E(\eta-E(\xi|\Cal F))^2+E\(E(\xi|\Cal F)-\xi\)^2
\ge E(\xi-E(\xi|\Cal F))^2,
\endalign
$$
mert $E(\eta-E(\xi|\Cal F))(E(\xi|\Cal F)-\xi))=
E\eta(E(\xi|\Cal F)-\xi))-E(E(\xi|\Cal F))(E(\xi|\Cal F)-\xi))=0$.
($E(E(\xi|\Cal F))(E(\xi|\Cal F)-\xi))=0$, mert $E(\xi|\Cal F)$
$\Cal F$ m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
\'{\i}gy $\eta=E(\xi|\Cal F)$ v\'alaszt\'assal is alkalmazhatjuk
az $E\eta(\xi-E(\xi|\Cal F))=0$ azonoss\'agot.)
Az $E(\eta-\xi)^2\ge E(\xi-E(\xi|\Cal F))^2$
egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"ovetkezik a t\'etel
\'all\'{\i}t\'asa.

\medskip
Az el\H{o}z\H{o} t\'etelben megfogalmazott eredm\'eny fontos mind
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban,
mind a statisztik\'aban. A statisztik\'aban alapvet\H{o} k\'erd\'es
az, hogy hogyan lehet egy ismeretlen mennyis\'eget (jelen esetben
egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ot) ismereteink
alapj\'an (jelen esetben a $\Cal F$ $\sigma$-algebra, illetve annak
ismeret\'eben, hogy e $\sigma$-algebra mely halmazai k\"ovetkeztek
be, \'es melyek nem) min\'el jobban megbecs\"ulni. A becsl\'es
j\'os\'ag\'anak ter\-m\'e\-sze\-tes m\'er\'ese az, hogy milyen kicsi
a becsl\'es \'es becs\"ult mennyis\'eg k\"oz\"otti k\"ul\"onbs\'eg
n\'egyzet\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'eke. A fenti eredm\'enyt \'ugy
lehet interpret\'alni, hogy az $E(\xi|\Cal F)(\oo)$ fel\-t\'e\-te\-les
v\'arhat\'o \'ert\'ek a $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o legjobb k\"ozel\'{\i}t\'ese vala\-mely $\Cal F$
m\'erhet\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'oval
(az $L_2(\Omega,\Cal A,P)$ t\'erben). Egy komoly
kel\-le\-met\-len\-s\'eg, hogy a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
kisz\'am\'{\i}t\'asa nagyon bonyolult feladat. Egy fontos
spe\-ci\-\'a\-lis eset\-ben azonban, amikor norm\'alis eloszl\'as\'u
vektor bizonyos koordin\'at\'ainak ismeret\'eben a t\"obbi
koordin\'ata felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et akarjuk
kisz\'am\'{\i}tani ez a probl\'ema viszonylag egyszer\H{u}.
Err\H{o}l sz\'ol a k\"ovetkez\H{o} feladat. Csak azt a speci\'alis
esetet tekintem, amikor egy k\'etdimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u vektor egyik koordin\'at\'aj\'anak a
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et akarjuk kisz\'amolni a
m\'asik koordin\'ata ismeret\'eben. De ezt a feladatot
viszonylag k\"onnyen \'altal\'anos\'{\i}thatjuk.

\medskip\noindent
{\it Feladat:}
\medskip\noindent
{\it Legyen $(\xi,\eta)$ egy k\'et-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Sz\'am\'{\i}tsuk ki az
$E(\xi|\eta)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket.}

\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ L\'attuk, (l\'asd a t\"obbv\'altoz\'os
cent\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel el\H{o}ad\'as eredm\'enyeit)
hogy $\xi=a\eta+\zeta$ alakban \'{\i}rhat\'o, ahol az $a$ konstans
alkalmas v\'alaszt\'as\'aval (nevezetesen az
$a=\frac{\Cov(\xi,\eta)}{\Var\eta}$ v\'alaszt\'assal) el\'erhet\H{o},
hogy a $\zeta=\xi-a\eta$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek legyenek. Ezzel az $a$
v\'alaszt\'assal
$$
\align
E(\xi|\eta)&=E((a\eta+\zeta)|\eta)=aE(\eta|\eta)+E(\zeta|\eta)
=a\eta+E\zeta=a(\eta-E\eta)+E\xi\\
&=\dfrac{\Cov(\xi,\eta)}{\Var\eta}(\eta-E\eta)+E\xi
\endalign
$$
a v\'arhat\'o \'ert\'eknek az el\H{o}z\'o t\'etelben szerepl\H{o}
1.,~5. \'es 6.~tulajdons\'agai alapj\'an.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy a fenti feladat
eredm\'enye szerint egy norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor
egyik koordin\'at\'aj\'anak  a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eke a
felt\'etelben szerepl\H{o} koordin\'ata line\'aris f\"uggv\'enye. Ez
az \'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes az itt nem t\'argyalt magasabb
dimenzi\'oj\'u norm\'alis vektorokra term\'eszetes m\'odon
megfogalmazhat\'o \'altal\'anosabb prob\-l\'e\-ma ese\-t\'e\-ben
is. L\'attuk, egy el\H{o}z\H{o} eredm\'enyben, hogy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'eke felt\'eve bizonyos m\'as val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat megegyezik a te\-kin\-tett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak a felt\'etelben szerepl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel
megadhat\'o legjobb k\"ozel\'{\i}t\'es\'evel az $L_2$ norm\'aban. A
fenti feladat eredm\'enye (illetve annak itt meg nem fogalmazott
magasabb dimenzi\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'asa) azt mondja, hogy
abban a speci\'alis esetben, ha egy norm\'alis vektor
koordin\'at\'ainak a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et akarjuk
kisz\'amolni felt\'eve m\'as koordin\'at\'ak \'ert\'ekeit, akkor ez
a legjobb $L_2$-norm\'aban vett k\"ozel\'{\i}t\'es egyben a legjobb
(a felt\'etelben szerepl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok\-kal kifejezhet\H{o}) $L_2$ norm\'aban vett
{\it line\'aris}\/ k\"ozel\'{\i}t\'es. E t\'eny alapvet\H{o}
szerepet j\'atszik sok elm\'eleti statisztikai vizsg\'alatban.

\medskip
L\'attuk kor\'abban, hogy egy v\'eletlen vektor f\"uggv\'enyeinek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et ki tudjuk sz\'amolni a v\'eletlen vektor
eloszl\'asa szerinti alkalmas (Lebesgue) integr\'al
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. Felmer\"ul a k\'erd\'es: Lehet-e
hasonl\'o kalkulust kidolgozni a felt\'eteles v\'arhat\'o
\'er\-t\'e\-kek kisz\'amol\'as\'ara? A felt\'eteles v\'arhat\'o
\'er\-t\'e\-ke\-ket szeretn\'enk a felt\'eteles  eloszl\'asok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel kisz\'amolni. Erre a  k\'erd\'esre
l\'enyeg\'eben pozit\'{\i}v v\'alaszt lehet adni. A megfelel\H{o}
kalkulus kidolgoz\'asa \'erdek\'eben a k\"ovetkez\H{o}
k\'et prob\-l\'e\-m\'at kell megoldani.

\medskip
\item{i.} Adjunk meg j\'o felt\'eteles eloszl\'asokat, azaz
defini\'aljuk a $P(\xi\in A|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek rendszer\'et minden $B$ Borel
m\'erhet\H{o} halmazra \'ugy, hogy j\'ol tudjunk vele sz\'amolni.
\item{ii.} Tal\'aljuk meg az integr\'alformul\'akat a felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ekek kisz\'amol\'as\'ara.

\medskip
E k\'et probl\'ema k\"oz\"ul a m\'asodik a kev\'esb\'e neh\'ez. Az
els\H{o} probl\'ema kapcs\'an komoly neh\'ezs\'egek l\'epnek fel.
Ezek azzal f\"uggnek \"ossze, hogy  Lebesgue integr\'alt csak
{\it ($\sigma$-addit\'{\i}v)}\/ m\'ert\'ekek szerint tudunk
alkalmazni, ez\'ert a felt\'eteles eloszl\'asokat \'ugy kell
defini\'alni, hogy azok majdnem minden $\oo$-ra m\'ert\'ekek
legyenek. A felt\'eteles va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek
felsorolt tulajdons\'agai k\"oz\"ul az els\H{o} egy ilyen
jelleg\H{u} tulajdons\'agot fogalmaz meg, ha az ott fel\'{\i}rt
azonoss\'agot $\xi_k=I(\oo\colon\;\xi(\oo)\in A_k)$ alak\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra alkalmazzuk. De a
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg csak egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel van defini\'alva. Elk\'epzelhet\H{o},
hogy a megk\"ovetelt azonoss\'agok k\"oz\"ul az egyik egy null
m\'ert\'ek\H{u} halmazon nem teljes\"ul. Akkor ezt ki tudjuk
jav\'{\i}tani a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
m\'odos\'{\i}t\'as\'aval egy null m\'ert\'ek\H{u}
halmazon. De m\'eg a legegyszer\H{u}bb esetekben is kontinum sok
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel teljes\"ul\H{o} azonoss\'agot
kell egyszerre teljes\'{\i}teni. Az, hogy ez lehets\'eges
kor\'antsem mag\'at\'ol \'ertet\H{o}d\H{o}.

