Stacionárius sorozatok előrejelzése.

Ebben az előadásban a következő kérdést fogom tárgyalni: Tekintsük valószínűségi változók egy olyan …, X_{−1}, X_{0}, X_{1}, … stacionárius Gauss sorozatát, amelyre EX_{n} = 0 (minden n = 0 ± 1, ±2, … indexre), és legyen megadva ennek a sorozatnak az r(n) = EX_{k}X_{k+n} kovarianciafüggvénye, n = 0, 1, 2, . . .. Ha ismerjük e sorozat múltbeli viselkedését egy n időpontig, azaz az X_{j}(ω) valószínűségi változónak tudjuk az értékét minden −∞ < j ≤ n indexre, akkor hogyan lehet megadni az X_{n+1} valószínűségi változó legjobb becslését ezen információk segítségével?

Először megfogalmazom a feladatot kissé pontosabban. Az X_{j}, −∞ < j ≤ n, valószínűségi változóknak olyan f(X_{j}, j ≤ n) függvényét keressük, amelyre az E(X_{n+1} − f(X_{j}, j ≤ n))^{2} minimális. Más szavakkal az X_{n+1} valószínűségi változó legkisebb hibájú becslését keressük az X_{j}, −∞ < j ≤ n, valószínűségi változók segítségével, ahol a becslés hibáját úgy definiáljuk, mint a tekintett valószínűségi változó valódi és becsült értéke közötti különbség négyzetének a várható értékét.

Vegyük észre, hogy a legjobb becslés megtalálásának a kérdése a feltételes várható érték tulajdonságai miatt megegyezik azzal a problémával, hogy találjuk meg a X_{n+1} valószínűségi változó feltételes várható értékét, feltéve az X_{j}, −∞ < j ≤ n, valószínűségi változók által generált σ-algebrát. Ez a feladat átfogalmazható a következő módon is. Tekintsük az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn azon ξ valószínűségi változók összességét, amelyekre Eξ^{2} < ∞, és vezessük be közöttük a (ξ, η) = Eξη̄ skalárszorzatot. (A tekintett valószínűségi változók lehetnek komplex értékűek is, és η̄(ω) az η(ω) komplex konjugáltját jelöli.) Ilyen módon bevezettük a négyzetesen integrálható valószínűségi változók által generált Hilbert teret, és az előbb megfogalmazott feladat ekvivalens módon úgyis átfogalmazható, hogy meg kell adnunk a Hilbert tér X_{n+1} elemének a vetületét a tekintett Hilbert térnek az X_{j}, −∞ < j ≤ n, valószínűségi változók által generált σ-algebra szerint mérhető négyzetesen integrálható valószínűségi változókból álló alterére. Ez a feladat a tekintett X_{j} valószínűségi változók (együttes) Gauss eloszlása miatt tovább egyszerűsíthető. A keresett feltételes várható érték megegyezik az X_{n+1} valószínűségi változó vetületével az X_{j}, −∞ < j ≤ n, valószínűségi változók (megszámlálható) lineáris kombinációiból álló altérre, azaz a keresett becslés az az

Y = ∑_{j=0}^{∞} c_{j}X_{n−j} valószínűségi változó (EY^{2} < ∞), amelyre EX_{j}(X_{n+1} − Y) = 0

minden −∞ < j ≤ n indexre. (Lásd az alábbi feladatot.)

Feladat:

Legyenek Y és X_{1}, X_{2}, …, együttesen normális eloszlású (nulla várható értékű) valószínűségi változók. Ekkor az Y valószínűségi változó Z vetülete az X_{1}, X_{2}, … valószínűségi változók négyzetesen integrálható lineáris kombinációi által kifeszített altérre (a második momentummal rendelkező valószínűségi változókból álló Hilbert térben) merőleges minden az X_{1}, X_{2}, … valószínűségi változók által generált σ-algebrára mérhető négyzetesen integrálható valószínűségi változóra. Ez azt jelenti, hogy ez a vetület megegyezik az E(Y |X_{1}, X_{2}, …) feltételes várható értékkel.

Segítség: Vegyük észre, hogy az Y − Z, X_{1}, X_{2}, … valószínűségi változók együttesen normális eloszlásúak, ezért az E(Y −Z)X_{j} = 0, j = 1, 2, …, relációkból következik, hogy az Y −Z valószínűségi változó független az (X_{1}, X_{2}, …) vektortól. Ezért Y −Z független az X_{j} valószínűségi változók minden f(X_{1}, X_{2}, …) függvényétől is. Továbbá E(Y − Z) = 0. Ez azt jelenti, hogy E(Y − Z)f(X_{1}, X_{2}, …) = 0 minden az X_{1}, X_{2}, … valószínűségi változók által generált σ-algebrára mérhető második momentummal rendelkező f(X_{1}, X_{2}, …) valószínűségi változóra.

A fentiek alapján a feladat átfogalmazható úgy, mint egy a kovarianciafüggvény segítségével felírható végtelen lineáris egyenletrendszer megoldása. (Az ismeretlen c_{j}

együtthatókat kell megtalálni a R(n+1−k) = EX_{k}X_{n+1} = EY X_{k} = ∑_{j=0}^{∞} c_{j}EX_{n−j}X_{k} =

∑_{j=0}^{∞} c_{j}R(n − j − k), −∞ < k ≤ n, egyenletrendszerben.) Annak érdekében, hogy

a megoldásról bizonyos hasznosabb információkat nyerhessünk, érdemes a feladatot más formában is tárgyalni. Először bevezetek néhány fogalmat és megadok néhány a Hilbert terek alapvető tulajdonságait felhasználó eredményt bizonyítás nélkül. Ezek kissé pongyolán fogalmazva azt állítják, hogy a feladatot redukálni lehet két eset vizsgálatára, amelyek közül az első eset azt jelenti, hogy már a nagyon régi megfigyelések is egyértelműen meghatározzák a rendszer további viselkedését, a második eset pedig azt, hogy a nagyon régi megfigyelések szinte semmi információt nem adnak arra, hogy mi történik a jövőben.

Vezessük be a következő jelöléseket:

\begin{aligned}H = B(X_{j}, −∞ < j < ∞),  H_{n} & = B(X_{j}, −∞ < j ≤ n), −∞ < n < ∞, \\ S & = ⋂_{n=−∞}^{∞} H_{n}. \end{aligned} (1)

A fenti jelölésekben B(X_{j}, j ∈ T), ahol T az egész számok valamely részhalmaza, a T halmaz elemeivel indexelt X_{j} valószínűségi változók véges lineáris kombinációit tartalmazó legszükebb Hilbert teret jelöli, S pedig a legnagyobb minden H_{n} Hilbert tér által tartalmazott Hilbert tér.

Adva egy X_{n}, n = …, −1, 0, 1, 2, …, stacionárius sorozat vezessük be a következő U shift operátort az X_{n} valószínűségi változók által kifeszített H Hilbert térben: UX_{n} = X_{n+1}, n = …, −1, 0, 1, …, és ha Y = f(X_{n}, −∞ < n < ∞) ∈ H, akkor ennek UY eltoltját (shift-jét) az UY = Uf(X_{n}, −∞ < n < ∞) = f(UX_{n}, −∞ < n < ∞) ∈ H képlettel definiáljuk. Akkor és csak akkor nevezünk valószínűségi változók egy Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, sorozatát az X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, sorozat alárendelt sorozatának, ha Y_{n} ∈ H, sőt az Y_{n} ∈ H_{n} reláció is teljesül minden n = …, −1, 0, 1, …, ahol H_{n} az (1) formulában van definiálva, és UY_{n} = Y_{n+1} minden n = …, −1, 0, 1, … indexre. Egy Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, az X_{n} sorozatnak alárendelt sorozat nyílvánvaló módon szintén stacionárius.

Szinguláris stacionárius sorozat definiciója. Egy Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, … stacionárius (Gauss) sorozatot szingulárisnak nevezünk, ha S = H. A H = B(Y_{j}, −∞ < j < ∞), H_{n} = B(Y_{j}, −∞ < j ≤ n), S = ⋂_{n=−∞}^{∞} H_{n} az (1) képlethez hasonlóan

definiáljuk. Az egyetlen különbség az, hogy jelen esetben az Y_{n} sorozat segítségével definiáljuk a H, H_{n} és S Hilbert tereket.

Reguláris stacionárius sorozat definiciója. Egy Z_{n}, n = …, −1, 0, 1, … stacionárius (Gauss) sorozatot regulárisnak nevezünk, ha S = ∅. A H = B(Z_{j}, −∞ < j <

∞), H_{n} = B(Z_{j}, −∞ < j ≤ n), S = ⋂_{n=−∞}^{∞} H_{n} az (1) képlethez hasonlóan definiáljuk.

Az egyetlen különbség az, hogy jelen esetben a Z_{n} sorozat segítségével definiáljuk a H, H_{n} és S Hilbert tereket.

Érvényes a következő egy stacionárius (Gauss) sorozat felbontásáról szóló tétel.

Tétel stacionárius sorozat felbontásáról a sorozatnak alárendelt reguláris és szinguláris sorozatok összegére. Legyen X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius (Gauss) sorozat. Ekkor ennek létezik olyan

X_{n} = Y_{n} + Z_{n}, n = …, −1, 0, 1, …  (2)

előállítása valószínűségi változók két sorozatának az összegére úgy, hogy

a) Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, az X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, sorozatnak alárendelt szinguláris sorozat, Z_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, az X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, sorozatnak alárendelt reguláris sorozat.

b) Az Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, és Z_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, sorozatok korrelálatlanok,

azaz

Cov (Y_{n}, Z_{m}) = 0 minden n, m = …, −1, 0, 1, … számpárra.

Az X_{n} sorozat felbontása az alábbi tulajdonságú sorozatok összegére egyértelmű.

Ha Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, szinguláris sorozat, akkor e sorozat tetszőleges Y_{k} eleme benne van a H_{−N}(Y_{j}, −∞ < j ≤ −N) Hilbert térben bármilyen nagy N indexre. Ez azt jelenti, hogy az Y_{n} sorozat múltjának ismerete bármilyen régi időpontig elegendő ahhoz, hogy az Y_{k} valószínűségi változót pontosan rekonstruáljuk. Ha Z_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, reguláris sorozat, akkor valamely tetszőleges Y_{k} elemének a vetülete a H_{−N}(Y_{j}, −∞ < j ≤ −N) Hilbert térbe nagy N indexekre tart nullához. Ez informálisan azt jelenti, hogy a nagyon régi megfigyelések alig adnak információt egy Y_{k} valószínűségi változó becslésére. Igaz a következő Wold felbontásnak nevezett eredmény.

Tétel (Wold felbontás). Legyen X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, reguláris stacionárius sorozat. Ekkor létezik olyan az X_{n} sorozatnak alárendelt V_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozat és valós számok olyan c_{k}, k = 0, 1, 2, … sorozata, emelyekre EV_{n} =

0, EV_{n}^{2} = 1, EV_{n}V_{m} = 0, ha n ≠ m, ∑_{k=0}^{∞} c_{k}^{2} = EX_{1}^{2}, és

X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}V_{n−k} minden n = …, −1, 0, 1, … indexre.  (3)

Megfordítva, ha az X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozatnak létezik az adott tulajdonságú reprezentációja, akkor ez a sorozat reguláris.

1. feladat. Legyen egy X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozat előállítható egy W_{n}, W_{n} ∈ B(X_{j}, −∞ < j < ∞), n = …, −1, 0, 1, …, nulla várható értékű 1 szórásnégyzetű korrelálatlan elemekből álló stacionárius Gauss sorozat mozgó átlagaként, (egy ilyen tulajdonságokkal rendelkező W_{n} sorozat független, standard normális

valószínűségi változókból áll), azaz létezzen valós számok olyan d_{0}, d_{1}, …, ∑_{n=0}^{∞} |d_{n}|^{2} =

EX_{1}^{2} < ∞, sorozata, amelyek segítségével az X_{n} sorozat tagjai előállíthatóak X_{n} =

∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k}, n = …, −1, 0, 1, … alakban. Ekkor X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, reguláris

stacionárius sorozat.

2. feladat. Legyen egy X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozat előállítható egy W_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, nulla várható értékű 1 szórásnégyzetű korrelálatlan elemekből

álló W_{n} stacionárius Gauss sorozat X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k} mozgóátlagaként. Ekkor |d_{0}|

egyenlő az X_{1} vektor távolságával a B(W_{j}, −∞ < j ≤ 0) altértől. Ezért, ha X_{n} =

∑_{k=0}^{∞} c_{k}V_{n−k}, n = …, −1, 0, 1, … alakú az X_{n} sorozat Wold felbontása, akkor |d_{0}| ≤ |c_{0}|.

3. feladat. Legyen W_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, független nulla várható értékű 1 szórású valószínűségi változók sorozata, d_{n}, n = 0, 1, …, valós számok olyan sorozata, amelyre

∑_{n=0}^{∞} d_{n}^{2} < ∞. Ekkor a ∑_{n=0}^{∞} d_{n}W_{n} sorozat 1 valószínűséggel konvergál.

Segítség. Mutassuk meg a Kolmogorov egyenlőtlenség segítségével, hogy a Z_{N}(ω) =

∑_{n=0}^{N} d_{n}W_{n}(ω), N = 0, 1, 2, …, sorozat 1 valószínűséggel Cauchy sorozat.

A fenti eredmények a Hilbert terek általános tulajdonságait használják ki. Így például a Wold felbontásban szereplő V_{k} valószínűségi változókat és a (3) formulában szereplő felbontást úgy kapjuk meg, hogy minden n számra tekintjük a H_{n−1} Hilbert tér D_{n} ortogonális kiegészítőjét a H_{n} Hilbert térre, és veszünk ebben egy 1-re normált V_{n} vektort. Némi munkával meg lehet mutatni, hogy ezeket a V_{n} vektorokat választhatjuk úgy, hogy íly módon egy az X_{n} sorozatnak alárendelt (ortonormált elemekből álló) stacionárius sorozatot kapjunk, amelynek elemei egyben a H Hilbert tér ortonormált bázisát alkossák. Az X_{n} valószínűségi változók sorfejtéseként ezen bázis alapján megkapjuk a (3) formulát.

Az így kapott eredmények azért nem kielégítőek számunkra, mert önmagukban nem elegendőek ahhoz, hogy megkapjuk a minket érdeklő predikciót. Nem nehéz belátni, hogy az X_{n} valószínűségi változó legjobb becslése az X_{j}, j ≤ 0 valószínűségi változók

segítségével a ∑_{k=n}^{∞} c_{k}V_{n−k} valószínűségi változó, de eddigi ismereteink nem elegendőek

ahhoz, hogy explicit módon megadjuk a c_{k} együtthatókat és kiszámoljuk azt, hogy a V_{n} valószínűségi változók hogy fejezhetők ki az X_{j} valószínűségi változók lineáris kombinációjaként. További probléma, hogy az eddigi eredmények nem mondják meg, hogy egy ismert kovarianciájú Gauss folyamat mikor reguláris, és ha nem reguláris, akkor hogyan lehet megtalálni a sorozat (2) formulában megadott felbontását.

Annak érdekében, hogy ezekre a kérdésekre legalább részleges válaszokat adhassunk, szükségünk van az analízis néhány klasszikus eredményére. Először ismertetem a Bochner tételt pozitív definit függvények jellemzéséről, amely lehetővé teszi annak megmutatását, hogy egy stacionárius sorozat kovariancia függvénye előállítható, mint egy úgynevezett spektrál mérték Fourier transzformáltja. Definiáljuk először a pozitív definit függvényeket.

