\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm

\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
%\parskip=2.5pt plus 1.2pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script =cmcsc10

\beginsection Stacion\'arius sorozatok el\H{o}rejelz\'ese.

Ebben az el\H{o}ad\'asban a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'est fogom
t\'argyalni: Tekints\"uk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
egy olyan $\dots,X_{-1},X_0,X_1,\dots$ stacion\'arius Gauss
sorozat\'at, amelyre $EX_n=0$ (minden $n=0\pm1,\pm2,\dots$ indexre),
\'es legyen megadva ennek a sorozatnak az $r(n)=EX_kX_{k+n}$
kovarianciaf\"uggv\'enye, $n=0,1,2,\dots$. Ha ismerj\"uk e sorozat
m\'ultbeli vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'et egy $n$ id\H{o}pontig, azaz
az $X_j(\oo)$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak tudjuk
az \'ert\'ek\'et minden $-\infty<j\le n$ indexre, akkor hogyan lehet
megadni az $X_{n+1}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o legjobb
becsl\'es\'et ezen inform\'aci\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel?

El\H{o}sz\"or megfogalmazom a feladatot kiss\'e pontosabban. Az
$X_j$, $-\infty<j\le n$, va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'oknak olyan $f(X_j,j\le n)$ f\"uggv\'eny\'et keress\"uk,
amelyre az $E(X_{n+1}-f(X_j,\,j\le  n))^2$ minim\'alis. M\'as
szavakkal az $X_{n+1}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
legkisebb hi\-b\'aj\'u becs\-l\'e\-s\'et keress\"uk az $X_j$,
$-\infty<j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ahol a becsl\'es hib\'aj\'at \'ugy
defini\'aljuk, mint a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o val\'odi \'es becs\"ult
\'ert\'eke k\"oz\"otti k\"ul\"onbs\'eg n\'egyzet\'enek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.

Vegy\"uk \'eszre, hogy a legjobb becsl\'es megtal\'al\'as\'anak a
k\'erd\'ese a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek tulajdons\'agai
miatt megegyezik azzal a probl\'em\'aval, hogy tal\'aljuk meg a
$X_{n+1}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et, felt\'eve az $X_{j}$, $-\infty<j\le n$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebr\'at. Ez a feladat \'atfogalmazhat\'o a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon is. Tekints\"uk az
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n azon
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszess\'eg\'et,
amelyekre $E\xi^2<\infty$, \'es vezess\"uk be k\"oz\"ott\"uk a
$(\xi,\eta)=E\xi\bar\eta$ skal\'arszorzatot. (A te\-kin\-tett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok lehetnek komplex
\'ert\'ek\H{u}ek is, \'es $\bar\eta(\oo)$ az $\eta(\oo)$ komplex
konjug\'altj\'at jel\"oli.) Ilyen m\'odon bevezett\"uk a
n\'egyzetesen  integr\'alhat\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt Hilbert teret, \'es az el\H{o}bb
megfogalmazott feladat ekvivalens m\'odon \'ugyis \'atfogalmazhat\'o,
hogy meg kell adnunk a Hilbert t\'er $X_{n+1}$ elem\'enek a
vet\"ulet\'et a tekintett Hilbert t\'ernek az $X_j$,
$-\infty<j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'altal gener\'alt $\sigma$-algebra szerint m\'erhet\H{o}
n\'egyzetesen integr\'alhat\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o alter\'ere. Ez a feladat a tekintett
$X_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok (egy\"uttes) Gauss
eloszl\'asa miatt tov\'abb egyszer\H{u}s\'{\i}thet\H{o}. A keresett
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek megegyezik az $X_{n+1}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o vet\"ulet\'evel az $X_j$,
$-\infty<j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
(meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o) line\'aris kombin\'aci\'oib\'ol
\'all\'o alt\'erre, azaz a keresett becsl\'es az az
$Y=\summ_{j=0}^\infty c_jX_{n-j}$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o ($EY^2<\infty$),
amelyre $EX_j(X_{n+1}-Y)=0$ minden $-\infty<j\le n$ indexre.
(L\'asd az al\'abbi feladatot.) \medskip\noindent
{\it Feladat:}\/
\medskip\noindent
Legyenek $Y$ \'es $X_1,X_2,\dots$, egy\"uttesen norm\'alis
eloszl\'as\'u (nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u})
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Ekkor az $Y$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o $Z$ vet\"ulete
az $X_1,X_2,\dots$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
n\'egyzetesen integr\'alhat\'o line\'aris kombin\'aci\'oi \'altal
kifesz\'{\i}tett al\-t\'er\-re (a m\'a\-so\-dik momentummal
rendelkez\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okb\'ol
\'all\'o Hilbert t\'erben) mer\H{o}leges minden az $X_1,X_2,\dots$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebr\'ara m\'erhet\H{o} n\'egyzetesen integr\'alhat\'o
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ora. Ez azt jelenti,
hogy ez a vet\"ulet megegyezik az $E(Y|X_1,X_2,\dots)$ felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel.
\medskip\noindent
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy az $Y-Z,X_1,X_2,\dots$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy\"uttesen norm\'alis
eloszl\'as\'uak, ez\'ert az $E(Y-Z)X_j=0$, $j=1,2,\dots$,
rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik, hogy az $Y-Z$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggetlen az
$(X_1,X_2,\dots)$ vektort\'ol. Ez\'ert $Y-Z$ f\"uggetlen az $X_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok minden $f(X_1,X_2,\dots)$
f\"uggv\'eny\'et\H{o}l is. Tov\'abb\'a $E(Y-Z)=0$. Ez azt jelenti,
hogy $E(Y-Z)f(X_1,X_2,\dots)=0$ minden az $X_1,X_2,\dots$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \'altal
gener\'alt $\sigma$-algebr\'ara m\'erhet\H{o} m\'asodik
momentummal rendelkez\H{o} $f(X_1,X_2,\dots)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ora.

\medskip

A fentiek alapj\'an a feladat \'atfogalmazhat\'o \'ugy, mint egy
a kovarianciaf\"uggv\'eny se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'ev\-el
fel\'{\i}rhat\'o v\'egtelen line\'aris egyenletrendszer megold\'asa.
(Az ismeretlen $c_j$ egy\"utthat\'okat kell megtal\'alni a
$R(n+1-k)=EX_kX_{n+1}=EYX_k=\summ_{j=0}^\infty c_jEX_{n-j}X_k
=\summ_{j=0}^\infty c_j R(n-j-k)$, $-\infty<k\le n$,
egyenletrendszerben.) Annak \'erdek\'eben, hogy a megold\'asr\'ol
bizonyos hasznosabb inform\'aci\'okat nyerhess\"unk, \'erdemes a
feladatot m\'as form\'aban is t\'argyalni. El\H{o}sz\"or bevezetek
n\'eh\'any fogalmat \'es megadok n\'eh\'any a Hilbert terek
alapvet\H{o} tulajdons\'agait felhaszn\'al\'o eredm\'enyt
bizony\'{\i}t\'as  n\'elk\"ul. Ezek kiss\'e pongyol\'an
fogalmazva azt \'all\'{\i}tj\'ak, hogy a feladatot reduk\'alni
lehet k\'et eset vizs\-g\'a\-la\-t\'a\-ra, amelyek k\"oz\"ul az
els\H{o} eset azt jelenti, hogy m\'ar a nagyon r\'egi
megfigyel\'esek is egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en meghat\'arozz\'ak a
rendszer tov\'abbi viselked\'es\'et, a m\'asodik eset pedig azt,
hogy a nagyon r\'egi megfigyel\'esek szinte semmi inform\'aci\'ot
nem adnak arra, hogy mi t\"ort\'enik a j\"ov\H{o}ben.

Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'eseket:
$$
\aligned
H=B(X_j,\,-\infty<j<\infty),\qquad
H_n&=B(X_j,\,-\infty<j\le n),\quad -\infty<n<\infty,\\
S&=\bigcap_{n=-\infty}^\infty H_n.
\endaligned \tag1
$$
A fenti jel\"ol\'esekben $B(X_j,\,j\in T)$, ahol $T$ az eg\'esz
sz\'amok valamely r\'eszhalmaza, a $T$ halmaz elemeivel indexelt
$X_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok  v\'eges line\'aris
kombin\'aci\'oit tartalmaz\'o legsz\"ukebb Hilbert teret jel\"oli,
$S$ pedig a legnagyobb minden $H_n$ Hilbert t\'er \'altal
tartalmazott Hilbert t\'er.

Adva egy $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,2,\dots$, stacion\'arius sorozat
vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $U$ shift oper\'atort az $X_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal kifesz\'{\i}tett
$H$ Hilbert t\'erben: $UX_n=X_{n+1}$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
\'es ha $Y=f(X_n,\,-\infty<n<\infty)\in H$, akkor ennek $UY$
eltoltj\'at (shift-j\'et) az
$UY=Uf(X_n,\,-\infty<n<\infty)=f(UX_n,\,-\infty<n<\infty)
\in H$ k\'eplettel defini\'aljuk. Akkor \'es csak akkor nevez\"unk
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy $Y_n$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, sorozat\'at az $X_n$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, sorozat al\'arendelt sorozat\'anak, ha
$Y_n\in H$, s\H{o}t az $Y_n\in H_n$ rel\'aci\'o is teljes\"ul
minden $n=\dots,-1,0,1,\dots$, ahol $H_n$ az (1) formul\'aban van
defini\'alva, \'es $UY_n=Y_{n+1}$ minden $n=\dots,-1,0,1,\dots$
indexre. Egy $Y_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, az $X_n$ sorozatnak
al\'arendelt sorozat ny\'{\i}lv\'anval\'o m\'odon szint\'en
stacion\'arius.
\medskip\noindent
{\bf Szingul\'aris stacion\'arius sorozat definici\'oja.} {\it Egy
$Y_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$ stacion\'arius (Gauss) sorozatot
szingul\'arisnak nevez\"unk, ha $S=H$. A
$H=B(Y_j,\,-\infty<j<\infty)$, $H_n=B(Y_j,\,-\infty<j\le n)$,
$S=\bigcapp_{n=-\infty}^\infty H_n$ az (1) k\'eplethez hasonl\'oan
defini\'aljuk. Az egyetlen k\"ul\"onbs\'eg az, hogy jelen esetben
az $Y_n$ sorozat seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'aljuk a $H$, $H_n$
\'es $S$ Hilbert tereket.}
\medskip\noindent
{\bf Regul\'aris stacion\'arius sorozat definici\'oja.} {\it Egy
$Z_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$ stacion\'arius (Gauss) sorozatot
regul\'arisnak nevez\"unk, ha  $S=\emptyset$. A
$H=B(Z_j,\,-\infty<j<\infty)$, $H_n=B(Z_j,\,-\infty<j\le n)$,
$S=\bigcapp_{n=-\infty}^\infty H_n$ az (1) k\'eplethez hasonl\'oan
defini\'aljuk. Az egyetlen k\"ul\"onbs\'eg az, hogy jelen esetben a
$Z_n$ sorozat seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'aljuk a $H$, $H_n$ \'es
$S$ Hilbert tereket.}
\medskip
\'Erv\'enyes a k\"ovetkez\H{o} egy stacion\'arius (Gauss) sorozat
felbont\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel stacion\'arius sorozat felbont\'as\'ar\'ol a sorozatnak
al\'arendelt regul\'aris \'es szingul\'aris sorozatok \"osszeg\'ere.}
{\it Legyen $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius (Gauss)
sorozat. Ekkor ennek l\'etezik olyan
$$
X_n=Y_n+Z_n, \quad n=\dots,-1,0,1,\dots \tag2
$$
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
k\'et sorozat\'anak az \"osszeg\'ere \'ugy, hogy
\medskip
\item{a)} $Y_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, az
$X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, sorozatnak al\'arendelt szingul\'aris
sorozat, $Z_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, az
$X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, sorozatnak al\'arendelt regul\'aris
sorozat.
\medskip
\item{b)} Az $Y_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, \'es
$Z_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, sorozatok korrel\'alatlanok, azaz
$$
\Cov(Y_n,Z_m)=0\quad \text{minden } n,m=\dots,-1,0,1,\dots
\text{ sz\'amp\'arra.}
$$

Az $X_n$ sorozat felbont\'asa az al\'abbi tulajdons\'ag\'u sorozatok
\"osszeg\'ere egy\'ertelm\H{u}.}
\medskip
Ha $Y_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, szingul\'aris sorozat, akkor e
sorozat tetsz\H{o}leges $Y_k$ ele\-me benne van a $H_{-N}(Y_j, -\infty
<j\le-N)$ Hilbert t\'erben b\'armilyen nagy $N$ indexre. Ez azt
jelenti, hogy az $Y_n$ sorozat m\'ultj\'anak ismerete b\'armilyen
r\'egi id\H{o}pontig elegend\H{o} ahhoz, hogy az $Y_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot pontosan rekonstru\'aljuk.
Ha $Z_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, regul\'aris sorozat, akkor
valamely tetsz\H{o}leges $Y_k$ elem\'enek a vet\"ulete a
$H_{-N}(Y_j, -\infty <j\le-N)$ Hilbert t\'erbe nagy $N$ indexekre
tart null\'ahoz. Ez inform\'alisan azt jelenti, hogy a nagyon
r\'egi megfigyel\'esek alig adnak inform\'aci\'ot egy $Y_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o becsl\'es\'ere. Igaz a
k\"ovetkez\H{o} Wold felbont\'asnak nevezett eredm\'eny.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel  (Wold felbont\'as).} {\it Legyen $X_n$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, regul\'aris stacion\'arius sorozat. Ekkor
l\'etezik olyan az $X_n$ sorozatnak al\'arendelt $V_n$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius sorozat \'es val\'os
sz\'amok olyan $c_k$, $k=0,1,2,\dots$ sorozata, emelyekre
$EV_n=0$, $EV_n^2=1$, $EV_nV_m=0$, ha $n\neq m$, $\summ_{k=0}^\infty
c_k^2=EX_1^2$, \'es
$$
X_n=\sum_{k=0}^\infty c_kV_{n-k}\quad \text{minden
$n=\dots,-1,0,1,\dots$ indexre.} \tag3
$$
Megford\'{\i}tva, ha az $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
stacion\'arius sorozatnak l\'etezik az adott tulajdons\'ag\'u
reprezent\'aci\'oja, akkor ez a sorozat regul\'aris.}
\medskip\noindent
{\it 1. feladat.} Legyen egy $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
stacion\'arius sorozat el\H{o}\'all\'{\i}that\'o egy $W_n$,
$W_n\in B(X_j, -\infty<j<\infty)$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} 1 sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
korrel\'alatlan elemekb\H{o}l \'all\'o stacion\'arius Gauss sorozat
mozg\'o \'at\-la\-ga\-k\'ent, (egy ilyen tulajdons\'agokkal
rendelkez\H{o} $W_n$ sorozat f\"uggetlen, standard norm\'alis
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okb\'ol \'all), azaz
l\'etezzen val\'os sz\'amok olyan $d_0,d_1,\dots$, $\summ_{n=0}^\infty
|d_n|^2=EX_1^2<\infty$, sorozata, amelyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel az
$X_n$ sorozat tagjai el\H{o}\'all\'{\i}that\'oak
$X_n=\summ_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$ alakban.
Ekkor $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, regul\'aris stacion\'arius
sorozat.
\medskip\noindent
{\it 2. feladat.} Legyen egy $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
stacion\'arius sorozat el\H{o}\'all\'{\i}that\'o egy $W_n$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} 1
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} korrel\'alatlan elemekb\H{o}l \'all\'o
$W_n$ stacion\'arius Gauss sorozat $X_n=\summ_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}$
mozg\'o\'atlagak\'ent. Ekkor $|d_0|$ egyenl\H{o} az
$X_1$ vektor t\'avols\'ag\'aval a $B(W_j,\,-\infty<j\le 0)$
alt\'ert\H{o}l. Ez\'ert, ha $X_n=\summ_{k=0}^\infty c_kV_{n-k}$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$ alak\'u az $X_n$ sorozat Wold felbont\'asa,
akkor $|d_0|\le |c_0|$.
\medskip\noindent
{\it 3. feladat.} Legyen  $W_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, f\"uggetlen
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} 1 sz\'or\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, $d_n$,
$n=0,1,\dots$, val\'os sz\'amok olyan sorozata, amelyre
$\summ_{n=0}^\infty d_n^2<\infty$. Ekkor a $\summ_{n=0}^\infty d_nW_n$
sorozat 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al. \hfill\break
{\it Seg\'{\i}ts\'eg.} Mutassuk meg a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a $Z_N(\oo)=\summ_{n=0}^N d_nW_n(\oo)$,
$N=0,1,2,\dots$, sorozat 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel Cauchy sorozat.

\medskip
A fenti eredm\'enyek a Hilbert terek \'altal\'anos tulajdons\'agait
haszn\'alj\'ak ki. \'Igy p\'eld\'aul a Wold felbont\'asban
szerepl\H{o} $V_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'es a (3)
formul\'aban szerepl\H{o} felbont\'ast \'ugy kapjuk meg,
hogy minden $n$ sz\'amra tekintj\"uk a $H_{n-1}$ Hilbert t\'er $D_n$
ortogon\'alis kieg\'esz\'{\i}t\H{o}j\'et a  $H_n$ Hilbert t\'erre,
\'es vesz\"unk ebben egy 1-re norm\'alt $V_n$ vektort. N\'emi
munk\'aval meg lehet mutatni, hogy ezeket a $V_n$ vektorokat
v\'alaszthatjuk \'ugy, hogy \'{\i}ly m\'odon egy az $X_n$ sorozatnak
al\'arendelt (ortonorm\'alt elemekb\H{o}l \'all\'o) stacion\'arius
sorozatot kapjunk, amelynek elemei egyben a $H$ Hilbert t\'er
ortonorm\'alt b\'azis\'at alkoss\'ak. Az $X_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorfejt\'esek\'ent ezen
b\'azis alapj\'an meg\-kap\-juk a (3) formul\'at.

Az \'{\i}gy kapott eredm\'enyek az\'ert nem kiel\'eg\'{\i}t\H{o}ek
sz\'amunkra, mert \"onmagukban nem elegend\H{o}ek ahhoz, hogy
megkapjuk a minket \'erdekl\H{o} predikci\'ot. Nem neh\'ez
bel\'atni, hogy az $X_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
legjobb becsl\'ese az $X_j$, $j\le 0$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel a $\summ_{k=n}^\infty c_kV_{n-k}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, de eddigi ismereteink nem
elegend\H{o}ek ahhoz, hogy explicit m\'odon megadjuk a $c_k$
egy\"utthat\'okat \'es kisz\'amoljuk azt, hogy a $V_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok hogy fejezhet\H{o}k ki az
$X_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok line\'aris
kombin\'aci\'ojak\'ent. Tov\'abbi probl\'ema, hogy az eddigi
eredm\'enyek nem mondj\'ak meg, hogy egy ismert kovarianci\'aj\'u
Gauss folyamat mikor regul\'aris, \'es ha nem regul\'aris, akkor
hogyan lehet megtal\'alni a sorozat (2) formul\'aban megadott
felbont\'as\'at.

Annak \'erdek\'eben, hogy ezekre a k\'erd\'esekre legal\'abb
r\'eszleges v\'alaszokat adhassunk, sz\"uks\'eg\"unk van az
anal\'{\i}zis n\'eh\'any klasszikus eredm\'eny\'ere. El\H{o}sz\"or
ismertetem a Bochner t\'etelt pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'enyek
jellemz\'es\'er\H{o}l, amely lehet\H{o}v\'e teszi annak
megmutat\'as\'at, hogy egy stacion\'arius sorozat kovariancia
f\"uggv\'enye el\H{o}\'all\'{\i}that\'o, mint egy \'ugynevezett
spektr\'al m\'ert\'ek Fourier transzform\'altja. Defini\'aljuk
el\H{o}sz\"or a pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'enyeket.

\medskip\noindent
{\bf Pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'enyek \'es sorozatok
definici\'oja.} {\it Azt mondjuk, hogy egy $f(t)$ f\"uggv\'eny a
sz\'amegyenesen pozit\'{\i}v definit, ha minden $t_1,\dots,t_N$
val\'os \'es  $z_1,\dots,z_N$ komplex sz\'amokb\'ol
\'all\'o sz\'am $n$-esre teljes\"ul a
$$
\sum_{k=1}^N\sum_{l=1}^N z_k\bar z_l f(t_k-t_l)\ge0
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg, ahol $\bar z$ a $z$ komplex sz\'am
konjug\'altj\'at jel\"oli.

