\magnification=\magstep1 \input amstex \hsize=16truecm \TagsOnRight %\parskip=1pt plus 1pt \parskip=3pt plus 1pt \define\A{{\bold A}} \define\BB{{\bold B}} \define\DD{{\bold D}} \define\T{{\bold T}} \define\U{{\bold U}} \define\({\left(} \define\){\right)} \define\[{\left[} \define\]{\right]} \define\e{\varepsilon} \define\oo{\omega} \define\const{\text{\rm const.}\,} \define\supp {\sup\limits} \define\inff{\inf\limits} \define\summ{\sum\limits} \define\prodd{\prod\limits} \define\limm{\lim\limits} \define\limsupp{\limsup\limits} \define\liminff{\liminf\limits} \define\bigcapp{\bigcap\limits} \define\bigcupp{\bigcup\limits} \define\Var{\text{\rm Var}\,} \define\Cov{\text{\rm Cov}\,} \centerline{\bf Feladatok:} \medskip \item{1.)} Dobjunk fel egy szab\'alyos dob\'okock\'at egym\'as ut\'an egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul v\'egtelen sokszor. Sz\'am\'{\i}tsuk ki annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a harmadik hatos dob\'as vagy a huszadik vagy valamely k\'es\H{o}bbi dob\'asban jelenik meg. \item{} {\it Els\H{o} megold\'as.}\/ Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 3. hatos dob\'as az $n$-ik dob\'asban jelenik meg $\binom {n-1}2 \(\frac56\)^{n-3}\(\frac16\)^3$. Ez\'ert a tekintett esem\'eny a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $$ \sum_{n=20}^\infty\binom {n-1}2 \(\frac56\)^{n-3}\(\frac16\)^3. $$ \item{} {\it M\'asodik megold\'as.}\/ El\H{o}sz\"or megmutatom, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a harmadik hatos dob\'as a 20. dob\'asban vagy azut\'an jelenik meg egyenl\H{o} annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy a az els\H{o} tizenkilenc dob\'asban 0, 1 vagy k\'et hatos dob\'as t\"ort\'ent. Val\'oban, a keresett esem\'eny komplementere az az esem\'eny, hogy a harmadik hatos dob\'as vagy az els\H{o} tizenkilenc dob\'as valamelyik\'eben vagy soha nem k\"ovetkezett be. De mivel az ut\'obbi esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nulla (1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'egtelen sok hatos dob\'as van egy szab\'alyos dob\'okocka v\'egtelen dob\'assorozatban), \'es egy esem\'eny bek\"ovetkez\'es\'enek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egyenl\H{o} 1 minusz a komplementer esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel. Ez\'ert a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg egyenl\H{o} 1 minusz annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} 19 dob\'asban legal\'abb h\'arom hatos dob\'as t\"ort\'ent. Ez viszont egyenl\H{o} annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} 19 dob\'asban 0, 1 vagy k\'et hatos dob\'as t\"ort\'ent. Ez\'ert a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $$ \(\frac56\)^{19}+\binom{19}1\(\frac56\)^{18}\frac16 +\binom{19}2\(\frac56\)^{17}\(\frac16\)^2. $$ \item{2.)} Az el\H{o}z\H{o} feladat k\'et megold\'as\'aban ugyanannak az esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere k\'et form\'alisan k\"ul\"onb\"oz\H{o} kifejez\'est kaptunk. Mutassuk meg k\"ozvetlen\"ul (val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi meggondol\'asok n\'elk\"ul), hogy a k\'et kifejez\'es egyenl\H{o}. Adjunk az anal\'{\i}zis m\'odszereit alkalmaz\'o bizony\'{\i}t\'ast arra a bizony\'{\i}t\'asban felhaszn\'alt eredm\'enyre is, hogy egy szab\'alyos dob\'okocka 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel tartalmaz legal\'abb h\'arom 6-os dob\'ast. \item{} {\it Megold\'as.} El\H{o}sz\"or az 1. feladat els\H{o} megold\'as\'aban szerepl\H{o} v\'egtelen \"osszeget sz\'amolom ki az $(1+x)^\alpha=\summ_{k=0}^\infty\binom \alpha k x^k$, ha $|x|<1$ azonoss\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ahol $\binom \alpha k =\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}$. (A fenti azonoss\'ag minden val\'os $\alpha$ (teh\'at nem felt\'etlen\"ul pozit\'{\i}v eg\'esz) sz\'amra is \'erv\'enyes, \'es az $(1+x)^\alpha$ f\"uggv\'eny Taylor sorfejt\'es\'eb\H{o}l k\"ovetkezik.) Vegy\"uk \'eszre, hogy $$ \binom{n-1}2=\binom{n-1}{n-3}={(-1)^{n-1}}\frac{(-3)(-4)\cdots(1-n)} {(n-3)!}=(-1)^{n-1}\binom{-3}{n-3}, $$ ahonnan $\summ_{n=3}^{\infty}\binom{n-1}2x^{n-3}= \summ_{n=3}^{\infty}\binom{-3}{n-3}(-x)^{n-3}= \summ_{n=0}^{\infty}\binom{-3}n(-x)^n=(1-x)^{-3}$ minden $|x|<1$ sz\'amra. Speci\'alisan, $x=\frac56$ v\'alaszt\'assal $\summ_{n=3}^{\infty} \binom{n-1}2\(\frac5{6}\)^{n-3}\(\frac16\)^3=1$. Ez az azonoss\'ag ekvivalens azzal az \'all\'{\i}t\'assal, hogy egy szab\'alyos dob\'okocka v\'egtelen sok egym\'as ut\'ani feldob\'asa eset\'en 1 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel legal\'abb 3 hatos dob\'as megjelenik. \item{} Hasonl\'o sz\'amol\'assal bebizony\'{\i}tom az $$ \align &\binom{19}0 x^{19} (1-x)^{-3}+\binom{19}1x^{18}(1-x)^{-2} +\binom{19}2x^{17}(1-x)^{-1}\\ &=\sum_{n=17}^\infty\binom {n+2}2 x^n =\sum_{n=20}^\infty\binom {n-1}2 x^{n-3} \endalign $$ azonoss\'agot. Ez ut\'obbi azonoss\'ag mind a k\'et oldal\'at megszorozva $(1-x)^3$-nel, \'es az \'{\i}gy kapott azonoss\'agba behelyettes\'{\i}tve az $x=\frac56$ \'ert\'eket megkapjuk, hogy az 1. feladatban szerepl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre adott k\'et kifejez\'es egyenl\H{o}. \item{} A bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag baloldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'est Taylor sorba fejthetj\"uk a k\"ovetkez\H{o} azo\-nos\-s\'a\-gok seg\'{\i}ts\'eg\'evel: $(1-x)^{-3}=\summ_{n=0}^\infty\binom {-3}n (-1)^{n}x^n =\summ_{n=0}^\infty\binom {n+2}n x^n =\summ_{n=0}^\infty\binom {n+2}2 x^n$, $(1-x)^{-2}=\summ_{n=0}^\infty\binom {-2}n (-1)^{n}x^n =\summ_{n=0}^\infty\binom {n+1}1 x^n$, \'es $(1-x)^{-1}=\summ_{n=0}^\infty\binom n0 x^n$. Ezen azo\-nos\-s\'a\-gok seg\'{\i}ts\'eg\'evel azt kapjuk, hogy $$ \align &x^{19} (1-x)^{-3}+\binom{19}1x^{18}(1-x)^{-2} +\binom{19}2x^{17}(1-x)^{-1}\\ &\qquad =\sum_{n=0}^\infty\binom {n+2}2\binom{19}0 x^{n+19} +\sum_{n=0}^\infty\binom {n+1}1\binom{19}1 x^{n+18} +\sum_{n=0}^\infty\binom {n}0\binom{19}2 x^{n+17}. \endalign $$ Ebben a kifejez\'esben a megfelel\H{o} tagokat \"osszevonva egy olyan hatv\'anysort kapunk, amelyben $x^n$ egy\"utthat\'oja $\binom{n-17}2\binom{19}0+\binom{n-17}1\binom{19}1+ \binom {n-17}0\binom{19}2$ minden $n\ge17$ kitev\H{o}re, \'es az $n<17$ kitev\H{o}kre az $x^n$ tag egy\"utthat\'oja nulla. Viszont tudjuk, hogy $\binom{n-17}2\binom{19}0+\binom{n-17}1\binom{19}1+ \binom {n-17}0\binom{19}2 x^{n+17}=\binom{(n-17)+19}2=\binom{n+2}2$. (Ezt az azonoss\'agot, illetve ennek \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at be fogjuk bizony\'{\i}tani a k\"ovetkez\H{o} 3. fel\-adat\-ban.) Innen k\"ovetkezik a bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag. \medskip Az els\H{o} feladat k\'et megold\'as\'anak \"osszehasonl\'{\i}t\'as\'aval olyan azonoss\'agokat b\-izo\-ny\'{\i}\-tot\-tunk viszonylag egyszer\H{u} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'a\-si meggondol\'asok seg\'{\i}ts\'eg\'evel, amelyeknek analitikus bizony\'{\i}t\'asa sok munk\'at ig\'enyel. \'Erdemes megjegyezni, hogy va\-l\'o\-j\'a\-ban a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'asi meg\-gon\-do\-l\'a\-sok h\'atter\'eben is m\'ely \'es nehezen bizony\'{\i}that\'o eredm\'enyek rejt\H{o}znek. \'Er\-ve\-l\'e\-se\-ink\-ben kihaszn\'altuk, hogy egy szab\'alyos dob\'okocka v\'egtelen sok egym\'ast k\"ovet\H{o} f\"ug\-get\-len feldob\'as\'anak van val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellje, \'es ebben a modellben a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek $\sigma$-addit\'{\i}v. Az el\H{o}z\H{o} p\'eld\'ak azt mutatt\'ak, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\sigma$-additivit\'as\'anak nem-trivi\'alis k\"ovetkezm\'enyei vannak. \item{3.)} Minden nem negat\'{\i}v eg\'esz $n$, $m$ \'es $k$ sz\'amokra igaz az $$ \binom{n+m}k=\binom n0\dbinom mk+\binom n1\binom m{k-1}+\binom n2\binom m{k-2}+\cdots+\binom nk\binom m0 $$ azonoss\'ag. (Tegy\"uk fel, hogy $n+m\ge k$.) \item{} {\it Megold\'as:} A k\"ovetkez\H{o} kombinat\'orikai meggondol\'as megadja a bizony\'{\i}t\'ast. Sz\'a\-mol\-juk ki k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon, hogy egy urn\'ab\'ol, amelyben $n+m$ (meg\-k\"u\-l\"on\-b\"oz\-tet\-he\-t\H{o}) goly\'o van, h\'anyf\'elek\'epp v\'alaszthatunk ki $k$ goly\'ot. Ez egyr\'eszt $\binom{n+m} k$, ami a baloldali kifejez\'essel egyenl\H{o}. M\'asr\'eszt, fess\"unk $n$ goly\'ot piros \'es $m$ goly\'ot feh\'er sz\'{\i}n\H{u}re. Ekkor $\binom ns\binom m{k-s}$ f\'ele m\'odon v\'alaszthatunk ki $k$ goly\'ot \'ugy, hogy ezek k\"oz\"ul $s$ piros \'es $k-s$ feh\'er. Ezeket a mennyis\'egeket \"osszegezve minden $0\le s\le k$ sz\'amra egyr\'eszt megkapjuk az azonoss\'ag jobboldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'est, m\'asr\'eszt a baloldalon szerepl\H{o} kifejez\'est sz\'amoltuk ki m\'as m\'odon. \medskip Az els\H{o} feladat vizsg\'alat\'aban tulajdonk\'eppen azt haszn\'altuk ki, hogy egy szab\'alyos dob\'okocka v\'egtelen sok dob\'as\'anak l\'etezik val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellje. Egy ilyen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi modellt megkaphatunk p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o} m\'odon. Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t. Egy $\oo$ elemi esem\'eny egy v\'egtelen $\oo=(j_1,j_2,\dots)$ sorozat, ahol $1\le j_s\le6$ minden $1\le s<\infty$ indexre, \'es az $\Omega$ biztos esem\'eny az \"osszes ilyen sorozatb\'ol \'all. Defini\'alnunk kell m\'eg a $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at \'es $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket is, \'es ezeket az al\'abb defini\'alt a $C_n$ hengerhalmazok, $n=1,2,\dots$ hengerhalmazok seg\'{\i}ts\'eg\'evel fogjuk megtenni. A hengerhalmazok definici\'oj\'anak \'erdek\'eben vezess\"uk be el\H{o}sz\"or minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra az \"osszes $n$ hossz\'us\'ag\'u $1,2,\dots,6$ elemeket tartalmaz\'o $\Omega_n$ halmazt, \'es az $\Omega_n$ halmaz \"osszes $\tilde C_n\subset \Omega_n$ r\'eszhalmaz\'ab\'ol \'all\'o $\Cal C_n$ halmazrendszert. Azt mondjuk, hogy egy $C_n\subset\Omega$ halmaz hengerhalmaz $\tilde C_n\in\Cal C_n$ alappal, ha $\oo=(j_1,j_2,\dots)\in C_n$ akkor \'es csak akkor ha az $\oo$ sorozat $\oo_n=(j_1,\dots,j_n)$ megszor\'{\i}t\'asa az els\H{o} $n$ tagra eleme a $\tilde C_n$ halmaznak. Az \"osszes ilyen m\'odon el\H{o}\'all\'{\i}that\'o halmazt (tetsz\H{o}leges $n=1,2,\dots$ index-szel) nevezz\"uk hengerhalmaznak. Nem neh\'ez bel\'atni, hogy a hengerhalmazok algebr\'at alkotnak. Az \'altaluk gener\'alt legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebra az $\Cal A_n$ $\sigma$-algebra. Ha $C_n$ halmazalgebra $\tilde C_n$ alappal, akkor $P(C_n)=(\frac16)^n|\tilde C_n|$, ahol $|\tilde C_n|$ a $\tilde C_n$ halmaz elemsz\'am\'at jel\"oli. Be kell l\'atni, hogy ilyen m\'odon val\'oban m\'ert\'eket defini\'altunk a hengerhalmazok algebr\'aj\'an, amely egy\'ertelm\H{u}en kiterjeszthet\H{o} egy a $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an defini\'alt m\'ert\'ekk\'e. Az els\H{o} \'all\'{\i}t\'as, (tulajdonk\'eppen annak \'altlal\'anos\'{\i}t\'asa) k\"ovetkezik a Kolmogorov-f\'ele alapt\'etelb\H{o}l. A m\'asodik \'all\'{\i}t\'as a m\'ert\'ekelm\'eletben bizony\'{\i}tott Carath\'eodory-f\'ele kiterjeszt\'esi t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik. Az els\H{o} feladat megold\'as\'aban, illetve a k\'et megold\'as \"osszehasonl\'{\i}t\'as\'ab\'ol k\"ovetkez\H{o} azo\-nos\-s\'ag bizony\'{\i}t\'as\'aban ezeket a t\'enyeket haszn\'altuk fel. \medskip \item{4.)} Egy egys\'egnyi oldal\'u n\'egyzet k\'et \'atellenes oldal\'an tal\'alomra v\'alasztunk egy-egy pontot. Mekkora annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ezek t\'avols\'aga $\alpha$-n\'al kisebb $(1\le\alpha<\sqrt2$)? \item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi$ a n\'egyzet egyik, $\eta$ a n\'egyzet \'atellenes oldal\'ara ledobott pont \'ert\'ek\'et. A k\'et ledobott pont t\'avols\'aga (a Pitagorasz-t\'etel szerint) $\sqrt{(\xi-\eta)^2+1}$, ez\'ert minket a $P(\sqrt{(\xi-\eta)^2+1}<\alpha)=P(|\xi-\eta|<\sqrt{\alpha^2-1})$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel. $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen a $[0,1$ intervallumon egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. A feladatot egyr\'eszt megoldhatjuk a geometriai val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek m\'od\-sze\-r\'e\-vel. Ekkor azt haszn\'aljuk, ki, hogy a $(\xi,\eta)$ v\'e\-let\-len vektor az egys\'egn\'egyzet egy v\'eletlen pontja, \'es a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg az $\{(u,v)\colon\; 0\le u,v\le1,\; -\sqrt{\alpha^2-1}1$. Innen tetsz\H{o}leges $0\le u\le 1$ sz\'amra $P(|\xi-\eta|2\eta(\oo)\}$ \'es $B=\{\oo\colon\; \eta(\oo)>2\xi(\oo)\}$ esem\'enyeket. Ekkor a minket \'erdekl\H{o} esem\'eny komplementere az $A\cup B$ esem\'eny. Tov\'abb\'a, az $A$ \'es $B$ esem\'enyek diszjunktak, $P(A)=P(B)$, ez\'ert $P(A\cup B)=2P(A)$. A $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten, \'es az $A$ esem\'eny azt jelenti, hogy ez a pont az $\{(u,v)\colon\; 0<2v1$ a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Innen, $$ \allowdisplaybreaks \align P(A)&=\int_{\{(x,y)\colon\; x>2y\}}g(x,y)\,dx\,dy =\int_{\{(x,y)\colon\; x>2y\}}f(x)f(y)\,dx\,dy\\ &=\int_{\{(x,y)\colon\;1\ge x>2y>0\}}\,dx\,dy =\int_0^1 \(\int_0^{x/2}\,dy\)\,dx =\int_0^1\frac x2\,dx=\[\frac{x^2}4\]_0^1=\frac14. \endalign $$ \item{6.)} Legyen adva egy $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye. Hat\'arozzuk meg ennek seg\'{\i}ts\'eg\'evel az $\{\oo\colon\;a<\xi(\oo)y$. A h\'arom szakaszb\'ol akkor \'es csak akkor szerkeszthet\H{o} h\'aromsz\"og, ha a k\"ovetkez\H{o} k\'et (egym\'ast kiz\'ar\'o) esem\'eny valamelyike bek\"ovetkezik: \itemitem{} a.) $0\le x<\frac12$, $\frac121$, ha $n\le363$, $\frac{EY(n+1)}{EY(n)}=1$, ha $n=364$, \'es $\frac{EY(n+1)}{EY(n)}<1$, ha $n\le365$. Ez\'ert 364 vagy 365 munk\'ast \'erdemes felvenni, \'es ekkor az \'evente gy\'artott TV k\'esz\"ul\'ekek sz\'ama $\frac{364^{365}}{365^{363}}=364^2\(1-\frac1{365}\)^{363}\sim\frac{364^2}e$. \item{20.)} Egy k\'artyacsomag 75 k\'artyalapot tartalmaz, amelyek mindegyike az 1 \'es 75 k\"oz\"otti sz\'amok valamelyik\'evel meg van sz\'amozva. Kih\'uzunk 40 k\'arty\'at visszatev\'essel, \'es jel\"olje $X$ az ily m\'odon kapott k\"ul\"onb\"oz\H{o} k\'arty\'ak sz\'am\'at. Sz\'amoljuk ki az $EX$ v\'arhat\'o \'ert\'eket. \item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'amozzuk meg a k\'arty\'akat 1-t\H{o}l 75-ig, \'es vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le75$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. $\xi_j=1$, ha a $j$-ik k\'arty\'at kiv\'alasztjuk, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik k\'arty\'at nem v\'alasztjuk ki a 40 h\'uz\'as sor\'an. Ekkor $X=\summ_{j=1}^{75}\xi_j$. Ez\'ert $EX=\summ_{j=1}^{75}E\xi_j= \summ_{j=1}^{75}P(\xi_j=1)$. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik k\'arty\'at nem h\'uzzuk ki 40 h\'uz\'as sor\'an $(\frac{74}{75})^{40}$. Innen $P(\xi_j=1)=1-(\frac{74}{75})^{40}$, $EX=75\(1-(\frac{74}{75})^{40}\)$. \item{20a.)} Sz\'amoljuk ki az el\H{o}z\H{o} feladatban defini\'alt $X$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\Var X$ sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-tet. \item{} Jel\"olje $Y$ a ki nem h\'uzott k\'arty\'ak sz\'am\'at, \'es vezess\"uk be az $\eta_j=1-\xi_j$, $1\le j\le75$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, amelyekre $y_j=1$, ha a $j$-ik k\'arty\'at nem v\'alasztjuk ki, \'es $\eta_j=0$, ha a $j$-ik k\'arty\'at kiv\'alasztjuk a 40 h\'uz\'as sor\'an. Ekkor $Y=\summ_{j=1}^{75}\eta_j$, \'es $Y=75-X$, ahonnan $\Var Y=\Var X$ az el\H{o}z\H{o} feladatban defini\'alt $X$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval. \item{} $\Var X=\Var Y=\summ_{j=1}^{75}\Var\eta_j+2\summ_{1\le i1$, akkor a fenti metszet \"ures, ez\'ert ebben az eset\-ben $g(x)=0$. Ha $0\le x\le 1$, akkor ez a metszet a $\[-\frac12+x,\frac12\]$ intervallum, \'es ennek hossza $1-x$, azaz ebben az eset\-ben $g(x)=1-x$. Ha $-1\le x\le0$, akkor ez a metszet a $\[-\frac12,\frac12+x\]$ intervallum amelynek hossza $1+x=1-|x|$, azaz $g(x)=1+x=1-|x|$ ebben az eset\-ben. Ez azt jelenti, hogy $g(x)=1-|x|$, ha $|x|\le 1$, \'es $g(x)=0$, ha $|x|>1$. \medskip \item{} Megadok egy m\'asik geo\-met\-riai \'ervel\'esen alapul\'o megold\'ast. \item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki el\H{o}sz\"or a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $G(x)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. De\-fi\-ni\'al\-juk a $K=\[-\frac12,\frac12\]\times\[-\frac12,\frac12\]$ n\'egyzetet, \'es jel\"olje $\lambda$ a Lebesgue m\'ert\'eket, azaz a ter\"uletet a s\'{\i}kon. Ekkor a s\'{\i}k tetsz\H{o}leges $A\subset R^2$ m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaz\'ara igaz az, hogy $P((\xi,\eta)\in A)=\lambda(A\cap K)$. Speci\'alisan, $G(x)=P(\xi+\eta-x)=1-P(\eta\le-x)=1-G(-x)$. (Mivel $\eta$-nak van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ez\'ert $P(\eta\le-x)=P(\eta<-x)$.) Ez\'ert $-\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g^-(x)=\frac{d G^-(x)}{dx} =\frac{1-G(-x)}{dx}=g(-x)$. \item{} Innen $\xi-\eta=\xi+(-\eta)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f*g^-(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)g^-(x-y)\,dy =\int_{-\infty}^\infty f(y)g(y-x)\,dy$. \item{25.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamely $[a,a+1]$ illetve $[b,b+1]$ intervallumon. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi+\eta$ \'es $\xi-\eta$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. \item{} {\it Megold\'as:}\/ A feladatot meg lehet oldani megfelel\H{o} konvoluci\'ok kisz\'am\'{\i}t\'as\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel. De mivel ezt a feladatot m\'ar megoldottuk egy speci\'alis esetben a 23. feladatban, ez\'ert egyszer\H{u}bb a feladat megold\'as\'at visszavezetni erre a speci\'alis esetre. Ennek \'erdek\'eben vezess\"unk be k\'et f\"uggetlen $\xi_0$ \'es $\eta_0$ a $[-\frac12,\frac12]$ intervallumon egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Feltehetj\"uk, hogy $\xi=\xi_0+a+\frac12$ \'es $\eta=\eta_0+b+\frac12$. Ekkor $\xi+\eta=\xi_0+\eta_0+a+b+1$, $\xi-\eta=\xi_0-\eta_0+a-b$. Ezenk\'{\i}v\"ul $\xi_0+\eta_0$ \'es $\xi_0-\eta_0$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye megegyezik, \'es ez az eml\'{\i}tett feladat eredm\'enye szerint $g(x)=1-|x|$, ha $-1\le x\le1$, $g(x)=0$, ha $x<-1$ vagy $x>1$. Innen $x+\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x-a-b-1)=1-|x-a-b-1|$, ha $|x-a-b-1|\le1$, $g(x-a-b-1)=0$, ha $|x-a-b-1|>1$, $\xi-\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x-a+b)=1-|x-a+b|$, ha $|x-a+b|\le1$, $g(x-a+b)=0$, ha $|x-a+b|>1$. \item{26.)} Oldjuk meg a 7. \'es 8. feladatot a konvoluci\'or\'ol bizony\'{\i}tott eredm\'enyek alapj\'an. \item{} {\it Megold\'as:}\/ A 7. feladatban jel\"olje $\xi$ \'es $\eta$ azokat a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, amelyek azt m\'erik, hogy mikor \'erkezett a t\'erre az els\H{o} illetve a m\'asodik ember. Ekkor $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es egyenletes eloszl\'as\'uak a $[8,9]$ intervallumban. Minket a $P(|\xi-\eta|<\frac12)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Viszont $\xi-\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1-|x|$, ha $|x|\le1$, \'es $f(x)=0$, ha $x>1$. Innen $P(|\xi-\eta|<\frac12)=\int_{-1/2}^{1/2}f(x)\,dx =2\int_0^{1/2}(1-x)\,dx=\frac34$. \item{} A 8. feladatban jel\"olje $\xi$ \'es $\eta$ azokat a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, amelyek azt m\'erik, hogy milyen hossz\'u az els\H{o} \'es m\'asodik elt\"ort bot r\"ovidebb v\'ege. Ekkor $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es egyenletes eloszl\'as\'uak a $[0,\frac12]$ intervallumban. (Egy bot r\"ovidebb v\'eg\'enek a hossza kisebb, mint $x$, ha a bot baloldali v\'ege r\"ovidebb, mint $x$ vagy hosszabb, mint $1-x$. Minket a $P(\xi+\eta<0.8)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Viszont $\xi+\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=2(1-|1-2x|)$, ha $01$, vagy $x<0$. Innen $P(\xi-\eta<0.8)=\int_0^{0.8}f(x)\,dx=1-\int_{0.8}^1f(x)\,dx =1-\int_{0.8}^1 (4-4x)\,dx=1-0.08=0.92$. \item{27.)