Pozitív definit függvények és sorozatok definiciója. Azt mondjuk, hogy egy f(t) függvény a számegyenesen pozitív definit, ha minden t_{1}, …, t_{N} valós és z_{1}, …, z_{N} komplex számokból álló szám n-esre teljesül a

∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}f(t_{k} − t_{l}) ≥ 0

egyenlőtlenség, ahol z̄ a z komplex szám konjugáltját jelöli.

Hasonlóan ha a(n), n = …, −1, 0, 1, …, az egész számokkal indexezett számsorozat, akkor ezt a sorozatot akkor és csak akkor nevezzük pozitív definitnek, ha minden a_{1}, …, a_{N} egész és z_{1}, …, z_{N} komplex számokból álló szám n-esre teljesül a

∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}a(n_{k} − n_{l}) ≥ 0

egyenlőtlenség.

Feladat: Mutassuk meg, hogy az f_{t}(x) = e^{itx}, t valós szám, függvény pozitív definit függvény minden (valós) x paraméterre, a_{k}(n) = e^{ikn}, n = …, −1, 0, 1, …, pozitív definit sorozat minden egész k számra.

A Bochner tétel a pozitív definit sorozatok és függvények jellemzését adja. Számunkra a következő egyszerű lemma miatt érdekes ez az eredmény.

Lemma. Ha X(t), −∞ < t < ∞, stacionárius sztochasztikus folyamat, akkor az R(t) = EX(s)X(t + s) kovariancia függvény pozitív definit függvény, amelyre R(t) = R(−t). Ha X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozat, akkor R(n) = EX_{m}X_{n+m} pozitív definit sorozat, amelyre R(n) = R(−n).

Megfordítva, ha R(n) pozitív definit sorozat, amelyre R(n) = R(−n), akkor létezik valószínűségi változók olyan X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sztochasztikus sorozata, amelynek ez az R(n) sorozat az R(n) = EX_{k}X_{k+n} kovarianciafüggvénye. Sőt, létezik az adott kovarianciafüggvénnyel rendelkező Gauss sorozat nulla várható értékű valószínűségi változókkal. Ez utóbbi esetben a sorozat véges dimenziós eloszlásait egyértelműen meghatározza a kovarianciafüggvény.

Bizonyítás. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hoggy EX(t) = 0, Rögzítsünk valamely t_{1}, …, t_{N} valós és z_{1}, …, z_{N} komplex számokból álló szám n-es párt és

tekintsük a ∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}R(t_{k} − t_{l}) kifejezést. Vegyük észre, hogy ∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}R(t_{k} − t_{l}) =

∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}EX(t_{k})X(t_{l}) = E ( ∑_{k=1}^{N} z_{k}X(t_{k})) (\overline{∑_{k=1}^{N} z_{k}X(t_{k})}) ≥ 0. Másrészt R(−t) =

EX(s + t)X(s) = R(t).

Hasonlóan, rögzítve valamely n_{1}, …, n_{N} egész és z_{1}, …, z_{N} komplex számokból álló

szám n-es párt. Ekkor felírhatjuk, hogy ∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}R(n_{k} −n_{l}) = ∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}EX_{n_{k}}X_{n_{l}} =

E ( ∑_{k=1}^{N} z_{k}X_{n_{k}}) (\overline{∑_{k=1}^{N} z_{k}X_{n_{k}}}) ≥ 0, és R(n) = R(−n).

A lemma utolsó állításának bizonyításához azt kell meggondolnunk, hogy ahhoz, hogy az adott R(n) kovarianciafüggvényhez létezzen olyan normális sorozat, amelynek (X(k_{1}), …, X_{(}k_{p})) véges dimenziós eloszlásainak a kovarianciamátrixát az D(j, l) = Cov (X(k_{j}), X(k_{l})) = R(k_{j} − k_{l}), 1 ≤ j ≤ p, kovarianciamátrix adja meg az kell, hogy ez a kovarianciamátrix a k_{1}, …, k_{l} egész számok tetszőleges választása esetén pozitív definit legyen. Viszont ezt a feltételt az biztosítja, hogy az R(n) sorozat pozitív definit. Ezenkívül emlékezzünk arra, hogy egy normális eloszlású véletlen vektor eloszlását annak várható értéke és kovariancia mátrixa meghatározza.

Bochner tétel. Legyen f(x), −∞ < x < ∞, folytonos pozitív definit függvény. Ekkor létezik olyan véges μ(·) mérték a számegyenesen, amelyre

f(x) = ∫_{−∞}^{∞} e^{itx}μ( dt), −∞ < x < ∞.  (4)

A (4) képletben szereplő μ mértéket az f(x) függvény egyértelműen meghatározza.

Legyen a(n), n = …, −1, 0, 1, …, pozitív definit sorozat az egész számokon. Ekkor létezik olyan véges mérték a [−π, π) szakaszon, amelyre

a(n) = ∫_{−π}^{π} e^{itn}μ( dt), n = …, −1, 0, 1, …

A μ mértéket az a(n) sorozat egyértelműen meghatározza.

Következmény. Legyen X_{n}, EX_{n} = 0, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozat R(n) = EX_{k}X_{k+n} kovarianciafüggvénnyel. Akkor létezik olyan egyértelműen meghatározott G( dx) mérték a −π ≤ x ≤ π intervallumon, amelyre

R(n) = ∫_{−π}^{π} e^{int}G( dt), n = …, −1, 0, 1, …  (5)

Speciálisan

EX_{n}^{2} = R(0) = ∫_{−π}^{π} G( dt) = G([−π, π]).

A G mérték teljesíti a G(A) = G(−A) tulajdonságot is minden mérhető A halmazra.

Bizonyítás. Mivel az R(n) sorozat pozitív definit a Bochner tételből következik az (5) formula. Továbbá, mivel R(n) = R(−n), és az R(n) sorozat egyértelműen meghatározza a G( dt) mértéket, innen következik, hogy G(A) = G(−A).

1. megjegyzés. Az (5) formulában szereplő G mértéket az R(n) kovarianciafüggvény spektrálmértékének nevezik az irodalomban. Ha a G mérték abszolut folytonos a (Lebesgue mértékre nézve), akkor ennek g(x) = \frac{dG}{dx}(x) deriváltját a kovarianciafüggvény spektrálsűrűségének nevezik. Ha létezik az R(n) függvénynek g(x) spektrálsűrűsége, akkor az (5) formula felírható a következő ekvivalens módon is:

R(n) = ∫_{−π}^{π} e^{int}g(t) dt, n = …, −1, 0, 1, …  (5′)

2. megjegyzés. Egy a [−π, π] intervallumon definiált G mértéket, amelyre G([−π, π]) < ∞, G(A) = G(−A) minden mérhető függvényre spektrál mértéknek is neveznek. Az elnevezés oka az, hogy létezik olyan X_{n}, n = − …, −1, 0, 1, …, Gauss eloszlású stacionárius sorozat, amelynek ez a G mérték a spektrál mértéke. Azt is feltehetjük, hogy e sorozat elemei teljesítik az EX_{n} = 0 feltételt. Valóban, ha az EX_{k}X_{k+n} = R(n) függvény segítségével meg tudjuk adni a keresett Gauss sorozat véges dimenziós eloszlásainak kovariancia mátrixát, így magukat a véges dimenziós eloszlásokat is.

A spektrál mérték bevezetése azért hasznos, mert ilyen módon a Fourier analízis módszereit tudjuk alkalmazni. Egy stacionárius sorozat kovarianciafüggvénye előáll, mint a spektrál mérték Fourier transzformáltja. A kovarianciafüggvény vagy a spektrál mérték megadása ekvivalens. Sok vizsgálatban hasznosabb a spektrál mértékkel dolgozni.

Legyen adva egy stacionárius Gauss folyamat valamely G spektrál mértékkel. Lehetséges és érdemes konstruálni olyan úgynevezett véletlen (normális) spektrál mértéket, amelynek segítségével magát a sztochasztikus folyamatot is elő tudjuk állítani ezen véletlen spektrál mértéknek a Fourier transzformáltjaként. Ezt az eredményt, illetve a bizonyításban szükséges gondolatmenetet röviden ismertetem. Először bevezetem a következő definiciót.

Véletlen (normális) spektrálmérték definiciója. Legyen adva egy G spektrálmérték a [−π, π] intervallumon. Azt mondjuk, hogy egy véletlen Z_{G} mérték a G spektrálmértéknek megfelelő véletlen (normális) spektrál mérték, ha teljesíti a következő tulajdonságokat.

(i.) Minden mérhető A ⊂ [−π, π] halmazra létezik egy komplex értékű

Z_{G}(A) = Re Z_{G}(A) + iIm Z_{G}(A)

valószínűségi változó, amelyet az A halmaz véletlen mértékének nevezünk.

(ii.) A Re Z_{G}(A), Im Z_{G}(A), A ⊂ [−π, π] mérhető halmaz, valószínűségi változók együttesen Gauss eloszlásúak, azaz bármely véges sok valószínűségi változónak ezek közül az együttes eloszlása többdimenziós normális eloszlás.

(iii.) EZ_{G}(A) = 0 minden A ⊂ [−π, π] mérhető halmazra. (iv.) EZ_{G}(A)\overline{Z_{G}(B)} = G(A ∩ B), ahol z̄ a z szám konjugáltját jelöli.

(v.) ∑_{j=1}^{n} Z_{G}(A) = Z_{G} ( ⋃_{j=1}^{n} A_{j}), ha A_{1}, …, A_{n} diszjunkt halmazok.

(vi.) Z_{G}(−A) = \overline{Z_{G}(A)}.

Észrevétel. A Re Z_{G}(A) és Im Z_{G}(B) valószínűségi változók függetlenek. Valóban, ehhez elég megmutatni a normális eloszlás miatt, hogy korrelálatlanok. Viszont

ERe Z_{G}(A)Im Z_{G}(B) = \frac{1}{4}E [(Z_{G}(A) + \overline{Z_{G}(A)})(Z_{G}(B) − \overline{Z_{G}(B)})]

= \frac{1}{4}E [(Z_{G}(A) + Z_{G}(−A))(\overline{Z_{G}(−B)} − \overline{Z_{G}(B)})]

= \frac{1}{4} (G(A ∩ (−B)) − G(A ∩ B) + G((−A) ∩ (−B)) − G((−A) ∩ B)) = 0.

Feladat: Ha (A_{1}) ∪ (−A_{1}), …, A_{n} ∪ (−A_{n}) diszjunktak, akkor Z_{G}(A_{1}), … Z_{G}(A_{n}) függetlenek. Ha A ∩ (−A) = ∅, akkor Var (Re Z_{G}(A)) = Var (Im Z_{G}(A)) = \frac{G(A)}{2}. Továbbá, Re Z_{G}(A) = Re Z_{G}(−A), Im Z_{G}(A) = −Im Z_{G}(−A). Segítség: Az első állítás bizonyításához azt kell megmutatni, hogy

ERe Z_{G}(A_{j})Re Z_{G}(A_{k}) = 0, és EIm Z_{G}(A_{j})Im Z_{G}(A_{k})) = 0,

ha (A_{j} ∪ (−A_{j})) ∩ (A_{k} ∪ (−A_{k})) = ∅. Viszont

ERe Z_{G}(A_{j})Re Z_{G}(A_{k}) = \frac{1}{4}E(Z_{G}(A_{j}) + \overline{Z_{G}(A_{j})})(Z_{G}(A_{k}) + \overline{Z_{G}(A_{k})})

= \frac{1}{4}(EZ_{G}(A_{j})\overline{Z_{G}(−A_{k})} + EZ_{G}(A_{j})\overline{Z_{G}(A_{k})}

+ EZ_{G}(−A_{j})\overline{Z_{G}(−A_{k})} + EZ_{G}(−A_{j})\overline{Z_{G}(A_{k})}) = 0

az adott feltételek mellett, és az EIm Z_{G}(A_{j})Im Z_{G}(A_{k})) = 0 reláció hasonlóan bizonyítható.

Ha A ∩ (−A) = ∅, akkor E(Re (Z_{G}(A))^{2} = \frac{1}{4}E(Z_{G}(A) + \overline{Z_{G}(−A)})^{2} = \frac{G(A)}{2}. Hasonlóan E(Re (Z_{G}(−A))^{2} = \frac{G(A)}{2}. Mivel Z_{G}(−A) = \overline{Z_{G}(A)} az (vi) reláció szerint, innen következik a Feladat még nem tárgyalt állítása.

A fent megadott definició bár technikainak látszik természetes. Ha egy Z_{G} véletlen mérték teljesíti a fenti tulajdonságokat, akkor definiálhatjuk az ∫ f(t)Z_{G}( dt) mértéket a következő módon. Először definiáljuk ezt az integrált természetes módon f(t) = ∑_{j=1}^{n} c_{j}I_{A_{j}}(t) alakú elemi függvényekre, ahol A_{1}, …, A_{n} mérhető diszjunkt részhalmazai

a [−π, π] intervallumnak, és I_{A}(·) az A halmaz indikátorfüggvénye. A definiciót az

∫ (∑_{j=1}^{n} c_{j}I_{A_{j}}(t)) Z_{G}( dt) = ∑_{j=1}^{n} c_{j}Z_{G}(A_{j})

képlettel adjuk meg. Nem nehéz belátni, hogy teljesül az

E (∫ f(t)Z_{G}( dt)\overline{∫ h(t)Z_{G}( dt)}) = ∫ f(t)\overline{h(t)}G( dt)  (6)

elemi függvények minden (f(t), h(t)) párjára. Valóban, legyen f(t) = ∑_{j=1}^{M} c_{j}I_{A_{j}}(t),

h(t) = ∑_{k=1}^{N} d_{k}I_{B_{k}}(t), ahol A_{1}, …, A_{M} és B_{1}, …, B_{N} a [−π, π) intervallum particiói,

c_{j}, j = 1, …, M, d_{k}, k = 1, …, N, komplex számok. Ekkor

E (∫ f(t)Z_{G}( dt)\overline{∫ h(t)Z_{G}( dt)}) = E (∑_{j=1}^{M} c_{j}Z_{G}(A_{j})) (\overline{∑_{k=1}^{N} d_{k}Z_{G}(B_{k})})

= ∑_{j=1}^{M} ∑_{k=1}^{N} c_{j}d̄_{k}EZ_{G}(A_{j})\overline{Z_{G}(B_{k})} = ∑_{j=1}^{M} ∑_{k=1}^{N} c_{j}d̄_{k}G(A_{j} ∩ B_{k}) = ∫ f(t)\overline{h(t)}G( dt).

A lépcsős függvényekre fent igazolt (6) tulajdonság lehetővé teszi, hogy az ∫ f(t)Z_{G}( dt) integrált az L_{2} izomorfia segítségével kiterjesszük minden olyan f függvényre, amelyre ∫ |f(t)|^{2}G( dt) < ∞ úgy, hogy a (6) reláció továbbra is érvényben maradjon. Ez a kiterjesztés egyértelmű. Vegyük észre, hogy igaz a következő

Észrevétel. Ha f(t) olyan f ∈ L_{2}([−π, π), B, G) függvény, amelyre f(−t) = \overline{f(t)}, akkor az ∫ f(t)Z_{G}( dt) véletlen integrál 1 valószínűséggel valós értékű valószínűségi változó.

Valóban, a fenti észrevétel igaz lépcsős függvényekre, és alkalmas határátmenettel megkapjuk az állítást tetszőleges adott tulajdonságú f függvényre.