Van egy fontos speci\'alis eset, amikor a k\'{\i}v\'ant
tulajdons\'ag\'u felt\'eteles eloszl\'asoknak nemcsak a
l\'etez\'es\'et tudjuk biztos\'{\i}tani, hanem azokat explicit 
m\'odon meg is tudjuk adni, \'{\i}gy j\'ol tudunk vel\"uk 
sz\'amolni. Err\H{o}l sz\'ol a k\"ovetkez\H{o}, statisztikai 
alkalmaz\'asokban fontos eredm\'eny. Ebben a k\"ovetkez\H{o} 
k\'erd\'essel foglalkozunk.

Egy $k+l$ dimenzi\'os $(\xi_1,\dots,\xi_k,\eta_1,\dots,\eta_l)$ 
v\'eletlen vektornak ismerj\"uk a (l\'etez\H{o}) 
$f(x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_l)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, 
\'es ki akarjuk sz\'am\'{\i}tani e v\'eletlen vektor valamely
$h(\xi_1,\dots,\xi_k,\eta_1,\dots,\eta_l)$ f\"uggv\'eny\'enek a 
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et az
$\eta_1=y_1$,\dots, $\eta_l=y_l$ felt\'etelek
mellett. Ennek \'erdek\'eben egy olyan formul\'at bizony\'{\i}tunk
a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor felt\'eteles
eloszl\'as\'ara, felt\'eve az $\eta_1=y_1,\dots,\eta_l=y_l$ 
felt\'eteleket, amely lehet\H{o}v\'e teszi, hogy a 
k\"oz\"ons\'eges v\'arhat\'o \'ert\'ekek kisz\'amol\'as\'ara 
ta\-nult formul\'akat adapt\'aljuk erre az esetre is, \'es 
kisz\'am\'{\i}tsuk a minket \'erdekl\H{o} felt\'eteles v\'arhat\'o 
\'ert\'ekeket.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel felt\'eteles eloszl\'asok kisz\'amol\'as\'ar\'ol.}
{\it Legyen $(\xi_1,\dots,\xi_k,\eta_1,\dots,\eta_l)$
egy olyan v\'eletlen vektor
az $R^{k+l}$ $k+l$ dimenzi\'os euklideszi t\'erben, amelynek
l\'etezik s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, amit
$f(x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_l)$-lel fogok jel\"olni.

Ebben az esetben l\'etezik a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen
vektornak felt\'eteles s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye felt\'eve az
$\eta_1=y_1,\dots,\eta_l=y_l$ felt\'eteleket, \'es
az megadhat\'o az
$$
f(x_1,\dots,x_k|y_1,\dots,y_l)=
\frac{f(x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_l)}
{g(y_1,\dots,y_l)},
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ahol
$$
g(y_1,\dots,y_l)=\int
f(x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_l)\,dx_1,\dots\,dx_k,
$$
azaz az $(\eta_1,\dots,\eta_l)$ v\'eletlen vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Ez azt jelenti, hogy
tetsz\H{o}leges Borel m\'erhet\H{o} $A\subset R^k$ halmazra
$$
\align
P&\(\{\oo\colon\;(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in
A\}|\eta_1(\oo)=y_1,\dots,\eta_l(\oo)=y_l\)\\
&\qquad=\int_A f(x_1,\dots,x_k|y_1,\dots,y_l)
\,dx_1\dots\,dx_k.
\endalign
$$
}

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/
Annak igazol\'as\'ahoz, hogy a fenti felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket az adott m\'odon ki lehet
sz\'a\-mol\-ni a $(*)$ formul\'at kell ellen\H{o}rizni ebben
az esetben, azaz azt kell megmutatni, hogy minden
$A\subset R^k$ \'es $B\in R^l$ Borel m\'erhet\H{o} halmazp\'arra
$$
\align
&P\(\{\oo\colon\;(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in A\}
\cap\{\oo\colon\;(\eta_1(\oo),\dots,\eta_l(\oo))\in B\}\)\\
&\quad=\int\limits_B\[\int\limits_A
f(x_1,\dots,x_k|y_1,\dots,y_l)\,dx_1\dots\,dx_k\]
g(y_1,\dots,y_l)\,dy_1\dots dy_l.
\endalign
$$
Ez az azonoss\'ag viszont \'erv\'enyes, mert
$$
\align
&\int_B\[\int_A
f(x_1,\dots,x_k|y_1,\dots,y_l)\,dx_1\dots\,dx_k\]
g(y_1,\dots,y_l)\,dy_1\dots\,dy_l\\
&\qquad =\int_{A\times B}
f(x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_l)
\,dx_1\dots\,dx_k\,dy_1\dots\,dy_l\\
&\qquad=P\(\{\oo\colon\; (\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in
A\}\cap\{\oo\colon\; (\eta_1(\oo),\dots,\eta_l(\oo))\in B\}\).
\endalign
$$

\medskip
Megfogalmazom az el\H{o}z\H{o} t\'etel egy megfelel\H{o}j\'et,
amely azt \'all\'{\i}tja, hogy a sz\'amunkra \'erdekes
felt\'eteles eloszl\'asok l\'eteznek az \'altal\'anos esetben. E
t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at, amely nem egyszer\H{u}, a
kieg\'esz\'{\i}t\'esben adom meg. Az eredm\'eny sz\'eps\'eghib\'aja
az, hogy csak egzisztenciat\'etel, \'es nem ad lehet\H{o}s\'eget a
felt\'eteles eloszl\'asok effektiv kisz\'amol\'as\'ara.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel regul\'aris felt\'eteles eloszl\'asok
l\'etez\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen $(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$
egy $k$-dimenzi\'os va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi vektor
egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
$\Cal F\subset \Cal A$ $\sigma$-algebra. Jel\"olje $\Cal B$ a Borel
$\sigma$-algebr\'at az $R^k$ $k$-dimenzi\'os euklideszi t\'eren. A
$(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$ v\'eletlen vektornak l\'etezik az
$\Cal F$ $\sigma$-algebra sze\-rin\-ti regul\'aris felt\'eteles
eloszl\'asa, azaz meg lehet adni egy olyan $F(B,\oo)$,
$F(B,\oo)\colon\;\Cal B\times \Omega\to R^1$, f\"uggv\'enyt, amelyre

\medskip
\item{i.)} $F(B,\cdot)$  minden $B\in\Cal B$ halmazra $\Cal F$
m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.

\item{ii.)} $F(\cdot,\oo)$ minden $\oo\in\Omega$ pontra
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az $R^k$ $k$-dimenzi\'os
euklideszi t\'er $\Cal B$ $\sigma$-algebr\'aj\'an, azaz
$F(R^k,\oo)=1$, $0\le F(B,\oo)\le 1$ minden $B\in \Cal B$ halmazra,
$F\(\bigcupp_{k=1}^\infty B_k,\oo\)=\summ_{k=1}^\infty F(B_k,\oo)$
minden diszjunkt $B_k\in\Cal B$, $k=1,2,\dots$, hal\-ma\-zok\-b\'ol
\'all\'o rendszerre.

\item{iii.)} $F(B,\oo)=P\((\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in B|\Cal
F\)(\oo)$ minden $B\in \Cal B$ halmazra. Ez azt jelenti, hogy az
$F(B,\oo)$ f\"uggv\'eny \'ugy tekinthet\H{o}, mint a
$P\((\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in B|\Cal F\)(\oo)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg egyik verzi\'oja.}