} Legyenek $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, azaz legyen s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ha $x\ge 0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_1+\xi_2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. \item{} \'Altal\'anosabban, legyenek $\xi_1, \dots \xi_m$ f\"ug\-get\-len exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\lambda>0$ param\'eterrel. Mutassuk meg, hogy $\xi_1+\cdots+\xi_m$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f_m(x)=\frac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!}e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, \'es $f_m(x)<0$, ha $x<0$. \item{} {\it Megold\'as:}\/ Ki kell sz\'amolnunk az $f*f(x)$ illetve $\underbrace {f*\cdots* f}_{m-\text{szer}}(x)$ konvoluci\'okat a fenti $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Mivel $f(x)=0$, ha $x\le 0$, a konvoluci\'ot meghat\'aroz\'o integr\'alban szerepl\H{o} $f(y)f(x-y)$ integrandus nulla, ha $y\le 0$ vagy $x-y\le0$. Innen a konvoluci\'ot defini\'al\'o integr\'al csak $x\ge0$ eset\'en lehet nulla, az $x\le0$ esetben $f(y)f(x-y)>0$ minden $y$-ra nulla, \'es $x\ge0$ eset\'en az $f(y)f(x-y)>0$ integrandus csak $0\le y\le x$ eset\'en nem nulla. Innen a $\xi_1+\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f_2(x)=f*f(x)$ $x<0$-ra $f_2(x)=0$, \'es $$ \align f_2(x)&=f*f(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)f(x-y)\,dy=\int_0^x \lambda e^{-\lambda y}\lambda e^{-\lambda(x-y)}\,dy\\ &=\int_0^x \lambda^2 e^{-\lambda x}\,dy=\lambda^2xe^{-\lambda x}, \quad \text{ha } x\ge0. \endalign $$ Hasonl\'oan, ha $f_m(x)=\underbrace {f*\cdots*f}_{m-\text{szer}}(x)$ jel\"oli $\xi_1+\cdots\xi_m$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, akkor $f_m(x)=0$ minden $m\ge1$ sz\'amra, ha $x<0$. Azt \'all\'{\i}tom, hogy $f_m(x)=\frac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!}e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$. Ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni teljes indukci\'oval azt, hogy $f_{m-1}*f(x)=f_m(x)$ a fent defini\'alt $f_m$ f\"uggv\'enyekkel. Viszont $$ \allowdisplaybreaks \align f_{m-1}*f(x)&=\int_{-\infty}^\infty f_{m-1}(y)f(x-y)\,dy=\int_0^x \lambda^{m-1}\frac{y^{m-2}}{(m-2)!} \lambda e^{-\lambda y}e^{-\lambda(x-y)}\,dy\\ &=\lambda^m e^{-\lambda x}\int_0^x \frac{y^{m-2}}{(m-2)!} \,dy=e^{-\lambda x} \frac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!},\quad\text{ha }x\ge0. \endalign $$ M\'asr\'eszt $f_m(x)=0$, ha $x\le 0$. \item{28.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, mind a kett\H{o} $f(x)=\frac12e^{-|x|}$, $-\inftyx$ \'es $f(y)f(x-y)= \frac{e^{-y}e^{x-y}}4=\frac{e^{x-2y}}4$ az integr\'al pedig $\frac14\int_x^\infty e^{x-2y}\,dy=\frac{e^{-x}}8$, a c) esetben $y<0$ \'es $f(y)f(x-y)=\frac14e^{y}e^{-(x-y)}=\frac{e^{2y-x}}4$, az integr\'al pedig $\frac14\int_{-\infty}^0 e^{2y-x}\,dy=\frac{e^{-x}}8$, a d) eset nem lehets\'eges, mert ekkor egyr\'eszt az $y<0$ m\'asr\'eszt az $y>x\ge0$ felt\'eteleknek kellene teljes\"ulni\"uk. Innen azt kapjuk, hogy $g(x)=\frac{(x+1)e^{-x}}4$, ha $x>0$. Mivel $f$ szimmetrikus f\"uggv\'eny, ez\'ert mint nem neh\'ez megmutatni, $g(x)$ is az. Teh\'at $g(-x)=g(x)$, \'es $g(x)=\frac{(|x|+1)e^{-|x|}}4$. \item{29.)} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen, standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok. L\'assuk be, hogy $\xi^2+\eta^2$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o $\lambda=\frac12$ para\-m\'e\-ter\-rel. \item{} {\it Megold\'as:}\/ $P(\xi^20$, akkor a $P(\xi^2+\xi^40$ eset\'en $G(x)=\Phi\(\sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+4x}}2}\)- \Phi\(-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+4x}}2}\)= 2\Phi\(\sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+4x}}2}\)-1$, ahol $\Phi(x)$ a standard norm\'alis el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny. Innen differenci\'al\'assal kapjuk, hogy $\xi^2+\xi^4$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\frac{dG(x)}{dx}$, ahonnan ez a s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny nulla, ha $x<0$, \'es $$ \sqrt{\frac2\pi}\exp\left\{\frac{-1+\sqrt{1+4x}}4\right\} \frac d{dx}\sqrt{\frac{-1+\sqrt{1+4x}}2}, \quad\text{ha } x>0. $$ \item{31.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek \'ert\'ekeiket a 0 \'es $n$ k\"oz\"otti eg\'esz sz\'amok k\"oz\"ul veszik fel egyenletes eloszl\'assal, azaz $P(\xi=j)=P(\eta=j)=\frac1{n+1}$, $0\le j\le n$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'at. \item{} {\it Megold\'as:}\/ Vil\'agos, hogy a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o csak $0\le j\le 2n$ alak\'u eg\'esz sz\'amokat vesz fel pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $j$ \'ert\'eket vesz fel a $0\le j\le 2n$ esetben $$ P(\xi+\eta=j)=\summ_{k=0}^n P(\xi=k,\eta=j-k) =\summ_{k=0}^n P(\xi=k)P(\eta=j-k). $$ Az ebben az \"osszegben szerepl\H{o} tagok k\"oz\"ul csak azokat kell figyelembe venni, amelyek nem null\'ak, teh\'at amelyek $k$ param\'eter\'ere a $0\le k\le n$ felt\'etel mellett a $0\le j-k\le n$ azaz a $j-n\le k\le j$ felt\'etel is teljes\"ul. \'Erdemes k\"ul\"on tekinteni azt az esetet, amikor $0\le j\le n$ \'es amikor $n2$. A k\'et eredm\'enyt \"osszehasonl\'{\i}tva l\'athatjuk, hogy a $\xi+\eta$ \"osszeg eloszl\'as\'at megad\'o k\'eplet a f\"uggetlen, egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et megad\'o k\'eplet disz\-kre\-ti\-z\'alt\-j\'a\-nak tekinthet\H{o}. Vegy\"uk \'eszre, hogy $\limm_{n\to\infty}nP(\xi=\frac{j_n}n)=f(x)$, ha $\limm_{n\to\infty}\frac{j_n}n=x$, \'es $f(x)$ jel\"oli $\tilde\xi+\tilde\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. \item{32.)} Legyen $\eta_1$ \'es $\eta_2$ k\'et f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m_1$ illetve $m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, $\sigma_1^2$ \'es $\sigma_2^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel. L\'assuk be, hogy az $\eta_1+\eta_2$ \"osszeg $m_1+m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\sigma_1^2+\sigma^2_2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. \medskip A feladat megold\'asa el\H{o}tt \'erdemes megjegyezni, hogy $$ \int_{-\infty}^\infty e^{-(x-A)^2/B}\,dx=\sqrt{B\pi}. $$ Ezt l\'athatjuk p\'eld\'aul az $y=\sqrt 2\frac{x-A}{\sqrt B}$ helyettes\'{\i}t\'essel, \'es abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy a $\varphi(y)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}$ f\"uggv\'eny s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. Ez az \'eszrev\'etel az\'ert hasznos, mert ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy amennyiben olyan integr\'alt kell kisz\'amolni, amelyben az integrandus exponens\'eben egy kvadratikus alak szerepel, akkor az inegrandusban szerepl\H{o} kifejez\'est teljes n\'egyzett\'e alak\'{\i}tva ki tudjuk sz\'amolni az integr\'alt. Ez a gondolata a jelen feladat megold\'as\'anak is. \medskip \item{}{\it Megold\'as:}\/ Az $\eta_1+\eta_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $$ \allowdisplaybreaks \align f(x)&=\int_{-\infty}^\infty \frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}e^{-(u-m_1)^2/2\sigma_1^2} e^{-(x-u-m_2)^2/2\sigma_2^2}\,du \\ &=\int_{-\infty}^\infty \frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\biggl\{-u^2 \(\frac1{2\sigma_1^2}+\frac1{2\sigma_2^2}\)+u\(\frac{m_1}{\sigma_1^2} +\frac{x-m_2}{\sigma_2^2}\)\\ &\hskip5truecm -\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2} -\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\biggr\}\,du \\ &=\int_{-\infty}^\infty \frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\biggl\{-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2} {2\sigma_1^2\sigma_2^2}\(u-\frac{m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2} {\sigma_1^2+\sigma_2^2}\)^2 \\ &\hskip4,5truecm +\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2} {2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)} -\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2} -\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\biggr\}\,du \\ &=\int_{-\infty}^\infty \frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\left\{-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2} {2\sigma_1^2\sigma_2^2}u^2 \right\}\,du\\ &\hskip4,5truecm \exp\left\{\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2} {2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)} -\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2} -\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\right\} \\ &=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}\exp\left\{ \frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2} {2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)} -\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2} -\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\right\}\\ &=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}\exp\left\{ -\frac{(x-m_1-m_2)^2}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}\right\}. \endalign $$ \medskip\noindent {\it Megjegyz\'es.}\/ A feladatot lehet egyszer\H{u}s\'{\i}teni. El\'eg p\'eld\'aul arra az esetre koncentr\'alni a figyelm\"unket, amikor $m_1=0$ \'es $m_2=0$. Val\'oban, vezess\"uk be az $\bar\eta_1=\eta_1-m_1$ \'es $\bar\eta_2=\eta_2-m_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor $\bar\eta_1$ \'es $\bar\eta_2$ f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 0 v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, $\sigma_1^2$ \'es $\sigma_2^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel. M\'asr\'eszt $\eta_1+\eta_2=\bar\eta_1+\bar\eta_2+m_1+m_2$, \'es ha $\bar\eta_1+\bar\eta_2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $h(x)$, akkor $\eta_1+\eta_2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $h(x-m_1-m_2)$. Mi\'ert? Ez azt jelenti, hogy el\'eg $\bar\eta_1+\bar\eta_2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et kisz\'amolni. \item{33.