Hasonl\'oan ha $a(n)$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, az eg\'esz
sz\'amokkal indexezett sz\'am\-so\-ro\-zat, akkor ezt a sorozatot
akkor \'es csak akkor nevezz\"uk pozit\'{\i}v definitnek, ha minden
$a_1,\dots,a_N$ eg\'esz \'es  $z_1,\dots,z_N$ komplex sz\'amokb\'ol
\'all\'o sz\'am $n$-esre teljes\"ul a
$$
\sum_{k=1}^N\sum_{l=1}^N z_k\bar z_l a(n_k-n_l)\ge0
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg.}
\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/ Mutassuk meg, hogy az $f_t(x)=e^{itx}$, $t$ val\'os
sz\'am, f\"uggv\'eny pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny minden
(val\'os) $x$ param\'eterre, $a_k(n)=e^{ikn}$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
pozit\'{\i}v definit sorozat minden eg\'esz $k$ sz\'amra.
\medskip
A Bochner t\'etel a pozit\'{\i}v definit sorozatok \'es
f\"uggv\'enyek jellemz\'es\'et
adja. Sz\'a\-munk\-ra a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} lemma miatt
\'erdekes ez az eredm\'eny.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Ha $X(t)$, $-\infty<t<\infty$, stacion\'arius
sztochasztikus folyamat, akkor az $R(t)=EX(s)X(t+s)$ kovariancia
f\"uggv\'eny pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny, amelyre $R(t)=R(-t)$.
Ha $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius sorozat, akkor
$R(n)=EX_mX_{n+m}$ pozit\'{\i}v definit sorozat, amelyre $R(n)=R(-n)$.

Megford\'{\i}tva, ha $R(n)$ pozit\'{\i}v definit sorozat, amelyre
$R(n)=R(-n)$, akkor l\'etezik val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
olyan $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius sztochasztikus
so\-ro\-za\-ta, amelynek ez az $R(n)$ sorozat az $R(n)=EX_kX_{k+n}$
kovarianciaf\"uggv\'enye. S\H{o}t, l\'etezik az adott
kovarianciaf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} Gauss sorozat nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'okkal. Ez ut\'obbi esetben a sorozat v\'eges dimenzi\'os
eloszl\'asait egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en meg\-ha\-t\'a\-roz\-za a
kovarianciaf\"uggv\'eny.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Az \'altal\'anoss\'ag
megszor\'{\i}t\'asa n\'elk\"ul feltehetj\"uk, hoggy $EX(t)=0$,
R\"og\-z\'{\i}t\-s\"unk valamely $t_1,\dots,t_N$ val\'os \'es
$z_1,\dots,z_N$ komplex sz\'amokb\'ol
\'all\'o sz\'am $n$-es p\'art \'es tekints\"uk a
$\summ_{k=1}^N\summ_{l=1}^N z_k\bar z_l R(t_k-t_l)$
kifejez\'est. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$\summ_{k=1}^N\summ_{l=1}^N z_k\bar z_l R(t_k-t_l)=
\summ_{k=1}^N\summ_{l=1}^N z_k\bar z_l EX(t_k)X(t_l)=
E\(\summ_{k=1}^N z_kX(t_k)\)\(\overline{\summ_{k=1}^N z_kX(t_k)}\)\ge0$.
M\'asr\'eszt $R(-t)=EX(s+t)X(s)=R(t)$.

Hasonl\'oan, r\"ogz\'{\i}tve valamely $n_1,\dots,n_N$ eg\'esz
\'es $z_1,\dots,z_N$ komplex sz\'amokb\'ol \'all\'o sz\'am $n$-es
p\'art. Ekkor fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$\summ_{k=1}^N\summ_{l=1}^N z_k\bar z_l R(n_k-n_l)=
\summ_{k=1}^N\summ_{l=1}^N z_k\bar z_l EX_{n_k}X_{n_l}=
E\(\summ_{k=1}^N z_kX_{n_k}\)\(\overline{\summ_{k=1}^N
z_kX_{n_k}}\)\ge0$, \'es $R(n)=R(-n)$.

A lemma utols\'o \'all\'{\i}t\'as\'anak bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
azt kell meggondolnunk, hogy ahhoz, hogy az adott $R(n)$
kovarianciaf\"uggv\'enyhez l\'etezzen olyan norm\'alis sorozat,
amelynek $(X(k_1),\dots,X_(k_p))$ v\'eges dimenzi\'os
eloszl\'asainak a kovarianciam\'atrix\'at az
$D(j,l)=\Cov(X(k_j),X(k_l))=R(k_j-k_l)$, $1\le j\le p$,
kovarianciam\'atrix adja meg az kell, hogy ez a
kovarianciam\'atrix a $k_1,\dots,k_l$ eg\'esz sz\'amok tetsz\H{o}leges
v\'alaszt\'asa eset\'en pozit\'{\i}v definit legyen.
Viszont ezt a felt\'etelt az biztos\'{\i}tja, hogy az $R(n)$ sorozat
pozit\'{\i}v definit. Ezenk\'{\i}v\"ul eml\'ekezz\"unk arra, hogy
egy norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor eloszl\'as\'at annak
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es kovariancia m\'atrixa meghat\'arozza.

\medskip\noindent
{\bf Bochner t\'etel.} {\it Legyen $f(x)$, $-\infty<x<\infty$,
folytonos pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny. Ekkor l\'etezik olyan
v\'eges $\mu(\cdot)$ m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen, amelyre
$$
f(x)=\int_{-\infty}^\infty e^{itx}\mu(\,dt),\quad -\infty<x<\infty.
\tag4
$$
A (4) k\'epletben szerepl\H{o} $\mu$ m\'ert\'eket az $f(x)$
f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza.

Legyen $a(n)$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, pozit\'{\i}v definit sorozat
az eg\'esz sz\'amokon. Ekkor l\'etezik olyan v\'eges m\'ert\'ek a
$[-\pi,\pi)$ szakaszon, amelyre
$$
a(n)=\int_{-\pi}^{\pi} e^{itn}\mu(\,dt),\quad n=\dots,-1,0,1,\dots
$$
A $\mu$ m\'ert\'eket az $a(n)$ sorozat egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozza.}
\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Legyen $X_n$, $EX_n=0$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius sorozat $R(n)=EX_kX_{k+n}$
kovarianciaf\"uggv\'ennyel. Akkor l\'etezik olyan egy\'ertelm\H{u}en
meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott $G(\,dx)$ m\'ert\'ek a $-\pi\le x\le \pi$
intervallumon, amelyre
$$
R(n)=\int_{-\pi}^\pi e^{int}G(\,dt),\quad n=\dots,-1,0,1,\dots \tag5
$$
Speci\'alisan
$$
EX_n^2=R(0)=\int _{-\pi}^\pi G(\,dt)=G([-\pi,\pi]).
$$
A $G$ m\'ert\'ek teljes\'{\i}ti a $G(A)=G(-A)$ tulajdons\'agot
is minden m\'erhet\H{o} $A$ halmazra.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Mivel az $R(n)$ sorozat pozit\'{\i}v
definit a Bochner t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik az (5) formula.
Tov\'abb\'a, mivel $R(n)=R(-n)$, \'es az $R(n)$ sorozat
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza a $G(\,dt)$ m\'ert\'eket, innen
k\"ovetkezik, hogy $G(A)=G(-A)$.
\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es.} Az (5) formul\'aban szerepl\H{o} $G$
m\'ert\'eket az $R(n)$ kovarianciaf\"uggv\'eny
spek\-tr\'al\-m\'er\-t\'e\-k\'e\-nek nevezik az irodalomban. Ha
a $G$ m\'ert\'ek abszolut folytonos a (Lebesgue m\'ert\'ekre
n\'ezve), akkor ennek $g(x)=\frac{dG}{dx}(x)$ deriv\'altj\'at a
kovarianciaf\"uggv\'eny spek\-tr\'al\-s\H{u}\-r\H{u}\-s\'e\-g\'e\-nek
nevezik. Ha l\'etezik az $R(n)$ f\"uggv\'enynek $g(x)$
spek\-tr\'al\-s\H{u}\-r\H{u}\-s\'ege, akkor az (5) formula
fel\'{\i}rhat\'o a k\"ovetkez\H{o} ekvivalens m\'odon is:
$$
R(n)=\int_{-\pi}^\pi e^{int}g(t)\,dt,\quad n=\dots,-1,0,1,\dots
\tag$5'$
$$
\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es.} Egy a $[-\pi,\pi]$ intervallumon defini\'alt
$G$ m\'ert\'eket, amelyre $G([-\pi,\pi])<\infty$, $G(A)=G(-A)$ minden
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'enyre spektr\'al m\'ert\'eknek is neveznek. Az
elnevez\'es oka az, hogy l\'etezik olyan $X_n$,
$n=-\dots,-1,0,1,\dots$, Gauss eloszl\'as\'u stacion\'arius sorozat,
amelynek ez a $G$ m\'ert\'ek a spektr\'al m\'ert\'eke. Azt
is feltehetj\"uk, hogy e sorozat elemei teljes\'{\i}tik az $EX_n=0$
felt\'etelt. Val\'oban, ha az $EX_kX_{k+n}=R(n)$ f\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel meg tudjuk adni a keresett Gauss sorozat v\'eges
dimenzi\'os eloszl\'asainak kovariancia m\'atrix\'at, \'{\i}gy
magukat a v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asokat is.

A spektr\'al m\'ert\'ek bevezet\'ese az\'ert hasznos, mert ilyen
m\'odon a Fourier anal\'{\i}zis m\'odszereit tudjuk alkalmazni. Egy
stacion\'arius sorozat kovarianciaf\"uggv\'enye el\H{o}\'all, mint a
spektr\'al m\'ert\'ek Fourier transzform\'altja. A
kovarianciaf\"uggv\'eny vagy a spektr\'al m\'ert\'ek megad\'asa
ekvivalens. Sok vizsg\'alatban hasznosabb a
spek\-tr\'al m\'ert\'ekkel dol\-goz\-ni.

Legyen adva egy stacion\'arius Gauss folyamat valamely $G$
spektr\'al m\'ert\'ekkel. Le\-het\-s\'e\-ges \'es \'erdemes
konstru\'alni olyan \'ugynevezett v\'eletlen (norm\'alis) spektr\'al
m\'ert\'eket, amelynek seg\'{\i}ts\'eg\'evel mag\'at
a sztochasztikus folyamatot is el\H{o} tudjuk \'all\'{\i}tani ezen
v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'eknek a Fourier transzform\'altjak\'ent.
Ezt az eredm\'enyt, illetve a bizony\'{\i}t\'asban sz\"uks\'eges
gondolatmenetet r\"oviden ismertetem. El\H{o}sz\"or
be\-ve\-ze\-tem a k\"ovetkez\H{o} definici\'ot.
\medskip\noindent
{\bf V\'eletlen (norm\'alis) spektr\'alm\'ert\'ek definici\'oja.}
{\it Legyen adva egy $G$ spektr\'alm\'ert\'ek a $[-\pi,\pi]$
intervallumon. Azt mondjuk, hogy egy v\'eletlen $Z_G$ m\'ert\'ek
a $G$ spekt\-r\'al\-m\'er\-t\'ek\-nek megfelel\H{o}
v\'eletlen (norm\'alis) spektr\'al m\'ert\'ek, ha teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} tu\-laj\-don\-s\'a\-go\-kat.
\medskip
\item{(i.)} Minden m\'erhet\H{o} $A\subset [-\pi,\pi]$ halmazra
l\'etezik egy komplex \'ert\'ek\H{u}
$$
Z_G(A)=\Re Z_G(A)+i\Im Z_G(A)
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,  amelyet az $A$ halmaz
v\'eletlen m\'ert\'ek\'enek ne\-ve\-z\"unk.
\item{(ii.)} A $\Re Z_G(A)$, $\Im Z_G(A)$, $A\subset [-\pi,\pi]$
m\'erhet\H{o} halmaz, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
egy\"ut\-te\-sen Gauss eloszl\'as\'uak, azaz b\'armely v\'eges
sok val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak ezek k\"oz\"ul az
egy\"uttes eloszl\'asa t\"obbdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as.
\item{(iii.)} $EZ_G(A)=0$ minden $A\subset [-\pi,\pi]$ m\'erhet\H{o}
halmazra.
\item{(iv.)} $EZ_G(A)\overline{Z_G(B)}=G(A\cap B)$, ahol $\bar z$ a
$z$ sz\'am konjug\'altj\'at jel\"oli.
\item{(v.)} $\summ_{j=1}^n Z_G(A)=Z_G\(\bigcupp_{j=1}^n A_j\)$, ha
$A_1,\dots,A_n$ diszjunkt halmazok.
\item{(vi.)} $Z_G(-A)=\overline{Z_G(A)}$.
}
\medskip\noindent
{\it \'Eszrev\'etel.} A $\Re Z_G(A)$ \'es $\Im Z_G(B)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek. Val\'oban,
ehhez el\'eg megmutatni a norm\'alis eloszl\'as
miatt, hogy korrel\'alatlanok. Viszont
$$
\align
&E\Re Z_G(A)\Im Z_G(B)=\frac14E\[(Z_G(A)+\overline{Z_G(A)})
(Z_G(B)-\overline{Z_G(B)})\]\\
&\qquad=\frac14E\[(Z_G(A)+{Z_G(-A)})
(\overline{Z_G(-B)}-\overline{Z_G(B)})\]\\
&\qquad=\frac14\(G(A\cap (-B))-G(A\cap B)
+G((-A)\cap (-B))-G((-A)\cap B)\)=0.
\endalign
$$
\medskip\noindent
{\it Feladat:} Ha $(A_1)\cup (-A_1)$, \dots, $A_n\cup(- A_n)$
diszjunktak, akkor $Z_G(A_1)$, \dots $Z_G(A_n)$ f\"uggetlenek. Ha
$A\cap (-A)=\emptyset$, akkor $\Var\(\Re Z_G(A)\)=\Var\(\Im Z_G(A)\)
=\frac {G(A)}2$. Tov\'abb\'a, $\Re Z_G(A)=\Re Z_G(-A)$,
$\Im Z_G(A)=-\Im Z_G(-A)$.
\hfill\break
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Az els\H{o} \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz azt kell megmutatni, hogy
$$E \Re Z_G(A_j)\Re
Z_G(A_k)=0, \quad\text{\'es}\quad E \Im Z_G(A_j)\Im Z_G(A_k))=0,
$$
ha $(A_j\cup (-A_j))\cap (A_k\cup(-A_k))=\emptyset$. Viszont
$$
\align
E\Re Z_G(A_j)\Re Z_G(A_k)&=\frac14E(Z_G(A_j)+\overline{Z_G(A_j)})
(Z_G(A_k)+\overline{Z_G(A_k)})\\
&=\frac14\bigl(EZ_G(A_j)\overline{Z_G(-A_k)}+
EZ_G(A_j)\overline{Z_G(A_k)}\\
&\qquad+EZ_G(-A_j)\overline{Z_G(-A_k)}+
EZ_G(-A_j)\overline{Z_G(A_k)}\bigr)=0
\endalign
$$
az adott felt\'etelek mellett, \'es
az $E \Im Z_G(A_j)\Im Z_G(A_k))=0$ rel\'aci\'o hasonl\'oan
bizony\'{\i}that\'o.

Ha $A\cap (-A)=\emptyset$, akkor
$E(\Re(Z_G(A))^2=\frac14E(Z_G(A)+\overline{Z_G(-A)})^2=\frac{G(A)}2$.
Hasonl\'oan $E(\Re(Z_G(-A))^2=\frac{G(A)}2$. Mivel
$Z_G(-A)=\overline{Z_G(A)}$ az (vi) rel\'aci\'o szerint, innen
k\"ovetkezik a Feladat m\'eg nem t\'argyalt \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip

A fent megadott definici\'o b\'ar technikainak l\'atszik
term\'eszetes. Ha egy $Z_G$  v\'eletlen m\'ert\'ek teljes\'{\i}ti a
fenti tulajdons\'agokat, akkor defini\'alhatjuk az $\int f(t)Z_G(\,dt)$
m\'ert\'eket a k\"ovetkez\H{o} m\'odon. El\H{o}sz\"or defini\'aljuk
ezt az integr\'alt term\'eszetes m\'odon
$f(t)=\summ_{j=1}^n c_j I_{A_j}(t)$ alak\'u elemi f\"uggv\'enyekre,
ahol $A_1,\dots,A_n$ m\'erhet\H{o} diszjunkt r\'eszhalmazai a
$[-\pi,\pi]$ intervallumnak, \'es $I_A(\cdot)$ az $A$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'enye. A definici\'ot az
$$
\int\(\summ_{j=1}^n c_j I_{A_j}(t)\)Z_G(\,dt)=
\summ_{j=1}^n c_j Z_G(A_j)
$$
k\'eplettel adjuk meg. Nem neh\'ez bel\'atni, hogy teljes\"ul az
$$
E\(\int f(t)Z_G(\,dt)\overline{\int h(t)Z_G(\,dt)}\)
=\int f(t)\overline{h(t)}G(\,dt) \tag6
$$
elemi f\"uggv\'enyek minden $(f(t), h(t))$ p\'arj\'ara. Val\'oban,
legyen $f(t)=\summ_{j=1}^M c_j I_{A_j}(t)$,
$h(t)=\summ_{k=1}^N d_k I_{B_k}(t)$,  ahol
$A_1,\dots,A_M$ \'es $B_1,\dots,B_N$ a $[-\pi,\pi)$ intervallum
partici\'oi, $c_j$, $j=1,\dots,M$, $d_k$, $k=1,\dots,N$, komplex
sz\'amok. Ekkor
$$
\align
&E\(\int f(t)Z_G(\,dt)\overline{\int h(t)Z_G(\,dt)}\)
=E\(\summ_{j=1}^M c_j Z_G(A_j)\)
\(\overline{\summ_{k=1}^N d_k Z_G(B_k)}\)\\
&=\sum_{j=1}^M\sum_{k=1}^Nc_j\bar d_k EZ_G(A_j)\overline{Z_G(B_k)}
=\sum_{j=1}^M\sum_{k=1}^Nc_j\bar d_k G(A_j\cap B_k)
=\int f(t)\overline{h(t)}G(\,dt).
\endalign
$$
A l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enyekre fent igazolt (6) tulajdons\'ag
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy az $\int f(t)Z_G(\,dt)$ integr\'alt
az $L_2$ izomorfia se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel kiterjessz\"uk
minden olyan $f$ f\"uggv\'enyre, amelyre $\int
|f(t)|^2G(\,dt)<\infty$ \'ugy, hogy a (6) rel\'aci\'o tov\'abbra is
\'erv\'enyben maradjon. Ez a kiterjeszt\'es egy\'ertelm\H{u}.
Vegy\"uk \'eszre, hogy igaz a k\"ovetkez\H{o}
\medskip\noindent
{\it \'Eszrev\'etel.} Ha $f(t)$ olyan $f\in L_2([-\pi,\pi),\Cal B,G)$
f\"uggv\'eny, amelyre $f(-t)=\overline{f(t)}$,
akkor az $\int f(t)Z_G(\,dt)$ v\'eletlen
integr\'al 1 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel  val\'os
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\medskip
Val\'oban, a fenti \'eszrev\'etel igaz l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enyekre,
\'es alkalmas hat\'ar\'atmenettel megkapjuk az \'all\'{\i}t\'ast
tetsz\H{o}leges adott tulajdons\'ag\'u $f$ f\"uggv\'enyre.

\'Erdemes megjegyezni, hogy az $f(-t)=\overline f(t)$ azonoss\'ag
jellemzi a val\'os \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'enyek, illetve val\'os
\'ert\'ek\H{u} el\H{o}jeles m\'ert\'ekek Fourier
transzform\'altj\'at. Defini\'aljuk az
$$
X_n=\int e^{int}Z_G(\,dt),\quad n=\dots,-1,0,1,\dots \tag7
$$
integr\'alokat. Az $X_n$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
val\'os \'ert\'ek\H{u}ek, \'es a (6) rel\'aci\'o alapj\'an
$EX_kX_{k+n}=EX_{n+k}\overline{X_{k}}=\int
e^{int}G(\,dt)$. Ez azt jelenti, hogy az $e^{int}$ f\"uggv\'enyeknek
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, a $Z_G$ v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek
szerinti integr\'alj\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel el\H{o}
tudtunk \'all\'{\i}tani egy olyan stacion\'arius Gauss sorozatot,
amelynek spektr\'alm\'ert\'eke a $G$ m\'ert\'ek. N\'emi
plusz munk\'aval be lehet l\'atni, hogy egy adott $G$
spektr\'alm\'ert\'ek\H{u} stacion\'arius Gauss sorozathoz lehet
konstru\'alni olyan v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'eket, amely
mag\'at az eredeti sorozatot \'all\'{\i}tja el\H{o}. Ezt fogalmazom
meg az al\'abbi eredm\'enyben.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, norm\'alis
eloszl\'as\'u stacion\'arius Gauss sorozat nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal valamely
$G$ spektr\'al m\'ert\'ekkel. Ekkor lehet konstru\'alni
a $G$ spektr\'al m\'ert\'eknek megfelel\H{o} norm\'alis
v\'eletlen $Z_G$ spektr\'al m\'ert\'eket \'ugy, hogy az e v\'eletlen
m\'ert\'ek szerinti integr\'al teljes\'{\i}ti a (7) k\'epletet, azaz
a (7) k\'eplet jobb oldala egyenl\H{o} a kiindul\'ask\'ent megadott
$X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, sorozat megfelel\H{o} tagj\'aval.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.} Tekints\"uk a $H$ teret, azaz az
$X_n$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
n\'egyzetesen integr\'alhat\'o line\'aris kombin\'aci\'oib\'ol
\'all\'o Hilbert teret, \'es  de\-fi\-ni\-\'al\-juk a $H$ t\'er $J$
lek\'epez\'es\'et az $L_2([-\pi,\pi),\Cal B,G(\,dt))$ t\'erre,
(ahol $\Cal B$ jel\"oli a Borel $\sigma$-algebr\'at a $[-\pi,\pi)$
intervallum r\'eszhalmazain) a k\"ovetkez\H{o} m\'odon: Legyen
$J\(\summ_{j=-N}^Nc_je^{ijt}\)=\summ_{j=-N}^Nc_jX_j$
minden v\'eges line\'aris kombin\'aci\'ora. Nem neh\'ez bel\'atni,
hogy $J$ normatart\'o lek\'epez\'es. Ez\'ert a fenti $J$
lek\'epez\'est ki tudjuk terjeszteni a v\'eges line\'aris
kombin\'aci\'okr\'ol azok lez\'artj\'ara is. Ez a $J$
lek\'epez\'es az $L_2([-\pi,\pi),\Cal B,G(\,dt))$ \'es a $H$ t\'er
k\"oz\"ott $L_2$ izomorfi\'at l\'etes\'{\i}t. (Azt kell tudnunk,
hogy a v\'eges $\summ_{j=-N}^Nc_je^{ijt}$ line\'aris kombin\'aci\'ok
az $L_2([-\pi,\pi),\Cal B,G(\,dt))$ t\'er minden\"utt s\H{u}r\H{u}
r\'eszhalmaz\'at alkotj\'ak.)