Érdemes megjegyezni, hogy az f(−t) = \overline{f}(t) azonosság jellemzi a valós értékű függvények, illetve valós értékű előjeles mértékek Fourier transzformáltját. Definiáljuk az

X_{n} = ∫ e^{int}Z_{G}( dt), n = …, −1, 0, 1, …  (7)

integrálokat. Az X_{n} valószínűségi változók valós értékűek, és a (6) reláció alapján EX_{k}X_{k+n} = EX_{n+k}\overline{X_{k}} = ∫ e^{int}G( dt). Ez azt jelenti, hogy az e^{int} függvényeknek n = …, −1, 0, 1, …, a Z_{G} véletlen spektrál mérték szerinti integráljának a segítségével elő tudtunk állítani egy olyan stacionárius Gauss sorozatot, amelynek spektrálmértéke a G mérték. Némi plusz munkával be lehet látni, hogy egy adott G spektrálmértékű stacionárius Gauss sorozathoz lehet konstruálni olyan véletlen spektrál mértéket, amely magát az eredeti sorozatot állítja elő. Ezt fogalmazom meg az alábbi eredményben.

Tétel. Legyen X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, normális eloszlású stacionárius Gauss sorozat nulla várható értékű valószínűségi változókkal valamely G spektrál mértékkel. Ekkor lehet konstruálni a G spektrál mértéknek megfelelő normális véletlen Z_{G} spektrál mértéket úgy, hogy az e véletlen mérték szerinti integrál teljesíti a (7) képletet, azaz a (7) képlet jobb oldala egyenlő a kiindulásként megadott X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, sorozat megfelelő tagjával.

Bizonyítás. Tekintsük a H teret, azaz az X_{n}, n = 0, ±1, ±2, …, valószínűségi változók négyzetesen integrálható lineáris kombinációiból álló Hilbert teret, és definiáljuk a H tér J leképezését az L_{2}([−π, π), B, G( dt)) térre, (ahol B jelöli a Borel σ-algebrát a

[−π, π) intervallum részhalmazain) a következő módon: Legyen J ( ∑_{j=−N}^{N} c_{j}e^{ijt}) =

∑_{j=−N}^{N} c_{j}X_{j} minden véges lineáris kombinációra. Nem nehéz belátni, hogy J normatartó

leképezés. Ezért a fenti J leképezést ki tudjuk terjeszteni a véges lineáris kombinációkról azok lezártjára is. Ez a J leképezés az L_{2}([−π, π), B, G( dt)) és a H tér között L_{2}

izomorfiát létesít. (Azt kell tudnunk, hogy a véges ∑_{j=−N}^{N} c_{j}e^{ijt} lineáris kombinációk az

L_{2}([−π, π), B, G( dt)) tér mindenütt sűrű részhalmazát alkotják.)

Definiáljuk a Z_{G}(A) valószínűségi változót a Z_{G}(A) = J(I_{A}(t)) képlet segítségével, ahol I_{A}(t) az A halmaz indikátor függvényét jelöli. A Z_{G}(·) valószínűségi változók teljesítik az (i.)–(vi.) tulajdonságokat. Az (i), (ii), (iii) és (v) tulajdonságok teljesülése nyílvánvaló, a (iv) reláció következik az L_{2} izomorfiából, a (vi) tulajdonság pedig a J(−f) = \overline{J(f)} relációból. Továbbá a J transzformáció L_{2} izomorfiája és a (6) reláció alapján J(f) = ∫ f(t)Z_{G}( dt) minden f ∈ L_{2}([−π, π), B, G) függvényre. Tehát speciálisan X_{n} = J(e^{int}) = ∫ e^{int}Z_{G}( dt).

A stacionárius sorozatok spektrálreprezentációja lehetővé teszi, hogy a komplex függvénytan néhány mély eredményeinek a segítségével megoldjuk a predikciós problémát. Vegyük észre, hogy e feladat megoldásához elegendő a Wold felbontást effektív leírása, azaz elég explicit módon megadni a (3) képletben szereplő c_{k} konstansokat és V_{k} valószínűségi változókat. (Lásd az alábbi feldatatot.)

Feladat: Legyen megadva egy X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, (reguláris) stacionárius Gauss

sorozat X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}V_{n−k} Wold féle felbontása. Ekkor egy X_{m}, m ≥ 1 valószínűségi

változó optimális becslése az X_{n}, n ≤ 0, valószínűségi változók segítségével, azaz X_{m}

ortogonális vetülete a B(X_{n}, n ≥ 0) altérre egyenlő az X̂_{m} = ∑_{k=m}^{∞} c_{k}V_{m−k} valószínűségi

változóval, a becslés szórásnégyzete pedig ∑_{k=0}^{m−1} c_{k}^{2}.

Segítség: Vegyük észre, hogy a Wold felbontás tulajdonságai alapján B(X_{n}, n ≤ 0) = B(V_{n}, n ≤ 0).

Tekintsünk egy X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, (reguláris) stacionárius Gauss sorozatot és

annak egy X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k} alakú előállítását mozgó átlag formában. Célunk az ilyen

mozgó átlagok explicit megadása. E mozgó átlag előállítások közül minket különösen a Wold felbontás érdekel. E feladat vizsgálatában érdemes bevezetni az L_{2} ([−π, π), B, \frac{λ}{2π} ) L_{2}-teret, ahol B a Borel σ-algebra és λ a Lebesgue mérték a [−π, π) intervallumon. Definiáljuk e térnek egy természetes, az X_{n} stacionárius sorozat mozgó átlag felbontását jellemző izomorfiáját a B(X_{n}, −∞ < n < ∞) Hilbert térbe. Ennek érdekében vezessük be az e_{k}(t) = e^{ikt}, −π ≤ t < π, k = 0, ±1, ±2, … függvényeket az L_{2} ([−π, π), B, \frac{λ}{2π} ) téren, és e tér I(e_{k}(t)) = W_{k},

J ( ∑_{k=−∞}^{∞} u_{k}e_{k}(t)) = ∑_{k=−∞}^{∞} u_{k}W_{k}, ∑_{k=−∞}^{∞} |u_{k}|^{2} < ∞,

leképezését a B(W_{n}, −∞ < n < ∞) Hilbert-térbe. Nem nehéz belátni, hogy ez a J transzformáció az L_{2} ([−π, π), B, \frac{λ}{2π} ) L_{2} tér és a B(W_{n}, −∞ < n < ∞) ⊃ B(X_{n}, −∞ < n < ∞) Hilbert tér egy izomorfiája. (Vegyük észre, hogy az L_{2} ([−π, π), B, \frac{λ}{2π} ) L_{2} tér

elemei a ∑_{k=−∞}^{∞} u_{k}e^{ikt}, ∑_{k=−∞}^{∞} |u_{k}|^{2} < ∞, alakú függvények, mert az e_{k}(t) = e^{ikt}, k =

0, ±1, ±2, …, függvények teljes ortonormált rendszert alkotnak az L_{2} ([−π, π), B, \frac{λ}{2π} ) L_{2} térben. Másrészt a W_{k}, k = 0, ±1, ±2, …, valószínűségi változók ortonormált bázist alkotnak a B(W_{n}, −∞ < n < ∞) térben. Ezért e tér elemei felírhatóak egyértelmű

módon ∑_{k=−∞}^{∞} u_{k}W_{k}, ∑_{k=−∞}^{∞} |u_{k}|^{2} < ∞ alakban.)

Célunk először az, hogy az X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k} = J ( ∑_{k=0}^{∞} d_{k}e_{n−k}(t)) jellemzésben

megadjuk a d_{k} konstansokat. Ha ezt megadjuk, akkor képesek leszünk véletlen integrálok segítségével magát a mozgó átlagot is előállítani. Ez speciálisan lehetővé teszi a Wold felbontás megadását.

Tekintsük egy X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, (reguláris) stacionárius sorozat egy X_{n} =

∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k} mozgó átlag előállítását, és definiáljuk az ezen mozgóátlag reprezentáció

segítségével meghatározott

h(t) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}e^{itk}, ∑_{k=0}^{∞} |d_{k}|^{2} < ∞, −π ≤ t ≤ π  (a1)

függvényt. Mivel a d_{k} együtthatók valósak ezért teljesül a

h(−t) = \overline{h(t)} minden −π ≤ t ≤ π számra  (a2)

azonosság. Továbbá vegyük észre, hogy a mozgó átlag tulajdonság és a Parseval azonosság alapján, bevezetve a d_{k} = 0, ha k < 0 jelölést az (a1) formulában szereplő együtthatók kiterjesztéseként, az alábbi azonosságot kapjuk:

\begin{aligned}EX_{j}X_{n+j} & = E (∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n+j−k}) (\overline{∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{j−k}}) = ∑_{k=−∞}^{∞} d_{n+j−k}d̄_{j−k} \\ & = ∑_{k=0}^{∞} d_{n+k}d̄_{k} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{int}h(t)h̄(t) dt = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{int}|h(t)|^{2} dt \end{aligned} (8)

minden n ≥ 0 egész számra. Az (a2) tulajdonság alapján |h^{2}(t)| = |h^{2}(−t)|. Ez a tény a (8) formula valamint egy stacionárius sorozat spektrálmértékének egyértelműségéből következik, hogy a mozgó átlag formában előállított stacionárius sorozatnak létezik spektrál sűrűség függvénye, és az megadható g(t) = \frac{|h^{2}(t)|}{2π}, −π ≤ t ≤ π, alakban. Tehát azt kaptuk, hogy az X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozatnak létezik g(t) = \frac{dG(t)}{dt} spektrál sűrűségfüggvénye, és

\frac{|h^{2}(t)|}{2π} = g(t), ahol g(t) az X_{n}, n = 0 ± 1, …, sorozat spektrál sűrűség függvénye.

(a3)

Az alábbi lemmában összefoglaljuk a fenti érvelés segítségével kapott eredményeket.

2A. Lemma Létezzen egy X_{n} stacionárius sorozatnak egy X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k}, n =

…, −1, 0, 1, …, alakú mozgó átlag reprezentációja, ahol W_{n}, n = 0, 1, 2, …, független standard normális eloszlású valószínűségi változók sorozata, és a d_{n}, n = 0, 1, 2 … együtthatók valós számok. Ekkor az X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozatnak létezik g(t), −π ≤ t ≤ t, spektrálsűrűség függvénye, és létezik egy az (a1), (a2) és (a3) tulajdonságot teljesítő h(t) függvény.

A 2A. Lemma szükséges feltételt adott arra, hogy egy stacionárius sorozat előállítható legyen mozgó átlag formában valamely d_{n}, n = 0, 1, 2, …, együtthatók segítségével. Be fogunk látni egy 2B. Lemmát, amely azt állítja, hogy a fent megfogalmazott feltételek egyben elégségesek is ahhoz, hogy egy stacionárius sorozatot előállíthassunk adott tulajdonságú mozgó átlag formájában, sőt véletlen spektrál mértékek szerinti integrálok segítségével meg is ad egy ilyen reprezentációt.

Hangsúlyozni szeretném, hogy a h(t) függvény (a1) előállításában speciális alakú Fourier sor szerepel, olyan amelyik csak k ≥ 0 paraméterű e^{ikt} alakú trigonometrikus függvényeket tartalmaz. Ez az a tulajdonság, amely miatt az (a1), (a2) és (a3) tulajdonságokat teljesítő h(t) függvények megkeresésében a komplex függvénytan módszerei nagyon hasznosnak bizonyultak. Emlékeztetni szeretnék továbbá arra, hogy mint azt a Wold felbontás létezését kimondó tétel után megfogalmazott 2. feladatban megfogalmaztam, a Wold felbontásnak megvan az az extremum tulajdonsága egy stacionárius sorozat mozgó átlag előállításai között, hogy ennek a legnagyobb a konstans együtthatója. Mint látni fogjuk, ez a tény segít a Wold felbontás megtalálásában.

A 2B. Lemma tárgyalása előtt szükségünk van egy technikai jellegű eredményre, amely tekinthető úgy, mint véletlen spektrál mértékek szerinti integrálok helyettesítési szabálya.

Lemma véletlen spektrál mérték szerinti integrálok helyettesítési szabályáról. Legyen adva egy G spektrál mérték, egy a G spektrálmértéknek megfelelő Z_{G} véletlen mérték a [−π, π) intervallumon, valamint egy olyan u(t) függvény, amelyre u(−t) = \overline{u(t)}, és ∫ |u^{2}(t)|G( dt) < ∞. Ekkor a Z_{G,u}, Z_{G,u}(A) = ∫ u(t)I_{A}(t)Z_{G}( dt), A ∈ B, ahol B a Borel σ-algebra a [−π, π) intervallumon, és I_{A}(·) az A halmaz indikátor függvénye a Ḡ(A) = ∫_{A} |u^{2}(t)|G( dt) spektrál mértéknek megfelelő véletlen spektrál mérték a [−π, π) intervallumon. Továbbá ∫ f(t)Z_{G,u}( dt) = ∫ f(t)u(t)Z_{G}( dt) minden a Ḡ spektrál mérték szerint négyzetesen integrálható f függvényre.

Bizonyítás. Nem nehéz belátni a (6) tulajdonság segítségével, hogy a Lemmában definiált Z_{G,u} véletlen mérték az (i)–(vi) tulajdonságok mindegyikét teljesítő a Ḡ, Ḡ(A) = ∫_{A} |u^{2}(t)|G( dt) spektrál mértéknek megfelelő véletlen spektrál mérték.

Tekintsük az J_{1}(f) = ∫ f(t)Z_{G,u}( dt) és J_{2}(f) = ∫ f(t)u(t)Z_{G}( dt) véletlen integrálokat minden olyan f függvényre, amelyre ∫ |f^{2}(t)|Ḡ( dt) < ∞. (Ilyen függvényekre ∫ |f(t)u(t)|^{2}G( dt) = ∫ |f^{2}(t)|Ḡ( dt) < ∞, ezért mind a két tekintett integrál létezik.) Vegyük észre, hogy minden A ∈ B halmazra J_{1}(I_{A}(t)) = J_{2}(I_{A}(t)), továbbá tetszőleges f_{1} és f_{2} a Ḡ mérték szerint négyzetesen integrálható függvénypárra EJ_{1}(f_{1})\overline{J_{1}(f_{2})} = EJ_{2}(f_{1})\overline{J_{2}(f_{2})} = ∫ f_{1}(t)\overline{f_{2}(t)}Ḡ( dt). Mivel mind J_{1} mind J_{2} korlátos lineáris leképezése a Ḡ mérték szerint négyzetesen integrálható függvényeknek a második momentummal rendelkező valószínűségi változók terébe, és az I_{A}(t) alakú függvények lineáris kombinációi e leképezések értelmezési tartományának mindenütt sűrű részhalmazát alkotják, innen következik a Lemma állítása.

Az alábbi 2B. Lemmában megfogalmazom azt az állítást, amely szerint egy stacionárius sorozat mozgó átlag előállításának a 2A. Lemmábban megfogalmazott szükséges feltétele egyben elégséges is.

Lemma 2B. Legyen X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius Gauss sorozat 0 várható értékű valószínűségi változókkal, amelynek van g(t), −π ≤ t ≤ π, spektrál sűrűség függvénye, és létezik az (a1), (a2) és (a3) tulajdonságokat teljesítő h(t) függvény és d_{k}, k = 0, 1, 2, …, számsorozat. Tekintsük az X_{n} stacionárius sorozat X_{n} = ∫ e^{int}Z_{G}( dt), n = …, −1, 0, 1, …, alakú előállítását alkalmas az X_{n} sorozat G spektrálmértékének megfelelő Z_{G} véletlen spektrálmérték szerinti integrál segítségével. (Tudjuk, hogy ilyen előállítás lehetséges.) Vegyük az u(t) = \frac{1}{\overline{h(t)}} függvényt, és a véletlen spektrál mérték szerinti integrálok helyettesítési szabályáról szóló lemmában definiált Z_{G,u} véletlen spektrál mértéket, ahol h(t) az (a1), (a2) és (a3) tulajdonságot teljesítő függvény. Ekkor az

W_{n} = ∫ e^{int}Z_{G,u}( dt) = ∫ \frac{e^{int}}{\overline{h(t)}}Z_{G}( dt), n = …, −1, 0, 1, …, u(t) = \frac{1}{\overline{h(t)}} (9)

valószínűségi változók függetlenek és standard normális eloszlásúak. Ezenkívül az X_{n} sorozat előállítható

X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k}, n = …, −1, 0, 1, …  (10)

alakban, ahol d_{k}, k = 0, 1, 2, …, az (a1) formulában szereplő (valós) számok sorozata.