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} t\'etelben megfogalmazom azt az eredm\'enyt,
amely miatt az el\H{o}z\H{o} k\'et eredm\'eny hasznos volt. Ebben
egy v\'eletlen vektor f\"uggv\'eny\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
sz\'amoljuk ki, mint ennek a f\"uggv\'enynek a v\'eletlen vektor
eloszl\'asa sze\-rin\-ti integr\'alt. De e t\'etel
alkalmaz\'as\'ahoz sz\"uks\'eges a regul\'aris felt\'eteles
eloszl\'asok l\'etez\'ese. Ezt biztos\'{\i}tja \'altal\'anos
esetben az el\H{o}z\H{o} t\'etel. Az el\H{o}tte t\'argyalt
{\it t\'etel felt\'eteles eloszl\'asok kisz\'amol\'as\'ar\'ol}
eredm\'enye lehet\H{o}v\'e teszi e regul\'aris felt\'eteles
eloszl\'as explicit ki\-sz\'a\-mo\-l\'a\-s\'at egy fon\-tos
spe\-ci\-\'a\-lis esetben. A t\'etel  bizony\'{\i}t\'as\'at a
kieg\'esz\'{\i}t\'esben \'{\i}rom le.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
kisz\'amol\'as\'ar\'ol regul\'aris felt\'eteles eloszl\'asok
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel.} {\it Legyen adva egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, azon egy
$\Cal F\subset \Cal A$ $\sigma$-algebra,
egy $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os \'es
$\eta=(\eta_1,\dots,\eta_l)$ $l$-dimenzi\'os v\'eletlen v\'eletlen
vektor. Legyen tov\'abb\'a az $(\eta_1,\dots,\eta_l)$ v\'eletlen
vektor $\Cal F$ m\'erhet\H{o}, \'es jel\"olje $F(B,\oo)$,
$B\in \Cal B^k$, $\oo\in\Omega$, a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor regul\'aris felt\'eteles
eloszl\'as\'at felt\'eve az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'at. Legyen
$h(x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_l)$ egy $k+l$ v\'altoz\'os Borel
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny, amelyre
$E|h(\xi_1,\dots,\xi_k,\eta_1,\dots,\eta_l)|<\infty$.
Az $E\(h(\xi_1,\dots,\xi_k,\eta_1,\dots,\eta_l)|\Cal F\)(\oo)$
fel\-t\'e\-te\-les v\'arhat\'o \'ert\'eket ki lehet sz\'am\'{\i}tani
a k\"ovetkez\H{o} k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel:
$$
\align
&E\(h(\xi_1,\dots,\xi_k,\eta_1,\dots,\eta_l)|\Cal F\)(\oo) \\
&\qquad=\int h(x_1,\dots,x_k,\eta_1(\oo),\dots,\eta_l(\oo))
F(dx_1,\dots,dx_k,\oo).
\endalign
$$
}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti eredm\'eny azt mondja ki, hogy a
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket a ter\-m\'e\-sze\-tes m\'odon
sz\'amolhatjuk ki egy regul\'aris felt\'eteles eloszl\'as szerint.
Azoknak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok\-nak, amelyek
$\Cal F$ m\'erhet\H{o}ek, tudjuk az \'ert\'ek\'et a felt\'etelben
szerepl\H{o} $\Cal F$ $\sigma$-algebra is\-me\-re\-t\'e\-ben,
ez\'ert term\'eszetes ezek \'ert\'ekeit behelyettes\'{\i}teni a
tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak abba a
f\"uggv\'eny\'ebe, amelynek felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
ki akarjuk sz\'a\-mol\-ni. Ezut\'an ezt a felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'eket \'ugy sz\'amolhatjuk ki, hogy
a helyettes\'{\i}t\'es ut\'an kapott f\"uggv\'enyt
integr\'aljuk a t\"obbi val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\Cal F$ $\sigma$-algebra szerinti felt\'eteles eloszl\'asa szerint.
Megjegyzem, hogy ez az eredm\'eny, illetve annak al\'bb ismertetett
v\'altozata a {\it felt\'eteles eloszl\'asok kisz\'amol\'as\'ar\'ol 
sz\'ol\'o t\'etel}\/ ered\-m\'e\-ny\'e\-vel egy\"utt egyszer\H{u} 
elj\'ar\'ast ad {\it az el\H{o}z\H{o} p\'elda m\'odos\'{\i}tott 
v\'altozata}\/ n\'even tekintett feladat megold\'as\'ara.

\medskip
Megfogalmazom a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel megfelel\H{o}j\'et
arra az esetre, ha az
$E(h(\xi_1,\dots,\xi_k,\eta_1,\dots,\eta_l)|\eta_1=y_1,\dots,\eta_l=y_l)$
fel\-t\'e\-te\-les v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'eket akarjuk kisz\'amolni a
$P((\xi_1,\dots,\xi_k)\in A|\eta_1=y_1,\dots,\eta_l=y_l)$
felt\'eteles regul\'aris eloszl\'as ismeret\'eben.

\medskip\noindent
{\bf A felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek kisz\'amol\'as\'ar\'ol
sz\'ol\'o t\'etel egy v\'altozata.}  {\it Legyen adva egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, azon egy
egy $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os \'es
$\eta=(\eta_1,\dots,\eta_l)$ $l$-dimenzi\'os v\'eletlen 
vektor. Legyen  adva tov\'abb\'a a $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor $F(B|y_1,\dots,y_l)$ felt\'eteles eloszl\'asa
felt\'eve az $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektort, azaz legyen
$F(B|y_1,\dots,y_l)$, $B\in\Cal B^k$, $y_j\in R$, $1\le j\le l$,
egy f\"uggv\'eny a k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokkal:

\medskip
\item{a)} Minden $(y_1,\dots,y_l)$ vektorra
$F(\cdot|y_1,\dots,y_l)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az
$(R^k,\Cal B^k)$ euklideszi t\'erben.
\item{b)} Minden $B\in\Cal B^k$ halmazra  $F(B|\cdot,\cdot,\cdot)$
Borel m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny az $(R^l,\Cal B^l)$ t\'erben.
\item{c)} $P((\xi_1,\dots,\xi_k)\in B|\eta_1=y_1,\dots,\eta_l=y_l)
=F(B|y_1,\dots,y_l)$.
\medskip

Legyen
$h(x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_l)$ egy $k+l$ v\'altoz\'os Borel
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny, amelyre
$E|h(\xi_1,\dots,\xi_k,\eta_1,\dots,\eta_l)|<\infty$.
Ekkor
$$
\align
&E\(h(\xi_1,\dots,\xi_k,\eta_1,\dots,\eta_l)|\eta_1=y_1,\dots,\eta_l=y_l\) \\
&\qquad=\int h(x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_l)
F(dx_1,\dots,dx_k|y_1,\dots,y_l).
\endalign
$$
Ha l\'etezik $f(x_1,\dots,x_k|y_1,\dots,y_l)$
felt\'eteles s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az 
$F(B|y_1,\dots,y_l)$ fel\-t\'e\-te\-les eloszl\'asf\"uggv\'enynek, 
azaz l\'etezik olyan $f(\cdots|\cdots)$ f\"uggv\'eny, amelyre 
teljes\"ul az
$$
F(B|y_1,\dots,y_k)=\int_B
f(x_1,\dots,x_k|y_1,\dots,y_l)\,dx_1\dots\,dx_k\quad \text{minden }
B\in \Cal B^k \text{ halmazra}
$$
azonoss\'ag, akkor
$$
\align
&E\(h(\xi_1,\dots,\xi_k,\eta_1,\dots,\eta_l)|\eta_1=y_1,\dots,\eta_l=y_l\) \\
&\qquad=\int h(x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_l)
f(x_1,\dots,x_k|y_1,\dots,y_l)\,dx_1\dots\,dx_k.
\endalign
$$
}

\medskip
Befejez\'es\"ul a k\"ovetkez\H{o} k\'et feladat megold\'as\'at
t\'argyalom.

\medskip\noindent
{\it 1. feladat:}
\medskip\noindent
Legyen $\zeta$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $G(u,v)$ k\'et-v\'altoz\'os
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny. Mutassuk meg, hogy
$EG(\zeta,\eta)|\eta=y)=EG(\zeta,y)$.

\medskip\noindent
{\it 2.  feladat:}
\medskip\noindent
Legyen $(\xi,\eta)$ k\'et-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Mutassuk meg, hogy
$P(\xi<x|\eta=y)=\Phi_{m,\sigma}(x)$,
$m=E\xi+\frac{\Cov(\xi,\eta)(y-E\eta)}{\Var\eta}$ \'es
$\sigma^2=\Var\xi-\dfrac{\Cov(\xi,\eta)^2}{\Var\xi}$
param\'eterekkel, ahol $\Phi_{m,\sigma}(\cdot)$ az $m$
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\sigma$ sz\'or\'as\H{u} norm\'alis
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az 1. feladat \'all\'{\i}t\'asa heurisztikusan
term\'eszetes. Ugyanis, ha $\eta=y$, akkor $G(\zeta,\eta)=G(\zeta,y)$
\'es mivel $\eta$ \'es $\zeta$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, ez\'ert $\eta$ ismerete semmilyen inform\'aci\'ot nem ad
a $\zeta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o viselked\'es\'er\H{o}l.
Ez azt sugallja, hogy az $EG(\zeta,\eta)|\eta=y)$  felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'eket \'ugy kapjuk meg, hogy a $G(\zeta,y)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
sz\'amoljuk ki a ($\zeta$ eredeti eloszl\'asa szerint).

A 2. feladat \'all\'{\i}t\'as\'at az 1. feladat \'all\'{\i}t\'asnak
\'es annak a t\'enynek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudjuk bel\'atni,
hogy egy k\'et-dimenzi\'os v\'eletlen norm\'alis eloszl\'as\'u vektor
els\H{o} koor\-di\-n\'a\-t\'a\-ja kifejezhet\H{o} a m\'asodik
koordin\'ata \'es egy att\'ol f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o line\'aris
kombin\'aci\'ojak\'ent. Vegy\"uk \'eszre, hogy a 2. feladat
ered\-m\'e\-nye szerint $\xi$ felt\'eteles eloszl\'asa
r\"ogz\'{\i}tett $\eta=y$ felt\'etel eset\'en norm\'alis eloszl\'as,
amelynek sz\'or\'asa nem f\"ugg az $\eta=y$ felt\'etelt\H{o}l.

\medskip\noindent
{\it Az 1.~feladat megold\'asa:} Legyen $F(u)$ a $\zeta$, $H(y)$ az
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye. Ekkor $EG(\zeta,y)=\int G(u,y)
F(\,du)$, \'es azt kell bel\'atnunk, hogy tetsz\H{o}leges
Borel-m\'erhet\H{o} $A$ halmazra
$\int_A EG(\zeta,y)H(\,dy)=EG(\zeta,\eta)I_A(\eta)$. Viszont
$$
\align
EG(\zeta,\eta)I_A(\eta)&=\int I_A(y) G(u,y)F(\,du)H(\,dy)\\
&=\int I_A(y)\[\int G(u,y)F(\,du)\]H(\,dy)=\int_A EG(\zeta,y)H(\,dy)
\endalign
$$
a Fubini t\'etel alapj\'an, ahol $I_A(\cdot)$ az $A$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'eny\'et jel\"oli.