Defini\'aljuk a $Z_G(A)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot a
$Z_G(A)=J(I_A(t))$ k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ahol $I_A(t)$
az $A$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'eny\'et jel\"oli. A $Z_G(\cdot)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik az (i.)--(vi.)
tulajdons\'agokat. Az (i), (ii), (iii) \'es (v) tulajdons\'agok
teljes\"ul\'ese ny\'{\i}lv\'anval\'o, a (iv) rel\'aci\'o
k\"ovetkezik az $L_2$ izomorfi\'ab\'ol, a (vi) tulajdons\'ag pedig
a $J(-f)=\overline{J(f)}$ rel\'aci\'ob\'ol. Tov\'abb\'a
a $J$ transzform\'aci\'o $L_2$ izomorfi\'aja \'es a (6) rel\'aci\'o
alapj\'an $J(f)=\int f(t)Z_G(\,dt)$ minden $f\in L_2([-\pi,\pi),
\Cal B,G)$ f\"uggv\'enyre. Teh\'at speci\'alisan
$X_n=J(e^{int})=\int e^{int}Z_G(\,dt)$.
\medskip

A stacion\'arius sorozatok spektr\'alreprezent\'aci\'oja
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy a komplex f\"uggv\'enytan n\'eh\'any
m\'ely eredm\'enyeinek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel megoldjuk a
predikci\'os prob\-l\'e\-m\'at. Vegy\"uk \'eszre, hogy e feladat
megold\'as\'ahoz elegend\H{o} a Wold felbont\'ast effekt\'{\i}v
le\'{\i}r\'asa, azaz el\'eg explicit m\'odon megadni a (3)
k\'epletben szerepl\H{o} $c_k$ konstansokat \'es $V_k$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat. (L\'asd az
al\'abbi feldatatot.)
\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/ Legyen megadva egy $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
(regul\'aris) stacion\'arius Gauss sorozat $X_n=\summ_{k=0}^\infty
c_kV_{n-k}$ Wold f\'ele felbont\'asa. Ekkor egy $X_m$, $m\ge1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o optim\'alis becsl\'ese az
$X_n$, $n\le0$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, azaz $X_m$ ortogon\'alis vet\"ulete a
$B(X_n,\,n\ge0)$ alt\'erre egyenl\H{o} az
$\hat X_m=\summ_{k=m}^\infty c_kV_{m-k}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oval, a becsl\'es sz\'or\'asn\'egyzete pedig
$\summ_{k=0}^{m-1}c_k^2$. \hfill\break
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy a Wold felbont\'as
tulajdons\'agai alapj\'an $B(X_n,\,n\le0)=B(V_n,\,n\le0)$.
\medskip

Tekints\"unk egy $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
(regul\'aris) stacion\'arius Gauss sorozatot \'es annak egy
$X_n=\summ_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}$ alak\'u
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at mozg\'o \'atlag form\'aban. C\'elunk
az ilyen mozg\'o \'atlagok explicit megad\'asa. E mozg\'o \'atlag
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asok k\"oz\"ul minket k\"ul\"on\"osen a Wold
felbont\'as \'erdekel. E feladat vizsg\'alat\'aban \'erdemes
bevezetni az $L_2\([-\pi,\pi),\Cal B,\frac\lambda{2\pi}\)$
$L_2$-teret, ahol $\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebra \'es $\lambda$
a Lebesgue m\'ert\'ek a $[-\pi,\pi)$ intervallumon. Defini\'aljuk e
t\'ernek egy term\'eszetes, az $X_n$ stacion\'arius sorozat mozg\'o
\'atlag felbont\'as\'at jellemz\H{o} izomorfi\'aj\'at a
$B(X_n,\,-\infty<n<\infty)$ Hilbert t\'erbe. Ennek \'erdek\'eben
vezess\"uk be az $e_k(t)=e^{ikt}$, $-\pi\le t<\pi$,
$k=0,\pm1,\pm2,\dots$ f\"uggv\'enyeket az $L_2\([-\pi,\pi),\Cal
B,\frac\lambda{2\pi}\)$ t\'eren, \'es e t\'er $I(e_k(t))=W_k$,
$$
J\(\summ_{k=-\infty}^\infty u_ke_k(t)\)=
\summ_{k=-\infty}^\infty u_kW_k,\quad \summ_{k=-\infty}^\infty
|u_k|^2<\infty,
$$
lek\'epez\'es\'et a $B(W_n,\,-\infty<n<\infty)$ Hilbert-t\'erbe.
Nem neh\'ez bel\'atni, hogy ez a $J$ transzform\'aci\'o az
$L_2\([-\pi,\pi),\Cal B,\frac{\lambda}{2\pi}\)$ $L_2$ t\'er \'es
a $B(W_n,\,-\infty<n<\infty)\supset B(X_n,\,-\infty<n<\infty)$
Hilbert t\'er egy izomorfi\'aja. (Vegy\"uk \'eszre, hogy az
$L_2\([-\pi,\pi),\Cal B,\frac{\lambda}{2\pi}\)$
$L_2$ t\'er elemei a $\summ_{k=-\infty}^\infty u_ke^{ikt}$,
$\summ_{k=-\infty}^\infty |u_k|^2<\infty$,  alak\'u f\"uggv\'enyek,
mert az $e_k(t)=e^{ikt}$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$, f\"uggv\'enyek
teljes ortonorm\'alt rendszert alkotnak az $L_2\([-\pi,\pi),\Cal
B,\frac\lambda{2\pi}\)$ $L_2$ t\'erben. M\'as\-r\'eszt a
$W_k$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ortonorm\'alt b\'azist alkotnak a
$B(W_n,\,-\infty<n<\infty)$ t\'erben. Ez\'ert e t\'er
elemei fel\'{\i}rhat\'oak egy\'ertelm\H{u} m\'odon
$\summ_{k=-\infty}^\infty u_kW_k$, $\summ_{k=-\infty}^\infty
|u_k|^2<\infty$  alakban.)

C\'elunk el\H{o}sz\"or az, hogy az $X_n=\summ_{k=0}^\infty
d_kW_{n-k}=J\(\summ_{k=0}^\infty d_ke_{n-k}(t)\)$ jellemz\'esben
megadjuk a $d_k$ konstansokat. Ha ezt megadjuk, akkor k\'epesek
lesz\"unk v\'eletlen integr\'alok seg\'{\i}ts\'eg\'evel mag\'at a
mozg\'o \'atlagot is el\H{o}\'all\'{\i}tani. Ez speci\'alisan
lehet\H{o}v\'e teszi a Wold felbont\'as megad\'as\'at.

Tekints\"uk egy $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, (regul\'aris)
stacion\'arius sorozat egy $X_n=\summ_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}$
mozg\'o \'atlag el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at, \'es defini\'aljuk az
ezen mozg\'o\'atlag reprezent\'aci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel
meghat\'arozott
$$
h(t)=\sum_{k=0}^\infty d_ke^{itk},\quad \sum_{k=0}^\infty
|d_k|^2<\infty, \quad -\pi\le t\le \pi \tag a1
$$
f\"uggv\'enyt. Mivel a $d_k$ egy\"utthat\'ok val\'osak ez\'ert
teljes\"ul a
$$
h(-t)=\overline{h(t)}\quad\text{minden $-\pi\le t\le\pi$ sz\'amra}
\tag a2
$$
azonoss\'ag. Tov\'abb\'a vegy\"uk \'eszre, hogy a mozg\'o \'atlag
tulajdons\'ag \'es a Parseval azo\-nos\-s\'ag alapj\'an, bevezetve
a $d_k=0$, ha $k<0$ jel\"ol\'est az (a1) formul\'aban szerepl\H{o}
egy\"utthat\'ok kiterjeszt\'esek\'ent, az al\'abbi
azo\-nos\-s\'a\-got kapjuk:
$$
\aligned
EX_jX_{n+j}&=E\(\sum_{k=0}^\infty d_kW_{n+j-k}\)
\(\overline{\sum_{k=0}^\infty d_kW_{j-k}}\)
=\sum_{k=-\infty}^\infty d_{n+j-k} \bar d_{j-k}\\
&=\sum_{k=0}^\infty d_{n+k} \bar d_{k}
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{int}h(t)\bar h(t)\,dt
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{int}|h(t)|^2\,dt
\endaligned \tag8
$$
minden $n\ge0$ eg\'esz sz\'amra. Az (a2) tulajdons\'ag alapj\'an
$|h^2(t)|=|h^2(-t)|$. Ez a t\'eny a (8) formula valamint egy
stacion\'arius sorozat spektr\'alm\'ert\'ek\'enek
egy\'ertelm\H{u}s\'eg\'eb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy a mozg\'o
\'atlag form\'aban el\H{o}\'all\'{\i}tott stacion\'arius sorozatnak
l\'etezik spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'enye, \'es az
megadhat\'o $g(t)=\frac{|h^2(t)|}{2\pi}$, $-\pi\le t\le \pi$,
alakban. Teh\'at azt kaptuk, hogy az $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
stacion\'arius sorozatnak l\'etezik $g(t)=\frac{dG(t)}{dt}$
spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es
$$
\frac{|h^2(t)|}{2\pi}=g(t), \quad \text{ahol $g(t)$ az $X_n$,
$n=0\pm1,\dots$, sorozat spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg
f\"uggv\'enye.} \tag a3
$$
Az al\'abbi lemm\'aban \"osszefoglaljuk a fenti \'ervel\'es
seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapott eredm\'enyeket.
\medskip\noindent
{\bf 2A. Lemma} {\it L\'etezzen egy $X_n$ stacion\'arius sorozatnak
egy $X_n=\summ_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
alak\'u mozg\'o \'atlag reprezent\'aci\'oja, ahol $W_n$,
$n=0,1,2,\dots$, f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es a
$d_n$, $n=0,1,2\dots$ egy\"utthat\'ok val\'os sz\'amok. Ekkor
 az $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius sorozatnak
l\'etezik $g(t)$, $-\pi\le t\le t$, spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg
f\"uggv\'enye, \'es l\'etezik egy az (a1), (a2) \'es (a3)
tulajdons\'agot teljes\'{\i}t\H{o} $h(t)$ f\"uggv\'eny.}
\medskip
A 2A. Lemma sz\"uks\'eges felt\'etelt adott arra, hogy egy
stacion\'arius sorozat el\H{o}\-\'al\-l\'{\i}t\-ha\-t\'o legyen
mozg\'o \'atlag form\'aban valamely $d_n$, $n=0,1,2,\dots$,
egy\"utthat\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Be fogunk l\'atni egy
2B.~Lemm\'at, amely azt \'all\'{\i}tja, hogy a fent megfogalmazott
felt\'etelek egyben el\'egs\'egesek is ahhoz, hogy egy
stacion\'arius sorozatot  el\H{o}\'all\'{\i}thassunk
adott tulajdons\'ag\'u mozg\'o \'atlag form\'aj\'aban, s\H{o}t
v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ekek szerinti integr\'alok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel meg is ad egy ilyen rep\-re\-zen\-t\'a\-ci\'ot.

Hangs\'ulyozni szeretn\'em, hogy a $h(t)$ f\"uggv\'eny (a1)
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'aban speci\'alis alak\'u Fourier sor
szerepel, olyan amelyik csak $k\ge0$ param\'eter\H{u} $e^{ikt}$
alak\'u trigonometrikus f\"uggv\'enyeket tartalmaz. Ez az a
tulajdons\'ag, amely miatt az (a1), (a2) \'es (a3) tulajdons\'agokat
teljes\'{\i}t\H{o} $h(t)$ f\"uggv\'enyek megkeres\'es\'eben a
komplex f\"uggv\'enytan m\'odszerei nagyon hasznosnak bizonyultak.
Eml\'ekeztetni szeretn\'ek tov\'abb\'a arra, hogy mint azt a Wold
felbont\'as l\'etez\'es\'et kimond\'o t\'etel ut\'an megfogalmazott
2.~feladatban megfogalmaztam, a Wold felbont\'asnak megvan
az az extremum tulajdons\'aga egy stacion\'arius sorozat mozg\'o
\'atlag el\H{o}\'all\'{\i}t\'asai k\"oz\"ott, hogy ennek a legnagyobb
a konstans egy\"utthat\'oja. Mint l\'atni fogjuk, ez a t\'eny
seg\'{\i}t a Wold felbont\'as megtal\'al\'as\'aban.

A 2B. Lemma t\'argyal\'asa el\H{o}tt sz\"uks\'eg\"unk van egy
technikai jelleg\H{u} eredm\'enyre, amely tekinthet\H{o} \'ugy, mint
v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ekek szerinti integr\'alok
helyettes\'{\i}t\'esi szab\'alya.
\medskip\noindent
{\bf Lemma v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek szerinti integr\'alok
he\-lyet\-te\-s\'{\i}\-t\'e\-si sza\-b\'a\-ly\'a\-r\'ol.} {\it
Legyen adva egy $G$ spektr\'al m\'ert\'ek, egy a
$G$ spektr\'alm\'ert\'eknek megfelel\H{o} $Z_G$ v\'eletlen
m\'ert\'ek a $[-\pi,\pi)$ intervallumon, valamint egy olyan $u(t)$
f\"uggv\'eny, amelyre $u(-t)=\overline{u(t)}$, \'es $\int
|u^2(t)|G(\,dt)<\infty$. Ekkor a $Z_{G,u}$, $Z_{G,u}(A)=\int
u(t)I_A(t)Z_G(\,dt)$, $A\in \Cal B$, ahol $\Cal B$ a Borel
$\sigma$-algebra a $[-\pi,\pi)$ intervallumon, \'es $I_A(\cdot)$ az
$A$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'enye a $\bar G(A)
=\int_A |u^2(t)|G(\,dt)$ spektr\'al m\'ert\'eknek megfelel\H{o}
v\'eletlen spektr\'al m\'er\-t\'ek a $[-\pi,\pi)$ intervallumon.
Tov\'abb\'a $\int f(t) Z_{G,u}(\,dt)=\int f(t)u(t)Z_{G}(\,dt)$
minden a $\bar G$ spektr\'al m\'ert\'ek szerint n\'egyzetesen
integr\'alhat\'o $f$ f\"uggv\'enyre.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Nem neh\'ez bel\'atni a (6) tulajdons\'ag
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a Lemm\'aban defini\'alt $Z_{G,u}$
v\'eletlen m\'ert\'ek az (i)--(vi) tulajdons\'agok mindegyik\'et
teljes\'{\i}t\H{o} a $\bar G$, $\bar G(A)=\int_A |u^2(t)|G(\,dt)$
spektr\'al m\'ert\'eknek megfelel\H{o} v\'eletlen spektr\'al
m\'ert\'ek.

Tekints\"uk az $J_1(f)=\int f(t) Z_{G,u}(\,dt)$ \'es
$J_2(f)=\int f(t) u(t) Z_{G}(\,dt)$ v\'eletlen integr\'alokat
minden olyan $f$ f\"uggv\'enyre, amelyre $\int |f^2(t)|\bar
G(\,dt)<\infty$. (Ilyen f\"uggv\'enyekre $\int |f(t)u(t)|^2 G(\,dt)=
\int |f^2(t)|\bar G(\,dt)<\infty$, ez\'ert mind a k\'et tekintett
integr\'al l\'etezik.) Vegy\"uk \'eszre, hogy minden $A\in \Cal B$
halmazra $J_1(I_A(t))=J_2(I_A(t))$, tov\'abb\'a tetsz\H{o}leges $f_1$
\'es $f_2$ a $\bar G$ m\'ert\'ek szerint n\'egyzetesen integr\'alhat\'o
f\"uggv\'enyp\'arra $EJ_1(f_1)\overline{J_1(f_2)}=EJ_2(f_1)
\overline{J_2(f_2)}=\int f_1(t)\overline{f_2(t)}\bar G(\,dt)$.
Mivel mind $J_1$ mind $J_2$ korl\'atos line\'aris lek\'epez\'ese a
$\bar G$ m\'ert\'ek szerint n\'egyzetesen integr\'alhat\'o
f\"uggv\'enyeknek a m\'asodik momentummal rendelkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ter\'ebe, \'es az $I_A(t)$
alak\'u f\"uggv\'enyek line\'aris kombin\'aci\'oi e lek\'epez\'esek
\'ertelmez\'esi tartom\'any\'anak minden\"utt s\H{u}r\H{u}
r\'eszhalmaz\'at alkotj\'ak, innen k\"ovetkezik a
Lemma \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip
Az al\'abbi 2B. Lemm\'aban megfogalmazom azt az \'all\'{\i}t\'ast,
amely szerint egy stacion\'arius sorozat mozg\'o \'atlag
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'anak a 2A. Lemm\'abban megfogalmazott
sz\"uk\-s\'e\-ges felt\'etele egyben el\'egs\'eges is.
\medskip\noindent
{\bf Lemma 2B.} {\it Legyen $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
stacion\'arius Gauss sorozat 0 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal, amelynek van $g(t)$,
$-\pi\le t\le\pi$, spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'enye,
\'es l\'etezik az (a1), (a2) \'es (a3) tulajdons\'agokat
teljes\'{\i}t\H{o} $h(t)$ f\"uggv\'eny \'es $d_k$, $k=0,1,2,\dots$,
sz\'amsorozat. Tekints\"uk az $X_n$ stacion\'arius sorozat
$X_n=\int e^{int}Z_G(\,dt)$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, alak\'u
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at alkalmas az $X_n$ sorozat $G$
spektr\'alm\'ert\'ek\'enek megfelel\H{o} $Z_G$ v\'eletlen
spektr\'alm\'ert\'ek szerinti integr\'al seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
(Tudjuk, hogy ilyen el\H{o}\'all\'{\i}t\'as lehets\'eges.)
Vegy\"uk az $u(t)=\frac1{\overline{h(t)}}$ f\"uggv\'enyt, \'es a
v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek sze\-rin\-ti integr\'alok
he\-lyet\-te\-s\'{\i}\-t\'e\-si sza\-b\'a\-ly\'a\-r\'ol sz\'ol\'o
lemm\'aban defini\'alt $Z_{G,u}$ v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'eket,
ahol $h(t)$ az (a1), (a2) \'es (a3) tulajdons\'agot
teljes\'{\i}t\H{o} f\"uggv\'eny. Ekkor az
$$
W_n=\int e^{int}Z_{G,u}(\,dt)=
\int \frac{e^{int}}{\overline {h(t)}}Z_G(\,dt),\quad
n=\dots,-1,0,1,\dots, \quad u(t)=\frac1{\overline{h(t)}}  \tag9
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es standard
norm\'alis eloszl\'as\'uak. Ezenk\'{\i}v\"ul az $X_n$ sorozat
el\H{o}\'all\'{\i}that\'o
$$
X_n=\sum_{k=0}^\infty d_kW_{n-k},\quad n=\dots,-1,0,1,\dots \tag10
$$
alakban, ahol $d_k$, $k=0,1,2,\dots$, az (a1) formul\'aban
szerepl\H{o} (val\'os) sz\'amok sorozata.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Fel fogom haszn\'alni egy k\'es\H{o}bb
id\'ezett fontos komplex f\"uggv\'enytani ered\-m\'eny\-nek azt a
k\"ovetkezm\'eny\'et, amely szerint egy az (a1) tulajdons\'agot
teljes\'{\i}t\H{o} $h(t)$ f\"uggv\'eny a $[-\pi,\pi]$ intervallumon
majdnem minden\"utt k\"ul\"onb\"ozik null\'at\'ol. Ez\'ert az
$u(t)=\frac1{\overline{h(t)}}$ f\"uggv\'eny l\'etezik,
$\bar G(A)=\int_A\frac1{|h^2(t)|}G(\,dt)=\frac1{2\pi}\lambda(A)$
az (a3) tulajdons\'ag alapj\'an, \'es ez\'ert $\bar
G=\frac1{2\pi}\lambda$, ahol $\lambda$ a Lebesgue m\'ert\'eket
jel\"oli a $[-\pi,\pi]$ intervallumon. Innen, \'es a (7)
k\'epletb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
a (9) formul\'aban defini\'alt (egy\"uttesen) norm\'alis eloszl\'as\'u
$W_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nulla v\'arhat\'o
 \'ert\'ek\H{u}ek, 1 sz\'or\'as\'uak, \'es
kor\-re\-l\'a\-lat\-la\-nok. Ez\'ert a (9) k\'epletben val\'oban egy
f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o
sorozatot defini\'altunk.