Bizonyítás: Fel fogom használni egy később idézett fontos komplex függvénytani eredménynek azt a következményét, amely szerint egy az (a1) tulajdonságot teljesítő h(t) függvény a [−π, π] intervallumon majdnem mindenütt különbözik nullától. Ezért az u(t) = \frac{1}{\overline{h(t)}} függvény létezik, Ḡ(A) = ∫_{A} \frac{1}{|h^{2}(t)|}G( dt) = \frac{1}{2π} λ(A) az (a3) tulajdonság

alapján, és ezért Ḡ = \frac{1}{2π} λ, ahol λ a Lebesgue mértéket jelöli a [−π, π] intervallumon. Innen, és a (7) képletből következik, hogy a (9) formulában definiált (együttesen) normális eloszlású W_{n} valószínűségi változók nulla várható értékűek, 1 szórásúak, és korrelálatlanok. Ezért a (9) képletben valóban egy független standard normális eloszlású valószínűségi változókból álló sorozatot definiáltunk.

Az (a2) tulajdonságból következik, hogy a d_{k} számok valósak. A (9) képletből, illetve a véletlen spektrál mérték szerinti integrálok helyettesítési szabályáról szóló lemmából következik, hogy

∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k} = ∑_{k=0}^{∞} d_{k} ∫ \frac{e^{i(n−k)t}}{\overline{h(t)}} Z_{G}( dt) = ∫ \frac{e^{int}}{\overline{h(t)}} (∑_{k=0}^{∞} d_{k}e^{−ikt}) Z_{G}( dt).

(Az utolsó formulában alkalmazott végtelen összegzés is jogos, ha az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn tekintett L_{2} normában vett konvergenciát tekintjük.) Az utolsó azonosságból, valamint az (a1) és (a2) képletből kapjuk, hogy

∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k} = ∫ e^{int} \frac{h(−t)}{\overline{h(t)}}Z_{G}( dt) = ∫ e^{int}Z_{G}( dt) = X_{n}.

Innen következik a (10) formula. A Lemma bizonyítását befejeztük.

1. megjegyzés. A (10) formulából látszik, hogy a Lemmában megkonstruált mozgóátlagban szereplő W_{n} valószínűségi változók teljesítik a W_{n} ∈ B(X_{j}, −∞ < j < ∞), n = 0, ±1, ±2, …, tulajdonságot. A Wold felbontást az tünteti ki a többi mozgó átlag reprezentáció közül, hogy a benne szereplő V_{n} valószínűségi változók még az erősebb V_{n} ∈ B(X_{j}, −∞ < j ≤ n) tulajdonságot is teljesítik.

2. megjegyzés. Az X_{n} sorozat 2B. lemmában megadott mozgóátlag előállításban szereplő W_{n} valószínűségi változók definiciója nem annyira ad hoc jellegű, mint ahogy az első pillanatban gondolnánk. Valóban, írjuk fel a mozgó átlag alakban előállítani kivánt stacionárius sorozat elemeit X_{n} = ∫ e^{int}Z_{G}( dt) n = …, −1, 0, 1, … véletlen spektrál mérték szerinti integrál alakban, és keressük a W_{n} független standard normális valószínűségi változókat W_{n} = ∫ e^{int}Z̄_{0}( dt) alakban, ahol Z_{0} alkalmas a [−π, π] intervallumon tekintett \frac{1}{2π} λ spektrálmértékhez tartozó véletlen spektrál mérték. Ekkor az X_{n} =

∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k} azonosság felírható ∫ e^{int}Z_{G}( dt) = ∫ e^{int}h(−t)Z̄_{0}( dt), h(t) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}e^{ikt}

alakban is. Ennek az azonosságnak minden n = 0, ±1, ±2, … indexre teljesülnie kell. Be lehet látni, hogy ezt csak Z_{G}( dt) = h(−t)Z̄_{0}( dt) = \overline{h(t)}Z̄_{0}( dt) választással érhető el. Ezt a választást alkalmaztuk a (10) formulában.

Az ismertetett eredmények alapján a predikciós feladat legfontosabbb része az (a1), (a2) és (a3) feltételeket teljesítő h(t), −π ≤ t ≤ π függvények megtalálása, illetve ezek közül azoké a függvényeké, amelyekre a konstans tag |d_{0}| abszolut értéke a maximumot veszi fel. Ez utóbbi feladat megoldása a Wold felbontás megtalálása érdekében szükséges. Tudjuk az eddigiek alapján is, hogy ez a maximum felvétetik, de nem tudjuk, hogy ez az előírás egyértelműen meghatározza-e a h(t) függvényt.

A feladat megoldása érdekében egy az (a1), (a2), (a3) feltételt teljesítő h(t) =

∑_{k=0}^{∞} d_{k}e^{ikt} függvényhez társítsuk a H(z) = ∑_{k=0}^{∞} d^{k}z^{k} a {z: |z| < 1} egységkörön anali-

tikus függvényt, és vezessük be a h(t) függvény h̃(λ) “feltekerését” a {z = e^{iλ}, −π ≤ λ < π} körvonalra a h̃(e^{iλ}) = h(λ) képlettel. Hasonlóan definiáljuk egy stacionárius sorozat g(t) spektrálsűrűségének (feltéve, hogy létezik ez a spektrálsűrűség) a g̃(e^{iλ}) = g(λ), −π ≤ λ < π, “feltekerését” az egységkörre. A komplex függvénytan bizonyos eredményeiből következik, hogy a H(z), |z| < 1, függvény lim_{r→1} H(re^{iλt}) radiális limesze

majdnem minden −π ≤ λ < π számra létezik, és egyenlő a h̃(e^{iλ}) függvénnyel. Ez azt jelenti, hogy elég a h(t) függvények helyett a H(z) függvényeket megtalálni. Ez utóbbi feladatot a komplex függvénytan módszereivel egyszerűbb megoldani.

Szeretném hangsúlyozni, hogy a H(z) függvény radiális limeszének létezéséről előbb megfogalmazott állítás nem nyílvánvaló, hanem külön indoklásra szorul. Az eredeti feltételek csak azt biztosítják, hogy a H(z) függvény az egységkör belsejében analitikus. Az, hogy egy az egységkör belsejében analitikus függvény hogyan viselkedik az egységkör határán a komplex függvénytan nehéz kérdéseihez tartozik. Jelen esetben az az észrevétel könnyítheti meg a probléma vizsgálatát, hogy az adott tulajdonsággal rendelkező analitikus függvények a H_{2} Hardy osztályba tartoznak, amelyről sokat lehet tudni. Bár számunkra csak a H_{2} osztály jellemzése lesz érdekes, megadom a H_{p} osztályok definicióját tetszőleges 0 < p ≤ ∞ paraméterre.

Hardy osztályok definiciója. A H_{p} függvényosztály, 0 < p ≤ ∞, azokból a {z: |z| < 1} egységkörön analitikus g(z) függvényekből áll, amelyekre

sup_{r<1} ∥h(re^{iλ})∥_{p}^{p} = sup_{r<1} ∫ |h(re^{iλ})|^{p} dλ < ∞, ha 0 < p < ∞,

és

sup_{r<1} ∥h(re^{iλ})∥_{∞} = sup_{r<1, −π≤λ<π} |h(re^{iλ})| < ∞, ha p = ∞.

Nem nehéz belátni, hogy a ∑_{k=0}^{∞} |d_{k}|^{2} < ∞ feltétel miatt H(z) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}z^{k} eleme

a H_{2} osztálynak. Számunkra a következő komplex függvénytani tétel lesz különösen hasznos. Ennek bizonyítását egy kiegészítésben ismertetem, ahol néhány további komplex függvénytani kiegészítést is teszek.

Tétel Hardy féle H_{2} osztályok jellemzéséről. Egy H(z) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}z^{k} hatványsorral

megadott analitikus függvény akkor és csak akkor van a H_{2} Hardy osztályban, ha teljesül

a ∑_{k=0}^{∞} |d_{k}|^{2} < ∞ feltétel. Tekintsünk egy H(z) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}z^{k}, ∑_{k=0}^{∞} |d_{k}|^{2} < ∞, a H_{2} osztályba

tartozó függvényt, valamint a h(λ) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}e^{ikλ}, −π ≤ λ ≤ π, függvényt. Ekkor

(i) lim_{r→1} H(re^{iλt}) = h(λ) majdnem minden −π ≤ λ ≤ π számra. Továbbá a H_{r}(λ) =

H(re^{iλt}) függvények a (Lebesge mérték szerinti) L_{2} normában is konvergálnak a h(λ) függvényhez. (Az (i) pont állítását úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a H(z) függvény radiális limesze létezik, és egyenlő a h(λ) függvénnyel mind a majdnem mindenütt mind az L_{2} norma szerint.

(ii) Ha a H(z) függvény nem azonosan nulla, akkor ∫_{−π}^{π} | log |h(λ)| | dλ < ∞. Speciálisan, ebben az esetben a h(λ) függvény csak nulla mértékű halmazon lehet nulla.

Az a probléma érdekel minket, hogy egy stacionárius Gauss sorozat lehetséges X_{n} =

∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k} mozgó átlag előállításában milyen d_{k}, k = 0, 1, …, együtthatósorozatok

szerepelnek. Külön érdekel minket az a kérdés, hogy milyen együtthatók szerepelnek a Wold felbontásban. A vizsgálandó probléma része az is, hogy milyen spektrálsűrűséggel rendelkező stacionárius folyamatoknak létezik a sorozat mozgóátlag előállítása. Ez a kérdés úgy is megfogalmazható, hogy milyen spektrálsűrűséggel rendelkező stacionárius folyamatok regulárisak. (Tudjuk, hogy egy reguláris stacionárius sorozatnak van spektrálsűrűség függvénye.) Láttuk, hogy a felvetett probléma ekvivalens azzal a kérdéssel, hogy egy adott g(t) spektrálsűrűsség függvény esetén, melyek az (a1), (a2) és (a3) tulajdonságokkal rendelkező d_{k}, k = 0, 1, …, sorozatok. Az előbb megfogalmazott a Hardy féle H_{2} osztályok jellemzéséről szóló tétel segítségével át tudjuk fogalmazni ezt a kérdést egy komplex függvénytani problémává. Az alábbi ‘FELADAT A’-ban ezt az átfogalmazást adom meg. Ezután a ‘FELADAT A’megoldásával, illetve az ehhez szükséges komplex függvénytani ismeretekkel fogok foglalkozni.

FELADAT A. Legyen adva egy g(t) spektrálsűrűség függvény. Jellemezzük azokat a komplex számsík egységkörén értelmezett, a H_{2} Hardy osztályba tartozó valós együtthatós

H(z) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}z_{k} hatványsorokat, amelyeknek h(λ) = lim_{R→0} H(Re^{iλ}) radiális limesze tel-

jesíti az |h^{2}(λ)| = g(λ), −π ≤ λ ≤ π, azonosságot majdnem minden −π ≤ λ ≤ π számra. Keressük meg az ilyen tulajdonságú függvények közül azokat, amelyekre az origóban felvett érték abszolut értéke maximális. Mely g(λ) spektrálsűrűség esetén lesz a fenti tulajdonságokkal rendelkező függvények osztálya nem üres?

Elsősorban az origóban maximális abszolut értéket felvevő függvények előállítása érdekel minket, mert ez felel meg a Wold felbontás megtalálásának. Az a tény, hogy a Wold felbontás létezik, implikálja azt is, hogy a ‘FELADAT A’-ban megfogalmazott maximum felvétetik. Az origóban maximális abszolut értéket felvevő az adott osztályban levő függvény megtalálásában hasznos lesz számunkra a következő lemma.

Lemma. Legyen H(z) olyan analitikus függvény az egységkörben, amelyiknek van nullhelye valahol az egységkör belsejében. Ekkor létezik olyan H̄(z) analitikus függvény az egységkörben, amely abszolut értékének a radiális limesze megegyezik a H(z) függvény abszolut értékének a radiális limeszével minden olyan pontban, ahol az utóbbi létezik, és teljesíti a |H̄(0)| > |H(0)| szigorú egyenlőtlenséget. Ha a H(z) függvény Taylor sorának minden együtthatója valós szám, akkor a H̄(z) függvény megválasztható úgy, hogy az szintén teljesítse ezt a tulajdonságot.

Bizonyítás. Ha H(z_{0}) = 0 valamely |z_{0}| < 1 pontban, akkor definiáljuk az A(z) = \frac{z−z_{0}}{1−zz̄_{0}} függvényt. Ez olyan az egységkört önmagába képző racionális törtfüggvény, amelyik az egységkört önmagába viszi, ezért abszolut értéke a körvonal határán 1, a körvonal belsejében pedig szigorúan kisebb, mint 1. Ezért a H̄(z) = \frac{H(z)}{A(z)} olyan analitikus függvény, amely abszolut értékének a radiális limesze megegyezik a H(z) függvény radiális limeszével az egységkör határának minden olyan pontjában, ahol ez a radiális limesz létezik. Mivel |A(0)| < 1, ezért |H̄(0)| > |H(0)|. Az, hogy a H(z) függvény Taylor sorának együtthatói valós számok ekvivalens azzal, hogy \overline{H(z)} = H(z̄). Ebben az esetben a H(z_{0}) = 0 azonosságból következik, hogy H(z̄_{0}) = 0. Ha Im z_{0} ≠ 0, akkor vezessük be az előbb definiált A(z) függvény mellett az Ā(z) = \frac{z−z̄_{0}}{1−zz_{0}} függvényt is, és legyen H̄(z) = \frac{H(z)}{A(z)Ā(z)}, ha H(z) valós együtthatós Taylor sor. Ez a függvény teljesíti a Lemmában előírt feltételeket.

Feltehetjük, hogy az X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}V_{n−k}, n = …, −1, 0, 1, …, Wold felbontásnak

megfelelő H_{0}(z) = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}z^{k} a ‘FELADAT A’-ban keresett függvény olyan, hogy c_{0} > 0,

azaz az origóban maximális abszolut értéket felvevő függvény az origóban pozitív értéket

vesz fel. Valóban, ha a X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}V_{k} Wold felbontásban c_{0} < 0 lenne akkor a Wold

felbontást felírhatjuk X_{n} = ∑_{k=0}^{∞}(−c_{k})(−V_{k}) alakban is −c_{0} > 0 együtthatóval. A c_{0} = 0

eset nem lehetséges, hiszen mint az előző lemmában láttuk a H_{0}(z) függvény sehol sem tűnik el az egységkörben. Továbbá azt is tudjuk a Hardy féle H_{2} osztályok jellemzéséről szóló tétel (ii) pontja alapján, hogy a ‘FELADAT A’-ban fel kell tenni, hogy az abban tekintett g(ϑ) spektrálsűrűségnek teljesíti az ∫_{−π}^{π} | log g(ϑ)| dϑ < ∞ relációt. Ellenkező esetben nincsen a ‘FELADAT A’-ban előírt tulajdonságokat teljesítő függvény.