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumban, azaz $f(x)=1$, ha $0\le x\le1$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>1$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel, $\eta$ 1 pa\-ra\-m\'e\-te\-r\H{u} exponenci\'alis eloszl\'assal azaz $g(x)=e^{-x}$, ha $x>0$ \'es $g(x)=0$ ha $x<0$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Sz\'amolja ki $\xi+\eta$ $h(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. \item{} {\it Megold\'as:}\/ $$ h(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)g(x-y)\,dy=\int_0^1 g(x-y)\,dy, $$ ahonnan $h(x)=0$, ha $x<0$, \'es mivel $g(x-y)=0$, ha $y>x$, \'es $g(x-y)=e^{-(x-y)}$, ha $y\le x$ $$ h(x)=\int_0^{\min(1,x)}e^{(y-x)}\,dy=e^{-x}(e^{\min(1,x)}-1), $$ ha $x>0$. Azaz $h(x)=1-e^{-x}$, ha $0\le x\le 1$, \'es $h(x)=e^{1-x}-e^{-x}$, ha $x>1$. \item{34.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $\xi$ standard norm\'alis, $\eta$ 1 pa\-ra\-m\'e\-te\-r\H{u} exponenci\'alis eloszl\'assal (azaz $f(x)=e^{-x}$, ha $x>0$ \'es $f(x)=0$ ha $x<0$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Sz\'amolja ki $\xi+\eta$ $g(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. \item{} {\it Megold\'as:}\/ $$ \align g(x)&=\int_0^\infty e^{-y}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-(x-y)^2/2}\,dy =\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty e^{-y^2/2+(x-1)y-x^2/2}\,dy\\ &=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty\! \! e^{-(y-x+1)^2/2}\,dy \, e^{-x^2/2+(x-1)^2/2} =\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{1/2-x}\int_0^\infty \!\! e^{-(y-x+1)^2/2}\,dy\\ &=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{1-x}^\infty e^{-z^2/2}\,dz =e^{1/2-x}[1-\Phi(1-x)], \endalign $$ ahol $\Phi(x)$ a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny. \item{34a.)} L\'assuk be k\"ozvetlen sz\'amol\'assal, hogy $g(x)=e^{1/2-x}[1-\Phi(1-x)]$, ahol $\Phi(x)$ a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny egy s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. \item{} {\it Megold\'as:}\/ $g(x)\ge0$ minden $x$ sz\'amra, \'es parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy $$ \align \int_{-\infty}^{\infty}g(x)\,dx &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{1/2-x}[1-\Phi(1-x)]\,dx =\int_{-\infty}^{\infty} e^{1/2-x}\varphi(1-x)\,dx \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx =1, \endalign $$ ahol $\varphi(x)$ a standard norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. \item{35.)} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye $f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, \'es legyen $t$ val\'os sz\'am. Sz\'amoljuk ki az $e^{t\xi}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. \item{} {\it Megold\'as:}\/ $$ \allowdisplaybreaks \align E e^{t\xi}&=\int_{-\infty}^\infty e^{tu}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du =\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{tu-u^2/2-t^2/2+t^2/2}\,du \\ &=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(t-u)^2/2}\,du=e^{t^2/2}. \endalign $$ \item{36.)} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 2 v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es 3 sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet\-tel. Sz\'amoljuk ki minden val\'os $t$ sz\'amra az $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o \'ert\'eket. \item{} {\it Megold\'as.}\/ A feladatot megoldhatjuk az el\H{o}z\H{o} feladat megold\'as\'ahoz hasonl\'oan. A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et is fel tudjuk \'{\i}rni, \'es ezut\'an az el\H{o}z\H{o} fel\-adat\-hoz hasonl\'o integr\'al seg\'{\i}ts\'eg\'evel fel tudjuk \'{\i}rni a keresett v\'arhat\'o \'ert\'eket, \'es azt ehhez a feladathoz hasonl\'oan ki tudjuk sz\'amolni. De egyszer\H{u}bben is c\'elhoz \'erhet\"unk. A feladatot k\"ozvetlen\"ul visszavezethetj\"uk erre a feladatra. Fel\'{\i}rhatjuk ugyanis a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot $\xi=\sqrt3\eta+2$ alakban, ahol $\eta$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Innen k\"ovetkezik, hogy $Ee^{t\xi}=Ee^{t(\sqrt3\eta+2)} =e^{2t}Ee^{t\sqrt3\eta}=e^{2t}Ee^{(\sqrt3t)\eta}=e^{2t+3t^2/2}$ az el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'enye alapj\'an. \item{37.)} A 2000. \'evben az Egyes\"ult \'Allamok Florida \'allam\'aban rendk\'{\i}v\"ul szoros eredm\'eny sz\"uletett az eln\"okv\'alaszt\'ason. 5~000~000 v\'alaszt\'o v\'alaszt\'o v\'alasztott k\'et p\'art, a republik\'anus \'es de\-mok\-rata p\'art jel\"oltjei k\"oz\"ott. A k\'et jel\"olt \'altal szerzett szavazatok sz\'ama (egy adott id\H{o}\-pont\-beli felm\'er\'es szerint) mind\"ossze 300 volt. Tegy\"uk fel, hogy a v\'alaszt\'ok egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'a\-lasz\-tot\-t\'ak valamelyik p\'art jel\"oltj\'et. E feltev\'es teljes\"ul\'ese est\'en mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a k\'et jel\"olt \'altal \"ossze\-gy\"uj\-t\"ott szavazatok k\"ul\"onbs\'ege nem haladja meg a h\'aromsz\'azat. \item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le 5~000~000$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik v\'alaszt\'o a demokrata, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik v\'alaszt\'o a republik\'anus jel\"oltre szavaz. Ekkor $S=\summ_{j=1}^{5~000~000}\xi_j$ a demokrata, \'es $5~000~000-S$ a republik\'anus jel\"oltre leadott szavazatok sz\'ama, \'es minket a $P(|2S-5~000~000|\le300)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nagys\'aga \'erdekel. Vegy\"uk \'eszre, hogy a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, $E\xi_j=\frac12$, $\Var\xi_j=\frac14$, ez\'ert $ES=2~500~000$, $\Var S=\frac14\cdot5~000~000$, \'es a $P\(\left|\frac {S-2~500~000}{\sqrt{\frac14\cdot5~000~000}}\right|100\)$ \'es $P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>200\)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-re kell becsl\'est adnunk. A Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg az els\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre a $$ P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>100\) \le \frac {10000\cdot\Var\xi_1}{100^2}=\frac14, $$ a m\'asodik val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre pedig a $$ P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>200\) \le \frac {10000\cdot\Var\xi_1}{200^2}=\frac1{16} $$ els\H{o} becsl\'est adja. \item{} A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel szerint $P\(\frac{\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)}{\sqrt{10000\cdot\frac 14}}>u\) \sim 1-\Phi(u)$. Innen kapjuk, hogy az els\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz az $u=\pm\frac{100}{\frac12\cdot100}=\pm 2$ \'ert\'ekeket kell tekinteni, \'es a vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $(1-\Phi(2))+\Phi(-2) =2(1-\Phi(2))\sim2(1-0.97720)=0.0456$. A m\'asodik val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg hasonl\'oan k\"or\"ulbel\"ul $2(1-\Phi(4))\sim0$, (az els\H{o} 4 tizedesjegy 0). (A Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg 0.25 illetve 0.0625 fels\H{o} becsl\'est adta ezekre a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre.) \medskip \item{39.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 1200 alkalommal egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"ossze\-ad\-juk a p\'aros \'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel \'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra, hogy ez az \"osszeg 2280 \'es 2500 k\"oz\'e esik. \item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le 1200$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 1, 3 vagy 5. Ekkor a $P\(2280\le \summ_{j=1}^{1200}\xi_j\le2500\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell j\'ol megbecs\"uln\"unk. Vegy\"uk \'eszre, hogy $E\xi_j=\frac16(2+4+6)=2$, $\Var\xi_j=\frac16(4+16+36)-4=\frac{16}3$. Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an $$ \align P\(2280\le\summ_{j=1}^{1200}\xi_j\le2500\)&= P\(\frac{-120}{\sqrt{1200\frac{16}3}} \le\frac{\summ_{j=1}^{1200}\xi_j-\summ_{j=1}^{1200}E\xi_j} {\sqrt{\summ_{j=1}^{1200}\Var\xi_j}} \le\frac{100}{\sqrt{1200\frac{16}3}}\) \\ &\sim\Phi(1.25)-\Phi(-1.5)=0.8944+0.9322-1=0.8266. \endalign $$ \item{40.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at \'es egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk 3300 alkalommal egy\-m\'as\-t\'ol f\"uggetlen\"ul. (Az \'erme \'es kockadob\'asok eredm\'enyei is f\"uggetlenek egy\-m\'as\-t\'ol.) Ha a kockadob\'as eredm\'enye p\'aros \'es az \'erme a fej oldalra esett, akkor annyi forintot nyer\"unk, amennyi a kockadob\'as eredm\'enye. Ha az \'erme az \'{\i}r\'as oldalra esett vagy a kockadob\'as eredm\'enye p\'aratlan sz\'am, akkor nem nyer\"unk, \'es nem is veszt\"unk semmit. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az \"ossznyerem\'eny\"unk 3190 \'es 3520 forint k\"oz\'e esik? Adjunk erre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel \'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel. \item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, \'es $\eta_j$ $1\le j\le 3300$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 6, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 1, 3 vagy 5. Legyen $\eta_j=1$, ha a $j$-ik \'ermedob\'as eredm\'enye fej, \'es $\eta_j=0$, ha a $j$-ik \'ermedob\'as \'{\i}r\'as. Legyen $\zeta_j=\xi_j\eta_j$. Ekkor a $j$-ik dob\'asn\'al a nyerem\'eny\"unk $\zeta_j$ lesz, $1\le j\le 3300$, \'es a $P\(3190\le \summ_{j=1}^{3300}\zeta_j\le3520\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell j\'ol megbecs\"uln\"unk. Ennek \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki a f\"uggetlen $\zeta_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et. $E\zeta_j=E\xi_j\eta_j=E\xi_jE\eta_j=\frac16(2+4+6)\cdot\frac12=1$, $E\zeta_j^2=E\xi_j^2E\eta_j^2=\frac16(4+16+36)\cdot\frac12 =\frac{14}3$, $\Var\zeta_j^2=E\zeta_j^2-(E\zeta_j)^2=\frac{11}3$. Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an $$ \align P\(3190\le\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j\le3520\)&= P\(\frac{-110}{\sqrt{3300\frac{11}3}} \le\frac{\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j-\summ_{j=1}^{3300}E\zeta_j} {\sqrt{\summ_{j=1}^{3300}\Var\xi_j}} \le\frac{220}{\sqrt{3300\frac{11}3}}\) \\ &\sim\Phi(2)-\Phi(-1)=0.9772+0.8413-1=0.9285. \endalign $$ \item{41.)} Ledobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 24~000 pontot a $[0,2]$ intervallumra egyenletes eloszl\'assal, (azaz annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy ledobott pont \'ert\'eke $x$-n\'el kisebb $\frac x2$-vel egyenl\H{o}, ha $0\le x\le 2$, eggyel egyenl\H{o}, ha $x\ge2$, \'es nulla, ha $x\le0$.) \H{O}rizz\"uk meg azokat a ledobott pontokat, amelyek \'ert\'eke 1-n\'el kisebb, \'es hagyjuk el azokat, amelyek \'ert\'eke nagyobb, mint egy. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a meg\H{o}rz\"ott pontok \'ert\'ekeinek az \"osszege 5900 \'es 6075 k\"oz\'e esik? Adjunk erre a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel. \item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le 24~000$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=x$, ha a $j$-ik ledobott pont \'ert\'eke $x$, \'es $0\le x\le1$, \'es $\xi_j=0$, ha a $j$-ik ledobott pont \'ert\'eke az $(1,2]$ intervallumba esik. Ekkor a meg\H{o}rz\"ott pontok \"osszege $S=\summ_{j=1}^{24~000}\xi_j$, tov\'abb\'a a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es egyforma eloszl\'as\'uak. Ez\'ert a centr\'alis hat\'arelosz\'ast\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o becsl\'est tudunk adni a minket \'erdekl\H{o} $P(59002$. Innen $E\xi_1=Eh(\xi_1)=\int h(x)\,dx=\int_0^1x\frac12\,dx=\frac14$, $E\xi_1^2=Eh(\eta_1)^2=\int_0^1 x^2\frac12\,dx=\frac16$, \'es $\Var\xi_1=E\xi_1^2-(E\xi_1)^2=\frac16-\frac1{16}=\frac5{48}$. Ez\'ert $ES=6000$, $\Var S=2500$. Innen $$ \align P(5900k)&=P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}>\frac{k-22\,500}{75}\) =1-P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}\le \frac{k-22\,500}{75}\)\\ &\sim 1-\Phi\(\frac{k-22\,500}{75}\). \endalign $$ V\'alasszuk a $k$ sz\'amot \'ugy, hogy a fenti val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"or\"ulbel\"ul 0.9 legyen. Ekkor a $\Phi\(\frac{k-22\,500}{75}\)=0.1$ vagy ami ezzel ekvivalens, a $\Phi\(\frac{22\,500-k}{75}\)=0.9$ egyenletet kell kiel\'eg\'{\i}ten\"unk. A norm\'alis eloszl\'as-t\'abl\'azat alapj\'an $\frac{22\,500-k}{75}\sim1.28$, ami azt jelenti, hogy $k=22\,500-75\cdot 1.28$ \'es $p=\frac34$ eset\'en annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a fejdob\'asok sz\'ama nagyobb mint $k=22\,500-75\cdot 1.28=22\,212$ \'es $p=\frac34$ eset\'eben annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb ennyi fejdob\'as t\"ort\'enik k\"or\"ulbel\"ul 0.9. Ha $p\ge\frac34$, akkor ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nagyobb. Ez\'ert a $k=22\,212$ helyes v\'alaszt\'as. \item{43a.)} Sz\'amoljuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u} $\xi$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et. \item{} {\it Megold\'as:}\/ Parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy $$ E\xi=\int_0^\infty u\lambda e^{-\lambda u}\,du= \frac1\lambda\int_0^\infty u e^{-u}\,du= \frac1\lambda\(\[-u e^{-u}\]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-u}\,du\) =\frac1\lambda, $$ $$ E\xi^2=\int_0^\infty u^2\lambda e^{-\lambda u}\,du =\frac1{\lambda^2}\(\[-u^2e^{-u}\]_0^\infty +\int_0^\infty 2u e^{-u}\,du\)=\frac2{\lambda^2}. $$ Ez\'ert $\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\frac2{\lambda^2} -\frac1{\lambda^2}=\frac1{\lambda^2}$. \item{43.)} Legyen birtokunkban 100 l\'ampa, amelyek mindegyike egym\'ast\'ol f\"uggetlen id\H{o}\-tar\-ta\-mig m\H{u}k\"odik, \'elettartamuk pedig exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\lambda=\frac1{10}$ param\'eterrel. (A l\'amp\'ak \'elettartam\'anak exponenci\'alis eloszl\'asa term\'eszetes felt\'etelez\'es.) Egy termet be\-vi\-l\'a\-g\'{\i}\-tunk ezen l\'amp\'ak valamelyik\'evel, majd amikor az ki\'egett \'uj l\'amp\'at haszn\'alunk fel. Adjunk j\'o becsl\'est arra, hogy a l\'amp\'ak \"ossz\'elettartama legal\'abb 1150 \'ora. \item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik l\'ampa \'elettartam\'at, $1\le j\le100$. Ekkor a $P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre kell j\'o becsl\'est adnunk, ahol az \"osszegben f\"uggetlen exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szerepelnek $\lambda=\frac1{10}$ param\'eterrel. Vezess\"uk be az $\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{100}$ jel\"ol\'est. \item{} Kisz\'amoltuk a 41a.) feladatban, hogy jelen esetben $E\eta=mE\xi_1=\frac m\lambda=1000$, $\Var \eta=\frac m{\lambda^2}=10 000$ ($m=100$ \'es $\lambda=\frac1{10}$ v\'alaszt\'assal). Ez\'ert a centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel sze\-rint $\frac{\eta-E\eta}{\sqrt{ \Var \eta}}=\frac{\eta-1000}{100}$ j\'o k\"ozel\'{\i}t\'essel standard norm\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, \'es $P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150) =P\(\frac{\eta-E\eta}{\sqrt{\Var \eta}}>1.5\)\sim1-\Phi(1.5)$. \item{44.)} Legyen $\xi$ geometriai eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $p$ param\'eterrel, $01080)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nagys\'aga \'erdekel. (A $\xi_j$ \'es $\eta_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat hasonl\'oan defini\'altuk. Az\'ert tett\"unk k\"oz\"ott\"uk k\"ul\"onbs\'eget, mert m\'as az eloszl\'asuk.) Erre a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre a f\"uggetlen, de nem felt\'etlen\"ul egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'ere vonatkoz\'o centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\'est adni. Ennek \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki az $S$ \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et. \item{} Mivel $P(\xi_j=1)=\frac35$, $P(\xi_j=-2)=\frac15$, $P(\xi_j=0)=\frac15$, ez\'ert $E\xi_j=\frac15$, $E\xi_j^2=\frac75$, $\Var\xi_j=\frac{34}{25}$. Hasonl\'oan, $P(\eta_j=1)=\frac13$, $P(\eta_j=-2)=\frac13$, $P(\eta_j=0)=\frac13$, ez\'ert $E\eta_j=-\frac13$, $E\eta_j^2=\frac53$, $\Var\xi_j=\frac{14}{9}$. Ez\'ert $ES=85000\times\frac15-50400\times\frac13=200$, $\Var S=85000\times\frac{34}{25}+50400\times\frac{14}9 =(20)^2(17^2+14^2)\sim 440^2$. \item{} Innen $P(S>1080) =P\(\frac{S-ES}{\Var S}>\frac{1080-ES}{\Var S}\)\sim P\(\frac{S-ES}{\Var S}>\frac{880}{440}\)\sim1-\Phi(2)\sim0.0228$. \medskip \item{49.)} Egy n\'epszavaz\'asi k\'erd\'est a v\'alaszt\'ason akkor fogadnak el, ha egyr\'eszt t\"obben szavaztak r\'a igennel, mint nemmel, m\'asr\'eszt az igen szavazatok sz\'ama meghaladja az \"osszes v\'alaszt\'opolg\'arok sz\'am\'anak a $20\%$-\'at. Legyen mondjuk, $n=5000000$ v\'a\-lasz\-t\'o\-pol\-g\'ar, mindenki egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $40\%$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel megy el szavazni, \'es $50\%$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel szavaz igennel. %(Az, hogy valaki elmegy-e szavazni, \'es, hogy igennel vagy %nemmel szavaz-e egym\'ast\'ol f\"uggetlenek.) Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a n\'ep\-sza\-va\-z\'as eredm\'enyek\'ent elfogadj\'ak a n\'epszavaz\'asi k\'erd\'est? \item{} {\it Megold\'as:} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} (k\'etv\'altoz\'os) vektor\'ert\'ek\H{u} $(\xi_j,\eta_j)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. $\xi_j=1$, ha a $j$-ik szavaz\'o igennel szavaz, $\xi_j=-1$, ha nemmel szavaz, \'es $\xi_j=0$, ha nem megy el szavazni. $\eta_j=1$, ha a $j$-ik szavaz\'o igennel szavaz, $\eta_j=0$ egy\'ebk\'ent, teh\'at ha nemmel szavaz vagy ha nem megy el szavazni. Legyen $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$, $T_n=\summ_{j=1}^n\eta_j$. Ekkor minket annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege \'erdekel, hogy mind az $S_n>0$ mind a $T_n>0.2n$ esem\'eny bek\"ovetkezik. Erre a k\'erd\'esre a t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudunk v\'alaszolni, ha azt a $(\xi_j,\eta_j)$ v\'eletlen vektorok \"osszeg\'ere alkalmazzuk. Ekkor $E\xi_j=0$, $E\eta_j=0.2$, $\Var\xi_j=E\xi_j^2=0.4$, $\Var\eta_j=E\eta_j^2-(E\eta_j)^2=0.2-0.2^2=0.16$, $\Cov(\xi_j,\eta_j)=E\xi_j\eta_j-E\xi_jE\eta_j =E\xi_j\eta_j=P(\xi_j=1,\eta_j=1)=0.2$. (A sz\'amol\'as utols\'o l\'e\-p\'e\-s\'e\-ben kihaszn\'altuk, hogy $\eta_j$ k\'et \'ert\'eket vesz fel. Tov\'abb\'a, ha $\eta_j=0$, akkor $\xi_j\eta_j=0$, \'es ha $\eta_j=1$, akkor a $\xi_j$ \'es $\eta_j$ definici\'oja szerint $\xi_j=1$.) Innen $\limm_{n\to\infty}P(S_n>0,T_n>0.2n)=\limm_{n\to\infty} P\(\frac1{\sqrt n}S_n>0,\frac1{\sqrt n}(T_n-ET_n)>0\)$, \'es ez azon $(X,Y)$ norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u v\'eletlen vektor \'altal meghat\'arozott $P(X>0,Y>0$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eghez tart, amely\-re $EX=EY=0$, kovariancia m\'atrix\'at pedig a $\Var X=0.4$, $\Var Y=0.16$, $\Cov(X,Y)=0.2$ k\'epletek hat\'arozz\'ak meg. \item{} {\it Megjegyz\'es:} Az ebben a feladatban kapott val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg valamivel nagyobb, mint $0.25$, azaz az az \'ert\'ek, ami akkor jelenne meg, ha a hat\'areloszl\'asban megjelen\H{o} norm\'alis elosz\'as\'u v\'eletlen vektor $X$ \'es $Y$ koordin\'at\'ai korrel\'alatlanok, ez\'ert f\"ug\-get\-le\-nek lenn\'enek. $0.25$ annak az (aszimptotikus) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb a sza\-va\-za\-tok $40\%$-\'at leadt\'ak, \'es az igen szavazatok voltak t\"obbs\'egben. De pozit\'{\i}v va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel az is bek\"ovetkezhet, hogy az \"ossz-szavazatok sz\'ama valamivel kevesebb, mint a szavaz\'asra jogosultak sz\'am\'anak $40\%$-a, de ezen bel\"ul a t\"obbs\'egben lev\H{o} igennel szavaz\'ok sz\'ama meghaladja a szavaz\'asra jogosultak sz\'am\'anak a $20\%$-\'at. \item{} Abban az esetben, ha az eredm\'eny az igen szavazatok t\"obbs\'ege \'es 40\%-os r\'eszv\'etel eset\'en fogadn\'ak el, akkor az elfogad\'as val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege k\"or\"ulbel\"ul $1/4$ lenne. Ekkor ugyanis az $\eta_j$ \'es $T_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok helyett az $\bar\eta_j=1$, ha a $j$-ik v\'alaszt\'o elmegy szavazni, \'es $\bar\eta_j=0$, ha a $j$-ik v\'alaszt\'o nem megy el szavazni illetve a $\bar T_j=\summ_{j=1}^n \bar\eta_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'erdemes bevezetni, \'es az $\{S_n>0,\bar T_n>0.4n\}$ esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et kell vizsg\'alni. Ekkor a hat\'areloszl\'asban f\"uggetlen koordin\'at\'aj\'u norm\'alis eloszl\'as\'u norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok jelennek meg, mert $\Cov(\xi_j,\bar\eta_j)=E\xi_j-E\xi_jE\bar\eta_j =E\xi_j\bar\eta_j-E\xi_jE\bar\eta_j=0$. \medskip \item{50.)