Az (a2) tulajdons\'agb\'ol k\"ovetkezik, hogy a $d_k$ sz\'amok
val\'osak. A (9) k\'epletb\H{o}l, illetve a v\'eletlen spektr\'al
m\'ert\'ek szerinti integr\'alok he\-lyet\-te\-s\'{\i}\-t\'e\-si
sza\-b\'a\-ly\'a\-r\'ol sz\'ol\'o lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\sum_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}=\sum_{k=0}^\infty
d_k\int \frac{e^{i(n-k)t}}{\overline{h(t)}}Z_G(\,dt)
=\int\frac{e^{int}}{\overline{h(t)}}\(\sum_{k=0}^\infty d_k
e^{-ikt}\)Z_G(\,dt).
$$
(Az utols\'o formul\'aban alkalmazott v\'egtelen \"osszegz\'es is
jogos, ha az $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n tekintett
$L_2$ norm\'aban vett konvergenci\'at tekintj\"uk.) Az utols\'o
azonoss\'agb\'ol, valamint az (a1) \'es (a2) k\'epletb\H{o}l kapjuk,
hogy
$$
\sum_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}=\int e^{int}
\frac{h(-t)}{\overline{h(t)}}Z_G(\,dt)=\int e^{int}Z_G(\,dt)=X_n.
$$
Innen k\"ovetkezik a (10) formula. A Lemma bizony\'{\i}t\'as\'at
befejezt\"uk.
\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es.} A (10) formul\'ab\'ol l\'atszik, hogy a
Lemm\'aban megkonstru\'alt moz\-g\'o\-\'at\-lag\-ban szerepl\H{o}
$W_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a
$W_n\in B(X_j,\, -\infty<j<\infty)$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$,
tulajdons\'agot. A Wold felbont\'ast az t\"unteti ki a t\"obbi
mozg\'o \'atlag reprezent\'aci\'o k\"oz\"ul, hogy a benne szerepl\H{o}
$V_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok m\'eg az er\H{o}sebb
$V_n\in B(X_j,\, -\infty<j\le n)$ tulajdons\'agot is teljes\'{\i}tik.
\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es.} Az $X_n$ sorozat 2B. lemm\'aban megadott
mozg\'o\'atlag el\H{o}\'all\'{\i}t\'asban sze\-rep\-l\H{o} $W_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok definici\'oja nem
annyira ad hoc jelleg\H{u}, mint ahogy az els\H{o} pillanatban
gondoln\'ank. Val\'oban, \'{\i}rjuk fel a mozg\'o \'atlag alakban
el\H{o}\'all\'{\i}tani kiv\'ant stacion\'arius sorozat elemeit
$X_n=\int e^{int}Z_G(\,dt)$ $n=\dots,-1,0,1,\dots$ v\'eletlen
spektr\'al m\'ert\'ek szerinti integr\'al alakban, \'es keress\"uk
a $W_n$ f\"uggetlen standard norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat $W_n=\int e^{int}\bar Z_0(\,dt)$ alakban, ahol
$Z_0$ alkalmas a $[-\pi,\pi]$ intervallumon tekintett
$\frac1{2\pi}\lambda$ spektr\'alm\'ert\'ekhez tartoz\'o v\'eletlen
spektr\'al m\'ert\'ek. Ekkor az $X_n=\summ_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}$
azonoss\'ag fel\'{\i}rhat\'o $\int e^{int}Z_G(\,dt)=\int e^{int}
h(-t)\bar Z_0(\,dt)$, $h(t)=\summ_{k=0}^\infty d_ke^{ikt}$ alakban
is. Ennek az azonoss\'agnak minden $n=0,\pm1,\pm2,\dots$ indexre
teljes\"ulnie kell. Be lehet l\'atni, hogy ezt csak
$Z_G(\,dt)=h(-t)\bar Z_0(\,dt)=\overline{h(t)}\bar Z_0(\,dt)$
v\'alaszt\'assal \'erhet\H{o} el. Ezt a v\'alaszt\'ast alkalmaztuk a
(10) formul\'aban.

\medskip
Az ismertetett eredm\'enyek alapj\'an a predikci\'os feladat
legfontosabbb r\'esze az (a1), (a2) \'es (a3) felt\'eteleket
teljes\'{\i}t\H{o} $h(t)$, $-\pi\le t\le\pi$ f\"uggv\'enyek
megtal\'al\'asa, illetve ezek k\"oz\"ul azok\'e a
f\"uggv\'enyek\'e, amelyekre a konstans tag $|d_0|$
abszolut \'ert\'eke a maximumot veszi fel. Ez ut\'obbi feladat
megold\'asa a Wold felbont\'as megtal\'al\'asa \'erdek\'eben
sz\"uks\'eges. Tudjuk az eddigiek alapj\'an is, hogy ez a maximum
felv\'etetik, de nem tudjuk, hogy ez az el\H{o}\'{\i}r\'as
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza-e a $h(t)$ f\"uggv\'enyt.

A feladat megold\'asa \'erdek\'eben egy az (a1), (a2), (a3)
felt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o} $h(t)=\summ_{k=0}^\infty d_ke^{ikt}$
f\"uggv\'enyhez t\'ars\'{\i}tsuk a $H(z)=\summ_{k=0}^\infty d^kz^k$
a $\{z\:|z|<1\}$ egys\'egk\"or\"on analitikus f\"uggv\'enyt, \'es
vezess\"uk be a $h(t)$ f\"uggv\'eny $\tilde h(\lambda)$
``felteker\'es\'et'' a $\{z=e^{i\lambda},-\pi\le \lambda<\pi\}$
k\"orvonalra a $\tilde h(e^{i\lambda})=h(\lambda)$ k\'eplettel.
Hasonl\'oan defini\'aljuk egy stacion\'arius sorozat $g(t)$
spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg\'enek (felt\'eve, hogy l\'etezik ez a
spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg) a $\tilde g(e^{i\lambda})=g(\lambda)$,
$-\pi\le \lambda<\pi$, ``felteker\'es\'et'' az egys\'egk\"orre. A
komplex f\"uggv\'enytan bizonyos eredm\'enyeib\H{o}l k\"ovetkezik,
hogy a $H(z)$, $|z|<1$, f\"uggv\'eny $\limm_{r\to1}H(re^{i\lambda t})$
radi\'alis limesze majdnem minden $-\pi\le \lambda<\pi$ sz\'amra
l\'etezik, \'es egyenl\H{o} a $\tilde h(e^{i\lambda})$
f\"uggv\'ennyel. Ez azt jelenti, hogy el\'eg a $h(t)$ f\"uggv\'enyek
helyett a $H(z)$ f\"uggv\'enyeket megtal\'alni. Ez ut\'obbi
feladatot a komplex f\"uggv\'enytan m\'odszereivel egyszer\H{u}bb
megoldani.

Szeretn\'em hangs\'ulyozni, hogy a $H(z)$ f\"uggv\'eny radi\'alis
limesz\'enek l\'etez\'es\'er\H{o}l el\H{o}bb megfogalmazott
\'all\'{\i}t\'as nem ny\'{\i}lv\'anval\'o, hanem k\"ul\"on
indokl\'asra szorul. Az eredeti felt\'etelek csak azt
biztos\'{\i}tj\'ak, hogy a $H(z)$ f\"uggv\'eny az egys\'egk\"or
belsej\'eben analitikus. Az, hogy egy az egys\'egk\"or belsej\'eben
analitikus f\"uggv\'eny hogyan viselkedik az egys\'egk\"or
hat\'ar\'an a komplex f\"uggv\'enytan neh\'ez k\'erd\'eseihez tartozik.
Jelen eset\-ben az az \'eszrev\'etel k\"onny\'{\i}theti meg a probl\'ema
vizsg\'alat\'at, hogy az adott tulajdons\'aggal rendelkez\H{o}
analitikus f\"uggv\'enyek a $\Cal H_2$ Hardy oszt\'alyba tartoznak,
amelyr\H{o}l sokat lehet tudni. B\'ar sz\'amunkra csak a $\Cal H_2$
oszt\'aly jellemz\'ese lesz \'erdekes, megadom a $\Cal H_p$
oszt\'alyok definici\'oj\'at tetsz\H{o}leges $0<p\le\infty$
param\'eterre.
\medskip\noindent
{\bf Hardy oszt\'alyok definici\'oja.} {\it A $\Cal H_p$
f\"uggv\'enyoszt\'aly, $0<p\le \infty$, azokb\'ol a
$\{z\colon |z|<1\}$ egys\'egk\"or\"on analitikus
$g(z)$ f\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all, amelyekre
$$
\sup_{r<1} \|h(re^{i\lambda})\|_p^p=\sup_{r<1}\int
|h(re^{i\lambda})|^p\,d\lambda<\infty, \quad\text{ha } 0<p<\infty,
$$
\'es
$$
\sup_{r<1} \|h(re^{i\lambda})\|_\infty=\sup_{r<1,\,-\pi\le\lambda<\pi}
|h(re^{i\lambda})|<\infty, \quad\text{ha } p=\infty.
$$
}\medskip

\medskip
Nem neh\'ez bel\'atni, hogy a $\summ_{k=0}^\infty |d_k|^2<\infty$
felt\'etel miatt $H(z)=\summ_{k=0}^\infty d_kz^k$ eleme a  $\Cal H_2$
oszt\'alynak. Sz\'amunkra a k\"ovetkez\H{o} komplex f\"uggv\'enytani
t\'etel lesz k\"ul\"on\"osen hasznos. Ennek bizony\'{\i}t\'as\'at
egy kieg\'esz\'{\i}t\'esben ismertetem, ahol n\'eh\'any
tov\'abbi komplex f\"uggv\'enytani kieg\'esz\'{\i}t\'est is teszek.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel Hardy f\'ele $\Cal H_2$ oszt\'alyok
jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it Egy $H(z)=\summ_{k=0}^\infty d_kz^k$
hatv\'anysorral megadott analitikus f\"uggv\'eny  akkor \'es csak
akkor van a $\Cal H_2$ Hardy oszt\'alyban, ha teljes\"ul a
$\summ_{k=0}^\infty |d_k|^2<\infty$ felt\'etel. Tekints\"unk egy
$H(z)=\summ_{k=0}^\infty d_k z^k$, $\summ_{k=0}^\infty |d_k|^2<
\infty$, a $\Cal H_2$ oszt\'alyba tartoz\'o f\"uggv\'enyt,
valamint a $h(\lambda)=\summ_{k=0}^\infty d_ke^{ik\lambda}$,
$-\pi\le \lambda\le\pi$, f\"uggv\'enyt. Ekkor
\medskip
\item{(i)} $\limm_{r\to1} H(re^{i\lambda t})=h(\lambda)$
majdnem minden $-\pi\le \lambda\le\pi$ sz\'amra. Tov\'abb\'a a
$H_r(\lambda)=H(re^{i\lambda t})$ f\"uggv\'enyek a (Lebesge
m\'ert\'ek szerinti) $L_2$ norm\'aban is konverg\'alnak a
$h(\lambda)$ f\"uggv\'enyhez. (Az (i) pont \'all\'{\i}t\'as\'at
\'ugy is megfogalmazhatjuk, hogy a $H(z)$ f\"uggv\'eny  radi\'alis
limesze  l\'etezik, \'es egyenl\H{o} a $h(\lambda)$ f\"uggv\'ennyel
mind a majdnem minden\"utt mind az $L_2$ norma szerint.
\medskip
\item{(ii)} Ha a $H(z)$ f\"uggv\'eny nem azonosan nulla, akkor
$\int_{-\pi}^\pi|\log|h(\lambda)|\,|\,d\lambda<\infty$.
Spe\-ci\-\'ali\-san, ebben az esetben a $h(\lambda)$ f\"uggv\'eny
csak nulla m\'ert\'ek\H{u} halmazon lehet nulla.
\medskip}

Az a probl\'ema \'erdekel minket, hogy egy stacion\'arius Gauss
sorozat lehets\'eges $X_n=\summ_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}$
mozg\'o \'atlag el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'aban milyen $d_k$,
$k=0,1,\dots$,  egy\"utthat\'osorozatok szerepelnek. K\"ul\"on
\'erdekel minket az a k\'erd\'es, hogy milyen egy\"utthat\'ok
szerepelnek a Wold felbont\'asban. A vizsg\'aland\'o probl\'ema
r\'esze az is, hogy milyen spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eggel
rendelkez\H{o} stacion\'arius folyamatoknak l\'etezik a sorozat
mozg\'o\'atlag el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa. Ez a k\'erd\'es \'ugy is
megfogalmazhat\'o, hogy milyen spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eggel
rendelkez\H{o} stacion\'arius folyamatok regul\'arisak. (Tudjuk,
hogy egy regul\'aris stacion\'arius sorozatnak van
spek\-tr\'al\-s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg f\"uggv\'enye.) L\'attuk, hogy
a felvetett probl\'ema ekvivalens azzal a k\'erd\'essel, hogy egy
adott $g(t)$ spektr\'als\H{u}r\H{u}ss\'eg f\"uggv\'eny eset\'en,
melyek az (a1), (a2) \'es (a3) tu\-laj\-don\-s\'a\-gok\-kal
rendelkez\H{o}
$d_k$, $k=0,1,\dots$, sorozatok. Az el\H{o}bb megfogalmazott
a Hardy f\'ele $\Cal H_2$ oszt\'alyok jellemz\'es\'er\H{o}l
sz\'ol\'o t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel \'at tudjuk fogalmazni ezt
a k\'erd\'est egy komplex f\"uggv\'enytani probl\'em\'av\'a. Az
al\'abbi `FELADAT A'-ban ezt az \'atfogalmaz\'ast adom
meg. Ezut\'an a `FELADAT A'megold\'as\'aval, illetve az ehhez
sz\"uks\'eges komplex f\"uggv\'enytani ismeretekkel fogok
foglalkozni.

\medskip\noindent
{\bf FELADAT A.} {\it Legyen adva egy $g(t)$
spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'eny.  Jellemezz\"uk azokat a
komplex sz\'ams\'{\i}k egys\'egk\"or\'en \'ertelmezett, a $\Cal H_2$
Hardy oszt\'alyba tartoz\'o val\'os egy\"utthat\'os
$H(z)=\summ_{k=0}^\infty d_kz_k$ hatv\'anysorokat, amelyeknek
$h(\lambda)=\limm_{R\to0}H(Re^{i\lambda})$ radi\'alis limesze
teljes\'{\i}ti az $|h^2(\lambda)|=g(\lambda)$, $-\pi\le\lambda\le\pi$,
azonoss\'agot majdnem minden $-\pi\le\lambda\le\pi$ sz\'amra.
Keress\"uk meg az ilyen tulajdons\'ag\'u f\"uggv\'enyek k\"oz\"ul
azokat, amelyekre az orig\'oban felvett \'ert\'ek abszolut
\'ert\'eke maxim\'alis. Mely $g(\lambda)$ spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg
eset\'en lesz a fenti tulajdons\'agokkal rendelkez\H{o}
f\"uggv\'enyek oszt\'alya nem \"ures?}

Els\H{o}sorban az orig\'oban maxim\'alis abszolut \'ert\'eket
felvev\H{o} f\"uggv\'enyek el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa \'erdekel
minket, mert ez felel meg a Wold felbont\'as megtal\'al\'as\'anak.
Az a t\'eny, hogy a Wold felbont\'as l\'etezik, implik\'alja azt
is, hogy a `FELADAT A'-ban megfogalmazott maximum felv\'etetik. Az
orig\'oban maxim\'alis abszolut \'ert\'eket felvev\H{o} az adott
oszt\'alyban lev\H{o} f\"uggv\'eny megtal\'al\'as\'aban hasznos lesz
sz\'amunkra a k\"ovetkez\H{o} lemma.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen $H(z)$ olyan analitikus f\"uggv\'eny az
egys\'egk\"orben, amelyiknek van nullhelye valahol az egys\'egk\"or
belsej\'eben. Ekkor l\'etezik olyan $\bar H(z)$ analitikus
f\"uggv\'eny az egys\'egk\"orben, amely abszolut \'ert\'ek\'enek
a radi\'alis limesze megegyezik a $H(z)$ f\"uggv\'eny abszolut
\'ert\'ek\'enek a radi\'alis limesz\'evel minden olyan pontban,
ahol az ut\'obbi l\'etezik, \'es teljes\'{\i}ti a
$|\bar H(0)|>|H(0)|$ szigor\'u egyenl\H{o}tlens\'eget. Ha a $H(z)$
f\"uggv\'eny Taylor sor\'anak minden egy\"utthat\'oja val\'os
sz\'am, akkor a $\bar H(z)$ f\"uggv\'eny megv\'alaszthat\'o \'ugy,
hogy az szint\'en teljes\'{\i}tse ezt a tulajdons\'agot.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.} Ha $H(z_0)=0$ valamely $|z_0|<1$ pontban,
akkor defini\'aljuk az $A(z)=\frac{z-z_0}{1-z\bar z_0}$
f\"uggv\'enyt. Ez olyan az egys\'egk\"ort \"onmag\'aba k\'epz\H{o}
racion\'alis t\"ortf\"uggv\'eny, amelyik az egys\'egk\"ort
\"onmag\'aba viszi, ez\'ert abszolut \'ert\'eke a k\"orvonal
hat\'ar\'an 1, a k\"orvonal belsej\'eben pedig szigor\'uan
kisebb, mint~1. Ez\'ert a $\bar H(z)=\frac{H(z)}{A(z)}$ olyan
analitikus f\"uggv\'eny, amely abszolut \'ert\'ek\'enek a
radi\'alis limesze megegyezik a $H(z)$ f\"uggv\'eny
radi\'alis limesz\'evel az egys\'egk\"or hat\'ar\'anak minden
olyan pontj\'aban, ahol ez a radi\'alis limesz l\'etezik. Mivel
$|A(0)|<1$, ez\'ert $|\bar H(0)|>|H(0)|$. Az, hogy a $H(z)$
f\"uggv\'eny Taylor sor\'anak egy\"utthat\'oi val\'os sz\'amok
ekvivalens azzal, hogy $\overline{H(z)}=H(\bar z)$. Ebben az
esetben a $H(z_0)=0$ azonoss\'agb\'ol k\"ovetkezik, hogy
$H(\bar z_0)=0$. Ha $\Im z_0\neq0$, akkor vezess\"uk be az
el\H{o}bb defini\'alt $A(z)$ f\"uggv\'eny mellett az
$\bar A(z)=\frac{z-\bar z_0}{1-zz_0}$ f\"uggv\'enyt is,
\'es legyen $\bar H(z)=\frac{H(z)}{A(z)\bar A(z)}$, ha $H(z)$
val\'os egy\"utthat\'os Taylor sor. Ez a f\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a Lemm\'aban el\H{o}\'{\i}rt felt\'eteleket.
\medskip
Feltehetj\"uk, hogy az $X_n=\summ_{k=0}^\infty c_kV_{n-k}$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, Wold felbont\'asnak meg\-fe\-le\-l\H{o}
$H_0(z)=\summ_{k=0}^\infty c_kz^k$ a `FELADAT~A'-ban keresett
f\"uggv\'eny  olyan, hogy $c_0>0$, azaz az orig\'oban maxim\'alis
abszolut \'ert\'eket felvev\H{o} f\"uggv\'eny az orig\'oban
pozit\'{\i}v \'ert\'eket vesz fel. Val\'oban, ha a
$X_n=\summ_{k=0}^\infty c_kV_k$ Wold felbont\'asban $c_0<0$ lenne
 akkor a Wold felbont\'ast fel\'{\i}rhatjuk
$X_n=\summ_{k=0}^\infty(-c_k)(-V_k)$ alakban is $-c_0>0$
egy\"utthat\'oval. A $c_0=0$ eset nem lehets\'eges, hiszen
mint az el\H{o}z\H{o} lemm\'aban l\'attuk a $H_0(z)$ f\"uggv\'eny
sehol sem t\H{u}nik el az egys\'egk\"orben. Tov\'abb\'a azt is
tudjuk a Hardy f\'ele $\Cal H_2$ oszt\'alyok jellemz\'es\'er\H{o}l
sz\'ol\'o t\'etel (ii) pontja alapj\'an, hogy a `FELADAT~A'-ban fel
kell tenni, hogy az abban tekintett $g(\vartheta)$
spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'egnek teljes\'{\i}ti az
$\int_{-\pi}^\pi|\log g(\vartheta)|\,d\vartheta<\infty$ rel\'aci\'ot.
Ellenkez\H{o} esetben nincsen a `FELADAT A'-ban el\H{o}\'{\i}rt
tulajdons\'agokat teljes\'{\i}t\H{o} f\"uggv\'eny.