Felírom, felhasználva a komplex függvénytan néhány klasszikus eredményét felhasználva egy olyan H_{0}(z) függvény képletét, amely természetes jelölt arra a függvényre, amely teljesíti a ‘FELADAT A’ feltételeit, és a ‘FELADAT A’ feltételeit teljesítő függvények origóban felvett értékeinek a maximuma egyenlő ennek a H_{0}(z) függvénynek az értékével az origóban. Tudjuk az előző lemma alapján, hogy olyan H_{0}(z) függvényt kell megadnunk, amely sehol sem tűnik el az egységkör belsejében. Ilyen függvénynek létezik logaritmusa, ezért lehetséges a keresett H_{0}(z) függvény helyett először annak logaritmusát a log H_{0}(z) függvényt definiálni. Idézzük fel, hogy egy z = Re^{iφ} ≠ 0 komplex számra log z = log R + iφ. A φ szám csak moduló 2π van meghatározva, de egy a komplex egységkörön definiált sehol sem eltünő analitikus f(z) függvény log f(z) logaritmusát definiálhatjuk úgy, a nem egyértelműen meghatározott imaginárius rész alkalmas megadásával, hogy a log f(z) függvény is analitikus legyen. Az analitikus log H_{0}(z) = u(z) + iv(z) függvény u(z) valós része harmonikus függvény. (Egy u(x, y) függvény harmonikus egy G tartományon, ha a tartomány minden (x, y) ∈ G pontjában teljesül a Δu(x, y) = \frac{∂^{2}u(x,y)}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u(x,y)}{∂y^{2}} = 0 azonosság.)

Az elmondottak alapján olyan H_{0}(z) függvényt keresünk, amelynek log H_{0}(z) = u(z) + iv(z) logaritmusának u(z) = Re log H(z) = Re log |H(z)| reális része teljesíti a lim_{R→1} u(Re^{iλ}) = \frac{1}{2} log g(λ) feltételt. Ezenkívül az u(z) függvény harmonikus. Olyan

H_{0}(z) függvényt keresünk, amelyre H_{0}(0) valós szám, és H_{0}(0) > 0. Ez azt jelenti, hogy Im log H_{0}(0) = v(0) = 0, ha a log H_{0}(z) logaritmusnak a megfelelő ágát vesszük. Ennek alapján felírunk egy olyan u_{0}(z) harmonikus függvényt az egységkörön, amelynek határértéke a peremen a \frac{1}{2} log g(e^{iλ}) függvény, majd definiáljuk ennek azt az egyértelmű analitikus log H(z) = u(z) + iv(z) analitikus kiegészítését, amelyre v(0) = 0. Annak érdekében, hogy megadjunk egy ilyen tulajdonságú függvényt, felidézek néhány fontos komplex függvénytani eredményt. Elsősorban a következő tételre lesz szükségünk.

Tétel az egységkör határán előírt értéket felvevő harmonikus függvények előállításáról és azok analitikus kiegészítéséről. Legyen adva egy u_{0}(ϑ), −π ≤ ϑ ≤ π, a [−π, π] intervallumon integrálható függvény. Ekkor a {z: z = Re^{iφ}, 0 ≤ R < 1} egységkörön definiált

\begin{aligned}u(z) = u(Re^{iφ}) & = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} Re (\frac{e^{iϑ} + z}{e^{iϑ} − z} ) u_{0}(ϑ) dϑ \\ & = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{1 − R^{2}}{1 + R^{2} − 2R cos(ϑ − φ)}u_{0}(ϑ) dϑ \end{aligned}  (11)

függvény, amelyet azonosítunk az u(x, y) = u(x + iy) = u(z), ha z = x + iy, függvénnyel harmonikus függvény a komplex egységkörön, és ennek radiális limesze teljesíti a

lim_{R→1} u(Re^{iϑ}) = u_{0}(ϑ) majdnem minden −π ≤ ϑ ≤ π számra  (12)

feltételt. Azt az egyértelműen meghatározott F (z) = u(z) + iv(z) analitikus függvényt, amelynek valós része megegyzik a fenti u(z) függvénnyel, és imaginárius része teljesíti a v(0) = 0 feltételt az

F (z) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{e^{iϑ} + z}{e^{iϑ} − z} u_{0}(ϑ) dϑ  (13)

képlet adja meg.

Nem tárgyalom a fenti tétel bizonyításának a részleteit, csak felidézem azokat az alapvető eredményeket, amelyeken e tétel bizonyítása alapul. Annak bizonyítása, hogy a (11) formulában definiált u(z) függvény harmonikus azon a tényen alapul, hogy a (11) formula integráljában szereplő magfüggvény, azaz a P (R, φ) = \frac{1−R^{2}}{1+R^{2}−2R cos(φ)} úgynevezett Poisson féle magfüggvény teljesíti a következő tulajdonságokat.

Tétel a Poisson féle magfüggvény tulajdonságairól. A P (R, φ) = \frac{1−R^{2}}{1+R^{2}−2R cos(φ)}, 0 ≤ R < 1, −π ≤ φ ≤ π, Poisson féle magfüggvény, amely megadható P (R, φ) =

∑_{n=−∞}^{∞} R^{|n|}e^{inφ} alakban is, teljesíti a következő tulajdonságokat:

(i) A P̄(x, y) = P (R, φ), ahol az R = R(x, y), φ = φ(x, y) számokat az x + iy = Re^{iφ} reláció határozza meg, harmonikus függvény az {(x, y): x^{2} + y^{2} < 1} egységkörön.

ii) P (R, φ) > 0 minden 0 ≤ R < 1, −π ≤ φ ≤ π, argumentumra. (iii) \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} P (R, φ) dφ = 1 minden 0 ≤ R < 1 számra. (iv) lim_{R→1} P (R, φ) = 0, és a konvergencia egyenletes a δ ≤ |φ| ≤ π halmazon minden

δ > 0 számra.

(v) \frac{1−R}{1+R} ≤ P (R, φ) ≤ \frac{1+R}{1−R} minden 0 ≤ R < 1 számra.

A fenti eredmény segítségével belátható, hogy a (11) formulában definiált u(z) függvény valóban harmonikus. Az a tény, hogy e függvény radiális limesze az u_{0}(ϑ) függvénnyel egyezik meg majdnem minden ϑ számra következik az alábbi az irodalomban Fatou tételnek nevezett fontos eredményből, amelyet szintén bizonyítás nélkül ismertetek.

Fatou tétel. Legyen μ korlátos változású mérték az egység körvonalon. Akkor az

u(Re^{iφ}) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{1 − R^{2}}{1 + R^{2} − 2R cos(ϑ − φ)}μ( dϑ)  (14)

(Poisson) integrál teljesíti a

lim_{R→1} u(Re^{iφ}) = μ′(φ)

relációt a μ′(φ) = lim \frac{μ(I)}{λ(I)} határértékkel, ahol az I intervallumrendszer tetszőleges az e^{iφ} pontra húzodó körívek rendszere, minden olyan e^{iφ} pontban, amelyikben a fenti μ′(φ) határérték létezik.

Nem a (11) formulával definiált függvény az egyetlen egységkörön harmonikus függvény, amely teljesíti a (12) feltételt. Valóban, ha tekintünk tetszőleges az egységkörvonalon definiált korlátos változású szinguláris μ mértéket, akkor nem nehéz belátni a Fatou tétel segítségével, hogy

v(z) = u(z) + \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{1 − R^{2}}{1 + R^{2} − 2R cos(ϑ − φ)}μ( dϑ)

szintén a (12) feltételt teljesítő harmonikus függvény. Célunk annak megmutatása, hogy amennyiben a (11) formulában definiált u(z) függvényt tekintjük u_{0}(ϑ) = \frac{1}{2} log g_{0}(ϑ) választással, majd ennek a (13) formulában bevezetett analitikus kiegészítését, akkor ez a függvény választható annak a H_{0}(z) függvény log H_{0}(z) logaritmusának, amely teljesíti a ‘FELADAT A’ feltételeit, sőt az is igaz rá, hogy az origóban felvett értéke egyenlő azon függvények origóban vett értékei abszolut értékének a maximumával, amelyek teljesítik a ‘FELADAT A’ feltételeit. Ez azt jelenti, hogy a (11) formulában definiált függvényhez hozzáadhatnánk még a Poisson magfüggvénynek egy szinguláris mérték szerinti integrálját, és ilyen módon is egy a ‘FELADAT A’ feltételeit teljesítő függvényt kapnánk, de ezt nem érdemes tenni.

Azt kívánjuk belátni, hogy a ‘FELADAT A’ feltételeit teljesítő függvények közül a

H_{0}(z) = exp \{\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{e^{iϑ} + z}{e^{iϑ} − z} \frac{1}{2} log g(ϑ) dϑ\}  (15)

függvény az optimális megoldás.

Először azt kell megmutatni, hogy a (15) formulában definiált H_{0}(z) függvény teljesíti a ‘FELADAT A’ feltételeit. A függvény konstrukciójából világos, hogy H_{0}(z) az egységkörön analitikus függvény, amelyre teljesül a lim_{R→1} |H_{0}(Re^{iϑ})|^{2} = g(ϑ) reláció.

Továbbá, abból hogy g(ϑ) = g(−ϑ) következik, hogy log H_{0}(z̄) = \overline{log H_{0}(z)}, ahonnan H_{0}(z̄) = \overline{H_{0}(z)}, és H_{0}(z) Taylor sorának együtthatói valós számok. Viszont be kell még látnunk azt, hogy a (15) formulában definiált H_{0}(z) függvény eleme a H_{2} Hardy osztálynak. Ennek az állításnak a helyességét mondja ki az alábbi Lemma.

Lemma. Legyen g(ϑ) olyan függvény a [−π, π] intervallumon, amely majdnem mindenütt nagyobb, mint nulla, ∫_{−π}^{π} g(ϑ) dϑ < ∞ és ∫_{−π}^{π} log |g(ϑ)| dϑ < ∞. Ekkor a (15) képletben definiált H_{0}(z) függvény teljesíti az

∫_{−π}^{π} |H_{0}(Re^{iφ})|^{2} dφ = ∫_{−π}^{π} exp \{\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{1 − R^{2}}{1 + R^{2} − 2R cos(φ − ϑ)} log g(ϑ) dϑ\} dφ
≤ ∫_{−π}^{π} g(ϑ) dϑ

egyenlőtlenséget minden 0 < R < 1 számra.

Bizonyítás. Definiáljuk rögzített −π ≤ φ ≤ π és 0 < R < 1 számokra a μ( dϑ) = μ_{φ}( dϑ) = \frac{1}{2π} \frac{1−R^{2}}{1+R^{2}−2R cos(φ−ϑ)} dϑ mértéket a [−π, π] intervallumon. A Poisson féle magfüggvény tulajdonságairól szóló tétel (iii) pontja szerint μ valószínűségi mérték. Ezért alkalmazva az exp{∫ f(ϑ) dμ(ϑ)} ≤ ∫ exp{f(ϑ)} dμ(ϑ) Jensen egyenlőtlenséget a (konvex) exponenciális és az f(ϑ) = log g(ϑ) függvényre kapjuk, hogy

exp \{\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{1 − R^{2}}{1 + R^{2} − 2R cos(φ − ϑ)} log g(ϑ) dϑ\} dφ

≤ \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{1 − R^{2}}{1 + R^{2} − 2R cos(φ − ϑ)}g(ϑ) dϑ, −π ≤ φ ≤ π.  (+)

Integrálva ezt az egyenlőtlenséget φ szerint kapjuk, hogy

∫_{−π}^{π} |H_{0}(Re^{iφ})|^{2} dφ ≤ ∫_{−π}^{π} \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{1 − R^{2}}{1 + R^{2} − 2R cos(φ − ϑ)}g(ϑ) dϑ dφ.

Felcserélve az integrálás sorrendjét az utolsó egyenlőtlenség jobboldalán, és felhasználva, hogy \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{1−R^{2}}{1+R^{2}−2R cos(φ−ϑ)} dφ = 1 minden −π ≤ ϑ ≤ π számra, kapjuk, hogy

∫_{−π}^{π} |H_{0}(Re^{iφ})|^{2} dφ ≤ ∫_{−π}^{π} g(ϑ) dϑ minden 0 < R < 1 számra,

és ezt kellett bizonyítani.

Láttuk, hogy a (15) formulában definiált H_{0}(z) függvény teljesíti a ‘FELADAT A’ feltételeit. Ezenkívül ebből a formulából következik az is, hogy

log |H_{0}(0)| = \frac{1}{4π} ∫_{−π}^{π} log |g(ϑ)| dϑ.  (16)

Felhasználjuk ezenkívül a következő fontos komplex függvénytani eredményt, a Szegő tételt, amelynek hátterét a kiegészítésben ismertetem.

Szegő tétel. Legyen f(z), |z| < 1, egy a H_{2} (vagy általánosabban egy H_{p}, 0 < p ≤ ∞,) Hardy osztályban szereplő analitikus függvény, és legyen f̃(ϑ) = lim_{R→1} f(Re^{iϑ}) e függvény radiális limesze. Ekkor teljesül a

log |f(0)| ≤ \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log |f̃(ϑ)| dϑ,  (17)

illetve általánosabban

log |f(Re^{iφ})| ≤ \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{1 − R^{2}}{1 + R^{2} − 2R cos(ϑ − φ)} log |f̃(ϑ)| dϑ  (17′)

egyenlőtlenség.

Mivel a ‘FELADAT A’-ban olyan H_{2} osztálybeli függvényeket kerestünk, amelyek radiális limeszeinek abszolut értéke |g(ϑ)|^{1/2}, ezért összehasonlítva a (16) és (17) formulákat, kapjuk, hogy |f(0)| ≤ H_{0}(0) minden a ‘FELADAT A’ feltételeit teljesítő f(z) függvényre. Ez azt jelenti, hogy a (15) formulában definiált H_{0}(z) függvény Tay-

lor sorának együtthatói adják meg az X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}V_{n−k}, n = …, −1, 0, 1, …, Wold

felbontásban szereplő c_{k} együtthatókat. Ezután a 2B. lemma felhasználásával meg lehet adni magát a Wold felbontást is egy véletlen spektrál mérték szerinti integrál segítségével, bár felmerül a kérdés, hogy nincsen-e egyszerűbb, jobban használható eljárás a Wold felbontás kiszámítására.

Megkaptuk annak szükséges és elégséges feltételét is, hogy mikor oldható meg a ‘FELADAT A’. Ez egyben megadja annak szükséges és elégséges feltételét is, hogy egy stacionárius sorozat reguláris legyen. Így megkaptuk a következő eredményt is.

Tétel reguláris stacionárius sorozatok jellemzéséről. Egy X_{n}, n = 0, ±1, ±2, …, stacionárius (Gauss) sorozat akkor és csak akkor reguláris, ha létezik g(ϑ) spektrálsűrűség függvénye, és az teljesíti az

∫_{−π}^{π} | log g(ϑ) | dϑ < ∞

egyenlőtlenséget.

Megjegyzem, hogy általában a fenti tétel feltételében szereplő integrál végességét a vele ekvivalens ∫_{−π}^{π} log g(ϑ) dϑ > −∞ alakban szokták kimondani. Az ∫ g(ϑ) dϑ = EX_{1}^{2} < ∞, g(ϑ) ≥ 0 relációk alapján könnyen látható, hogy a két feltétel ekvivalens.

Érvényes a fenti tétel következő élesítése is, amely megadja egy adott spektrálmértékkel rendelkező stacionárius Gauss folyamat felbontását a sorozatnak alárendelt ortogonális reguláris és szinguláris stacionárius sorozatok összegére.