\medskip\noindent
{\it A 2.~feladat megold\'asa.}\/
A t\"obbdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asr\'ol sz\'ol\'o
el\H{o}ad\'as eredm\'enyei alapj\'an a $(\xi,\eta)$ v\'eletlen
vektor $\xi$ koordin\'at\'aja el\H{o}\'all\'{\i}that\'o
$\xi=a\eta+\zeta$ alakban $a=\frac{\Cov(\xi,\eta)}{\Var\eta}$
v\'alaszt\'assal \'ugy, hogy $\zeta=\xi-a\eta$ \'es $\eta$
f\"uggetlen, norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok. Ez\'ert
$P(\xi<x|\eta=y)=P(a\eta+\zeta<x|\eta=y)=P(ay+\zeta<x)$
az 1.~feladat eredm\'enye alapj\'an. (Ez az 1. feladat
eredm\'eny\'eb\H{o}l k\"ovetkezik, ha azt a k\"ovetkez\H{o}
$G(u,v)=G_x(u,v)$ f\"uggv\'enyre alkalmazzuk: $G(u,v)=1$, ha
$u+av<x$, \'es $G(u,v)=0$, ha $u+av\ge0$, ahol
$a=\frac{\Cov(\xi,\eta)}{\Var\eta}$.) Viszont $\zeta$ norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$E\xi-aE\eta=E\xi-\frac{\Cov(\xi,\eta)E\eta}{\Var\eta}$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es $\Var\xi+a^2\Var\eta-2a\Cov(\xi,\eta)=
\Var\xi-\frac{\Cov(\xi,\eta)^2}{\Var\xi}$ sz\'or\'asn\'egyzettel.
M\'asr\'eszt $Eay+\zeta=ay+E\zeta$, \'es $\Var(ay+\zeta)=\Var\zeta$,
ahonnan k\"ovetkezik, hogy a feladat megold\'as\'aban megjelen\H{o}
norm\'alis eloszl\'asnak val\'oban az ott megadott $m$ v\'arhat\'o
\'ert\'eke \'es $\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzete van.

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es.

El\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} az el\H{o}ad\'as f\H{o} r\'esz\'eben
megfogalmazott eredm\'eny bizony\'{\i}t\'as\'at ismertetem.

\medskip\noindent
{\it A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'enyeinek a jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel
bizony\'{\i}t\'asa.} Az anal\'{\i}zis \'altal\'anos
eredm\'enyeib\H{o}l k\"ovetkezik, hogy ha $g(x_1,\dots,x_k)$
Borel m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny, akkor a $g(\xi_1,\dots,\xi_k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o m\'erhet\H{o} a
$\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal
gener\'alt $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'ara. Az \'all\'{\i}t\'as
megford\'{\i}t\'as\'at el\H{o}sz\"or a $\Cal F$ m\'erhet\H{o}
indik\'ator f\"uggv\'enyekre l\'atom be, azaz megmutatom, hogy
ha $A\in \Cal F$, akkor l\'etezik olyan $g(x_1,\dots,x_k)$ Borel
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny, amelyre
$g(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))=1$, ha $\oo\in A$, \'es
$g(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))=0$, ha $\oo\notin A$. Tov\'abb\'a
ez a $g(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny v\'alaszthat\'o \'ugy, mint
az $R^k$ t\'er egy Borel m\'erhet\H{o} halmaz indik\'ator
f\"uggv\'enye.

Abban a speci\'alis esetben, ha
$A=\prodd_{j=1}^k I(\{\oo\colon\;\xi_j(\oo)\in B_j\})$
valamely $B_1,\dots,B_k$ Bo\-rel m\'erhet\H{o} halmazokkal,
\'es $I(B)$ egy $B$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'eny\'et jel\"oli,
az \'all\'{\i}t\'as nyilv\'anval\'o a $g(x_1,\dots,x_k)=1$, ha
$x_j\in B_j$, $1\le j\le k$, \'es $g(x_1,\dots,x_k)=0$
egy\'ebk\'ent f\"uggv\'enyv\'alaszt\'assal. Ez\'ert el\'eg
bel\'atni, hogy a k\'{\i}v\'ant tuladjons\'aggal rendelkez\H{o}
halmazok $\sigma$-algebr\'at alkotnak. Ez viszont k\"ovetkezik a
k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etelb\H{o}l. Ha
$I(\oo\colon\;\oo\in A)=g(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$, akkor
$I(\oo\colon\;\oo\notin A)=1-g(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$, \'es
ha $I(\oo\colon\;\oo\in A_j)=g_j(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$,
$j=1,2,\dots$, akkor
$I(\oo\colon\;\oo\in \bigcupp_{j=1}^\infty A_j)=
g(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$
$g(x_1,\dots,x_k)=\max\limits_{1\le j<\infty}g(x_1,\dots,x_k)$
v\'alaszt\'assal, \'es az \'{\i}gy defini\'alt $g(x_1,\dots,x_k)$
f\"uggv\'eny szint\'en egy Borel m\'erhet\H{o} halmaz
indik\'ator f\"uggv\'enye.

Ezut\'an k\"onnyen l\'athat\'o, hogy amennyiben az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o l\'epcs\H{o}s f\"ugg\-v\'eny
az $(\Omega,\Cal F,P)$ t\'eren, azaz fel\'{\i}rhat\'o
$\eta=\summ_{j=1}^l c_l I(A_j)$ v\'eges \"osszeg alakban valamely
$A_j\in\Cal F$ diszjunkt halmazok \"osszegek\'ent, akkor l\'etezik
$\eta=g(\xi_1,\dots,\xi_k)$ alak\'u el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa
alkalmas Borel m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
Tov\'abb\'a, ha $\eta_j$, $j=1,2\dots$, l\'epcs\H{o}s
f\"uggv\'enyek, $\supp\eta_j(\oo)<\infty$ minden $\oo\in\Omega$
elemi esem\'enyre, akkor az $\eta=\supp\eta_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o is el\H{o}\'all\'{\i}that\'o
a k\'{\i}v\'ant $\eta=g(x_1,\dots,x_k)$ alakban.

Val\'oban, legyen $\eta_j=g_j(\xi_1,\dots,\xi_k)$, $j=1,2,\dots$,
\'es defini\'aljuk a $g(x_1,\dots,x_k)=\supp g_j(x_1,\dots,x_k)$
f\"uggv\'enyt, ha $\supp g_j(x_1,\dots,x_k)<\infty$, \'es
legyen $g(x_1,\dots,x_k)=0$, ha
$\supp g_j(x_1,\dots,x_k)=\infty$. Ez megadja a
k\'{\i}v\'ant el\H{o}\'all\'{\i}t\'ast. Mivel tetsz\H{o}leges
pozit\'{\i}v $\Cal F$ m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o el\H{o}\'all\'{\i}that\'o, mint monoton n\"ovekv\H{o}
elemi f\"uggv\'enyek limesze, innen k\"ovetkezik az ilyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\'{\i}v\'ant alak\'u
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa is. Ezut\'an egy \'altal\'anos $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot fel\'{\i}rva
$\eta=\eta_+-\eta_-$ alakban, ahol $\eta_+=\max(\eta,0)$,
$\eta_-=-\min(\eta,0)$,
megkapjuk a k\'{\i}v\'ant reprezent\'aci\'ot tetsz\H{o}leges
$\Cal F$ m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora.

A k\'{\i}v\'ant el\H{o}\'all\'{\i}t\'as (a t\'etel \'ertelm\'eben
vett) egy\'ertelm\H{u}s\'eg\'enek bel\'at\'asa
\'erdek\'eben vegy\"uk egy $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o k\'et
$$
\eta(\oo)=g_1(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\quad \text{\'es} \quad
\eta(\oo)=g_2(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))
$$
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at \'es a
$h(x_1,\dots,x_k)=g_1(x_1,\dots,x_k)-g_2(x_1,\dots,x_k)$
k\"ul\"onbs\'egf\"uggv\'enyt. Ekkor
$h(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))=0$ majdnem minden
$\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre, \'es ez csak \'ugy lehets\'eges,
ha $h(x_1,\dots,x_k)=0$ a $(\xi_1,\dots,x_k)$ v\'eletlen vektor
$\mu$ eloszl\'asa szerint majdnem minden pontban.

\medskip
A felt\'eteles regul\'aris eloszl\'as l\'etez\'es\'er\H{o}l
sz\'ol\'o t\'etelnek al\'abbi \'altal\'anosabb alakj\'at
bizony\'{\i}tom, amelyben \'ert\'ek\"uket tetsz\H{o}leges teljes
szepar\'abilis metrikus t\'erben felvev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat tekintek.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel regul\'aris felt\'eteles eloszl\'asok
l\'etez\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen $\xi(\oo)$ egy \'ert\'ekeit
valamely $(U,\rho)$ teljes szepar\'abilis metrikus t\'erben
felvev\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
mez\H{o}n, \'es legyen adva a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}
valamely $\Cal F\subset \Cal A$ r\'esz-$\sigma$-algebr\'aja.
Jel\"olje $\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebr\'at az $(U,\rho)$
metrikus t\'eren. A $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak l\'etezik az $\Cal F$ $\sigma$-algebra sze\-rin\-ti
regul\'aris felt\'eteles eloszl\'asa, azaz meg lehet adni egy
olyan $F(B,\oo)$, $F(B,\oo)\colon\;\Cal B\times \Omega\to R^1$
f\"uggv\'enyt, amelyre

\medskip
\item{i.)} $F(B,\cdot)$  minden $B\in\Cal B$ halmazra $\Cal F$
m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.