Fel\'{\i}rom, felhaszn\'alva a komplex f\"uggv\'enytan n\'eh\'any
klasszikus eredm\'eny\'et felhaszn\'alva egy olyan $H_0(z)$
f\"uggv\'eny k\'eplet\'et, amely term\'eszetes jel\"olt arra a
f\"uggv\'enyre, amely teljes\'{\i}ti a `FELADAT~A' felt\'eteleit,
\'es a `FELADAT~A' felt\'eteleit teljes\'{\i}t\H{o}
f\"ugg\-v\'e\-nyek orig\'oban felvett \'ert\'ekeinek a maximuma
egyenl\H{o} ennek a $H_0(z)$ f\"uggv\'enynek az \'ert\'ek\'evel az
orig\'oban. Tudjuk az el\H{o}z\H{o} lemma alapj\'an, hogy olyan
$H_0(z)$ f\"uggv\'enyt kell megadnunk, amely sehol sem t\H{u}nik el
az egys\'egk\"or belsej\'eben. Ilyen f\"uggv\'enynek l\'etezik
logaritmusa, ez\'ert lehets\'eges a keresett $H_0(z)$ f\"uggv\'eny
helyett el\H{o}sz\"or annak logaritmus\'at a $\log H_0(z)$
f\"uggv\'enyt defini\'alni. Id\'ezz\"uk fel, hogy egy
$z=Re^{i\varphi}\neq0$ komplex sz\'amra $\log z=\log R+i\varphi$.
A $\varphi$ sz\'am csak  modul\'o $2\pi$ van meghat\'arozva, de egy
a komplex egys\'egk\"or\"on defini\'alt sehol sem elt\"un\H{o}
analitikus $f(z)$ f\"uggv\'eny $\log f(z)$ lo\-ga\-rit\-mu\-s\'at
defini\'alhatjuk \'ugy, a nem egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott
imagin\'arius r\'esz alkalmas megad\'as\'aval, hogy a $\log f(z)$
f\"uggv\'eny is analitikus legyen. Az analitikus $\log
H_0(z)=u(z)+iv(z)$ f\"ugg\-v\'eny $u(z)$ val\'os r\'esze harmonikus
f\"uggv\'eny. (Egy $u(x,y)$ f\"uggv\'eny harmonikus egy $G$
tartom\'anyon, ha a tartom\'any minden $(x,y)\in G$ pontj\'aban
teljes\"ul a $\Delta u(x,y)=\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x^2}
+\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial y^2}=0$ azonoss\'ag.)

Az elmondottak alapj\'an olyan $H_0(z)$ f\"uggv\'enyt keres\"unk,
amelynek $\log H_0(z)=u(z)+iv(z)$ logaritmus\'anak
$u(z)=\Re\log H(z)=\Re\log|H(z)|$ re\'alis r\'esze teljes\'{\i}ti a
$\limm_{R\to1}u(Re^{i\lambda})=\frac12\log g(\lambda)$ felt\'etelt.
Ezenk\'{\i}v\"ul az $u(z)$ f\"uggv\'eny harmonikus. Olyan $H_0(z)$
f\"uggv\'enyt keres\"unk, amelyre $H_0(0)$ val\'os sz\'am, \'es
$H_0(0)>0$. Ez azt jelenti, hogy $\Im\log H_0(0)=v(0)=0$, ha a
$\log H_0(z)$ logaritmusnak a megfelel\H{o} \'ag\'at vessz\"uk.
Ennek alapj\'an fel\'{\i}runk egy olyan $u_0(z)$ harmonikus
f\"uggv\'enyt az egys\'egk\"or\"on, amelynek hat\'ar\'ert\'eke a
peremen a $\frac12\log g(e^{i\lambda})$ f\"uggv\'eny, majd
defini\'aljuk ennek azt az egy\'ertelm\H{u} analitikus $\log
H(z)=u(z)+iv(z)$ analitikus kieg\'esz\'{\i}t\'es\'et, amelyre
$v(0)=0$. Annak \'erdek\'eben, hogy megadjunk egy ilyen
tulajdons\'ag\'u f\"uggv\'enyt, felid\'ezek n\'eh\'any fontos
komplex f\"uggv\'enytani  eredm\'enyt. Els\H{o}sorban a
k\"ovetkez\H{o} t\'etelre lesz sz\"uks\'eg\"unk.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel az egys\'egk\"or hat\'ar\'an el\H{o}\'{\i}rt \'ert\'eket
felvev\H{o} harmonikus f\"uggv\'enyek el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'ar\'ol
\'es azok analitikus kieg\'esz\'{\i}t\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen adva
egy $u_0(\vartheta)$, $-\pi\le\vartheta\le\pi$, a $[-\pi,\pi]$
intervallumon integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny. Ekkor a
$\{z\:z=Re^{i\varphi},\,0\le R<1\}$ egys\'egk\"or\"on defini\'alt
$$
\aligned
u(z)=u(Re^{i\varphi})&=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\Re
\(\frac{e^{i\vartheta}+z}{e^{i\vartheta}-z}\)u_0(\vartheta)\,d\vartheta
\\ &=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\vartheta-\varphi)}u_0(\vartheta)\,d\vartheta
\endaligned\tag11
$$
f\"uggv\'eny, amelyet azonos\'{\i}tunk az $u(x,y)=u(x+iy)=u(z)$,
ha $z=x+iy$, f\"uggv\'ennyel harmonikus f\"uggv\'eny a komplex
egys\'egk\"or\"on, \'es ennek radi\'alis limesze teljes\'{\i}ti a
$$
\limm_{R\to1}u(Re^{i\vartheta})=u_0(\vartheta) \quad
\text{majdnem minden $-\pi\le\vartheta\le\pi$ sz\'amra} \tag12
$$
fel\-t\'e\-telt. Azt az egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott
$F(z)=u(z)+iv(z)$ analitikus f\"uggv\'enyt, amelynek val\'os
r\'esze megegyzik a fenti $u(z)$ f\"uggv\'ennyel, \'es
imagin\'arius r\'esze teljes\'{\i}ti a $v(0)=0$ felt\'etelt az
$$
F(z)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{e^{i\vartheta}+z}{e^{i\vartheta}-z}u_0(\vartheta)\,d\vartheta
\tag13
$$
k\'eplet adja meg.}
\medskip

Nem t\'argyalom a fenti t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak a
r\'eszleteit, csak felid\'ezem azokat az alapvet\H{o} eredm\'enyeket,
amelyeken e t\'etel bizony\'{\i}t\'asa alapul. Annak
bizony\'{\i}t\'asa, hogy a (11) formul\'aban defini\'alt
$u(z)$ f\"uggv\'eny harmonikus azon a t\'enyen alapul, hogy a (11)
formula integr\'alj\'aban szerepl\H{o} magf\"uggv\'eny, azaz a
$P(R,\varphi)=\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\varphi)}$ \'ugynevezett
Poisson f\'ele magf\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
tulajdons\'agokat.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel a Poisson f\'ele magf\"uggv\'eny tulajdons\'agair\'ol.}
{\it A $P(R,\varphi)=\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\varphi)}$,
$0\le R<1$, $-\pi\le\varphi\le\pi$, Poisson f\'ele magf\"uggv\'eny,
amely megadhat\'o $P(R,\varphi)=\summ_{n=-\infty}^\infty
R^{|n|}e^{in\varphi}$ alakban is, teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
tulajdons\'agokat:
\medskip
\item{(i)} A $\bar P(x,y)=P(R,\varphi)$, ahol az $R=R(x,y)$,
$\varphi=\varphi(x,y)$ sz\'amokat az $x+iy=Re^{i\varphi}$
rel\'aci\'o hat\'arozza meg, harmonikus f\"uggv\'eny az
$\{(x,y)\colon x^2+y^2<1\}$ egys\'egk\"or\"on.
\item{ii)} $P(R,\varphi)>0$ minden $0\le R<1$, $-\pi\le\varphi\le\pi$,
argumentumra.
\item{(iii)} $\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi P(R,\varphi)\,d\varphi=1$
minden $0\le R<1$ sz\'amra.
\item{(iv)} $\limm_{R\to1} P(R,\varphi)=0$, \'es a konvergencia
egyenletes a $\delta\le|\varphi|\le \pi$ halmazon minden $\delta>0$
sz\'amra.
\item{(v)} $\frac{1-R}{1+R}\le P(R,\varphi)\le \frac{1+R}{1-R}$
minden $0\le R<1$ sz\'amra.}
\medskip

A fenti eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel bel\'athat\'o, hogy a (11)
formul\'aban defini\'alt $u(z)$ f\"uggv\'eny val\'oban harmonikus.
Az a t\'eny, hogy e f\"uggv\'eny radi\'alis limesze az
$u_0(\vartheta)$ f\"uggv\'ennyel egyezik meg majdnem minden
$\vartheta$ sz\'amra k\"ovetkezik az al\'abbi az irodalomban Fatou
t\'etelnek nevezett fontos eredm\'enyb\H{o}l, amelyet szint\'en
bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul ismertetek.
\medskip\noindent
{\bf Fatou t\'etel.} {\it Legyen $\mu$ korl\'atos v\'altoz\'as\'u
m\'ert\'ek az egys\'eg k\"orvonalon. Akkor az
$$
u(Re^{i\varphi})
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\vartheta-\varphi)}\mu(\,d\vartheta) \tag14
$$
(Poisson) integr\'al teljes\'{\i}ti a
$$
\limm_{R\to1} u(Re^{i\varphi})=\mu'(\varphi)
$$
rel\'aci\'ot  a $\mu'(\varphi)=\lim\frac {\mu(I)}{\lambda(I)}$
hat\'ar\'ert\'ekkel, ahol az $I$ intervallumrendszer tetsz\H{o}leges
az $e^{i\varphi}$ pontra h\'uzod\'o k\"or\'{\i}vek rendszere, minden
olyan $e^{i\varphi}$ pontban, amelyikben a fenti $\mu'(\varphi)$
hat\'ar\'ert\'ek l\'etezik.}
\medskip\noindent

Nem a (11) formul\'aval defini\'alt f\"uggv\'eny az egyetlen
egys\'egk\"or\"on harmonikus f\"uggv\'eny, amely teljes\'{\i}ti a
(12) felt\'etelt. Val\'oban, ha tekint\"unk tetsz\H{o}leges az
egy\-s\'eg\-k\"or\-vo\-na\-lon defini\'alt korl\'atos
v\'altoz\'as\'u szingul\'aris $\mu$ m\'ert\'eket, akkor nem neh\'ez
bel\'atni a Fatou t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy
$$
v(z)=u(z)+\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\vartheta-\varphi)}\mu(\,d\vartheta)
$$
szint\'en a (12) felt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o} harmonikus
f\"uggv\'eny. C\'elunk annak  megmutat\'asa, hogy amennyiben a (11)
formul\'aban defini\'alt $u(z)$ f\"uggv\'enyt tekintj\"uk
$u_0(\vartheta)=\frac12\log g_0(\vartheta)$ v\'alaszt\'assal, majd
ennek a (13) formul\'aban bevezetett analitikus
kieg\'esz\'{\i}t\'es\'et, akkor ez a f\"uggv\'eny v\'alaszthat\'o
annak a $H_0(z)$ f\"uggv\'eny $\log H_0(z)$ logaritmus\'anak, amely
teljes\'{\i}ti a `FELADAT~A' felt\'eteleit, s\H{o}t az is igaz r\'a,
hogy az orig\'oban felvett \'ert\'eke egyenl\H{o} azon f\"uggv\'enyek
orig\'oban vett \'ert\'ekei abszolut \'ert\'ek\'enek a maximum\'aval,
amelyek teljes\'{\i}tik a `FELADAT~A' felt\'eteleit. Ez azt jelenti,
hogy a (11) formul\'aban defini\'alt f\"uggv\'enyhez
hozz\'aadhatn\'ank m\'eg a Poisson magf\"uggv\'enynek egy
szingul\'aris m\'ert\'ek szerinti integr\'alj\'at,  \'es ilyen
m\'odon is egy a `FELADAT~A' felt\'eteleit teljes\'{\i}t\H{o}
f\"uggv\'enyt kapn\'ank, de ezt nem \'erdemes tenni.

Azt k\'{\i}v\'anjuk bel\'atni, hogy a `FELADAT~A' felt\'eteleit
teljes\'{\i}t\H{o} f\"uggv\'enyek k\"oz\"ul a
$$
H_0(z)=\exp\left\{\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{e^{i\vartheta}+z}{e^{i\vartheta}-z}\frac12\log
g(\vartheta)\,d\vartheta \right\} \tag15
$$
f\"uggv\'eny az optim\'alis megold\'as.

El\H{o}sz\"or azt kell megmutatni, hogy a (15) formul\'aban
defini\'alt $H_0(z)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a `FELADAT~A'
felt\'eteleit. A f\"uggv\'eny  konstrukci\'oj\'ab\'ol vil\'agos,
hogy $H_0(z)$ az egys\'egk\"or\"on analitikus f\"uggv\'eny, amelyre
teljes\"ul a $\limm_{R\to1}|H_0(Re^{i\vartheta})|^2=g(\vartheta)$
rel\'aci\'o. Tov\'abb\'a, abb\'ol hogy $g(\vartheta)=g(-\vartheta)$
k\"ovetkezik, hogy $\log H_0(\bar z)=\overline{\log H_0(z)}$,
ahonnan $H_0(\bar z)=\overline{H_0(z)}$, \'es $H_0(z)$ Taylor
sor\'anak egy\"utthat\'oi val\'os sz\'amok. Viszont be kell
m\'eg l\'atnunk azt, hogy a (15) formul\'aban defini\'alt
$H_0(z)$ f\"uggv\'eny eleme a $\Cal H_2$ Hardy oszt\'alynak. Ennek
az \'all\'{\i}t\'asnak a helyess\'eg\'et mondja ki az al\'abbi Lemma.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen $g(\vartheta)$ olyan f\"uggv\'eny a
$[-\pi,\pi]$ intervallumon, amely majdnem minden\"utt nagyobb, mint
nulla, $\int_{-\pi}^\pi g(\vartheta)\,d\vartheta<\infty$ \'es
$\int_{-\pi}^\pi\log|g(\vartheta)|\,d\vartheta<\infty$. Ekkor a (15)
k\'epletben defini\'alt $H_0(z)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az
$$
\align
\int_{-\pi}^\pi |H_0(Re^{i\varphi})|^2\,d\varphi&=
\int_{-\pi}^\pi \exp\left\{\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\varphi-\vartheta)}\log
g(\vartheta)\,d\vartheta \right\}\,d\varphi\\
&\le \int_{-\pi}^\pi g(\vartheta)\,d\vartheta
\endalign
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget minden $0<R<1$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.} Defini\'aljuk r\"ogz\'{\i}tett
$-\pi\le\varphi\le\pi$ \'es $0<R<1$ sz\'amokra a
$\mu(\,d\vartheta)=\mu_\varphi(\,d\vartheta)=
\frac1{2\pi}\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\varphi-\vartheta)}
\,d\vartheta$ m\'ert\'eket a $[-\pi,\pi]$ intervallumon.
A Poisson f\'ele magf\"uggv\'eny tulajdons\'agair\'ol sz\'ol\'o
t\'etel (iii) pontja szerint $\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek. Ez\'ert alkalmazva az $\exp\{\int
f(\vartheta)\,d\mu(\vartheta)\}
\le\int\exp\{f(\vartheta)\}\,d\mu(\vartheta)$ Jensen
egyenl\H{o}tlens\'eget a (konvex) exponenci\'alis \'es az
$f(\vartheta)=\log g(\vartheta)$ f\"uggv\'enyre kapjuk, hogy
$$
\align
&\exp\left\{\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\varphi-\vartheta)}\log
g(\vartheta)\,d\vartheta \right\}\,d\varphi \\
&\qquad \le\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\varphi-\vartheta)}
g(\vartheta)\,d\vartheta, \quad -\pi\le\varphi\le\pi. \tag+
\endalign
$$
Integr\'alva ezt az egyenl\H{o}tlens\'eget $\varphi$ szerint kapjuk,
hogy
$$
\int_{-\pi}^\pi |H_0(Re^{i\varphi})|^2\,d\varphi
\le\int_{-\pi}^\pi \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\varphi-\vartheta)}
g(\vartheta)\,d\vartheta\,d\varphi.
$$
Felcser\'elve az integr\'al\'as sorrendj\'et az utols\'o
egyenl\H{o}tlens\'eg jobboldal\'an, \'es felhaszn\'alva,
hogy $\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\varphi-\vartheta)}\,d\varphi=1$
minden $-\pi\le\vartheta\le\pi$ sz\'amra, kapjuk, hogy
$$
\int_{-\pi}^\pi |H_0(Re^{i\varphi})|^2\,d\varphi
\le\int_{-\pi}^\pi g(\vartheta)\,d\vartheta\quad\text{minden } 0<R<1
\text{ sz\'amra},
$$
\'es ezt kellett bizony\'{\i}tani.
\medskip
L\'attuk, hogy a (15) formul\'aban defini\'alt $H_0(z)$ f\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a `FELADAT~A' felt\'eteleit. Ezenk\'{\i}v\"ul
ebb\H{o}l a formul\'ab\'ol k\"ovetkezik az is, hogy
$$
\log |H_0(0)|=\frac1{4\pi}\int_{-\pi}^\pi\log|g(\vartheta)|\,d\vartheta.
\tag16
$$

Felhaszn\'aljuk ezenk\'{\i}v\"ul a k\"ovetkez\H{o} fontos komplex
f\"uggv\'enytani eredm\'enyt, a Szeg\H{o} t\'etelt, amelynek
h\'atter\'et a kieg\'esz\'{\i}t\'esben ismertetem.
\medskip\noindent
{\bf Szeg\H{o} t\'etel.} {\it Legyen $f(z)$, $|z|<1$, egy a
$\Cal H_2$ (vagy \'altal\'anosabban egy $\Cal H_p$, $0<p\le\infty$,)
Hardy oszt\'alyban szerepl\H{o} analitikus f\"uggv\'eny, \'es legyen
$\tilde f(\vartheta)=\limm_{R\to1}f(Re^{i\vartheta})$ e f\"uggv\'eny
radi\'alis limesze. Ekkor teljes\"ul a
$$
\log
|f(0)|\le\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\log|\tilde
f(\vartheta)|\,d\vartheta, \tag17
$$
illetve \'altal\'anosabban
$$
\log|f(Re^{i\varphi})|\le\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\vartheta-\varphi)}
\log|\tilde f(\vartheta)|\,d\vartheta \tag$17'$
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg.}
\medskip

Mivel a `FELADAT~A'-ban olyan $\Cal H_2$ oszt\'alybeli
f\"uggv\'enyeket kerest\"unk, amelyek radi\'alis limeszeinek
abszolut \'ert\'eke $|g(\vartheta)|^{1/2}$, ez\'ert
\"osszehasonl\'{\i}tva a (16) \'es (17) formul\'akat, kapjuk, hogy
$|f(0)|\le H_0(0)$ minden a `FEL\-ADAT~A' felt\'eteleit
teljes\'{\i}t\H{o} $f(z)$ f\"uggv\'enyre. Ez azt jelenti, hogy a
(15) formul\'aban defini\'alt $H_0(z)$ f\"uggv\'eny Taylor sor\'anak
egy\"utthat\'oi adj\'ak meg az $X_n=\summ_{k=0}^\infty c_kV_{n-k}$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, Wold felbont\'asban szerepl\H{o} $c_k$
egy\"utthat\'okat. Ezut\'an a 2B. lemma felhaszn\'al\'as\'aval meg
lehet adni mag\'at  a Wold felbont\'ast is egy v\'eletlen spektr\'al
m\'ert\'ek szerinti integr\'al seg\'{\i}ts\'eg\'evel, b\'ar
felmer\"ul a k\'erd\'es, hogy nincsen-e egyszer\H{u}bb, jobban
haszn\'alhat\'o elj\'ar\'as a Wold felbont\'as
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara.

Megkaptuk annak sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et
is, hogy mikor oldhat\'o meg a `FELADAT~A'. Ez egyben megadja annak
sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et is, hogy egy
stacion\'arius sorozat regul\'aris legyen. \'Igy megkaptuk a
k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt is.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel regul\'aris stacion\'arius sorozatok
jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it Egy $X_n$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$,
stacion\'arius (Gauss) sorozat akkor \'es csak akkor regul\'aris,
ha l\'etezik $g(\vartheta)$ spek\-tr\'al\-s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg
f\"uggv\'enye, \'es az teljes\'{\i}ti az
$$
\int_{-\pi}^\pi |\log g(\vartheta)\,|\,d\vartheta<\infty
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget.}
\medskip

Megjegyzem, hogy \'altal\'aban a fenti t\'etel felt\'etel\'eben
szerepl\H{o} integr\'al v\'egess\'eg\'et a vele ekvivalens
$\int_{-\pi}^\pi \log g(\vartheta)\,d\vartheta>-\infty$
alakban szokt\'ak kimondani. Az $\int g(\vartheta)\,d\vartheta
=EX_1^2<\infty$, $g(\vartheta)\ge0$ rel\'aci\'ok alapj\'an
k\"onnyen l\'athat\'o, hogy a k\'et felt\'etel ekvivalens.