Tétel stacionárius sorozatok felbontására reguláris és szinguláris komponensekre. Tekintsük egy X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozat G spektrál mértékének G = G_{1} + G_{2}, felbontását abszolut folytonos és szinguláris komponensek összegére, ahol G_{1} a G mérték abszolut folytonos komponense g(ϑ) = \frac{dG_{1}(ϑ)}{dϑ} sűrűségfüggvénnyel, és G_{2} a G mérték szinguláris komponense, azaz olyan (véges) mérték, amely egy null Lebesgue mértékű halmazban van koncentrálva. Jelölje A = D(G_{2}) ⊂ [−π, π] a G_{2} szinguláris mérték tartóját, azaz azt a legszűkebb (nulla Lebesgue mértékű) zárt halmazt, amelyre G_{2}([−π, π] \ D) = 0.

Az X_{n} stacionárius sorozat szinguláris, ha ∫_{−π}^{π} log g(ϑ) dϑ = −∞. A másik esetben, ha ∫_{−π}^{π} log g(ϑ) dϑ > −∞, akkor az X_{n} sorozatot előállító Z_{G} véletlen spektrál mérték szerinti integrál segítségével az X_{n} sorozat felírható X_{n} = U_{n} + V_{n}, n = 0, ±1, …, alakban, ahol U_{n}, n = 0, ±1, …, reguláris és V_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, szinguláris, az X_{n} sorozatnak alárendelt stacionárius sorozat, és az U_{n} és V_{n} sorozatok ortogonálisak, azaz EU_{m}V_{n} = 0, n, m = 0, ±1, . . .. Ez a felírás a következő: Ha X_{n} = ∫ e^{inϑ}Z_{G}( dϑ), n = 0, ±1, …, akkor U_{n} = ∫ e^{inϑ}I_{[−π,π]\D}(t)Z_{G}( dϑ), V_{n} = ∫ e^{inϑ}I_{D}(t)Z_{G}( dϑ), n = 0, ±1, …, ahol I_{A}(t) egy A halmaz indikátor függvényét jelöli.

E fenti tétel bizonyításának nem dolgozom ki minden részletét. Az a reguláris stacionárius sorozatok jellemzéséről valamint a stacionárius sorozatok a sorozatnak alárendelt reguláris és szinguláris sorozatok összegére való felbontásáról szóló tételek, illetve ez utóbbi tételben szereplő felbontás (itt nem ismertetett, de egyszerű, viszont nem konstruktív) előállításán alapul.

Ha egy X_{n} stacionárius sorozat G spektrálmértéke olyan, hogy az abszolut folytonos komponens g(ϑ) spektrálsűrűségére az ∫_{−π}^{π} log g(ϑ) dϑ = −∞ reláció érvényes, akkor tekintve e sorozat tetszőleges X_{n} = U_{n} + V_{n}, n = 0, ±1, …, felbontását két független (Gauss) stacionárius sorozat összegére valamely G^{(1)} és G^{(2)} (nem zéró) spektrálmértékkel, akkor ezen spektrálmértékek g^{(1)}(ϑ) és g^{(2)}(ϑ) sűrűségfüggvénye kisebb, mint g(ϑ), ezért egyikük sem lehet reguláris. Így a stacionárius sorozatok a sorozatnak alárendelt reguláris és szinguláris sorozatok összegére való felbontásáról szóló tétel alapján az X_{n} stacionárius sorozat ebben az esetben szinguláris.

Ha az X_{n} sorozat G spektrálmértéke olyan, hogy ∫_{−π}^{π} log g(ϑ) dϑ > −∞, akkor nem nehéz belátni, hogy a tételben megadott X_{n} = U_{n} + V_{n}, n = 0, ±1, … azonosság az X_{n} sorozat felbontását adja két korrelálatlan stacionárius sorozat összegére, amelyek közül az U_{n} sorozat reguláris, a V_{n} sorozat szinguláris. Viszont meg kell mutatni azt is, hogy ezek a sorozatok alá vannak rendelve az X_{n}, n = 0, ±1, …, sorozatnak. Ennek indoklásában alkalmazzuk a stacionárius sorozatok a sorozatnak alárendelt reguláris és szinguláris sorozatok összegére való felbontásáról szóló tétel bizonyításának (itt nem ismertetett) konstrukcióját.

Tekintsük az X_{n}, n = 0, ±1, …, valószínűségi változók lineáris kombinációi által kifeszített H_{∞} Hilbert teret, illetve annak az (1) formulában definiált S alterét. Vegyük mindegyik X_{n} valószínűségi változó S altérre vett vetületének Ũ_{n} ortogonális kiegészítőjét. Ekkor be lehet látni, (ez az említett tétel bizonyításának a kulcslépése), hogy az Ũ_{n}, n = 0, ±1, …, sorozat az X_{n} sorozatnak alárendelt reguláris stacionárius sorozat. Ezenkívül a H_{∞} Hilbert térnek az Ũ_{n}, n = 0, ±1, …, sorozat elemei által generált altere megegyezik az S altér ortogonális kiegészítésével. Be lehet látni, felhasználva azt, hogy mivel Ũ_{n} az X_{n} sorozatnak alá van rendelve, és ‘ugyanaz a shift operátor hat rá’, ezért az felírható Ũ_{n} = ∫ e^{inϑ}h(ϑ)Z_{G}( dϑ), n = 0, ±1, …, alakban alkalmas h(ϑ) magfüggvénnyel. Mivel a (reguláris) Ũ_{n} sorozatnak van spektrálsűrűség függvénye, ezért a h(ϑ) magfüggvény a [−π, π] \ D halmazba van koncentrálva, így az Ũ_{n} és V_{n}, n = 0, 1, …, stacionárius sorozatok ortogonálisak. Innen következik, hogy a V_{n}, n = 0, ±1, ±2, …, sorozat elemei az S altérben vannak, ezért ez a sorozat az X_{n}, n = 0, ±1, …, sorozatnak alá van rendelve. Akkor viszont ugyanez igaz a V_{n} = X_{n} − U_{n}, n = 0, ±1, …, sorozatra is. A tétel bizonyítását befejeztük.

Röviden beszélek a ‘FELADAT A’ általános megoldásáról. Ha összehasonlítjuk a (15) formulát a Szegő tételben szereplő (17′) képlettel, azt kapjuk, hogy a ‘FEL-ADAT A’ tetszőleges f(z) megoldása teljesíti az |f(Re^{iϑ})| ≤ H_{0}(Re^{iϑ}) egyenletet minden 0 ≤ R < 1, −π ≤ ϑ ≤ π, paraméterre. Ebből, illetve abból a tényből, hogy a H_{0}(z) függvény sehol sem tűnik el az egységkör belsejében következik, hogy a ‘FELADAT A’ minden megoldása felírható f(z) = H_{0}(z)g(z) alakban, ahol H_{0}(z), amelyet a (feladat feltételeit teljesítő) külső függvénynek neveznek a (15) képletben van megadva, míg a g(z) függvény, amelyet belső függvénynek neveznek, olyan függvény, amelynek abszolut értéke az egységkör belsejében kisebb, mint 1, az egységkörvonalon vett határértéke pedig 1. A maximum elv segítségével be lehet látni, hogy ha g(z) nem egyenlő egy 1 abszolut értékű konstanssal minden z számra, akkor g(z) abszolut értéke szigorúan kisebb, mint 1 az egységkör minden belső pontjában. Innen az is következik, hogy az origóban maximális abszolut értéket felvevő a ‘FELADAT A’ feltételeit teljesítő függvény egy esetleges (−1) számmal való szorzást nem tekintve egyértelműen meg van határozva. Ezért H_{0}(z) valóban a stacionárius sorozat Wold felbontásának felel meg.

A belső függvényeket és ezáltal a ‘FELADAT A’ teljes megoldásrendszerét pontosan le lehet írni. Elmagyarázom, hogy milyen alakú lehet egy belső függvény, de a bizonyítás részleteit nem tárgyalom.

Egy tipikus belső függvény olyan g(z) = \frac{z−z_{0}}{1−zz̄_{0}} , |z_{0}| < 1, racionális törtfüggvény, amely az egységkört önmagába képezi. Tekinthetjük ilyen függvények szorzatát is. Tudjuk, hogy egy nem azonosan nulla analitikus függvény null-helyeinek nem lehet torlódási pontja az értelmezési tartomány belsejében. Viszont a null-helyek torlódhatnak az értelmezési tartomány (jelen esetben az egységkör) valamely határpontjához. Ezt a lehetőséget kihasználva lehet végtelen, úgynevezett Blaschke szorzatok segítségével definiálni belső függvényeket.

Más tipusú belső függvényt kaphatunk úgy, hogy egy R(z) = c\frac{e^{iϑ}+z}{e^{iϑ}−z}, c > 0, alakú függvényt veszünk, azaz az egységkör egy racionális törtfüggvény leképezését tekintjük a {z: Re z < 0} félsíkra, majd definiáljuk a h(z) = e^{R(z)} függvényt. A h(z) függvény az egységkör olyan leképezése önmagába, amelynek egyetlen pontban nincsen radiális limesze, az R(z) racionális törtfüggvénynek az egységkörvonal határán levő z = e^{iϑ} szinguláris pontjában. A h(z) függvény az egységkör olyan leképezése önmagára, amely az egységkör belsejében sehol sem tűnik el. Ilyen függvények szorzataként, illetve a szorzatok limeszét véve további belső függvényeket tudunk definiálni. Ilyen módon

g(z) = exp \{\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{e^{iϑ} + z}{e^{iϑ} − z} dμ(ϑ)\}

alakú belső függvényeket kapunk, ahol μ szinguláris mérték. Az, hogy az ilyen függvények abszolut értékének a radiális limesze majdnem minden pontban 1 megmutatható a Fatou tétel segítségével. Az ilyen alakú belső függvényeket szinguláris belső függvénynek nevezik. Be lehet látni, hogy tetszőleges belső függvény előállítható egy Blaschke szorzat és egy szinguláris belső függvény szorzataként, és ez az előállítás egy 1 abszolut értékű tényező erejéig egyértelmű.

A Wold felbontást felírhatjuk X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}W_{n−k}, n = …, −1, 0, 1, …, alakban,

ahol a c_{k} együtthatók az előbb tárgyalt H_{0}(z) = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}z^{k} függvény Taylor együtthatói,

a W_{k} valószínűségi változókat pedig a (9) képlet definiálja, azzal a kiegészítéssel, hogy a képletben szereplő h(t) függvény a H_{0}(z) függvény H_{0}(e^{it}), −π ≤ t ≤ π, radiális limesze. Felmerülhet az igény, hogy a (9) képletben definiált véletlen integrál kiszámítására találjunk egyszerűbb, jobban számolható módszert. Érdemes észrevenni, hogy mivel a H_{0}(z) függvény nem tűnik el az egységkör belsejében, ennek reciproka szintén anali-

tikus függvény az egységkörben, amely felírható \frac{1}{H_{0}(z)} = ∑_{k=0}^{∞} D_{k}z^{k} alakban, és az \frac{1}{h(t)}

ennek a függvénynek a radiális limesze. Ez azt sugallja, hogy \frac{1}{h(t)} függvény felírható

\frac{1}{h(t)} = ∑_{k=0}^{∞} D_{k}e^{ikt} alakban, ezért a (9) formula alapján

W_{n} = ∫_{−π}^{π} \frac{1}{\overline{h(t)}}e^{int}Z_{G}(dt) = ∫_{−π}^{π} ∑_{k=0}^{∞} D_{k}e^{i(n−k)t}Z_{G}(dt) = ∑_{k=0}^{∞} D_{k}X_{n−k}.

Az előbbi számolás megadja, legalábbis formális szinten azt, hogy hogyan lehet kiszámolni a Wold felbontásban szereplő W_{n} valószínűségi változókat az ismert X_{j}, j ≤ n, valószínűségi változók segítségével. Vegyük észre, hogy ebben a számolásban is kihasználtuk, hogy a H_{0}(z) függvény nem tűnik el az egységkör belsejében. Ez biztosítja azt, hogy az \frac{1}{H_{0}(z)} függvény analitikus az egységkör belsejében, és a radiális limesze az egységkör határán megegyezik az \frac{1}{h(t)} függvénnyel.

Valójában a probléma nehezebb, és a fenti gondolatmenet csak heurisztikus érvelésnek tekinthető. A probléma az, hogy az lim_{R→1} \frac{1}{H_{0}(Re^{iϑ})} = \frac{1}{h_{0}(e^{iϑ})} relációt csak a majdnem minden konvergencia értelemben tudjuk, míg az előbbi közelítés Wold felbontásban szereplő valószínűségi változóhoz való konvergenciának igazolásához a

lim_{R→1} ∫_{−π}^{π} |\frac{1}{H_{0}(Re^{iϑ})} − \frac{1}{h_{0}(e^{iϑ})}|^{2} g(ϑ) dϑ = 0

reláció igazolására lenne szükségünk. (Ekkor a sztochasztikus integrálok L_{2} izomorfiájából következik az állítás.) Egy speciális példában később megmutatjuk, hogy a fent ismertetett közelítés segítségével megkaphatjuk a példában szereplő stacionárius folyamat Wold felbontását. A példában ismertetett módszer általánosítható tetszőleges úgynevezett ARMA folyamat Wold felbontásának az előállítására, (az ARMA folyamatokat nemsokára definiálni fogom), de nyitva hagyja azt a kérdést, hogy az előbb tárgyalt heurisztikus eljárás alkalmas-e tetszőleges reguláris folyamat Wold felbontásának az előállítására.

Külön foglalkozom két különböző gyakorlati alkalmazásokban fontos speciális stacionárius folyamattal, a ‘Moving Average’ (mozgó átlag) és ‘ARMA’ (autoregressive moving average) folyamattal. Ezen folyamatok spektrálsűrűsége speciális alakban írható fel. A spektrálsűrűség ezekben a modellekben az e^{iλ} függvény speciális alakú függvénye. Ez a speciális alakú függvény egy polinom, illetve egy racionális törtfüggvény abszolut értékének a négyzetével egyenlő. Ez a polinom, illetve racionális törtfüggvény nincs egyértelműen meghatározva, és érdemes megkeresni annak legjobban használható alakját. A ‘Moving Average’ és ‘ARMA’ folyamat spektrálsűrűségének speciális alakja miatt e modellekben viszonylag egyszerűen megoldható a FELADAT A’-ban megfogalmazott probléma, ezért ebben az esetben a predikciós probléma vizsgálata kevésbé nehéz.

Megadom a Moving Average és ARMA folyamatok definicióját, és kiszámolom ezek spektrál sűrűségfüggvényét.

Legyen …, ε_{−1}, ε_{0}, ε_{1}, … független standard normális eloszlású valószínűségi változók sorozata, és rögzítsük a_{0}, a_{1}, …, a_{k} valós számok egy sorozatát. Az

X_{n} = ∑_{p=0}^{k} a_{p}ε_{n−p}, n = …, −1, 0, 1, …  (18)

sorozatot k-ad rendű mozgó átlagnak nevezzük. (Itt a korábban bevezetett mozgó átlag speciális esetét tekintettük, mert a (18) formulában csak véges összegeket vettünk.) Az X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, sorozat g(t) spektrálsűrűség függvényét megadhatjuk g(t) =

\frac{1}{2π} |P (e^{it})|^{2} alakban, ahol P (z) = ∑_{p=0}^{k} a_{p}z^{p}. Ezt a képletet az alábbi (tulajdonképp már

általánosabb esetben elvégzett) számolás adja.

EX_{l}X_{l+n} = ∑_{p=0}^{k} ∑_{p′=0}^{k} a_{p}a_{p′}Eε_{l−p}ε_{n+l−p′}

= \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} (∑_{p=0}^{k} a_{p}e^{−i(l−p)t}) (∑_{p′=0}^{k} a_{p′}e^{i(n+l−p′)t}) dt

= \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{int} |∑_{p=0}^{k} a_{p}e^{i(l−p)t}|^{2} dt = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{int}|P (e^{it})|^{2} dt,

és g(t) = g(−t) a g(t) = |P (e^{it})|^{2} függvényre.