\item{ii.)} $F(\cdot,\oo)$ minden $\oo\in\Omega$ pontra
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az $(U,\rho)$ metrikus
t\'er $\Cal B$ $\sigma$-algebr\'aj\'an, azaz $F(U,\oo)=1$,
$0\le F(B,\oo)\le 1$ minden $B\in \Cal B$ halmazra, \'es
$$
F\(\bigcupp_{k=1}^\infty B_k,\oo\)=\summ_{k=1}^\infty F(B_k,\oo)
$$
minden diszjunkt $B_k\in\Cal B$, $k=1,2,\dots$, hal\-ma\-zok\-b\'ol
\'all\'o rendszerre.

\item{iii.)} $F(B,\oo)=P\(\xi(\oo))\in B|\Cal F\)(\oo)$ minden
$B\in \Cal B$ halmazra. Ez azt jelenti, hogy az
$F(B,\oo)$ f\"uggv\'eny \'ugy tekinthet\H{o}, mint a
$P\(\xi(\oo))\in B|\Cal F\)(\oo)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg egyik verzi\'oja. Ez \'ugy is
megfogalmazhat\'{o}, hogy $F(B,\oo)$ annak a $Q_B$ m\'ert\'eknek a
a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek szerinti
$\frac{dQ_B}{dP}$ Radon--Nikodym deriv\'altja az
$(\Omega,\Cal F,P)$ m\'ert\'ekt\'eren, amelyet a
$Q_B(A)=P(B\cap A)$, $A\in\Cal F$, k\'eplet defini\'al.}
\medskip

\medskip
A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa el\H{o}tt megfogalmazok n\'eh\'any
a bizony\'{\i}t\'asban hasznos \'all\'{\i}t\'ast lemma
form\'aj\'aban. Ezek bizony\'{\i}t\'as\'at itt nem t\'argyalom.

\medskip\noindent
{\bf 1.~lemma.} {\it Egy $(X,\Cal A)$ m\'erhet\H{o} t\'er
megsz\'aml\'alhat\'o sok $\Cal A$ m\'erhet\H{o} halmaz\'ab\'ol
\'all\'o $\Cal C$ halmazrendszert tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb
algebra szint\'en megsz\'aml\'alhat\'o sz\'amoss\'ag\'u.}

\medskip\noindent
{\bf 2.~lemma.} {\it Legyen $(X,\rho)$ egy szepar\'abilis teljes
metrikus t\'er, \'es $\mu$ egy v\'eges m\'ert\'ek e t\'er $\Cal A$
Borel $\sigma$-algebr\'aj\'an. Ekkor minden $B\in\Cal A$ halmazra
\'es $\e>0$ sz\'amra l\'etezik olyan $K\subset B$ kompakt halmaz,
amelyre $\mu(K)\ge\mu(B)-\e$.}

\medskip\noindent
{\bf 3.~lemma.} {\it Legyen $K_1\supseteq K_2\supseteq\cdots$
egym\'asba skatuly\'azott kompakt halmazok csal\'adja egy
$(X,\rho)$ szepar\'abilis teljes metrikus t\'erben, amelyek metszete
\"ures, azaz $\bigcapp_{n=1}^\infty K_n=\emptyset$. Ekkor
l\'etezik olyan $n$ index, amelyre $K_n=\emptyset$.}

\medskip\noindent
{\bf 4.~lemma.} {\it Legyen $\mu$ egy (v\'egesen) addit\'{\i}v,
nem negat\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny egy $X$ t\'er $\Cal C$
algebr\'aj\'an. Ez a $\mu$ halmazf\"uggv\'eny $\sigma$-addit\'{\i}v
a $\Cal C$ algebr\'an, ha teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
folytonoss\'agi tulajdons\'agot: Minden olyan egym\'asba
skatuly\'azott $B_1\supseteq B_2\supseteq B_3\supseteq\cdots$,
$B_n\in\Cal C$, $n=1,2,\dots$,
halmazrendszerre, amelyre $\bigcapp_{n=1}^\infty B_n=\emptyset$
teljes\"ul a $\limm_{n\to\infty}\mu(B_n)=0$ rel\'aci\'o.}

\medskip
Az \"ot\"odik lemma megfogalmaz\'asa el\H{o}tt bevezetem a
k\"ovetkez\H{o} definici\'ot.

\medskip\noindent
{\bf Monoton halmazoszt\'alyok definici\'oja.} {\it Ha egy $X$
halmaz r\'eszhalmazainak $\Cal C$ csa\-l\'ad\-ja olyan
tulajdons\'ag\'u, hogy $C_n\in \Cal C$, $C_n\subseteq C_{n+1}$,
$n=1,2,\dots$, eset\'en $C_\infty=\bigcupp_{n=1}^\infty C_n\in\Cal C$,
\'es $C_n\in \Cal C$, $C_n\supseteq C_{n+1}$, $n=1,2,\dots$,
eset\'en $C_\infty=\bigcapp_{n=1}^\infty C_n\in\Cal C$, akkor
$\Cal C$-t mo\-no\-ton halmazoszt\'alynak nevezz\"uk.}

\medskip\noindent
{\bf 5.~lemma.} {\it Egy $\Cal C$ algebr\'at tartalmaz\'o
monoton halmazoszt\'aly tartalmazza a $\Cal C$ algebra \'altal
gener\'alt $\sigma$-algebr\'at is.}

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ El\H{o}sz\"or megmutatom,
hogy a t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at a k\"ovetkez\H{o}
`A~tu\-laj\-don\-s\'ag' igazol\'as\'ara lehet visszavezetni.

\medskip
\item{} {\it A tulajdons\'ag:}\/ L\'etezik egy (megsz\'aml\'alhat\'o
sok halmazb\'ol \'all\'o) $\Cal C\subset \Cal B$ algebra az
$(X,\rho)$ metrikus t\'eren \'ugy, hogy a $\Cal B$
$\sigma$-algebra a $\Cal C$ algebra \'altal gener\'alt
legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebra, valamint
a $Q(C,\oo)=P(\xi(\oo)\in C|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeknek egy verzi\'oja
minden $C\in\Cal C$ halmazra \'es egy olyan $\Omega_0\subset\Omega$
a $P(\Omega_0)=1$ \'es $\Omega_0\in\Cal F$ tulajdons\'agokat
teljes\'{\i}t\H{o} halmaz, amelyekre a $P(\cdot|\Cal F)(\oo)$
halmazf\"uggv\'eny 1-re norm\'alt m\'ert\'ek a $\Cal C$
algebr\'an minden $\oo\in\Omega_0$ elemi esem\'enyre.

\medskip
El\H{o}sz\"or megmutatom, hogy feltehetj\"uk, hogy az
`A tulajdons\'ag'-ot teljes\'{\i}t\H{o} rendszerben
$\Omega_0=\Omega$. Ennek \'erdek\'eben r\"ogz\'{\i}ts\"unk egy
tetsz\H{o}leges $P_0$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket a
$\Cal C$ algebr\'an, \'es terjessz\"uk ki a
$Q(C,\oo)=P(\xi\in C|\Cal F)(\oo)$ f\"uggv\'enyt az $\oo\in\Omega_0$
halmazr\'ol az $\oo\in\Omega$ halmazra a k\"ovetkez\H{o} k\'eplet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel: $Q(C,\oo)=P(C|\Cal F)(\oo)=P_0(C)$ minden
$C\in\Cal C$ halmazra \'es $\oo\in\Omega\setminus\Omega_0$ elemi
esem\'enyre.

Ezut\'an tekints\"uk minden $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre a
$Q(\cdot,\oo)$ m\'ert\'ek egy\'ertelm\H{u} kiterjeszt\'es\'et a
$\Cal C$ algebr\'ar\'ol a $\Cal B$ $\sigma$-algebr\'ara. Azt
\'all\'{\i}tom, hogy az \'{\i}gy kapott $Q(B,\oo)$, $B\in\Cal B$,
$\oo\in\Omega$, f\"uggv\'eny v\'alaszthat\'o, mint a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$Q(B,\oo)=F(B,\oo)=P(\xi(\oo)\in B|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles
eloszl\'asa az $\Cal F$ $\sigma$-algebra szerint. Ehhez azt kell
bel\'atni, hogy a $Q(B,\oo)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a
t\'etelben felsorolt (i), (ii) \'es (iii) tulajdons\'agot.

Tekints\"uk azon $B$ halmazok $\Cal B_0$ oszt\'aly\'at, amelyek
teljes\'{\i}tik az (i) tulajdons\'agot. Ekkor $\Cal C\subset
\Cal B_0$, \'es nem neh\'ez bel\'atni, hogy $\Cal B_0$ monoton
halmazoszt\'aly. Ez\'ert az 5.~lemma alapj\'an
$\Cal B\subseteq\Cal B_0$, teh\'at az (i) tulajdons\'ag teljes\"ul.
A (ii) tulajdons\'ag teljes\"ul\'ese nyil\-v\'an\-va\-l\'o. A (iii)
tulajdons\'ag igazol\'as\'ahoz azt kell ellen\H{o}rizni, hogy
$P(B\cap F)=\int_F Q(C,\oo)\,dP(\oo)$ minden $F\in\Cal F$
\'es $B\in\Cal B$ halmazra. Ennek \'erdek\'eben defini\'aljuk
minden $F\in\Cal F$ halmazra a $\mu_{1,F}(B)=P(B\cap F)$ \'es
$\mu_{2,F}(B)=\int _F Q(B,\oo)\,dP(\oo)$, $B\in\Cal B$,
halmazf\"uggv\'enyeket. Mivel mind $\mu_{1,F}$ mind $\mu_{2,F}$
m\'ert\'ek, \'es $\mu_{1,F}(C)=\mu_{2,F}(C)$ minden $C\in\Cal C$
halmazra, a m\'ert\'ekek kiterjeszt\'es\'enek egy\'ertelm\H{u}s\'ege
miatt egy algebr\'ar\'ol az \'altala gener\'alt legsz\H{u}kebb
$\sigma$-algebr\'ara a k\'et m\'ert\'ek megegyezik, \'es a (iii)
tulajdons\'ag is teljes\"ul.