} Sz\'amoljuk ki az el\H{o}z\H{o} feladat megold\'as\'aban megjelen\H{o} hat\'areloszl\'as s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et, azaz egy olyan norm\'alis eloszl\'as\'u $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, amelyre $E\xi=E\eta=0$, $\Var X=0.4$, $\Var Y=0.16$, $\Cov(X,Y)=0.2$. \item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'amoljuk ki a tekintett v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrix\'anak a determin\'ans\'at \'es inverz\'et. A determin\'ans \'ert\'eke $\Var\xi\Var\eta-(\Cov(\xi,\eta))^2=0.4\cdot0.16-0.2^2=0.024$, az inverz m\'atrix olyan $D=\(\matrix A& B\\ B& C\endmatrix\)$ m\'atrix amelyre $A=\frac{0.16}{0.024}=\frac{160}{24}=\frac{20}3$, $C=\frac{0.4}{0.024}=\frac{50}3$, $B=-\frac{0.2}{0.024}=-\frac{25}3$. Innen a keresett s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny \'ert\'eke $$ f(x,y)=\frac1{2\pi\sqrt{\det D}}e^{-(Ax^2+Cy^2+2Bxy)/2} =\frac{\sqrt{15}}{50\pi}\exp\left\{-\frac53(2x^2+5y^2-5xy)\right\}. $$ Innen az is k\"ovetkezik, hogy az el\H{o}z\H{o} feladat megold\'as\'at megad\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $\int_0^\infty\int_0^\infty f(x,y)\,dx\,dy$ a fenti $f(x,y)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. \item{51.)} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen a s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye $\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, $-\inftyx)=\lambda((\Phi(x),1])=1-\Phi(x)\;. $$ Az, hogy a $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor nem norm\'alis eloszl\'as\'u k\"ovetkezik p\'eld\'aul a $P(\xi+\eta=0)=\frac12$ azonoss\'agb\'ol. Ugyanis, ha $(\xi,\eta)$ norm\'alis eloszl\'as\'u lenne, akkor az lenne a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o is. Ennek viszont ellentmond a $P(\xi+\eta=0)=\frac12$ rel\'aci\'o. \item{59.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $m$ v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ekkel \'es $\sigma^2$ sz\'or\'assal. Ekkor a $\bar\xi=\frac1n\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es az $S_n=\summ_{j=1}(\xi_j-\bar\xi)^2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek egym\'ast\'ol. Tov\'abb\'a $\frac{\sqrt n}\sigma(\bar\xi-m)$ standard norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u, $\frac1\sigma S_n$ pedig $n-1$ szabads\'agfok\'u $\chi^2$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. \item{} {\it Megjegyz\'es.}\/ Ez az eredm\'eny magyar\'azza meg, hogy bizonyos statisztikai feladatokban mi\'ert jelenik meg az $U$-eloszl\'as, ami egy olyan standard norm\'alis \'es $\chi^2$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o h\'anyados\'anak az eloszl\'asa, mely val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-le\-nek egym\'ast\'ol. \item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk a $(\bar\xi,\xi_1-\bar\xi,\dots,\xi_n-\bar\xi)$ v\'eletlen vektort. Ez az 54. feladat eredm\'enye alapj\'an egy $n+1$ dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Tov\'abb\'a egyszer\H{u} sz\'amol\'as mutatja, hogy $\Cov(\bar\xi,\xi_j-\bar\xi)=\Cov(\bar\xi,\xi_j)-\Var\bar\xi=0$ minden $1\le j\le n$ indexre. Ez\'ert a $(\bar\xi,\xi_1-\bar\xi,\dots,\xi_n-\bar\xi)$ v\'eletlen vektor $D=(d_{i,j})$, $1\le i,j\le n+1$, covariancia m\'atrixa felbomlik egy $1\times1$-es \'es $n\times n$-es m\'atrix direkt szorzat\'ara, azaz $d_{1,j}=d_{j,1}=0$, $2\le j\le n+1$. Ez\'ert a norm\'alis eloszl\'as\'u vektorok tulajdons\'agaib\'ol, (abb\'ol, hogy egy norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor eloszl\'as\'at meghat\'arozza a v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa \'es v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora) k\"ovetkezik, hogy $\bar\xi$ \'es $(\xi_1-\bar\xi,\dots,\xi_n-\bar\xi)$ f\"uggetlenek, tov\'abb\'a norm\'alis eloszl\'as\'uak. Ez\'ert a $\bar\xi$ \'es az $S_n=\summ_{j=1}(\xi_j-\bar\xi)^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek egym\'ast\'ol. Tov\'abb\'a, mivel $E\bar\xi=m$, $\Var\bar\xi=\frac{\sigma^2}n$, ez\'ert $\frac{\sqrt n}\sigma(\bar\xi-m)$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. A $\frac1\sigma S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fel\'{\i}rhat\'o, mint $n$ (egy\"uttesen) norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o n\'egyzet\"osszege. De ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem f\"uggetlenek. Teljes\"ul a $\summ_{j=1}^n(\xi_j-\bar\xi)=0$ azonoss\'ag. Bel\'atjuk, hogy $S_n$ $\chi^2$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $n-1$ szabads\'agfokkal. Az indokl\'asban felhaszn\'aljuk azt a norm\'alis v\'eletlen vektorokr\'ol sz\'o\-l\'o el\H{o}ad\'asban sze\-rep\-l\H{o} (a $\chi^2$-pr\'oba vizsg\'alat\'aban bizony\'{\i}tott) eredm\'enyt, amely szerint, ha $(\eta_1,\dots,\eta_n)$ norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $D$ kovariancia m\'atrix-szal akkor $\summ_{j=1}^n\eta_j^2$ eloszl\'asa megegyezik a $\summ_{j=1}^n\lambda_j\zeta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval, ahol $\zeta_1,\dots,\zeta_n$ f\"uggetlen, standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ a $D$ kovariancia m\'atrix saj\'at\'ert\'ekei. \item{} Ez\'ert a feladat megold\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni, hogy a $\frac1\sigma(\xi_1-\bar\xi,\dots,\xi_n-\bar\xi)$ v\'eletlen vektor $D=(d_{i,j})$, $1\le i,j\le n$, kovariancia m\'atrix\'anak az 1 sz\'am $n-1$ multiplicit\'as\'u saj\'at\'ert\'eke, \'es ezenk\'{\i}v\"ul m\'eg a nulla (egyszeres) saj\'at\'ert\'eke ennek a m\'atrixnak. A $D$ m\'atrix elemei $d_{i,i}=1-\frac1n$, $d_{i,j}=-\frac1n$, $1\le i,j\le n$. Ez\'ert $D=I-A$, ahol $I$ az identit\'as m\'atrix, $A=(a_{i,j})$, $a_{i,j}=\frac1n$, $1\le i,j\le n$, m\'atrix. Az $A$ m\'atrixnak 1 darab 1 saj\'at\'ert\'ek\H{u} saj\'atvektora van, (az $(\frac1n,\dots,\frac1n)$ vektor), \'es $n-1$ nulla saj\'at\'ert\'ek\H{u} vektora. (Az $(\frac1n,\dots,\frac1n)$ vektort kieg\'esz\'{\i}tj\"uk tetsz\H{o}leges m\'odon egy ortonorm\'alt b\'aziss\'a, \'es ilyen m\'odon az $R^n$ t\'er egy az $A$ m\'atrix saj\'atvektoraib\'ol \'all\'o b\'azis\'at kapjuk, \'es e saj\'atvektorok saj\'at\'ert\'ekei a $\lambda_1=1$, \'es $\lambda_j=0$, $2\le j\le n$.) Innen k\"ovetkezik, hogy a $D$ m\'atrix saj\'at\'ert\'ekei az $1-\lambda_j$ sz\'amok, $1\le j\le n$, azaz 1 darab 0 \'es $n-1$ darab 1-es. \item{60.)} Legyenek $\xi^{(j)}=(\xi^{(j)}_1,\dots,\xi^{(j)}_6)$ f\"uggetlen, $1\le j\le n$, egyforma eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorok $P(\xi_k^{(j)}=1)=\frac16$, minden $1\le k\le 6$, $1\le j\le n$ indexre, \'es $\xi^{(j)}_{k'}=0$, ha $k'\neq k$, \'es $\xi^{(j)}_k=1$, minden $1\le k,k'\le 6$ indexre. Legyen $S=\frac1{\sqrt n}\summ_{j=1}^n\xi_j$ e v\'eletlen vektorok normaliz\'alt \"osszege. Ekkor a $\xi^{(j)}$ \'es $S$ vektorok kovariancia m\'atrixa az a $D=(d_{i,k})$, $1\le i,k\le 6$, m\'atrix, amelyre $d_{i,k}=-\frac1{36}$, ha $i\neq k$, $d_{k,k}=\frac5{36}$. A $D$ m\'atrix nem invert\'alhat\'o. \item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi^{(j)}$ vektor $D$ m\'atrix\'anak elemei $d_{i,k}=E\xi_i^{(j)}\xi^{(j)}_k-E\xi_i^{(j)}E\xi^{(j)}_k =-E\xi_i^{(j)}E\xi^{(j)}_k=-\frac1{36}$,ha $i\neq k$, \'es $d_{k,k}=E(\xi^{(j)}_k)^2-(E\xi^{(j)}_k)^2=\frac16-\(\frac16\)^2 =\frac5{36}$. Az $S$ v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa ugyanez a $D$ m\'atrix. A $D$ m\'atrix nem invert\'alhat\'o, mert a sor\"osszegei null\'aval egyenl\H{o}ek. \item{61.)} Legyen $\xi$, $\eta$ \'es $\zeta$ h\'arom f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Mutassa meg, hogy a $\xi+\eta+\zeta$ \'es a $\frac{\xi-\eta}{\xi-\zeta}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek egy\-m\'as\-t\'ol. \item{} {\it Megold\'as.}\/ El\'eg megmutatni, hogy a $\xi+\eta+\zeta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'es a $(\xi-\eta,\xi-\zeta)$ v\'eletlen vektor f\"uggetlen egym\'ast\'ol, mert a $\frac{\xi-\eta}{\xi-\zeta}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $(\xi-\eta,\xi-\zeta)$ v\'eletlen vektor f\"uggv\'enye. Viszont $(\xi+\eta+\zeta,\xi-\eta,\xi-\zeta)$ egy h\'arom dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, amelynek minden koordin\'at\'aja nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}. Ez\'ert az, hogy ennek a vektornak els\H{o} koordin\'at\'aja f\"uggetlen a m\'asodik \'es harmadik koordin\'at\'ab\'ol \'all\'o vektort\'ol k\"ovetkezik az $E(\xi+\eta+\zeta)(\xi-\eta)=0$ \'es $E(\xi+\eta+\zeta)(\xi-\zeta)=0$ azonoss\'agokb\'ol. \item{62.)} Legyen $W(t)$, $0\le t\le1$, Wiener-folyamat a $[0,1]$ intervallumon. Ekkor a $B(t)=W(t)-tW(1)$, $0\le t\le 1$, sztochasztikus folyamat egy Wiener-bridge, amely f\"uggetlen a $W(1)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol. \hfill\break Megford\'{\i}tva: Legyen $B(t)$, $0\le t\le1$, Wiener-bridge, \'es $\eta$ a $B(t)$ Wiener-bridge-t\H{o}l f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ekkor $W(t)=B(t)+t\eta$ Wiener-folyamat a $0\le t\le1$ intervallumon. \item{} {\it Megold\'as.