\'Erv\'enyes a fenti t\'etel k\"ovetkez\H{o} \'eles\'{\i}t\'ese
is, amely megadja egy adott spek\-tr\'al\-m\'er\-t\'ek\-kel
rendelkez\H{o} stacion\'arius Gauss folyamat felbont\'as\'at
a sorozatnak al\'arendelt ortogon\'alis regul\'aris \'es
szingul\'aris stacion\'arius sorozatok \"osszeg\'ere.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel stacion\'arius sorozatok felbont\'as\'ara regul\'aris
\'es szingul\'aris komponensekre.} {\it Tekints\"uk egy $X_n$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius sorozat $G$ spektr\'al
m\'ert\'ek\'enek $G=G_1+G_2$, felbont\'as\'at abszolut folytonos
\'es szingul\'aris komponensek \"osszeg\'ere, ahol $G_1$ a $G$
m\'ert\'ek abszolut folytonos komponense
$g(\vartheta)=\frac{dG_1(\vartheta)}{d\vartheta}$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'ennyel, \'es $G_2$ a $G$ m\'ert\'ek
szingul\'aris komponense, azaz olyan (v\'eges) m\'ert\'ek, amely egy
null Lebesgue m\'ert\'ek\H{u} halmazban van koncentr\'alva.
Jel\"olje $A=D(G_2)\subset
[-\pi,\pi]$ a $G_2$ szingul\'aris m\'ert\'ek tart\'oj\'at, azaz
azt a legsz\H{u}kebb (nulla Lebesgue m\'ert\'ek\H{u}) z\'art halmazt,
amelyre $G_2([-\pi,\pi]\setminus D)=0$.

Az $X_n$ stacion\'arius sorozat szingul\'aris, ha $\int_{-\pi}^\pi
\log g(\vartheta)\,d\vartheta=-\infty$.  A m\'asik esetben, ha
$\int_{-\pi}^\pi\log g(\vartheta)\,d\vartheta>-\infty$, akkor az
$X_n$ sorozatot el\H{o}\'all\'{\i}t\'o $Z_G$ v\'eletlen spektr\'al
m\'ert\'ek szerinti integr\'al seg\'{\i}ts\'eg\'evel az
$X_n$ sorozat fel\'{\i}rhat\'o $X_n=U_n+V_n$, $n=0,\pm1,\dots$,
alakban, ahol $U_n$, $n=0,\pm1,\dots$, regul\'aris \'es
$V_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, szingul\'aris, az $X_n$ sorozatnak
al\'arendelt stacion\'arius sorozat, \'es az $U_n$ \'es $V_n$
sorozatok ortogon\'alisak, azaz $EU_mV_n=0$,
$n,m=0,\pm1,\dots$. Ez a fel\'{\i}r\'as a k\"ovetkez\H{o}:
Ha $X_n=\int e^{in\vartheta}Z_G(\,d\vartheta)$, $n=0,\pm1,\dots$,
akkor $U_n=\int e^{in\vartheta}I_{[-\pi,\pi]\setminus
D}(t)Z_{G}(\,d\vartheta)$, $V_n=\int
e^{in\vartheta}I_{D}(t)Z_{G}(\,d\vartheta)$, $n=0,\pm1,\dots$,
ahol $I_A(t)$ egy $A$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'eny\'et jel\"oli.}
\medskip
E fenti t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak nem dolgozom ki minden
r\'eszlet\'et. Az a regul\'aris stacion\'arius sorozatok
jellemz\'es\'er\H{o}l valamint a stacion\'arius sorozatok
a sorozatnak al\'arendelt regul\'aris \'es szingul\'aris sorozatok
\"osszeg\'ere val\'o  felbont\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etelek,
illetve ez ut\'obbi t\'etelben szerepl\H{o} felbont\'as (itt nem
ismertetett, de egyszer\H{u}, viszont nem konstrukt\'{\i}v)
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'an alapul.

Ha egy $X_n$ stacion\'arius sorozat $G$ spektr\'alm\'ert\'eke
olyan, hogy az abszolut folytonos komponens $g(\vartheta)$
spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg\'ere  az
$\int_{-\pi}^\pi\log g(\vartheta)\,d\vartheta=-\infty$ rel\'aci\'o
\'erv\'enyes, akkor te\-kint\-ve e sorozat tetsz\H{o}leges
$X_n=U_n+V_n$, $n=0,\pm1,\dots$, felbont\'as\'at k\'et f\"uggetlen
(Gauss) stacion\'arius sorozat \"osszeg\'ere valamely $G^{(1)}$
\'es $G^{(2)}$ (nem z\'er\'o) spek\-tr\'al\-m\'er\-t\'ek\-kel,
akkor ezen spektr\'alm\'ert\'ekek $g^{(1)}(\vartheta)$ \'es
$g^{(2)}(\vartheta)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye kisebb,
mint $g(\vartheta)$, ez\'ert egyik\"uk sem lehet regul\'aris. \'Igy
a stacion\'arius sorozatok a sorozatnak al\'arendelt regul\'aris
\'es szingul\'aris sorozatok \"osszeg\'ere val\'o
felbont\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel alapj\'an az $X_n$
stacion\'arius sorozat ebben az esetben szingul\'aris.

Ha az $X_n$ sorozat $G$ spektr\'alm\'ert\'eke olyan, hogy
$\int_{-\pi}^\pi\log g(\vartheta)\,d\vartheta>-\infty$, akkor nem
neh\'ez bel\'atni, hogy a t\'etelben megadott $X_n=U_n+V_n$,
$n=0,\pm1,\dots$ azonoss\'ag az $X_n$ sorozat felbont\'as\'at adja
k\'et korrel\'alatlan stacion\'arius sorozat \"osszeg\'ere, amelyek
k\"oz\"ul az $U_n$ sorozat regul\'aris, a $V_n$ sorozat szingul\'aris.
Viszont meg kell mutatni azt is, hogy ezek a sorozatok al\'a vannak
rendelve az $X_n$, $n=0,\pm1,\dots$, sorozatnak. Ennek
indokl\'as\'aban alkalmazzuk a stacion\'arius sorozatok
a sorozatnak al\'arendelt regul\'aris \'es szingul\'aris sorozatok
\"osszeg\'ere val\'o  felbont\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'anak (itt nem ismertetett) konstrukci\'oj\'at.

Tekints\"uk az $X_n$, $n=0,\pm1,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok line\'aris kombin\'aci\'oi \'altal kifesz\'{\i}tett
$H_\infty$ Hilbert  teret, illetve annak az (1) formul\'aban
defini\'alt $S$ alter\'et. Vegy\"uk mindegyik $X_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $S$ alt\'erre vett
vet\"ulet\'enek $\tilde U_n$ ortogon\'alis
ki\-eg\'e\-sz\'{\i}\-t\H{o}\-j\'et. Ekkor be lehet l\'atni, (ez az
eml\'{\i}tett t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak a kulcsl\'ep\'ese),
hogy az $\tilde U_n$, $n=0,\pm1,\dots$, sorozat az $X_n$
sorozatnak al\'arendelt regul\'aris stacion\'arius sorozat.
Ezenk\'{\i}v\"ul a $H_\infty$ Hilbert t\'ernek az $\tilde U_n$,
$n=0,\pm1,\dots$, sorozat elemei \'altal gener\'alt altere
megegyezik az $S$ alt\'er ortogon\'alis kieg\'esz\'{\i}t\'es\'evel.
Be lehet l\'atni, felhaszn\'alva azt, hogy mivel $\tilde U_n$ az
$X_n$ sorozatnak al\'a van rendelve, \'es `ugyanaz a shift
oper\'ator hat r\'a', ez\'ert az fel\'{\i}rhat\'o
$\tilde U_n=\int e^{in\vartheta}h(\vartheta)Z_G(\,d\vartheta)$,
$n=0,\pm1,\dots$, alakban al\-kal\-mas $h(\vartheta)$
magf\"uggv\'ennyel. Mivel a (regul\'aris) $\tilde U_n$ sorozatnak
van spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'enye, ez\'ert
a $h(\vartheta)$ magf\"uggv\'eny a $[-\pi,\pi]\setminus D$ halmazba
van koncentr\'alva, \'{\i}gy az $\tilde U_n$  \'es $V_n$,
$n=0,1,\dots$, stacion\'arius sorozatok ortogon\'alisak. Innen
k\"ovetkezik, hogy a $V_n$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$, sorozat elemei
az $S$ alt\'erben vannak, ez\'ert ez a sorozat az $X_n$,
$n=0,\pm1,\dots$, sorozatnak al\'a van rendelve. Akkor viszont
ugyanez igaz a $V_n=X_n-U_n$, $n=0,\pm1,\dots$, sorozatra is.
A t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at befejezt\"uk.

\medskip
R\"oviden besz\'elek a `FELADAT~A' \'altal\'anos megold\'as\'ar\'ol.
Ha \"osszehasonl\'{\i}tjuk a (15) formul\'at a Szeg\H{o} t\'etelben
szerepl\H{o} ($17'$) k\'eplettel, azt kapjuk, hogy a `FEL\-ADAT~A'
tetsz\H{o}leges $f(z)$ megold\'asa teljes\'{\i}ti az
$|f(Re^{i\vartheta})|\le H_0(Re^{i\vartheta})$ egyenletet
minden $0\le R<1$, $-\pi\le\vartheta\le\pi$, param\'eterre.
Ebb\H{o}l, illetve abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy a $H_0(z)$
f\"uggv\'eny sehol sem t\H{u}nik el az egys\'egk\"or belsej\'eben
k\"ovetkezik, hogy a `FEL\-ADAT~A' minden megold\'asa
fel\'{\i}rhat\'o $f(z)=H_0(z)g(z)$ alakban, ahol $H_0(z)$, amelyet
a (feladat felt\'eteleit teljes\'{\i}t\H{o}) k\"uls\H{o}
f\"uggv\'enynek neveznek a (15) k\'epletben van megadva, m\'{\i}g a
$g(z)$ f\"uggv\'eny, amelyet bels\H{o} f\"uggv\'enynek neveznek,
olyan f\"uggv\'eny, amelynek abszolut \'ert\'eke az egys\'egk\"or
belsej\'eben kisebb, mint 1, az egys\'egk\"orvonalon vett
hat\'ar\'ert\'eke pedig 1. A maximum elv seg\'{\i}ts\'eg\'evel be
lehet l\'atni, hogy ha $g(z)$ nem egyenl\H{o} egy 1
abszolut \'ert\'ek\H{u} konstanssal minden $z$ sz\'amra, akkor $g(z)$
abszolut \'ert\'eke szigor\'uan kisebb, mint 1 az egys\'egk\"or
minden bels\H{o} pontj\'aban. Innen az is k\"ovetkezik, hogy az
orig\'oban maxim\'alis abszolut \'ert\'eket felvev\H{o} a
`FELADAT~A' felt\'eteleit teljes\'{\i}t\H{o} f\"uggv\'eny egy
esetleges $(-1)$ sz\'ammal val\'o szorz\'ast nem tekintve
egy\'ertelm\H{u}en meg van hat\'arozva. Ez\'ert $H_0(z)$ val\'oban
a stacion\'arius sorozat Wold felbont\'as\'anak felel meg.

A bels\H{o} f\"uggv\'enyeket \'es ez\'altal a `FELADAT~A' teljes
megold\'asrendszer\'et pontosan le lehet \'{\i}rni. Elmagyar\'azom,
hogy milyen alak\'u lehet egy bels\H{o} f\"uggv\'eny, de a
bizony\'{\i}t\'as r\'eszleteit nem t\'argyalom.

Egy tipikus bels\H{o} f\"uggv\'eny olyan
$g(z)=\frac{z-z_0}{1-z\bar z_0}$, $|z_0|<1$, racion\'alis
t\"ortf\"uggv\'eny, amely az egys\'egk\"ort \"onmag\'aba k\'epezi.
Tekinthetj\"uk ilyen f\"uggv\'enyek szorzat\'at is. Tudjuk, hogy
egy nem azonosan nulla analitikus f\"uggv\'eny null-helyeinek nem
lehet torl\'od\'asi pontja az \'ertelmez\'esi tartom\'any
belsej\'eben. Viszont a null-helyek tor\-l\'od\-hat\-nak az
\'ertelmez\'esi tartom\'any (jelen esetben az egys\'egk\"or) valamely
hat\'arpontj\'ahoz. Ezt a lehet\H{o}s\'eget kihaszn\'alva lehet
v\'egtelen, \'ugynevezett Blaschke szorzatok seg\'{\i}ts\'eg\'evel
defini\'alni bels\H{o} f\"uggv\'enyeket.

M\'as tipus\'u bels\H{o} f\"uggv\'enyt kaphatunk \'ugy, hogy
egy $R(z)=c\frac{e^{i\vartheta}+z}{e^{i\vartheta}-z}$, $c>0$,
alak\'u f\"uggv\'enyt vesz\"unk, azaz az egy\-s\'eg\-k\"or egy
racion\'alis t\"ortf\"uggv\'eny lek\'epez\'es\'et tekintj\"uk a
$\{z\:\Re z<0\}$ f\'els\'{\i}kra, majd defini\'aljuk a
$h(z)=e^{R(z)}$ f\"uggv\'enyt. A $h(z)$ f\"uggv\'eny az
egys\'egk\"or olyan lek\'epez\'ese \"onmag\'aba, amely\-nek
egyetlen pontban nincsen radi\'alis limesze, az $R(z)$ racion\'alis
t\"ortf\"uggv\'enynek az egys\'egk\"orvonal ha\-t\'a\-r\'an
lev\H{o} $z=e^{i\vartheta}$ szingul\'aris pontj\'aban.
A $h(z)$ f\"uggv\'eny az egys\'egk\"or olyan lek\'epez\'ese
\"onmag\'ara, amely az egy\-s\'eg\-k\"or belsej\'eben sehol sem
t\H{u}nik el. Ilyen f\"uggv\'enyek szor\-za\-ta\-k\'ent, illetve
a szorzatok limesz\'et v\'eve tov\'abbi  bels\H{o} f\"uggv\'enyeket
tudunk defini\'alni. Ilyen m\'odon
$$
g(z)=\exp\left\{\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{e^{i\vartheta}+z}{e^{i\vartheta}-z}\,d\mu(\vartheta)\right\}
$$
alak\'u bels\H{o} f\"uggv\'enyeket kapunk, ahol $\mu$ szingul\'aris
m\'ert\'ek. Az, hogy az ilyen f\"ugg\-v\'e\-nyek abszolut
\'ert\'ek\'enek a radi\'alis limesze majdnem minden pontban 1
megmutathat\'o a Fatou t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
Az ilyen alak\'u bels\H{o} f\"uggv\'enyeket szingul\'aris bels\H{o}
f\"uggv\'enynek nevezik. Be lehet l\'atni, hogy tetsz\H{o}leges
bels\H{o} f\"uggv\'eny el\H{o}\'all\'{\i}that\'o egy Blaschke
szorzat \'es egy szingul\'aris bels\H{o} f\"uggv\'eny szorzatak\'ent,
\'es ez az el\H{o}\'all\'{\i}t\'as egy 1 abszolut \'ert\'ek\H{u}
t\'enyez\H{o} erej\'eig egy\'ertelm\H{u}.

A Wold felbont\'ast fel\'{\i}rhatjuk $X_n=\summ_{k=0}^\infty
c_kW_{n-k}$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, alakban, ahol a $c_k$
egy\"utthat\'ok az el\H{o}bb t\'argyalt $H_0(z)=\summ_{k=0}^\infty
c_kz^k$ f\"uggv\'eny Taylor egy\"utthat\'oi, a $W_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat pedig a (9) k\'eplet
defini\'alja, azzal a kieg\'esz\'{\i}t\'essel, hogy a k\'epletben
szerepl\H{o} $h(t)$ f\"uggv\'eny a $H_0(z)$ f\"uggv\'eny
$H_0(e^{it})$, $-\pi\le t\le\pi$, radi\'alis limesze. Felmer\"ulhet
az ig\'eny, hogy a (9) k\'epletben defini\'alt v\'eletlen integr\'al
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara tal\'aljunk egyszer\H{u}bb, jobban
sz\'amolhat\'o m\'odszert. \'Erdemes \'eszrevenni, hogy mivel a
$H_0(z)$ f\"uggv\'eny nem t\H{u}nik el az  egys\'egk\"or
belsej\'eben, ennek reciproka szint\'en ana\-li\-ti\-kus
f\"uggv\'eny az egys\'egk\"orben, amely fel\'{\i}rhat\'o
$\frac1{H_0(z)}=\summ_{k=0}^\infty D_kz^k$ alakban, \'es az
$\frac1{h(t)}$ ennek a f\"uggv\'enynek a radi\'alis limesze. Ez
azt sugallja, hogy $\frac1{h(t)}$ f\"uggv\'eny fel\'{\i}rhat\'o
$\frac1{h(t)}=\summ_{k=0}^\infty D_ke^{ikt}$ alakban, ez\'ert a (9)
formula alapj\'an
$$
W_n=\int_{-\pi}^\pi\frac1{\overline{h(t)}}e^{int}Z_G(dt)
=\int_{-\pi}^\pi\summ_{k=0}^\infty D_k e^{i(n-k)t}Z_G(dt)
=\summ_{k=0}^\infty D_kX_{n-k}.
$$
Az el\H{o}bbi sz\'amol\'as megadja, legal\'abbis form\'alis szinten
azt, hogy hogyan lehet ki\-sz\'a\-mol\-ni a Wold felbont\'asban
szerepl\H{o} $W_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat az
ismert $X_j$, $j\le n$, va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Vegy\"uk \'eszre, hogy ebben a
sz\'amol\'asban is kihaszn\'altuk, hogy a $H_0(z)$ f\"uggv\'eny nem
t\H{u}nik el az egys\'egk\"or belsej\'eben. Ez biztos\'{\i}tja azt,
hogy az $\frac1{H_0(z)}$ f\"uggv\'eny analitikus az egys\'egk\"or
belsej\'eben, \'es a radi\'alis limesze az egys\'egk\"or
hat\'ar\'an megegyezik az $\frac1{h(t)}$ f\"uggv\'ennyel.

Val\'oj\'aban a probl\'ema nehezebb, \'es a fenti gondolatmenet
csak heurisztikus \'er\-ve\-l\'es\-nek tekinthet\H{o}. A probl\'ema
az, hogy az $\limm_{R\to1}\frac1{H_0(Re^{i\vartheta})}=
\frac1{h_0(e^{i\vartheta})}$ rel\'aci\'ot csak a majdnem minden
konvergencia \'ertelemben tudjuk, m\'{\i}g az el\H{o}bbi
k\"ozel\'{\i}t\'es Wold felbont\'asban szerepl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz val\'o konvergenci\'anak
igazol\'as\'ahoz a
$$\limm_{R\to1}\int_{-\pi}^\pi\left|\frac1{H_0(Re^{i\vartheta})}-
\frac1{h_0(e^{i\vartheta})}\right|^2g(\vartheta)\,d\vartheta=0
$$
rel\'aci\'o igazol\'as\'ara lenne sz\"uks\'eg\"unk. (Ekkor a
sztochasztikus integr\'alok $L_2$ izo\-mor\-fi\'a\-j\'a\-b\'ol
k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as.) Egy speci\'alis p\'eld\'aban
k\'es\H{o}bb megmutatjuk, hogy a fent ismertetett k\"ozel\'{\i}t\'es
seg\'{\i}ts\'eg\'evel megkaphatjuk a p\'eld\'aban szerepl\H{o}
stacion\'arius folyamat Wold felbont\'as\'at. A p\'eld\'aban
ismertetett m\'odszer \'altal\'anos\'{\i}that\'o tetsz\H{o}leges
\'ugynevezett ARMA folyamat Wold felbont\'as\'anak az
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'ara, (az ARMA folyamatokat nemsok\'ara
defini\'alni fogom), de nyitva hagyja azt a k\'erd\'est, hogy az
el\H{o}bb t\'argyalt heurisztikus elj\'ar\'as alkalmas-e
tetsz\H{o}leges regul\'aris folyamat Wold felbont\'as\'anak az
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'ara.

%Az \'altal\'anos





\medskip

K\"ul\"on foglalkozom k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} gyakorlati
alkalmaz\'asokban fontos speci\'alis stacion\'arius folyamattal,
a `Moving Average' (mozg\'o \'atlag) \'es `ARMA' (autoregressive
moving average) folyamattal. Ezen folyamatok
spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'ege speci\'alis alakban \'{\i}rhat\'o
fel. A spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg ezekben a modellekben az
$e^{i\lambda}$ f\"uggv\'eny speci\'alis alak\'u f\"uggv\'enye.
Ez a speci\'alis alak\'u f\"uggv\'eny egy polinom, illetve egy
racion\'alis t\"ortf\"uggv\'eny abszolut \'ert\'ek\'enek a
n\'egy\-ze\-t\'e\-vel  egyenl\H{o}. Ez a polinom, illetve
racion\'alis t\"ortf\"uggv\'eny nincs egy\'ertelm\H{u}en
meg\-ha\-t\'a\-roz\-va, \'es \'erdemes megkeresni annak
legjobban haszn\'alhat\'o alakj\'at. A `Moving Average' \'es
`ARMA' folyamat spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg\'enek
speci\'alis alakja miatt e modellekben viszonylag egyszer\H{u}en
megoldhat\'o a ~FELADAT~A'-ban megfogalmazott probl\'ema, ez\'ert
ebben az esetben a predikci\'os probl\'ema vizsg\'alata kev\'esb\'e
neh\'ez.

Megadom a Moving Average \'es ARMA folyamatok definici\'oj\'at, \'es
kisz\'amolom ezek spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.