Legyen adva az előbb tekintett …, ε_{−1}, ε_{0}, ε_{1}, … független standard normális eloszlású valószínűségi változók és az a_{0}, a_{1}, …, a_{k} valós számok sorozatán kívül még valós számok egy másik b_{1}, …, b_{l} sorozata is. Azt mondjuk, hogy az (együttesen) normális eloszlású Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, valószínűségi változók stacionárius sorozata (k, l) rendű ARMA folyamat, ha teljesíti a

∑_{q=0}^{l} b_{q}Y_{n−q} = ∑_{p=0}^{k} a_{p}ε_{n−p}, , n = …, −1, 0, 1, …  (19)

azonosságot. Probáljuk meg kiszámolni az Y_{n} stacionárius sorozat g(λ) spektrálsűrűség függvényét (feltéve, hogy létezik az adott tulajdonságú stacionárius sorozat és annak

van spektrálsűrűség függvénye). Vezessük be a Z_{n} = ∑_{q=0}^{l} b_{q}Y_{n−q}, n = …, −1, 0, 1 …,

stacionárius sorozatot. Az előző számoláshoz hasonlóan felírhatjuk, hogy

EZ_{s}Z_{s+n} = ∑_{q=0}^{l} ∑_{q′=0}^{l} b_{q}b_{q′}EZ_{−q}Z_{n−q′}

= ∫_{−π}^{π} (∑_{q=0}^{l} b_{q}e^{iqt}) (∑_{q′=0}^{k} b_{q′}e^{i(n−q′)t}) g(t) dt

= ∫_{−π}^{π} e^{int} |∑_{q=0}^{l} b_{q}e^{iqt}|^{2} g(t) dt = ∫_{−π}^{π} e^{int}|R(e^{it})|^{2}g(t) dt,

ahol R(z) = ∑_{q=0}^{l} b_{q}z^{q}.

Összehasonlítva a (19) formula bal és jobb oldalán szereplő kifejezések kovariancia függvényére kapott kifejezéseket azt kapjuk, hogy

∫_{−π}^{π} e^{int}|R(e^{it})|^{2}g(t) dt = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{int}|P (e^{it})|^{2} dt.

Mivel ennek az azonosságnak minden n = 0, ±1, … számra teljesülnie kell, innen

következik, hogy g(t) = \frac{1}{2π} |\frac{P (e^{it})}{R(e^{it})} |^{2}.

Felírtuk a moving average és ARMA folyamat spektrálsűrűségét g(λ) = |P (e^{iλ})|^{2},

illetve g(λ) = |\frac{P (e^{iλ})}{R(e^{iλ})} |^{2} alakban. Az ezekben a kifejezésekben szereplő polinomoknak lehet gyökük az egységkör belsejében is. A következő lemmában megadjuk egy ilyen alakú spektrálsűrűség függvény egy esetleg különböző előállítását, amelyben olyan polinomok szerepelnek, amelyeknek nincs gyökük az egységkör belsejében. Ez lehetővé teszi, hogy egyszerű módon előállítsuk azt a (15) formulában definiált, a g(λ) spektrálsűrűség függvénytől függő H_{0}(z) függvényt, amely megadja egy g(λ) spektrálsűrűséggel rendelkező stacionárius sorozat Wold felbontásában szereplő együtthatókat.

Lemma Moving Average és ARMA folyamatok spektrálsűrűség függvényének reprezentációjáról. Legyen adva egy olyan stacionárius sorozat, amelynek g(λ)

spektrálsűrűség függvénye felírható g(λ) = |\frac{P (e^{iλ})}{R(e^{iλ})} |^{2} alakban alkalmas P (z) és R(z) poli-

nomokkal. Ekkor léteznek olyan P̃(z) és R̃(z) polinomok, amelyeknek nincs gyökük a

\{z: |z| < 1\} komplex egységkörben, és g(λ) = |\frac{P̃(e^{iλ})}{R̃(e^{iλ})} |^{2}. A P̃(z) és R̃(z) polinomok

együtthatói valós számok, és feltehető, hogy 0 < \frac{P̃(0)}{R̃(0)} < ∞. A g(λ) spektrálsűrűség függvényhez tartozó ‘Feladat A’-nak a (15) formulában megadott extremális megoldása a H_{0}(z) = \frac{P̃(z)}{R̃(z)} függvény.

Bizonyítás. Legyenek a g(λ) spektrálsűrűség függvényének előállításaban szereplő P (z) és R(z) polinomok nem zéró gyökei v_{1}, …, v_{m} és w_{1}, …, w_{n}. Ekkor

g(λ) = |\frac{P (e^{iλ})}{R(e^{iλ})}|^{2} = \frac{P (e^{iλ})\overline{P (e^{iλ})}}{R(e^{iλ})\overline{R(e^{iλ})}} = C^{2} \frac{∏_{k=1}^{m}(e^{iλ} − v_{k})(e^{−iλ} − v̄_{k})}{∏_{k=1}^{n}(e^{iλ} − w_{k})(e^{−iλ} − w̄_{k})}  (20)

valamely alkalmas C > 0 számmal.

Defináljuk a ṽ_{k} = v_{k}, ha |v_{k}| ≥ 1, ṽ_{k} = \frac{1}{v̄_{k}}, ha |v_{k}| < 1, 1 ≤ k ≤ m, számokat

és a P̃(z) = \frac{1}{A} ∏_{k=1}^{m}(z − ṽ_{k}) polinomot, ahol A = ∏_{k:|v_{k}|<1} |v_{k}|. Definiáljuk hasonló

módon a w̃_{k} = w_{k}, ha |w_{k}| ≥ 1, w̃_{k} = \frac{1}{w̄_{k}}, ha |w_{k}| < 1, 1 ≤ k ≤ n, számokat és a

R̃(z) = \frac{1}{B} ∏_{k=1}^{m}(z − w̃_{k}) polinomot, ahol B = ∏_{k:|w_{k}|<1} |v_{k}|. Pontosabban a P̃(z) és R̃(z) polinomokat úgy definiáljuk, hogy az előbb bevezetett P̃(z) illetve R̃(z) polinomokból elhagyjuk azokat a (z − ṽ_{k}) és (z − w̃_{k}) tényezőket, amelyekre ṽ_{k} = w̃_{k}. Ilyen módon a \frac{P̃(z)}{R̃(z)} racionális törtfüggvény értékét nem változtattuk meg. (Ezt a módosítást azért

tettük a definicióban, mert lehetnek olyan (v_{k}, w_{k}) gyökpárok, amelyekre v_{k} = \frac{1}{w_{k}}.

Ebben az esetben a \frac{P̃(z)}{R̃(z)} racionális törtfüggvény egyszerűsíthető, és ezt a lehetőséget ki akartuk használni.)

A P̃(z) és R̃(z) polinomoknak nincs gyökük a komplex egységkör belsejében. Azt

állítom, hogy a |\frac{P̃(e^{iλ})}{R̃(e^{iλ})} |^{2} = |\frac{P (e^{iλ})}{R(e^{iλ})} |^{2} = g(λ), −π ≤ λ ≤ π, azonosság is teljesül. Valóban,

|\frac{P̃(e^{iλ})}{R̃(e^{iλ})}|^{2} = \frac{P̃(e^{iλ})\overline{P̃(e^{iλ})}}{R̃(e^{iλ})\overline{R̃(e^{iλ})}} = \frac{B^{2}C^{2}}{A^{2}} \frac{∏_{k=1}^{m}(e^{iλ} − ṽ_{k})(e^{−iλ} − ¯ ṽ_{k})}{∏_{k=1}^{n}(e^{iλ} − w̃_{k})(e^{−iλ} − ¯ w̃_{k})},  (20′)

ezért a kívánt összefüggést megkapjuk összehasonlítva a (20) és (20′) formulákat és bebizonyítva az (e^{iλ} − ṽ_{k})(e^{−iλ} − ¯ ṽ_{k}) = \frac{1}{|v_{k}|^{2}} (e^{iλ} − v_{k})(e^{−iλ} − v̄_{k}), ha |v_{k}| < 1, illetve (e^{iλ} − w̃_{k})(e^{−iλ} − ¯ w̃_{k}) = \frac{1}{|w_{k}|^{2}} (e^{iλ} − w_{k})(e^{−iλ} − w̄_{k}), ha |w_{k}| < 1 azonosságokat.

Viszont

(e^{iλ} − ṽ_{k})(e^{−iλ} − ¯ ṽ_{k}) = (e^{iλ} − \frac{1}{v̄_{k}} ) (e^{−iλ} − \frac{1}{v_{k}} ) = \frac{1}{|v_{k}|^{2}} (v̄_{k}e^{iλ} − 1)(v_{k}e^{−iλ} − 1)

= \frac{1}{|v_{k}|^{2}} |v̄_{k}e^{iλ} − 1|^{2} = \frac{1}{|v_{k}|^{2}} |v̄_{k} − e^{−iλ}|^{2}

= \frac{1}{|v_{k}|^{2}} (e^{iλ} − v_{k})(e^{−iλ} − v̄_{k}),

ha |v_{k}| ≤ 1. A másik bizonyítandó azonosság hasonlóan igazolható.

Belátjuk, hogy a g(λ) spektrálsűrűség függvény g(λ) = g(−λ) szimmetriájából következik, hogy P̃(z) és R̃(z) valós együtthatós polinomok. Ennek érdekében először azt látjuk be, hogy az adott feltételből következik az is, hogy

P̃(e^{iλ})\overline{P̃(e^{iλ})} = P̃(e^{−iλ})\overline{P̃(e^{−iλ})},  R̃(e^{iλ})\overline{R̃(e^{iλ})} = R̃(e^{−iλ})\overline{R̃(e^{−iλ})},

illetve belátjuk a (formálisan) kissé általánosabb

P̃(z)P̂ (\frac{1}{z}) = P̃ (\frac{1}{z}) P̂(z),  R̃(z)R̂ (\frac{1}{z}) = R̃ (\frac{1}{z}) R̂(z)  (21)

egyenlőtlenséget, ahol P̂(z) = ∏_{k=1}^{m}(z − ¯ ṽ_{k}), R̂(z) = ∏_{k=1}^{n}(z − ¯ w̃_{k}), és a ṽ_{1}, … ṽ_{m} számok

a P̃(z), a w̃_{1}, … w̃_{n} számok pedig a R̃(z) polinom gyökei.

A g(λ) = \frac{P̃(e^{iλ})\overline{P̃(e^{iλ})}}{R̃(e^{iλ})\overline{R̃(e^{iλ})}} = \frac{P̃(e^{−iλ})\overline{P̃(e^{−iλ})}}{R̃(e^{−iλ})\overline{R̃(e^{−iλ})}} = g(−λ) azonosságból analitikus kiterjesz-

téssel azt kapjuk, hogy \frac{P̃(z)P̂(\frac{1}{z})}{R̃(z)R̂(\frac{1}{z})} = \frac{P̃( \frac{1}{z})P̂(z)}{R̃( \frac{1}{z})R̂(z)}. Az utolsó azonosság két oldalán szereplő

kifejezések gyökhelyei a ṽ_{1}, …, ṽ_{m}, \frac{1}{¯ṽ_{1}} , …, \frac{1}{¯ṽ_{m}} illetve az \frac{1}{v_{1}} , …, \frac{1}{v_{m}} , ¯ ṽ_{1}, …, ¯ ṽ_{m} számok. Igaz az is, hogy a \{ṽ_{1}, …, ṽ_{m}, \frac{1}{¯ṽ_{m}} , …, \frac{1}{¯ṽ_{m}} \} és \{w̃_{1}, …, w̃_{n}, \frac{1}{¯w̃_{1}} , …, \frac{1}{¯w̃_{n}} \}, halmazok diszjunktak, azaz a vizsgált kifejezések gyökei és pólusai különböznek, és a felsorolt gyökök valóban megjelennek. Innen következik, hogy P̃(z)P̂ (\frac{1}{z}) = P̃(\frac{1}{z})P̂ (z), azaz érvényes a (21) formula első relációja. De akkor igaz a (21) formula második relációja is.

A P̃(z)P̂ (\frac{1}{z}) függvény gyökhelyei közül a P̃(z) polinom tartalmazza az 1-nél nagyobb, a P̂ (\frac{1}{z}) függvény az 1-nél kisebb abszolut értékűeket. Ha egy v számra |v| = 1, és a v szám nullhelye vagy a P̃(z) vagy a P̂ (\frac{1}{z}) függvénynek, akkor ez a v = \frac{1}{v̄} szám gyöke a másik függvénynek is. Ez azt jelenti, hogy az 1 abszolut értékű gyökök párba állíthatóak úgy, hogy egyikük a P̃(z), a másikuk pedig a P̂ (\frac{1}{z}) függvénynek a gyöke. Hasonló tulajdonsága van a P̃ (\frac{1}{z}) P̂(z) függvénynek is. Ez azt jelenti, hogy a (21) formula alapján a P̃(z) és P̂(z) polinomnak ugyanazok a gyökei. Innen az is következik, hogy a P̃(z) polinom megszorítása a valós számegyenesre teljesíti a P̃(y) = \overline{P̃(y)} azonosságot, ezért P̃(z) valós együtthatójú polinom. Hasonlóan látható, hogy az R̃(z) polinom valós együtthatós. Esetleges (−1)-gyel való szorzással elérhetjük azt is, hogy 0 < \frac{P̃(0)}{R̃(0)} < ∞.

Láttuk, hogy h_{0}(z) = \frac{P̃(z)}{R̃(z)} olyan valós együtthatós analitikus függvény a komplex

egységkörben, (ennek érdekében biztosítanunk kellett azt, hogy az R̃(z) függvénynek ne legyen gyöke az egységkör belsejében), amelynek létezik olyan h_{0}(e^{iϑ}) radiális limesze, amely teljesíti az |h_{0}(e^{iϑ})|^{2} = g(ϑ) azonosságot. Be lehet látni közvetlenül, hogy a h_{0}(z) függvény eleme a H_{2} Hardy osztálynak. Innen következik, hogy ez a h_{0}(z) függvény a ‘FELADAT A’ egyik megoldása. Egy ennél tartalmasabb állítást fogunk igazolni. Megmutatjuk, hogy h_{0}(z) = \frac{P̃(z)}{R̃(z)} megegyezik a (15) relációban a \frac{1}{2} log g(ϑ) = log P̃(e^{iϑ}) −

log R̃(e^{iϑ}), −π ≤ ϑ ≤ π, függvény segítségével definiált H_{0}(z) függvénnyel. Ebből az állításból az is következik, hogy a \frac{P̃(z)}{R̃(z)} a ‘FELADAT A’ optimális, a Wold felbontásnak megfelelő megoldása. (Ennek az optimális megoldásnak a megtalálása érdekében biztosítanunk kellett azt, hogy a P̃(z) polinomnak nincs gyöke az egységkörben.)

Azt kell megmutatnunk, hogy a \frac{P̃(z)}{R̃(z)} racionális törtfüggvény teljesíti a (15) re-

lációban felírt azonosságot az \frac{1}{2} log g(ϑ) = log |P̃(e^{iϑ})| − log |R̃(e^{iϑ})|, −π ≤ ϑ ≤ π, függvénnyel. Először megmutatom, hogy a kívánt összefüggés következik az

log (\frac{Re^{iφ} − z_{0}}{−z_{0}} ) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{e^{iϑ} + Re^{iφ}}{e^{iϑ} − Re^{iφ}} log |\frac{e^{iϑ} − z_{0}}{−z_{0}} | dϑ ha 0 ≤ R < 1  (22)

azonosságból, amely érvényes minden olyan z_{0} számra, amelyre |z_{0}| ≥ 1. (A (22) reláció érvényességének érdekében fel kell tennünk, hogy |z_{0}| ≥ 1.) Ezután bebizonyítjuk a (22) azonosságot.