}\/ $B(t)$ egy folytonos trajekt\'ori\'aj\'u Gauss folyamat, $EB(t)=0$ minden $0\le t\le1$ sz\'amra, \'es $EB(s)B(t)=E(W(s)-sW(1))(W(t)-tW(1)) =EW(s)W(t)-sEW(t)W(1)-tEW(s)W(1)+stEW(1)^2=s-2st+st=s(1-t)$, ha $0\le s\le t\le1$, azaz $B(s)$ kovarianciaf\"uggv\'enye megegyezik egy Brown-bridge kovarianciaf\"uggv\'eny\'evel. Ez\'ert $B(t)$ Brown bridge. M\'asr\'eszt $EB(t)W(1)=E(W(t)-tW(1))W(t)=0$. Viszont tetsz\H{o}leges $\le t_1,\dots, t_k\le1$ pontokra $$ (B(t_1),\dots,B(t_k),W(1)) $$ egy Gauss eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Mivel ennek els\H{o} $k$ koordin\'at\'aja, azaz a $(B(t_1),\dots,B(t_k))$ vektor korrel\'alatlan a $W(1)$ koordin\'at\'aval, ez\'ert f\"uggetlen is t\H{o}le. Ez azt jelenti, hogy a $B(t)$ Wiener bridge f\"uggetlen a $W(1)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol. \item{} $W(t)=B(t)+t\eta$ folytonos trajekt\'ori\'aj\'u Gauss folyamat $EW(t)=0$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel minden $0\le t\le 1$ sz\'amra, ha $B(t)$ egy Wiener bridge, \'es $\eta$ egy t\H{o}le f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. M\'asr\'eszt $$ EW(s)W(t)=EB(s)B(t)+stE\eta^2=s(t-1)+st=s=\min(s,t), $$ ha $0\le s0,\, \frac vu2$, (ebben az esetben a $g(x)$ f\"uggv\'enyt kifejez\H{o} integr\'alban szerepl\H{o} integrandus azonosan nulla. Ugyanis $x<0$ eset\'eben vagy $u<0$ vagy $x-u<0$, \'es $x>2$ esetben vagy $u>1$ vagy $x-u>1$. A $00$, $y>0$, \'es $x+y\le1$, \'es $f(x,y)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'amoljuk ki a $\xi^2$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\Cov(\xi^2,\eta)$ kovarianci\'aj\'at. \item{} {\it Megold\'as.}\/ $\Cov(\xi^2,\eta)=E\xi^2\eta-E\xi^2E\eta$. Tov\'abb\'a, $$ \align E\xi^2\eta &=\int x^2yf(x,y)\,dx\,dy=\int_0^1\(\int_0^{1-x}2x^2y\,dy\)\,dx =\int_0^1x^2\[y^2\]_0^{1-x}\,dx \\ &=\int_0^1x^2(1-2x+x^2)\,dx=\frac13-\frac12+\frac15=\frac1{30}, \endalign $$ $E\xi^2=\int x^2f(x,y)\,dx\,dy=\int_0^1\(\int_0^{1-x}2x^2\,dy\)\,dx =\int_0^1 2(1-x)x^2\,dx=\frac23-\frac12=\frac16$, \'es $E\eta=\int yf(x,y)\,dx\,dy=\int_0^1\(\int_0^{1-x}2y\,dy\)\,dx =\int_0^1(1-x)^2\,dx=1-1+\frac13=\frac13$. Ez\'ert $\Cov(\xi^2,\eta)=\frac1{30}-\frac1{18}=-\frac1{45}$. \item{69.)} Egy k\'artyacsomag 75 k\'artyalapot tartalmaz, amelyek mindegyike az 1 \'es 75 k\"oz\"otti sz\'amok valamelyik\'evel meg van sz\'amozva. Kih\'uzunk 40 k\'arty\'at \'ugy, hogy h\'uz\'as ut\'an visszatessz\"uk, \'es ezenk\'{\i}v\"ul a k\'artyacsomagba tesz\"unk m\'eg egy \'uj, minden kor\'abbi k\'arty\'at\'ol k\"ul\"onb\"oz\H{o} k\'artyalapot. Jel\"olje $X$ azt, hogy h\'any k\"ul\"onb\"oz\H{o} k\'artyalapot h\'uztunk ki. Sz\'amoljuk ki az $EX$ v\'arhat\'o \'ert\'eket. \item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'amozzuk meg a k\'artyacsomagban kezdett\H{o}l fogva tartalmazott k\'ar\-tya\-la\-po\-kat 1-t\H{o}l 75-ig, \'es vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le75$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. $\xi_j=1$, ha a $j$-ik k\'arty\'at kih\'uztuk, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik k\'arty\'at nem h\'utuk ki a 40 h\'uz\'as sor\'an. Ezenk\'{\i}v\"ul vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\eta_j$, $1\le j\le40$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat is. $\eta_j=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as ut\'an a k\'artyacsomagba tett lapot k\'es\H{o}bb kih\'uztuk, \'es $\eta_j=0$, ha nem h\'uztuk ki. Ekkor $X=\summ_{j=1}^{75}\xi_j+\summ_{j=1}^{40}\eta_j$. Ez\'ert $EX=\summ_{j=1}^{75}E\xi_j+\summ_{j=1}^{40}E\eta_j =\summ_{j=1}^{75}P(\xi_j=1)+\summ_{j=1}^{40}P(\eta_j=1)$. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik (a csomagban eredetileg bennelev\H{o}) k\'arty\'at nem h\'uzzuk ki 40 h\'uz\'as sor\'an $\prodd_{j=1}^{40}\frac{74+j-1}{75+j-1}$. Innen $P(\xi_j=1)=1-\prodd_{j=1}^{40}\frac{74+j-1}{75+j-1}$, $1\le j\le75$. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik h\'uz\'as ut\'an a k\'artyacsomagba tett k\'arty\'at nem h\'uzzuk ki, $\prodd_{l=j+1}^{40}\frac{74+l-1}{75+l-1}$. Ez\'ert $E\eta_j=1-\prodd_{l=j+1}^{40}\frac{74+l-1}{75+l-1}$, ha $1\le j\le39$, \'es $E\eta_{40}=0$. Innen kapjuk, hogy $$ EX=75\(1-\prodd_{j=1}^{40}\frac{74+j-1}{75+j-1}\)+ \summ_{l=1}^{39}\[1-\prodd_{l=j+1}^{40}\frac{74+l-1}{75+l-1}\]. $$ \item{70.)} Egy k\'artyacsomag 75 k\'artyalapot tartalmaz, amelyek mindegyike az 1 \'es 75 k\"oz\"otti sz\'amok valamelyik\'evel meg van sz\'amozva. Kih\'uzunk 40 k\'arty\'at \'ugy, hogy a p\'aratlan index\H{u} h\'uz\'asok ut\'an a k\'arty\'at visszatessz\"uk, a p\'aros index\H{u} h\'uz\'asok ut\'an pedig nem tessz\"uk vissza a csomagba. Jel\"olje $X$ azt, hogy h\'any k\"ul\"onb\"oz\H{o} k\'artyalapot h\'uztunk ki. Sz\'amoljuk ki az $EX$ v\'arhat\'o \'ert\'eket. \item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'amozzuk meg a k\'artyacsomag lap\-jait 1-t\H{o}l 75-ig, \'es vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le75$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. $\xi_j=1$, ha a $j$-ik k\'arty\'at kih\'uztuk, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik k\'arty\'at nem h\'uztuk ki a 40 h\'uz\'as sor\'an. Ekkor $X=\summ_{j=1}^{75}\xi_j$, ez\'ert $EX=\summ_{j=1}^{75}E\xi_j=\summ_{j=1}^{75}P(\xi_j=1)$. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik k\'arty\'at nem h\'uzzuk ki 40 h\'uz\'as sor\'an $\prodd_{j=1}^{20}\(\frac{74-j+1}{75-j+1}\)^2$. Innen $P(\xi_j=1)=1-\prodd_{j=1}^{20}\(\frac{74-j+1}{75-j+1}\)^2$, \'es $EX=75\(1-\prodd_{j=1}^{20}\(\frac{74-j+1}{75-j+1}\)^2\)$. \item{71.)} K\'et f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o h\'anyadosa, mint l\'attuk, egy olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelynek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $h(x)=\frac1\pi\frac1{1+x^2}$, $-\infty0$ als\'o integr\'al\'asi hat\'arral konvergens-e vagy divergens. De tudjuk, hogy az $\int_a^\infty x^{-\alpha}\,dx$ integr\'al $\alpha>1$-re konvergens, \'es $\alpha\le 1$-re divergens. \item{72.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek k\"oz\"ul $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumban, azaz s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $0\le x\le1$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent, $\eta$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\lambda=1$ param\'eterrel, azaz s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=e^{-x}$, ha $x\ge0$, \'es $g(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'amoljuk ki a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $h(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. \item{} {\it Megold\'as:}\/ $h(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du$. Hat\'arozzuk meg, hogy mely $u$ \'ert\'ekekre lesz a fenti integr\'al $f(u)g(x-u)$ integrandusa szigor\'uan pozit\'{\i}v. Ehhez az kell, hogy $0\le u\le 1$, \'es $x-u\ge0$, azaz $u\le x$. A k\'et k\"ovetelm\'enyt egy k\'epletben egyes\'{\i}tve azt \'{\i}rhatjuk, hogy $0\le u\le\min(x,1)$. Innen k\"ovetkezik, hogy $h(x)=0$, ha $x\le0$, $h(x)=\int_0^xe^{-(x-u)}\,du=e^{-x}[e^u]_0^x=e^{-x}(e^x-1)=1-e^{-x}$, ha $0\le x\le1$, \'es $h(x)=\int_0^1e^{-(x-u)}\,du=e^{-x}(e-1)$, ha $x>1$. \item{73.)} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[-1,1]$ intervallumon, $\eta$ egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[-2,2]$ intervallumban, \'es legyen $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen egym\'ast\'ol. Sz\'amoljuk ki $\xi+\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. \item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $f(x)=\frac12$, ha $-1\le x\le1$, $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $g(x)=\frac14$, ha $-2\le x\le2$, $g(x)=0$ egy\'ebk\'ent az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es $h(x)$ a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Ekkor $h(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du$. Hat\'arozzuk meg, hogy mely $u$ \'ert\'ekekre lesz a fenti integr\'al $f(u)g(x-u)$ integrandusa szigor\'uan pozit\'{\i}v. Ehhez az kell, hogy $-1\le u\le1$, \'es $-2\le x-u\le2$, azaz $x-2\le u\le x+2$. Ha $x>0$, akkor ez azt jelenti, hogy $\min(x-2,-1)\le u\le1$. Innen $-1\le u\le1$, ha $0\le x\le1$, tov\'abb\'a $x-2\le u\le1$, ha $1\le x\le3$, \'es a tekintett halmaz \"ures, ha $x>2$. Ez\'ert $h(x)=0$, ha $x>3$, $h(x)=\frac18\int_{x-2}^1\,du=\frac{3-x}8$, ha $1\le x\le3$, \'es $h(x)=\frac18\int_{-1}^1\,du=\frac14$, ha $0\le x\le1$. Mivel mind $f(x)$ mind $g(x)$ p\'aros f\"uggv\'eny, ugyanez igaz a $h(x)$ f\"uggv\'enyre is, azaz $h(x)=h(-x)$. Innen $h(x)=\frac14$, ha $-1\le x\le1$, $h(x)=\frac{3-x}8$, ha $1\le|x|\le3$, \'es $h(x)=0$, ha $|x|\ge3$. \item{74.)} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[0,2]$ intervallumon, $\eta$ egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o az $[1,5]$ intervallumban, \'es legyen $\xi$ \'es $\eta$ f\"ug\-get\-len egym\'ast\'ol. Sz\'amoljuk ki $\xi+\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. \item{} {\it Megold\'as:}\/ A feladat megoldhat\'o az el\H{o}z\H{o} feladathoz hasonl\'o m\'odon kiss\'e bo\-nyo\-lul\-tabb sz\'amol\'assal. De egyszer\H{u}bb azt k\"ozvetlen\"ul visszavezetni az el\H{o}z\H{o} fel\-adat\-ra. Ennek \'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre, hogy a $\bar\xi=\xi-1$ \'es $\bar\eta=\eta-3$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik az el\H{o}z\H{o} feladat felt\'eteleit. Ez\'ert a $\xi+\eta=\bar\xi+\bar\eta+4$ \"osszeg $\tilde h(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye teljes\'{\i}ti a $\tilde h(x)=h(x-4)$ azonoss\'agot, ahol $h(x)$ az el\H{o}z\H{o} feladatban tekintett v\'eletlen \"osszeg s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Innen $\tilde h(x)=\frac14$, ha $-1\le x-4\le1$, $\tilde h(x)=\frac{3-x}8$, ha $1\le|x-4|\le3$, \'es $\tilde h(x)=0$, ha $|x-4|\ge3$. \item{75.)