Ezut\'an be kell l\'atni az `A tulajdons\'ag'-ot. Felhaszn\'alva azt,
hogy $(X,\rho)$ szepar\'abilis metrikus t\'er, tudunk v\'alasztani
megsz\'aml\'alhat\'o sok (ny\'{\i}lt) g\"omb\"ot, amelyek
gener\'alj\'ak a $\Cal B$ $\sigma$-algebr\'at. (Vehet\"unk egy
minden\"utt s\H{u}r\H{u} megsz\'aml\'alhat\'o halmazt az $(X,\rho)$
metrikus t\'eren \'es az e halmaz pontjai k\"or\"uli
racion\'alis sugar\'u g\"omb\"oket.) Az e halmazokat \'es az $X$
halmazt tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb algebra szint\'en
meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o sok elemb\H{o}l \'all az
1.~lemma szerint, \'es ezt fogjuk v\'alasztani az A~tulajdons\'agot
tel\-je\-s\'{\i}\-t\H{o} rendszerben a $\Cal C$ algebr\'anak.

Vezess\"uk be a $\mu(B)=P(\xi\in B)$, $B\in\Cal B$, k\'eplettel
defini\'alt $\mu$ m\'ert\'eket az $(X,\rho)$ metrikus t\'er
$\Cal B$ Borel $\sigma$-algebr\'aj\'an. Ezut\'an, felhaszn\'alva
a 2. lemma eredm\'eny\'et \'es azt a t\'enyt, hogy k\'et kompakt
halmaz uni\'oja is kompakt halmaz v\'alaszthatunk minden
$C\in\Cal C$ halmazhoz kompakt halmazok olyan
$K_{1,C}\subseteq K_{2,C}\subseteq\cdots$ monoton sorozat\'at,
amelyre $K_{n,C}\subseteq C$ minden $1\le n<\infty$ indexre, \'es
$\limm_{n\to\infty}\mu(K_{n,C})=\mu(C)$. Ezut\'an vezess\"uk be az
\"osszes $C\in\Cal C$ \'es $K_{n,C}$, $n=1,2,\dots$, $C\in\Cal C$
halmazt tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb $\Cal C_1$ algebr\'at. A
$\Cal C_1$ algebra szint\'en csak megsz\'aml\'alhat\'o sok elemet
tartalmaz. Azt \'all\'{\i}tom, hogy l\'etezik olyan
$\Omega_0\subset \Omega$, $P(\Omega_0)=1$, $\Omega_0\in\Cal F$
halmaz \'es egy $Q(C,\oo)$, $C\in\Cal C_1$, $\oo\in\Omega_1$
halmazf\"uggv\'eny, amely teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
tulajdons\'agokat.

\medskip
\item{i.} $Q(C,\oo)=P(\xi_1(\oo)\in C|\Cal F)(\oo)$ minden
$C\in\Cal C_1$ halmazra, azaz $Q(C,\oo)$ tekinthet\H{o}, mint e
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg (csak 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel meghat\'arozott) verzi\'oja.

\item{ii.} $Q(C,\oo)$ nem-negat\'{\i}v, addit\'{\i}v
halmazf\"uggv\'eny, \'es $Q(X,\oo)=1$ a $\Cal C_1$ algebr\'an
minden $\oo\in\Omega_0$ elemi esem\'enyre.
\item{iii.} $\limm_{n\to\infty}Q(K_{n,C},\oo)=Q(C,\oo)$ minden
$C\in\Cal C$ halmazra \'es $\oo\in\Omega_0$ elemi esem\'enyre.

\medskip
Val\'oban, tekints\"uk a
$Q(C,\oo)=P(\xi_1(\oo)\in C|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg egyik verzi\'oj\'at minden $C\in\Cal C_1$
halmazra \'es $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre. Bel\'atom, hogy el
lehet hagyni egy $\Omega_1$, $P(\Omega_1)=0$, $\Omega_1\in\Cal F$,
halmazt \'ugy, hogy a (ii) \'es (iii) tulajdons\'agok teljes\"ulnek
minden $\oo\in\Omega\setminus\Omega_1$ halmazra. Egy ilyen
v\'alaszt\'as teljes\'{\i}ti az (i) tulajdons\'agot is. A (ii)
tulajdons\'ag biztos\'{\i}t\'asa kapcs\'an vegy\"uk \'eszre, hogy
ez megsz\'aml\'alhat\'o sok olyan felt\'etel biztos\'{\i}t\'as\'at
jelenti, amelyek mindegyike teljes\"ul egy
1~val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} \'es $\Cal F$ m\'erhet\H{o}
halmazon. Ez\'ert l\'etezik olyan $\Omega_2\subset\Omega$,
$P(\Omega_2)=0$, $\Omega_2\in\Cal F$ halmaz \'ugy, hogy a (ii)
tulajdons\'ag teljes\"ul minden $\oo\notin\Omega_2$ elemi
esem\'enyre.

Ha $\oo\in\Omega\setminus\Omega_2$ akkor a $Q(K_{n,C},\oo)$
f\"uggv\'enysorozat monoton n\H{o}vekszik az $n$ v\'altoz\'oban
minden $C\in\Cal F$ halmazra, \'es $Q(K_{n,C},\oo)\le Q(C)$,
$n=1,2,\dots$. M\'asr\'eszt a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
tulajdons\'aga miatt
$$
\limm_{n\to\infty}\int Q(K_{n,C},\oo)\,dP(\oo)=
\limm_{n\to\infty}\mu(K_{n,C})=\mu(C)=
\int Q(C,\oo)\,dP(\oo)
$$
minden $C\in\Cal C$ halmazra. Innen
k\"ovetkezik, hogy $\limm_{n\to\infty}Q(K_{n,C},\oo)=Q(C,\oo)$
egy null m\'ert\'ek\H{u} $\Cal F$ m\'erhet\H{o} halmazt kiv\'eve
minden $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre. Mivel a (iii) felt\'etelben
megsz\'aml\'alhat\'o sok ilyen tulajdons\'ag teljes\"ul\'es\'et
\'{\i}rtuk el\H{o}, ez\'ert l\'etezik olyan $\Omega_3\subset\Omega$,
$P(\Omega_3)=0$, $\Omega_3\in\Cal F$ halmaz \'ugy, hogy a (iii)
tulajdons\'ag teljes\"ul minden $\oo\in\Omega\setminus\Omega_3$
elemi esem\'enyre. Ez\'ert a k\'{\i}v\'ant tulajdons\'agok
mindegyike teljes\"ul a $Q(C,\oo)$ f\"uggv\'enyre az
$\Omega_0=\Omega\setminus(\Omega_2\cup\Omega_3)$ halmazon.

Ezut\'an el\'eg megmutatni, hogy az (i), (ii) \'es (iii)
tulajdons\'agokb\'ol k\"ovetkezik, hogy a $\Cal C$ algebra
teljes\'{\i}ti az A~tulajdons\'agot. A 4.~lemma alapj\'an ehhez
el\'eg megmutatni azt, hogy minden olyan $C_n\in\Cal C$,
$n=1,2,\dots$, $C_1\subseteq C_2\subseteq\cdots$ halmazsorozatra,
amelyre $\bigcapp_{n=1}^\infty C_n=\emptyset$ \'es $\oo\in\Omega_1$
elemi esem\'enyre $\limm_{n\to\infty}Q(C_n,\oo)=0$.

Ezen \'all\'{\i}t\'as igazol\'asa \'erdek\'eben r\"ogz\'{\i}ts\"unk
egy kis $\e>0$ sz\'amot \'es v\'alasszunk mindegyik $C_n$
halmazhoz egy olyan $\bar n(n)=\bar n(n,\e,\oo)$ indexet, amelyre
$Q(K_{\bar n(n),C_n},\oo)\ge Q(C_n,\oo)-2^{-(n+1)}\e$. A
$\bigcapp_{n=1}^\infty C_n=\emptyset$ rel\'aci\'o \'es a 3.~lemma
alapj\'an $\bigcapp_{n=1}^\infty K_{\bar n(n),C_n}=\emptyset$,
\'es l\'etezik olyan $n_0$ index, amelyre
$\bigcapp_{n=1}^{n_0}K_{\bar n(n),C_{n}}=\emptyset$. Mivel
$$
C_{n_0}\subset\bigcupp_{n=1}^{n_0}(C_{n_0}\setminus K_{\bar n(n),C_n})
\cup\(\bigcapp_{n=1}^{n_0}K_{\bar n(n),C_{n}}\)
$$
innen k\"ovetkezik, hogy
$$
Q(C_{n_0},\oo)\le \summ_{n=1}^{n_0}
Q(C_{n_0}\setminus K_{\bar n(n),C_n},\oo)
\le \summ_{n=1}^{n_0} (Q(C_n,\oo)-Q(K_{\bar n(n),C_n},\oo)),
$$
\'es ez\'ert $Q(C_{n_0},\oo)\le\summ_{n=1}^\infty\e2^{-(n+1)}=\e$.
(Ebben a l\'ep\'esben kihaszn\'altuk, hogy a $Q(\cdot,\oo)$
halmazf\"uggv\'eny a $\Cal C_1$ algebr\'an is addit\'{\i}v.)
Ez\'ert $Q(C_{n_0},\oo)\le\e$, \'es
$\limsupp_{n\to\infty} Q(C_n,\oo))\le\e$ minden $\oo\in\Omega_0$
elemi esem\'enyre. Ez minden $\e>0$ sz\'amra igaz, \'{\i}gy
$\limm_{n\to\infty}Q_n(C_n,\oo)=0$.