Legyen $\dots,\e_{-1},\e_0,\e_1,\dots$ f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok
sorozata, \'es r\"ogz\'{\i}ts\"uk $a_0,a_1,\dots,a_k$
val\'os sz\'amok egy sorozat\'at. Az
$$
X_n=\summ_{p=0}^k a_p\e_{n-p},\quad n=\dots,-1,0,1,\dots  \tag18
$$
sorozatot $k$-ad rend\H{u} mozg\'o \'atlagnak nevezz\"uk. (Itt a
kor\'abban bevezetett mozg\'o \'atlag speci\'alis eset\'et
tekintett\"uk, mert a (18) formul\'aban csak v\'eges \"osszegeket
vett\"unk.) Az $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, sorozat $g(t)$
spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'eny\'et megadhatjuk
$g(t)=\frac1{2\pi}|P(e^{it})|^2$ alakban, ahol
$P(z)=\summ_{p=0}^ka_pz^p$. Ezt a k\'epletet az al\'abbi
(tulajdonk\'epp m\'ar \'altal\'anosabb esetben elv\'egzett)
sz\'amol\'as adja.
$$ \allowdisplaybreaks
\align
EX_lX_{l+n}&=\sum_{p=0}^k\sum_{p'=0}^k
a_pa_{p'}E\e_{l-p}\e_{n+l-p'}\\
&=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \(\sum_{p=0}^ka_pe^{-i(l-p)t}\)
\(\sum_{p'=0}^ka_{p'}e^{i(n+l-p')t}\)\,dt\\
&=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{int}
\left|\sum_{p=0}^ka_pe^{i(l-p)t}\right|^2\,dt
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{int}
|P(e^{it})|^2\,dt,
\endalign
$$
\'es $g(t)=g(-t)$ a $g(t)=|P(e^{it})|^2$ f\"uggv\'enyre.

Legyen adva az el\H{o}bb tekintett
$\dots,\e_{-1},\e_0,\e_1,\dots$ f\"uggetlen standard norm\'alis
el\-osz\-l\'a\-s\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok
\'es az $a_0,a_1,\dots,a_k$ val\'os sz\'amok sorozat\'an k\'{\i}v\"ul
m\'eg val\'os sz\'amok egy m\'asik $b_1,\dots,b_l$ sorozata is. Azt
mondjuk, hogy az (egy\"uttesen) norm\'alis eloszl\'as\'u $Y_n$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
stacion\'arius sorozata $(k,l)$ rend\H{u} ARMA folyamat, ha
teljes\'{\i}ti a
$$
\sum_{q=0}^l b_q Y_{n-q}=\summ_{p=0}^k a_p\e_{n-p},\quad,
n=\dots,-1,0,1,\dots \tag19
$$
azonoss\'agot. Prob\'aljuk meg kisz\'amolni az $Y_n$ stacion\'arius
sorozat $g(\lambda)$ spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'eny\'et
(felt\'eve, hogy l\'etezik az adott tulajdons\'ag\'u stacion\'arius
sorozat \'es annak van spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'enye).
Vezess\"uk be a $Z_n=\summ_{q=0}^l b_q Y_{n-q}$, $n=\dots,-1,0,1\dots$,
stacion\'arius sorozatot. Az el\H{o}z\H{o} sz\'amol\'ashoz hasonl\'oan
fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\align
EZ_sZ_{s+n}&=\sum_{q=0}^l \sum_{q'=0}^l
b_q b_{q'}EZ_{-q}Z_{n-q'}\\
&=\int_{-\pi}^\pi \(\sum_{q=0}^lb_qe^{iqt}\)
\(\sum_{q'=0}^kb_{q'}e^{i(n-q')t}\)g(t)\,dt\\
&=\int_{-\pi}^\pi e^{int}
\left|\sum_{q=0}^lb_qe^{iqt}\right|^2g(t)\,dt
=\int_{-\pi}^\pi e^{int}|R(e^{it})|^2 g(t)\,dt,
\endalign
$$
ahol $R(z)=\summ_{q=0}^l b_qz^q$.

\"Osszehasonl\'{\i}tva a (19) formula bal \'es jobb oldal\'an
szerepl\H{o} kifejez\'esek kovariancia f\"uggv\'eny\'ere kapott
kifejez\'eseket azt kapjuk, hogy
$$
\int_{-\pi}^\pi e^{int}|R(e^{it})|^2 g(t)\,dt
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{int} |P(e^{it})|^2\,dt.
$$
Mivel ennek az azonoss\'agnak minden $n=0,\pm1,\dots$ sz\'amra
teljes\"ulnie kell, innen k\"ovetkezik, hogy $g(t)=\frac1{2\pi}
\left|\frac{P(e^{it})}{R(e^{it})}\right|^2$.

\medskip
Fel\'{\i}rtuk a moving average \'es ARMA folyamat
spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg\'et $g(\lambda)=|P(e^{i\lambda})|^2$,
illetve
$g(\lambda)=\left|\frac{P(e^{i\lambda})}{R(e^{i\lambda})}\right|^2$
alakban. Az ezekben a kifejez\'esekben szerepl\H{o} polinomoknak
lehet gy\"ok\"uk az egys\'egk\"or belsej\'eben is. A
k\"ovetkez\H{o} lemm\'aban megadjuk egy ilyen alak\'u
spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'eny egy esetleg
k\"ul\"onb\"oz\H{o} el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at, amelyben olyan
polinomok szerepelnek, amelyeknek nincs gy\"ok\"uk az egys\'egk\"or
belsej\'eben. Ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy egyszer\H{u} m\'odon
el\H{o}\'all\'{\i}tsuk azt a (15) formul\'aban defini\'alt, a
$g(\lambda)$ spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'enyt\H{o}l
f\"ugg\H{o} $H_0(z)$ f\"uggv\'enyt, amely megadja egy $g(\lambda)$
spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eggel rendelkez\H{o} stacion\'arius
sorozat Wold felbont\'as\'aban szerepl\H{o} egy\"utthat\'okat.
\medskip\noindent
{\bf Lemma Moving Average \'es ARMA folyamatok
spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek
reprezent\'aci\'oj\'ar\'ol.} {\it Legyen adva egy olyan
stacion\'arius sorozat, amely\-nek $g(\lambda)$
spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'enye fel\'{\i}rhat\'o
$g(\lambda)=\left|\frac{P(e^{i\lambda})}{R(e^{i\lambda})}\right|^2$
alakban alkalmas $P(z)$ \'es $R(z)$ polinomokkal. Ekkor l\'eteznek
olyan $\tilde P(z)$ \'es $\tilde R(z)$ polinomok, amelyeknek nincs
gy\"ok\"uk a $\{z\colon |z|<1\}$ komplex egys\'egk\"orben, \'es
$g(\lambda)=\left|\frac{\tilde P(e^{i\lambda})}
{\tilde R(e^{i\lambda})}\right|^2$. A $\tilde P(z)$ \'es
$\tilde R(z)$ polinomok egy\"utthat\'oi val\'os sz\'amok, \'es
feltehet\H{o}, hogy $0<\frac{\tilde P(0)}{\tilde R(0)}<\infty$.
A $g(\lambda)$  spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'enyhez
tartoz\'o `Feladat~A'-nak a (15) formul\'aban megadott extrem\'alis
megold\'asa a $H_0(z)=\frac{\tilde P(z)}{\tilde R(z)}$ f\"uggv\'eny.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/   Legyenek a $g(\lambda)$
spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'eny\'enek
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asaban szerepl\H{o} $P(z)$ \'es $R(z)$
polinomok nem z\'er\'o gy\"okei $v_1,\dots,v_m$ \'es
$w_1,\dots,w_n$. Ekkor
$$
g(\lambda)=\left|\frac{P(e^{i\lambda})}{R(e^{i\lambda})}\right|^2
=\frac{P(e^{i\lambda})\overline{P(e^{i\lambda})}}
{R(e^{i\lambda})\overline{R(e^{i\lambda})}}
=C^2\frac{\prodd_{k=1}^m(e^{i\lambda}-v_k)(e^{-i\lambda}-\bar v_k)}
{\prodd_{k=1}^n(e^{i\lambda}-w_k)(e^{-i\lambda}-\bar w_k)} \tag20
$$
valamely alkalmas $C>0$ sz\'ammal.

Defin\'aljuk a $\tilde v_k=v_k$, ha $|v_k|\ge1$,
$\tilde v_k=\frac1{\bar v_k}$, ha $|v_k|<1$, $1\le k\le m$,
sz\'amokat \'es a $\tilde P(z)=\frac1A\prodd_{k=1}^m(z-\tilde v_k)$
polinomot, ahol $A=\prodd_{k\colon |v_k|<1}|v_k|$. Defini\'aljuk
hasonl\'o m\'odon a $\tilde w_k=w_k$, ha $|w_k|\ge1$,
$\tilde w_k=\frac1{\bar w_k}$, ha $|w_k|<1$, $1\le k\le n$,
sz\'amokat \'es a $\tilde R(z)=\frac1B\prodd_{k=1}^m(z-\tilde w_k)$
polinomot, ahol $B=\prodd_{k\colon |w_k|<1}|v_k|$. Pontosabban a
$\tilde P(z)$ \'es $\tilde R(z)$ polinomokat \'ugy defini\'aljuk,
hogy az el\H{o}bb bevezetett $\tilde P(z)$ illetve $\tilde R(z)$
polinomokb\'ol elhagyjuk azokat a $(z-\tilde v_k)$ \'es
$(z-\tilde w_k)$ t\'enyez\H{o}ket, amelyekre $\tilde v_k=\tilde w_k$.
Ilyen m\'odon a $\frac{\tilde P(z)}{\tilde R(z)}$ racion\'alis
t\"ortf\"uggv\'eny \'ert\'ek\'et nem v\'altoztattuk meg.
(Ezt a m\'odos\'{\i}t\'ast az\'ert tett\"uk a definici\'oban,
mert lehetnek olyan $(v_k,w_k)$ gy\"okp\'arok, amelyekre
$v_k=\frac1{w_k}$. Ebben az esetben a $\frac{\tilde P(z)}
{\tilde R(z)}$ racion\'alis t\"ortf\"uggv\'eny
egyszer\H{u}s\'{\i}thet\H{o}, \'es ezt a lehet\H{o}s\'eget ki
akartuk haszn\'alni.)

A $\tilde P(z)$ \'es $\tilde R(z)$ polinomoknak nincs gy\"ok\"uk a
komplex egys\'egk\"or belsej\'eben. Azt \'all\'{\i}tom, hogy a
$\left|\frac{\tilde P(e^{i\lambda})}{\tilde R(e^{i\lambda})}\right|^2
=\left|\frac{P(e^{i\lambda})}{R(e^{i\lambda})}\right|^2=g(\lambda)$,
$-\pi\le\lambda\le\pi$, azonoss\'ag is teljes\"ul. Val\'oban,
$$
\left|\frac{\tilde P(e^{i\lambda})}{\tilde R(e^{i\lambda})}\right|^2
=\frac{\tilde P(e^{i\lambda})\overline{\tilde P(e^{i\lambda})}}
{\tilde R(e^{i\lambda})\overline{\tilde R(e^{i\lambda})}}
=\frac{B^2C^2}{A^2}
\frac{\prodd_{k=1}^m(e^{i\lambda}-\tilde v_k)(e^{-i\lambda}-\bar
{\tilde v_k})}
{\prodd_{k=1}^n(e^{i\lambda}-\tilde w_k)(e^{-i\lambda}-\bar{\tilde
w_k})}, \tag$20'$
$$
ez\'ert a k\'{\i}v\'ant \"osszef\"ugg\'est megkapjuk
\"osszehasonl\'{\i}tva a (20) \'es $(20')$ formul\'akat \'es
bebizony\'{\i}tva az $(e^{i\lambda}-\tilde v_k)(e^{-i\lambda}
-\bar {\tilde v}_k) =\frac1{|v_k|^2} (e^{i\lambda}-v_k)
(e^{-i\lambda}-\bar v_k)$, ha $|v_k|<1$, illetve
$(e^{i\lambda}-\tilde w_k)(e^{-i\lambda}-\bar{\tilde w}_k)
=\frac1{|w_k|^2}(e^{i\lambda}-w_k)(e^{-i\lambda}-
\bar w_k)$, ha $|w_k|<1$ azonoss\'agokat.

Viszont
$$
\align
(e^{i\lambda}-\tilde v_k)(e^{-i\lambda}-\bar {\tilde v}_k)
&=\(e^{i\lambda}-\frac1{\bar v_k}\)\(e^{-i\lambda}-\frac1{v_k}\)
=\frac1{|v_k|^2}(\bar v_ke^{i\lambda}-1)(v_ke^{-i\lambda}-1)\\
&=\frac1{|v_k|^2}|\bar v_ke^{i\lambda}-1|^2
=\frac1{|v_k|^2}|\bar v_k-e^{-i\lambda}|^2\\
&=\frac1{|v_k|^2}(e^{i\lambda}-v_k)
(e^{-i\lambda}-\bar v_k),
\endalign
$$
ha $|v_k|\le1$. A m\'asik bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag
hasonl\'oan igazolhat\'o.

Bel\'atjuk, hogy a $g(\lambda)$ spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg
f\"uggv\'eny $g(\lambda)=g(-\lambda)$ szimmetri\'aj\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy $\tilde P(z)$ \'es $\tilde R(z)$ val\'os
egy\"utthat\'os polinomok. Ennek \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or
azt l\'atjuk be, hogy az adott felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik az
is, hogy
$$
\tilde P(e^{i\lambda})\overline{\tilde P(e^{i\lambda})}
=\tilde P(e^{-i\lambda})\overline{\tilde P(e^{-i\lambda})}, \qquad
\tilde R(e^{i\lambda})\overline{\tilde R(e^{i\lambda})}
=\tilde R(e^{-i\lambda})\overline{\tilde R(e^{-i\lambda})},
$$
illetve bel\'atjuk a (form\'alisan) kiss\'e \'altal\'anosabb
$$
\tilde P(z)\hat P\(\frac1z\)=\tilde P\(\frac1z\)\hat P(z), \qquad
\tilde R(z)\hat R\(\frac1z\)=\tilde R\(\frac1z\) \hat R(z)  \tag21
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget, ahol $\hat P(z)=\prodd_{k=1}^m
(z-\bar{\tilde v}_k)$, $\hat R(z)=\prodd_{k=1}^n(z-\bar{\tilde w}_k)$,
\'es a $\tilde v_1,\dots\tilde v_m$ sz\'amok a $\tilde P(z)$,
a $\tilde w_1,\dots\tilde w_n$ sz\'amok pedig a $\tilde R(z)$
polinom gy\"okei.

A $g(\lambda)=\frac{\tilde P(e^{i\lambda})\overline{\tilde
P(e^{i\lambda})}}{\tilde R(e^{i\lambda})
\overline{\tilde R(e^{i\lambda})}}
=\frac{\tilde P(e^{-i\lambda})\overline{\tilde P(e^{-i\lambda})}}
{\tilde R(e^{-i\lambda})\overline{\tilde R(e^{-i\lambda})}}
=g(-\lambda)$ azonoss\'agb\'ol analitikus ki\-ter\-jesz\-t\'es\-sel
azt kapjuk, hogy $\frac{\tilde P(z)\hat P\(\frac1z\)}{\tilde R(z)
\hat R\(\frac1z\)}=\frac{\tilde P(\frac1z)\hat P\(z\)}
{\tilde R(\frac1z)\hat R\(z\)}$. Az utols\'o  azonoss\'ag k\'et
oldal\'an sze\-rep\-l\H{o} kifejez\'esek gy\"okhelyei a $\tilde
v_1,\dots, \tilde v_m,\frac1{\bar{\tilde v}_1},\dots,\frac1
{\bar{\tilde v}_m}$ illetve az $\frac1{v_1},\dots,\frac1{v_m},
\bar{\tilde v}_1,\dots,\bar{\tilde v}_m$ sz\'amok. Igaz az is, hogy
a $\{\tilde v_1,\dots, \tilde v_m,\frac1{\bar{\tilde v}_m},
\dots,\frac1{\bar{\tilde v}_m}\}$ \'es
$\{\tilde w_1,\dots,\tilde w_n,\frac1{\bar{\tilde w}_1},\dots,
\frac1{\bar{\tilde w}_n}\}$, halmazok disz\-junk\-tak, azaz a
vizsg\'alt kifejez\'esek gy\"okei \'es p\'olusai k\"ul\"onb\"oznek,
\'es a felsorolt gy\"ok\"ok val\'oban megjelennek. Innen
k\"ovetkezik, hogy $\tilde P(z)\hat P\(\frac1z\)
=\tilde P(\frac1z)\hat P\(z\)$, azaz \'erv\'enyes a (21) formula
els\H{o} rel\'aci\'oja. De akkor igaz a (21) formula m\'asodik
rel\'aci\'oja is.

A $\tilde P(z)\hat P\(\frac1z\)$ f\"uggv\'eny gy\"okhelyei
k\"oz\"ul a $\tilde P(z)$ polinom tartalmazza az 1-n\'el na\-gyobb,
a $\hat P\(\frac1z\)$ f\"uggv\'eny az 1-n\'el kisebb abszolut
\'ert\'ek\H{u}eket. Ha egy $v$ sz\'amra $|v|=1$, \'es a $v$ sz\'am
nullhelye vagy a $\tilde P(z)$ vagy a $\hat P\(\frac1z\)$
f\"uggv\'enynek, akkor ez a $v=\frac1{\bar v}$ sz\'am gy\"oke a
m\'asik f\"uggv\'enynek is. Ez azt jelenti, hogy az 1 abszolut
\'ert\'ek\H{u} gy\"ok\"ok p\'arba \'all\'{\i}that\'oak \'ugy, hogy
egyik\"uk a $\tilde P(z)$, a m\'asikuk pedig a $\hat P\(\frac1z\)$
f\"uggv\'enynek a gy\"oke. Hasonl\'o tulajdons\'aga van a
$\tilde P\(\frac1z\)\hat P(z)$ f\"uggv\'enynek is. Ez azt jelenti,
hogy a (21) formula alapj\'an a $\tilde P(z)$ \'es $\hat P(z)$
polinomnak ugyanazok a gy\"okei. Innen az is k\"ovetkezik, hogy a
$\tilde P(z)$ polinom megszor\'{\i}t\'asa a val\'os sz\'amegyenesre
teljes\'{\i}ti a $\tilde P(y)=\overline{\tilde P(y)}$ azonoss\'agot,
ez\'ert $\tilde P(z)$ val\'os egy\"utthat\'oj\'u polinom.
Hasonl\'oan l\'athat\'o, hogy az $\tilde R(z)$ polinom val\'os
egy\"utthat\'os. Esetleges $(-1)$-gyel val\'o szorz\'assal
el\'erhetj\"uk azt is, hogy
$0<\frac{\tilde P(0)}{\tilde R(0)}<\infty$.

L\'attuk, hogy  $h_0(z)=\frac{\tilde P(z)}{\tilde R(z)}$ olyan
val\'os egy\"utthat\'os analitikus f\"uggv\'eny a komplex
egys\'egk\"orben, (ennek \'erdek\'eben biztos\'{\i}tanunk kellett
azt, hogy az $\tilde R(z)$ f\"uggv\'enynek ne legyen gy\"oke az
egys\'egk\"or belsej\'eben), amelynek l\'etezik olyan
$h_0(e^{i\vartheta})$ radi\'alis limesze, amely teljes\'{\i}ti az
$|h_0(e^{i\vartheta})|^2=g(\vartheta)$ azonoss\'agot. Be lehet
l\'atni k\"ozvetlen\"ul, hogy a $h_0(z)$ f\"uggv\'eny eleme a
$\Cal H_2$ Hardy oszt\'alynak. Innen k\"ovetkezik, hogy ez a
$h_0(z)$ f\"uggv\'eny a `FELADAT~A' egyik megold\'asa. Egy enn\'el
tartalmasabb \'all\'{\i}t\'ast fogunk igazolni. Megmutatjuk, hogy
$h_0(z)=\frac{\tilde P(z)}{\tilde R(z)}$ megegyezik a (15)
rel\'aci\'oban a $\frac12\log g(\vartheta)=\log\tilde
P(e^{i\vartheta}) -\log\tilde R(e^{i\vartheta})$, $-\pi\le\vartheta
\le \pi$, f\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt
$H_0(z)$ f\"uggv\'ennyel. Ebb\H{o}l az \'all\'{\i}t\'asb\'ol az is
k\"ovetkezik, hogy a $\frac{\tilde P(z)}{\tilde R(z)}$ a
`FELADAT~A' optim\'alis, a Wold felbont\'asnak megfelel\H{o}
megold\'asa. (Ennek az optim\'alis megold\'asnak a megtal\'al\'asa
\'erdek\'eben biztos\'{\i}tanunk kellett azt, hogy a $\tilde P(z)$
polinomnak nincs gy\"oke az egys\'egk\"orben.)