Összegezzük a (22) formulát minden z_{0} = ṽ_{1}, …, ṽ_{m} illetve minden z_{0} = w̃_{1}, …, w̃_{n} számra, ahol ṽ_{1}, …, ṽ_{m}, illetve w̃_{1}, …, w̃_{n}, a P̃(z) és R̃(z) polinom gyökei. Vonjuk ki a két azonosságot egymásból. Ezután némi átalakítással azt kapjuk, hogy

\frac{P (Re^{iφ})}{R(Re^{iφ})} = exp \{\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{e^{iϑ} + Re^{iφ}}{e^{iϑ} − Re^{iφ}} \frac{1}{2} log g(ϑ) dϑ\} ha 0 ≤ R < 1.  (23)

Azt kell észrevenni a (23) azonosság igazolásához, hogy a \frac{ṽ_{1}···ṽ_{m}w̃_{1}^{−1}···w̃_{n}^{−1}}{|ṽ_{1}···ṽ_{m}w̃_{1}^{−1}···w̃_{n}^{−1}|} tört értéke +1 vagy −1, mert mind a ṽ_{1} ⋯ ṽ_{m}, mind a w̃_{1} ⋯ w̃_{n} szorzat valós szám annak következtében, hogy a P̃(z) és R̃(z) polinomok együthatói valós számok. Mivel a \frac{P̃(z)}{R̃(z)} függvényt

egy esetleges −1-gyel való szorzás segítségével úgy választottuk, hogy \frac{P̃(0)}{R̃(0)} > 0, ezért ez a tényező kiesik a számolás során. Ez azt jelenti, hogy a (23) formula érvényes, azaz a \frac{P̃(z)}{R̃(z)} függvény teljesíti a (15) formulát. Hátra van még a (22) azonosság igazolása.

Ha |z_{0}| > 1, akkor a (22) formula baloldalán szereplő kifejezés analitikus függvény a {z: |z| < |z_{0}|} körben, ezért az analitikus függvények Hergoltz–integrál előállításáról szóló tétel alapján (lásd például a Petruska György komplex függvénytan jegyzet (9.2.10) tételét), a (22) azonosság érvényes. Valóban a képlet mind a két oldalán analitikus függvény szerepel, és a harmonikus függvények előállításáról szóló formula alapján látható, hogy e kifejezések reális részei egyenlőek. Ezért elég azt ellenőrizni, hogy mind a két kifejezés nullával egyenlő az origóban. A jobboldali kifejezés értéke az origóban \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log |\frac{e^{iϑ}−z_{0}}{−z_{0}} | dϑ = ∮_{|r|=1} log |\frac{r−z_{0}}{−z_{0}} | dr = 0, mert a log |\frac{z−z_{0}}{−z_{0}} | = Re log (\frac{z−z_{0}}{−z_{0}} ) függvény harmonikus a {z: |z| < |z_{0}|} tartományban, és ezért e függvény körintegrálja az egységkörön egyenlő e függvény értékével az origóban. A baloldal értéke szintén 0 az origóban.

Ha |z_{0}| = 1, akkor válasszunk olyan z_{n}, |z_{n}| > 1, n = 1, 2, …, sorozatot, amelyre lim_{n→∞} z_{n} = z_{0}. Ekkor felírva a (19) azonosságot, mindenütt z_{n}-et írva z_{0} helyett, n → ∞ határátmenettel megkapjuk a (22) azonosságot ezzel a z_{0} számmal is. (Vegyük észre, hogy a jobboldalon tekintett integrál \frac{e^{iϑ}+Re^{iφ}}{e^{iϑ}−Re^{iφ}} magfüggvényének az abszolut értéke egyenletesen korlátos, ha R < 1. Ez segít a határátmenet jogosságának az indoklásában.)

Eredményeinkből az is következik, hogy amennyiben egy stacionárius sorozat g(λ)

spektrál sűrűségfüggvénye g(λ) = |\frac{P (e^{iλ})}{R(e^{iλ})} |^{2} alakban adható meg egy racionális törtfüggvény segítségével, akkor a stacionárius sorozat reguláris. Ehhez azt kell ellenőrizni, hogy az ∫_{−π}^{π} log g(λ) dλ > −∞ feltétel teljesül. Ez a feltétel teljesül, bár a g(λ) spektrál sűrűségfüggvény vehet fel nagyon kis értékeket, ha a P (z) függvénynek van gyöke az egységkör vonalon. Ez azonban nem rontja el a log g(λ) függvény integrálhatóságát. Viszont a g(λ) spektrálsűrűség előállítását megadó racionális törtfüggvény R(z) nevezőjének nem lehet gyöke az egységkör vonalon, mert a g(λ) függvény integrálható kell hogy legyen. Be lehet látni továbbá a következő állítást is.

Feladat: E feladat megfogalmazásában az előbb bevezetett jelöléseket fogom használni. Mutassuk meg, hogy ha egy Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius Gauss sorozat spektrálsűrűség függvénye g(t) = \frac{1}{2π} |\frac{P (e^{it})}{R(e^{it})} |^{2} alakú, akkor létezik független standard normális valószínűségi változók olyan …, ε_{−1}, ε_{0}, ε_{1}, … sorozata, amely teljesíti a (19) formulát. Segítség: Tekintsük az Y_{n} sorozat Y_{n} = ∫ e^{int} \frac{P (e^{it})}{R(e^{it})}Z( dt), n = …, −1, 0, 1, …, véletlen spektrál mérték szerinti integrál előállítását, ahol Z( dt) a \frac{1}{2π} λ a [−π, π] intervallumon vett normalizált Lebesgue mérték szerinti alkalmas véletlen spektrál mérték. Mutassuk meg, hogy ε_{n} = ∫ e^{int}Z( dt), n = …, −1, 0, 1, …, alkalmas választás.

Előfordulhat, hogy egy moving average folyamat g(ϑ) spektrálsűrűségének van gyöke a −π ≤ π intervallumban, vagy ami ezzel ekvivalens, a g(ϑ) spektrálsűrűség függvény g(ϑ) = |P (e^{iϑ})|^{2} előállításában szereplő P (z) polinom egyik gyöke az egységkör határán van. Ez a legnehezebb eset. Az alábbi példában ilyen modellre adunk egy látszólag egyszerű példát.

Példa. Legyen ε_{n}, n = 0, ±1, ±2, …, független standard normális valószínűségi változók sorozata, és definiáljuk az X_{n} = ε_{n}+ε_{n−1}, n = 0, ±1, ±2, …, moving average sorozatot. Adjuk meg az X_{n}, n = 0, ±1, ±2, …, sorozat Wold felbontását.

A példa tárgyalása. A vizsgálandó stacionárius sorozat spektrálsűrűsége

g(ϑ) = |1 + e^{iϑ}|^{2} = |P (e^{iϑ})|^{2}

a P (z) = 1+z polinommal. Mivel e polinom egyetlen gyöke a z = −1 pont ezért a Wold felbontást a H_{0}(z) = 1 + z függvény adja meg. Ez azt jelenti, hogy a Wold felbontás X_{n} = V_{n}+V_{n−1} alakban adható meg alkalmas V_{n}, n = 0, ±1, ±2, …, független standard normális valószínűségi változók segítségével. A fő probléma ezeknek a valószínűségi változóknak a megadása.

Az X_{n}, n = 0, ±1, ±2, …, stacionárius sorozat előállítható X_{n} = ∫ e^{inϑ}Z( dϑ), n = 0, ±1, ±2, …, alakban, ahol Z(·) véletlen spektrálmérték g(ϑ) = \frac{1}{2π} |1 + e^{iϑ}|^{2}, −π ≤ ϑ ≤ π, spektrálsűrűség függvénnyel. Továbbá az általános elmélet szerint

V_{n} = ∫ e^{inϑ} \frac{1}{\overline{H_{0}(e^{−iϑ})}} dZ(ϑ) = ∫ e^{inϑ} \frac{1}{1 + e^{−iϑ}} dZ(ϑ)

alakban adható meg. Ez a formula azonban nem jól számolható. Ha felírjuk az \frac{1}{H_{0}(z)}

Taylor sorát azt kapjuk, hogy \frac{1}{H_{0}(z)} = \frac{1}{1+z} = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}z^{k}. Ez formálisan azt sugallná,

hogy

V_{n} = ∫ e^{inϑ} \frac{1}{1 + e^{−iϑ}} dZ(ϑ) = ∫ e^{inϑ} ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}e^{−ikϑ} dZ(ϑ)

= ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} ∫ e^{i(n−k)ϑ} dZ(ϑ) = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}X_{n−k}.

Ez azonban egy divergens sor, így ez az előállítás értelmetlen.

Viszont a szövegben tárgyalt heurisztikus gondolatmenet a következő megoldást sugallja.

V_{n} = lim_{R→1} ∫ e^{inϑ} \frac{1}{1 + Re^{−iϑ}} dZ(ϑ) = lim_{R→1} ∫ e^{inϑ} ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}R^{k}e^{−ikϑ} dZ(ϑ)

= lim_{R→1} ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}R^{k} ∫ e^{i(n−k)ϑ} dZ(ϑ) = lim_{R→1} ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}R^{k}X_{n−k},

ahol a konvergens R számsorozat elemei 1-nél kisebb számok. Azaz azt sejtjük, hogy a

V_{n,R} = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}R^{k}X_{n−k} számok konvergálnak a V_{n} valószínűségi változóhoz, ha R →

1. Vegyük észre azt is, hogy a ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}R^{k}X_{n−k} = ∫ e^{inϑ} \frac{1}{1+Re^{−iϑ}} dZ( dϑ), azonosság

is érvényes minden 0 < R < 1 számra abban az értelemben, hogy a baloldalon vett végtelen összeg az X_{n}, n = 0, ±1, …, stacionárius sorozat G spektrálmértéke szerinti L_{2} konvergenciában tart a jobboldalhoz, azaz

lim_{N→∞} E [∑_{k=0}^{N}(−1)^{k}R^{k}X_{n−k} − ∫ e^{inϑ} \frac{1}{1 + Re^{−iϑ}} dZ( dϑ)]^{2}

= lim_{N→∞} ∫ |e^{inϑ} (∑_{k=0}^{N}(−1)^{k}R^{k}e^{−ikϑ} − \frac{1}{1 + Re^{−iϑ}} )|^{2} dG( dϑ) = 0,

mivel az integrandus az utolsó kifejezés jobboldalán egyenletesen konvergál nullához minden 0 < R < 1 számra, ha N → ∞.

Belátjuk, hogy a lim_{R→1} V_{n,R} = V_{n} állítás igaz a következő értelemben: lim_{R→1} E(V_{n,R} −

V_{n})^{2} = 0. Valóban,

E(V_{n} − V_{n,R})^{2} = E (∫ e^{inϑ} (\frac{1}{1 + e^{−iϑ}} − \frac{1}{1 + Re^{−iϑ}} ) dZ(ϑ))^{2}

= ∫ |\frac{1}{1 + e^{−iϑ}} − \frac{1}{1 + Re^{−iϑ}} |^{2} G( dϑ),

ahol G( dϑ) = \frac{1}{2π} |1 + e^{−iϑ}|^{2} dϑ, az X_{n} stacionárius sorozat spektrálsűrűség függvénye. Innen

E(V_{n} − V_{n,R})^{2} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |\frac{1}{1 + e^{−iϑ}} − \frac{1}{1 + Re^{−iϑ}} |^{2} |1 + e^{−iϑ}|^{2} dϑ

= \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{(1 − R)^{2}}{|1 + Re^{−iϑ}|^{2}} dϑ.

Ez a kifejezés nullához tart, bár lim_{R→1} ∫_{−π}^{π} \frac{1}{|1+Re^{−iϑ}|^{2}} dϑ = ∞ a ±π pont kis környezetének hozadéka miatt ezen integrálhoz. Viszont némi számolással belátható, hogy ennek az integrálnak a nagyságrendje O((1 − R)^{−1}), mivel az integrandus értéke a ‘rossz’ ±π pontok környezetében O (\frac{1}{(1−R)^{2}+(ϑ∓π)^{2}} ). Ezért az (1 − R)^{2} faktor miatt a kifejezés nullához tart R → 1 esetén.

1. megjegyzés. Az előző példában kiszámolt V_{n} valószínűségi változók valójában az X_{n}, n = 0, ±1, ±2, … változók definiciójában szereplő ε_{n}, n = 0, ±1, ±2, … független, standard normális valószínűségi változók. Ez a vizsgált sorozatok véletlen spektrál mérték szerinti integrál előállításából, és a véletlen spektrál mérték szerinti integrálok helyettesitési szabályából azonnal látszik, (elemi bizonyítása is egyszerű) ugyanis, ha az ε_{n} véletlen sorozatot ε_{n} = ∫ e^{inϑ}dZ_{0}(ϑ) véletlen spektrál mérték szerinti integrálként állítjuk elő, akkor X_{n} = ∫ e^{inϑ}(e^{inϑ}(1 + e^{−iϑ})dZ_{0}(ϑ), azaz dZ(ϑ) = (1 + e^{−iϑ})dZ_{0}(ϑ).

2. megjegyzés. Tekintsünk egy a (18) formulában megadott általános X_{n}, n = 0, ±1, …,

moving average folyamatot. Ha a P (z) = ∑_{p=0}^{k} a_{p}z^{p} polinomnak nincs gyöke a {z: |z| < 1}

egységkör belsejében, akkor a (18) formulában megadott képlet az X_{n}, n = 0, ±1, …, folyamat Wold felbontása, mert P (z) = H_{0}(z), és ε_{n}, n = 0, ±1, … független standard normális valószínűségi változók sorozata. A fő feladat az, hogy mindegyik ε_{n} valószínűségi változót fejezzük ki az X_{k}, k ≤ n, valószínűségi változók lineáris kombinációjaként. Láttuk, hogy ennek érdekében egy akalmas véletlen spektrál mérték szerinti integrált kell kiszámolni, amelynek magfüggvénye az e^{inϑ} \frac{1}{\overline{H_{0}(e^{iϑ})}} = \frac{e^{inϑ}}{P (e^{−iϑ})}

függvény. Ennek az integrálnak a kiszámítása érdekében érdemes kiszámolni az \frac{1}{P (z)} függvénynek a nulla pont körüli hatványsorát. Ezt könnyebben tudjuk kiszámolni, ha az \frac{1}{P (z)} függvényt előállítjuk elemi \frac{1}{(z−z_{j})^{l}} alakú kifejezések lineáris kombinációként, ahol z_{j} a P (z) polinom (esetleg többszörös) gyöke.

A fent vázolt módszer alkalmazásában akkor jelenik meg nehézség, ha a P (z) polinomnak van 1 abszolut értékű gyöke. Ilyen esetet tárgyaltunk az előző feladatban, amelyben a P (z) = 1 + z függvény jelent meg. Bizonyos modellekben olyan P (z) polinom jelenhet meg, amelynek többszörös multiplicitású 1 abszolut értékű sajátértéke is létezik. Ilyen modell például az X_{n} = ε_{n} + 2ε_{n−1} + ε_{n−2}, n = 0, ±1, … mozgó átlag. Ehhez a modellhez a P (z) = (1 + z)^{2} polinom tartozik. Az ilyen modellek is tárgyalhatóak hasonlóan az X_{n} = ε_{n} + ε_{n−1} mozgó átlaghoz, bár az egyes lépések jogosságának az igazolása kissé több munkát igényel.