\medskip
A felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ekek
ki\-sz\'a\-mo\-l\'a\-s\'a\-r\'ol sz\'ol\'o t\'etelnek
regul\'aris eloszl\'asok se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel szint\'en
l\'etezik \'altal\'anos\'{\i}t\'asa \'altal\'anos terekben
defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok\-ra.
Ennek az al\'abb megfogalmazott eredm\'enynek a
bizony\'{\i}t\'as\'at fogom ismertetni.

\medskip\noindent
{\bf A felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek regul\'aris felt\'eteles
eloszl\'asok se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel val\'o
ki\-sz\'a\-mo\-l\'a\-s\'a\-r\'ol
sz\'ol\'o t\'etel \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.} {\it Legyen adva
k\'et $(X,\Cal U)$ \'es $(Y,\Cal V)$ m\'erhet\H{o} t\'er, egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'an\H{u}s\'egi mez\H{o} mez\H{o}
\'es azon egy $\Cal F\subset \Cal A$ $\sigma$-algebra. Legyen
ezenk\'{\i}v\"ul adva egy $\xi$, \'ert\'ekeit az $(X,\Cal U)$
egy $\eta$, \'ert\'ekeit az $(Y,\Cal V)$ t\'erben felvev\H{o}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, amelyek
k\"oz\"ul $\eta$ $\Cal F$ m\'erhet\H{o}, \'es egy olyan $h(x,y)$
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny az $(X\times Y,\Cal U\times\Cal V)$
szorzatt\'eren, amelyre $E|h(\xi,\eta)|<\infty$. Tegy\"uk fel
ezenk\'{\i}v\"ul, hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak l\'etezik egy $F(B,\oo)$,
$P(\xi(\oo)\in B|\Cal F)(\oo)=F(B,\oo)$, $B\subset\Cal U$,
$\oo\in\Omega$, regul\'aris felt\'eteles eloszl\'asa az $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'ara n\'ezve. Ekkor fel\'{\i}rhat\'o az
$$
E(h(\xi,\eta)|\Cal F)(\oo)=\int h(x,\eta(\oo))F(dx,\oo) \tag1
$$
azonoss\'ag.}

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Azt kell bel\'atni, hogy
az (1) formula jobboldal\'an szerepl\H{o} integr\'al $\Cal F$
m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
teljes\'{\i}ti a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
definici\'oj\'aban megadott ii.$'$) felt\'etelt. L\'assuk be
a m\'erhet\H{o}s\'egr\H{o}l sz\'ol\'o \'all\'{\i}t\'ast
el\H{o}sz\"or abban az esetben, ha $h(x,y)$ egy az $X\times Y$
t\'erben m\'erhet\H{o} $C$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'enye.

Ha $C=A\times B$, $A\in\Cal U$, $B\in \Cal V$ alak\'u, akkor ez az
\'all\'{\i}t\'as nyilv\'anval\'o. Ugyan\-csak nyilv\'anval\'o akkor,
ha $C$ v\'eges sok ilyen diszjunkt t\'eglalap uni\'oja. Viszont az
ilyen halmazok algebr\'at alkotnak. Ezut\'an viszonylag
egyszer\H{u}en ellen\H{o}rizhet\H{o}, hogy azon $C$ halmazok,
amelyek indik\'ator f\"uggv\'enye teljes\'{\i}ti a k\'{\i}v\'ant
m\'erhet\H{o}s\'egi felt\'etelt monoton halmazoszt\'alyt alkotnak.
Ez\'ert az 5.~lemma alapj\'an az ilyen halmazok csal\'adja
tartalmazza az el\H{o}bb tekintett $A\times B$ alak\'u halmazok
\'altal gener\'alt, azaz az $\Cal U\times V$ $\sigma$-algebr\'at.

A m\'erhet\H{o} halmazok indik\'atorf\"uggv\'enyeire m\'ar
bizony\'{\i}tott \'all\'{\i}t\'ast felhaszn\'alva megkapjuk, hogy
az (1) formula jobboldal\'an szerepl\H{o} integr\'al $\Cal F$
m\'erhet\H{o} akkor, ha $h(x,y)$ l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'eny, majd
az \'altal\'anos  f\"uggv\'enyeket l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enyek e
f\"ugg\-v\'eny\-hez konverg\'al\'o sorozat\'aval k\"ozel\'{\i}tve
megkapjuk a k\'{\i}v\'ant $\Cal F$ m\'erhet\H{o}s\'egi
\'all\'{\i}t\'ast minden olyan m\'erhet\H{o} $h(x,y)$
f\"uggv\'enyre, amelyre $E|h(\xi,\eta)|<\infty$.

A ii.$'$) felt\'etelt is el\H{o}sz\"or m\'erhet\H{o} halmazok
indik\'ator f\"uggv\'enyeire l\'atjuk be. Ezen bel\"ul is
el\H{o}sz\"or azt az esetet tekintj\"uk, amikor
$h(x,y)=I_A(x)I_B(u)$, $A\in\Cal U$, $B\in\Cal V$. Ekkor
$$
E(h(\xi,\eta)|\Cal F)=E(I_A(\xi)|\Cal F)I_B(\eta)
=F(A,\oo)I_B(\eta(\oo)
$$
\'es ez nyilv\'an egyenl\H{o} az (1) formula jobboldal\'an
szerepl\H{o} integr\'allal ebben az esetben.

Egy \'altal\'anos $C\in\Cal U\times\Cal V$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'eny\'ere a k\"ovetkez\H{o} rel\'aci\'ot kell
ellen\H{o}rizni.

R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy tetsz\H{o}leges $G\in \Cal F$
esem\'enyt, \'es defini\'aljuk el\H{o}sz\"or a
$$
\mu_{1,G}(C)=P(\{\oo\colon\;(\xi(\oo),
\eta(\oo))\in A\}\cap F),
\quad C\in \Cal U\times\Cal V,
$$
m\'ert\'eket az $(X\times Y,\Cal U\times\Cal V)$ t\'eren. Ezut\'an
vezess\"uk be minden $y\in Y$ pont\-ra \'es $C\in \Cal U\times\Cal V$
halmazra a $C$ halmazra a k\"ovetkez\H{o} $C(y)\in\Cal U$
(metszet)halmazt: $C(y)=\{x\colon\;(x,y)\in C\}$.
Vezess\"uk be tov\'abb\'a a $H(y,\oo)=H_C(y,\oo)=F(C(y),\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, ahol $F(\cdot,\oo)$ a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o felt\'eteles
eloszl\'asf\"uggv\'enye,
felt\'eve a $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'at. (A $H(y,\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot \'ugy defini\'altam, hogy
ez az (1) f\"uggv\'eny jobboldal\'an defini\'alt integr\'allal
egyenl\H{o} akkor, ha $h(\cdot)$ a $C$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'enye. Ezut\'an defini\'aljuk a
$$
\mu_{2,G}(C)=\int_G H(\eta(\oo))\,dP(\oo), \quad A\in \Cal R^{k+l}
$$
m\'ert\'eket az $(X\times Y,\Cal U\times \Cal V)$ szorzatt\'eren.
Azt kell igazolni, hogy $\mu_{1,G}(C)=\mu_{2,G}(C)$ minden
$C\in \Cal U\times\Cal V$ halmazra, ami azt jelenti, hogy a
ii$'$) azonoss\'ag igaz minden ilyen halmaz
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-re.

Ezt az azonoss\'agot m\'ar ellen\H{o}rizt\"uk abban a
speci\'alis esetben, amikor $C=A\times B$, $A\in \Cal U$,
$B\in\Cal V$, \'es a k\'{\i}v\'ant azonoss\'ag
k\"ovetkezik ebb\H{o}l tetsz\H{o}leges $C\in \Cal U\times \Cal V$
halmazra is a $\mu_{1,G}$ \'es $\mu_{2,G}$ m\'ert\'ekek
kiterjeszt\'es\'enek egy\'ertelm\H{u}s\'ege miatt a
$\Cal U\times\Cal V$ $\sigma$-algebr\'ara.