Azt kell megmutatnunk, hogy a $\frac{\tilde P(z)}{\tilde R(z)}$
racion\'alis t\"ortf\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a (15)
re\-l\'a\-ci\'o\-ban fel\'{\i}rt azonoss\'agot az
$\frac12\log g(\vartheta)=\log |\tilde P(e^{i\vartheta})|-\log|\tilde
R(e^{i\vartheta})|$, $-\pi\le\vartheta\le \pi$, f\"uggv\'ennyel.
El\H{o}sz\"or megmutatom,  hogy a k\'{\i}v\'ant \"osszef\"ugg\'es
k\"ovetkezik az
$$
\log\(\frac{Re^{i\varphi}-z_0}{-z_0}\)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{e^{i\vartheta}+Re^{i\varphi}}
{e^{i\vartheta}-Re^{i\varphi}}\log\left|\frac{e^{i\vartheta}-z_0}{-z_0}
\right|\,d\vartheta \quad\text{ha } 0\le R<1 \tag22
$$
azonoss\'agb\'ol, amely \'erv\'enyes minden
olyan $z_0$ sz\'amra, amelyre $|z_0|\ge1$. (A (22) rel\'aci\'o
\'erv\'enyess\'eg\'enek \'erdek\'eben fel kell tenn\"unk, hogy
$|z_0|\ge1$.) Ezut\'an bebizony\'{\i}tjuk  a (22)
azonoss\'agot.

\"Osszegezz\"uk a (22) formul\'at minden $z_0=\tilde v_1,\dots,\tilde
v_m$ illetve minden $z_0=\tilde w_1,\dots,\tilde w_n$ sz\'amra, ahol
$\tilde v_1,\dots,\tilde v_m$, illetve $\tilde w_1,\dots,\tilde w_n$, a
$\tilde P(z)$ \'es $\tilde R(z)$ polinom gy\"okei. Vonjuk ki a k\'et
azonoss\'agot egym\'asb\'ol. Ezut\'an n\'emi \'atalak\'{\i}t\'assal azt
kapjuk, hogy
$$
\frac{P(Re^{i\varphi})}{R(Re^{i\varphi})}=
\exp\left\{\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{e^{i\vartheta}+Re^{i\varphi}}
{e^{i\vartheta}-Re^{i\varphi}}\frac12\log g(\vartheta)
\,d\vartheta\right\} \quad\text{ha } 0\le R<1. \tag23
$$
Azt kell \'eszrevenni a (23) azonoss\'ag igazol\'as\'ahoz, hogy a
$\frac{\tilde v_1\cdots\tilde v_m\tilde w_1^{-1}\cdots\tilde w_n^{-1}}
{|\tilde v_1\cdots\tilde v_m\tilde w_1^{-1}\cdots\tilde w_n^{-1}|}$
t\"ort \'ert\'eke $+1$ vagy $-1$, mert mind a $\tilde v_1\cdots\tilde
v_m$, mind a $\tilde w_1\cdots\tilde w_n$ szorzat val\'os sz\'am annak
k\"o\-vet\-kez\-t\'e\-ben, hogy a $\tilde P(z)$ \'es $\tilde R(z)$
polinomok egy\"uthat\'oi val\'os sz\'amok. Mivel a $\frac{\tilde
P(z)}{\tilde R(z)}$ f\"uggv\'enyt egy esetleges $-1$-gyel val\'o
szorz\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel \'ugy v\'alasztottuk, hogy
$\frac{\tilde P(0)}{\tilde R(0)}>0$,
ez\'ert ez a t\'enyez\H{o} kiesik a sz\'amol\'as sor\'an. Ez azt
jelenti, hogy a (23) formula \'erv\'enyes, azaz a
$\frac{\tilde P(z)}{\tilde R(z)}$
f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a (15) formul\'at. H\'atra van m\'eg
a (22) azonoss\'ag igazol\'asa.

Ha $|z_0|>1$, akkor a (22) formula baloldal\'an szerepl\H{o}
kifejez\'es analitikus f\"uggv\'eny a $\{z\colon |z|<|z_0|\}$
k\"orben, ez\'ert az analitikus f\"uggv\'enyek
Hergoltz--integr\'al el\H{o}\-\'al\-l\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-r\'ol
sz\'ol\'o t\'etel alapj\'an (l\'asd p\'eld\'aul a Petruska Gy\"orgy
komplex f\"uggv\'enytan jegyzet (9.2.10) t\'etel\'et), a (22)
azonoss\'ag \'erv\'enyes. Val\'oban a k\'eplet mind a k\'et oldal\'an
analitikus f\"uggv\'eny szerepel, \'es a harmonikus
f\"uggv\'enyek el\H{o}\-\'al\-l\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-r\'ol sz\'ol\'o
formula alapj\'an l\'athat\'o, hogy e  kifejez\'esek re\'alis r\'eszei
egyenl\H{o}ek. Ez\'ert el\'eg
azt ellen\H{o}rizni, hogy mind a k\'et kifejez\'es
null\'aval egyenl\H{o} az orig\'oban. A jobboldali kifejez\'es
\'ert\'eke az orig\'oban $\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\log\left|\frac{e^{i\vartheta}-z_0}{-z_0}\right|
\,d\vartheta=\oint_{|r|=1}\log\left|\frac{r-z_0}{-z_0}\right|\,dr=0$,
mert a $\log\left|\frac{z-z_0}{-z_0}\right|=
\Re\log\(\frac{z-z_0}{-z_0}\)$ f\"uggv\'eny harmonikus
a $\{z\colon |z|<|z_0|\}$ tartom\'anyban, \'es ez\'ert e
f\"uggv\'eny k\"orintegr\'alja az egys\'egk\"or\"on egyenl\H{o} e
f\"uggv\'eny \'ert\'ek\'evel az orig\'oban. A baloldal \'ert\'eke
szint\'en $0$ az orig\'oban.

Ha $|z_0|=1$, akkor v\'alasszunk olyan $z_n$, $|z_n|>1$,
$n=1,2,\dots$, sorozatot, amely\-re $\limm_{n\to\infty}z_n=z_0$.
Ekkor fel\'{\i}rva a (19) azonoss\'agot, minden\"utt $z_n$-et
\'{\i}rva $z_0$ helyett, $n\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel megkapjuk
a (22) azonoss\'agot ezzel a $z_0$ sz\'ammal is. (Vegy\"uk \'eszre,
hogy a jobboldalon tekintett integr\'al
$\frac{e^{i\vartheta}+Re^{i\varphi}}{e^{i\vartheta}-Re^{i\varphi}}$
magf\"uggv\'eny\'enek az abszolut \'ert\'eke egyenletesen korl\'atos,
ha $R<1$. Ez seg\'{\i}t a hat\'ar\'atmenet jogoss\'ag\'anak az
indokl\'as\'aban.)

Eredm\'enyeinkb\H{o}l az is k\"ovetkezik, hogy amennyiben
egy stacion\'arius sorozat $g(\lambda)$ spektr\'al
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(\lambda)=\left|\frac{P(e^{i\lambda})}{R(e^{i\lambda})}\right|^2$
alakban adhat\'o meg egy racion\'alis t\"ort\-f\"ugg\-v\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, akkor a stacion\'arius sorozat regul\'aris.
Ehhez azt kell ellen\H{o}rizni, hogy az
$\int_{-\pi}^\pi \log g(\lambda)\,d\lambda>-\infty$ felt\'etel
teljes\"ul. Ez a felt\'etel teljes\"ul, b\'ar a $g(\lambda)$
spektr\'al s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny vehet fel nagyon
kis \'ert\'ekeket, ha a $P(z)$ f\"uggv\'enynek van gy\"oke az
egys\'egk\"or vonalon. Ez azonban nem rontja el a $\log g(\lambda)$
f\"uggv\'eny integr\'alhat\'os\'ag\'at. Viszont a $g(\lambda)$
spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at megad\'o
racion\'alis t\"ort\-f\"ugg\-v\'eny $R(z)$ ne\-ve\-z\H{o}\-j\'e\-nek
nem lehet gy\"oke az egys\'egk\"or vonalon, mert a $g(\lambda)$
f\"uggv\'eny integr\'alhat\'o kell hogy legyen. Be lehet l\'atni
tov\'abb\'a a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast is.

\medskip\noindent
{\it Feladat:} E feladat megfogalmaz\'as\'aban az el\H{o}bb
bevezetett jel\"ol\'eseket fogom haszn\'alni. Mutassuk meg, hogy
ha egy $Y_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius Gauss sorozat
spek\-tr\'al\-s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg f\"uggv\'enye $g(t)=\frac1{2\pi}
\left|\frac{P(e^{it})}{R(e^{it})}\right|^2$ alak\'u, akkor
l\'etezik f\"uggetlen standard nor\-m\'a\-lis
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok olyan
$\dots,\e_{-1},\e_0,\e_1,\dots$ sorozata, amely
teljes\'{\i}ti a (19) formul\'at. \hfill\break
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Tekints\"uk az $Y_n$ sorozat $Y_n=\int
e^{int}\frac{P(e^{it})}{R(e^{it})}Z(\,dt)$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
v\'e\-let\-len spektr\'al m\'ert\'ek szerinti integr\'al
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at, ahol $Z(\,dt)$ a $\frac1{2\pi}\lambda$
a $[-\pi,\pi]$ intervallumon vett normaliz\'alt Lebesgue m\'ert\'ek
szerinti alkalmas v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek. Mutassuk meg,
hogy $\e_n=\int e^{int}Z(\,dt)$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, alkalmas
v\'alaszt\'as.
\medskip
El\H{o}fordulhat, hogy egy moving average folyamat $g(\vartheta)$
spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg\'enek van gy\"oke a $-\pi\le\pi$
intervallumban, vagy ami ezzel ekvivalens, a $g(\vartheta)$
spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'eny
$g(\vartheta)=|P(e^{i\vartheta})|^2$ el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'aban
szerepl\H{o} $P(z)$ polinom egyik gy\"oke az egy\-s\'eg\-k\"or
ha\-t\'a\-r\'an van. Ez a legnehezebb eset. Az al\'abbi p\'eld\'aban
ilyen modellre adunk egy l\'atsz\'olag egyszer\H{u} p\'eld\'at.
\medskip\noindent
{\it P\'elda.} Legyen $\e_n$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$, f\"uggetlen
standard norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata,
\'es defini\'aljuk az $X_n=\e_n+\e_{n-1}$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$,
moving average sorozatot. Adjuk meg az $X_n$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$,
sorozat Wold felbont\'as\'at.
\medskip\noindent
{\it A p\'elda t\'argyal\'asa.}\/ A vizsg\'aland\'o stacion\'arius
sorozat spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'ege
$$
g(\vartheta)=|1+e^{i\vartheta}|^2=|P(e^{i\vartheta})|^2
$$
a $P(z)=1+z$ polinommal. Mivel e polinom egyetlen gy\"oke a $z=-1$
pont ez\'ert a Wold felbont\'ast a $H_0(z)=1+z$ f\"uggv\'eny adja
meg. Ez azt  jelenti, hogy a Wold felbont\'as $X_n=V_n+V_{n-1}$
alakban adhat\'o meg alkalmas $V_n$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$,
f\"uggetlen standard norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A f\H{o} probl\'ema ezeknek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak a megad\'asa.

Az $X_n$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$, stacion\'arius sorozat
el\H{o}\'all\'{\i}that\'o $X_n=\int e^{in\vartheta}Z(\,d\vartheta)$,
$n=0,\pm1,\pm2,\dots$, alakban, ahol $Z(\cdot)$ v\'eletlen
spektr\'alm\'ert\'ek
$g(\vartheta)=\frac1{2\pi}|1+e^{i\vartheta}|^2$,
$-\pi\le\vartheta\le\pi$,
spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'ennyel. Tov\'abb\'a az
\'altal\'anos elm\'elet szerint
$$
V_n=\int e^{in\vartheta}\frac1{\overline{H_0(e^{-i\vartheta})}}
\,dZ(\vartheta)
=\int e^{in\vartheta}\frac1{1+e^{-i\vartheta}}\,dZ(\vartheta)
$$
alakban adhat\'o meg. Ez a formula azonban nem j\'ol sz\'amolhat\'o.
Ha fel\'{\i}rjuk az $\frac1{H_0(z)}$ Taylor sor\'at azt kapjuk, hogy
$\frac1{H_0(z)}=\frac1{1+z}=\summ_{k=0}^\infty(-1)^k z^k$. Ez
form\'alisan azt sugalln\'a, hogy
$$
\align
V_n&=\int
e^{in\vartheta}\frac1{1+e^{-i\vartheta}}\,dZ(\vartheta)=
\int e^{in\vartheta}\summ_{k=0}^\infty (-1)^k e^{-ik
\vartheta}\,dZ(\vartheta)\\
&=\summ_{k=0}^\infty(-1)^k  \int e^{i(n-k)\vartheta}
\,dZ(\vartheta)=\summ_{k=0}^\infty(-1)^kX_{n-k}.
\endalign
$$
Ez azonban egy divergens sor, \'{\i}gy ez az el\H{o}\'all\'{\i}t\'as
\'ertelmetlen.

Viszont a sz\"ovegben t\'argyalt heurisztikus gondolatmenet a
k\"ovetkez\H{o} megold\'ast sugallja.
$$
\align
V_n&=\lim_{R\to 1} \int
e^{in\vartheta}\frac1{1+Re^{-i\vartheta}}\,dZ(\vartheta)=
\lim_{R\to1}\int e^{in\vartheta}\summ_{k=0}^\infty (-1)^k R^ke^{-ik
\vartheta}\,dZ(\vartheta)\\
&=\lim_{R\to1}\summ_{k=0}^\infty(-1)^k
R^k\int e^{i(n-k)\vartheta}
\,dZ(\vartheta)=\lim_{R\to1}\summ_{k=0}^\infty(-1)^kR^kX_{n-k},
\endalign
$$
ahol a konvergens $R$ sz\'amsorozat elemei 1-n\'el kisebb sz\'amok.
Azaz azt sejtj\"uk, hogy a $V_{n,R}=
\summ_{k=0}^\infty(-1)^kR^kX_{n-k}$ sz\'amok konverg\'alnak a $V_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha $R\to1$. Vegy\"uk
\'eszre azt is, hogy a $\summ_{k=0}^\infty(-1)^kR^kX_{n-k}
=\int e^{in\vartheta}\frac1{1+Re^{-i\vartheta}}\,dZ(\,d\vartheta)$,
azonoss\'ag is \'erv\'enyes minden $0<R<1$ sz\'amra abban az
\'ertelemben, hogy a baloldalon vett v\'egtelen \"osszeg az $X_n$,
$n=0,\pm1,\dots$, stacion\'arius sorozat $G$ spektr\'alm\'ert\'eke
szerinti $L_2$ konvergenci\'aban tart a jobboldalhoz, azaz
$$
\align
&\lim_{N\to\infty}E\[\summ_{k=0}^N(-1)^kR^kX_{n-k}-
\int e^{in\vartheta}
\frac1{1+Re^{-i\vartheta}}\,dZ(\,d\vartheta)\]^2\\
&\qquad=\lim_{N\to\infty}\int \left|e^{in\vartheta}\(
\summ_{k=0}^N(-1)^kR^ke^{-ik\vartheta}-
\frac1{1+Re^{-i\vartheta}}\)\right|^2\,dG(\,d\vartheta)=0,
\endalign
$$
mivel az integrandus az utols\'o kifejez\'es jobboldal\'an egyenletesen
konverg\'al null\'ahoz minden $0<R<1$ sz\'amra, ha $N\to\infty$.

Bel\'atjuk, hogy a $\limm_{R\to1}V_{n,R}=V_n$
\'all\'{\i}t\'as igaz a k\"ovetkez\H{o} \'ertelemben:
$\limm_{R\to1}E(V_{n,R}-V_n)^2=0$. Val\'oban,
$$
\align
E(V_n-V_{n,R})^2&=E\(\int
e^{in\vartheta}\(\frac1{1+e^{-i\vartheta}}-
\frac1{1+Re^{-i\vartheta}}\)\,dZ(\vartheta)\)^2\\
&=\int \left|\frac1{1+e^{-i\vartheta}}-
\frac1{1+Re^{-i\vartheta}}\right|^2G(\,d\vartheta),
\endalign
$$
ahol $G(\,d\vartheta)=\frac1{2\pi}|1+e^{-i\vartheta}|^2\,d\vartheta$,
az $X_n$ stacion\'arius sorozat spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'eg
f\"uggv\'enye. Innen
$$
\align
E(V_n-V_{n,R})^2
&=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \left|\frac1{1+e^{-i\vartheta}}-
\frac1{1+Re^{-i\vartheta}}\right|^2|1+e^{-i\vartheta}|^2\, d\vartheta \\
&=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{(1-R)^2}
{|1+Re^{-i\vartheta}|^2}\,d\vartheta.
\endalign
$$
Ez a kifejez\'es null\'ahoz tart, b\'ar $\limm_{R\to1}\int_{-\pi}^\pi
\frac1{|1+Re^{-i\vartheta}|^2}\,d\vartheta=\infty$  a $\pm\pi$
pont kis k\"ornyezet\'enek hozad\'eka miatt ezen integr\'alhoz.
Viszont n\'emi sz\'amol\'assal bel\'athat\'o, hogy ennek az
integr\'alnak a nagys\'agrendje $O((1-R)^{-1})$, mivel az
integrandus \'ert\'eke a `rossz' $\pm\pi$ pontok
k\"ornyezet\'eben $O\(\frac1{(1-R)^2+(\vartheta\mp\pi)^2}\)$.
Ez\'ert az $(1-R)^2$ faktor miatt a kifejez\'es null\'ahoz
tart $R\to1$ eset\'en.
\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es.} Az el\H{o}z\H{o} p\'eld\'aban kisz\'amolt $V_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok val\'oj\'aban az $X_n$,
$n=0,\pm1,\pm2,\dots$ v\'altoz\'ok definici\'oj\'aban szerepl\H{o}
$\e_n$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$ f\"uggetlen, standard norm\'alis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Ez a vizsg\'alt sorozatok
v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek szerinti integr\'al
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'ab\'ol, \'es a v\'eletlen spektr\'al
m\'ert\'ek szerinti in\-teg\-r\'a\-lok helyettesit\'esi
szab\'aly\'ab\'ol azonnal l\'atszik, (elemi bizony\'{\i}t\'asa is
egyszer\H{u}) ugyanis, ha az  $\e_n$ v\'eletlen sorozatot $\e_n=\int
e^{in\vartheta}dZ_0(\vartheta)$ v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek
szerinti integr\'alk\'ent \'all\'{\i}tjuk el\H{o}, akkor $X_n=\int
e^{in\vartheta}(e^{in\vartheta}(1+e^{-i\vartheta})dZ_0(\vartheta)$,
azaz $dZ(\vartheta)=(1+e^{-i\vartheta})dZ_0(\vartheta)$.

\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es.} Tekints\"unk egy a (18) formul\'aban
megadott \'altal\'anos $X_n$, $n=0,\pm1,\dots$, moving
average folyamatot. Ha a $P(z)=\summ_{p=0}^ka_pz^p$
polinomnak nincs gy\"oke a $\{z\colon |z|<1\}$ egys\'egk\"or
belsej\'eben, akkor a (18) formul\'aban megadott k\'eplet az $X_n$,
$n=0,\pm1,\dots$, folyamat Wold felbont\'asa,  mert $P(z)=H_0(z)$,
\'es $\e_n$, $n=0,\pm1,\dots$ f\"uggetlen standard norm\'alis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata. A f\H{o} feladat
az, hogy mindegyik $\e_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot
fejezz\"uk ki az $X_k$, $k\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok line\'aris kombin\'aci\'ojak\'ent. L\'attuk, hogy ennek
\'erdek\'eben egy akalmas v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek szerinti
integr\'alt kell kisz\'amolni, amelynek magf\"uggv\'enye az
$e^{in\vartheta}\frac1{\overline{H_0(e^{i\vartheta})}}
=\frac{e^{in\vartheta}}{P(e^{-i\vartheta})}$ f\"uggv\'eny. Ennek
az integr\'alnak a kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben \'erdemes
kisz\'amolni az $\frac1{P(z)}$ f\"uggv\'enynek a nulla pont
k\"or\"uli hatv\'anysor\'at. Ezt k\"onnyebben tudjuk
kisz\'amolni, ha az $\frac1{P(z)}$ f\"uggv\'enyt
el\H{o}\'all\'{\i}tjuk elemi $\frac1{(z-z_j)^l}$ alak\'u
kifejez\'esek line\'aris kombin\'aci\'ok\'ent, ahol $z_j$ a $P(z)$
polinom (esetleg t\"obbsz\"or\"os) gy\"oke.

A fent v\'azolt m\'odszer alkalmaz\'as\'aban akkor jelenik meg
neh\'ezs\'eg, ha a $P(z)$ polinomnak van 1 abszolut \'ert\'ek\H{u}
gy\"oke. Ilyen esetet t\'argyaltunk az el\H{o}z\H{o} feladatban,
amelyben a $P(z)=1+z$ f\"uggv\'eny jelent meg. Bizonyos modellekben
olyan $P(z)$ polinom jelenhet meg, amelynek t\"obbsz\"or\"os
multiplicit\'as\'u 1 abszolut \'ert\'ek\H{u} saj\'at\'ert\'eke is
l\'etezik. Ilyen modell p\'eld\'aul az
$X_n=\e_n+2\e_{n-1}+\e_{n-2}$, $n=0,\pm1,\dots$ mozg\'o \'atlag.
Ehhez a modellhez a $P(z)=(1+z)^2$ polinom tartozik. Az ilyen
modellek is t\'argyalhat\'oak hasonl\'oan az $X_n=\e_n+\e_{n-1}$
mozg\'o \'atlaghoz, b\'ar az egyes l\'ep\'esek jogoss\'ag\'anak az
igazol\'asa kiss\'e t\"obb munk\'at ig\'enyel.


\bye