} Tegy\"uk fel, hogy a k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot j\'atszhatjuk: Feldobnak egy szab\'alyos p\'enz\-da\-ra\-bot egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul egym\'as ut\'an. Amennyiben fej a dob\'as eredm\'enye, akkor a feltett t\'et dupl\'aj\'at kapjuk, ha \'{\i}r\'as, akkor a t\'et $\frac23$ r\'esz\'et elvesz\'{\i}tj\"uk, \'es csak $\frac13$ r\'esz\'et \H{o}rizhetj\"uk meg. Mivel ez a j\'at\'ek el\H{o}ny\"os, ez\'ert feltessz\"uk minden j\'at\'ekban minden p\'enz\"unket. L\'assuk be, hogy amennyiben $A$ volt a vagyonunk a j\'at\'ek kezdete el\H{o}tt, \'es $Z_n$ jel\"oli vagyonunkat az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an, akkor \item{a)} $EZ_n=A\(\frac76\)^n$, azaz vagyonunk v\'arhat\'o \'ert\'eke exponenci\'alisan n\H{o}. \item{b)} $Z_n$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel null\'ahoz tart, azaz ha sok\'aig j\'atszunk, akkor k\"ozel egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel majdnem minden p\'enz\"unket elvesz\'{\i}tj\"uk. \item{c)} \'Erts\"uk meg, hogy ez a k\'et \'all\'{\i}t\'as nem mond egym\'asnak ellent. \item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=\frac13$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $P(\xi_j=2)=P\(\xi_j=\frac13\)=\frac12$, \'es ezenk\'{\i}v\"ul nye\-re\-m\'e\-ny\"unk az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an $Z_n=A\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$. Ez\'ert $E\xi_j=\frac12\(2+\frac13\)=\frac76$, \'es $EZ_n=EA\xi_1\xi_2\cdots\xi_n =AE\xi_1 E\xi_2\cdots E\xi_n=A\(\frac76\)^n$. Ez a feladat a) \'all\'{\i}t\'asa. \item{} A $Z_n=A\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$ rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik, hogy $\frac1n\log Z_n=\frac{\log A}n+\frac1n \summ_{j=1}^n\log \xi_j$. To\-v\'ab\-b\'a, $E\log\xi_j=\frac12\(\log2+\log\frac13\) =-\frac12\log\frac32$. Ez\'ert a nagy sz\'amok (er\H{o}s) t\"orv\'enye sze\-rint $\frac1n\log Z_n$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al a negat\'{\i}v $-\frac12\log\frac32$ sz\'amhoz. Innen k\"ovetkezik, hogy 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel $\limm_{n\to\infty}\log Z_n=-\infty$, \'es ez\'ert $\limm_{n\to\infty} Z_n=0$. \item{} Az a) r\'esz bizony\'{\i}t\'asa azon alapult, hogy $E\xi_j>1$, a b) r\'esz\'e pedig azon, hogy $E\log \xi_j<0$. Ez a k\'et egyenl\H{o}tlens\'eg teljes\"ulhet egyszerre, mert a v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es a logaritmusk\'epz\'es egym\'assal nem felcser\'elhet\H{o}. Igaz az $E e^\eta\ge e^{E\eta}$ egyenl\H{o}tlens\'eg (ez a konvex f\"uggv\'enyekre vonatkoz\'o \'ugynevezett Jensen egyenl\H{o}tlens\'eg speci\'alis esete), ahonnan $\xi=\log\eta$ v\'alaszt\'assal $E\xi\ge e^{\log E\xi}$, de egyenl\H{o}s\'eg nem \'{\i}rhat\'o a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg helyett. Megjegyzem, hogy hasonl\'o, de egyszer\H{u}bben \'erthet\H{o} p\'eld\'at mutat a feladat a) \'es b) \'all\'{\i}t\'as\'anak egyszerre val\'o teljes\"ul\'es\'ere a k\"ovetkez\H{o} modell. Olyan j\'at\'ekot j\'atszunk, amelyben $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel elvesz\'{\i}tj\"uk, $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel pedig megh\'aromszorozzuk a p\'enz\"unket. Az egyes j\'at\'ekok egym\'ast\'ol f\"uggetlenek, \'es minden id\H{o}pontban minden p\'enz\"unket feltessz\"uk. Ekkor annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an minden p\'enz\"unket elvesz\'{\i}tj\"uk, $1-\(\frac12\)^n$, ami rendk\'{\i}v\"ul gyor\-san tart egyhez, \'es p\'enz\"unk v\'arhat\'o \'ert\'eke $3^n\(\frac12\)^n$, ami exponenci\'alisan gyorsan n\H{o} az $n$ f\"uggv\'eny\'eben. Hasonl\'o, csak kiss\'e rejtettebb jelens\'eg t\"ort\'enik az \'altalunk t\'argyalt feladatban is. Tekints\"uk a feladatban vizs\-g\'alt j\'at\'ek nyerem\'eny\'et sok j\'at\'ek ut\'an. Azt \'all\'{\i}thatjuk, hogy nagy $n$ indexre az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an nagy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel alig marad p\'enz\"unk. Viszont kis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nagyon sok p\'enzt nyer\"unk, \'es ez\'ert nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o \'ert\'eke nagy. Ez az oka annak, hogy nemcsak a b), hanem az a) \'all\'{\i}t\'as is teljes\"ul. \item{} A feladatban t\'argyalt modell egyben olyan p\'eld\'at is ad, amelyben a Lebesgue t\'etel \'all\'{\i}t\'asa nem \'erv\'enyes, mert nem teljes\"ulnek a Lebesgue t\'etel felt\'etelei. Ebben a modellben a nyerem\'eny\"unk \'ert\'eke 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel null\'ahoz tart, a v\'arhat\'o \'ert\'eke (azaz a nyerem\'eny \'ert\'ek\'enek a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek szerinti integr\'alja) viszont nem a hat\'ar\'ert\'ek integr\'alj\'ahoz, azaz null\'ahoz, hanem v\'egtelenhez konverg\'al. \item{76.)} Tekints\"uk a 75. feladatban t\'argyalt j\'at\'ekot, azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy \'ovatosabban j\'atszunk. A j\'at\'ek minden egyes fordul\'oj\'aban vagyonunk $u$-ad r\'esz\'et, $0\le u\le1$, tessz\"uk fel t\'etk\'ent. Jel\"olje $Z_n(u)$ vagyonunkat a j\'at\'ek $n$-ik l\'ep\'ese ut\'an. Ekkor az $\frac1n\log Z_n(u)$ val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'alnak egy $B(u)$ sz\'amhoz. Hat\'arozzuk meg a legjobb $\bar u$ sz\'amot, amelyre $B(\bar u)=\supp_{0\le u\le 1}B(u)$. L\'assuk be, hogy $B(\bar u)>0$, ami azt jelenti, hogy nyerem\'eny\"unk exponenci\'alisan n\H{o} 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. \item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a $\xi_j=\xi_j(u)$, $j=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, ame\-lyek\-re $\xi_j=1+u$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej, \'es $\xi_j=\xi_j(u)=1-\frac {2u}3$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor az $n$-ik l\'ep\'esben a vagyonunk $Z_n=A\xi_1\cdots\xi_n$, a $\xi_j$, $j=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es egyforma eloszl\'as\'uak, ez\'ert $\frac1n\log Z_n=\frac{\log A}n +\frac1n\summ_{j=1}^n\log \xi_j$, \'es a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye sze\-rint az $\frac1n\log Z_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'alnak a $B(u)=E\log\xi_1=\frac12\(\log(1+u)+\log\(1-\frac{2u}3\)\) =\frac12\log(1+u)\(1-\frac {2u}3\)$ sz\'amhoz. A $B(u)$ f\"ugg\-v\'eny a maximum\'at az $\bar u=\frac14$ helyen veszi fel, \'es $B(\bar u)=\frac12\log\frac{25}{24}>0$. \item{77.)} Tegy\"uk fel, hogy olyan j\'at\'ekot j\'atszhatunk, amelynek $n$-ik fordul\'obeli nyerem\'enye $A$ forint t\'et felt\'etele eset\'en $A\xi_n$ forint, ahol $\xi_1,\dots,\xi_n,\dots$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre, $E\xi_1>1$. Legyen 1 forintunk az els\H{o} fordul\'o el\H{o}tt. Van olyan ezt a felt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o} modell, amelyre abban az esetben, ha mer\'eszen j\'atszunk, azaz ha minden fordul\'oban feltessz\"uk a teljes va\-gyo\-nun\-kat, akkor a va\-gyo\-nunk null\'ahoz tart $n\to\infty$ eset\'en. Viszont ha minden fordul\'oban a va\-gyo\-nunk $u$-ad r\'esz\'et tessz\"uk fel valamely alkalmas $01$ sz\'am, amelyre az $n$ fordul\'o ut\'ani vagyonunk $B(n)$ \'ert\'ek\'ere $\limm_{n\to\infty} B_n^{1/n}=B(u)$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. \item{} {\it Megold\'as:}\/ A 75. feladatban megadtunk egy olyan modellt, amelyben mer\'esz j\'at\'ek eset\'en nyerem\'eny\"unk \'ert\'eke null\'ahoz tart $n\to\infty$ eset\'en. M\'asr\'eszt, ha vagyonunk $u$-ad-r\'esz\'et tessz\"uk fel minden fordul\'oban, \'es $X_n$ jel\"oli vagyonunkat az $n$-ik fordul\'o ut\'an, akkor $X_{n+1}=(1-u)X_n+uX_n\xi_n=X_n\eta_n$, ahol $\eta_n=\eta_n(u)=1-u+u\xi_n$. Innnen $X_{n+1}=\prodd_{j=1}^n\eta_j$, \'es a nagy sz\'amok t\"orv\'enye sze\-rint $\limm_{n\to\infty}\frac1{n}\log X_n =\limm_{n\to\infty}\frac1n\summ_{j=1}^n\log \eta_j=E\log\eta_1$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Ez\'ert el\'eg bel\'atni, hogy $E\log\eta_1(u)>0$ alkalmas $00$. Ez azt jelenti, hogy $f(u)>0$ minden el\'eg kis $u>0$ sz\'amra. Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa. \item{78.)} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, (egyforma eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyenletes eloszl\'assal valamely $[a,b]$ intervallumon. Vegy\"uk e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_1^{*}<\xi_2^{*}<\dots<\xi_n^{*}$ nagys\'ag szerinti sorbarendez\'es\'et, azaz a bel\H{o}l\"uk k\'esz\'{\i}tett rendezett mint\'at. A $(\xi_1^*,\xi_2^*,\dots,\xi_n^*)$ v\'eletlen vektor (l\'etez\H{o}) $g(x_1,\dots,x_k)$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et az al\'abbi k\'eplet adja meg: $g(x_1,\dots,x_k)=\frac{n!}{(b-a)^n}$, ha $a\le x_10$ param\'eterrel, \'es tekints\"uk az $S_k=\summ_{j=1}^k\xi_j$, $k=1,2,\dots$, r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-ket. Az $(S_1,\dots,S_{n+1})$ v\'eletlen vektornak van $g(u_1,\dots,u_{n+1})$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az a $g(u_1,\dots,u_{n+1})=\lambda^{n+1} e^{-\lambda u_{n+1}}$ f\"uggv\'eny, ha $0\le u_1<\cdots0$, $1\le j\le n+1$ felt\'etelnek, \'es $h(v_1,\dots,v_{n+1})=g(u_1,\dots,u_{n+1})=0$, egy\'ebk\'ent. \item{}Meg kell m\'eg gondolni, hogy mi az $A_{n+1}$ halmaz $B_{n+1}$ inverze a fenti (invert\'alhat\'o) transzform\'aci\'o eset\'en, mert ez a transzform\'alt integr\'al integr\'al\'asi tartom\'anya. Egyszer\H{u} sz\'amol\'as mutatja, hogy $B_{n+1}=\{(u_1,\dots,u_{n+1})\colon\;u_10$. Ugyanis $v_j=\frac {u_j}{u_{n+1}}$, $1\le j\le n$, $v_{n+1}=u_{n+1}$, ez\'ert $\frac{\partial v_j}{\partial u_j}=\frac1{u_{n+1}}$, $1\le j\le n$, $\frac{\partial v_j}{\partial u_{n+1}}=-\frac{u_j}{u^2_{n+1}}$, $1\le j\le n$, $\frac{\partial v_{n+1}}{\partial u_{n+1}}=1$, \'es $\frac{\partial v_j}{\partial u_k}=0$ egy\'ebk\'ent. Innen k\"onnyen l\'athat\'o, hogy a Jacobiant defini\'al\'o m\'atrix determin\'ansa egyenl\H{o} a m\'atrix diagon\'alis elemeinek szorzat\'aval, ami $u_{n+1}^{-n}$-nel egyenl\H{o}. \item{} Ezt felhaszn\'alva a fenti azonoss\'agot a k\"ovetkez\H{o}k\'epp \'{\i}rhatjuk \'at. $$ \align &P(T_1