Az \'altal\'anos eset visszavezet\'ese a m\'ar bebizony\'{\i}tott
\'all\'{\i}t\'ashoz hasonl\'o, csak egy\-sze\-r\H{u}bb
\'ervel\'esen alapul. R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $G\in \Cal F$
esem\'enyt \'es defini\'aljuk minden olyan $h(x,y)$ m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'enyre, amelyre $E|h(\xi,\eta)|<\infty$ a
$$
K_1(G,h)=\int_G h(\xi(\oo),\eta(\oo))\,dP(\oo)
$$
\'es
$$
K_2(G,h)=\int_G\[\int h(x,\eta(\oo))F(dx,\oo)\]\,dP(\oo)
$$
integr\'alokat. Azt kell bel\'atni, hogy $K_1(G,h)=K_2(G,h)$
minden olyan $h$ f\"uggv\'enyre, amelyre $E|h(\xi,\eta)|<\infty$.
Ezt az azonoss\'agot tudjuk abban az esetben, ha $h(\cdot)$
az $X\times Y$ t\'er egy m\'erhet\H{o} halmaz\'anak indik\'ator
f\"uggv\'enye. Mivel mind $K_1(G,h)$ mind $K_2(G,h)$ a $h$
f\"uggv\'enynek line\'aris f\"uggv\'enye (r\"ogz\'{\i}tett
$G\in\Cal F$ esem\'enyre) ez\'ert ez az \'all\'{\i}t\'as
igaz minden l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enyre. Ezut\'an limeszel\'essel
megkapjuk azt nem-negat\'{\i}v majd tetsz\H{o}leges
f\"uggv\'enyekre. Az (egyszer\H{u}) r\'eszletek kidolgoz\'as\'at
elhagyom.

\medskip
A {\it felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek kisz\'amol\'as\'ar\'ol
sz\'ol\'o t\'etel egy v\'altozata} eredm\'eny hasonl\'oan
bizony\'{\i}that\'o, ez\'ert ennek t\'argyal\'as\'at elhagyom.

\bye


B\'ar a Radon--Nikodym t\'etel bizony\'{\i}t\'asa a
m\'ert\'ekelm\'elet t\'argya, r\"oviden is\-mer\-te\-tem a
bizony\'{\i}t\'as  n\'eh\'any fontos gondolat\'at annak
\'erdek\'eben, hogy l\'assuk, mi\'ert csak exisztencia
bizony\'{\i}t\'ast tudunk adni a Radon--Nikodym deriv\'alt
l\'etez\'es\'er\H{o}l. A t\'etel (klasszi\-kus)
bizony\'{\i}t\'as\'aban fontos szerepet j\'atszik az al\'abb
ismertetend\H{o}, az irodalomban Hahn-f\'ele felbont\'asi t\'etelnek
ne\-ve\-zett ered\-m\'e\-ny. Ez olyan t\'enyt fejez ki, hogy
tetsz\H{o}leges el\H{o}jeles m\'ert\'eknek van egy pozit\'{\i}v
\'es negat\'{\i}v r\'esze, \'es az el\H{o}jeles m\'ert\'ek ezek
\"osszegek\'ent \'{\i}rhat\'o fel.

\medskip\noindent
{\bf Hahn-f\'ele felbont\'asi t\'etel.} {\it Legyen adva egy
$(X, \Cal A)$ m\'ert\'ekt\'er, azaz egy $X$ halmaz, \'es annak
,,m\'erhet\H{o}'' halmazai, melyek egy $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at
alkotnak, \'es egy $\nu$ $\sigma$-addit\'{\i}v el\H{o}jeles
m\'ert\'ek az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'ar\'an. (Ez azt jelenti,
hogy minden $A\in\Cal A$ halmaz el\H{o}\'all\'{\i}that\'o v\'eges
sok vagy megsz\'aml\'alhat\'o sok $A_n\in\Cal A$ halmaz
uni\'ojak\'ent \'ugy, hogy $A=\bigcupp A_n$,
$|\nu(A_n)|<\infty$ \'es vagy $\nu(B)<\infty$ vagy $\nu(C)>-\infty$
minden $C\in \Cal A$ halmazra.) Ekkor l\'etezik olyan $B\in \Cal A$
halmaz, melyre $\nu(C)\ge0$ minden $C\subset B$, $C\in \Cal A$ \'es
$\nu(D)\le0$ minden $D\subset X\setminus B$, $D\in \Cal A$ halmazra.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Tetsz\H{o}leges $A\in\Cal A$ halmazt
fel\'{\i}rhatunk $A=(A\cap B)\cup(A\setminus B)$ alakban. Ekkor
$\nu(A)=\nu(A\cap B)+\nu(A\setminus B$, $\nu(A\cap B)\ge0$ \'es
$\nu(A\setminus B)\le0$. Ez\'ert bevezethetj\"uk a
$\nu^+(A)=\nu(A\cap B)$ \'es $\nu^-(A)=\nu(A\setminus B)$
mennyis\'egeket minden $A\in\Cal A$ halmazra. A $\nu^+$ m\'ert\'eket
a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek pozit\'{\i}v r\'esz\'enek, a $\nu^-$
(negat\'{\i}v) m\'ert\'eket pedig a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek
negat\'{\i}v r\'esz\'enek nevezz\"uk. Az egyik probl\'ema, ami
miatt nem tudunk a Radon--Nikodym deriv\'altra j\'o explicit
konstrukci\'ot adni az, hogy a Hahn-f\'ele felbont\'ast sem tudjuk
explicit m\'odon megadni. R\'aad\'asul a Hahn-f\'ele felbont\'as
nem egy\'ertelm\H{u}. Ha $E\subset X$ olyan halmaz, amely minden
m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaz\'aval egy\"utt
nulla m\'ert\'ek\H{u}, akkor az lehet mind a $B$ mind az
$X\setminus B$ halmaznak a r\'esze.

\medskip
Legyen adva egy $\mu$ v\'eges m\'ert\'ek \'es egy $\nu$
el\H{o}jeles m\'ert\'ek ugyanazon az $(X,\Cal A)$ m\'ert\'ekt\'eren.
Tegy\"uk fel, hogy $\nu$ abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ek
szerint. Hogyan tudjuk megtal\'alni a $\nu$ el\H{o}jeles
m\'ert\'eknek a $\mu$ m\'ert\'ek szerinti Radon--Nikodym
deriv\'altj\'at? A $\nu$ m\'ert\'ek Hahn felbont\'asa megadja, hol
kell ezt a Radon--Nikodym deriv\'altat poz\'{\i}t\'{\i}vnak \'es hol
kell negat\'{\i}vnak v\'alasztani. Hasonl\'oan v\'eve egy
tetsz\H{o}leges $c$ val\'os sz\'amot, \'es tekintve a $\nu-c\mu$
m\'ert\'ek Hahn-felbont\'as\'at, meg tudjuk mondani, hol lesz a
Radon--Nikodym deriv\'alt nagyobb vagy egyenl\H{o}, mint $c$. A
bizony\'{\i}t\'as ennek a gondolatnak a k\"ovetkezetes
v\'egigvitel\'eb\H{o}l \'all. A f\H{o} probl\'ema az, hogy a
Hahn-felbont\'as csak egzisztecia t\'etel, ez\'ert nem teszi
lehet\H{o}v\'e, hogy egyszer\H{u} m\'odszert adjunk a
Radon--Nikodym deriv\'alt kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara. R\'aad\'asul,
mint az el\H{o}z\H{o} paragrafusban megjegyeztem, a $\nu-c\mu$
m\'ert\'ek Hahn-f\'ele felbont\'asa nem egy\'ertelm\H{u}. Ez azt is
jelenti, hogy az el\H{o}bb javasolt konstrukci\'o m\'odszer\'et
finom\'{\i}tani kell.

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.} Jel\"olje $\Cal C_1$ a $\Cal C$
halmazrendszert, \'es defini\'aljuk a $\Cal C_2\supset C_1$
halmazrendszert, amely az \"osszes $A\cup B$, $A\cap B$,
$X\setminus A$ alak\'u halmazb\'ol \'all, ahol $A,B\in \Cal C_1$.
Hasonl\'oan, defini\'aljuk indukt\'{\i}v m\'odon az egym\'asba
skatuly\'azott $\Cal C_j$, $j=1,2,\dots$, halmazrendszereket \'ugy,
hogy  $\Cal C_{j+1}$ az \"osszes $A\cup B$, $A\cap B$,
$X\setminus A$ alak\'u halmazb\'ol \'all, ahol $A,B\in \Cal C_j$.
Legyen $\Cal C_\infty=\bigcupp_{j=1}^\infty \Cal C_j$. Nem neh\'ez
ellen\H{o}rizni, hogy $\Cal C_\infty$ megsz\'aml\'alhat\'o sok
halmazb\'ol \'all, \'es algebra.

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.} Minden $\eta>0$, $\delta>0$
\'es $B\in\Cal A$ halmazhoz l\'etezik olyan
$F(\rho,\eta)\subset B$ halmaz, amely el\H{o}\'all, mint v\'eges
sok $\rho$ halmazn\'al kisebb \'atm\'er\H{o}j\H{u}
halmaz, \'es $\mu(F(\rho,\eta))\ge\mu(B)$. Val\'oban, mivel
$(X,\rho)$ t\'er szepar\'abilis az $X$ t\'er lefedhet\H{o}
megsz\'aml\'alhat\'o sok $\rho$ \'atm\'er\H{o}j\H{u} g\"omb
uni\'ojak\'ent. Ezt elmetszve a $B$ halmazzal a $B$ halmaz
el\H{o}\'all megsz\'aml\'alhat\'o sok $\rho$-n\'al kisebb
\'atm\'er\H{o}j\H{u}